函数的概念及图象2
一、选择题（题型注释）
1．如图反映的过程是：矩形ABCD中，动点P从点A出发，依次沿对角线AC、边CD、边DA运动至点A停止，设点P的运动路程为x，
ABP
S y
△
．则矩形ABCD的周长是
(P)
D
A B
C
6
12
9
5
O
y
x
A．6 B．12 C．14 D．15
【答案】C
【解析】
试题分析：结合图象可知，当P点在AC上，△ABP的面积y逐渐增大，当点P在CD上，△ABP的面积不变，由此可得AC=5，CD=4，则由勾股定理可知AD=3，所以矩形ABCD的周长为：2×（3+4）=14．
考点：动点问题的函数图象；矩形的性质.
点评：本题考查的是动点问题的函数图象，解答本题的关键是根据矩形中三角形ABP的面积和函数图象，求出AC 和CD的长．
2．小芳步行上学，最初以某一速度匀速前进，中途遇红灯，稍作停留后加快速度跑步去上学，到校后，她请同学们画出她行进路程s（米）与行进时间t（分钟）的函数图象的示意图
.你认为正确的是（）
【答案】C
【解析】
试题分析：运用排除法解答本题，中间的停留路程不变，可排除BD两项，最后的加速图象应为比最初的路程增加直线增速更快的图象，C对
3．如图，已知A1、A2、A3、…、A n、A n+1是x轴上的点，且OA1=A1A2=A2A3=…=A n A n+1=1，分别过点A1、A2、A3、…、A n、A n+1作x轴的垂线交直线y=2x于点B1、B2、B3、…、B n、B n+1，连接A1B2、B1A2、B2A3、…、A n B n+1、B n A n+1，依次相交于点P1、P2、P3、…、P n．△A1B1P1、△A2B2P2、△A n B n P n的面积依次记为S1、S2、S3、…、S n，则S n为（）
A ．121
n n ++ B ．31n
n - C ．221n n - D ．221n n +
【答案】D ．
【解析】
试题分析：∵A 1、A 2、A 3、…、A n 、A n+1是x 轴上的点，且OA 1=A 1A 2=A 2A 3=…=A n A n+1=1， ∴A 1（1，0）， A 2（2，0）， A 3（3，0）， …
A n （n ，0）， A n+1（n+1，0），
∵分别过点A 1、A 2、A 3、…、A n 、A n+1，作x 轴的垂线交直线y=2x 于点B 1、B 2、B 3、…、B n 、B n+1， ∴B 1的横坐标为：1，纵坐标为：2， 则B 1（1，2），
同理可得：B 2的横坐标为：2，纵坐标为：4， 则B 2（2，4）， B 3（2，6）， …
B n （n ，2n ）， B n+1（n+1，2n+2），
根据题意知：P n 是A n B n+1与 B n A n+1的交点， 设：直线A n B n+1的解析式为：y=k 1x+b 1， 直线B n A n+1的解析式为：y=k 2x+b 2， ∵A n （n ，0），A n+1（n+1，0），B n （n ，2n ），B n+1（n+1，2n+2），
∴直线A n B n+1的解析式为：y=（2n+2）x ﹣2n 2
﹣2n ，
直线B n A n+1的解析式为：y=﹣2n x+2n 2
+2n ，
∴P n （22221n n n ++， 24421
n n n ++）
∴△A n B n P n 的A n B n 边上的高为：22221n n n n +-+=21n
n +,
△A n B n P n 的面积S n 为:2
1222121
n n n n n ??=++．
故选D ．
考点：一次函数图象上点的坐标特征． 4．如图，已知直线l ：x y 3
3
=
，过点A （0，1）作y 轴的垂线 交直线l 于点B ，过点B 作直线l 的垂线交y 轴于点A 1；过 点A 1作y 轴的垂线交直线l 于点B 1，过点B 1作直线l 的垂线交y 轴于点A 2；…；按此作法继续下去，则点A 4的坐标为
A.（0，64）
B.（0，128）
C.（0，256）
D.（0，512）
【答案】C.【解析】
试题分析：∵直线l的解析式为；y=
3
3
x，
∴l与x轴的夹角为30°，
∵AB∥x轴，
∴∠ABO=30°，
∵OA=1，
∴OB=2，
∴AB=3，
∵A1B⊥l，
∴∠ABA1=60°，
∴A1O=4，
∴A1（0，4），
同理可得A2（0，16），
…
∴A4纵坐标为44=256，
∴A4（0，256）．
故选C．
考点：一次函数综合题．
5．如图，在矩形ABCD中，O是对角线AC的中点，动点P，Q分别从点C，D出发，沿线段CB，DC方向匀速运动，已知P，Q两点同时出发，并同时到达终点B，C．连接OP，OQ．设运动时间为t，四边形OPCQ的面积为S，那么下列图象能大致刻画S与t之间的关系的是
【答案】A．
【解析】
试题分析：作OE⊥BC于E点，OF⊥CD于F点，如图，
设BC=a ，AB=b ，点P 的速度为x ，点F 的速度为y ， 则CP=xt ，DQ=yt ，所以CQ=b-yt ， ∵O 是对角线AC 的中点，
∴OE 、OF 分别是△ACB 、△ACD 的中位线， ∴OE=
12b ，OF=12
a ， ∵P ，Q 两点同时出发，并同时到达终点， ∴
a b
x y
=，即ay=bx ， ∴S=S △OCQ +S △OCP =
12?12a?（b-yt ）+12?12b?xt=14ab-14ayt+14bxt=14ab （0＜t ＜a x
）， ∴S 与t 的函数图象为常函数，且自变量的范围为0＜t ＜a
x
）．
故选A ．
考点：动点问题的函数图象．
6．函数32
1
+=
x y 的图象与x 、y 轴分别交于点A 、B ，点P )(y x ，为直线AB 上的一动点（0>x ）过P 作PC ⊥y 轴于点C ，若使PBC ?的面积大于AOB ?的面积，则P 的横坐标x 的取值范围是（ ）
A 、30< B 、3>x C 、63< D 、6>x 【答案】D. 【解析】 试题分析：由题意知：PC=x ，OC=1 32 x + ∴BC= 12 x ∵PBC ?的面积大于AOB ?的面积 ∴x ＞6. 故选D. 考点: 一次函数综合题. 7．如图1，在直角梯形ABCD 中，动点P 从点B 出发，沿BC ，CD 运动至点D 停止．设点P 运动的路程为 ，△ABP 的面积为y ，如果y 关于x 的函数图象如图2所示，则△BCD 的面积是（ ） A ．3 B ．4 C ．5 D ．6 【答案】A 【解析】 试题分析：动点P 从直角梯形ABCD 的直角顶点B 出发，沿BC ，CD 的顺序运动，则△ABP 面积y 在BC 段随x 的增大而增大；在CD 段，△ABP 的底边不变，高不变，因而面积y 不变化．由图2可以得到：BC=2，CD=3，△BCD 的面积是 1 2 ×2×3=3． 故选A ． 考点：动点问题的函数图象． 8．如图，正方形ABCD 的边长为4，P 为正方形边上一动点，沿A →D →C →B →A 的路径匀速移动，设P 点经过的路径长为x ，△APD 的面积是y ，则下列图象能大致反映y 与x 的函数关系的是 A ． B ． C ． D ． 【答案】B 。 【解析】当点P 由点A 向点D 运动时，y 的值为0； 当点p 在DC 上运动时，y 随着x 的增大而增大； 当点p 在CB 上运动时，y 不变； 当点P 在BA 上运动时，y 随x 的增大而减小。 故选B 。 二、填空题（题型注释） 9．从﹣1，1，2这三个数字中，随机抽取一个数，记为a ，那么，使关于x 的一次函数y=2x+a 的图象与x 轴、y 轴围成的三角形的面积为 1 4，且使关于x 的不等式组122a x x a +≤-≤???有解的概率为 __ ． 【答案】 1 3 ． 【解析】 试题分析：将-1，1，2分别代入y=2x+a ，求出与x 轴、y 轴围成的三角形的面积，将-1，1，2分别代入122a x x a +≤-≤???， 求出解集，有解者即为所求． 试题解析：当a=-1时，y=2x+a 可化为y=2x-1，与x 轴交点为（1 2 ，0），与y 轴交点为（0，-1）， 三角形面积为 12×12×1=14 ； 当a=1时，y=2x+a 可化为y=2x+1，与x 轴交点为（-1 2 ，0），与y 轴交点为（0，1）， 三角形的面积为 12×12×1=14； 当a=2时，y=2x+2可化为y=2x+2，与x 轴交点为（-1，0），与y 轴交点为（0，2）， 三角形的面积为 1 2 ×2×1=1（舍去）； 当a=-1时，不等式组122a x x a +≤-≤?? ?可化为1221x x ≤--≤-+???，不等式组的解集为3 3 x x ≤-≥???，无解； 当a=1时，不等式组212x a x a +≤-≤?? ?可化为2112x x +≤-≤???，解得1 1x x ≤-≥-??? ，解得x=-1． 使关于x 的一次函数y=2x+a 的图象与x 轴、y 轴围成的三角形的面积为 1 4，且使关于x 的不等式组212x a x a +≤-≤???有解的概率为P= 1 3 ． 考点：1．概率公式；2．解一元一次不等式组；3．