从问题到程序--裘宗燕--课后习题部分答案

抽象代数基础丘维声答案【篇一：index】t>------关于模n剩余类环的子环和理想的一般规律[文章摘要]通过对模n剩余类的一点思考，总结出模n剩余类环的子环和理想的规律：所有理想为主理想，可以由n的所有因子作为生成元生成，且这些主理想的个数为n的欧拉数。

使我们得以迅速求解其子环和理想。

[关键字]模n剩余类环循环群子环主理想[正文]模n剩余类是近世代数里研究比较透彻的一种代数结构。

一，定义：在一个集合a里，固定n（n可以是任何形式），规定a元间的一个关系r，arb，当而且只当n|a-b的时候这里，符号n|a-b表示n能整除a-b。

这显然是一个等价关系。

这个等价关系普通叫做模n的同余关系，并且用a?b(n)来表示（读成a同余b模n）。

这个等价关系决定了a的一个分类。

这样得来的类叫做模n的剩余类。

二，我们规定a的一个代数运算，叫做加法，并用普通表示加法的符号来表示。

我们用[a]来表示a所在的剩余类。

规定：[a]+[b]=[a+b];[0]+[a]=[a];[-a]+[a]=[0];根据群的定义我们知道，对于这个加法来说，a作成一个群。

叫做模n剩余类加群。

这样得到的剩余类加群是循环群，并且[1]是其生成元，[0]是其单位元。

三，我们再规定a的另一个代数运算，叫做乘法，并且规定：[a][b]=[ab]；根据环的定义我们知道，对于加法和乘法来说，a作成一个环。

叫做模n剩余类环。

四，关于理想的定义：环a的一个非空子集a叫做一个理想子环，简称为理想，假如：(i) a,b?a?a-b?a；(ii)a?a,b?a?ba,ab?a；所以如果一个模n剩余类环a的子环a要作为一个理想，需要满足： (i) [a],[b]?a?[a-b]?a；(ii)[a]?a,[b]?a?[ba],[ab]?a；由以上四点可得到对一个模n剩余类环，求其所有子环和理想的一个方法。

思路：第一，模n剩余类环对加法构成加群，根据群的定义，找出所有子群；第三，对所有子群，根据环的定义，对乘法封闭，从所有子群里找出所有环；第四，对所有子环，根据理想的定义，找出所有理想。

为方便描述这类操作，C语言为许多二元运算符提供了相应 的赋值符。每个算术运算符都有对应赋值符： += -= *= /= %=

用这些赋值符更新变量，简洁而且方便 使用的例子（求平方和）： for (sum = 0, n = 1; n <= 100; n++) sum += n * n;

这些运算符的优先级与结合方式和简单赋值运算符相同

如果送给程序的信息不符合需要，也不可能正确输入

程序输入的处理是保证程序安全运行的关键 后面有许多有关这方面的讨论，请特别注意
例3.17 输入半径算圆盘面积

从问题到程序
18
利用已有的函数定义，很容易写出程序：
#include <stdio.h> void prt_pan_area (double r) { if (r <= 0) printf("radius incorrect: %f\n", r); else printf("radius:%f, area:%f\n", r, 3.14159265*r*r); } int main() { double x; printf("Please input a radius: "); scanf("%lf", &x); prt_pan_area(x); return 0; }
类型安全性和自定义输入函数

从问题到程序
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类似printf，使用scanf的类型安全性只能靠自己保证。 而且情况更危险。输出时如果转换描述与实际值的类型不 匹配，可能产生错误的输出，但不会影响程序本身和随后 的执行过程。而对于scanf情况就不同了。设有下面的变 量声明和输入语句： double x; int n; scanf("%lf", &n); /* 类型不匹配 */ 程序执行时要把一个double值存入int变量。scanf不 会做转换直接存入 通常double占用更多字节，因此可能破坏内存里的有用 信息，结果可能很糟糕，可能导致程序或系统崩溃

