运筹学作业2（第二章部分习题）答案
2．1 题 （P . 77） 写出下列线性规划问题的对偶问题：
（1）123123123123123m ax 224..34223343500,z x x x s t x x x x x x x x x x x x =++?
?
++≥??++≤?
?
++≤?
≥≥??无约束，；
解：根据原—对偶关系表，可得原问题的对偶规划问题为：
123123123123123m ax 235..223424334,0,0w y y y s t y y y y y y y y y y y y =++??++≤??++≤?
?++=?
≥≤≤??
（2）111
1
m in ,1,,,1,,0,1,,;1,,m n ij ij i j n ij ij i j n
ij ij j j ij z c x c x a i m c x b j n
x i m j n
====?=?
?
?
==????==??≥==??∑∑∑∑ 解：根据原—对偶关系表，可得原问题的对偶规划问题为：
11m ax 1,,;1,,m n i i j j
i j i j ij i w a u b v u v c i m j n u ==?
=+???+≤?
?==?
??∑∑ j 无约束，v 无约束
2．2判断下列说法是否正确，为什么？
（1） 如果线性规划的原问题存在可行解，则其对偶问题也一定存在可行解； 答：错。
因为：若线性规划的原问题存在可行解，且其对偶问题有可行解，则原问题和可行问题都将有最优解。但，现实中肯定有一些问题是无最优解的，故本题说法不对。
例如原问题
12
12212m ax 31..30,0z x x x x s t x x x =++≥??≤?
?≥≥?有可行解，但其对偶问题
12
11212m in 33..10,0w y y y s t y y y y =+≥??+
≥??≤≥?无可行解。
（2） 如果线性规划的对偶问题无可行解，则原问题也一定无可行解；
答：错，如（1）中的例子。
（3） 在互为对偶的一对原问题与对偶问题中，不管原问题是求极大或求极小，原问题可
行解的目标函数值一定不超过其对偶问题可行解的目标函数值。
答：错。正确说法是：在互为对偶的一对原问题与对偶问题中，求极大的问题可行解的目标函数值一定不超过求极小的问题可行解的目标函数值。
（4） 任何线性规划问题具有唯一的对偶问题。
答：正确。
2．5给出线性规划问题
123
123123123123m ax 221..
22
0,0,0z x x x x x x x x x s t x x x x x x =+++-≤?
?-+=??
++≥??≥≥≥? 写出其对偶问题；（2）利用对偶问题性质证明原问题目标函数值1z ≤
解：（1）原问题的对偶问题为：
123
123123123123m in 22212..
10,,0w y y y y y y y y y s t y y y y y y =++++≥?
?-+≤??
-++=?
?≥≤?无约束 （2）取()011T y =，既1230,1,0y y y ===，经验证，()011T
y =是对偶问题的一个可行解，并且1w =。由对偶问题的性质可得1z w ≤=
2．9 用对偶单纯形法求解下列线性规划问题：
（2）123
123123
123m in 524324..63510,,0z x x x x x x s t x x x x x x =++++≥??++≥??≥?
,
解：先将原问题进行标准形化：
123
1234123512345m ax ()524324
..63510
,,,,0
z x x x x
x x x s t x x x x x x x x x -=---++-=??++-=??≥? 选45,x x 为基变量，并将问题化为：
123
12341235
12345m ax ()524324
..63510,,,,0
z x x x x x x x s t x x x x x x x x x -=------+=-??---+=-??≥?
列表计算如下：
优解，即(2/3,2,0),22/2x z **==
运筹学作业2（第二章部分习题）答案 2．4 给出线性规划问题 123412341234min 2356232.. 2330,1,2,3,4 j z x x x x x x x x s t x x x x x j =+++?+++≥? -+-+≤-??≥=? （1）写出其对偶问题；（2）用图解法解对偶问题；（3）利用（2）的结果及根据对偶问 题性质写出原问题的最优解。 解：（1）原问题的对偶问题为： 12 12121212 12max 2322 23.. 35 36 0,0 w y y y y y y s t y y y y y y =--≤??+≤?? -≤??+≤??≥≤? 或者等价变形为： 12 12121212 12max 232223..3536 0,0 w y y y y y y s t y y y y y y =++≤??-≤?? +≤??-≤??≥≥? （2）用图解法求解对偶问题 12 12121212 max 2322 23.. 3536 w y y y y y y s t y y y y =++≤??-≤?? +≤??-≤ 如图示，可行区域为四边形OABC ，最优顶点为B 点，即(1.6,0.2)y * =， 3.8w * =
（3）利用互补松紧定理及（2）的结果求解原问题： 设原问题的最优解为( )1 23 4x x x x x ** ***=。 由于121.60, 0.20y y * * =>=>，故在最优解()12 3 4x x x x x ** * **=处有： 1234 1234232 2330,1,2,3,4j x x x x x x x x x j ******** * ?+++=??-+-+=-??≥=?? 又因对偶问题第4个约束方程为：1.6-0.6=1<6，故40x * =，代入上式得到： 123 123232 230,1,2,3,4j x x x x x x x j ****** * ?++=??-+-=-??≥=?? 原问题有无穷多个最优解。令30x *=得到解为1 1.6x *=，20.2x *= 即()1.60.200x * =， 3.8z * = 2．8题解答见课堂讲解。 2．9 用对偶单纯形法求解下列线性规划问题： （2） 123 123123123min 524324 .. 63510,,0z x x x x x x s t x x x x x x =++++≥?? ++≥??≥? , 解：先将原问题进行标准形化： 1231234123512345max()524324 .. 63510,,,,0 z x x x x x x x s t x x x x x x x x x -=---++-=?? ++-=??≥? 选45,x x 为基变量，并将问题化为： 1231234123512345max()524324 .. 63510,,,,0z x x x x x x x s t x x x x x x x x x -=------+=-?? ---+=-??≥? 列表计算如下：
第一章线性规划1、 由图可得：最优解为 2、用图解法求解线性规划： Min z=2x1+x2 ? ? ? ? ? ? ? ≥ ≤ ≤ ≥ + ≤ + - 10 5 8 24 4 2 1 2 1 2 1 x x x x x x 解： 由图可得：最优解x=1.6,y=6.4
Max z=5x 1+6x 2 ? ?? ??≥≤+-≥-0 ,23222212 121x x x x x x 解： 由图可得：最优解Max z=5x 1+6x 2, Max z= +∞
Maxz = 2x 1 +x 2 ????? ? ?≥≤+≤+≤0,5242261552121211x x x x x x x 由图可得：最大值?????==+35121x x x ， 所以?????==2 3 21x x max Z = 8.