一次函数图象上点的坐标特征． 10．含60°角的菱形A 1B 1C 1B 2，A 2B 2 C 2B 3，A 3B 3C 3B 4，…，按如图的方式放置在平面直角坐标系xOy 中，点A 1，A 2，A 3，…，和点B 1，B 2，B 3，B 4，…，分别在直线y=kx 和x 轴上．已知B 1（2，0），B 2（4，0），则点A 1的坐标是 ；点A 3的坐标是 ；点A n 的坐标是 （n 为正整数）． 【答案】（3，），（9，3 ），（3n ， n ）． 【解析】 试题分析：利用菱形的性质得出△A 1B 1B 2是等边三角形，进而得出A 1坐标，进而得出OB 2=A 2B 2=4，即可得出A 3，A n 的坐标． 过点A 1作A 1D ⊥x 轴于点D ， ∵含60°角的菱形A 1B 1C 1B 2，A 2B 2 C 2B 3，A 3B 3C 3B 4，…， ∴∠A 1B 1D=60°，A 1B 1=A 1B 2， ∴△A 1B 1B 2是等边三角形， ∵B 1（2，0），B 2（4，0）， ∴A 1B 1=B 1B 2=2， ∴B 1D=1，A 1D=，∴OD=3， 则A 1（3，）， ∴tan ∠A 1OD= ， ∴∠A 1OD=30°， ∴OB 2=A 2B 2=4， 同理可得出：A 2（6，2），则A 3（9，3）， 则点A n 的坐标是：（3n ，n ）． 故答案为：（3，），（9，3），（3n ，n ）． 考点：1.菱形的性质；2.一次函数图象上点的坐标特征． 11．如图①，在正方形ABCD 中，点P 沿边DA 从点D 开始向点A 以1cm/s 的速度移动；同时，点Q 沿边AB 、BC 从点A 开始向点C 以2cm/s 的速度移动．当点P 移动到点A 时，P 、Q 同时停止移动．设点P 出发xs 时，△PAQ 的面 积为ycm 2 ，y 与x 的函数图象如图②，则线段EF 所在的直线对应的函数关系式为 ． 【答案】y 3x 18=-+． 【解析】 试题分析：∵点P 沿边DA 从点D 开始向点A 以1cm/s 的速度移动；点Q 沿边AB 、BC 从点A 开始向点C 以2cm/s 的速度移动，∴当P 点到AD 的中点时，Q 到B 点，此时，△PAQ 的面积最大. 设正方形的边长为acm ， ∵从图②可以看出当Q 点到B 点时的面积为9， ∴ 11 a a 922 ??=，解得a 6=，即正方形的边长为6. 当Q 点在BC 上时，AP=6﹣x ，△APQ 的高为AB ， ∴()1 y 6x 63x 182 = ?-?=-+． ∴线段EF 所在的直线对应的函数关系式为y 3x 18=-+． 考点：1.双动点问题的函数图象；2.正方形的性质；3.由实际问题列函数关系式；4.分类思想和数形结合思想的应用． 12．如图，直线l 1⊥x 轴于点（1，0），直线l 2⊥x 轴于点（2，0），直线l 3⊥x 轴于点（3，0），…直线l n ⊥x 轴于点（n ，0）．函数y=x 的图象与直线l 1，l 2，l 3…l n 分别交于点A 1，A 2，A 3，…A n ；函数y=2x 的图象与直线l 1，l 2，l 3…l n 分别交于点B 1，B 2，B 3…B n ，如果△OA 1B 1的面积记作S 1，四边形A 1A 2B 2B 1的面积记作S 2，四边形A 2A 3B 3B 2的面积记作S 3…四边形A n ﹣1A n B n B n ﹣1的面积记作S n ，那么S 2014= _________ ． 【答案】2013.5． 【解析】 试题分析：根据直线解析式求出A n-1B n-1，A n B n的值，再根据直线l n-1与直线l n互相平行并判断出四边形A n-1A n B n B n-1是梯形，然后根据梯形的面积公式求出S n的表达式，然后把n=2014代入表达式进行计算即可得解． 试题解析：根据题意，A n-1B n-1=2（n-1）-（n-1）=2n-2-n+1=n-1， A n B n=2n-n=n， ∵直线l n-1⊥x轴于点（n-1，0），直线l n⊥x轴于点（n，0）， ∴A n-1B n-1∥A n B n，且l n-1与l n间的距离为1， ∴四边形A n-1A n B n B n-1是梯形， S n=1 2 （n-1+n）×1= 1 2 （2n-1）， 当n=2014时，S2014=1 2 （2×2014-1）=2013.5． 考点：一次函数图象上点的坐标特征． 13．如图放置的△OAB1，△B1A1B2，△B2A2B3，…都是边长为2的等边三角形，边AO在y轴上，点B1，B2，B3，…都 在直线y= 3 3 x上，则A2014的坐标是． 【答案】（20143，2016）.【解析】 试题分析：根据题意得出直线AA1的解析式为：y= 3 3 x+2，进而得出A，A1，A2，A3坐标，进而得出坐标变化规律， 进而得出答案． 试题解析：过B1向x轴作垂线B1C，垂足为C， 由题意可得：A （0，2），AO ∥A 1B 1，∠B 1OC=30°， ∴CO=OB 1cos30°=3， ∴B 1的横坐标为：3，则A 1的横坐标为：3， 连接AA 1，可知所有三角形顶点都在直线AA 1上， ∵点B 1，B 2，B 3，…都在直线y= 3 3 x 上，AO=2， ∴直线AA 1的解析式为：y= 3 3 x+2， ∴y= 3 3 ×3+2=3， ∴A 1（3，3）， 同理可得出：A 2的横坐标为：23， ∴y= 3 3 ×23+2=4， ∴A 2（23，4）， ∴A 3（33，5）， … A 2014（20143，2016）． 【考点】1.一次函数图象上点的坐标特征；2.等边三角形的性质． 14．已知直线(1)1 22 n y x n n -+=+ ++（n 为正整数）与坐标轴围成的三角形的面积为S n ，则S 1+S 2+S 3+…+S 2014= ． 【答案】 10074032 【解析】 试题分析：用一次函数图象上点的坐标特点，直线与y 轴交点坐标为（0，2 1 +n ）,与x 轴交点坐标为 （11+n ，0）∵n ＞0∴21+n ,11+n 均大于0，S=21×11+n ×21+n =21（11+n -2 1+n ）然后利用 拆项法求其和即可,本题考查了一次函数图象上点的坐标特征、三角形的面积． 解答此题的难点是将 11+n ×21+n 拆成 11+n - 2 1 +n 的形式.设直线与y 轴相交于点A,与x 轴相交于点B. ∵直线AB 的解析式为：(1)1 22 n y x n n -+= + ++ ∴当x=0时，y= 21+n ，即OA=21+n ,当y=0时，x=11+n ，即OB=1 1 +n ， ∴Sn=21 OA?OB=21 ×11+n × 21+n =21(11+n -2 1+n ) ∴S 1+S 2+S 3+…+S 2014=21(21-31+31-41+41-51+…+20151_20161)=21(21-20161 )=2 1×201611008-=10074032 故答案为:1007 4032 考点：一次函数图象上点的坐标特征;拆项法求和公式11+n ×21+n =11+n -2 1 +n . 15．知实数满足不等式组,且的最小值为,则实数的值 是 ． 【答案】m=6 【解析】画出可行域（如图），直线x-y=0.将z 的值转化为直线z=x －y 在y 轴上的截距， 当直线z=x －y 经过点C （m －3，6－m ）时，z 最小，最小值为：6－m －（m －3）=－3，所以m=6. 16．矩形A 1B 1C 1O ，A 2B 2C 2C 1，A 3B 3C 3C 2，…按如图所示放置．点A 1，A 2，A 3，A 4…和点C 1，C 2，C 3，C 4…，分别在直线y kx b =+ (k ＞0)和x 轴上，若点B 1(1，2)，B 2(3，4)，且满足 233412n 1n 233445n n 1 A A A A A A A A A A A A A A A A -+====L ,则直线y kx b =+的 解析式为 ，点3B 的坐标为 ，点n B 的坐标为_ ． C 4 B4 y=kx+b C 3 C 2 B 3 B 2 C 1 A 4 B 1 A 3A 2A 1y x O 【答案】y 2x 2=+；(7，8)；（n n 21,2- ）. 【解析】 试题分析：∵B 1(1，2)，B 2(3，4)，∴A 1（0，2），A 2（1，4）. ∵A 1，A 2在直线y kx b =+ (k ＞0)上，∴b 2k 2 k b 4b 2==????? +==?? . ∴直线y kx b =+的解析式为y 2x 2=+. ∵A 3的横坐标与B 2的横坐标相同，为3，且A 3在直线y 2x 2=+ 上，∴A 3（3，8）. ∵21A B ∥32A B ，1122A B 1,A B 2== ，∴ 12112322A A A B 1 A A A B 2 ==. ∵ 23122334A A A A A A A A =，∴2334A A 1 A A 2 =. ∴ 2332323443A A A B 1 ,A B 4A A A B 2 === ，∴43A B 8=．