裘宗燕
从问题到程序（2003 年修订） ，第十章 程序开发 printf("Can't open file: %s\n", fn); else { commander(fp, fn); fclose(fp); } } while (next("file")); return 0;
}
这里的 getnstr 是第 8 章单词练习程序里开发的读取一个字符串的函数，这里将读入的字 符串用作文件名，设法打开该文件。commander 是程序里的一个主要函数。对一个打开的 文件，commander 首先将文件里的学生成绩记录读入，而后转入交互命令的处理：
除成绩统计和直方图外，这里还增加了一个成绩排序输出的函数 sortoutput。 上面两个函数都用到前面背单词程序定义的函数 next。此外这里还需定义一个取得用 户命令的函数 getcmd，它显示一个信息串，要求读入一定范围里的一个数。该函数的实现 应该参考 getnstr 和前面几次定义的 getnumber，读入一个数之后应该丢掉整个行中其 余的东西。下面是几个函数的原型：
#include #include #include #include <stdio.h> <stdlib.h> <math.h> <ctype.h>
enum { MAXNUM = 400, MIDDLE = 20, EXECISE = 30, FINAL = 50, /* 成绩比例 */ HISTLEN = 60, /* 最长行的长度（字符数）*/ SEGLEN = 5, /* 分段长度 */ SEGNUM = 100/SEGLEN+1 /* 分段数，根据分段长度自动算出 */ }; /* 公用类型的定义 */ typedef struct { unsigned long num; char name[20]; double mid, exe, final, score; } StuRec; /* 全局性数据对象的定义 */ StuRec students[MAXNUM];

第一章 程序设计和C语言在开始学习程序设计时，初学者首先遇到的问题可能是：“什么是程序”？“什么是程序设计语言”？本章首先讨论这方面的问题，以期帮助读者在比较直观的基础上建立起对程序、程序设计、程序设计语言的基本认识。

而后将简单介绍本书中讨论程序设计问题时所用的一种程序设计语言——C语言，并通过一个简单实例介绍C语言程序的一些基本情况和有关概念。

最后介绍了程序设计中必然要遇到的一些问题。

1.1 程序和程序语言程序一词也来自生活，通常指完成某些事务的一种既定方式和过程。

从表述方面看，可以将程序看着对一系列动作的执行过程的描述。

日常生活中也可以找到许多“程序”实例。

例如，一个学生早上起床后的行为可以描述为：1，起床；2，刷牙；3，洗脸；4，吃饭；5，早自习；这是一个直线形程序，是最简单形式的程序。

描述这种程序的就是给出一个包含其中各个基本步骤的序列。

如果按顺序实施这些步骤，其整体效果就完成了该项事务。

现在考虑另一个复杂些的过程：到图书馆借教学参考书。

这一常见过程可以描述为：1，进入图书馆；2，查书目；3，填写索书单；4，交图书馆工作人员取书；5，如果该书已经借出，读者可以有两种选择：5.1，回到第2步（进一步查找其他参考书的书目）；5.2，放弃借书，离开图书馆；6，（工作人员找到了要借的书）办理借书手续；7，离开图书馆。

这个程序比前一个复杂得多。

可以看到，这一程序不是一个平铺直叙的动作序列，其中步骤更多，还出现了分情况处理和可能出现的重复性动作。

如果仔细探究这个实例，我们还可以可以看到，这一程序还可以进一步细化。

例如可以找出许多上面描述中未处理的情况，例如：若查找图书目录时没有找到所需书目；填写好索书单后已经到了下班时间；借书时发现自己没有带借书证；工作人员查到该读者的借书册数已经达到限额，或发现该读者有逾期未还的图书，因此拒绝借出等等。

由这些现实生活中的例子，可以初步看到程序的一些直观特征。

现实生活中有许多程序性活动，当我们身处其中时，通常需要按部就班地一步步完成一系列动作。

图 7.1 指针与被指的变量
* 这种情况的例外是 C 语言的寄存器变量，它们可能被安排在 CPU 的寄存器中。这种变量没有可用的存储 地址。本章所讨论的问题都把寄存器变量排除在外。
Байду номын сангаас
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裘宗燕
从问题到程序（2003 年修订） ，第七章，指针
掌握都有一定难度，也比较容易用错。因此请读者在学习中特别注意思考，以逐步理解其本 质，掌握正确的使用方法。下面也特别解释了指针使用中的一些常见错误，请读者留意。 指针是 C 语言的一种重要机制。用好指针机制常常可以使写出的程序更简洁有效。也 有些问题必须借助指针才能处理。指针在较大的复杂软件的中使用广泛。可以说，指针使用 能力是评价一个人 C 程序设计水平高低的一个重要方面。此外，指针也是大部分高级语言 都提供的重要机制。掌握了 C 语言的指针机制后也可以触类旁通。
++ *p; (*p)++; *p += *q + n; q = &a[0]; *q = *p / 16; /* 使变量 n 的值加 1，变成 18 */ /* 使变量 n 的值再加 1，变成 19。 由于结合性的规定，*p++ 的意义与此不同 */ /* 变量 n 被赋以新值 57 */ /* 指针 q 指向了数组 a 的元素 */ /* a[0]被赋值 3 */
7.2 指针变量的定义和使用
C 语言的指针有类型，每个指针只能指向一种特定类型的变量，保存这种类型变量的地 址。例如，如果 p 是指向 int 变量的指针，那么 p 就只能指向 int 型变量，而不能指向其 他类型的变量。因此，程序里也认为 p 所指向的总是 int，从 p 间接访问的东西总作为整 型变量看待。 指向整型变量的指针也简称为整型指针。 人们常说 “int 指针 p1” 、 “double 指针 p2”等等。 定义指针变量时需要用类型名说明指向类型， 在被定义的指针变量名前面加星号， 说明 定义的是指针变量。多个同类型指针可以一起定义，例如，下面定义了两个指向整型变量的 指针变量（int 指针）p 和 q：

