习 题1.1
1．试判断下列试验是否为随机试验：
（1）在恒力的作用下一质点作匀加速运动；
（2）在5个同样的球（标号1,2,3,4,5,）中，任意取一个，观察所取球的标号；
（3）在分析天平上称量一小包白糖，并记录称量结果．
解
（1）不是随机试验，因为这样的试验只有唯一的结果．
（2）是随机试验，因为取球可在相同条件下进行，每次取球有5个可能的结果：1,2,3,4,5，且取球之前不能确定取出几号球．
（3）是随机试验，因为称量可在相同条件下进行，每次称量的结果用x 表示，则有(,)x m m εε∈-+，其中m 为小包白糖的重量，ε为称量结果的误差限．易见每次称量会有无穷多个可能结果，在称量之前不能确定哪个结果会发生．
2．写出下列试验的样本空间．
（1）将一枚硬币连掷三次；
（2）观察在时间 [0 ，t ] 内进入某一商店的顾客人数；
（3）将一颗骰子掷若干次，直至掷出的点数之和超过2为止；
（4）在单位圆内任取一点，记录它的坐标．
解
（1）Ω={（正正正），（正正反），（正反正），（反正正），（正反反），（反正反），（反反正），（反反反）}；
（2）Ω={0，1，2，3，……}；
（3）Ω={（3,4）,（5,6）,(1,2),(1,3),(1,4),(1,5),(1,6),(2,1),(2,2),(2,3),(2,4),(2,5),(2,6),(1,1,1), (1,1,2),(1,1,3),(1,1,4),(1,1,5),(1,1,6)}.
（4）在单位圆内任取一点，这一点的坐标设为（x ，y ）,则x ，y 应满足条件22 1.x y +≤故此试验的样本空间为{}
22(,)| 1.x y x y Ω=+≤
3．将一颗骰子连掷两次，观察其掷出的点数．令A =“两次掷出的点数相同” ，B =“点数之和为10” ，C =“最小点数为4” ．
试分别指出事件A 、B 、C 以及A B 、
ABC 、A C - 、C A - 、B C 各自含有的样本点．
解
A ={(1,1) ，(2,2) ，(3,3) ，(4,4) ，(5,5) ，(6,6)} ;
B ={(4,6) ，(5,5) ，(6,4)};
C ={(4,4) ，(4,5) ，(4,6) ，(5,4) ，(6,4)}; {(1,1),(2,2),(3,3),(4,4),(5,5),(6,6),(4,6),(6,4)}A B =;
ABC =?
AC ={(1,1)，(2,2)，(3,3)，(5,5)，(6,6)};
C A -={(4,5)，(4,6)，(5,4)，(6,4)};
{(5,5)}.BC =
4．在一段时间内，某电话交换台接到呼唤的次数可能是0次，1次，2次，… ．记事件k A
（k = 1 ，2 ，…）表示“接到的呼唤次数小于k ” ，试用k A 间的运算表示下列事件：
（1） 呼唤次数大于2 ；
（2） 呼唤次数在5到10次范围内；
（3） 呼唤次数与8的偏差大于2 ．
解 (1) 3A ；(2) 115A A -；(3) 611A A .
5．试用事件A 、B 、C 及其运算关系式表示下列事件：
（1）A 发生而B 不发生；
（2）A 不发生但B 、C 至少有一个发生；
（3）A 、B 、C 中只有一个发生；
（4） A 、B 、C 中至多有一个发生；
（5）A 、B 、C 中至少有两个发生；
（6）A 、B 、C 不同时发生．
解 (1)AB ；(2)()A B C ；(3) ABC ABC A BC ； (4) AB A C BC ； (5)AB BC AC ； (6) ABC
6．在某大学金融学院的学生中任选一名学生．若事件A 表示被选学生是女生，事件B 表示该生是大学二年级学生，事件C 表示该生是运动员． （１）叙述ABC 的意义．
（2）在什么条件下ABC C =成立？
（3）在什么条件下A B ?成立？
解
（1）该生是二年级女生，但非运动员．
（2）全学院运动员都是二年级女生．
（3）全系男生都在二年级
7．化简下列各事件：
（1） ()
A B A -； （2）()A B B -；
（3）()A B A - ；
（4）()A B B -
（5）()()()A B A B A A ．.
解．(1) ()
A B A A -=； (2) ()A B B A B -= ；
(3) ()A B A A B -=- ；
(4) ()A B B -=Φ；
(5) ()()()()A B A B A B A A B AB ==.
习题1.2 1．已知事件A 、B 、A
B 的概率分别为0.4，0.3，0.6．求()P A B 解 由公式()()()()P A B P A P B P AB =+-及题设条件得
()0.40.30.60.1P AB =+-=
又 ()()()()0.40.10.3P AB P A B P A P AB =-=-=-=
2．设1()()()4P A P B PC ===，()0P AB =，1()()16
P AC P BC ==，求（1）A 、B 、C 中至少有一个发生的概率；（2）A 、B 、C 都不发生的概率。
解（1）由已知()0P AB =，且有ABC AB ?，所以由概率的单调性知()0P ABC = 再由概率的加法公式，得A 、B 、C 中至少有一个发生的概率为
()()()()() ()()()
32 =0.625416
P A B C P A P B P C P AB P AC P BC P ABC =++--
-+-= （2）因为“A 、B 、C 都不发生”的对立事件为“A 、B 、C 中至少有一个发生”，所以得
P （A 、B 、C 都不发生）=1-0.625=0.375。
3．设()P A p = ，()P B q = ，()P A
B r = ，求()P A B ) ， ()P A B ， ()P A B ) ． 解 . 由
()()()()P A B P A P B P AB =+-
得
()()()()P AB P A P B P A B p q r =+-=+-
则
()()()()P AB P A P AB p p q r r q =-=-+-=-
()()()()P AB P B P AB q p q r r p =-=-+-=-
()()()11P AB P A B P A B r ==-=-
4．设A 、B 、C 是三个随机事件，且有C A B A ??， ，()0.9P A = ， ()P B C = 0.8 ，求()P A BC -．
解 因
()()
()1P B C P BC P BC ==-
则 ()()110.80.2P BC P B
C =-=-=
又由,A B A C ??知A BC ?，于是 ()()()0.90.20.7P A BC P A P BC -=-=-=
5．某城市共有A 、B 、C 三种报纸发行. 已知该市某一年龄段的市民中，有45%的人喜欢阅读A 报，34%的人喜欢阅读B 报，20%的人喜欢阅读C 报，10%的人同时喜欢阅读A 报和B 报，6%的同时人喜欢阅读报A 和C 报，4%的人同时喜欢阅读C 报和B 报，
1%的人A 、B 、C 三种报纸都喜欢读. 从该市这一年龄段的市民中任选一人，求下列事件的概率：（1）至少喜欢读一种报纸；（2）不喜欢读任何一种报纸；（3）只喜欢读A 报；（4）只喜欢读一种报纸.
解 设A 、B 、C 分别表示从该市这一年龄段的市民中任选一人喜欢读A 报 、B 报、C 报
由题设知
()0.45,()0.34,()
P A P B P C === ()0.10,()0.04,()0.06()0.010
P AB P BC P AC P ABC ==== （1）该市这一年龄段的市民中任选一人至少喜欢读一种报纸的概率
()()()()() ()()()
=0.45+0.34+0.20.10.060.040.010.8
P A B C P A P B P C P AB P AC P BC P ABC =++--
-+---+= （2）该市这一年龄段的市民中任选一人不喜欢读任何一种报纸的概率
()()1()
=10.8=0.2P ABC P A B C P A B C
==-- (3) 该市这一年龄段的市民中任选一人只喜欢读A 报的概率
()()()
()()[()()] =0.450.10.060.01=0.3
P ABC P AB P ABC P A P AB P AC P ABC =-=-----+
(4) 同理可以求得：该市这一年龄段的市民中任选一人只喜欢读B 报的概率
()()()
()()[()()] =0.340.10.040.01=0.21
P ABC P AB P ABC P B P AB P BC P ABC =-=-----+
该市这一年龄段的市民中任选一人只喜欢读C 报的概率
()()()
()()[()()] =0.200.060.040.01=0.11
P ABC P AC P ABC P C P AC P BC P ABC =-=-----+
故该市这一年龄段的市民中任选一人只喜欢读一种报纸的概率
()()()()
=0.3+0.210.11=0.62P ABC ABC ABC P ABC P ABC P ABC =+++
6．设()0P AB =，则下列说法哪些是正确的？
（1）A 和B 不相容；（2）A 和B 相容；（3）AB 是不可能事件；（4）AB 不一定是不可能事件
（5）()0P A =或()0P B =；（6）()()P A B P A -=。
解 因为概率为零的事件不一定是不可能事件，所以（4）正确；
又因为()()()()P A B P A P AB P A -=-=，所以（6）正确.