∴34C A 16=. ∵A 4在直线y 2x 2=+ 上，∴162x 2x 7=+?=．∴B 3(7，8). 同理，可得B 4(15，16)，B 5(31，32)，… 可见：B n （n=1，2，…）的横坐标为1，3，7，15，31，…，n 21-； B n （n=1，2，…）的纵坐标为2，4，8，16，32，…，n 2. ∴B n （n n 21,2- ）. 考点：1.探索规律题（图形的变化类）；2.一次函数图象上点的坐标特征；3.矩形的性质． 17．已知直线y= (1)1 22 n x n n -++++（n 为正整数）与坐标轴围成的三角形的面积为S n ，则 S 1+S 2+S 3+…+S 2012= ． 【答案】503 2014 【解析】 思路分析：令x=0，y=0分别求出与y轴、x轴的交点，然后利用三角形面积公式列式表示出S n，再利用拆项法整理求解即可． 解：令x=0，则y= 1 2 n+ ， 令y=0，则- 1 2 n n + + x+ 1 2 n+ =0， 解得x= 1 1 n+ ， 所以，S n=111 212 n n ++ g g= 111 () 212 n n - ++ ， 所以，S1+S2+S3+…+S2012=111111111 () 223344520132014 -+-+-++- L =111 () 222014 -= 503 2014 ． 故答案为：503 2014 ． 点评：本题考查的是一次函数图象上点的坐标特点，表示出S n，再利用拆项法写成两个数的差是解题的关键，也是本题的难点． 18．直线y=-2x+m+2和直线y=3x+m-3的交点坐标互为相反数，则m=______。 【答案】-1. 【解析】 试题分析：把两个直线方程联立方程组，求出它们的解，根据互为相反数可求出m的值. 试题解析：由 22 33 y x m y x m =-++ =+- ? ? ? 得：x=1 所以y=-1. 故m=-1. 考点: 一次函数图象交点的坐标. 19．如图，平面直角坐标系中，已知直线y x =上一点P（1，1），C为y轴上一点，连接PC，线段PC绕点P顺时针旋转900至线段PD，过点D作直线AB⊥x轴。垂足为B，直线AB与直线y x =交于点A，且BD=2AD，连接CD，直线CD与直线y x =交于点Q，则点Q的坐标为。 【答案】 99 44 ?? ? ?? ，。 【解析】如图，过点P 作EF∥x轴，交y轴与点E，交AB于点F，则 易证△CEP≌△DFP（ASA），∴EP=DF。 ∵P（1，1），∴BF=DF=1，BD=2。 ∵BD=2AD，∴BA=3。 ∵点A在直线y x =上，∴点A的坐标为（3，3）。 ∴点D的坐标为（3，2）。∴点C的坐标为（0，3）。 设直线CD的解析式为y kx b =+，则 1 3k b2k 3 b3 b3 ? +==- ?? ? ?? = ??= ? 。∴直线CD的解析式为 1 y x3 3 =-+。 联立 9 1x y x34 3 9 y x y 4 ? = ?? =-+ ?? ? ?? ?? == ?? ? 。∴点Q的坐标为 99 44 ?? ? ?? ，。 20．已知点A、B分别在一次函数y=x，y=8x，的图像上，其横坐标分别为a、b(a>0，b>O)．若直线AB为一次函数 y=kx+m，的图像，则当 a b 是整数时，满足条件的整数k的值共有个． 【答案】15或9 【解析】 试题分析：依题意知，点A、B分别在一次函数y=x，y=8x，的图像上，其横坐标分别为a、b，则点A坐标为（a， a）B点坐标为（b，8b）。若直线AB为一次函数y=kx+m，的图像，则把A、B坐标代入一次函数解析式中得ak m a bk m8b += ? ? += ? …① …② ②-①得：k= 8b a7b7 11 a b-a b a1 b - =+=+ -- ， ∵a＞0，b＞0， a b 是整数时，k也为整数 ∴ a17 1 b28 -=或。此时k=15或k=9. 所以满足条件的整数k的值共有两个． 考点：函数解析式 点评：本题难度较大，主要考查待定系数法求函数解析式，解答本题的关键在于对a b 、k 是整数的理解．注意数形结合的应用 21．如图，已知点A 是第一象限内横坐标为23的一个定点，AC ⊥x 轴于点M ，交直线y=－x 于点N ．若点P 是线段ON 上的一个动点，∠APB=30°，BA ⊥PA ，则点P 在线段ON 上运动时，A 点不变，B 点随之运动．求当点P 从点O 运动到点N 时，点B 运动的路径长是 ． 【答案】22。 【解析】首先，需要找出点B 运动的路径（或轨迹），其次，才是求出路径长。由题意可知，OM=23，点N 在直线y=－x 上，AC ⊥x 轴于点M ，则△OMN 为等腰直角三角形，∴ ON=2OM 22326=?=。如图①所示， 设动点P 在O 点（起点）时，点B 的位置为B 0，动点P 在N 点（起点）时，点B 的位置为B n ，连接B 0B n ． ∵AO ⊥AB 0，AN ⊥AB n ，∴∠OAC=∠B 0AB n 。 又∵AB 0=AO?tan30°，AB n =AN?tan30°， ∴AB 0：AO=AB n ：AN=tan30°。 ∴△AB 0B n ∽△AON ，且相似比为tan30°。 ∴B 0B n =ON?tan30°=3 26223 ? =。 现在来证明线段B 0B n 就是点B 运动的路径（或轨迹）： 如图②所示， 当点P 运动至ON 上的任一点时，设其对应的点B 为B i ，连接AP ，AB i ，B 0B i 。 ∵AO ⊥AB 0，AP ⊥AB i ，∴∠OAP=∠B 0AB i 。 又∵AB 0=AO?tan30°，AB i =AP ?tan30°，∴AB 0：AO=AB i ：AP 。 ∴△AB 0B i ∽△AOP ，∴∠AB 0B i =∠AOP 。 又∵△AB 0B n ∽△AON ，∴∠AB 0B n =∠AOP 。 ∴∠AB 0B i =∠AB 0B n 。 ∴点B i 在线段B 0B n 上，即线段B 0B n 就是点B 运动的路径（或轨迹）。 综上所述，点B 运动的路径（或轨迹）是线段B 0B n ，其长度为22。 22．如图，一个装有进水管和出水管的容器，从某时刻开始的4分钟内只进水不出水，在随后的8分钟内既进水又出水，接着关闭进水管直到容器内的水放完．假设每分钟的进水量和出水量是两个常数，容器内的水量y （单位：升）与时间x （单位：分）之间的部分关系．那么，从关闭进水管起 分钟该容器内的水恰好放完． 【答案】8。 【解析】根据函数图象求出进水管的进水量和出水管的出水量，由工程问题的数量关系就可以求出结论： 由函数图象得：进水管每分钟的进水量为：20÷4=5升。 设出水管每分钟的出水量为a 升，由函数图象，得()2085a 30+-=，解得：15a 4 =。 ∴关闭进水管后出水管放完水的时间为：15 3084 ÷ =（分钟） 。 23．钓鱼岛自古就是中国领土，中国政府已对钓鱼岛开展常态化巡逻.某天，为按计划准点到达指定海域，某巡逻艇凌晨1：00出发，匀速行驶一段时间后，因中途出现故障耽搁了一段时间，故障排除后，该艇加快速度仍匀速前进，结果恰好准点到达.如图是该艇行驶的路程y （海里）与所用时间t （小时）的函数图象，则该巡逻艇原计划准点到达的时刻是 . 【答案】7：00。 【解析】根据函数图象和题意可以求出开始的速度为80海里/时，故障排除后的速度是100海里/时，设计划行驶的路程是a 海里，就可以由时间之间的关系建立方程求出路程，再由路程除以速度就可以求出计划到达时间： 由图象及题意，得：故障前的速度为：80÷1=80海里/时，故障后的速度为：（180－80）÷1=100海里/时． 设航行额全程由a 海里，由题意，得 a a 80 280100 -=+ ，解得：a=480。 则原计划行驶的时间为：480÷80=6小时，故计划准点到达的时刻为：7：00。 三、计算题（题型注释） 四、解答题（题型注释） 24．为了鼓励送彩电下乡，国家决定对购买彩电的农户实行政府补贴．规定每购买一台彩电，政府补贴若干元，经调查某商场销售彩电台数y （台）与补贴款额x （元）之间大致满足如图①所示的一次函数关系．随着补贴款额x 的不断增大，销售量也不断增加，但每台彩电的收益Z （元）会相应降低且Z 与x 之间也大致满足如图②所示的一次函数关系。 （1）在政府未出台补贴措施前，该商场销售彩电的总收益额为多少元？ （2）在政府补贴政策实施后，分别求出该商场销售彩电台数y 和每台家电的收益z 与政府补贴款额x 之间的函数关系式； （3）要使该商场销售彩电的总收益w （元）最大，政府应将每台补贴款额x 定为多少并求出总收益w 的最大值。 【答案】（1）160000元 （2）y 800x =+；1 200 5z x =-+；（3）100元时，w 的最大值为162000元. 【解析】 试题分析：（1）根据图示可得未出台政策之前台数为800台，每台的收益为200元；（2）利用待定系数法求出函数解析式；（3）利用二次函数的性质求出最值. 