for (sum = 0, n = 13; n <= 315; ++n) sum += n;
对于这个问题，同样可以采用向下循环的方式：
for (sum = 0, n = 315; n >= 13; --n) sum += n;
对于这个具体问题而言， 采用向上或者向下循环的效果完全一样。 许多其他循环的情况与此 类似， 都可以自由选择向上或者向下的方式。 在这种情况下， 人们一般采用向上循环的方式， 因为这种方式似乎更符合人的习惯。 也确实存在一些循环， 对它们必须采用某种特定循环方 式，否则就会导致程序错误。今后读者会遇到这样的例子。 完全可以用 while 语句重写上述循环。实际上，while 语句和 for 语句具有同样表 达能力，用 for 循环表述的代码都可等价地翻译为用 while 语句写的代码，反之亦然。 有时我们需要的不是一个范围内的所有整数值，而是具有同等间隔的值。例如，需要求 出 [13, 315] 间每隔 7 的各个整数之和。写出相应数学公式并不难（上例也一样） ，采用循环 语句写也很简单：
int isprime(int)
判断一个数（例如 n）是否素数有许多高级的数学方法，这里只考虑最直接而简单的方 法，就是设法确定它有无真因子。m 整除 n 可以用条件(n%m == 0)描述，如果 m<n 而且 m 不是 1，那它就是真因子了。这样，检查素数的最简单方法就是令变量 m 由 2 开始递增取
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裘宗燕
从问题到程序（2003 年修订） ，第四章，基本程序设计技术
值，一个个试除 n。这可以通过一个循环完成。 下一个问题是 m 试除到什么时候结束。显然，试完所有小于 n 的值能保证不会漏掉任 何可能性。稍加分析不难看出，只要试到 m*m>n 就够了，继续试下去已经没有意义（这一 论断的合理性请读者考虑） 。有了上述分析，写出下面定义已经很自然了：

从问题到程序
裘宗燕 北京大学数学学院 2005年
第一章
程序设计，C语言与C程序
程序—直观理解
“程序”（program）一词来自生活，通常指完成某 些事务的一种既定方式和过程。
1，起床
2，刷牙
3，洗脸 4，吃饭 5，早自习
按顺序实施这些步骤，即完成了该项事务。
到图书馆借参考书（更复杂的程序）：
1，进入图书馆； 2，查书目； 3，填写索书单； 4，交图书馆工作人员取书；
注意前人经验，包括程序书写形式和许多具体写法等 注意养成写程序的良好习惯。书中许多地方提出了相 应的建议 写出程序和写好程序之间有很大距离
只有写好小程序，才能写出大些的程序
1.2 C语言简介
简单历史
C语言1973年由贝尔实验室的Dennis Ritchie 设计，目 标是书写操作系统和其他系统程序。 C语言最早用于写UNIX系统。70年代成为UNIX的标 准开发语言，随UNIX流行而被广泛接受。 80年代被搬到各种机器的许多操作系统上，逐渐成为 一种开发系统程序和复杂软件的通用语言。 后来成为使用最广泛的系统开发语言。人们用C开发各 种程序，从简单应用到极其复杂的大型软件。
程序与程序开发
程序是人与计算机交流信息的最基本方式。人通过程 序指挥计算机的活动。 描述（编制）计算机程序的工作称为程序设计或编程， 其产品就是程序。由于计算机的本质特征，从它诞生 之初就有了程序设计工作。 要用计算机处理问题，写程序时就必须精确描述所需 的全部细节，不能有一点含糊之处。 写程序需要用程序设计语言。这种语言的特点是计算 机可以处理，可以按它的指挥完成工作。程序设计语 言是人与计算机交流的最基本最重要的媒介。
课程要点
• 用计算机解决问题的过程和基本方法

