题型一：判断充分，必要条件
【例1】 在空间中，“两条直线没有公共点”是“这两条直线平行”的（ ）
A ．充分不必要条件．
B ．必要不充分条件．
C ．充要条件．
D ．既不充分也不必要条件．
【例2】 对任意实数a 、b 、c ，在下列命题中，真命题是（ ）
A ．“ac bc >”是“a b >”的必要条件
B ．“ac bc =”是“a b =”的必要条件
C ．“ac bc >”是“a b >”的充分条件
D ．“ac bc =”是“a b =”的充分条件
【例3】 若集合2{|540}A x x x =-+<，{|||1}B x x a =-<，则“(23)，a ∈”是“B A ?”
的（ ）
A ． 充分但不必要条件
B ． 必要但不充分条件
C ． 充要条件
D ． 既不充分又不必要条件
【例4】 若“a b c d ?>≥”和“a b e f
则“c d ≤”是“e f ≤”的（ ）
A ．必要非充分条件
B ．充分非必要条件
C ．充分必要条件
D ．既非充分也非必要条件
【例5】 已知，，，a b c d 为实数，且c d >．则“a b >”是“a c b d ->-”的（ ）
A ． 充分而不必要条件
B ． 必要而不充分条件
C ．充要条件
D ． 既不充分也不必要条件
【例6】 “18a =”是“对任意的正数x ，21a
x x +≥”的（ ）
A ．充分不必要条件
B ．必要不充分条件
C ．充要条件
D ．既不充分也不必要条件
典例分析
板块二.充分条件与
必要条件
【例7】 0a <是方程2210ax x ++=至少有一个负数根的（ ）
A ．必要不充分条件
B ．充分不必要条件
C ．充分必要条件
D ．既不充分也不必要条件
【例8】 “函数()()f x x ∈R 存在反函数”是“函数()f x 在R 上为增函数”的（ ）
A ．充分而不必要条件
B ．必要而不充分条件
C ．充分必要条件
D ．既不充分也不必要条件
【例9】 已知命题p ：40k -<<；命题q ：函数21y kx kx =--的值恒为负．则命题p 是
命题q 成立的（ ）
A ．充分但不必要条件
B ．必要但不充分条件
C ．充要条件
D ．既不充分也不必要条件
【例10】 “1
2
m =
”是“直线(2)310m x my +++=与直线(2)(2)30m x m y -++-=相互垂直”的（ ）
A ．充分不必要条件
B ．必要不充分条件
C ．充要条件
D ．非充分非必要条件
【例11】 “1a =”是“函数()||f x x a =-在区间[1)，+∞上为增函数”的（ ）
A ．充分不必要条件
B ．必要不充分条件
C ．充要条件
D ．既不充分也不必要条件
【例12】 设()f x ，()g x 是定义在R 上的函数，()()()h x f x g x =+，则“()f x ，()g x 均为
偶函数”是“()h x 为偶函数”的（ ）
A ．充要条件
B ．充分而不必要的条件
C ．必要而不充分的条件
D ．既不充分也不必要的条件
【例13】 “a b >”是“log log m m a n b n >”(01)≤m n <<成立的 （ ）
A ．充分非必要条件
B ．必要非充分条件
C ．充要条件
D ．既非充分又非必要条件
【例14】 “a b =”是“直线2y x =+与圆22()()2x a y b -+-=相切”的（ ）
A ．充分不必要条件
B ．必要不充分条件
C ．充要条件
D ．非充分非必要条件
【例15】 对于非零向量r a ，r b ，“0+=r r r a b ”是“r r
∥a b ”的（ ）
A ．充分不必要条件
B ．必要不充分条件
C ．充分必要条件
D ．既不充分也不必要条件
【例16】 “αβ≠”是“cos cos αβ≠”的
（ ）
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
【例17】 平面内两定点A 、B 及动点P ，命题甲是：“||||PA PB +是定值”，命题乙是：
“点P 的轨迹是以A 、B 为焦点的椭圆”，那么（ ） A ．甲是乙成立的充分不必要条件
B ．甲是乙成立的必要不充分条件
C ．甲是乙成立的充要条件
D ．甲是乙成立的非充分非必要条件
【例18】 若:,1A a R a ∈<, :B x 的二次方程2
(1)20x a x a +++-=的一个根大于零,
另一根小于零,则A 是B 的 （ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件
【例19】 若R k ∈，则“3k >”是“方程22
133
x y k k -=-+表示双曲线”的( )
A ．充分不必要条件
B ． 必要不充分条件
C ． 充要条件
D ．既不充分也不必要条件
【例20】 “2π3θ=
”是“πtan 2cos 2θθ??
=+ ???”的（ ） A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件
C ．充分必要条件
D ．既不充分也不必要条件
【例21】 甲：A B ，是互斥事件；乙：A B ，是对立事件，那么下列说法正确的是（ ）
A ．甲是乙的充分不必要条件
B ．甲是乙的必要不充分条件
C ．甲是乙的充要条件
D ．甲是乙的既不充分也不必要条件
【例22】 用充分不必要条件、必要不充分条件、充要条件和既不充分也不必要条件填空．
⑴5x <是10x <的____________；10x <是5x <的____________；
⑵两个三角形的面积相等是两个三角形全等的__________； ⑶x A ∈是x A B ∈U 的____________； ⑷A B ?是A B B =U 的___________；
⑸A ：1
2
m =
，B ：直线(2)310m x my +++=与直线(2)(2)30m x m y -++-=相互垂直，则A 是B 的 条件．
⑹A ：|2|2x -<，B ：2450x x --<，则A 是B 成立的 条件； ⑺A ：a ∈R ，||1a <，B ：x 的二次方程2(1)20x a x a +++-=的一个根大于零，另一根小于零，则A 是B 的____________．
【例23】 ⑴在ABC ?中，A B >是sin sin A B >的___________．
⑵对于实数x y ，，8x y +≠是2x ≠或6y ≠的___________． ⑶在ABC ?中，sin sin A B >是tan tan A B >的____________．
⑷已知x y ∈R ，，22(1)(2)0x y -+-=是(1)(2)0x y --=的____________． ⑸||||||x y x y +=+是0xy ≥的__________．
【例24】 用“充分不必要”、“必要不充分”、“充要”、“既不充分也不必要”填空．
⑴若a b ∈R ，，则0ab ≠是0a ≠的______条件； ⑵若a b ∈R ，，则220a b +≠是0a ≠的________条件；
⑶若A B ，均是非空集合，则A B φ≠I 是A B ?的___________条件；
⑷已知a b r r
，
均为非零向量，则0a b ?>r r 是a r 与b r
的夹角为锐角的__________条件；
⑸已知αβ，是不同的两个平面，直线a α?，直线b β?，则a 与b 没有公共点是αβ∥的__________条件；
⑹不等式|1||2|x x m -++>的解集为R 是(52)()log m f x x -=为减函数的_________条件；
⑺在ABC ?中，“0AB AC ?>u u u r u u u r
”是“ABC ?为锐角三角形”的__________条件； ⑻“2a =”是“函数()||f x x a =-在区间[2)+∞，上为增函数”的_________条件；
⑼若集合2{1}A m =，，{24}B =，，则“2m =”是“{4}A B =I ”的__________
条件；
⑽等比数列{}n a 中，“13a a <”是“57a a <”的__________条件；
⑾11
||22k ->是“函数22log (2)y x kx k =-+的值域为R ”的___________条件；
⑿“ππ
42α<<”是“tan ()log f x x α=在(0)+∞，内是增函数”的___________条
件；
⒀若a b c ∈R ，，，则“0a >且240b ac -<”是“对任意x ∈R ，有20ax bx c ++>”的________条件；
⒁“3m =”是“直线(3)20m x my ++-=与直线650mx y -+=互相垂直”的
_________条件；
⒂“b =a b c ，，三个数成等比数列”的__________条件；
⒃两个向量相等是这两个向量共线的__________条件；
⒄设函数2()|log |f x x =，则“01m <<”是“()f x 在区间(21)(0)m m m +>，上不是单调函数”的__________ 条件；
【例25】 若x y ∈R ，，判断下面命题的真假