试题解析：（1）销售家电的总收益为800×200=160000（元）； （2）依题意可设， 1y 800 k x =+ , 2200 z k x =+ ∴有 12 4008001200,200200160 k k +=+=解得12 1 1, 5 k k ==- 所以y800 x =+ 1 200 5 z x =-+ ； （3） 2 11 w=yz(800)(200)(x100)162000 55 x x =+-+=--+ ∴政府应将每台补贴款额定为100元，总收益最大值，其最大值为162000元。 考点：一次函数、二次函数的应用. 25．某公司投资700万元购买甲、乙两种产品的生产技术和设备后,进行这两种产品的生产加工.已知生产甲种产品每件还需成本费30元,生产乙种产品每件还需成本费20元.经市场调研发现:甲种产品的销售单价定在35元到70元之间较为合理,设甲种产品的销售单价为x（元）,年销售量为y（万件）.当35≤x≤50时,y与x之间的函数关系式为y=20－0.2x;当50≤x≤70时,y与x之间的函数关系如图所示.乙种产品的销售单价在25元（含）到45元（含）之间,且年销售量稳定在10万件.物价部门规定这两种产品的销售单价之和为90元. （1）当50≤x≤70时,求出甲种产品的年销售量y（万件）与x（元）之间的函数解析式. （2）若该公司第一年的年销售利润（年销售利润=年销售收入－生产成本）为W（万元）,那么怎样定价,可使第一年的年销售利润最大?最大年销售利润是多少? （3）第二年公司可重新对产品进行定价,在（2）的条件下,并要求甲种产品的销售单价x（元）在50≤x≤70范围内,该公司希望到第二年年底,两年的总盈利（总盈利=两年的年销售利润之和－投资成本）不低于85万元.请求出第二年乙种产品的销售单价m（元）的范围. 【答案】（1）y=－0.1x+15（2）415万元（3）30≤m≤40 【解析】 试题分析：（1）设y与x的函数关系式为y=kx+b（k≠0），然后把点（50，10），（70，8）代入求出k、b的值即可得解； （2）先根据两种产品的销售单价之和为90元，根据乙种产品的定价范围列出不等式组求出x的取值范围是45≤x ≤65，然后分45≤＜50，50≤x≤65两种情况，根据销售利润等于两种产品的利润之和列出W与x的函数关系式，再利用二次函数的增减性确定出最大值，从而得解； （3）用第一年的最大利润加上第二年的利润，然后根据总盈利不低于85万元列出不等式，整理后求解即可． 试题解析：（1）设当50≤x≤70时,y与x的函数关系式为y=kx+b.把（50,10）,（70,8）代入得错误!未找到引用源。 1050 870 k b k b =+ ? ? =+ ? 解得 0.1 15 k b =- ? ? = ? 错误!未找到引用源。∴当50≤x≤70时,y与x的函数解析式为y=－0.1x+15. （2）①依题意知:25≤90－x≤45,即45≤x≤65. 当45≤x≤50时,W=（x－30）（20－0.2x）+10（90－x－20）=－0.2x2+16x+100=－0.2（x－40）2+420. 由函数的性质知,当x=45时,W最大值为415. 当50≤x≤65时, W=（x－30）（－0.1x+15）+10（90－x－20）=－0.1x2+8x+250=－0.1（x－40）2+410. 由函数的性质知,当x=50时,W 最大值为400. 综上所述,当x=45时,即甲、乙两种产品的销售单价均定在45元时,可使第一年的年销售利润最大,最大年销售利润是415万元. （3）30≤m≤40. 由题意,令W=－0.1x 2+8x+250+415－700≥8整理,得x 2 －80x+120≤0, 解得20≤x≤60 ∵50≤x≤65,根据函数的性质分析,50≤x≤60 即50≤90－m≤60. 故30≤m≤40. 考点：待定系数法，二次函数的性质，不等式的解集 26．（本题满分8分）机械加工需要用油进行润滑以减小摩擦，某企业加工一台大型机械设备润滑用油量．．．为90千克，用油的重复利用率为60%，按此计算，加工一台大型机械设备的实际耗油量．．．．．为36千克，为了建设节约型社会，减少油耗，该企业的甲、乙两个车间都组织了人员为减少实际耗油量．．．．．进行攻关.（1）甲车间通过技术革新后，加工一台大型机械设备润滑用油量．．．下降到70千克，用油量的重复利用率仍然为60%.问甲车间技术革新后，加工一台大型机械设备的实际耗油量．．．．． 是多少千克？ （2）乙车间通过技术革新后，不仅降低了润滑用油量．．．，同时也提高了用油的重复利用率，并且发现在技术革新前的基础上，润滑用油量．．．每减少1千克，用油的重复利用率将增加1.6%，这样乙车间加工一台大型机械设备的实际耗．．．油量．．下降到12千克，问乙车间技术革新后，加工一台大型机械设备的润滑用油量．．．是多少千克？用油的重复利用率是多少？ 【答案】（1）28千克；（2）75千克，84% 【解析】 试题分析：（1）根据题意，实际耗油量﹦用油量×（1－重复利用率），代入数据计算即可；（2）本小题关键信息为“在技术革新前的基础上，润滑用油量．．．每减少1千克，用油的重复利用率将增加1.6%”，故若用油量设为x 千克，则耗油率为1(90)1.6%60%x --?-，相乘即得实际耗油量，解出x 后即可求得重复利用率. 试题解析：（1）70(160%)28?-=（千克） 答：加工一台大型机械设备的实际耗油量是28千克. （2）设乙车间技术革新后，加工一台大型机械设备的润滑用油量．．． 是x 千克，由题意得 [1(90)1.6%60%]12x x --?-= 化为2657500x x --= 解得12=75=10x x -，（舍） 9075)1.6%60%84%-?+=（ 答:乙车间技术革新后，加工一台大型机械设备的润滑用油量．．． 是75千克，用油的重复利用率是84%. 考点：1.应用题的读题能力；2.一元二次方程的应用. 27．（本题满分10分）（1）在遇到问题：“钟面上，如果把时针与分针看作是同一平面内的两条线段，在2∶00~2∶15之间，时针与分针重合的时刻是多少？”时，小明尝试运用建立函数关系．．．．．． 的方法： ①恰当选取变量x 和y ．小明设2点钟之后经过x min （0≤x≤15），时针、分针分别与竖轴线（即经过表示“12”和“6”的点的直线，如图1）所成的角的度数为y 1°、y 2°； ②确定函数关系．由于时针、分针在单位时间内转动的角度不变，因此既可以直接写出y 1、y 2关于x 的函数关系式，也可以画出它们的图象．小明选择了后者，画出了图2； ③根据题目的要求，利用函数求解．本题中小明认为求出两个图象交点的横坐标就可以解决问题． （2）请运用建立函数关系．．．．．．的方法解决问题：钟面上，如果把时针与分针看作是同一平面内的两条线段，在7∶30~8∶00之间，时针与分针互相垂直的时刻是多少？（请你按照小明的思路解决这个问题．） 【答案】见解析 【解析】 试题分析：（1）分别求出时针与分针的函数解析式y 1＝60＋x ，y 2＝ 6x ．，求出交点坐标即可；（2）利用（1）中关系，得出时针与竖轴线夹角与转动时间的关系，求出交点坐标即可． 试题解析： 竖轴线 图1 y (°) x (min) O 3 6 9 2 5 11图2 67.5 12 11 10 9 8 7 6 5 4 3 2 1 解：（1）时针：y1＝60＋x． 1分分针：y2＝6x． 2分 1 60 2x ＝6x，解得x＝120 11 ． 3分 所以在2∶00~2∶15之间，时针与分针重合的时刻是2∶1010 11 ． （注：写2∶120 11 也可．） 4分 （2）时针：y1=135+x．分针：y2=6x． 初二一次函数与几何题 1、 平面直角坐标系中，点A 的坐标为（4，0），点P 在直线y=-x-m 上，且AP=OP=4，则m 的值是多少 2、如图，已知点A 的坐标为（1，0），点B 在直线y=-x 上运动，当线段AB 最短时，试求点B 的坐标。 3、如图，在直角坐标系中，矩形OABC 的顶点B 好将矩形OABC 分为面积相等的两部分，试求b 的值。 4、如图，在平面直角坐标系中，直线y= 2x —6与x 轴、y 轴分别相交于点A 、B ，点C 在x 轴上，若△ABC 是等腰三角形，试求点C 的坐标。 5、在平面直角坐标系中，已知A （1，4）、B （3，1），P 是坐标轴上一点，（1）当P 的坐标为多少时，AP+BP 取最小值，最小值为多少 当P 的坐标为多少时，AP-BP 取最大值，最大值为多少 ~ 6、如图，已知一次函数图像交正比例函数图像于第二象限的A 点，交x 轴于点B （-6，0），△AOB 的面积为15，且AB=AO ，求正比例函数和一次函数的解析式。 A B C ( x y x [ A B O 7、已知一次函数的图象经过点（2，20），它与两坐标轴所围成的三角形的面积等于1，求这个一次函数的表达式。 