字符类型：char，signed char，unsigned char
用一个字节表示，其中存字符编码。字符作为整数参加 运算时直接用编码，依赖于编码方式。
ASCII字符集里数字（字母）字符的编码连续排列。
char等同于signed char或unsigned char(不同 系统可能不同)。简单程序只用char，不需要关心有无 符号。只有用char参加整数运算时才需要考虑。
函数的作用：把一段计算抽象出来，封装（包装）成独 立实体。这种封装程序段称为函数定义。
定义后通过函数名就可以用简便方式要求执行该函数所 封装的计算。这种描述片段称为函数调用。
函数抽象机制的意义：
1. 重复片段可用唯一的函数定义和一些形式简单的函 数调用取代，使程序更简短清晰
2. 同样计算片段只描述一次，易于修改
使用标准库的随机数功能需要包含文件<stdlib.h>。 随机数生成函数：int rand(void) 无参数，得到0和符号常量 RAND_MAX 间的随机整数。 不同系统的RAND_MAX可能不同，为至少32767。 TURBO-C里的RAND_MAX是32767。
函数srand用seed值设种子值： void srand(unsigned seed) 默认初始种子值是1。rand根据当时种子值生成下一随 机数并修改种子值。
从问题到程序
2005年
第五章 C程序结构
本章讨论与C程序整体结构有关的问题。 对正确理解C语言/正确书写C程序都很重要。是学习用 C程序设计时应了解的“深层问题”。 有些叙述性内容，有些例子要推迟到后面章节。 建议在学习后面章节之后重读这章。
1）基本数值类型的全面介绍 2）函数与C程序结构，函数原型 3）变量类，作用域与存在期 4）预处理命令 5）字位运算符（特殊问题，只需初步了解）

value = 0.0 for n in range(100):
x = n * 0.03 value += sin(x * x + 1) * cos(x) * 0.03
从问题到程序（Python程序设计）
裘宗燕，2017//-15-
输入循环
一类常见循环是输入循环
在循环中，程序从外部获得一批数据，用于计算
检查一些数可以通过循环实现，问题就变成：从哪儿开始检查？ 下一个数怎么得到？何时结束？
根据需要，可以考虑从2开始，逐一检查更大的数
检查到n一定能做出判断，实际上检查到n的平方根就够了
从问题到程序（Python程序设计）
裘宗燕，2017//-12-
素数判断
综合上述考虑，可定义出下面判断函数：
def is_prime(n): if n < 2: return False # 小于2的数都不是素数 k=2 while k * k <= n: # 至多做到m的平方大于n if n % k == 0: return False k += 1 return True
注意识别计算中需要重复执行的类似动作
引进循环，可以统一描述（完成）计算中的一批类似工作
需要循环的一些情况
需要多次做类似操作，次数较多，适合用循环
循环可能缩短程序，并容易检查/维护/修改
重复操作的次数不能确定，结束条件由数据变化的情况决定， 就必须用循环
决定重复操作的因素来自函数参数或输入，必须用循环描述
采用与前面类似的主循环结构 在代码文件里直接写出计算，没有另外定义函数
请分析这个函数的计算过程和进一步改进： 大的参数值会带来很大的计算误差 自己做试验，并想想为什么 可以用 fmod(x, pi) 把参数归化到最小 [0.0, 2π)

(2 + 3.23) * (1.66 + 2.87/4.13 - 2.8326) * (2.1034 - 4.783) * (0.27 + 3.1 * 133.24 - 328.9)
至此我们已经可以写出许多程序了！
计算和类型
表达式计算中有许多与类型有关的问题。例： 下面表达式对的结果不同：
14 / 8 * 12
#include <stdio.h> int main() { printf("Welcome\n"); printf("to\n"); printf("Beijing!\n"); return 0; }
程序执行也输出三行：
Welcome to Beijing!
转换描述（描述数据的输出转换方式）
表达式的计算过程
表达式计算又称“表达式求值”。一个表达式的意义 就是它求出的值。 语言明确规定了表达式计算过程。包括几方面：
• 优先级
• 结合方式
• （多个）运算对象的求值顺序
• 括号
优先级：运算符在表达式中相邻出现时，优先级高的
运算符先算。（附录A 运算符表） 算术运算符分三个优先级：
一元 + ,-(高)
*,/,%(中)
二元 + ,-(低)
(符合数学习惯)
例： 5 / -3 + 4 * 6
结合方式：同优先级运算符相邻时的计算顺序
一元算术运算符自右向左结合，二元算术运算符自左 向右结合。 (符合数学习惯)
例： 166 / 8 * 5 / 3
括号：改变计算顺序，括号括起的部分先算。
-(((2 + 6) * 4) / (3 + 5)) 括号是控制计算顺序的手段。(符合数学习惯)

