一．简要回答以下各题（本题36分，每题6分） 1. 写出NaCl 和CsCl 的结构类型。
解答：NaCl ，面心立方 CsCl ，简单立方 都是复式格子
2. 什么是费米能级？
解答：T=0K 时，费米子按泡利不相容原理占据各能级，在K 空间中，占有与不占有电子的分界面为费米面，费米面处的能级为费米能。若T 不为0K 时，则有一半量子态被电子占据的能级为费米能级。
3. 对于固体学原胞是N 的三维晶体，基元有两个原子，声学支和光学支的振动模式的数目分别是多少？ 解答： 3 ，6N-3
4. 什么叫简正振动模式？简正振动数目、格波数目或格波振动模式数目是否是一回事？
解答：为了使问题既简化又能抓住主要矛盾，在分析讨论晶格振动时，将原子间互作用力的泰勒级数中的非线形项忽略掉的近似称为简谐近似. 在简谐近似下, 由N 个原子构成的晶体的晶格振动, 可等效成3N 个独立的谐振子的振动. 每个谐振子的振动模式称为简正振动模式, 它对应着所有的原子都以该模式的频率做振动, 它是晶格振动模式中最简单最基本的振动方式. 原子的振动, 或者说格波振动通常是这3N 个简正振动模式的线形迭加.
简正振动数目、格波数目或格波振动模式数目是一回事, 这个数目等于晶体中所有原子的自由度数之和, 即等于3N .
5. 什么是周期性边界条件，引入它的理由？ 解答：
(1) 方便于求解原子运动方程.
由本教科书的(3.4)式可知, 除了原子链两端的两个原子外, 其它任一个原子的运动都与相邻的两个原子的运动相关. 即除了原子链两端的两个原子外, 其它原子的运动方程构成了个联立方程组. 但原子链两端的两个原子只有一个相邻原子, 其运动方程仅与一个相邻原子的运动相关, 运动方程与其它原子的运动方程迥然不同. 与其它原子的运动方程不同的这两个方程, 给整个联立方程组的求解带来了很大的困难.
(2) 与实验结果吻合得较好.
对于原子的自由运动, 边界上的原子与其它原子一样, 无时无刻不在运动. 对于有N 个原子构成的的原子链, 硬性假定0 ,01==N u u 的边界条件是不符合事实的. 其实不论什么边界条件都与事实不符. 但为了求解近似解, 必须选取一个边界条件. 晶格振动谱的实验测定是对晶格振动理论的最有力验证。 玻恩卡门条件是晶格振动理论的前提条件. 实验测得的振动谱与理论相符的事实说明, 玻恩卡门周期性边界条件是目前较好的一个边界条件.
6. 波矢空间与倒格空间有何关系? 为什么说波矢空间内的状态点是准连续的?
解答：波矢空间与倒格空间处于统一空间, 倒格空间的基矢分别为321 b b b 、、
, 而波矢空间的基矢分别为32N N / / /321b b b 、、1N , N 1、N 2、N 3分别是沿正格子基矢321 a a a 、、方向晶体的原胞数目.
倒格空间中一个倒格点对应的体积为
*321) (Ω=??b b b ,
波矢空间中一个波矢点对应的体积为
N N b N b N b *
332211)(Ω=??,
即波矢空间中一个波矢点对应的体积, 是倒格空间中一个倒格点对应的体积的1/N . 由于N 是晶体的原胞数目, 数目巨大, 所以一个波矢点对应的体积与一个倒格点对应的体积相比是极其微小的. 也就是说, 波矢点在倒格空间看是极其稠密的. 因此, 在波矢空间内作求和处理时, 可把波矢空间内的状态点看成是准连续的.
二．晶格振动谱的实验测定是对晶格振动理论的最有力验证。简述3种确定晶格振动谱的试验方法。（10
分） 解答：（1）中子非弹性散射
设想有一束动量为p 、能量为2
2n
M =p E 的中子流入射到样品上，由于中子仅仅和原子核之间有相互
作用，因此它可以毫无困难地穿过晶体，而以动量p ′、能量2
2n
M ''=p E 射出。当中子流穿过晶体时，
格波振动可以引起中子的非弹性散射，这种非弹性弹射也可以看成是吸收或发射声子的过程。散射过程首先要满足能量守恒关系：
()22
22n n
p p M M ω'-=±q .........................................................（1） ?ω( q )表示声子的能量，“+”号和“-”号分别表示吸收和发射声子的过程。散射过程同时要满足准动量守恒关系： n '-=±+p p q G (2)
其中12233n n n n =++G b b b 1为倒格子矢量，?q 称为声子的准动量。一般说来，声子的准动量并不代表真实的动量，只是它的作用类似于动量，如式（2）所示，在中子吸收和发射声子过程中，存在类似于动量守恒的变换规律，但是，多出n G 项。动量守恒是空间均匀性（或者称为完全的平移不变性）的结果，而上述准动量守恒关系实际上是晶格周期性（或者称为晶格平移不变性）的反映。一方面，由于晶格也具有一定的平移对称性（以布拉伐格子标志），因而存在与动量守恒相类似的变换规律；
另一方面，由于晶体平移对称性与完全的平移对称性相比，对称性降低了，因而变换规则与动量守恒相比，条件变弱了，可以相差n G 。