8、已经正比例函数Y=k1x的图像与一次函数y=k2x-9的图像相交于点P(3,-6) 求k1,k2的值 （ 如果一次函数y=k2x-9的图象与x轴交于点A 求点A坐标 9、正方形ABCD的边长是4，将此正方形置于平面直角坐标系中，使AB在x轴负半轴上，A点的坐标是（-1，0）， （1）经过点C的直线y=-4x-16与x轴交于点E，求四边形AECD的面积； （2）若直线L经过点E且将正方形ABCD分成面积相等的两部分，求直线L的解析式。 10、在平面直角坐标系中，一次函数y=Kx+b(b小于0）的图像分别与x轴、y轴和直线x=4交于A、B、C，直线x=4与x轴交于点D，四边形OBCD的面积为10，若A的横坐标为-1/2，求此一次函数的关系式 11、在平面直角坐标系中,一个一次函数的图像过点B(-3,4),与y轴交于点A，且OA=OB：求这个一次函数解析式 12、如图，A、B分别是x轴上位于原点左右两侧的点，点P（2，m）在第一象限，直线PA 交y轴于点C（0，2），直线PB交y轴于点D，S AOP=6. ； 求：（1）△COP的面积 （2）求点A的坐标及m的值； （3）若S BOP =S DOP ，求直线BD的解析式 1．如图，双曲线y=的一个分支为（） A．①B．②C．③D．④ 2．如图，反比例函数y=（x＜0）的图象经过点A（﹣1，1），过点A作AB⊥y 轴，垂足为B，在y轴的正半轴上取一点P（0，t），过点P作直线OA的垂线l，以直线l为对称轴，点B经轴对称变换得到的点B′在此反比例函数的图象上，则t的值是（） A．B．C．D． 3．直线y=ax（a＞0）与双曲线y=交于A（x1，y1）、B（x2，y2）两点，则4x1y2﹣3x2y1=． 4．如图，直线y=x与双曲线y=（x＞0）交于点A．将直线y=x向右平移个 单位后，与双曲线y=（x＞0）交于点B，与x轴交于点C，若，则k=． 5．如图，点A在双曲线上，点B在双曲线y=上，且AB∥x轴，C、D在x 轴上，若四边形ABCD为矩形，则它的面积为． 6．已知（x1，y1），（x2，y2）为反比例函数y=图象上的点，当x1＜x2＜0时，y1＜y2，则k的一个值可为．（只需写出符合条件的一个k的值） 7．如图，矩形ABCD的对角线BD经过坐标原点，矩形的边分别平行于坐标轴， 点C在反比例函数y=的图象上，若点A的坐标为（﹣2，﹣2），则k的值为． 8．如图，已知双曲线y=（k＞0）经过直角三角形OAB斜边OB的中点D，与直角边AB相交于点C．若△OBC的面积为3，则k=． 9．如图，在平面直角坐标系中，反比例函数y=（x＞0）的图象交矩形OABC 的边AB于点D，交边BC于点E，且BE=2EC．若四边形ODBE的面积为6，则k=． 10．如图，一次函数y1=x+1的图象与反比例函数（k为常数，且k≠0）的图象都经过点A（m，2） （1）求点A的坐标及反比例函数的表达式； （2）结合图象直接比较：当x＞0时，y1和y2的大小． 一、反比例函数真题与模拟题分类汇编（难题易错题） 1．如图，一次函数y=x+4的图象与反比例函数y= （k为常数，且k≠0）的图象交于A （﹣1，a），B（b，1）两点． （1）求反比例函数的表达式； （2）在x轴上找一点P，使PA+PB的值最小，求满足条件的点P的坐标； （3）求△PAB的面积． 【答案】（1）解：当x=﹣1时，a=x+4=3， ∴点A的坐标为（﹣1，3）． 将点A（﹣1，3）代入y= 中， 3= ，解得：k=﹣3， ∴反比例函数的表达式为y=﹣ （2）解：当y=b+4=1时，b=﹣3， ∴点B的坐标为（﹣3，1）． 作点B关于x轴的对称点D，连接AD，交x轴于点P，此时PA+PB的值最小，如图所示． ∵点B的坐标为（﹣3，1）， ∴点D的坐标为（﹣3，﹣1）． 设直线AD的函数表达式为y=mx+n， 将点A（﹣1，3）、D（﹣3，﹣1）代入y=mx+n中， ，解得：， ∴直线AD的函数表达式为y=2x+5． 当y=2x+5=0时，x=﹣， ∴点P的坐标为（﹣，0） （3）解：S△PAB=S△ABD﹣S△BDP= ×2×2﹣ ×2× = 【解析】【分析】（1）由一次函数图象上点的坐标特征可求出点A的坐标，根据点A的坐标利用待定系数法，即可求出反比例函数的表达式；（2）利用一次函数图象上点的坐标特征可求出点B的坐标，作点B关于x轴的对称点D，连接AD，交x轴于点P，此时PA+PB的值最小，由点B的坐标可得出点D的坐标，根据点A、D的坐标利用待定系数法，即可求出直线AB的函数表达式，再由一次函数图象上点的坐标特征即可求出点P的坐标；（3）根据三角形的面积公式结合S△PAB=S△ABD﹣S△BDP，即可得出结论． 2．如图，在平面直角坐标系中，一次函数y1=ax+b（a≠0）的图象与y轴相交于点A，与反 比例函数y2= （c≠0）的图象相交于点B（3，2）、C（﹣1，n）． （1）求一次函数和反比例函数的解析式； （2）根据图象，直接写出y1＞y2时x的取值范围； （3）在y轴上是否存在点P，使△PAB为直角三角形？如果存在，请求点P的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）解：把B（3，2）代入得：k=6 ∴反比例函数解析式为： 把C（﹣1，n）代入，得： n=﹣6 ∴C（﹣1，﹣6） 把B（3，2）、C（﹣1，﹣6）分别代入y1=ax+b，得：，解得： 一次函数综合习题 1.已知一次函数的图象经过点A（﹣1，2），且与直线y=2x﹣2平行． （1）求这个一次函数的表达式； （2）若O为坐标原点，点P为直线y=2x﹣2上一点，使得△POA的面积为3，求点P 的坐标． 2．已知点A（3，4），点B为直线x=-1上的动点，设B（-1，y）． （1）如图1，若点C（x，0）且-1＜x＜3，BC⊥AC，求y与x之间的函数关系式；（2）在（1）的条件下，y是否有最大值？若有，请求出最大值；若没有，请说明理由； （3）如图2，当点B的坐标为（-1，1）时，在x轴上另取两点E，F，且EF=1．线段EF在x轴上平移，线段EF平移至何处时，四边形ABEF的周长最小？求出此时点E的坐标． 2．如图，在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，A点的坐标为(3，0)，以OA为边作等边三角形OAB，点B在第一象限，过点B作AB的垂线交x轴于点C．动点P从O点出发沿OC向C点运动，动点Q从B点出发沿BA向A点运动，P，Q两点同时出发，速度均为1个单位／秒。设运动时间为t秒． （1）求线段BC的长； （2）连接PQ交线段OB于点E，过点E作x轴的平行线交线段BC于点F。设线段EF 的长为m，求m与t之间的函数关系式，并直接写出自变量t的取值范围： （3）在（2）的条件下，将△BEF绕点B逆时针旋转得到△BE′F′，使点E的对应点E′落在线段AB上，点F的对应点是F′，E′F′交x轴于点G，连接PF、QG，当t为何值时， -=? 2BQ PF 直线64 3.xy与坐标轴分别交于A、B两点，动点P、Q同时从O点出发，同时到达A点，运动停止．点Q沿线段OA运动，速度为每秒1个单位长度，点P沿路线O?B?A运动．（1）直接写出A、B两点的坐标； （2）设点Q的运动时间为t（秒），△OPQ的面积为S，求出S与t之间的函数关系式；（3）相信你自己加油， 48 S时，求出点P的坐标，并直接写出以点O、P、Q为顶点的平行四边形的第四个顶点M的坐标 3．一列快车从甲地匀速驶往乙地，一列慢车从乙地匀速驶往甲地．设先发车辆行驶的时间为x h，两车之间的距离为y km，图中的折线表示y与x之间的函数关系．根据图象解决以下问题 反比例函数典型例题 3 6 ，y= 在第一象限内的图象如图所示，点 P1、P2 在反比例函数图象上，过点 P1 作 x 轴的平行线 x x 3 与过点 P2 作 y 轴的平行线相交于点 N，若点 N（m，n）恰好在 y= 的图象上，则 NP1 与 NP2 的乘积是______。 x 反比例函数易错题、较难题训练 1、若y=（a+2）x a2 +2a-1 为反比例函数关系式，则a= 。 2、已知反比例函数x y 1 -=的图象上有两点),(11y x A 、),(22y x B 且21x x <，那么下列结论正确的是（ ） A. 21y y < B. 21y y > C. 21y y = D 1y 与2y 之间的大小关系不能确定 3、函数8 y x = ，若-4≤x<-2,则（ ） A 、2≤y<4 B 、-4≤y<-2 C 、-2≤y<4 D 、-4 反比例函数典型例题 1、（2011?宁波）正方形的A 1B 1P 1P 2顶点P 1、P 2在反比例函数y=x 2 （x ＞0）的图象上，顶点A 1、B 1分别在x 轴、y 轴的正半轴上，再在其右侧作正方形P 2P 3A 2B 2，顶点P 3在反比例函数y=x 2 （x ＞0）的图象上，顶点A 2在x 轴的正半轴上，则 P 2点的坐标为___________，则点P 3的坐标为__________。 答案：P 2（2，1） P 2（3+1，3-1） 2、已知关于x 的方程x 2+3x+a=0的两个实数根的倒数和等于3，且关于x 的方程（k-1）x 2+3x-2a=0有实根，且k 为正整 数，正方形ABP 1P 2的顶点P 1、P 2在反比例函数y=x 1 k +（x ＞0）图象上，顶点A 、B 分别在x 轴和y 轴的正半轴上，求点P 2的坐标． 