⑴“2log (42)3xy x y +-=”是“2268250x y x y +-++=”成立的必要条件；
⑵222x y +<是||||x y +<||||x y +的必要条件．
题型二：充分，必要条件的求解
【例26】 设a ，b 是两条直线，α，β是两个平面，则a b ⊥的一个充分条件是（ ）
A ．a α⊥，b β∥，αβ⊥
B ．a α⊥，b β⊥，αβ∥
C ．a α?，b β⊥，αβ∥
D ．a α?，b β∥，αβ⊥
【例27】 设a b ，表示直线，αβ，表示平面，则αβ∥的充分条件是（ ）
A ．a b a b αβ⊥⊥∥，，
B ．a b a b αβ??，，∥
C ．a b a b αββα??，，∥，∥
D ．a b a b βα⊥⊥⊥，，
【例28】 设m n ，是平面α内的两条不同直线，1l ，2l 是平面β内的两条相交直线，则
αβ∥的一个充分而不必要条件是（ ） A ．m β∥且1l α∥ B ．1m l ∥且2n l ∥ C ．m β∥且n β∥
D ．m β∥且2n l ∥
【例29】 平面α∥平面β的一个充分条件是（ ）
Ａ．存在一条直线α，a α∥，a β∥ Ｂ．存在一条直线a ，a α?，a β∥
Ｃ．存在两条平行直线a ，b ，a α?，b β?，a β∥，b α∥ Ｄ．存在两条异面直线a ，b ，a α?，a β∥，b α∥
【例30】 直线12l l ，互相平行的一个充分条件是（ ）
A ．12l l ，
都平行于同一个平面 B ．12l l ，与同一个平面所成的角相等
C ．1l 平行于2l 所在的平面
D ．12l l ，都垂直于同一个平面
【例31】 给出以下四个条件：①0ab >；②0a >或0b >；③2a b +>；④0a >且0b >．其
中可以作为“若a b ∈R ，，
则0a b +>”的一个充分而不必要条件的是 ．
【例32】 设集合2{|60}A x x x =+-=，{|10}B x mx =+=，则B 是A 的真子集的一个充分
不必要的条件是（ ）
A ．1
12
3m ??∈-????
， B ．0m ≠ C ．11023m ??∈-???
?
，， D ．103m ??∈???
?
，
【例33】 若不等式1x m -<成立的充分不必要条件是23x <<，则实数m 的取值范围是
________；
【例34】 集合1|01x A x x -??
=
，{|}B x x b a =-<，若“1a =”是“A B ≠?I ”的充分条件，
则b 的取值范围可以是（ ） A ．20≤b -< B ．02≤b < C ．31b -<<- D ．12≤b -<
【例35】 下列选项中，p 是q 的必要不充分条件的是（ ）
A ．:p a c b d +>+， :q a b >且c d >
B ．:11p a b >>， ():x q f x a b =-（0a >，且1a ≠）的图像不过第二象限
C ．:1p x =， 2:q x x =
D ．:1p a >，
():log =a q f x x （0>a ，且1≠a ）在()0+∞，上为增函数
【例36】 已知条件p ：|1|2x +>，条件q ：x a >，且p ?是q ?的充分不必要条件，则a
的取值范围可以是（ ） A ．1a ≥ B ．1a ≤ C ．1a ≥- D ．3a -≤
【例37】 给出以下四个条件：①0ab >；②0a >或0b >；③2a b +>；④0a >且0b >.
其中可以作为“若,a b ∈R ，则0a b +>”的一个充分而不必要条件的是 .
【例38】 已知不等式||1x m -<成立的充分不必要条件是
11
32
x <<，
则m 的取值范围是
（ ） A.41{|}32m m -
≤≤ B.1{|}2m m < C. 14{|}23m m -≤≤ D. 4
{|}3
m m ≥
【例39】 (1)(2)0x x -+<的一个必要不充分条件是 .
【例40】 1x
y
>的一个充分不必要条件是（ ）
A ．x y >
B ．0x y >>
C ．x y <
D ．0y x <<
【例41】 可以作为“若a b ∈R ，，则0a b +>”的一个充分而不必要条件的是（ ）
A ．0ab >
B ．0a >或0b >
C ．0a >且0b >
D ．1ab >
【例42】 直线1y kx =+的倾斜角为钝角的一个必要非充分条件是（ ）
A ．0k <
B ．1k <-
C ．1k <
D ．2k >-
【例43】 已知命题p ：1
123
x --
≤；q ：22210(0)x x m m -+->≤，若p ?是q ?的必要非充分条件，求实数m 的取值范围．
【例44】 已知命题1
:123
x p --
≤；22:210(0)q x x m m -+->≤，若p ?是q ?的充分非必要条件，求实数m 的取值范围．
【例45】 设αβ，是方程20x ax b -+=的两个实根，试分析21a b >>，是两根αβ，均大于
1的什么条件？
【例46】 求证：关于x 的方程220x ax b ++=有实数根，且两根均小于2的一个充分条件
是2a ≥且||4b ≤．
【例47】 设命题1|34:|≤-x p ;命题0)1()12(:2
≤+++-a a x a x q ,若p ?
是q ?的必要
不充分条件,求实数a 的取值范围.
题型三：充要条件
【例48】 已知，a b 是实数，则“0a >且0b >”是“0a b +>且0ab >”的（ ）
A ．充分而不必要条件
B ．必要而不充分条件
C ．充分必要条件
D ．既不充分也不必要条件
【例49】 在ABC ?中，条件甲：A B <，条件乙：22cos cos A B >，
则甲是乙的（ ）
A ．充分非必要条件
B ．必要非充分条件
C ．充要条件
D ．既非充分又非必要条件
【例50】 已知a ∈R 且0a ≠，则“
1
1a
<”是 “a >1”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件
C ．充要条件
D ．既不充分也不必要条件
【例51】 设，a b ∈R ，则不等式a b >与
11
a b
>都成立的充要条件是（ ） A ．0ab > B ．00，a b >< C ．0ab < D ．0ab ≠
【例52】 已知αβ，表示两个不同的平面，m 为平面α内的一条直线，则“αβ⊥”是
“m β⊥”的（ ）
A ．充分不必要条件
B ．必要不充分条件
C ．充要条件
D ．既不充分也不必要条件
【例53】 若a r 与b c -r r 都是非零向量，则“a b a c ?=?r r r r
”是“()a b c ⊥-r r r ”的（ ）
A ．充分而不必要条件
B ．必要而不充分条件
C ．充分必要条件
D ．既不充分也不必要条件
【例54】 设(32()log f x x x =++，则对任意实数a 、b ，0≥a b +是()()0
≥f a f b +的（ ）．
A ．充要条件
B ．充分而不必要条件
C ．必要而不充分条件
D ．既不充分也不必要条件
【例55】 对任意实数a ，b ，c ，给出下列命题：
①“a b =”是“ac bc =”充要条件；②“5a +是无理数”是“a 是无理数”的充要条
件；
③“a b >”是“22a b >”的充分条件；④“5a <”是“3a <”的必要条件． 其中真命题的个数是（ ）
A ．1
B ．2
C ．3
D ．4
【例56】 已知a 、b ∈R ，则a b >与
11
a b
>同时成立的充要条件是 ．
【例57】 函数()||f x x x a b =++是奇函数的充要条件是（ ）
A ．0ab =
B ．0a b +=
C ．a b =
D ．220a b +=
【例58】 给出下列命题：①实数0a =是直线21ax y -=与223ax y -=平行的充要条件；
②若0，，a b ab ∈=R 是a b a b +=+成立的充要条件；③已知，x y ∈R ，“若
0xy =，则0x =或0y =”的逆否命题是“若0x ≠或0y ≠，则0xy ≠”；④“若a 和
b 都是偶数，则a b +是偶数”的否命题是假命题 ．其中正确命题的序号是
_______．
【例59】 设集合(){}R R U x y x y =∈∈，
，，(){}20A x y x y m =-+>，，(){}0B x y x y n =+-，≤，那么点()(23)U P A C B ∈I ，的充要条件是（ ）
A ．15m n >-<，
B ．15m n <-<，
C ．15m n >->，
D ．1,5m n <->
【例60】 设()()sin f x x ω?=+，其中0ω>，则()f x 是偶函数的充要条件是（ ）
A ．()01f =
B ．()00f =
C ．()01f '=
D ．()00f '=
【例61】 下列各小题中，p 是q 的充分必要条件的是（ ）
①:2p m <-或6m >；2:3q y x mx m =+++有两个不同的零点； ②()()
:
1f x p f x -=；():q y f x =是偶函数
③:cos cos p αβ=；:tan tan q αβ=． ④:p A B A =I ；:U U
q B A ?