12 12125.max 2328416412 0,1,2maxZ .j Z x x x x x x x j =+?+≤? ≤?? ≤??≥=?如图所示，在（4，2）这一点达到最大值为2 6将线性规划模型化成标准形式： Min z=x 1-2x 2+3x 3 ????? ??≥≥-=++-≥+-≤++无约束 321 321321321,0,05232 7x x x x x x x x x x x x 解：令Z ’=-Z,引进松弛变量x 4≥0，引入剩余变量x 5≥0，并令x 3=x 3’-x 3’’,其中 x 3’≥0,x 3’’≥0 Max z ’=-x 1+2x 2-3x 3’+3x 3’’ ????? ? ?≥≥≥≥≥≥-=++-=--+-=+-++0 ,0,0'',0',0,05 232 '''7'''543321 3215332143321x x x x x x x x x x x x x x x x x x x
第二章 对偶问题与灵敏度分析 一、写出下列线性规划的对偶问题 1、P89,2.1(a) 321422min x x x Z ++= s.t ???????≥=++≤++≥++.,0,;534;332;2433213213 21321无约束 x x x x x x x x x x x x 解：原模型可化为 321422min x x x Z ++= s.t ????? ? ?≥=++≥≥++.,0,;534; 3-3--2-;24332 13 2 1 321321321无约束x x x y y y x x x x x x x x x 于是对偶模型为 321532max y y y W +-= s.t ???????≥≤+-≤+-≤+-.,0,;4334;243;223213213 21321无约束 y y y y y y y y y y y y 2、P89,2.1(b) 321365max x x x Z ++= s.t ???????≤≥≤++≥-+-=++.0,0,;8374;35;5223213213 21321x x x x x x x x x x x x 无约束 解：令033≥-='x x 原模型可化为 3 21365max x x x Z '-+=
s.t ????? ??≥'≥≤'+≤'='+.0,0,;83-74;3--5-;52-2321 3 21 3213 21321x x x y y y x x x x x x x x x 无约束 于是对偶模型为 321835min y y y W +-= s.t ?? ?????≥-≥---≥+-=++.0,,;332; 6752; 543213213 21321y y y y y y y y y y y y 无约束 或???????≥≤++≥+-=++.0,,;332;6752;54321321321321y y y y y y y y y y y y 无约束 二、灵敏度分析 1、P92, 2.11线性规划问题 213max x x Z += s.t ??? ??≥≤+≤+0,1025; 742 12121x x x x x x 最优单纯形表如下 C J 3 1 0 0 C B X B b x 1 x 2 x 3 x 4 3 x 1 4/3 1 0 2/3 -1/3 1 X 2 5/3 0 1 -5/3 4/3 j σ -1/3 -1/3 试用灵敏度分析的方法，分析： （1） 目标函数中的系数21,c c 分别在什么范围内变化，最优解不变？ （2） 约束条件右端常数项21,b b 分别在什么范围内变化，最优基保持不变？ 解：（1） 1c 的分析：要使得最优解不变，则需
第二章作业1 1．ABC会计师事务所接受委托审计Y公司2012年度的财务报表。A审计人员了解和测试了与应收账款相关的内部控制，并将控制风险评估为高水平。A审计人员取得2012年12月31日的应收账款明细账并于2013年1月15日采用积极式函证方式对所有重要客户寄发了询证函。A审计人员将与函证结果相关的重要异常情况汇总于下表： 异常情况 异常情况函证 编号 客户 名称 询证 金额 (元) 回函日期回函内容 （1）22甲300 0002013年1月 22日 购买Y公司300 000元货物属 实，但款项目 于2012年12月 25 H用支票支 付 （2）56乙500 0002013年1月 19日 因产品质量不 符合要求，根 据购货合刚， 于2012年12月 28日将货物退 回 （3）64丙640 0002013年1月 19日 2012年12月10 日收到Y公司 委托本公目代 销的货物64 000元尚未销 售 （5）134丁600 000因地址错 误，被 邮局退回 —— 要求： 针对上述各种异常情况，A审计人员应分别相应实施哪些重要审计程序? 2.CPA对甲公司的内部控制进行了解和测试时，注意到下列情况：（1）根据批准的顾客订单，销售部编制预先连续编号的一式三联现销或赊销销售单。经销售部被授权人批准后，第一联送仓库作为按销售单供货和发货给装运部门的依据，第二联交开具账单部门，第三联由销售部留存。 （2）仓库根据批准的销售单供货，装运部门将从仓库提取的商品与销售单核对无误后装运，并编制一式四联预先连续编号的发运单，其中三
联及时分送开具账单部门、仓库和顾客，一联留存装运部门。 （3）开具账单部门在收到发运单并与销售单核对无误后，编制预先连续编号的销售发票，并将其连同发运单和销售单及时送交会计部门。会计部门在核对无误后由财务部门人员据以登记销售收入和应收账款明细账。 要求：逐项指出甲公司内控制度在设计上是否存在缺陷，并提出改进建议。