答案：（2，1）或（6， 2 6） 3、如图，正方形OABC 和正方形AEDF 各有一个顶点在一反比例函数图象上，且正方形OABC 的边长为2． （1）求反比例函数的解析式；（2）求点D 的坐标． 答案：（1） y= x 4 (2) (15+,1-5) 4、两个反比例函数y=x 3，y=x 6 在第一象限内的图象如图所示，点P 1、P 2在反比例函数图象上，过点P 1作x 轴的平行线与过点P 2作y 轴的平行线相交于点N ，若点N （m ，n ）恰好在y=x 3 的图象上，则NP 1与NP 2的乘积是______。 答案：3 答案：3 5、（2007?泰安）已知三点P 1（x 1，y 1），P 2（x 2，y 2），P 3（1，-2）都在反比例函数y=x k 的图象上，若x 1＜0，x 2＞0，则下列式子正确的是（ ）答案：D A ．y 1＜y 2＜0 B ．y 1＜0＜y 2 C ．y 1＞y 2＞0 D ．y 1＞0＞y 2 6、如图，已知反比例函数y= x 1 的图象上有点P ，过P 点分别作x 轴和y 轴的垂线，垂足分别为A 、B ，使四边形OAPB 为正方形，又在反比例函数图象上有点P 1，过点P 1分别作BP 和y 轴的垂线，垂足分别为A 1、B 1，使四边形BA 1P 1B 1为正方形，则点P 1的坐标是________。 答案：?? ? ? ??+21-5215， 7、在反比例函数y= x 1 （x ＞0）的图象上，有一系列点P 1、P 2、P 3、…、Pn ，若P 1的横坐标为2，且以后每点的横坐标与2．现分别过点P 1、P 2、P 3、…、Pn 作x 轴与y 轴的垂线段，构成若干个长方形如图所示，将图中阴影部分的面积从左到右依次记为S 1、S 2、S 3、…、Sn ，则S 1+S 2+S 3+…+S 2010=________。 答案：1 8、如图，四边形ABCD 为正方形，点A 在x 轴上，点B 在y 轴上，且OA=2，OB=4，反比例函数y=x k (k ≠0)在第一象限的图象经过正方形的顶点D ． （1）求反比例函数的关系式； （2）将正方形ABCD 沿x 轴向左平移_____个单位长度时，点C 恰好落在反比例函数的图象上． 1：（2007年浙江省初中数学竞赛）函数y＝ 1 x -图象的大致形状是（ ） A B C D 2．(2009年牡丹江市)如图，点A、B是双曲线 3 y x =上的点，分别经过A、B两点向x轴、y轴作垂线段，若1 S= 阴影 ，则 12 S S +=． 3．已知y与2x－3成反比例，且 4 1 = x时，y＝－2，求y与x的函数关系式． 4．已知函数y＝y1－y2，且y1为x的反比例函数，y2为x的正比例函数，且 2 3 - = x和x＝1时，y的值都是1．求y关于x的函数关系式． 6．如图，A、B是函数 x y 2 =的图象上关于原点对称的任意两点，BC∥x轴，AC∥y轴，△ABC的面积记为S，则(s= )． 7．如图，点A、B是函数y＝x与 x y 1 =的图象的两个交点，作AC⊥x轴于C，作BD⊥x轴于D，则四边形ACBD的面积为( )． x y A B O 1 S 2 S 8题图 8.已知：如图，在平面直角坐标系xOy 中，Rt △OCD 的一边OC 在x 轴上，∠C ＝90°，点D 在第一象限， OC ＝3，DC ＝4，反比例函数的图象经过OD 的中点A ． (1)求该反比例函数的解析式； (2)若该反比例函数的图象与Rt △OCD 的另一边交于点B ，求过A 、B 两点的直线的解析式． 9．如图，A 、B 两点在函数)0(>= x x m y 的图象上． (1)求m 的值及直线AB 的解析式； (2)如果一个点的横、纵坐标均为整数，那么我们称这个点是格点．请直接写出图中阴影部分(不包括边界)所含格点的个数． 12．如图，已知点A 在反比例函数的图象上，AB ⊥x 轴于点B ，点C (0，1)，若△ABC 的面积是3，则反 比例函数的解析式为____________． 1. 设b>a ,将一次函数y=bx+a 与y=ax+b 的图象画在同一平面直角坐标系内， ？则有一 组 a , b 的取值，使得下列 4个图中的一个为正确的是( ) (A) (B) ? (D) 2 .若直线y=kx+b 经过一、二、四象限，则直线 y=bx+k 不经过第()象限. (A ) 一 ( B ) 二 ( C )三 (D )四 3 .一次函数y=kx+2经过点(1, 1),那么这个一次函数( ) (A ) y 随x 的增大而增大 (B ) y 随x 的增大而减小 (C )图像经过原点 (D )图像不经过第二象限 4 .无论m 为何实数，直线 y=x+2m 与y=-x+4的交点不可能在( ) (A )第一象限 (B )第二象限 (C )第三象限 (D )第四象限 3 3 5 .要得到y=- — x-4的图像，可把直线 y=- — x (). 2 2 (A )向左平移4个单位(B )向右平移4个单位 (C )向上平移4个单位(D )向下平移4个单位 6 .若函数y= ( m-5) x+ (4m+1) x 2 (m 为常数)中的y 与x 成正比例，则 m 的值为() / A 、 1 (A ) m>- — 4 (B ) m>5 (C ) m=-l 4 (D ) m=5 7 .若直线y=3x-1 与y=x-k 的交点在第四象限，则 k 的取值范围是() 1 (A ) k<- (B ) 1 333 8 .过点P(-1 , 3)直线，使它与两坐标轴围成的三角形面积为5, ?这样的直线可以作() (A) 4 条 (B) 3 条(C) 2 条(D) 1 条 m+b b+c c+a 9 ?已知abc丰0，而且=p,那么直线y=px+p —定通过() cab (A)第一、二象限(B)第二、三象限 (C)第三、四象限(D)第一、四象限 10. 当-1 反比例函数难题拓展 二、填空题 1. 如图，将一块直角三角板OAB 放在平面直角坐标系中，B （2，0），∠AOC ＝60°，点A 在第一象限，过点A 的双曲线为y= k x ，在x 轴上取一点P ，过点P 作直线OA 的垂线l ，以直线l 为对称轴，线段OB 经轴对称变换 后的像是O ′B ′. （1）当点O ′与点A 重合时，点P 的坐标是 . （2）设P （t ，0）当O ′B ′与双曲线有交点时，t 的取值范围是 . 【答案】（1）（4，0）；（2）4≤t ≤25或－25≤t ≤－4 3. 若点A(m ，－2)在反比例函数4 y x = 的图像上，则当函数值y ≥－2时，自变量x 的取值范围是___________. 【答案】x ≤-2或x>0 4. 过反比例函数y=x k (k≠0)图象上一点A ，分别作x 轴，y 轴的垂线，垂足分别为B,C ，如果⊿ABC 的面积为3.则k 的值为 . 【答案】6或﹣6. 5. 如图，正方形A 1B 1P 1P 2的顶点P 1、P 2在反比例函数y ＝2 x （x ＞0）的图像上，顶点A 1、B 1分别在x 轴和y 轴的正半轴上，再在 其右侧作正方形P 2P 3A 2B 2，顶点P 3在反比例函数y ＝2 x （x ＞0）的图象上，顶点A 3在x 轴的正半轴上，则点P 3的坐标为 【答案】（3＋1，3－1） 6. 在直角坐标系中，有如图所示的 t ,R ABO AB x ?⊥轴于点B ，斜边 3 105 AO AOB =∠= ，sin ,反比例函数 (0)k y x x = >的图像经过AO 的中点C ，且与AB 交于点D ,则点D 的坐标为 . 一次函数难题汇编及答案解析 一、选择题 1．一次函数y mx n =-+结果是( ) A ．m B ．m - C ．2m n - D ．2m n - 【答案】D 【解析】 【分析】 根据题意可得﹣m ＜0，n ＜0，再进行化简即可． 【详解】 ∵一次函数y ＝﹣mx +n 的图象经过第二、三、四象限， ∴﹣m ＜0，n ＜0， 即m ＞0，n ＜0， ＝|m ﹣n |+|n | ＝m ﹣n ﹣n ＝m ﹣2n ， 故选D ． 【点睛】 本题考查了二次根式的性质与化简以及一次函数的图象与系数的关系，熟练掌握一次函数的图象与性质是解题的关键. 2．给出下列函数：①y ＝﹣3x +2：②y ＝3x ；③y ＝﹣5x ：④y ＝3x ，上述函数中符合条件“当x ＞1时，函数值y 随自变量x 增大而增大”的是（ ） A ．①③ B ．③④ C ．②④ D ．②③ 【答案】B 【解析】 【分析】 分别利用一次函数、正比例函数、反比例函数的增减性分析得出答案． 【详解】 解：①y ＝﹣3x +2，当x ＞1时，函数值y 随自变量x 增大而减小，故此选项不符合题意； ②y ＝3x ，当x ＞1时，函数值y 随自变量x 增大而减小，故此选项不符合题意； ③y ＝﹣ 5x ，当x ＞1时，函数值y 随自变量x 增大而增大，故此选项符合题意； ④y ＝3x ，当x ＞1时，函数值y 随自变量x 增大而增大，故此选项符合题意； 故选：B ． 