第六章 数据对象的顺序组合：数组程序的工作都与数据有关，如输入数据、输出数据、存储数据、对数据进行各种计算和修改等。

客观世界中需要处理的数据千姿百态，为能处理所关注事物的有关特征和性质，就需要在程序里表示它们。

为此，程序语言需要提供一套手段，使人能在写程序时方便地处理与数据表示有关的各种问题，这就是语言的数据机制。

需要由程序处理的数据可能很简单，也可能很复杂，数据之间可能有丰富多采的各种关系。

为了反映这些情况，语言的数据机制必须足够丰富。

这里也有简洁性与方便性的问题，有关数据机制不能无限制地庞大，使语言过分臃肿，难以使用；也不应过于低级，以至要描述一点东西都非常烦琐。

后一情况正是机器语言和汇编语言的一个弱点。

经过几十年的研究和实践，高级语言领域在这方面已经形成了一套公认的有效方式，数据机制基本框架通常包括下面几个互相联系的方面：1. 把语言要处理的数据对象划分为一些类型，每个类型是一个数据值的集合。

例如C语言里的int类型就是该类型能表示的所有整数值的集合。

2. 提供一组基本数据类型，确定其书写方式（文字量），提供一组基本操作（运算），支持基本数据对象的表示和使用。

例如C语言的int、double等。

3. 提供一组由简单数据类型或数据对象构造更复杂数据类型或数据对象的手段。

反复使用这些手段可以构造出任意复杂的数据结构，以满足复杂数据处理的需要。

这里提到的数据结构是计算机科学中的一个重要概念，也是一门后续计算机课程的名称。

C语言采用了通行的数据机制。

它提供了一组基本数据类型，其数据构造机制是下面几章的基本内容，包括本章将要介绍的数组，后面章节要介绍的指针、结构、联合等。

利用它们可以把多个（基本或非基本的）数据对象组合起来，作为整体在程序里使用。

这样组合而成的数据对象称作复合数据对象，由所有“同类”复合对象形成的类型称为复合数据类型。

一个复合数据对象的组成部分称为它的成分、成员或元素。

程序中可以建立存放复合类型数据的变量，这使复合数据对象也能命名。

第9章习题参考答案1． 新建图形窗口，设置其标题为“对数函数的图像”，在该窗口中绘制对数函数ln f x =在010x <<的图像参考答案：>> figure,title('对数函数的图像'),plot(0:0.2:10, log(0:0.2:10))2． 编写程序，实现功能为：创建图形窗口，并且设置其默认背景为黄色，默认线宽为4 个像素，在该窗口中绘制椭圆 22221x y a b+=的图像，其中的a 和b 任选 参考答案：figure('Color','y');set(gca,'DefaultLineLineWidth',4);a = 4;b = 3;x = linspace(-a,a,100);y1 = sqrt((1-x.^2/(a^2))*b^2);y2 = -sqrt((1-x.^2/(a^2))*b^2);plot(x,y1);hold on ;plot(x,y2);3． 编写 MATLAB 程序，绘制下面的函数：()()cos 2sin 2t x t t y t ππ⎧⎛⎫= ⎪⎪⎪⎝⎭⎨⎛⎫⎪= ⎪⎪⎝⎭⎩，其中22t -≤≤该程序在绘制图形之后等待用户的鼠标输入，每单击其中一条曲线，就随机修改该曲线的颜色，包括红色、绿色、蓝色、黑色和黄色。

参考答案：t = -2:0.1:2;x = cos(t/pi);y = 2*sin(t/(2*pi));figure,plot(t,x);hold on ; plot(t,y);%if waitforbuttonpresswhile (1)if waitforbuttonpress==0get(gcf,'CurrentObject');c = ceil((rand) * 5);switch ccase 1set(get(gcf,'CurrentObject'),'Color', 'r');case 2set(get(gcf,'CurrentObject'),'Color', 'g');case 3set(get(gcf,'CurrentObject'),'Color', 'b');case 4set(get(gcf,'CurrentObject'),'Color', 'k');case 5set(get(gcf,'CurrentObject'),'Color', 'y');endendend。