习题1.3
1．将10本书任意放到书架上，求其中仅有的3本外文书恰排在一起的概率． 解 设A =“3本外文书排在一起”。10本书总的排法有10！种；3本书排成一列共有3！种，将这3本书排列后作为一个元素与另外7本书在一起有8！种排法，所以，事件A 含有的样本点数为3!8!，故
()3!8!10.0667.10!15
P A === 2．假设十把钥匙中有三把能打开门，今任取两把，求能打开门的概率．
解 设A =“能打开门”。样本空间的样本点总数是21045C =，事件A 含有的样本点
数为211337C C C +，则
21133721032124()0.533.4545
C C C P A C ++===≈ 3．某人欲给朋友打电话，但只记得朋友的电话由五个不同数字组成，其首位是5 ，末位是3 ，中间号不是0 ，只好试拨．求其试拨一次即拨对的概率．
解 设A =“试拨一次即拨对”。由题意，样本空间的样本点总数为37A 个，而正确
的号码只有一个。因此
3711()0.0048.765
P A A ==≈?? 4．从装有5只红球4只黄球3只白球的袋中任意取出3只球，求下列事件的概率：
（1）取到同色球；
（2）取到的球的颜色各不相同．
解（1）设A =“取到3只同色球”。任取3只球的样本点总数是312220C =，取到3
只红球的样本点数是3510C =，取到3只黄球的样本点数是344C =，取到3只白球的样
本点数是331C =，则
333543312104115()0.0682.220220
C C C P A C ++++===≈ （2）设B =“取到的球颜色各不相同”。任取
3只球的样本点总数是312220C =，取到的球颜色各不相同，即取到一只红球一只黄球一只白球，其样本点数是
11154360C C C ??=，则 11154331260()0.2727.220
C C C P B C ??==≈ 5．将上题中的抽取方式改为“放回抽样” ，即每次取出1球，记下颜色后放回，再作抽取，连取三次，求上述两个事件的概率．
解（1）设A =“取到3只同色球”。 样本空间的样本点总数是3121728=，取到3只红球的样本点数是35125=，取到3只黄球的样本点数是3464=，取到3只白球的样本点数是3327=，则
333
3543()121256427216 0.125.17281728
P A ++=++=== 设B =“取到的球颜色各不相同”。 任取3只球的样本点总数是3121728=，取到的球颜色各不相同，即取到一只红球一只黄球一只白球，其样本点数是11135433360C C C A ???=，则
111354333360()0.2083.121728
C C C A P B ???==≈ 6．一部四卷的文集,按任意次序放到书架上,问各卷自左向右,或自右向左的卷号的顺序恰好为1,2,3,4的概率是多少?
解 设A ={文集排列为1,2,3,4或4,3,2,1的次序}，而一切可能的排列总数为4!,n =有利于所讨论的事件的排序项序总数为k =2,即按1,2,3,4及4,3,2,1两种次序排列。则所求概率为
21()4!12
k P A n ====0.0833 7．从5双不同的的鞋中任取4只,求这4只鞋中至少有两只配成一双的概率.
解（1）设A =“4只鞋中至少有两只配成一双}，因为有利于事件A 的取法总数为122585C C C -（即先从5双中任取一双，再在其余8只中任取2只的取法共有1258C C 种。2
5C 是所取四只恰为两双的取法数是重复的数目，应用1258C C 中扣掉）
，所以有 ()122585410
0.61905.C C C P A C -== 8．两封信随机地投入四个邮筒，求前两个邮筒内没有信的概率．
解 设A =“前两个邮筒内没有信”。因为每封信有4种投法，所以两封信共有2416=种投法，而A 所包含的样本点数为22，从而
2
2()0.25.16
P A == 9．一间宿舍内住有6位同学，求他们中有4个人的生日在同一个月份的概率． 解 设A =“6位同学中有4个人的生日在同一个月份”。每位同学的生日可能是12个月份中的一个月份，6位同学的生日可能有612种不同分布方式，而事件A 的样本点
数为41261211C C ??，于是，所求概率为
412
6126
11()0.0073.12C C P A ??=≈ 10．某货运码头仅能容一船卸货,而甲已两船在码头卸货时间分别为1小时和2小时．设甲、乙两船在24小时内随时可能到达，求它们中任何一船都不需等待码头空出的概率。
解 设x,y 分别表示两船到达某地的时刻,用A 表示两船中的任何一船都不需等待码头空出。依题设，样本空间
{(,)|024,024},x y x y Ω=≤<≤<
事件 {(,)|21}A x y x y y x =->->Ω或
显然这是一个几何概型，故
2221123+22()22()==0.8793.()24
m A A P A m ??==ΩΩ的面积的面积
习题1.4
１．设()0.5P A =，()0.6P B =．问 (1) 什么条件下()P AB 可以取最大值，其值是多少？（２）什么条件下()P AB 可以取最小值，其值是多少？
解
（１）因为
()()()()|0.5|P AB P A P B A P B A ==.
要使()P AB 最大，则需()|P B A 最大，当(|)1P B A =时，()P AB 可以取最大值，此时
()=0.5P AB ；
(2) 因为
()()()()+0.50.6()P A B P A P B P A B P A B =
-=+- 所以()1P A B =时，()P AB 取最小值，此时
()=1.1-1=0
P A B 2．设箱中有5个零件，其中2个为不合格品，现从中一个个不放回取零件，求在第三次才取到合格品的概率．
解 设(1,2,3)i A i =表示第i 次取到合格品，则所求概率为
123121312()()(|)(|)
211 15410P A A A P A P A A P A A A ??=?=??=
3．由长期统计资料得知，某一地区在4月份下雨（记为事件A ）的概率为
415,刮风（记为事件B ）的概率为715，既刮风又下雨的概率为110
．求(|),(|)().P A B P B A P A B 及
解 由题设知 4()15P A =，4()15P B =，1()10
P Ab =，则 ()1/103(|)()7/1514
P AB P A B P B ===
()1/103(|)()4/158
P AB P B A P A === ()()()()
47119 15151030
P A B P A P B P AB =+-=+-= 4．某工厂生产的产品中36 ％ 为一等品，54 ％ 为二等品，10 ％ 为三等品．从中任意取出1件产品，已知它不是三等品，求其是一等品的概率．
解 设A =“取出的产品为一等品”，B =“取出的产品为二等品”，C =“取出的产品为三等品”，则
()()()36%,54%,10%.P A P B P C ===
故所求概率为
()()
()()()36%0.4.1110%P AC P A P A C P C P C ==
==-- 5． 一批电子元件中，甲类的占80 ％ ，乙类的占12 ％ ，丙类的占8 ％ ．三类元件的使用寿命能达到指定要求的概率依次为0.9 、0.8和0.7 ．今任取一个元件，求其使用寿命能达到指定要求的概率．
解 设A =“任取一个元件为甲类”，B =“任取一个元件为乙类”，C =“任取一个元件为丙类”，D =“达到指定要求”，则有
()()()80%,12%,8%P A P B P C ===
()()()0.9,0.8,0.7P D A P D B P D C ===
故由全概率公式，有
()()()()()()()P D P A P D A P B P D B P C P D C =?+?+
0.80.90.120.80.080.70.872.=?+?+?=
6．某商店收进甲厂生产的产品30箱，乙厂生产的同种产品20箱． 甲厂每箱装100个，废品率为0.06 ，乙厂每箱装120个，废品率是0.05 ，求：
（1）任取一箱，从中任取1个为废品的概率；
（2）若将所有产品开箱混放，则任取1个为废品的概率为多少？
解 （1）设1A =“任取一箱为甲厂的产品”，2A =“任取一箱为乙厂的产品”， B =“任取一个产品为废品”，则12,A A 构成完备事件组，由全概率公式，有
()()()()()1122P B P A P B A P A P B A =+
320.060.050.05655
=?+?= （2）甲厂产品30箱，每箱100个，废品率为0.06，故共有甲厂产品100303000?=个，其中次品30000.06180?=个；乙厂产品20箱，每箱120个，废品率为0.05，故共有乙厂产品120202400?=个，其中次品24000.05120?=个；两厂产品混到一起，共有产品3000+2400=5400个，其中有次品180+120=300个，所以，从中任取一个为废品的概率是
3001()0.056.540018
P B ==≈ 7．甲袋中有3只白球4只红球，乙袋中有5只白球2只红球．从甲袋中任取2球投入乙袋，再从乙袋中任取2球．求最后取出的2球全是白球的概率．
解 设i A 表示“第一次取到i 只白球”()0,1,2i =，B 表示“第二次取到2只均为白球”，则
012,,A A A 是Ω的一个分割．且()()23427
0,1,2i i i C C P A i C -==，即 ()()()012241,,777
P A P A P A === 又
()()()012557,,181212
P B A P B A P B A =
== 故由全概率公式，可得 ()()()2
0i i i P B P A P B A ==∑
2545170.4008.718712712
=?+?+?≈ 8．设一箱产品共100件，其中次品个数从0到2是等可能的．开箱检验时，从中随机抽取10件，如果发现有次品，则认为该箱产品不合要求而拒收．
（1）求该箱产品通过验收的概率；
（2）若已知该箱产品已通过验收，求其中确实没有次品的概率．
解（1）设i A 表示“次品个数为()0,1,2i i =”，B 表示“该箱产品通过验收”．则由
题意，
有
()()()01213
P A P A P A === ()()()19199011010019282982982101000,0.121.110C C P B A P B A C C C C C P B A C ===+=
=
由全概率公式，得 ()()()()()()()
001122P B P A P B A P A P B A P A P B A =++ 1112100.10.10333110
=?+?+?