【点睛】 此题考查一次函数、正比例函数、反比例函数，正确把握相关性质是解题关键． 3．一次函数y=ax+b与反比例函数 a b y x - =，其中ab＜0，a、b为常数，它们在同一坐标 系中的图象可以是（） A．B． C． D． 【答案】C 【解析】 【分析】 根据一次函数的位置确定a、b的大小，看是否符合ab<0，计算a-b确定符号，确定双曲线的位置． 【详解】 A. 由一次函数图象过一、三象限，得a>0，交y轴负半轴，则b<0， 满足ab<0， ∴a?b>0， ∴反比例函数y=a b x - 的图象过一、三象限， 所以此选项不正确； B. 由一次函数图象过二、四象限，得a<0，交y轴正半轴，则b>0，满足ab<0， ∴a?b<0， ∴反比例函数y=a b x - 的图象过二、四象限， 所以此选项不正确； 反比例函数难题 1、如图,已知△Ｐ１OＡ1,△P2Ａ1A2，△P３Ａ２A3…△P n Aｎ-1Ａn都是等腰直角三角形，点P1、P 2、P３…Ｐn都在函 2、如图1，矩形ABCD的边BC在ｘ轴的正半轴上，点E(ｍ，１)是对角线BD的中点，点A、Ｅ在反比例函 数y= （１)求ＡB的长; (2)当矩形AＢCＤ是正方形时，将反比例函数y=k x 的图象沿ｙ轴翻折，得到反比例函数y= 1 k x 的图象(如 图2)，求k1的值; （3）在条件（２）下,直线ｙ=-x上有一长为2动线段ＭN，作MH、NP都平行ｙ轴交第一象限内的双曲线 y=k x 于点H、Ｐ，问四边形MＨPＮ能否为平行四边形(如图3)?若能，请求出点M的坐标;若不能，请说明 理由. 1.已知反比例函数y= 2k x 和一次函数ｙ=2x-1,其中一次函数的图象经过(ａ,b ），（ａ+k ，b+k+2）两点．?(1)求反比例函数的解析式； （2)求反比例函数与一次函数两个交点Ａ、B 的坐标: （３）根据函数图象，求不等式 2k x >2x －1的解集;?（4)在（2)的条件下，ｘ轴上是否存在点P,使△AOP 为等腰三角形?若存在，把符合条件的P 点坐标都求出来;若不存在，请说明理由． １．如图,在平面直角坐标系ｘOy 中，一次函数y ＝kx ＋b (ｋ≠0)的图象与反比例函数y ＝ (ｍ≠0）的图象交于二、四象限内的A 、B 两点，与x 轴交于C 点，点B 的坐标为(6，n )，线段OA =5,E 为x 轴负半轴上一点，且s i n ∠AOE ＝＼f （4，5). (1)求该反比例函数和一次函数； (2)求△AO Ｃ的面积. (1)过A 点作AD⊥ｘ轴于点D,∵ｓin ∠AO Ｅ= 错误!未定义书签。,ＯA ＝5， ∴在Ｒｔ△ADＯ中,∵siｎ∠AOＥ＝错误!未定义书签。 =错误!未定义书签。= 4 5, ∴AD＝4,DO=ＯA ２－ＤA2=3,又点A 在第二象限∴点Ａ的坐标为(-3，4）, x m 一次函数中考试题精选 1. （山东日照）在平面直角坐标系中，已知直线y=- 4 3 x+3与x 轴、y 轴分别交于A 、B 两点，点C （0，n ）是y 轴上一点．把坐标平面沿直线AC 折叠，使点B 刚好落在x 轴上，则点C 的坐标是（ ） （A ）（0， 43） （B ）（0，3 4 ） （C ）（0,3） （D ）（0,4） 2. （山东烟台）在全民健身环城越野赛中，甲乙两选手的行程y （千米）随时间（时）变化的图象（全程）如图所示.有下列说法：①起跑后1小时内，甲在乙的前面；②第1小时两人都跑了10千米；③甲比乙先到达终点；④两人都跑了20千米.其中正确的说法有（ ） A. 1 个 B. 2 个 C.3 个 D. 4个 2 乙 甲乙甲 81510 5 1.5 1 0.5 O x /时 y/千米 3. （浙江杭州）一个矩形被直线分成面积为x ，y 的两部分，则y 与x 之间的函数关系只可 能是 4．（浙江衢州）小亮同学骑车上学，路上要经过平路、下坡、上坡和平路（如图）.若小亮上坡、平路、下坡的速度分别为123v v v 、、，且123v v v <<，则小亮同学骑车上学时，离家的路程s 与所用时间t 的函数关系图像可能是（ ） 学校 小亮家 s t s t s t t s 5. （浙江省）如图，在平面直角坐标系中，线段AB 的端点坐标为A （－2,4），B （4，2），直线y=kx-2与线段AB 有交点，则k 的值不可能是（ ） A.-5 B.-2 C.3 D. 5 6. （湖南常德）设min ｛x,y ｝表示x,y 两个数中的最小值，例如min ｛0,2｝=0，min ｛12,8｝ =8，则关于x 的函数y=min ｛2x,x+20｝可以表示为（ ） A. () () 222 2x x y x x 时，x 的取值范围是（ ） A ．x ＜－1 B ．—1＜x ＜2 C ．x ＞2 D ． x ＜－1或x ＞2 8. （四川宜宾）如图，正方形ABCD 的边长为4，P 为正方形边上一动点，运动路线是A→D→C→B→A ，设P 点经过的路线为x ，以点A 、P 、D 为顶点的三角形的面积是y ．则下列图象能大致反映y 与x 的函数关系的是（ ） （－1，1） 1y （2，2） 2y x y O （x＞0）的图象上，斜边OA 1 、A 1 A 2 、A 2 A 3 …A n-1 A n 都在x轴上．则点A 10 的坐标为 反比例函数经典习题 例题讲解 【例△1】如右图，已知P10A1，△P2A1A2都是等腰直角三角形，点P1、P2都在函数y= 4 x（x＞0）的图象上， 斜边OA 1 、A 1 A 2 都在x轴上．则点A 2 的坐标为. 1、如例1图，已知△P 1 OA △1 ，P 2 A 1 A △2 ，P 3 A 2 A △3 …P n A n-1 A n 都是等腰直角三角形，点P 1 、P 2 、P 3 …P n 都在4 函数y= x 2、已知点A（0,2）和点B（0，-2），点P在函数y= 1 x的图像上，如果△PAB的面积为6，求P点的坐标。【例2】如右图，已知点（1,3）在函数y= k x（x＞0）的图像上，矩形ABCD的边BC在x轴上，E是对角线BD的中点，函数y= k x（k＞0）的图象又经过A,E两点，点E的横坐标为m，解答下列各题 1.求k的值 2.求点C的横坐标（用m表示） 3.当∠ABD=45°时，求m的值112 1、已知：如图，矩形ABCD的边BC在x轴上，E是对角线AC、BD的交点，反比例函数y= 2 x（x＞0）的图象经过A，E两点，点E的纵坐标为m． （1）求点A坐标（用m表示） （2）是否存在实数m，使四边形ABCD为正方形，若存在，请求出m的值；若不存在，请说明理由 2、如图1，矩形ABCD的边BC在x轴的正半轴上，点E（m，1）是对角线BD的中点，点A、E在反比例函数y= k x的图象上． （1）求AB的长； （2）当矩形ABCD是正方形时，将反比例函数y= k x k 的图象沿y轴翻折，得到反比例函数y=1的图象（如 x 图2），求k1的值； （3）直线y=-x上有一长为2动线段MN，作MH、NP都平行y轴交在条件（2）下，第一象限内的双曲线y= k x于点H、P，问四边形MHPN能否为平行四边形（如图3）？若能，请求出点M的坐标；若不能，请说明理由． 【例3】在平面直角坐标系中，已知A(1,0),B(0,1)，矩形OMPN的相邻两边OM，ON分别在x，y轴的正半轴上，O为原点，线段AB与矩形OMPN的两边MP,NP的交点分别为E,F,△AOF∽△BOE（顶点依次对应） （1）求∠FOE； （2）求证：矩形OPMN的顶点P必在某个反比例函数图像上，并写出该函数的解析式。 反比例函数经典专题 知识点回顾 由于反比例函数解析式及图象的特殊性，很多中考试题都将反比例函数与面积结合起来进行考察。这种考察方式既能考查函数、反比例函数本身的基础知识内容，又能充分体现数形结合的思想方法，考查的题型广泛，考查方法灵活，可以较好地将知识与能力融合在一起。下面就反比例函数中与面积有关的问题的四种类型归纳如下： 一、利用反比例函数中|k|的几何意义求解与面积有关的问题 设P为双曲线上任意一点，过点P作x轴、y轴的垂线PM、PN，垂足分别为M、N，则两垂线段与坐标轴所围成的的矩形PMON的面积为S=|PM|×|PN|=|y|×|x|=|xy| ∴xy=k 故S=|k| 从而得 结论1：过双曲线上任意一点作x轴、y轴的垂线，所得矩形的面积S为定值|k| 对于下列三个图形中的情形，利用三角形面积的计算方法和图形的对称性以及上述结论，可得出对应的面积的结论为： 结论2：在直角三角形ABO中，面积S= 结论3：在直角三角形ACB中，面积为S=2|k| 结论4：在三角形AMB中，面积为S=|k| 例题讲解 【例1】如右图，已知△P10A1，△P2A1A2都是等腰直角三角形，点P1、P2 都在函数y=4 x（x＞0） 的图象上，斜边OA1、A1A2都在x轴上．则点A2的坐 标为 . 1、如例1图，已知△P1OA1，△P2A1A2，△P3A2A3…△P n A n-1A n都是等腰直角三角形，点P1、 P2、P3…P n都在函数y=4 x （x＞0）的图象上，斜边OA1、A1A2、A2A3…A n-1A n都在x轴上．