痧．
A ．①②
B ．②③
C ．③④
D ． ①④
【例62】 已知数列{}n a 的通项111
3423
n a n n n =
+++
+++L ，为了使不等式22
(1)11log (1)log 20
n t t a t t ->--
对任意*n ∈N 恒成立的充要条件 ．
【例63】 已知关于x 的一元二次方程（m ∈Z ）：
①2440mx x -+=；②2244450x mx m m -+--=． 求方程①和②都有整数解的充要条件．
【例64】 设a b c ，，为ABC ?的三边，
求证：方程2220x ax b ++=与2220x cx b +-=有公共根的充要条件为
222a b c =+．
【例65】 已知方程2
2
(21)0x k x k +-+=,求使方程有两个大于1的实数根的充要条件。
【例66】 求“直线:10l ax by ++=经过两直线1:230l x y --=和2:230l x y --=的交
点”的充要条件，并加以证明.
【例67】 已知数列{}n a 的前n 项(01)n n S p q p p =+≠≠，
，求数列{}n a 是等比数列的充要条件．
【例68】 已知数列{}n a 、{}n b 满足：122123n
n a a na b n
+++=
++++L L ，求数列{}n b 是等差数列的充
要条件．
【例69】 已知0a >，函数2()f x ax bx =-，
⑴当0b >时，若对任意x ∈R 都有()1≤f x ，证明：≤a
⑵当1b >时，证明：对任意[01]，x ∈，()1≤f x 的充要条件是1≤≤b a -； ⑶当01≤b <时，讨论对任意[01]，x ∈，都有()1≤f x 的充要条件．
【例70】 已知数列{n a } 、{n b }、{n c }，其中{n a } 、{n b }是等比数列.对于任意正整数
n ，n a 、n b 、n c 都成等差数列，且01≠c .试证明：“数列{n c }成等比数列”的
充要条件是“数列{n a } 与{n b }公比相等”.
【例71】 已知集合}53|{><=x x x M 或，}0)8)((|{≤--=x a x x P .
（1）求实数a 的取值范围，使它成为}85|{≤<=x x P M I 的充要条件；
（2）求实数a 的一个值，使它成为}85|{≤<=x x P M I 的一个充分但不必要条件；
（3）求实数a 的取值范围，使它成为}85|{≤<=x x P M I 的一个必要但不充分条件.
充分条件、必要条件与命题的四种形式 1．选择题： (1)“1、x 、9成等比数列”是“x ＝3”的( ) A ．充分必要条件 B ．充分而不必要条件 C ．必要而不充分条件 D ．既不充分也不必要条件 (2)“a ＝2”是“直线2x ＋ay －1＝0与直线ax ＋2y －2＝0平行”的( ) A ．充分必要条件 B ．充分而不必要条件 C ．必要而不充分条件 D ．既不充分也不必要条件 (3)若a 与b －c 都是非零向量，则“a ·b ＝a ·c ”是“a ⊥(b －c )”的( ) A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件 2．填空题 (4)设a 、b 、c 、d ∈R ，则复数(a ＋b i )(c ＋d i )为实数的充要条件是________ (5)“a ＝1”是“函数y ＝cos 2ax －sin 2ax 的最小正周期为π”的________条件(用“充分不必要”、“必要不充分”、 “充要”、或“既不充分又不必要”填空) (6)???>>1121x x 是???>>+122 121x x x x 的________条件(用“充分不必要”、“必要不充分”、“充要”、或“既不充分又不必要”填空) 3．解答题 (7)下列四个命题 ①设a ，b ∈R ，已知命题p ：a ＝b ；命题2)2 (:2 22b a b a q +≤+，则p 是q 成立的充分不必要条件； ②“tan α ＝1”是“4 π=α”的充要条件； ③“a ＝1”是“函数f (x )＝｜x －a ｜在区间[1，＋∞)上为增函数”的必要不充分条件； ④设f (x )，g (x )是定义在R 上的函数，h (x )＝f (x )＋g (x )，则“f (x )，g (x )均为偶函数”是“h (x )为偶函数”的充分而不必要的条件中．写出正确命题的序号并说明理由． (8)已知数列{a n }和{b n }满足)(21221*N ∈++++++= n n na a a b n n ，求证：{a n }是等差数列的充要条件是{b n }是等差数列．本题可利用公式为： 6 )12)(1(21222++=+++n n n n (9)已知p ：｜x －4｜≤6，q ：x 2－2x ＋1－m 2≤0(m ＞0)，若?p 是?q 的必要而不充分条件，求实数m 的取值范 围． 答案：充分条件、必要条件与命题的四种形式 (1)C (2)B 提示：a ＝－2时，两直线平行． (3)C (4)ad ＋bc ＝0 (5)解：a ＝－1时，函数y ＝cos2ax －sin2ax ＝cos 2ax ＝cos 2x 的最小正周期为π成立，所以答案充分不必要．
充分条件和必要条件 教学目标： 知识目标：（1）理解充分、必要条件的概念； （2）初步掌握充分、必要条件的判断方法。 能力目标：培养学生的阅读理解能力、逻辑推理能力和归纳总结的能力。 情感目标：让学生感受“在生活中数学地思维”，增加对学习逻辑知识的兴趣和信心，克服畏惧感，激发求知欲。 教学重难点： 教学重点：充要条件的概念和判断方法。 教学难点：理解充要条件的概念。 课型：新授课教学方法：讲练结合教学法（配合多媒体辅助教学手段） 教具：多媒体、投影仪 教学程序： 1、复习旧知，引入新课 首先，在导入阶段的教学中，回顾上节研究的命题的一般形式“若p则q”和其真假判断的方法，先向学生介绍真假命题的简记符号。同时以命题“若x>0，则x2>0。”和其逆命题“若x2>0，则x>0。”为例让学生学习符号的使用。 在此基础上，让学生先分析下面的问题：（幻灯显示） [幻灯显示]例1、判断下列命题的真假，并研究其逆命题的真假（用p与q的相互推出符号表示你的判断）。 p q （1）若x>2，则x>1。 （2）若两三角形面积相等，则这两个三角形全等。 （3）若三角形有两角相等，则它是等腰三角形 （4）若a2>b2，则a>b。 教师在学生回答的基础上，结合（1）、（2）两个命题，分析引出对“充分的”和“必要的”这两个词汇的感性认识： 首先，在原命题中研究前者对后者的制约程度： 比如（1）中，p能推出q，表明要得到结论q，有了条件p就足够了，也就是说条件p对