≈ 于是该箱通过验收的概率为 ()()110.100.9.P B P B =-=-=
(2) 所求概率为
()()()()()000010.90.37.3
P A P B A P A P A B P B P B ===≈
习题1.5
1. 设0()1P B <<，证明A 、B 相互独立的充分必要条件是
(|)(|)1P A B P A B +=
证明 充分性
因为
P (A ︱B ) ＋ P (A |B ) = 1
即
()()()
1P A B P A B
P A B =-= 故有 ()()()()
()()()1P AB P AB P A P AB P B P B P B -==- ()()()()() 1P AB P B P B P A P AB ?-=-????????
()(
)()P A B P A P B ?=
即A B 、相互独立．
必要性
因为A B 、相互独立，则有 ()()()()()(),P AB P A P B P AB P A P B ==
从而
()()()()()()()(),P AB P AB P A B P A P A B P A P B P B ==== 即
()()()()1P A B P A B P A P A +=+=
2. 甲、乙、丙三门炮向同一飞机射击．设甲、乙、丙射中的概率分别为0.4 、0.5 、0.7 ，又设若只有一门炮射中，飞机坠毁的概率为0.2 ；若有二门炮射中，飞机坠毁的概率为0.6 ；若三门炮射中，飞机坠毁的概率为0.8 ；无人射中，飞机不会坠毁．求飞机坠毁的概率．
解 设B =“飞机坠毁”，i A =“i 门炮弹射中飞机”()1,2,3i =．显然，123,,A A A 构成完备事件组．三门炮各自射击飞机，射中与否相互独立，按加法公式及乘法公式，得
()()()()()10.410.510.710.40.510.7P A =?-?-+-??-
()()10.410.50.70.36+-?-?=
()()()()
20.40.510.70.410.50.710.4P A =??-+?-?+-0.50.70.41??=
()30.40.50.70.14P A =??=
再由题意知
()()()1230.2,0.6,0.8P B A P B A P B A ===
由全概率公式，得
()()()310.360.20.410.60.14
0.80.43
i i i P B P A P B A ===?+?+?=∑ 3. 假设每名射手命中目标的概率都是0.3 ．问须多少名射手同时射击，方能以0.99以上的概率击中目标？
解 设有n 名射手同时射击，则目标被击中的概率为
1()1(0)n
n n
k P k P ==-∑ 由题意，求n ，使
1(0)0.99n P -≥
即
10.70.99 0.70.01n n -≥?≤
可得
13.n ≥
4. 某商家对其销售的笔记本电脑液晶显示器作出如下承诺：若一年内液晶显示器出现重大质量问题，商家保证免费予以更换．已知此种液晶显示器一年内出现重大质量问题的概率为0.005 ，试计算该商家每月销售的200台电脑中一年内须免费予以更换液晶显示器的台数不超过1的概率．
解 根据题意，这是一个0.005p =的200重的伯努利试验问题，所求概率为
2001199200200200(0)(1)0.9950.0050.995P P C +=+??
0.36700.36880.7358.=+=
5. 某工厂生产的仪器中一次检验合格的占60 ％ ，其余的需重新调试． 经重新调试的产品中有80 ％ 经检验合格，而20 ％ 会被判定为不合格产品而不能出厂．现该厂生产了200台仪器，求下列事件的概率：
（1） 全部仪器都能出厂；
（2） 恰有10台不合格.
解 设A =“仪器需要重新调试”，那么A =“仪器能直接出厂”； 又设B =“仪器能出厂”，则AB =“仪器经调试后能出厂”，且易知 B A A B =.于是
()()()
() ()(|)0.60.40.80.92P B P A P AB P A P A P B A =+=+?=+?=
考察200台仪器，相当于()0.92p P B ==的200重伯努利试验，则
（1）2009200(200)0.925710P -==?
（2）{}10190102001900.920.080.0318P X C ==??≈.
6. 某厂的产品，80 ％ 按甲工艺加工，20 ％ 按乙工艺加工， 两种工艺加工出来的产品的合格率分别为0.8与0.9 ．现从该厂的产品中放回地取5件来检验，求其中最多只有一件次品的概率．
解 设A =“产品是按甲工艺加工的”，那么A =“产品是按乙工艺加工的”；又设B =“取出一件产品为次品”，则 由全概率公式，得
()()()()()
P B P A P B A P A P B A =?+?
0.80.20.20.10.18=?+?=
现从该厂的产品中放回地取5件来检验，相当于()0.18p P B ==的200重伯努利试验，则所求概率为 55(0)(1)P P +
005114550.180.820.180.82C C =??+??
0.37070.40690.78.=+≈
综合练习一
一 填空题
1.将一颗骰子连掷两次，该试验的样本空间为（{}(,)|,1,2,3,4,5,6i j i j Ω== ）.
2.三事件A B C 、、至多发生两个可表示为（ABC A
B C 或）. 3.若事件A B 与互斥，()0.6,()0.8P A P A B ==，则()P B =（ 0.4. ）.
4. 已知两个事件A B 和满足条件)()(B A P AB P ?=且()P A p =，则()P B =
( 1p - ).
5.设,A B 为二随机事件，()0.6,()0.2P A P A B =-=，则()P AB =（ 0.6 ）.
6.将一枚硬币连掷两次，则出现一次正面一次反面的概率为（ 12
）. 7. 已知两个随机事件A B 和满足条件()0.5,()0.4,()0.8P A P B P A
B ===，则=)(B A P ( 0.4 ).
8.设5产品中有2件不合格品, 从中任取两件, 已知所取两件产品中有一件是不合
格品, 则另一件也是不合格品的概率为（ 17
）. 9.设某系统由元件A 和两个并联的元件,B C 串联而成，若A B C 、、损坏与否相互独立, 且它们损坏的概率依次为0.3, 0.2, 0.1, 则系统正常工作的的概率为（ 0.089. ）.
10.将一只骰子连续掷3次，则至少有一次出现3点的概率为（ 91216
） . 二 选择题
1．.对掷一枚硬币的试验, “出现正面”称为（ (d) ） .
(a ) 样本空间 (b ) 必然事件 (c ) 不可能事件 (d ) 随机事件
2．设A, B 是任意两个概率不为零的互不相容事件, 则必有（ (d ) ）。
(a )()()()P AB P A P B = (b ) A 与B 相容
(c )A 与B 互不相容 (d ) ()()P A B P A -=
3．设当A B 和同时发生时，事件C 必发生，则（ (b ) ）.
(a )()()()1P C P A P B ≤+- (b ) ()()()1P C P A P B ≥+-
(c ) ()()P C P AB = (d ) ()()P C P A
B = 4．设()0.1,()0.5P B P A B ==，则()P AB =( (d ) ).
() 0.1 () 0.2 (.3 () 0.4
a b c d 5．设A B C 、、为三个随机事件, 且95.0)(,8.0)(=??=?C B A P B A P , 则 =-)(C AB P （ (a ) ）
() 0.15 () 0.25 () 0.35 () 0.45
a b c d 6．设对于事件
,,A B C 有41)()()(===C P B P A P ,()0P BC =，8
1)()(==AC P AB P ,则,,A B C 至少发生一个的概率为 ( (d ) ) 3571() () () () 8882
a b c d 7．设,A B 为两个随机事件，且()0P B >，(|)1P A B =则有（ (c ) ）
(a ) ()()P A B P A ?> (b ) ()()P A B P B ?>
(c ) ()()P A B P A ?= (d ) ()()P A B P B ?>
8．事件,A B 相互独立，且()()()0.7,0.6,P A P B P A B ==-=（ (b ) ）。
() 0.88 () 0.28 () 0.18 () 0.42a b c d
9．设两个相互独立的事件A B 与都不发生的概率为19
, A 发生B 不发生的概率与B 发生A 不发生的概率相等，则()P A = ( (c ) )
2521() () () () 9933
a b c d 10．若, ,()0.9,()0.8,A B A C P A P B C ??==则()P A BC -=（ (a ) ）.
() 0.7 () 0.8 () 0.9 () 0.1a b c d
三 解答题
1．判断关于事件的结论
A B B A -=
是否成立,为什么?
解 利用事件运算的分配律，有
()A B B A B B AB BB AB AB A B -===?==-
显然，A B -一般不等于A,故结论A B B A -=不一定成立，,只有AB =?时，
A B B A -=结论成立.