则 点A10的坐标为 2、已知点A（0,2）和点B（0，-2），点P在函数y= 1 x 的图像上，如果△PAB的面积为6， 求P点的坐标。 【例2】如右图，已知点（1,3）在函数y=k x （x＞0）的图像上，矩形ABCD的边BC在x轴 上，E是对角线BD的中点，函数y=k x （k＞0）的图象又经过A,E两点，点E的横坐标 为m，解答下列各题 1.求k的值 2.求点C的横坐标（用m表示） 3.当∠ABD=45°时，求m的值112 一、选择题 1．已知y与x+3成正比例，并且x=1时，y=8，那么y与x之间的函数关系式为（）（A）y=8x （B）y=2x+6 （C）y=8x+6 （D）y=5x+3 2．若直线y=kx+b经过一、二、四象限，则直线y=bx+k不经过（） （A）一象限（B）二象限（C）三象限（D）四象限 3．直线y=-2x+4与两坐标轴围成的三角形的面积是（） （A）4 （B）6 （C）8 （D）16 4．若甲、乙两弹簧的长度y（cm）与所挂物体质量x（kg）之间的函数解析式分别为y=k1x+a1和y=k2x+a2，如图，所挂物体质量均为2kg时，甲弹簧长为y1，乙弹簧长为y2，则y1与y2的大小关系为（） （A）y1>y2（B）y1=y2 （C）y1 培优练习十一 一次函数的性质 姓名： 家长签字： 1．已知y 与x+3成正比例，并且x=1时，y=8，那么y 与x 之间的函数关系式为（ ） （A ）y=8x （B ）y=2x+6 （C ）y=8x+6 （D ）y=5x+3 2．若直线y=kx+b 经过一、二、四象限，则直线y=bx+k 不经过（ ） （A ）一象限 （B ）二象限 （C ）三象限 （D ）四象限 3．若甲、乙两弹簧的长度y （cm ）与所挂物体质量x （kg ）之间的函数解析式分别为y=k 1x+a 1和y=k 2x+a 2，如图，所挂物体质量均为2kg 时，甲弹簧长为y 1，乙弹簧长为y 2，则y 1与y 2的大小关系为（ ） （A ）y 1>y 2 （B ）y 1=y 2 （C ）y 1 反比例函数难题(含答案) ————————————————————————————————作者：————————————————————————————————日期： 反比例函数典型例题 1、 （2011?宁波）正方形的A 1B 1P 1P 2顶点P 1、P 2在反比例函数y=x 2 （x ＞0）的图象上，顶点A 1、B 1分别在x 轴、y 轴的正半轴上，再在其右侧作正方形P 2P 3A 2B 2，顶点P 3在反比例函数y=x 2 （x ＞0）的图象上，顶点A 2在x 轴的正半轴上，则P 2点的坐标为___________，则点P 3的坐标为__________。 答案：P 2（2，1） P 2（3+1，3-1） 2、 已知关于x 的方程x 2+3x+a=0的两个实数根的倒数和等于3，且关于x 的方程（k-1）x 2+3x-2a=0有实根，且k 为正整数，正方形ABP 1P 2的顶点P 1、P 2在反比例函数y= x 1 k +（x ＞0）图象上，顶点A 、B 分别在x 轴和y 轴的正半轴上，求点P 2的坐标． 答案：（2，1）或（6， 2 6） 3、如图，正方形OABC 和正方形AEDF 各有一个顶点在一反比例函数图象上，且正方形OABC 的边长为2． （1）求反比例函数的解析式；（2）求点D 的坐标． 答案：（1） y= x 4 (2) (15+,1-5) 4、 两个反比例函数y=x 3，y=x 6 在第一象限内的图象如图所示，点P 1、P 2在反比例函数图象上，过点P 1作x 轴的平行线与过点P 2作y 轴的平行线相交于点N ，若点N （m ，n ）恰好在y=x 3 的图象上，则NP 1与NP 2的乘积是______。 答案：3 答案：3 5、（2007?泰安）已知三点P 1（x 1，y 1），P 2（x 2，y 2），P 3（1，-2）都在反比例函数y=x k 的图象上，若x 1＜0，x 2＞0，则下列式子正确的是（ ）答案：D A ．y 1＜y 2＜0 B ．y 1＜0＜y 2 C ．y 1＞y 2＞0 D ．y 1＞0＞y 2 6、如图，已知反比例函数y= x 1 的图象上有点P ，过P 点分别作x 轴和y 轴的垂线，垂足分别为A 、B ，使四边形OAPB 为正方形，又在反比例函数图象上有点P 1，过点P 1分别作BP 和y 轴的垂线，垂足分别为A 1、B 1，使四边形BA 1P 1B 1为正方形，则点P 1的坐标是________。 答案：??? ? ??+21-5215， 7、在反比例函数y= x 1 （x ＞0）的图象上，有一系列点P 1、P 2、P 3、…、Pn ，若P 1的横坐标为2，且以后每点的横坐标与它前一个点的横坐标的差都为2．现分别过点P 1、P 2、P 3、…、Pn 作x 轴与y 轴的垂线段，构成若干个长方形如图所示，将图中阴影部分的面积从左到右依次记为S 1、S 2、S 3、…、Sn ，则S 1+S 2+S 3+…+S 2010=________。 答案：1 8、如图，四边形ABCD 为正方形，点A 在x 轴上，点B 在y 轴上，且OA=2，OB=4，反比例函数y=x k (k ≠0)在第一象限的图象经过正方形的顶点D ． （1）求反比例函数的关系式； （2）将正方形ABCD 沿x 轴向左平移_____个单位长度时，点C 恰好落在反比例函数的图象上．一次函数练习题及答案(较难)
初中数学反比例函数难题
人教【数学】数学反比例函数的专项培优 易错 难题练习题及答案
一次函数大题难题提高题(汇编)
反比例函数难题(含标准答案)
2 （x＞0）的图象上，顶点 A1、B1 分别在 x 轴、y 轴的 x 2 正半轴上，再在其右侧作正方形 P2P3A2B2，顶点 P3 在反比例函数 y= （x＞0）的图象上，顶点 A2 在 x 轴的正半轴上，则 x
1、（2011?宁波）正方形的 A1B1P1P2 顶点 P1、P2 在反比例函数 y= P2 点的坐标为___________，则点 P3 的坐标为__________。
答案：P2（2，1） P2（ 3 +1， 3 -1）
2、已知关于 x 的方程 x +3x+a=0 的两个实数根的倒数和等于 3，且关于 x 的方程（k-1）x +3x-2a=0 有实根，且 k 为正整
2
2
数，正方形 ABP1P2 的顶点 P1、P2 在反比例函数 y= 点 P2 的坐标．
k ?1 （x＞0）图象上，顶点 A、B 分别在 x 轴和 y 轴的正半轴上，求 x
答案：（2，1）或 （ 6 ，
6 ） 2
3、如图，正方形 OABC 和正方形 AEDF 各有一个顶点在一反比例函数图象上，且正方形 OABC 的边长为 2． （1）求反比例函数的解析式；（2）求点 D 的坐标．
答案：（1） y=
4 x
(2) ( 5 ? 1 , 5 - 1 )
1/6
4、两个反比例函数 y= 答案：3
答案：3 5、（2007?泰安）已知三点 P1（x1，y1），P2（x2，y2），P3（1，-2）都在反比例函数 y= 则下列式子正确的是（ A．y1＜y2＜0 ）答案：D C．y1＞y2＞0 D．y1＞0＞y2
k 的图象上，若 x1＜0，x2＞0， x
B．y1＜0＜y2
6、如图，已知反比例函数 y=
1 的图象上有点 P，过 P 点分别作 x 轴和 y 轴的垂线，垂足分别为 A、B，使四边形 OAPB x
为正方形，又在反比例函数图象上有点 P1，过点 P1 分别作 BP 和 y 轴的垂线，垂足分别为 A1、B1，使四边形 BA1P1B1 为 正方形，则点 P1 的坐标是________。
答案： ? 7、在反比例函数 y=
? 5 ? 1 5 -1 ? ? ? 2 ，2 ? ? ?
1 （x＞0）的图象上，有一系列点 P1、P2、P3、…、Pn，若 P1 的横坐标为 2，且以后每点的横坐标与 x
它前一个点的横坐标的差都为 2．现分别过点 P1、P2、P3、…、Pn 作 x 轴与 y 轴的垂线段，构成若干个长方形如图所 示，将图中阴影部分的面积从左到右依次记为 S1、S2、S3、…、Sn，则 S1+S2+S3+…+S2010=________。
答案：1 8、如图，四边形 ABCD 为正方形，点 A 在 x 轴上，点 B 在 y 轴上，且 OA=2，OB=4，反比例函数 y= 限的图象经过正方形的顶点 D． （1）求反比例函数的关系式； （2）将正方形 ABCD 沿 x 轴向左平移_____个单位长度时，点 C 恰好落在反比例函数的图象上．
k (k≠0)在第一象 x
2/6反比例函数易错题难题
(完整版)反比例函数难题(含答案)
反比例函数经典拓展难题
一次函数难题练习【含解析】
反比例函数难题拓展(有答案)
一次函数难题汇编及答案解析
反比例函数经典例题(含详细解答)
《一次函数》历年中考难题
初二数学-反比例函数难题拓展(学生版)
(完整版)反比例函数难题拓展(含答案)
一次函数练习题附答案
一次函数拔高练习题
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