• 一个结构里可以有任意多个成员 • 成员可为任何类型，如基本类型、指针或数组成员 • 成员也可以是结构 • 成员名用标识符表示 • 一个结构里各个成员的名字不能相互冲突
• 不同结构完全可以包含名字相同的成员，相互无关
• 结构的成员名与结构外的其他名字无关，不会冲突
定义结构变量 把结构说明当作类型，就可以定义结构变量： struct { int n; double x, y; } st1, st2;
typedef struct { POINT lu; POINT rd; } RECTANGLE;
定义为结构类型，可以使程序更简短清晰。例：居民身 份证信息的结构类型定义： typedef struct { /* 数据表示问题 */ char name[20]; /* 名字字符串用多长？ */ int sex; /* ... */ char nationality[10]; int born_in[3]; char address[50]; int date_of_issue[3]; int valid_years; char issued_by[30]; char id_number[18]; char photo[100][64]; } IDCARD;
struct circle *p; p = (stuct circle *) malloc(sizeof(struct circle)); ... ...
定义结构类型
程序里反复使用的结构最好是定义为类型：
typedef struct { double x, y; } POINT; typedef struct { POINT center; double radius; } CIRCLE;
CIRCLE 结构

第8章习题参考答案1. 编写程序，该程序在同一窗口中绘制函数在 []0,2π之间的正弦曲线和余弦曲线，步长为 /10π，线宽为 4 个象素，正弦曲线设置为蓝色实线，余弦曲线颜色设置为红色虚线，两条曲线交点处，用红色星号标记。

参考答案：>> x=0:pi/10:2*pi;>> sinx = sin(x);>> cosx = cos(x);>> figure,plot(x,sinx,'LineWidth',4)>> hold on,plot(x,cosx,'r:','LineWidth',4)>> hold on,plot(x(find(cosx==sinx)),cosx(find(cosx==sinx)),'r*','LineWidth',4)2． 绘制下列图像（1）sin y x x =，010x π<<（2）三维曲线：226621z x xy y x y =++++-，1010x -<<，1010y -<< （3）双曲抛物面：22164x y z =-，1616x -<<，44y -<< 参考答案：（1）>> x = 0:pi/10:10*pi;>> plot(x,sin(x))（2）>> [X,Y] = meshgrid(-10::10);>> Z = X.^2 + 6*X*Y + Y.^2 + 6*X + 2*Y -1;>> plot3(X,Y,Z)（3）>> [X,Y] = meshgrid(-16::16,-4::4);>> Z = X.^2/16 - Y.^2/4;>> plot3(X,Y,Z)3. 绘制下列图像（1）绘制电脑磁盘使用情况的饼状图（2）生成 100 个从 0 到 10 之间的随机整数，绘制其直方图（3）生成 10个从 0 到 10 之间的随机整数，绘制其阶跃图参考答案：（1） 利用 pie 函数（2）>> hist(round(rand(100,1)*10))（3）>> X = round(rand(10,1)*10);>> stairs(X)4. 分别通过界面交互方式和函数方式在第 1 题生成的图形中添加注释，至少应包括：标题，文本注释，图例。

1． 创建符号表达式()sin f x x x =+。

参考答案：>> f = sym('sin(x)+x');2. 计算习题 1 中表达式在/6x π=处的值，并将结果设置为以下 5 种精度：小数点之后 1 位、2 位、5 位、10位和20位有效数字。