2．设6位同学每位都等可能地进入十间教室中任何一间自习，求下列事件的概率：
（1） 某指定教室有2位同学；
（2） 6位同学所在的教室各不相同；
（3） 只有2位同学在同一教室；
（4） 至少有2位同学在同一教室．
解 因为对教室中的人数没有限制，所以每位同学都有10种选择，6位同学共有610种选法，即样本点总数为610．
（1）设A =“某指定教室有2位同学”，则A 包含的样本点数为2469C ?，故
24669156561()0.0984.101000000
C P A ??==≈ （2）设B =“6位同学所在的教室各不相同”， 则B 包含的样本点数为610A ，故
6106151200()0.1512.101000000
A P
B === （3）设
C =“只有2位同学在同一教室”，则C 包含的样本点数为2146109
C C A ??，故
21461096453600()0.4536101000000
C C A P C ??=== （4）设
D =“至少有2位同学在同一教室”，则D B ==“6个同学均在不同的教室”，故
()1()1()10.15120.8488P D P D P B =-=-=-=
3．（1）从7副同型号的手套中任意取出4只，求恰有一双配套的概率；
（2）若是7副不同型号的手套，上述事件的概率为何？
解（1）设A =“从7副同型号的手套中任意取出4只，恰有一双配套”，则样本
空间的样本点总数为 4141001C =，事件A 包含的样本点数为13147490C C ?=，于是
()4900.4895.1001
P A =≈ （2）设B =“ 从7副不同型号的手套中任意取出4只，恰有一双配套”， 则样本空间
的样本点总数为，事件B 包含的样本点数为122762420C C =，于是
()4200.4196.1001
P B =≈ 4．甲、乙、丙三个车间生产同种产品，次品率分别为0.05 、0.08 、0.1 ．从三个车间各取1件产品检查，求下列事件的概率：
（1） 恰有2件次品； （2） 至少有1件次品．
解 设 A =“从甲车间取出的是次品”，B =“从乙车间取出的是次品”，C =“从
丙厂取出的是次品”.
（1）设 D=“恰有2件次品”，则D ABC ABC ABC = ，于是
()()()()P D P ABC P ABC P ABC =++
0.050.080.90.050.920.10.950.080.1
0.00360.00460.0076
=??+??+??=++ （2）设E =“至少有1件次品”，则
()1()P E P E =-
10.950.920.910.7866=-??=-=
5． 在[0，1]区间内任取两个数，求两数乘积小于14
的概率。 解 设任取得两个数为x ，y ，用A 表示两数的乘积小于14
这一事件，样本空间 {(,)|01,01},x y x y Ω=≤≤≤≤
事件 1{(,)|1,1,}4A x y xy x y =<≤≤≤≤,00
显然1,S Ω=11411ln 40.59664444
A dx S x =+=+=? 利用几何概型的计算公式有， ()=0.5966A S P A S Ω=
6．甲、乙两人轮流投篮，甲先开始，假定他们的命中率分别为0.4及0.5 ，问谁先投中的概率较大，为多少？
解 设i A 表示“甲第i 次投中”，j B 表示“乙第j 次投中”．事件A =“甲先投中”可表示为
1112112231122334
A A
B A A B A B A A B A B A B A
则甲先投中的概率为
()()()()()1112112231122334P A P A P A B A P A B A B A P A B A B A B A =+++
+
()()230.40.60.50.40.60.50.40.60.50.4=+??+??+??
+
0.440.5710.60.57
==≈-? 即甲先投中的概率较大，概率为0.57。
7．某保险公司把被保险人分为3类：“谨慎的”、“一般的”、“冒失的”。统计资料表
明，上述3种人在一年内发生事故的概率依次为0.05、0.15和0.30；如果“谨慎的”被保的人占20%，“一般的”占50%，“冒失的”占30%.
(1 ) 求被保险的人一年内出事故的概率。
（2）现知某被保险的人在一年内出了事故，则他是“谨慎的”的概率是多少？ 解 （1）设D =“被保险的人一年出事故”，A =“被保险的人是谨慎的”，B =“被保险的人是一般的，C =“被保险的人是冒失的”显然，,,A B C 构成完备事件组．三类人一年内是否出事故，相互独立，
()()()()()()
() =20%0.05+50%0.15+30%0.3=0.175
P D P A P D A P B P D B P C P D C =++??? (2) ()()()
0.01|0.0570.175
P A P D A P A D P D === 8．设某车间共有5台车床，每台车床使用电力是间歇性的，平均每小时约有6分钟使用电力。假设车工们工作是相互独立的，求在同一时刻，
（1）至少有三台车床被使用的概率
（2）至多有有三台车床被使用的概率
（3）至少有一台车床被使用的概率。
解 设A 表示” 车床被使用 ” 即使用电力事件.有 ()60.160
P A p === ()()()3324415501555555(1)345(0.1)(0.9)(0.1)(0.9)(0.1)(0.9)0.0086
p P P P C C C =++=++=
()()44155025555(2)1451(0.1)(0.9)(0.1)(0.9)0.9995
p P P C C =--=--=
()5355(3)1(0)51(0.9)0.4095 p P P =--=-=
9．某种疾病在牲畜中传染的概率为0.25.设对20头牲畜注射某种血清后，其中仍有一头受到感染，试问这种血清是否有效？
解 若这种血清无效,则因每头牲畜注射血清后都有受到感染和未受感染两种结果,且
概率论与数理统计期末复习资料 一 填空 1．设A ，B 为两个随机事件，若A 发生必然导致B 发生，且P (A )=0.6，则P (AB ) =______． 2．设随机事件A 与B 相互独立，且P (A )=0.7，P (A -B )=0.3，则P (B ) = ______． 3．己知10件产品中有2件次品，从该产品中任意取3件，则恰好取到一件次品的概率等于______． 4．已知某地区的人群吸烟的概率是0.2，不吸烟的概率是0.8，若吸烟使人患某种疾病的概率为0.008，不吸烟使人患该种疾病的概率是0.001，则该人群患这种疾病的概率等于______． 5．设连续型随机变量X 的概率密度为? ??≤≤=,,0; 10,1)(其他x x f 则当10≤≤x 时，X 的分布函数F (x )= ______． 6．设随机变量X ～N (1，32 )，则P{-2≤ X ≤4}=______．(附：)1(Φ=0.8413) 7．设二维随机变量(X ，Y )的分布律为 则P {X <1,Y 2≤}=______． 8．设随机变量X 的期望E (X )=2，方差D (X )=4，随机变量Y 的期望E (Y )=4，方差D (Y )=9，又E (XY )=10，则X ，Y 的相关系数ρ= ______． 9．设随机变量X 服从二项分布)3 1,3(B ，则E (X 2 )= ______． 10．中心极限定理证明了在很一般条件下，无论随机变量Xi 服从什么分布，当n →∞时，∑=n i i X 1 的极限分布是 _________________ 11．设总体X ～N (1，4)，x 1，x 2，…，x 10为来自该总体的样本，∑== 10 110 1 i i x x ，则)(x D = ______.· 12．设总体X ～N (0，1)，x 1，x 2，…，x 5为来自该总体的样本，则 ∑=5 1 2i i x 服从自由度为______ 的2χ分布． 15．对假设检验问题H 0：μ=μ0，H 1：μ≠μ0，若给定显著水平0.05，则该检验犯第一类错误的概率为______． 16．设A ，B 为两个随机事件，且A 与B 相互独立，P （A ）=0.3，P （B ）=0.4，则P （A B ）=__________. 17．盒中有4个棋子，其中2个白子，2个黑子，今有1人随机地从盒中取出2个棋子，则这2个棋子颜色相同的 概率为_________. 18．设随机变量X 的概率密度?? ???≤≤=,,0; 10 ,A )(2其他x x x f 则常数A=_________.