于结论q是“充分的”。在（2）中，p不能推出q，表明条件p对于结论q是“不充分的”。 其次，在逆命题中研究后者对前者的依赖程度： 比如（2）中，p不能推出q，但p能被q推出，这说明p对于q又是一种什么样的联系呢？作出分析： 命题（2）中，两三角形面积相等不能说明两三角形必然全等，但是，如果两三角形的面积不相等，则两三角形会全等吗？不会。为什么？因为如果两三角形全等，则两三角形的面积是必然相等的。这也就是说，两三角形面积相等是两三角形全等这个结论成立所“必须具备” 的条件。那么，我们就说，p对于q而言是“必要的”。（板书：必要的）而在（1）中，p不能被q推出，表明条件p对于结论q是“不必要的”。 再让学生类比分析（3）、（4），不难得出：在（3）中，p对于q既是充分的，也是必要的；在（4）中，p对于q既不是充分的，也不是必要的。 结合上面的分析，向学生指明：我们看到，命题中的条件与结论之间这种相互推出的关系反映了两者之间的一种“充分的”或是“必要的”联系。在数学中，我们对这种联系进行了进一步的研究，引入的新的定义来描述它，这就是本节将研究的主要内容，从而引出课题： 充分条件和必要条件 2、阐述定义，理解内涵 由此，我们引入了如下定义： [幻灯显示] 充分、必要条件的定义 如果已知p q，则说p是q的充分条件，q是p的必要条件。 在引导学生理解定义的过程中提出问题，引发思考： 问题：这里的p和q都叫做“条件”,那么“结论”又是什么呢?（引起认知冲突，鼓励学生发言）强调：分清“条件”和“结论”是理解定义的关键! 接下来再回到例1，对其中存在的充分必要关系再次进行认识。 [幻灯显示]例1、试判断下列各命题中：p 是q 的什么条件，q 又是p 的什么条件？（学生分析作答） p q （1）若x>2，则x>1。 （2）若两三角形面积相等，则这两个三角形全等。 （3）若三角形有两角相等，则它是等腰三角形
充分条件与必要条件 例题解析 能力素质 例1 已知p ：x 1，x 2是方程x 2＋5x －6＝0的两根，q ：x 1＋x 2＝－5，则p 是q 的 [ ] A ．充分但不必要条件 B ．必要但不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件 分析 利用韦达定理转换． 解 ∵x 1，x 2是方程x 2＋5x －6＝0的两根， ∴x 1，x 2的值分别为1，－6， ∴x 1＋x 2＝1－6＝－5． 因此选A ． 说明：判断命题为假命题可以通过举反例． 例2 p 是q 的充要条件的是 [ ] A ．p ：3x ＋2＞5，q ：－2x －3＞－5 B ．p ：a ＞2，b ＜2，q ：a ＞b C ．p ：四边形的两条对角线互相垂直平分，q ：四边形是正方形 D ．p ：a ≠0，q ：关于x 的方程ax ＝1有惟一解 分析 逐个验证命题是否等价． 解 对A ．p ：x ＞1，q ：x ＜1，所以，p 是q 的既不充分也不必要条件； 对B ．p q 但q p ，p 是q 的充分非必要条件； 对C ．p q 且q p ，p 是q 的必要非充分条件； 对．且，即，是的充要条件．选．D p q q p p q p q D ??? 说明：当a ＝0时，ax ＝0有无数个解． 例3 若A 是B 成立的充分条件，D 是C 成立的必要条件，C 是B 成立的充要条件，则D 是A 成立的 [ ] A ．充分条件 B ．必要条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件 分析 通过B 、C 作为桥梁联系A 、D ． 解 ∵A 是B 的充分条件，∴A B ① ∵D 是C 成立的必要条件，∴C D ② ∵是成立的充要条件，∴③C B C B ?
高一数学教案充要条件 教材：充要条件(1) 目的：通过实例要求学生明白得充分条件、必要条件、充要条件的意义，并能够初步判定给定的两个命题之间的关系。 过程： 一、复习：写出以下命题的逆命题、否命题、逆否命题，并判定它们的真假： 1) 假设x>0那么x2>0；2) 假设两个三角形全等，那么两三角形的面积相等； 3) 等腰三角形两底角相等；4) 假设x2=y2那么x=y。 〔解答略〕 二、给出推断符号，紧接着给出充分条件、必要条件、充要条件的意义 1．由上例一：由x>0，通过推理可得出x2>0 记作：x>0 ?x2>0 表示x>0是x2>0的充分条件 即：只要x>0成立x2>0就一定成立x>0包蕴着x2>0； 同样表示：x2>0是x>0的必要条件。 一样：假设p那么q, 记作p?q其中p是q的充分条件, q是p的必要条件 明显：x2>0 ?x>0 我们讲x2>0不是x>0的充分条件 x>0也不是x2>0的必要条件 由上例二：两个三角形全等?两个三角形面积相等 明显, 逆命题两个三角形面积相等?两个三角形全等 ∴我们讲：两个三角形全等是两个三角形面积相等的充分不必要条件 两个三角形面积相等是两个三角形全等的必要不充分条件由上例三：三角形为等腰三角形?三角形两底角相等 我们讲三角形为等腰三角形是三角形两底角相等的充分且必要条件，这种既充分又必要条件，称为充要条件。 由上例四：明显x2=y2?x=y x2=y2是x=y的必要不充分条件；x=y是x2=y2的充分不必要条件。 三、小结：要判定两个命题之间的关系，关键是用什么样的推断符号把两个 命题联结起来。 四、例一：〔课本P34例一〕 例二：〔课本P35-36 例二〕 练习P35 、P36 五、作业：P36-37 习题1.8
高中数学-推出与充分条件、必要条件课后训练 1．若命题甲是命题乙的充分不必要条件，命题丙是命题乙的必要不充分条件，命题丁是命题丙的充要条件，则命题丁是命题甲的( ) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 2．命题“x∈[1,2]，x2－a≤0”为真命题的一个充分不必要条件是( ) A．a≥4 B．a≤4 C．a≥5 D．a≤5 3．直线l1，l2的斜率分别为k1，k2，则“k1＝k2”是“l1∥l2”的( ) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 4．“两三角形全等”是“两三角形对应角相等”的( )条件． A．充分不必要 B．既不充分也不必要 C．必要不充分 D．充要 5．已知α，β表示两个不同的平面，m为平面α内一条直线，则“α⊥β”是“m⊥β”的( )条件． A．充分不必要 B．必要不充分 C．充要 D．既不充分也不必要 6．设{a n}是首项大于零的等比数列，则“a1＜a2”是“数列{a n}是递增数列”的( ) A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 7．已知集合A为数集，则“A∩{0，1}＝{0}”是“A＝{0}”的__________条件． 8．设a，b，c为实数，“a＞0，c＜0”是“函数f(x)＝ax2＋bx＋c有两个零点”的__________条件． 9．已知p：A＝{x|x2＋4x＋3＞0}，q：B＝{x||x|＜a}，若p是q的必要不充分条件，求a的取值范围． 10．已知m∈Z，关于x的一元二次方程 x2－2x＋m＝0，(1) x2＋2mx＋m2－m－1＝0，(2) 求方程(1)、(2)的根都是整数的充要条件．