第二章习题 12、对于下面的线性规划问题，以()632,,A A A B =为基写出相对应的典式。 ???? ? ?? ??=≥=+++-=++-=++-+-61,010 8341242723..2min 6 3215214321321 j x x x x x x x x x x x x t s x x x j 解：由题可以知： ???? ? ?????---=100834010042001213A []000121-=T C 取一个基()65 4 A A A B =，即：??????????-=183004021B 且???? ? ?????---=834042213N []012-=T B C []001=T N C 在matlab 中可以计算得到： ?? ????? ?????????--=-14740812104101 B []T b B b 39531-==- 1-=b C T B ?? ?? ??-=--832 1 4 51T N T B C N B C 由() N T N T B T B x C N B C b C Z --=-1可得典式的目标函数： 5418 3 21451x x x Z +---= 由b Nx B x N B =+-1可得：
???? ?? ???-=+---=+++=++-39474225 581214 5 34 121 6541 54 3152 1x x x x x x x x x x x 由此与题中线性规划问题相对应的典式为： ?? ????? ?? ????? ? =≥-=+---=+++=++-+---=6,,1,039 4742255 812145341 21..8321451min 65415431521541 j x x x x x x x x x x x x t s x x x Z j 14、用单纯形法求解线面的线性规划问题，并在平面上画出迭代点走过的路线。 ????? ??????≥≤≤+≤+≤+--=0 ,10443186052..2min 21221212121x x x x x x x x x t s x x z 解：由题先将题中线性规划问题化为标准形： ?? ??? ? ???? ?=≥=+=++=++=++--=6,,1,010*********..2min 625214213212 1 j x x x x x x x x x x x x t s x x z j 由此可写出A ，即为：????? ???? ???=10 0010 010********* 000152A
第二章会计科目、账户和复式记账班级学号 一、单项选择题 1.会计科目是指对（ B ）的具体容进行分类核算的项目。 A. 经济业务 B. 会计要素 C.会计账户 D. 会计信息 2.会计科目按其（B ）不同，可分为资产类、负债类、所有者权益类、成本类和损益类科目。 A. 反映的会计对象 B. 反映的经济业务 C. 反映的经济容 D. 提供信息的详细程度及其统驭关系 3.会计科目按其（D ）不同，分为总分类科目和明细分类科目。 A. 反映的会计对象 B. 反映的经济业务 C. 反映的经济容 D. 提供信息的详细程度及其统驭关系 4.应根据企业自身特点，设置符合企业需要的会计科目，是指会计科目设置的（D ）原则。 A. 合法性 B. 相关性 C. 谨慎性 D. 实用性 5.对会计要素具体容进行总括分类、提供总括信息的会计科目称为（A. ）。 A. 总分类科目 B. 明细分类科目 C. 二级科目 D. 备查科目 6.下列会计科目中，属于损益类科目的是(B. )。 A. 预收账款 B. 销售费用 C. 制造费用 D. 利润分配 7.下列会计科目中，（B. ）属于成本类科目。 A. 其他业务成本 B. 生产成本 C. 管理费用 D. 主营业务成本 8.“其他业务成本”科目按其反映的经济容，属于（D. ）类科目。 A. 资产 B. 所有者权益 C. 成本 D. 损益 9.账户是根据（ C ）设置的，具有一定格式和结构，用于分类反映会计要素增减变动情况及其结果的载体。 A. 会计要素 B. 会计对象 C. 会计科目 D. 会计信息 10.根据明细分类科目设置的账户称为（B. ）。 A. 总账账户 B. 明细账户 C. 备查账户 D. 综合账户 11.下列账户中，属于所有者权益类账户的是（A ）。 A. 本年利润 B. 主营业务收入 C. 应付账款 D. 投资收益 12.“制造费用”科目按其反映的经济容，属于（ D. ）类科目。 A. 资产 B. 负债 C. 所有者权益 D. 成本 13.关于会计科目与账户之间的关系，下列说法中不正确的是（D. ）。 A. 两者核算容一致 B. 两者性质相同 C. 会计科目是设置账户的依据 D. 两者都有一定的结构和格式 14.账户的余额按照表示的时间不同，分为（D. ）。 A. 期初余额 B. 本期增加发生额和本期减少发生额 C. 期末余额 D. 期初余额和期末余额 15.某账户的期初余额为500元，期末余额为3000元，本期减少发生额为800元，则本期增加发生额为（D. ）元。 A. 4300 B. 2200 C. 1700 D. 3300 16.某账户的期初余额为1500元，本期增加发生额为13300，期末余额为13000元，则