全国2011年4月自学考试概率论与数理统计（二） 课程代码：02197 选择题和填空题详解 试题来自百度文库 答案由王馨磊导师提供 一、单项选择题（本大题共10小题，每小题2分，共20分） 在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填写在题后的括号内。错选、多选或未选均无分。 1．设A , B , C , 为随机事件, 则事件“A , B , C 都不发生”可表示为（ A ） A ．C B A B ．C B A C ．C B A D ．C B A 2．设随机事件A 与B 相互独立, 且P (A )=5 1, P (B )=5 3, 则P (A ∪B )= ( B ) A ．253 B ．2517 C ．5 4 D ．2523 3．设随机变量X ~B (3, 0.4), 则P {X ≥1}= ( C ) A ．0.352 B ．0.432 C ．0.784 D ．0.936 解：P{X ≥1}=1- P{X=0}=1-(1-0.4)3=0.784,故选C. 4．已知随机变量X 的分布律为 , 则P {-2＜X ≤4}= ( C ) A ．0.2 B ．0.35 C ．0.55 D ．0.8 解：P {-2＜X ≤4}= P {X =-1}+ P {X =2}=0.2+0.35=0.55，故选C. 5．设随机变量X 的概率密度为4 )3(2 e 2 π21)(+-= x x f , 则E (X ), D (X )分别为 ( ) A ．2,3- B ．-3, 2 C ．2,3 D ．3, 2 与已知比较可知：E(X)=-3，D(X)=2，故选B. 6．设二维随机变量 (X , Y )的概率密度为? ??≤≤≤≤=,,0, 20,20,),(其他y x c y x f 则常数 c = ( A ) A ．4 1 B ．2 1 C ．2 D ．4 解：设D 为平面上的有界区域，其面积为S 且S>0，如果二维随机变量 （X ，Y ）的概率密度为 则称 （X ，Y ）服从区域D 上的均匀分布，
数三《概率论与数理统计》教学大纲 教材：四川大学数学学院邹述超、何腊梅：《概率论与数理统计》，高等教育出版社出，2002年8月。 参考书：袁荫棠：《概率论与数理统计》（修订本），中国人民大学出版社。 四川大学数学学院概率统计教研室：《概率论与数理统计学习指导》 总学时：60学时，其中：讲课50学时，习题课10学时。 学分：3学分。 说明： 1.生源结构：数三的学生是由高考文科生和一部分高考理科生构成。有些专业全是文科生或含极少部分理科生（如：旅游管理，行政管理），有些专业约占1/4～1/3的理科生（国贸，财政学，经济学），有些专业全是理科生（如：国民经济管理，金融学）。 2.高中已讲的内容：高中文、理科都讲了随机事件的概率、互斥事件的概率、独立事件的概率，即教材第一章除条件概率以及有关的内容以外，其余内容高中都讲了。高中理科已讲离散型随机变量的概率分布（包括二项分布、几何分布）和离散型随机变量的期望与方差，统计基本概念、频率直方图、正态分布、线性回归。而高中文科则只讲了一点统计基本概念、频率直方图、样本均值和样本方差的简单计算。 3.基本要求：学生的数学基础差异大，不同专业学生对数学课重视程度的差异大，这就给讲授这门课带来一定的难度，但要尽量做到“分层次”培养学生。高中没学过的内容要重点讲解，学过的内容也要适当复习或适当增加深度。讲课时，既要照顾数学基础差的学生，多举基本例子，使他们掌握大纲要求的基本概念和方法；也要照顾数学基础好的学生，使他们会做一些综合题以及简单证明题。因为有些专业还要开设相关的后继课程（如：计量经济学），将用到较多的概率统计知识；还有一部分学生要考研，数三的概率考研题往往比数一的难。 该教材每一章的前几节是讲述基本概念和方法，习题(A)是针对基本方法的训练而编写的，因此，这一部分内容须重点讲解，并要求学生必须掌握；每一章的最后一节是综合例题，习题(B)具有一定的综合性和难度，可以选讲部分例题，数学基础好的学生可选做(B)题。 建议各章学时分配(+号后面的是习题课学时)： 第一章随机事件及其概率 一、基本内容 随机事件的概念及运算。概率的统计定义、古典定义及公理化定义。概率的基本性质、加法公式、条件概率与乘法公式、全概率公式、贝叶斯公式。事件的独立性，独立随机试验、
·1· 习 题 一 1．写出下列随机试验的样本空间及下列事件中的样本点： （1）掷一颗骰子，记录出现的点数. A =‘出现奇数点’； （2）将一颗骰子掷两次，记录出现点数. A =‘两次点数之和为10’，B =‘第一次的点数，比第二次的点数大2’； （3）一个口袋中有5只外形完全相同的球，编号分别为1,2,3,4,5；从中同时取出3只球，观察其结果，A =‘球的最小号码为1’； （4）将,a b 两个球，随机地放入到甲、乙、丙三个盒子中去，观察放球情况，A =‘甲盒中至少有一球’； （5）记录在一段时间内，通过某桥的汽车流量，A =‘通过汽车不足5台’，B =‘通过的汽车不少于3台’。 解 （1）123456{,,,,,}S e e e e e e =其中i e =‘出现i 点’ 1,2,,6i =L ， 135{,,}A e e e =。 （2）{(1,1),(1,2),(1,3),(1,4),(1,5),(1,6)S = (2,1),(2,2),(2,3),(2,4),(2,5),(2,6) (3,1),(3,2),(3,3),(3,4),(3,5),(3,6) (4,1),(4,2),(4,3),(4,4),(4,5),(4,6) (5,1),(5,2),(5,3),(5,4),(5,5),(5,6) (6,1),(6,2),(6,3),(6,4),(6,5),(6,6)}； {(4,6),(5,5),(6,4)}A =； {(3,1),(4,2),(5,3),(6,4)}B =。 （ 3 ） {(1,2,3),(2,3,4),(3,4,5),(1,3,4),(1,4,5),(1,2,4),(1,2,5) S = (2,3,5),(2,4,5),(1,3,5)} {(1,2,3),(1,2,4),(1,2,5),(1,3,4),(1,3,5),(1,4,5)}A = （ 4 ） {(,,),(,,),(,,),(,,),(,,),(,,), S ab ab ab a b a b b a =--------- (,,),(,,,),(,,)}b a a b b a ---，其中‘-’表示空盒； {(,,),(,,),(,,),(,,),(,,)}A ab a b a b b a b a =------。 （5）{0,1,2,},{0,1,2,3,4},{3,4,}S A B ===L L 。 2．设,,A B C 是随机试验E 的三个事件，试用,,A B C 表示下列事件：
一、填空题（每小题3分，共15分） 1． 设事件B A ,仅发生一个的概率为0.3，且5.0)()(=+B P A P ，则B A ,至少有一个不发 生的概率为__________. 答案：0.3 解： 3.0)(=+B A B A P 即 )(25.0)()()()()()(3.0AB P AB P B P AB P A P B A P B A P -=-+-=+= 所以 1.0)(=AB P 9.0)(1)()(=-==AB P AB P B A P . 2． 设随机变量X 服从泊松分布，且)2(4)1(==≤X P X P ，则==)3(X P ______. 答案： 161-e 解答： λλ λ λλ---= =+==+==≤e X P e e X P X P X P 2 )2(, )1()0()1(2 由 )2(4)1(==≤X P X P 知 λλλ λλ---=+e e e 22 即 0122 =--λλ 解得 1=λ，故 16 1)3(-= =e X P 3． 设随机变量X 在区间)2,0(上服从均匀分布，则随机变量2 X Y =在区间)4,0(内的概率 密度为=)(y f Y _________. 答案： 04,()()0,. Y Y X y f y F y f <<'===? 其它 解答：设Y 的分布函数为(),Y F y X 的分布函数为()X F x ，密度为()X f x 则 2 ()()())))Y X X F y P Y y P X y y y y y =≤=≤ =≤- - 因为~(0,2)X U ，所以(0X F = ，即()Y X F y F = 故
第一章 随机事件和概率 第一节 基本概念 1、排列组合初步 （1）排列组合公式 )! (! n m m P n m -= 从m 个人中挑出n 个人进行排列的可能数。 )! (!! n m n m C n m -= 从m 个人中挑出n 个人进行组合的可能数。 例1．1：方程 x x x C C C 765107 11=-的解是 A ． 4 B ． 3 C ． 2 D ． 1 例1．2：有5个队伍参加了甲A 联赛，两两之间进行循环赛两场，试问总共的场次是多少？ (2)加法原理（两种方法均能完成此事）：m+n 某件事由两种方法来完成，第一种方法可由m 种方法完成，第二种方法可由n 种方法来完成，则这件事可由m+n 种方法来完成。 (3)乘法原理（两个步骤分别不能完成这件事）：m ×n 某件事由两个步骤来完成，第一个步骤可由m 种方法完成，第二个步骤可由n 种方法来完成，则这件事可由m ×n 种方法来完成。 例1．3：从5位男同学和4位女同学中选出4位参加一个座谈会，要求与会成员中既有男同学又有女同学，有几种不同的选法？ 例1．4：6张同排连号的电影票，分给3名男生和3名女生，如欲男女相间而坐，则不同的分法数为多少？ 例1．5：用五种不同的颜色涂在右图中四个区域里，每一区域涂上一种颜