高中数学充分条件、必要条件判断的三种方法 对于充要条件的判断，许多同学感觉困难，下面结合典型例题说明充要条件判断的三种常用方法，供大家参考。 1. 利用定义判断 如果已知p q ?，则p 是q 的充分条件，q 是p 的必要条件。根据定义可进行判断。 例1. 已知p 、q 都是r 的必要条件，s 是r 的充分条件，q 是s 的充分条件，那么s 是q 的_________条件；r 是q 的_______________条件；p 是q 的____________条件。 解：根据题意可表示为：r p r q s r q s ????，，， 由传递性可得图1 图1 所以s 是q 的充要条件；r 是q 的充要条件；p 是q 的必要条件。 2. 利用等价命题判断 原命题与其逆否命题是“同真同假”的等价命题，当我们直接判断原命题的真假有困难时，可以转化为判断其逆否命题的真假。这一点在充要条件的判断时经常用到。 由p q ?，容易理解p 是q 的充分条件，而q 是p 的必要条件却有点抽象。p q ?与???q p 是等价的，可以解释为若q 不成立，则p 不成立，条件q 是必要的。 例2. 已知真命题“若a b ≥则c d ≤”和“若a b <则e f ≤”，则“c d ≤”是“e f ≤”的____________条件。 解：“若a b ≥则c d >”的逆否命题为“若c d ≤则a b <”。 又“若a b e f <≤则” 所以“若c d e f ≤≤则”为真命题。 故“c d ≤”是“e f ≤”的充分条件。 3. 把充要条件“直观化” 如果p q ?，我们可以形象地认为p 是q 的“子集”；如果q p ?，我们认为p 不是q 的“子集”，根据集合的包含关系，可借助韦恩图说明，现归纳如下。 图2反映了p 是q 的充分不必要条件时的情形。图3反映了p 是q 的必要不充分条件时的情形。图4反映了p 是q 的充要条件时的情形。图5、图6反映了p 是q 的既不充分也不必要条件时的情形。 例3. 若p x x q x x ：或，：==-=-1213，则p 是q 的什么条件？ 解：由题设可知q x ：=2 参照图3，可得p 是q 的必要不充分条件。
第一章 集合与简易逻辑——第6课时：充要条件 高考数学 充要条件 专题教案 一．课题：充要条件 二．教学目标：掌握充分必要条件的意义，能够判定给定的两个命题的充要关系． 三．教学重点：充要条件关系的判定． 四．教学过程： （一）主要知识： 1．充要条件的概念及关系的判定； 2．充要条件关系的证明． （二）主要方法： 1．判断充要关系的关键是分清条件和结论； 2．判断p q ?是否正确的本质是判断命题“若p ，则q ”的真假； 3．判断充要条件关系的三种方法： ①定义法；②利用原命题和逆否命题的等价性；③用数形结合法（或图解法）． 4．说明不充分或不必要时，常构造反例． （三）例题分析： 例1．指出下列各组命题中，p 是q 的什么条件（在“充分不必要”、“必要不充分”、“充要”、“既不充分也不必要”中选一种作答） （1）在ABC ?中，:p A B >，:sin sin q A B > （2）对于实数,x y ，:8p x y +≠，:2q x ≠或6y ≠ （3）在ABC ?中，:sin sin p A B >，:tan tan q A B > （4）已知,x y R ∈，22 :(1)(2)0p x y -+-=，:(1)(2)0q x y --= 解：（1）在ABC ?中，有正弦定理知道： sin sin a b A B = ∴sin sin A B a b >?> 又由a b A B >?> 所以，sin sin A B A B >?> 即p 是q 的的充要条件． （2）因为命题“若2x =且6y =，则8x y +=”是真命题，故p q ?， 命题“若8x y +=，则2x =且6y =”是假命题，故q 不能推出p ， 所以p 是q 的充分不必要条件． （3）取120,30A B ==o o ，p 不能推导出q ；取30,120A B ==o o ，q 不能推导出p 所以，p 是q 的既不充分也不必要条件． （4）因为{(1,2)}P =，{(,)|1Q x y x ==或2}y =，P Q ≠ ?， 所以，p 是q 的充分非必要条件． 例2．设,x y R ∈，则22 2x y +< 是||||x y +≤ ）、是||||2x y +<的（ ） A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 解：由图形可以知道选择B ，D ．（图略） 例3．若命题甲是命题乙的充分非必要条件，命题丙是命题乙的必要非充分条件，命题丁是命题丙的充要条件，则命题丁是命题甲的（ ） A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 解：因为甲是乙的充分非必要条件，故甲能推出乙，乙不能推出甲， 因为丙是乙的必要非充分条件，故乙能推出丙，丙不能推出乙， 因为丁是丙的充要条件，故丁能推出丙，丙也能推出丁，
高中数学知识要点：充分条件和必要条件 高中数学知识要点：充分条件和必要条件 一、充分条件和必要条件 当命题“若 A 则B”为真时，A 称为 B 的充分条件，B 称为 A 的必要条件。 二、充分条件、必要条件的常用判断法 1.定义法：判断B是A的条件，实际上就是判断B=>A 或者A=>B是否成立，只要把题目中所给的条件按逻辑关系画出箭头示意图，再利用定义判断即可 2.转换法：当所给命题的充要条件不易判断时，可对命题进行等价装换，例如改用其逆否命题进行判断。 3.集合法 在命题的条件和结论间的关系判断有困难时，可从集合的角度考虑，记条件p、q对应的集合分别为A、B，则：若A⊆ B，则p是q的充分条件。 若A⊇B，则p是q的必要条件。 若A=B，则p是q的充要条件。 若A ?B，且B?A，则p是q的既不充分也不必要条件。 三、知识扩展 1.四种命题反映出命题之间的内在联系，要注意结合实际问题，理解其关系(尤其是两种等价关系)的产生过程，关于逆命题、否命题与逆否命题，也可以叙述为：
(1)交换命题的条件和结论，所得的新命题就是原来命题的逆命题; (2)同时否定命题的条件和结论，所得的新命题就是原来的否命题; (3)交换命题的条件和结论，并且同时否定，所得的新命题就是原命题的逆否命题。 2.由于“充分条件与必要条件”是四种命题的关系的深化，他们之间存在这密切的联系，故在判断命题的条件的充要性时，可考虑“正难则反”的原则，即在正面判断较难时，可转化为应用该命题的逆否命题进行判断。一个结论成立的充分条件可以不止一个，必要条件也可以不止一个。
充分条件与必要条件例题解析 能力素质 例1 已知p：x1，x2是方程x2＋5x－6＝0的两根，q：x1＋x2＝－5，则p是q 的 [ ] A．充分但不必要条件B．必要但不充分条件 C．充要条件D．既不充分也不必要条件 分析利用韦达定理转换． 解∵x1，x2是方程x2＋5x－6＝0的两根， ∴x1，x2的值分别为1，－6， ∴x1＋x2＝1－6＝－5． 因此选A． 说明：判断命题为假命题可以通过举反例． 例2 p是q的充要条件的是 [ ] A．p：3x＋2＞5，q：－2x－3＞－5 B．p：a＞2，b＜2，q：a＞b C．p：四边形的两条对角线互相垂直平分，q：四边形是正方形 D．p：a≠0，q：关于x的方程ax＝1有惟一解 分析逐个验证命题是否等价． 解对A．p：x＞1，q：x＜1，所以，p是q的既不充分也不必要条件； 对B．p q但q p，p是q的充分非必要条件； 对C．p q且q p，p是q的必要非充分条件； ??? 对．且，即，是的充要条件．选． D p q q p p q p q D 说明：当a＝0时，ax＝0有无数个解． 例3 若A是B成立的充分条件，D是C成立的必要条件，C是B成立的充要条件，则D是A成立的 [ ] A．充分条件B．必要条件 C．充要条件D．既不充分也不必要条件 分析通过B、C作为桥梁联系A、D． 解∵A是B的充分条件，∴A B① ∵D是C成立的必要条件，∴C D② ? ∵是成立的充要条件，∴③ C B C B