第一章 第一章 1. 建立线性规划问题要具备三要素：决策变量、约束条件、目标函数。决策变量（Decision Variable）是决策问题待定的量值，取值一般为非负；约束条件（Constraint Conditions）是指决策变量取值时受到的各种资源条件的限制，保障决策方案的可行性；目标函数（Objective Function）是决策者希望实现的目标，为决策变量的线性函数表达式，有的目标要实现极大值，有的则要求极小值。 2.（1）设立决策变量； （2）确定极值化的单一线性目标函数； （3）线性的约束条件：考虑到能力制约，保证能力需求量不能突破有效供给量； （4）非负约束。 3.（1）唯一最优解：只有一个最优点 （2）多重最优解：无穷多个最优解 （3）无界解：可行域无界，目标值无限增大 （4）没有可行解：线性规划问题的可行域是空集 无界解和没有可行解时，可能是建模时有错。 4. 线性规划的标准形式为：目标函数极大化，约束条件为等式，右端常数项bi≥0 , 决策变量满足非负性。 如果加入的这个非负变量取值为非零的话，则说明该约束限定没有约束力，对企业来说不是紧缺资源，所以称为松弛变量；剩余变量取值为非零的话，则说明“≥”型约束的左边取值大于右边规划值，出现剩余量。 5. 可行解：满足约束条件AX =b,X≥0的解，称为可行解。 基可行解：满足非负性约束的基解，称为基可行解。 可行基：对应于基可行解的基，称为可行基。 最优解：使目标函数最优的可行解，称为最优解。 最优基：最优解对应的基矩阵，称为最优基。 6. 计算步骤： 第一步，确定初始基可行解。 第二步，最优性检验与解的判别。 第三步，进行基变换。 第四步，进行函数迭代。 判断方式： 唯一最优解：所有非基变量的检验数为负数，即σj< 0 无穷多最优解：若所有非基变量的检验数σj≤ 0 ，且存在某个非基变量xNk 的检验数σk= 0 ，让其进基，目标函数的值仍然保持原值。如果同时存在最小θ值，说明有离基变量，则该问题在两个顶点上同时达到最优，为无穷多最优解。无界解：若某个非基变量xNk 的检验数σk> 0 ，但其对应的系数列向量P k' 中，每一个元素a ik' (i=1,2,3,…,m)均非正数，即有进基变量但找不到离基变量。
判断题 判断正误，如果错误请更正 第二章线形规划的对偶理论 1.原问题第i个约束是<=约束,则对偶变量yi>=0. 2.互为对偶问题,或则同时都有最优解,或则同时都无最优解. 3.原问题有多重解,对偶问题也有多重解. 4.对偶问题有可行解,原问题无可行解,则对偶问题具有无界解. 5.原问题无最优解,则对偶问题无可行解. 6.设X,Y分别为｛minZ=CX｜AX>=b,X>=0｝和｛maxw=Yb｜YA<=C,Y>=0｝的可行解,则有 (1)CX<=Yb; (2)CX是w的上界; (3)当X,Y为最优解,CX=Yb; (4)当CX=Yb 时,有YXs+YsX=0; (5)X为最优解且B是最优基时,则Y=CB-1是最优解; (6)松弛变量Ys的检验数是λs,则X=-λs是基本解,若Ys是最优解, 则X=-λs是最优 解. 7.原问题与对偶问题都可行,则都有最优解. 8.原问题具有无界解,则对偶问题可行. 9.若X,Y是原问题与对偶问题的最优解.则X=Y. 10.若某种资源影子价格为0,则该资源一定有剩余. 11影子价格就是资源的价格. 12.原问题可行对偶问题不可行,可用对偶单纯形法计算. 13.对偶单纯形法比值失效说明原问题具有无界解. 14.对偶单纯形法是直接解对偶问题的一种解法. 15.减少一个约束,目标值不会比原来变差. 16.增加一个约束,目标值不会比原来变好.
17增加一个变量, 目标值不会比原来变差. 18.减少一个非基变量, 目标值不变. 19.当Cj(j=1,2,3,……，n)在允许的最大范围内同时变化时，最优解不变。 选择题 在下列各题中，从4个备选答案中选出一个或从5个备选答案中选出2~5个正确答案。 第二章线性规划的对偶理论 1.如果决策变量数列相等的两个线规划的最优解相同，则两个线性规划 A约束条件相同 B目标函数相同 C最优目标函数值相同 D以上结论都不对 2.对偶单纯形法的最小比值规则是为了保证 A使原问题保持可行 B使对偶问题保持可行 C逐步消除原问题不可行性 D逐步消除对偶问题不可行性 3.互为对偶的两个线性规划问题的解存在关系 A若最优解存在，则最优解相同 B原问题 无可行解，则对偶问题也无可行解 C对偶问题无可行解，原问题可能无可行解 D一个问题无界，则另一个问题无可行解 E一个问题无可行解，则另一个问题具有无界解4.已知规范形式原问题（max）的最优表中的检验数为（λ1，λ2，……λn），松弛变量 的检验数为（λn+1,λn+2,……λn+m）,则对偶问题的最优解为 A—（λ1，λ2，…… λn） B （λ1，λ2，……λn） C —（λn+1,λn+2,……λn+m）D（λn+1,λn+2,…… λn+m） 5.原问题与对偶问题都有可行解，则 A原问题有最优解，对偶问题可能没有最优解B原 问题与对偶问题可能都没有最优解 C可能一个问题有最优解，另一个问题具有无界解D 原问题与对偶问题都有最优解 计算题 线性规划问题和对偶问题 对于如下的线性规划问题 min z = 3x 1 + 2x 2 +x 3
数字电子技术作业答案 班级_________ _ 学号_____ __ 姓名_____________ 第2章逻辑门电路 1．简答题。 （1）什么是逻辑门电路？基本门电路是指哪几种逻辑门？ （2）说明分立元件门电路、TTL门电路和CMOS门电路的概念？并比较TTL电路和CMOS电路的优、缺点。 （3）试说明能否将与非门、或非门、异或门当做反相器使用？如果可以，其他多余输入端应如何连接？ （4）OC 门和三态门有什么特点？在使用中应注意什么？ 答：（1）能够实现基本和常用逻辑关系具体器件构成的电子线路，称为逻辑门电路。基本门电路是指与门﹑或门﹑非门等电路。 （2）分立元件门电路是由晶体管及电阻等构成。集成逻辑门电路是把构成门电路的元器件和连接线集成在一片半导体芯片上制成的电路和系统。TTL门电路是由三极管-三极管构成的集成逻辑门电路。COMS门电路是由互补MOS管组成的单极型集成电路。COMS电路抗干扰能力强，速度快，静态损耗小，工作电压范围宽，有取代TTL门电路的趋势。 （3）与非门当反相器使用时，把多余输入端接高电平；或非门当反相器使用时，多余输入端接低电平；异或门当反相器使用时，把多余输入端接高电平。 （4）OC 门可以线与，使用时应加上拉电阻。三态门输出有 3 种状态：0 态、1 态、高阻态。当使能端电平有效时，处于工作态；当使能端无效时，输出高阻态。挂在同一条总线上的三态门在任何时刻只能有一个门处于工作态。 2．写出图1（a）～（f）所示电路输出Y1～Y6的逻辑表达式。设TTL门电路的R OFF=700Ω，R ON=3kΩ。 图1