色，且相邻区域的颜色必须不同，则共有不同的涂法 A．120种B．140种 C．160种D．180种 (4)一些常见排列 ①特殊排列 ②相邻 ③彼此隔开 ④顺序一定和不可分辨 例1．6：晚会上有5个不同的唱歌节目和3个不同的舞蹈节目，问：分别按以下要求各可排出几种不同的节目单？ ①3个舞蹈节目排在一起； ②3个舞蹈节目彼此隔开； ③3个舞蹈节目先后顺序一定。 例1．7：4幅大小不同的画，要求两幅最大的排在一起，问有多少种排法？ 例1．8：5辆车排成1排，1辆黄色，1辆蓝色，3辆红色，且3辆红车不可分辨，问有多少种排法？ ①重复排列和非重复排列（有序） 例1．9：5封不同的信，有6个信箱可供投递，共有多少种投信的方法？ ②对立事件 例1．10：七人并坐，甲不坐首位，乙不坐末位，有几种不同的坐法？ 例1．11：15人中取5人，有3个不能都取，有多少种取法？ 例1．12：有4对人，组成一个3人小组，不能从任意一对中取2个，问有多少种可能性？
第1章 概率论的基本概念 1.1 随机试验 称满足以下三个条件的试验为随机试验： （1）在相同条件下可以重复进行； （2）每次试验的结果不止一个，并且能事先明确所有的可能结果； （3）进行试验之前，不能确定哪个结果出现。 1.2 样本点 样本空间 随机事件 随机试验的每一个可能结果称为一个样本点，也称为基本事件。 样本点的全体所构成的集合称为样本空间，也称为必然事件。必然事件在每次试验中必然发生。 随机试验的样本空间不一定唯一。在同一试验中，试验的目的不同时，样本 空间往往是不同的。所以应从试验的目的出发确定样本空间。 样本空间的子集称为随机事件，简称事件。 在每次试验中必不发生的事件为不可能事件。 1.3 事件的关系及运算 （1）包含关系 B A ?，即事件A 发生，导致事件B 发生； （2）相等关系 B A =，即B A ?且A B ?； （3）和事件（也叫并事件） B A C ?=，即事件A 与事件B 至少有一个发生； （4）积事件（也叫交事件） B A AB C ?==，即事件A 与事件B 同时发生； （5）差事件 AB A B A C -=-=，即事件A 发生，同时，事件B 不发生； （6）互斥事件（也叫互不相容事件） A 、 B 满足φ=AB ，即事件A 与事件B 不同时发生； （7）对立事件（也叫逆事件） A A -Ω=，即φ=Ω=?A A A A ,。
1.4 事件的运算律 （1）交换律 BA AB A B B A =?=?,； （2）结合律 ()()()()C AB BC A C B A C B A =??=??,； （3）分配律 ()()()()()()C A B A BC A AC AB C B A ??=??=?,； （4）幂等律 A AA A A A ==?, ； （5）差化积 B A AB A B A =-=-； （6）反演律（也叫德·摩根律）B A AB B A B A B A B A ?==?=?=?,。 1.5 概率的公理化定义 设E 是随机试验，Ω为样本空间，对于Ω中的每一个事件A ，赋予一个实数P （A ），称之为A 的概率，P （A ）满足： （1）1)(0≤≤A P ； （2）1)(=ΩP ； （3）若事件 ，，， ，n A A A 21两两互不相容，则有 () ++++=????)()()(2121n n A P A P A P A A A P 。 1.6 概率的性质 （1）0)(=φP ； （2）若事件n A A A ，， ， 21两两不互相容，则())()()(2121n n A P A P A P A A A P +++=??? ； （3）)(1)(A P A P -=； （4）)()()(AB P B P A B P -=-。 特别地，若B A ?，则)()(),()()(B P A P A P B P A B P ≤-=-； （5）)()()()(AB P B P A P B A P -+=?。
习题1.1解答 1. 将一枚均匀的硬币抛两次，事件C B A ,,分别表示“第一次出现正面”，“两次出现同一面”，“至少有一次出现正面”。试写出样本空间及事件C B A ,,中的样本点。 解：{=Ω(正，正)，（正，反），（反，正），（反，反）} {=A (正，正)，（正，反）}；{=B （正，正），（反，反）} {=C (正，正)，（正，反），（反，正）} 2. 在掷两颗骰子的试验中，事件D C B A ,,,分别表示“点数之和为偶数”，“点数之和小于5”，“点数相等”，“至少有一颗骰子的点数为3”。试写出样本空间及事件D C B A BC C A B A AB ---+,,,,中的样本点。 解：{})6,6(,),2,6(),1,6(,),6,2(,),2,2(),1,2(),6,1(,),2,1(),1,1( =Ω； {})1,3(),2,2(),3,1(),1,1(=AB ； {})1,2(),2,1(),6,6(),4,6(),2,6(,),5,1(),3,1(),1,1( =+B A ； Φ=C A ；{})2,2(),1,1(=BC ； {})4,6(),2,6(),1,5(),6,4(),2,4(),6,2(),4,2(),5,1(=---D C B A 3. 以C B A ,,分别表示某城市居民订阅日报、晚报和体育报。试用C B A ,,表示以下事件： （1）只订阅日报； （2）只订日报和晚报； （3）只订一种报； （4）正好订两种报； （5）至少订阅一种报； （6）不订阅任何报； （7）至多订阅一种报； （8）三种报纸都订阅； （9）三种报纸不全订阅。 解：（1）C B A ； （2）C AB ； （3）C B A C B A C B A ++； （4）BC A C B A C AB ++; （5）C B A ++； （6）C B A ； （7）C B A C B A C B A C B A +++或C B C A B A ++ （8）ABC ； （9）C B A ++ 4. 甲、乙、丙三人各射击一次，事件321,,A A A 分别表示甲、乙、丙射中。试说明下列事件所表示的结果：2A , 32A A +, 21A A , 21A A +, 321A A A , 313221A A A A A A ++. 解：甲未击中；乙和丙至少一人击中；甲和乙至多有一人击中或甲和乙至少有一人未击中；甲和乙都未击中；甲和乙击中而丙未击中；甲、乙、丙三人至少有两人击中。 5. 设事件C B A ,,满足Φ≠ABC ，试把下列事件表示为一些互不相容的事件的和：C B A ++，C AB +，AC B -. 解：如图：
一、选 择 题 (本大题分5小题, 每小题4分, 共20分) (1)设A 、B 互不相容，且P(A)>0，P(B)>0，则必有( ) (A)0)(>A B P (B))()(A P B A P = (C)0)(=B A P (D))()()(B P A P AB P = (2)将3粒黄豆随机地放入4个杯子，则杯子中盛黄豆最多为一粒的概率为（ ） 3311() () () ()32 8 168 A B C D (3)),4,(~2 μN X ),5,(~2 μN Y }5{},4{21+≥=-≤=μμY P p X P p ，则( ) (A)对任意实数21,p p =μ （B ）对任意实数21,p p <μ (C)只对μ的个别值，才有21p p = （D ）对任意实数μ，都有21p p > (4)设随机变量X 的密度函数为)(x f ，且),()(x f x f =-)(x F 是X 的分布函数，则对任意 实数a 成立的是( ) （A ）? - =-a dx x f a F 0 )(1)( （B ）?-= -a dx x f a F 0 )(21)( （C ）)()(a F a F =- （D ）1)(2)(-=-a F a F (5)已知1250,,,X X X L 为来自总体()2,4X N :的样本，记50 11,50i i X X ==∑ 则 50 21 1()4i i X X =-∑服从分布为( ) （A ）4(2, )50N (B) 2 (,4)50 N （C ）()250χ (D) ()249χ 二、填 空 题 (本大题5小题, 每小题4分, 共20分) (1) 4.0)(=A P ,3.0)(=B P ,4.0)(=?B A P ,则___________)(=B A P (2) 设随机变量X 有密度? ??<<=其它01 0,4)(3x x x f , 则使)()(a X P a X P <=> 的常数a = (3) 设随机变量),2(~2 σN X ，若3.0}40{=< 概率论与数理统计复习 第一章 概率论的基本概念 一.基本概念 随机试验E:(1)可以在相同的条件下重复地进行;(2)每次试验的可能结果不止一个,并且能事先明确试验的所有可能结果;(3)进行一次试验之前不能确定哪一个结果会出现. 样本空间S: E 的所有可能结果组成的集合. 样本点(基本事件):E 的每个结果. 随机事件(事件):样本空间S 的子集. 必然事件(S):每次试验中一定发生的事件. 不可能事件(Φ):每次试验中一定不会发生的事件. 二. 事件间的关系和运算 1.A ?B(事件B 包含事件A )事件A 发生必然导致事件B 发生. 2.A ∪B(和事件)事件A 与B 至少有一个发生. 3. A ∩B=AB(积事件)事件A 与B 同时发生. 4. A -B(差事件)事件A 发生而B 不发生. 5. AB=Φ (A 与B 互不相容或互斥)事件A 与B 不能同时发生. 6. AB=Φ且A ∪B=S (A 与B 互为逆事件或对立事件)表示一次试验中A 与B 必有一个且仅有一个发生. B=A, A=B . 运算规则 交换律 结合律 分配律 德?摩根律 B A B A = B A B A = 三. 概率的定义与性质 1.定义 对于E 的每一事件A 赋予一个实数,记为P(A),称为事件A 的概率. (1)非负性 P(A)≥0 ; (2)归一性或规范性 P(S)=1 ; (3)可列可加性 对于两两互不相容的事件A 1,A 2,…(A i A j =φ, i ≠j, i,j=1,2,…), P(A 1∪A 2∪…)=P( A 1)+P(A 2)+… 2.