由①③得A C ④ 由②④得A D ． ∴D 是A 成立的必要条件．选B ． 说明：要注意利用推出符号的传递性． 例4 设命题甲为：0＜x ＜5，命题乙为|x －2|＜3，那么甲是乙的 [ ] A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件 分析 先解不等式再判定． 解 解不等式|x －2|＜3得－1＜x ＜5． ∵0＜x ＜5－1＜x ＜5，但－1＜x ＜50＜x ＜5 ∴甲是乙的充分不必要条件，选A ． 说明：一般情况下，如果条件甲为x ∈A ，条件乙为x ∈B ． 当且仅当时，甲为乙的充分条件； 当且仅当时，甲为乙的必要条件； A B A B ?? 当且仅当A ＝B 时，甲为乙的充要条件． 例5 设A 、B 、C 三个集合，为使A (B ∪C)，条件A B 是 [ ] A ．充分条件 B ．必要条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件 分析 可以结合图形分析．请同学们自己画图． ∴A (B ∪C)． 但是，当B ＝N ，C ＝R ，A ＝Z 时， 显然A (B ∪C)，但A B 不成立， 综上所述：“A B ” “A (B ∪C)”，而 “A (B ∪C)”“A B ”． 即“A B ”是“A (B ∪C)”的充分条件(不必要)．选A ． 说明：画图分析时要画一般形式的图，特殊形式的图会掩盖真实情况． 例6 给出下列各组条件： (1)p ：ab ＝0，q ：a 2＋b 2＝0； (2)p ：xy ≥0，q ：|x|＋|y|＝|x ＋y|； (3)p ：m ＞0，q ：方程x 2－x －m ＝0有实根； (4)p ：|x －1|＞2，q ：x ＜－1．
盐城市文峰中学美术生高中数学复习教学案 §1集合与充要条件 【考点及要求】： 1.了解集合含义，体会“属于”和“包含于”的关系，全集与空集的含义； 2.了解并掌握集合之间交，并，补的含义与求法； 3.理解充分条件、必要条件与充要条件的意义，会判断充分条件、必要条件与充要条件. 【基础知识】： 1.集合中元素与集合之间的关系：文字描述为 和 符号表示为 和 2.常见集合的符号表示：自然数集 正整数集 整数集 有理数集 实数集 复数集 3.集合的表示方法1 2 3 4.集合间的基本关系：1)相等关系：_________A B B A ???且 2)子集：A 是B 的子集，符号表示为______或B A ? 3) 真子集：A 是B 的真子集，符号表示为_____或____ 5.不含任何元素的集合叫做 ，记作 ，并规定空集是任何集合的子集，是任何非空集合的 6.若已知全集U ，集合A U ?，则U C A = . 7.________A A ?=，_________A ??=，__________A A ?=， _________A ??=，_________U A C A ?=，_________U A C A ?=， 8.若A B ?，则____,___A B A B ?=?= 9.若q p ?,则p 是q 的 条件, q 是p 的 条件. 10.若q p ?,且p q ?,则p 是q 的 条件. 【基本训练】： 1.{}a a a ,202-∈，则a 的值等于_________. 2.若全集{}4,3,2,1,0=U ,且{}3,2=A C U ,则A 的真子集有 个. 3.集合{}{}02,12<-=>=x x x B x x A ，则______=?B A . 4.1>x 是x x >2的_____________ 条件. 【典型例题讲练】 例1.已知集合{}{} 03)32(,082222≤-+--=≤--=m m x m x x B x x x A （1） 若[]4,2=?B A ，求实数m 的值；
例1 已知p：x1，x2是方程x2＋5x－6＝0的两根，q：x1＋x2＝－5，则p是q的 [ ] A．充分但不必要条件B．必要但不充分条件 C．充要条件D．既不充分也不必要条件 分析利用韦达定理转换． 解∵x1，x2是方程x2＋5x－6＝0的两根， ∴x1，x2的值分别为1，－6， ） ∴x1＋x2＝1－6＝－5． 因此选A． 说明：判断命题为假命题可以通过举反例． 例2 p是q的充要条件的是 [ ] A．p：3x＋2＞5，q：－2x－3＞－5 B．p：a＞2，b＜2，q：a＞b { C．p：四边形的两条对角线互相垂直平分，q：四边形是正方形 D．p：a≠0，q：关于x的方程ax＝1有惟一解 分析逐个验证命题是否等价． 解对A．p：x＞1，q：x＜1，所以，p是q的既不充分也不必要条件； 对B．p q但q p，p是q的充分非必要条件； 对C．p q且q p，p是q的必要非充分条件； ??? D p q q p p q p q D 对．且，即，是的充要条件．选． 说明：当a＝0时，ax＝0有无数个解． ! 例3 若A是B成立的充分条件，D是C成立的必要条件，C是B成立的充要条件，则D是A成立的 [ ] A．充分条件B．必要条件 C．充要条件D．既不充分也不必要条件 分析通过B、C作为桥梁联系A、D． 解∵A是B的充分条件，∴A B① ∵D是C成立的必要条件，∴C D② ? ∵是成立的充要条件，∴③ C B C B
由①③得A C ④ 由②④得A D ． ∴D 是A 成立的必要条件．选B ． 说明：要注意利用推出符号的传递性． 例4 设命题甲为：0＜x ＜5，命题乙为|x －2|＜3，那么甲是乙的 [ ] A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件 》 分析 先解不等式再判定． 解 解不等式|x －2|＜3得－1＜x ＜5． ∵0＜x ＜5－1＜x ＜5，但－1＜x ＜50＜x ＜5 ∴甲是乙的充分不必要条件，选A ． 说明：一般情况下，如果条件甲为x ∈A ，条件乙为x ∈B ． 当且仅当时，甲为乙的充分条件；当且仅当时，甲为乙的必要条件； A B A B ?? 当且仅当A ＝B 时，甲为乙的充要条件． 例5 设A 、B 、C 三个集合，为使A (B ∪C)，条件A B 是 ] [ ] A ．充分条件 B ．必要条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件 分析 可以结合图形分析．请同学们自己画图． ∴A (B ∪C)． 但是，当B ＝N ，C ＝R ，A ＝Z 时， 显然A (B ∪C)，但A B 不成立， … 综上所述：“A B ”“A (B ∪C)”，而 “A (B ∪C)” “A B ”． 即“A B ”是“A (B ∪C)”的充分条件(不必要)．选A ． 说明：画图分析时要画一般形式的图，特殊形式的图会掩盖真实情况． 例6 给出下列各组条件： (1)p ：ab ＝0，q ：a 2＋b 2＝0； (2)p ：xy ≥0，q ：|x|＋|y|＝|x ＋y|； (3)p ：m ＞0，q ：方程x 2－x －m ＝0有实根；
充分条件与必要条件 例1 已知p：x1，x2是方程x2＋5x－6＝0的两根，q：x1＋x2＝－5， 则p是q的 [ ] A．充分但不必要条件B．必要但不充分条件 C．充要条件D．既不充分也不必要条件 分析利用韦达定理转换． 解∵x1，x2是方程x2＋5x－6＝0的两根， ∴x1，x2的值分别为1，－6， ∴x1＋x2＝1－6＝－5． 因此选A． 说明：判断命题为假命题可以通过举反例． 例2 p是q的充要条件的是 [ ] A．p：3x＋2＞5，q：－2x－3＞－5 B．p：a＞2，b＜2，q：a＞b C．p：四边形的两条对角线互相垂直平分，q：四边形是正方形 D．p：a≠0，q：关于x的方程ax＝1有惟一解 分析逐个验证命题是否等价． 解对A．p：x＞1，q：x＜1，所以，p是q的既不充分也不必要条件； 对B．p q但q p，p是q的充分非必要条件； 对C．p q且q p，p是q的必要非充分条件； D p q q p p q p q D ??? 对．且，即，是的充要条件．选． 说明：当a＝0时，ax＝0有无数个解． 例3 若A是B成立的充分条件，D是C成立的必要条件，C是B成立的充要条件，则D是A成立的 [ ] A．充分条件B．必要条件 C．充要条件D．既不充分也不必要条件 分析通过B、C作为桥梁联系A、D． 解∵A是B的充分条件，∴A B①