参考答案：>> digits(1)>> vpa(subs(f,x,pi/6))ans =1.>> digits(2)>> vpa(subs(f,x,pi/6))ans =1.0>> digits(5)>> vpa(subs(f,x,pi/6))ans =1.0236>> digits(10)>> vpa(subs(f,x,pi/6))ans =1.0235987763．设x 为符号变量，()421f x x x =++，()32458g x x x x =+++，试进行如下运算：（1）()()f x g x +（2）()()f x g x ⨯（3）求()g x 的反函数（4）求g 以()f x 为自变量的复合函数参考答案：>> f = sym('x^4 + x^2 + 1');>> g = sym('x^3 + 4*x^2 + 5*x + 8');（1）>> f+gans =x^4+5*x^2+9+x^3+5*x（2）>> f*gans =(x^4+x^2+1)*(x^3+4*x^2+5*x+8)（3）>> finverse(g)Warning: finverse(x^3 + 4*x^2 + 5*x + 8) is not unique.>> In sym.finverse at 43ans =1/6*(-656+108*x+12*(2988-984*x+81*x^2)^(1/2))^(1/3)+2/3/(-656+108*x+12*(2988-984*x+81*x^2)^(1/2))^(1/3)-4/3（4）>> syms x>> compose(g,f,x)ans =(x^4+x^2+1)^3+4*(x^4+x^2+1)^2+5*x^4+5*x^2+134．合并同类项（1）22325325x x x x -++--（3）2222322521x xy y xy x xy y -+--+-+（对x 和y ）参考答案：（1）>> f = sym('3*x - 2*x^2 + 5 + 3*x^2 - 2*x -5');>> collect(f)ans =x+x^2（2）>> f = sym('2*x^2 - 3*x*y + y^2 - 2*x*y - 2*x^2 + 5*x*y - 2*y + 1'); >> collect(f)ans =y^2-2*y+15．因式分解（1）将 7798666 进行因数分解，分解为素数乘积的形式（2）8-2m +512（3）23223a (x-y)-4b (y-x)参考答案：（1）>> factor(sym('779866'))ans =(2)*(149)*(2617)（2）>> factor(sym('-2*m^8 + 512'))ans =-2*(m-2)*(m+2)*(m^2+4)*(m^4+16)（3）>> factor(sym('3*a^2*(x-y)^3 - 4*b^2*(y-x)^2')) ans =(x-y)^2*(3*a^2*x-4*b^2-3*a^2*y)6．绘制下列函数的图像（1）()2sin f x x x =+，[]0,2π （2）()3221f x x x =++，[]2,2- 参考答案：（1）>> f = sym('sin(x) + x^2');>> ezplot(f,[0,2*pi]);（2）>> f = sym('x^3 + 2*x^2 + 1');>> ezplot(f,[-2 2]);7．计算下列各式（1）0tan sin lim 1cos 2x x x x→-- （2）322sin y x x x =-+，求y '（3）()ln y xy x y =+，求/f x ∂∂，/f y ∂∂，2/f x y ∂∂∂ （4）ln(1)y t dx =+⎰，270ln(1)y t dx =+⎰参考答案：（1） >> limit(sym('(tan(x) - sin(x))/(1-cos(2*x))')) ans =（2）>> y = sym('x^3 - 2*x^2 + sin(x)');>> diff(y)ans =3*x^2-4*x+cos(x)（3）>> f = x*y*log(x+y);>> fx = diff(f,x)fx =y*log(x+y)+x*y/(x+y)>> fy = diff(f,y)fy =x*log(x+y)+x*y/(x+y)>> f2xy = diff(fx,y)f2xy =log(x+y)+y/(x+y)+x/(x+y)-x*y/(x+y)^2（4）>> syms t>> y = log(1+t);>> int(y)ans =log(1+t)*(1+t)-t-1>> int(y,0,27)ans =56*log(2)+28*log(7)-278．计算下列各式（1）13nn n∞=⎛⎫ ⎪⎝⎭∑（2）12sin3 nnn π∞=∑（3）sin x在 0 附近的Taylor 展开参考答案：（1）>> symsum(sym('(3/n)^n'),1,inf)ans =sum((3/n)^n,n = 1 .. Inf)（2）>> symsum(sym('2^n*sin(pi/(3^n))'),1,inf) ans =3^(1/2)（3）>> taylor(sym('sin(x)'))ans =x-1/6*x^3+1/120*x^59．求解线性方程组231321x y x y +=⎧⎨+=-⎩参考答案：>> [x,y] = solve(sym('2*x+3*y=1'),sym('3*x+2*y=-1')) x =-1y =110．对符号表达式22x y z xe --=，进行如下变换（1）关于x 的傅立叶变换（2）关于y 的拉普拉斯变换（3）分别关于x 和y 的 Z 变换参考答案：（1）>> syms x y>> z = x*exp(-(x^2+y^2));>> syms u v>> fourier(z,x,u)ans =-1/2*i*pi^(1/2)*u*exp(-y^2-1/4*u^2)（2）>> laplace(z,y,v)ans =1/2*x*exp(-x^2)*pi^(1/2)*exp(1/4*v^2)*erfc(1/2*v)（3）>> ztrans(z,x,u)ans =-u*diff(ztrans(exp(-x^2-y^2),x,u),u)>> ztrans(z,y,v)ans =x*ztrans(exp(-x^2-y^2),y,v)11．绘制函数()()()221exp 2f x x y π=-+在33x -<<，33y -<<上的表面图 参考答案：>> syms x y>> z = 1/(2*pi)*exp(-(x^2+y^2)); >> ezsurf(x,y,z,[-3,3,-3,3]);。