如果我们固定入射中子流的动量p （和能量E ），测量出不同散射方向上散射中子流的动量p ′（即能量E ′），就可以根据能量守恒和准动量守恒关系确定出格波的波矢q 以及能量?ω(q )。图1中示意地画出了一个典型的中子散射谱仪的结构，叫做三轴中子谱仪。中子源是反应堆产生出来的慢中子流，单色器是一块单晶，利用它的布喇格反射产生单色的动量为p 的中子流，经过准直器入射到样品上。随后再经过准直器用于选择散射中子流的方向，分析器也是一块单晶，利用它的布喇格反射来决定散射中子流的动量值（即能量）。
（2）光子非弹性散射
当光通过固体时，也会与格波相互作用，而发生散射。介质折射率的变化（或说介质极化率的变化）是引起光散射的原因。晶格振动的声学波和光学波都会产生折射率的变化。散射过程中也要满足能量守恒和准动量守恒关系，对于一级谱（单声子过程）有：
()i q ωωω'-=±（3）
n '-=±±k k q G （4）
其中k ，?ω代表入射光的波数矢量和能量，k ′和?ω′代表散射光的波矢和能量。同样如果固定入射光，而测量不同方向散射光的频率，就可以得到声子的频率和波矢。但由于一般可见光范围，|k |只有
5110cm -的量级，因此相互作用的声子的波矢|q |也是在5110cm -的数量级。从晶体布里渊区来看，它们只
是在布里渊区中心附近很小一部分区域内的声子，即长波声子。（这时在（2）式表示的准动量守恒中，倒格波n G 只能为零）这就使得用光散射的方法测定的晶格振动谱只能是长波附近很小的一部分声子，与中子非弹性散射相比这是一个根本的缺点。当光与声学波相互作用时，散射光的频率移动|ω′-ω|很小，大约在7
10
10~310?赫，称为布里渊散射；当光与光学波相互作用时，频率移动大约在10
13
310~310
??赫，称为喇曼散射。通常又把散射频率低于入射频率的情况称为斯托克斯散射；把散射频率高于入射频率的情况称为反斯托克斯散射。前者对应发射声子的过程，后者对应吸收声子的过程。在图2中示出这两种过程。
探测器
中子源图
（3）也可以利用X 射线的散射，测定晶格振动谱，其原理是相同的。X 射线的波矢与晶体倒格子矢量同数量级，因此测量的范围可以遍及整个布里渊区，而不是局限在布里渊区中心附近。但是X 射线的能量（~4
10eV ）远大于声子的能量（~2
10-eV ），实际上用能量守恒关系确定声子的能量的很困难的。
三．详细画出一维双原子链的q -ω函数关系。（10分）
四．爱因斯坦模型在低温下与实验存在偏差的根源是什么? 在很低的温度下, 德拜模型为什么与实验相
符?（10分） 解答
ω入
ω′
斯托克斯散射 反斯托克斯散射
ω′> ω
ω入
ω′
()
q ω (a) (b) 图2 光子的喇曼散射，伴随一个声子的发射或吸收
()
q ω
按照爱因斯坦温度的定义, 爱因斯坦模型的格波的频率大约为Hz 1013
, 属于光学支频率. 但光学格波在低温时对热容的贡献非常小, 低温下对热容贡献大的主要是长声学格波. 也就是说爱因斯坦没考虑声学波对热容的贡献是爱因斯坦模型在低温下与实验存在偏差的根源.
在甚低温下, 不仅光学波得不到激发, 而且声子能量较大的短声学格波也未被激发, 得到激发的只是声子能量较小的长声学格波. 长声学格波即弹性波. 德拜模型只考虑弹性波对热容的贡献. 因此, 在甚低温下, 德拜模型与事实相符, 自然与实验相符.
五．金刚石中的长光学纵波频率与同波矢的长光学格横波频率是否相等? 对KCl 晶体, 结论又是什么?
（10分） 解答
长光学纵波引起离子晶体中正负离子的相对位移, 离子的相对位移产生出宏观极化电场, 电场的方向是阻滞离子的位移, 使得有效恢复力系数变大, 对应的格波的频率变高. 长光学格横波不引起离子的位移, 不产生极化电场, 格波的频率不变. 金刚石不是离子晶体, 其长光学纵波频率与同波矢的长光学格横波频率相等. 而KCl 晶体是离子晶体, 它的长光学纵波频率与同波矢的长光学格横波频率不相等, 长光学纵波频率大于同波矢的长光学格横波频率.
六．关于声子 （14分，每小题7分）
（1） 温度一定，一个光学波的声子数目多呢, 还是声学波的声子数目多?
（2） 对同一个振动模式, 温度高时的声子数目多呢, 还是温度低时的声子数目多? 解答
（1）频率为ω的格波的(平均) 声子数为
11
)(/-=T
k B
e n ωω .
因为光学波的频率O ω比声学波的频率A ω高, (1/-T
k B O e
ω )大于(1/-T k B A e ω ), 所以在温度一定情况下,
一个光学波的声子数目少于一个声学波的声子数目.
（2）设温度T H >T L , 由于(1/-H
B T k e
ω )小于(1/-L
B T k e ω ), 所以温度高时的声子数目多于温度低时的声子数目.
七．紧束缚模型下, 内层电子的能带与外层电子的能带相比较, 哪一个宽? 为什么? （10分） [解答]
以s 态电子为例. 紧束缚模型电子能带的宽度取决于积分s J 的大小, 而积分
r
R r R r r r d )()]()([)(*
n at
s n at N at s s V V J ----=???Ω
的大小又取决于)(r at s ?与相邻格点的)(n at s R r -?的交迭程度. 紧束缚模型下, 内层电子的)(r at
s ?与
)(n at s R r -?交叠程度小, 外层电子的)(r at s ?与)(n at s R r -?交迭程度大. 因此, 紧束缚模型下, 内层电子
的能带与外层电子的能带相比较, 外层电子的能带宽.