∵D 是C 成立的必要条件，∴C D ② ∵是成立的充要条件，∴③C B C B ? 由①③得A C ④ 由②④得A D ． ∴D 是A 成立的必要条件．选B ． 说明：要注意利用推出符号的传递性． 例4 设命题甲为：0＜x ＜5，命题乙为|x －2|＜3，那么甲是乙的 [ ] A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件 分析 先解不等式再判定． 解 解不等式|x －2|＜3得－1＜x ＜5． ∵0＜x ＜5－1＜x ＜5，但－1＜x ＜50＜x ＜5 ∴甲是乙的充分不必要条件，选A ． 说明：一般情况下，如果条件甲为x ∈A ，条件乙为x ∈B ． 当且仅当时，甲为乙的充分条件； 当且仅当时，甲为乙的必要条件；A B A B ?? 当且仅当A ＝B 时，甲为乙的充要条件． 例5 设A 、B 、C 三个集合，为使A (B ∪C)，条件A B 是 [ ] A ．充分条件 B ．必要条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件 分析 可以结合图形分析．请同学们自己画图． ∴A (B ∪C)． 但是，当B ＝N ，C ＝R ，A ＝Z 时， 显然A (B ∪C)，但A B 不成立， 综上所述：“A B ”“A (B ∪C)”，而 “A (B ∪C)”“A B ”． 即“A B ”是“A (B ∪C)”的充分条件(不必要)．选A ． 说明：画图分析时要画一般形式的图，特殊形式的图会掩盖真实情况． 例6 给出下列各组条件： (1)p ：ab ＝0，q ：a 2＋b 2＝0；
充分条件与必要条件 2. 第一章 集合与简易逻辑的复习 二. 本周重、难点： 1. 关于充要条件的判断 2. 本章综合知识的应用 【典型例题】 [例1] 判断下列各组命题中p 是q 的什么条件？ （1）p ：0=ab ，q ：02 2=+b a （2）p ：0>xy ，q ：y x y x +=+ （3）p ：0>m ，q ：方程02 =--m x x 有实根 （4）p ：012>++ax ax 的解集为R ，q ：40<--x x ，q ：0122 2>-+-a x x ，若p 是q 的充分而不必要条件。求正实数a 的取值范围。 解： p ：10>x 或2- （3）r 与S ，r 与q ，S 与q 三对分别互为充要条件 [例4] 当且仅当m 取何整数值时，关于x 的方程。 0442=+-x mx ① 0544422=--+-m m mx x ②的根都是整数 解： 方程①有实根的充要条件是：01616≥-=?m 解得1≤m 方程②有实根的充要条件是：0)544(4162 2 ≥---=?m m m 解得45- ≥m ∴ 145 ≤≤- m 由m 为整数知：1-=m ，0，1 当1-=m 时，方程①为0442 =-+x x 它没有整数根 当0=m 时，方程②为052 =-x 它也没有整数根 当1=m 时，方程①、②的根都是整数 [例5] 设a 、b 、c 为ABC ?的三边，求证：方程0222=++b ax x 与022 2=-+b cx x 有 公共根的充要条件是?=∠90A 证明： （1）充分性 ∵ ?=∠90A ∴ 2 22c b a += ∴ 0222=++b ax x 可化为：022 22=-++c a ax x 0)]()][([=-+++c a x c a x ∴ c a x --=1，c a x +-=2 同理：0222=-+b cx x 可化为：022 22=-++a c cx x 0)]()][([=++-+a c x a c x ∴ c a x --=3，a c x +-=4 ∴ 两方程有公共根c a -- （2）必要性 设两方程有公共根α 则?????=-+=++02022222b c b a αααα ∴ 0)(22=++ααc a 又 ∵ 0≠α 若0=α代入任一方程得02 =b 即0=b 这与已知b 是三角形的边长0≠b 相矛盾 ∴ c a --=α 把c a --=α代入上面方程组与任何一个式子，均可得2 22c b a += ∴ ?=∠90A [例6] 设1a 、1b 、1c 、2a 、2b 、2c 均为非零实数，不等式0112 1>++c x b x a 和+2 2x a 022>+c x b 的解集分别为M 和N ，那么“21 2121c c b b a a = =”是“M=N ”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分与不必要条件 解：对于022>--x x 和022 >++-x x 有22111 1-=-=-，但其解集分别为}21|{<<-x x 和1|{- 充分条件与必要条件·典型例题 能力素质 例1 已知p：x1，x2是方程x2＋5x－6＝0的两根，q：x1＋x2＝－5，则p是 q的 [ ] A．充分但不必要条件B．必要但不充分条件 C．充要条件D．既不充分也不必要条件 分析利用韦达定理转换． 解∵x1，x2是方程x2＋5x－6＝0的两根， ∴x1，x2的值分别为1，－6， ∴x1＋x2＝1－6＝－5． 因此选A． 说明：判断命题为假命题可以通过举反例． 例2 p是q的充要条件的是 [ ] A．p：3x＋2＞5，q：－2x－3＞－5 B．p：a＞2，b＜2，q：a＞b C．p：四边形的两条对角线互相垂直平分，q：四边形是正方形 D．p：a≠0，q：关于x的方程ax＝1有惟一解 分析逐个验证命题是否等价． 解对A．p：x＞1，q：x＜1，所以，p是q的既不充分也不必要条件； 对B．p q但q p，p是q的充分非必要条件； 对C．p q且q p，p是q的必要非充分条件； ??? 对．且，即，是的充要条件．选． D p q q p p q p q D 说明：当a＝0时，ax＝0有无数个解． 例3 若A是B成立的充分条件，D是C成立的必要条件，C是B成立的充要条件，则D是A成立的 [ ] A．充分条件B．必要条件 C．充要条件D．既不充分也不必要条件 分析通过B、C作为桥梁联系A、D． 解∵A是B的充分条件，∴A B① ∵D是C成立的必要条件，∴C D② ? ∵是成立的充要条件，∴③ C B C B 由①③得A C ④ 由②④得A D ． ∴D 是A 成立的必要条件．选B ． 说明：要注意利用推出符号的传递性． 例4 设命题甲为：0＜x ＜5，命题乙为|x －2|＜3，那么甲是乙的 [ ] A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件 分析 先解不等式再判定． 解 解不等式|x －2|＜3得－1＜x ＜5． ∵0＜x ＜5－1＜x ＜5，但－1＜x ＜50＜x ＜5 ∴甲是乙的充分不必要条件，选A ． 说明：一般情况下，如果条件甲为x ∈A ，条件乙为x ∈B ． 当且仅当时，甲为乙的充分条件；当且仅当时，甲为乙的必要条件； A B A B ?? 