解：B Y Y AB Y Y Y B A Y =====+=4543216,1,,0,1, 3．写出图2（a ）～（d ）所示电路的输出Y 1～Y 4的输出逻辑表达式。 图2 解：，输出时，，输出时，B G C A G C 2110==所以 BC C A BC C A AB C B C A C B C A C B C A Y +=++=++=+=⊕+=))((1)(1 A B A AB B A B A Y =+=+=2B ， 输出时，，输出时，B G C A G C 2110==所以 ) (3C B C A Y +=C B C A +=1 B A B A B A B A Y +=+=4 4．试判断图3（a ）～（f ）所示TTL 门电路输出与输入之间的逻辑关系哪些是正确的？哪些是错误的？并将接法错误的进行改正。
第一章习题 1.思考题 （1）微分学求极值的方法为什么不适用于线性规划的求解？ （2）线性规划的标准形有哪些限制？如何把一般的线性规划化为标准形式？ （3）图解法主要步骤是什么？从中可以看出线性规划最优解有那些特点？ （4）什么是线性规划的可行解，基本解，基可行解？引入基本解和基可行解有什么作用？ （5）对于任意基可行解，为什么必须把目标函数用非基变量表示出来？什么是检验数？它有什么作用？如何计算检验数？ （6）确定换出变量的法则是什么？违背这一法则，会发生什么问题？ （7）如何进行换基迭代运算？ （8）大M法与两阶段法的要点是什么？两者有什么共同点？有什么区别？ （9）松弛变量与人工变量有什么区别？试从定义和处理方式两方面分析。 （10）如何判定线性规划有唯一最优解，无穷多最优解和无最优解？为什么？ 2.建立下列问题的线性规划模型： （1）某厂生产A，B，C三种产品，每件产品消耗的原料和设备台时如表1-18所示： 润最大的模型。 （2）某公司打算利用具有下列成分（见表1-19）的合金配制一种新型合金100公斤，新合金含铅，锌，锡的比例为3：2：5。 如何安排配方，使成本最低？ （3）某医院每天各时间段至少需要配备护理人员数量见表1-20。
表1-20 假定每人上班后连续工作8小时，试建立使总人数最少的计划安排模型。能否利用初等数学的视察法，求出它的最优解？ （4）某工地需要30套三角架，其结构尺寸如图1-6所示。仓库现有长6.5米的钢材。如何下料，使消耗的钢材最少？ 图1-6 3. 用图解法求下列线性规划的最优解： ?????? ?≥≤+-≥+≥++=0 ,425.134 1 2 64 min )1(21212 12121x x x x x x x x x x z ?????? ?≥≤+≥+-≤++=0 ,82 5 1032 44 max )2(21212 12121x x x x x x x x x x z ????? ????≥≤≤-≤+-≤++=0 ,6 054 4 22232 96 max )3(2122 1212121x x x x x x x x x x x z ??? ??≥≤+-≥+ +=0,1 12 34 3 max )4(2 12 12121x x x x x x x x z
第二章线性表习题(答案) 1.描述以下三个概念的区别：头指针，头结点，首元素结点。 首元结点是指链表中存储线性表中第一个数据元素a1的结点。为了操作方便，通常在链表的首元结点之前附设一个结点，称为头结点，该结点的数据域中不存储线性表的数据元素，其作用是为了对链表进行操作时，可以对空表、非空表的情况以及对首元结点进行统一处理。头指针是指向链表中第一个结点（或为头结点或为首元结点）的指针。 若链表中附设头结点，则不管线性表是否为空表，头指针均不为空。否则表示空表的链表的头指针为空。 2.填空： （1）在顺序表中插入或删除一个元素，需要平均移动一半元素，具体移动的元素个数与插入或删除的位置有关。 （2）在顺序表中，逻辑上相邻的元素，其物理位置也相邻。在单链表中，逻辑上相邻的元素，其物理位置不一定相邻。 （3）在带头结点的非空单链表中，头结点的存储位置由头指针指示，首元素结点的存储位置由头结点的next域指示，除首元素结点外，其它任一元素结点的存储位置由其直接前趋的next域指示。 3．已知L是无表头结点的单链表，且P结点既不是首元素结点，也不是尾元素结点。按要求从下列语句中选择合适的语句序列。 a. 在P结点后插入S结点的语句序列是：（4）、（1）。 b. 在P结点前插入S结点的语句序列是：（7）、（11）、（8）、（4）、（1）。 c. 在表首插入S结点的语句序列是：（5）、（12）。 d. 在表尾插入S结点的语句序列是：（11）、（9）、（1）、（6）。 供选择的语句有： （1）P->next=S; （2）P->next= P->next->next; （3）P->next= S->next;（4）S->next= P->next; （5）S->next= L; （6）S->next= NULL;（7）Q= P; （8）while(P->next!=Q) P=P->next; （9）while(P->next!