第九章结构和其他数据机制第六和第七章分别介绍了数组和指针机制，本章将介绍C语言的其他数据定义与描述机制，包括结构（struct）、联合（union）、枚举（enum）等。

写处理复杂数据的程序往往需要定义复杂的数据类型和结构，这时常常需要使用这些机制。

在计算机领域后续的“数据结构”等课程中也要大量使用这些机制。

本章将对这些数据机制的概念、意义和用途，以及使用它们的基本技术做一些介绍，举一些程序实例。

后续课程中将会有更多应用这些机制的实例，读者也能在各种较深入的计算机书籍材料中看到大量的有关例子。

9.1 结构（struct）客观世界里需要用计算机处理的数据千变万化，它们常常不是互相独立的，而是集合成组，若干数据元素形成一个逻辑整体，元素间存在着紧密的联系。

这些情况使人不得不考虑复杂数据的处理问题。

当逻辑数据体的各部分具有共同性质时，可以用数组作为组合手段（元素“类型”相同）。

但情况未必如此，也存在许多组合体，其中各数据成分的类型并不统一，公民身份证的数据就是一个典型例子。

一个身份证的数据成分包括姓名、性别、民族、出生日期、住址、身份证号码、发证日期、有效期限和发证单位，还有一张照片等等。

显然，这样一组信息应看作一个逻辑整体，因为它们共同描述了一个居民的情况。

但是，这些信息中有字符串，有数值，可能还有图像信息（照片）等，因此不适合用数组表示。

这类情况在实际应用中非常普遍，这就要求程序语言提供相应的数据描述机制。

针对这类情况，许多高级语言提供了另一种数据机制，专门用于把多个类型可能不同的数据对象集合起来。

C语言将这种机制称为结构（structure）。

结构是由若干（可不同类型的）数据项组合而成的复合数据对象，这些数据项称为结构的成分或成员。

一个（或一类）结构中的每个成员都给定了一个名字，通过成员名实现对结构成员的访问。

9.1.1 结构说明与变量定义要说明一个结构，就需要描述它的各个成员的情况，包括每个成员的类型及名字。

CCCF专栏裘宗燕：计算机问题求解的三类方法问题和问题求解实际问题千变万化，我们考虑一种抽象的统一说法：一个问题就是从一个实例描述集合到解集合的映射，。

如果I是有穷集，T 就是有穷问题，否则 T是无穷问题。

或称为问题 T 的实例，o=T(i ) 称为问题T 对应i 的解。

计算机只会做一件事，就是自动执行程序。

用计算机解决一个问题，就要写出一个解决这个问题的有穷程序（无穷长的程序写不完）。

如果针对问题T 写了程序P，把T 的任意实例i作为P 的输入，P 的输出总是o=T(i )，我们就可以说P 解决了问题T。

针对问题写出程序是计算机领域最重要的工作。

要完成这种工作，首先要确定一种技术路线（一种方法），确定需要从问题中挖掘出什么信息（知识），怎样利用得到的知识构造程序。

参考几十年的研究和实践，本文总结出三类方法。

是否还有第四类？请读者考虑。

基于算法的系统(Algorithm-Based Systems, ABS)这个太显然。

但是，采用这一方法有什么前提条件？在什么情况下有可能得到解决问题的算法，并实际写出能解决问题的程序？我们可以提出下面一些条件。

首先，该问题必须是“可计算的”，这是理论要求。

证明问题是否可计算常常很不容易，但做出算法就是正面的证明。

其次，要做出算法，要求我们对问题及其求解完全理解，知道如何处理问题的任意实例，能处理求解过程中可能遇到的任何情况。

算法的优点是直接针对具体问题，是专用的，因此效率高。

另一方面，我们比较容易把算法转换为解决问题的程序，也比较容易判断一个程序是否确实解决了问题。

注意：任何有穷问题都有算法。

由于情况（输入）有穷，理论上总是可以对其做穷尽分析，分情况给出解。

求解程序如下（假定问题只有n 个实例，x 是输入）：无穷问题也可能写出有穷算法，例如求最大公约数问题。

现在看看用计算机下围棋的问题。

围棋要求对弈双方在19×19的棋盘上交替落子，目标是占据最大的地盘。