性质 (1) P(Φ) = 0 , 注意: A 为不可能事件 P(A)=0 . (2)有限可加性 对于n 个两两互不相容的事件A 1,A 2,…,A n , P(A 1∪A 2∪…∪A n )=P(A 1)+P(A 2)+…+P(A n ) (有限可加性与可列可加性合称加法定理) (3)若A ?B, 则P(A)≤P(B), P(B -A)=P(B)-P(A) . (4)对于任一事件A, P(A)≤1, P(A)=1-P(A) . (5)广义加法定理 对于任意二事件A,B ,P(A ∪B)=P(A)+P(B)-P(AB) . 对于任意n 个事件A 1,A 2,…,A n ()()() () +∑ + ∑ - ∑=≤<<≤≤<≤=n k j i k j i n j i j i n i i n A A A P A A P A P A A A P 111 21 …+(-1)n-1P(A 1A 2…A n ) 四.等可能(古典)概型 1.定义 如果试验E 满足:(1)样本空间的元素只有有限个,即S={e 1,e 2,…,e n };(2)每一个基本事件的概率相等,即P(e 1)=P(e 2)=…= P(e n ).则称试验E 所对应的概率模型为等可能(古典)概型. 2.计算公式 P(A)=k / n 其中k 是A 中包含的基本事件数, n 是S 中包含的基本事件总数. 五.条件概率 1.定义 事件A 发生的条件下事件B 发生的条件概率P(B|A)=P(AB) / P(A) ( P(A)>0). 2.乘法定理 P(AB)=P(A) P (B|A) (P(A)>0); P(AB)=P(B) P (A|B) (P(B)>0). P(A 1A 2…A n )=P(A 1)P(A 2|A 1)P(A 3|A 1A 2)…P(A n |A 1A 2…A n-1) (n ≥2, P(A 1A 2…A n-1) > 0) 3. B 1,B 2,…,B n 是样本空间S 的一个划分(B i B j =φ,i ≠j,i,j=1,2,…,n, B 1∪B 2∪…∪B n =S) ,则 当P(B i )>0时,有全概率公式 P(A)= ()()i n i i B A P B P ∑=1 概率论与数理统计课程教学大纲 一、课程说明 （一）课程名称：概率论与数理统计 所属专业：物理学 课程性质：必修 学分：3 （二）课程简介、目标与任务； 《概率论与数理统计》是研究随机现象规律性的一门学科；它有着深刻的实际背景，在自然科学、社会科学、工程技术、军事和工农业生产等领域中有广泛的应用。通过本课程的学习，使学生掌握概率与数理统计的基本概念，并在一定程度上掌握概率论认识问题、解决问题的方法。同时这门课程的学习对培养学生的逻辑思维能力、分析解决问题能力也会起到一定的作用。 （三）先修课程要求，与先修课与后续相关课程之间的逻辑关系和内容衔接； 先修课程：高等数学。后续相关课程：统计物理。《概率论与数理统计》需要用到高等数学中的微积分、级数、极限等数学知识与计算方法。它又为统计物理、量子力学等课程提供了数学基础，起了重要作用。 （四）教材与主要参考书。 教材： 同济大学数学系编，工程数学–概率统计简明教程（第二版），高等教 育出版社，2012. 主要参考书： 1.浙江大学盛骤，谢式千，潘承毅编，概率论与数理统计（第四版）， 高等教育出版社，2008. 2.J.L. Devore, Probability and Statistics(fifth ed.)概率论与数 理统计（第5版）影印版，高等教育出版社，2004. 二、课程内容与安排 第一章随机事件 1.1 样本空间和随机事件； 1.2 事件关系和运算。 第二章事件的概率 2.1概率的概念；2.2 古典概型；2.3几何概型；2.4 概率的公理化定义。第三章条件概率与事件的独立性 3.1 条件概率； 3.2 全概率公式； 3.3贝叶斯公式；3.4 事件的独立性； 3.5 伯努利试验和二项概率。 第四章随机变量及其分布 4.1 随机变量及分布函数；4.2离散型随机变量；4.3连续型随机变量。 第五章二维随机变量及其分布 5.1 二维随机变量及分布函数；5.2 二维离散型随机变量；5.3 二维连续随机变量；5.4 边缘分布； 5.5随机变量的独立性。 第六章随机变量的函数及其分布 6.1 一维随机变量的函数及其分布；6.2 多元随机变量的函数的分布。 第七章随机变量的数字特征 7.1数学期望与中位数； 7.2 方差和标准差； 7.3协方差和相关系数； *7.4大数律； 7.5中心极限定理。 第八章统计量和抽样分布 8.1统计与统计学；8.2统计量；8.3抽样分布。 第九章点估计 习 题 一 1．写出下列随机试验的样本空间及下列事件中的样本点： （1）掷一颗骰子，记录出现的点数. A =‘出 现奇数点’； （2）将一颗骰子掷两次，记录出现点数. A = ‘两次点数之和为10’，B =‘第一次的点数，比第二次的点数大2’； （3）一个口袋中有5只外形完全相同的球，编号分别为1,2,3,4,5；从中同时取出3只球，观察其结果，A =‘球的最小号码为1’； （4）将,a b 两个球，随机地放入到甲、乙、丙三个盒子中去，观察放球情况，A =‘甲盒中至少有一球’； （5）记录在一段时间内，通过某桥的汽车流量， A =‘通过汽车不足5台’， B =‘通过的汽车不 少于3台’。 解 （1）123456{,,,,,}S e e e e e e =其中i e =‘出现i 点’1,2,,6i =L ， 135{,,}A e e e =。 （2） {(1,1),(1,2),(1,3),(1,4),(1,5),(1,6)S = (6,1),(6,2),(6,3),(6,4),(6,5),(6,6)}； {(4,6),(5,5),(6,4)}A =； {(3,1),(4,2),(5,3),(6,4)}B =。 （3） {(1,2,3),(2,3,4),(3,4,5),(1,3,4),(1,4,5),(1,2,4),(1,2,5)S = （4） {(,,),(,,),(,,),(,,),(,,),(,,), S ab ab ab a b a b b a =--------- (,,),(,,,),(,,)}b a a b b a ---，其中‘-’表示空盒； {(,,),(,,),(,,),(,,),(,,)}A ab a b a b b a b a =------。 （5） {0,1,2,},{0,1,2,3,4},{3,4,} S A B ===L L 。 2．设,,A B C 是随机试验E 的三个事件，试用 ,,A B C 表示下列事件： （1）仅A 发生； （2）,,A B C 中至少有两个发生； （3）,,A B C 中不多于两个发生； （4）,,A B C 中恰有两个发生； （5）,,A B C 中至多有一个发生。 解 （1）ABC （2）AB AC BC U U 或 ABC ABC ABC ABC U U U ； （3）A B C U U 或 ABC ABC ABC ABC ABC ABC ABC U U U U U U ； （4）ABC ABC ABC U U ； （5）AB AC BC U U 或 ABC ABC ABC ABC U U U ； 3．一个工人生产了三件产品，以(1,2,3)i A i =表示第i 件产品是正品，试用i A 表示下列事件：（1）没有一件产品是次品；（2）至少有一件产品是次品；（3）恰有一件产品是次品；（4）至少有两件产品不是次品。 解 （1）123A A A ；（2）123A A A U U ；（3） 123123123A A A A A A A A A U U ；（4）121323A A A A A A U U 。 4．在电话号码中任取一个电话号码，求后面四个数字全不相同的概率。 解 设A =‘任取一电话号码后四个数字全不相同’，则 5．一批晶体管共40只，其中3只是坏的，今从中任取5只，求 （1）5只全是好的的概率； （2）5只中有两只坏的的概率。 解 （1）设A =‘5只全是好的’，则 537540 ()0.662C P A C =B ； 《概率论与数理统计》 试卷A （考试时间：90分钟； 考试形式：闭卷） （注意：请将答案填写在答题专用纸上，并注明题号。答案填写在试卷和草稿纸上无效） 一、单项选择题(本大题共20小题，每小题2分，共40分) 1、A ，B 为二事件，则A B = U () A 、A B B 、A B C 、A B D 、A B U 2、设A ，B ，C 表示三个事件，则A B C 表示( ) A 、A ， B ， C 中有一个发生 B 、A ，B ，C 中恰有两个发生 C 、A ，B ，C 中不多于一个发生 D 、A ，B ，C 都不发生 3、A 、B 为两事件，若()0.8P A B =U ，()0.2P A =，()0.4P B =， 则( )成立 A 、()0.32P A B = B 、()0.2P A B = C 、()0.4P B A -= D 、()0.48P B A = 4、设A ，B 为任二事件，则( ) A 、()()()P A B P A P B -=- B 、()()()P A B P A P B =+U C 、()()()P AB P A P B = D 、()()()P A P AB P AB =+ 5、设事件A 与B 相互独立，则下列说法错误的是() A 、A 与 B 独立 B 、A 与B 独立 C 、()()()P AB P A P B = D 、A 与B 一定互斥 6、设离散型随机变量X 的分布列为 其分布函数为()F x ，则(3)F =() A 、0 B 、0.3 C 、0.8 D 、1 7、设离散型随机变量X 的密度函数为4,[0,1] ()0, cx x f x ?∈=??