=NULL) P=P->next; （10）P= Q; （11）P= L; （12）L= S; （13）L= P; 4.设线性表存于a[n]中且递增有序。试写一算法，将X插入到线性表的适当位置上，以保 持线性表的有序性。 void insertData(int a[],int data) { int i,location=0; for(i=0;i 2-1 什么叫流线、流管？流线与迹线有什么区别？ 答：流线就是在流场中某一瞬间作出的一条空间曲线，使这一瞬间在该曲线上各点的流体质点所具有的速度方向与曲线在该点的切线方向重合。 在流场中经过一封闭曲线(不是流线)的所有流线所围成的管状表面，称为流管。 流线是反映流场某瞬时流速方向的曲线。其是同一时刻，由不同流体质点组成的。迹线是同一质点不同时刻的轨迹线。在定常流动中，流线形状不随时间改变，流线与迹线重合。在非定常流动中，流线的形状随时间而改变，流线与迹线不重合。 2-2 直角坐标系中，流场速度分量的分布为 22u xy =，22v x y = 试证过点（1，7）的流线方程为 2248y x -= 积分得22y x c -= 代入点（1，7）求积分常数48c = ∴过点（1，7）的流线方程为2248y x -= 2-3 设流场中的速度大小及流线的表达式为 V =22y xy +=常数 求速度分量的表达式。 解：对22y xy +=常数求导，2220dy dy y y x dx dx ++=，得出dy y dx x y -=+ u 和v 的关系，x y u v y +=- 代入V =得v y =± 求得u 和v 的表达式：,v y u x y ==--或,v y u x y =-=+ 2-4 求第2-3题中速度分量u 的最大变化率及方向。 解：梯度矢量G grad i j k x y z ???????==++??? ()u x y =±+ ()u u G grad i j i j x y ???==+=±+?? G = 2-5 试证在柱坐标系（,,r z θ）下，速度的散度表达式为 1()r r V V w divV V r r z θθ???=+++??? 证：u v w divV x y z ???=++??? cos x r θ=，sin y r θ=，r dr V dt =，rd V dt θθ= cos sin r dx u V V dt θθθ==- sin cos r dy v V V dt θθθ==+ sin cos u u r u u u x r x x r r θθθθθ???????=+=-??????? cos sin v v r v v v y r y y r r θθθθθ???????=+=+??????? cos r u V r r θ??=?? ，sin (sin cos )r u V V V θθθθθθθ ??=--+?? sin r v V r r θ??=?? ，cos (cos sin )r v V V V θθθθθθθ ??=+-?? 222222cos sin sin sin cos cos r r r r r r u v V V V V V V V V V x y r r r r r r r r r θθθθθθθθθθθθ????????+=+++++=++????????代入1()r r u v w V V w divV V x y z r r z θθ??????=++=+++?????? 2-6 在不可压流中，下列哪几个流动满足质量守恒条件？ （a ）3sin u x y =- 23cos v x y =- （b ）3sin u x y = 23cos v x y =- （c ）2sin cos u r θθ= 22sin v r θ=- （d ）2k V r = 22x y +=常数 运筹学基础及应用 习题解答 习题一 P46 1.1 (a) 该问题有无穷多最优解，即满足2 1 0664221≤≤=+x x x 且的所有()21,x x ，此时目标函数值3=z 。 (b) 用图解法找不到满足所有约束条件的公共范围，所以该问题无可行解。 1.3 (a) (1) 图解法 4 最优解即为?? ?=+=+82594321 21x x x x 的解??? ??=23,1x ，最大值235=z (2)单纯形法 首先在各约束条件上添加松弛变量，将问题转化为标准形式 ???=++=+++++=8 25943 ..00510 max 421321 4321x x x x x x t s x x x x z 则43,P P 组成一个基。令021==x x 得基可行解()8,9,0,0=x ，由此列出初始单纯形表 21σσ>。5 839,58min = ?? ? ??=θ 02>σ，2328,1421min =??? ? ?=θ 0,21<σσ，表明已找到问题最优解0 , 0 , 2 3 1,4321= ===x x x x 。最大值 235 *=z (b) (1) 图解法 \\ 最优解即为?? ?=+=+5 24262121x x x x 的解??? ??=23,27x ，最大值217=z (2) 单纯形法 首先在各约束条件上添加松弛变量，将问题转化为标准形式 21=+x x 2621+x x 1234523124125 max 2000515.. 6224 5z x x x x x x x s t x x x x x x =+++++=?? ++=??++=? 则3P ，4P ，5P 组成一个基。令021==x x 得基可行解()0,0,15,24,5x =，由此列出初始单纯形表 21σσ>。245min ,,461θ? ?=-= ?? ? 02>σ，15 33min ,24,5 22θ??== ??? 