当且仅当A ＝B 时，甲为乙的充要条件． 例5 设A 、B 、C 三个集合，为使A (B ∪C)，条件A B 是 [ ] A ．充分条件 B ．必要条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件 分析 可以结合图形分析．请同学们自己画图． ∴A (B ∪C)． 但是，当B ＝N ，C ＝R ，A ＝Z 时， 显然A (B ∪C)，但A B 不成立， 综上所述：“A B ”“A (B ∪C)”，而 “A (B ∪C)” “A B ”． 即“A B ”是“A (B ∪C)”的充分条件(不必要)．选A ． 说明：画图分析时要画一般形式的图，特殊形式的图会掩盖真实情况． 例6 给出下列各组条件： (1)p ：ab ＝0，q ：a 2＋b 2＝0； (2)p ：xy ≥0，q ：|x|＋|y|＝|x ＋y|； (3)p ：m ＞0，q ：方程x 2－x －m ＝0有实根； (4)p ：|x －1|＞2，q ：x ＜－1． 其中p 是q 的充要条件的有 [ ] 教学目标 （1）正确理解充分条件、必要条件和充要条件的概念； （2）能正确判断是充分条件、必要条件还是充要条件； （3）培养学生的逻辑思维能力及归纳总结能力； （4）在充要条件的教学中，培养等价转化思想． 教学建议 （一）教材分析 1．知识结构 首先给出推断符号“”，并引出充分条件与必要条件的意义，在此基础上讲述了充要条件的初步知识． 2．重点难点分析 本节的重点与难点是关于充要条件的判断． （1）充分但不必要条件、必要但不充分条件、充要条件、既不充分也不必要条件是重要的数学概念，主要用来区分命题的条件和结论之间的因果关系． （2）在判断条件和结论之间的因果关系中应该： ①首先分清条件是什么，结论是什么； ②然后尝试用条件推结论，再尝试用结论推条件．推理方法可以是直接证法、间接证法（即反证法），也可以举反例说明其不成立； ③最后再指出条件是结论的什么条件． （3）在讨论条件和条件的关系时，要注意： ①若，但，则是的充分但不必要条件； ②若，但，则是的必要但不充分条件； ③若，且，则是的充要条件； ④若，且，则是的充要条件； ⑤若，且，则是的既不充分也不必要条件． （4）若条件以集合的形式出现，结论以集合的形式出现，则借助集合知识，有助于充要条件的理解和判断． ①若，则是的充分条件； 显然，要使元素，只需就够了．类似地还有： ②若，则是的必要条件； ③若，则是的充要条件； ④若，且，则是的既不必要也不充分条件． （5）要证明命题的条件是充要条件，就既要证明原命题成立，又要证明它的逆命题成立．证明原命题即证明条件的充分性，证明逆命题即证明条件的必要性．由于原命题逆否命题，逆命题否命题，当我们证明某一命题有困难时，可以证明该命题的逆否命题成立，从而得出原命题成立． （二）教法建议 1．学习充分条件、必要条件和充要条件知识，要注意与前面有关逻辑初步知识内容相联系．充要条件中的，与四种命题中的，要求是一样的．它们可以是简单命题，也可以是不能判断真假的语句，也可以是含有逻辑联结词或“若则”形式的复合命题． 2．由于这节课概念性、理论性较强，一般的教学使学生感到枯燥乏味，为此，激发学生的学习兴趣是关键．教学中始终要注意以学生为主，让学生在自我思考、相互交流中去结概念“下定义”，去体会概念的本质属性． 3．由于“充要条件”与命题的真假、命题的条件与结论的相互关系紧密相关，为此，教学时可以从判断命题的真假入手，来分析命题的条件对于结论来说，是否充分，从而引入“充分条件”的概念，进而引入“必要条件”的概念． 4．教材中对“充分条件”、“必要条件”的定义没有作过多的解释说明，为了让学生能理解定义的合理性，在教学过程中，教师可以从一些熟悉的命题的条件与结论之间的关系来认识“充分条件”的概念，从互为逆否命题的等价性来引出“必要条件”的概念． 充分条件与必要条件 已知平面α，直线m ，n 满足m ?α，n ?α，则“m ∥n ”是“m ∥α”的 A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件 【参考答案】A 【试题解析】因为,,m n m n αα??∥，所以根据线面平行的判定定理得m α∥. 由m α∥不能得出m 与α内任一直线平行，所以“m n ∥”是“m α∥”的充分不必要条件，故选A ． 【解题必备】判断充分条件和必要条件的方法： （1）命题判断法：设“若p ，则q ”为原命题，那么 ①原命题为真，逆命题为假时，p 是q 的充分不必要条件； ②原命题为假，逆命题为真时，p 是q 的必要不充分条件； ③原命题与逆命题都为真时，p 是q 的充要条件； ④原命题与逆命题都为假时，p 是q 的既不充分也不必要条件． （2）集合判断法：从集合的观点看，建立命题p ，q 相应的集合，即p ：A ＝{x |p (x )成立}，q ：B ＝{x |q (x )成立}，那么 ①若A ?B ，则p 是q 的充分条件；若A ≠ ?B 时，则p 是q 的充分不必要条件； ②若B ?A ，则p 是q 的必要条件；若B ≠ ?A 时，则p 是q 的必要不充分条件； ③若A ?B 且B ?A ，即A ＝B 时，则p 是q 的充要条件． （3）等价转化法：利用p ?q 与非q ?非p ，q ?p 与非p ?非q ，p ?q 与非q ?非p 的等价关系，对于条件或结论是否定式的命题，一般运用等价法． 1．“lg lg x y >”是“1010x y >”的 A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件 高中数学：充分条件、必要条件判断的三种方法 对于充要条件的判断，许多同学感觉困难，下面结合典型例题说明充要条件判断的三种常用方法，供大家参考。 1. 利用定义判断 如果已知，则p是q的充分条件，q是p的必要条件。根据定义可进行判断。 例1. 已知p、q都是r的必要条件，s是r的充分条件，q是s的充分条件，那么s是q的_________条件；r是q的_______________条件；p是q的____________条件。 解：根据题意可表示为： 由传递性可得图1 图1 所以s是q的充要条件；r是q的充要条件；p是q的必要条件。 2. 利用等价命题判断 原命题与其逆否命题是“同真同假”的等价命题，当我们直接判断原命题的真假有困难时，可以转化为判断其逆否命题的真假。这一点在充要条件的判断时经常用到。 由，容易理解p是q的充分条件，而q是p的必要条件却有点抽象。与是等价的，可以解释为若q不成立，则p不成立，条件q是必要的。 例2. 已知真命题“若则”和“若则”，则“”是“”的____________条件。 解：“若则”的逆否命题为“若则”。 又“若” 所以“若”为真命题。 故“”是“”的充分条件。 3. 把充要条件“直观化” 如果，我们可以形象地认为p是q的“子集”；如果，我们认为p不是q的“子集”，根据集合的包含关系，可借助韦恩图说明，现归纳如下。 图2反映了p是q的充分不必要条件时的情形。图3反映了p是q的必要不充分条件时的情形。图4反映了p 是q的充要条件时的情形。图5、图6反映了p是q的既不充分也不必要条件时的情形。 例3. 若，则p是q的什么条件？ 解：由题设可知 参照图3，可得p是q的必要不充分条件。 ▍ ▍ ▍ ▍高一数学充分条件与必要条件测试题
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