其它 ，则常数c = () A 、 15 B 、1 4 C 、4 D 、5 《概率论与数理统计》基本名词中英文对照表英文中文 Probability theory 概率论 mathematical statistics 数理统计 deterministic phenomenon 确定性现象 random phenomenon 随机现象 sample space 样本空间 random occurrence 随机事件 fundamental event 基本事件 certain event 必然事件 impossible event 不可能事件 random test 随机试验 incompatible events 互不相容事件 frequency 频率 classical probabilistic model 古典概型 geometric probability 几何概率 conditional probability 条件概率 multiplication theorem 乘法定理 Bayes's formula 贝叶斯公式 Prior probability 先验概率 Posterior probability 后验概率 Independent events 相互独立事件 Bernoulli trials 贝努利试验 random variable 随机变量 probability distribution 概率分布 distribution function 分布函数 discrete random variable 离散随机变量distribution law 分布律hypergeometric distribution 超几何分布 random sampling model 随机抽样模型binomial distribution 二项分布 Poisson distribution 泊松分布 geometric distribution 几何分布 probability density 概率密度 continuous random variable 连续随机变量uniformly distribution 均匀分布exponential distribution 指数分布 numerical character 数字特征mathematical expectation 数学期望 variance 方差 moment 矩 central moment 中心矩 n-dimensional random variable n-维随机变量 two-dimensional random variable 二维离散随机变量joint probability distribution 联合概率分布 joint distribution law 联合分布律 joint distribution function 联合分布函数boundary distribution law 边缘分布律 《概率论与数理统计》课程教学大纲 一、课程基本信息 课程编号：450006 课程名称：概率论与数理统计 课程类别：公共基础课（必修） 学时学分：理论48学时/3学分 适用专业：计算机、自动化、经管各专业 开课学期：第一学期 先修课程：高等数学 后续课程： 执笔人： 审核人： 制（修）订时间：2015.9 二、课程性质与任务 概率论与数理统计是研究随机现象客观规律性的数学学科，是高等学校理、工、管理类本科各专业的一门重要的基础理论课。通过本课程的教学，应使学生掌握概率论与数理统计的基本概念，了解它的基本理论和方法，从而使学生初步掌握处理随机事件的基本思想和方法，培养学生运用概率统计方法分析和解决实际问题的能力。 三、课程教学基本要求 本课程以课堂讲授为主，致力于讲清楚基本的概率统计思想，使学生掌握基本的概率、统计计算方法。注意培养基本运算能力、分析问题和解决实际问题的能力。讲授中运用实例来说明本课程应用的广泛性和重要性。每节课布置适量的习题以巩固所学知识，使学生能够运用概率统计思想和方法解决一些实际问题。 四、课程教学内容及各教学环节要求 （一）概率论的基本概念 1、教学目的 理解随机现象、样本空间、随机事件、概率等概念，掌握事件的关系与运算，掌握古典概犁及其计算、条件概率的计算、全概率公式和贝叶斯公式的应用。 2、教学重点与难点 （1）教学重点 ① 概率、条件概率与独立性的概念； ② 加法公式；乘法公式；全概率公式；贝叶斯公式。 （2）教学难点 ① 古典概型的有关计算；② 全概率公式的应用； ③ 贝叶斯公式的应用。 3、教学方法 采用传统教学方式，以课堂讲授为主，课堂讨论、多媒体演示、课下辅导等为辅的教学方法。加强互动教学，学生对课程的某一学术问题通过检索资料、实际调查来提高自学能力和实践应用能力。 4、教学要求 （1）理解随机试验、样本空间、随机事件等基本概念；熟练掌握事件的关系及运算 （2）理解频率和概率定义；熟练掌握概率的基本性质 （3）理解等可能概型的定义性质；,会计算等可能概型的概率 （4）理解条件概率的定义；熟练掌握加法公式、乘法公式、全概率公式和贝叶斯公式（5）理解事件独立性概念,掌握应用独立性进行概率计算 （二）随机变量及其分布 1、教学目的 了解随机变量的概念；理解离散型随机变量的分布律和连续型随机变量的概率密度的概念及性质，会利用性质确定分布律和概率密度；理解分布函数的概念及性质，会利用此概念和性质确定分布函数，会利用概率分布计算有关事件的概率；掌握正态分布、均匀分布、指数分布、0-1分布、二项分布、泊松分布，会求简单的随机变量函数的分布 2、教学重点与难点 （1）教学重点 ① 随机变量及其概率分布的概念； ② 离散型随机变量分布律的求法； 概率论与数理统计基本知识点 一、概率的基本概念 1．概率的定义: 在事件上的一个集合函数P ，如果它满足如下三个条件： （1）非负性 A A P ?≥,0)( （2）正规性 1)(=ΩP （3）可列可加性 若事件,...,2,1,=n A n 两两互斥 则称P 为概率。 2．几何概型的定义: 若随机试验的样本空间对应一个度量有限的几何区域S ，每一基本事件与S 内的点一一对应，则任一随机事件A 对应S 中的某一子区域D 。（若事件A 的概率只与A 对应的区域D 的度量成正比，而与D 的形状及D 在S 中的位置无关。）==（每点等可能性）则称为几何概型。 的度量 对应区域的度量 对应区域S D )()()(Ω=Ω= A m A m A P 3．条件概率与乘法公式： 设A,B 是试验E 的两个随机事件，且0)(>B P ,则称) () ()|(B P AB P B A P = 为事件B 发生的条件下，事件A 发生的条件概率。（其中)(AB P 是AB 同时发生的概率） 乘法公式：)|()()|()()(B A P B P A B P A P AB P == 4．全概率公式与贝叶斯公式： （全概率公式）定理：设n A A A ...,21是样本空间Ω的一个划分，n i A P i ,...,2,1,0)(=>，B 是任一事件，则有∑== n i i i A B P A P B P 1 )|()()(。 （贝叶斯公式）定理：设n A A A ...,21是样本空间Ω的一个划分，n i A P i ,...,2,1,0)(=>，B 是任一事件，则∑== =?n k k k i i A B P A P A B P A P B A P n i 1 ) |()() |()()|(,,...,2,1。 5．事件的独立性： 两事件的独立性：（定义）设A 、B 是任意二事件，若P(AB)= P(A)P(B)，则称事件A 、B 是相互独立的。（直观解释）A 、B 为试验E 的二事件，若A 、 B 的发生互不影响。 二、随机变量和分布函数: 《概率论与数理统计》课程标准 一、课程概述 （一）课程定位 《概率论与数理统计》(Probability Theory and Mathematical Statistics)，由概率论和数理统计两部分组成。它是研究随机现象并找出其统计规律的一门学科，是广泛应用于社会、经济、科学等各个领域的定量和定性分析的科学体系。从学科性质讲，它是一门基础性学科，它为建筑专业学生后继专业课程的学习提供方法论的指导。 （二）先修后续课程 《概率论与数理统计》的先修课程为《高等数学》、《线性代数》等，这些课程为本课程的学习奠定了理论基础。 《概率论与数理统计》的后续课程为《混凝土结构设计》、《地基与基础》等课程。通过该课程的学习可为这些课程中的模型建立等内容的知识学习奠定良好的基础,在教学中起到了承上启下的作用。 二.课程设计思路 本课程的基本设计思路是极力用较为通俗的语言阐释概率论的基本理论和数理统计思想方法;理论和方法相结合，以强调数理统计理论的应用价值。总之,强调理论与实际应用相结合的特点,力求在实际应用方面做些有益的探索，也为其它学科的 进一步学习打下一个良好的基础。 三、课程目标 《概率论与数理统计》是一门几乎遍及所有的科学技术领域以及工农业生产和国民经济各部门之中。通过学习该课程使学生掌握概率、统计的基本概念，熟悉数据处理、数据分析、数据推断的各种基本方法，并能用所掌握的方法具体解决工程实践中所遇到的各种问题。 （一）能力目标 力求在简洁的基础上使学生能从整体上了解和掌握该课程的内容体系，使学生能够在实际工作中、其它学科的学习中能灵活、自如地应用这些理论。 （二）知识目标 1.理解掌握概率论中的相关概念和公式定理； 2.学会应用概率论的知识解决一些基本的概率计算； 3.理解数理统计的基本思想和解决实际问题的方法。 （三）素质目标 1.培养学生乐于观察、分析、不断创新的精神； 2.培养具有较好的逻辑思维、较强的计划、组织和协调能力； 3.培养具有认真、细致严谨的职业能力。 四、课程内容 根据能力培养目标的要求，本课程的主要内容是随机事件、随机变量、随机向量、数字特征、极限定理。具体内容和学时分配见表4-1。 表4-1 课程内容和学时分配概率论与数理统计考研复习资料
概率论与数理统计课程教学大纲
概率论与数理统计课后习题答案
概率论与数理统计期末考试卷答案
《概率论与数理统计》基本名词中英文对照表
《概率论与数理统计》课程教学大纲
概率论与数理统计基本知识
(完整版)概率论与数理统计课程标准
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