新的单纯形表为 运筹学作业2（第二章部分习题）答案 2．1 题 （P . 77） 写出下列线性规划问题的对偶问题： （1）123123123123123m ax 224..34223343500,z x x x s t x x x x x x x x x x x x =++? ? ++≥??++≤? ? ++≤? ≥≥??无约束，； 解：根据原—对偶关系表，可得原问题的对偶规划问题为： 123123123123123m ax 235..223424334,0,0w y y y s t y y y y y y y y y y y y =++??++≤??++≤? ?++=? ≥≤≤?? （2）111 1 m in ,1,,,1,,0,1,,;1,,m n ij ij i j n ij ij i j n ij ij j j ij z c x c x a i m c x b j n x i m j n ====?=? ? ? ==????==??≥==??∑∑∑∑ 解：根据原—对偶关系表，可得原问题的对偶规划问题为： 11m ax 1,,;1,,m n i i j j i j i j ij i w a u b v u v c i m j n u ==? =+???+≤? ?==? ??∑∑ j 无约束，v 无约束 2．2判断下列说法是否正确，为什么？ （1） 如果线性规划的原问题存在可行解，则其对偶问题也一定存在可行解； 答：错。 因为：若线性规划的原问题存在可行解，且其对偶问题有可行解，则原问题和可行问题都将有最优解。但，现实中肯定有一些问题是无最优解的，故本题说法不对。 例如原问题 12 12212m ax 31..30,0z x x x x s t x x x =++≥??≤? ?≥≥?有可行解，但其对偶问题 12 11212m in 33..10,0w y y y s t y y y y =+≥??+ ≥??≤≥?无可行解。 （2） 如果线性规划的对偶问题无可行解，则原问题也一定无可行解； 答：错，如（1）中的例子。 （3） 在互为对偶的一对原问题与对偶问题中，不管原问题是求极大或求极小，原问题可 行解的目标函数值一定不超过其对偶问题可行解的目标函数值。 答：错。正确说法是：在互为对偶的一对原问题与对偶问题中，求极大的问题可行解的目标函数值一定不超过求极小的问题可行解的目标函数值。 （4） 任何线性规划问题具有唯一的对偶问题。 答：正确。 2．5给出线性规划问题 123 123123123123m ax 221.. 22 0,0,0z x x x x x x x x x s t x x x x x x =+++-≤? ?-+=?? ++≥??≥≥≥? 写出其对偶问题；（2）利用对偶问题性质证明原问题目标函数值1z ≤ 解：（1）原问题的对偶问题为： 123 123123123123m in 22212.. 10,,0w y y y y y y y y y s t y y y y y y =++++≥? ?-+≤?? -++=? ?≥≤?无约束 （2）取()011T y =，既1230,1,0y y y ===，经验证，()011T y =是对偶问题的一个可行解，并且1w =。由对偶问题的性质可得1z w ≤= 2．9 用对偶单纯形法求解下列线性规划问题： （2）123 123123 123m in 524324..63510,,0z x x x x x x s t x x x x x x =++++≥??++≥??≥? , 1、用邻苯二甲酸酐与1mol 乙二醇、1mol 丙三醇进行缩聚，用Carothers 方程和Flory 统计法计算凝胶点。 解：2.25.410115.23*12*12*5.2==++++=f ，9.02==f p c 6.03 *12*13*1=+=ρ，3=f 79.0)1*6.01(12/1=+= c p 2. 等摩尔的乙二醇和对苯二甲酸在280℃下封管内进行缩聚，平衡常数K=4，求最终n X 。另在排除副产物水的条件下缩聚，欲得100=n X ，问体系中残留水分有多少 解：3111=+=-=K p X n L mol n n K pn K p X w w w n /10*4100114-==≈=-= 3. 邻苯二甲酸酐与甘油或季戊四醇缩聚，两种基团数相等，试求： a. 平均官能度 b. 按Carothers 法求凝胶点 c. 按统计法求凝胶点 解：a 、平均官能度： 1）甘油：4.2233*22*3=++= f 2）季戊四醇：67.21 21*42*2=++=f b 、 Carothers 法： 1）甘油：833.04 .222=== f p c 2）季戊四醇：749.067.222===f p c c 、Flory 统计法： 1）甘油：1,1,707.0) 2([12/1===-+= ρρr f r r p c 2）季戊四醇：1,1,577.0)2([12/1===-+=ρρr f r r p c 4. 等摩尔二元醇和二元酸缩聚，另加醋酸%，p=或时聚酯的聚合度多少 解：假设二元醇与二元酸的摩尔数各为1mol ，则醋酸的摩尔数为。N a =2mol ，N b =2mol ，015.0'=b N mol 985.0015 .0*2222,=+=+=b b a N N N r 当p=时， 88.79995 .0*985.0*2985.01985.01211=-++=-++=rp r r X n 当p=时， 98.116999 .0*985.0*2985.01985.01211=-++=-++=rp r r X n 5. 用2mol 羟基酸（HORCOOH ）为原料进行缩聚反应，另外加乙酸，如果反应进行到p=时， 所得产物的聚合度是多少 98.002 .0*222=+= r ，5099.0*98.0*298.0198.01211=-++=-++=rp r r X n 1. 反应程度：参加反应的官能团与起始官能团总数之比。 转化率：参加反应的单体分子数与初始投料单体分子数之比。 线型缩聚：2官能度单体或2-2体系的单体进行缩聚反应，聚合过程中，分子链线形增长，最终获得线型聚合物的缩聚反应。 体型缩聚：有官能度大于2的单体参与的缩聚反应，聚合过程中，先产生支链，再交联成体型结构，这类聚合过程称为体型缩聚。 2. 说明在涤纶聚酯与尼龙－66生产中，分别采用什么工艺来控制产物分子量。 聚酯涤纶：乙二醇微过量，封锁分子两端，达到预定聚合度； 尼龙－66：加少量单官能团醋酸或微过量己二酸进行缩聚，由端基封锁控制分子量。 3. 乙二酸与下列化合物反应，那些能形成聚合物。 a. 乙醇 b.乙二醇 c.甘油 d. 苯胺 e.乙二胺 答：b, c, e 4. 简述线形缩聚的逐步机理，以及转化率和反应程度的关系。 以二元酸和二元醇的缩聚为例。在缩聚反应中，含羟基的任何聚体与含羧基 第二章 部分作业答案 2.3.7 计算图2.28所示电路中的电流3I 。 解：上图的等效电路如下图所示。 利用结点电压法： V R R I R U eq S eq A 8.015 .1125.1111U 41 -=+-=+-=，A R U U I eq A 2.15.1) 8.0(11 1=--=-= 则在原图中，A I I 6.02 1 13== 2.3.9 试用电压源与电流源等效变换的方法计算图2.30中Ω2电阻中的电流I 。 解：电路的等效变换过程如下： (a) (b) (c) (d) A I 12 46 =+= 2.4.2 试用支路电流法或结点电压法求图示电路中的各支路电流，并求三个电源的输出功率和负载电阻L R 取用的功率。Ω8.0和Ω4.0分别为两个电压源的内阻。 解：（1）利用结点电压法： V A 5.1124 14.018.01104.0116 8.0120U =++++= （2）A I 375.98.05.1121201=-= ， A I 75.84 .05 .1121162=-=， A I 125.2845.112== （3）三个电源的功率： W P 1125375.9120120-=?-=，W P 101575.8116116-=?-=，W P 1125105.11210-=?-= W P L R 31644125.282=?= 2.5.2 试用结点电压法求图2.33所示电路中的各支路电流。 解：电路的等效电路如下图所示 利用结点电压法，则有：V U A 5050 150******** 501005025=++++= 则：A I a 5.0505025-=-= ，A I b 15050100=-=，A I c 5.050 50 25-=-= 2.5.3 试用结点电压法例2.6.3的图2.6.3（a ）所示电路中A 点的电位。 《管理运筹学》各章的作业 ----复习思考题及作业题 第一章绪论 复习思考题 1、从运筹学产生的背景认识本学科研究的内容和意义。 2、了解运筹学的内容和特点，结合自己的理解思考学习的方法和途径。 3、体会运筹学的学习特征和应用领域。 第二章线性规划建模及单纯形法 复习思考题 1、线性规划问题的一般形式有何特征 2、建立一个实际问题的数学模型一般要几步 3、两个变量的线性规划问题的图解法的一般步骤是什么 4、求解线性规划问题时可能出现几种结果，那种结果反映建模时有错误 5、什么是线性规划的标准型，如何把一个非标准形式的线性规划问题转化成标准形式。 6、试述线性规划问题的可行解、基础解、基础可行解、最优解、最优基础解的概念及它们之间的相互关系。 7、试述单纯形法的计算步骤，如何在单纯形表上判别问题具有唯一最优解、有无穷多个最优解、无界解或无可行解。 8、在什么样的情况下采用人工变量法，人工变量法包括哪两种解法 9、大M 法中，M 的作用是什么对最小化问题，在目标函数中人工变量的系数取什么最大化问题呢 10、什么是单纯形法的两阶段法两阶段法的第一段是为了解决什么问题在怎样的情况下，继续第二阶段 作业题: 1、把以下线性规划问题化为标准形式： (1)max z=x1-2x2+x3 .x1+x2+x3≤12 2x1+x2-x3≥6 -x1+3x2＝9 x1,x2,x3≥0 (2)min z=-2x1-x2+3x3-5x4 x1+2x2+4x3-x4≥6 2x1+3x2-x3+x4＝12 x1+x3+x4≤4 x1,x2,x4≥0 (3)max z=x1+3x2+4x3 .3x1+2x2≤13 x2+3x3≤17 2x1+x2+x3=13 x1,x3≥0 2、用图解法求解以下线性规划问题 (1)max z=x1+3x2 .x1+x2≤10 -2x1+2x2≤12 x1≤7 x1,x2≥0 (2)min z=x1-3x2 .2x1-x2≤4 x1+x2≥3 x2≤5 x1≤4 x1,x2≥0 3、在以下问题中，列出所有的基，指出其中的可行基，基础可行解以及最优解。 max z=2x1+x2-x3 .x1+ x2+2x3≤6 x1+4x2-x3≤4 x1,x2,x3≥0 4、用单纯形表求解以下线性规划问题 (1)max z=x1-2x2+x3 .x1+x2+x3≤12 2x1+x2-x3≤6 -x1+3x2≤9 x1,x2,x3≥0 (2)min z=-2x1-x2+3x3-5x4 x1+2x2+4x3-x4≤6 2x1+3x2-x3+x4≤12 x1+x3+x4≤4 x1,x2,x3,x4≥0第二章作业题答案
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