分数、百分数应用题(二)
知识框架
一、知识点概述:
分数应用题是研究数量之间份数关系的典型应用题,一方面它是在整数应用题上的延续和深化,另一方面,它有其自身的特点和解题规律.在解这类问题时,分析中数量之间的关系,准确找出“量”与“率”之间的对应是解题的关键.
关键:分数应用题经常要涉及到两个或两个以上的量,我们往往把其中的一个量看作是标准量.也称为:单位“1”,进行对比分析。在几个量中,关键也是要找准单位“1”和对应的百分率,以及对应量三者的关系
例如:(1)a是b的几分之几,就把数b看作单位“1”.
(2)甲比乙多1
8
,乙比甲少几分之几?
方法一:可设乙为单位“1”,则甲为
19
1
88
+=,因此乙比甲少
191
889
÷=.
方法二:可设乙为8份,则甲为9份,因此乙比甲少
1 19
9
÷=.
二、怎样找准分数应用题中单位“1”
(一)、部分数和总数
在同一整体中,部分数和总数作比较关系时,部分数通常作为比较量,而总数则作为标准量,那么总数就是单位“1”。
例如:
我国人口约占世界人口的几分之几?——世界人口是总数,我国人口是部分数,世界人口就是单位“1”。
解答题关键:只要找准总数和部分数,确定单位“1”就很容易了。
(二)、两种数量比较
分数应用题中,两种数量相比的关键句非常多。有的是“比”字句,有的则没有“比”字,而是带有指向性特征的“占”、“是”、“相当于”。在含有“比”字的关键句中,比后面的那个数量通常就作为标准量,也就是单位“1”。
例如:六(2)班男生比女生多——就是以女生人数为标准(单位“1”),
解题关键:在另外一种没有比字的两种量相比的时候,我们通常找到分率,看“占”谁的,“相当于”谁的,“是”谁的几分之几。这个“占”,“相当于”,“是”后面的数量——谁就是单位“!”。
(三)、原数量与现数量
有的关键句中不是很明显地带有一些指向性特征的词语,也不是部分数和总数的关系。这类分数应用题的单位“1”比较难找。需要将题目文字完善成我们熟悉的类似带“比”的文字,然后在分析。
例如:水结成冰后体积增加了,冰融化成水后,体积减少了。
完善后:水结成冰后体积增加了→ “水结成冰后体积比原来增加了” →原来的水是单位“1”
冰融化成水后,体积减少了→ “冰融化成水后,体积比原来减少了” →原来的冰是单
位“1”
解题关键:要结合语文知识将题目简化的文字丰富后在分析
重难点
(1)寻找单位“1”。
(2)理解量率对应。
(3)抓住不变量。
例题精讲
【例 1】某商贩按大个鸡蛋每个3角6分,小个鸡蛋每个2角8分卖出了一批鸡蛋,共收入214元。已知他卖出的大个鸡蛋与小个鸡蛋的个数之比是8:5。他卖出大个鸡蛋与小个鸡蛋各多少个?
【考点】分数应用题【难度】2星【题型】解答
【解析】卖出的大个鸡蛋与小个鸡蛋收入之比为
(36*8):(28*5)=72:35
【答案】400个,250个
【巩固】两种不同形状的纸板,一种是正方形,另一种是长方形,正方形纸板的总数与长方形的纸板总数之比是2:5,用这些纸板做一些竖式或者横式的无盖盒子,正好将纸板用完,问在所做的盒子中,竖式盒子和总数与横式盒子和总数之比是多少?
【考点】分数应用题【难度】2星【题型】解答
【解析】
设竖式纸盒有A个,横式纸盒有B个,
则共用长方形纸板 4A+3B,正方形纸板A+2B
(4A+38)(A+2B)=5:2
A:B=4:3
【答案】4:3
【例 2】横着剪三刀,竖着剪五刀,将一个大正方形纸片等分成24张同样的长方形纸片,再把其中的一张长方形纸片等分成面积尽可能大的小正方形纸片。已知小正方形纸片的边长是5cm,求大正
方形纸片的面积。
【考点】分数应用题【难度】2星【题型】解答
【解析】长方形纸片的长宽之比:3:2
可以等分成6个小正方形纸片
答案:3600平方厘米
【答案】3600
【巩固】某俱乐部男、女会员的人数之比是3:2,分为甲、乙、丙三组。已知甲、乙、丙三组人数比是10:8:7,甲组中男、女会员的人数之比是3:1,乙组中男、女会同的人数之比是5:3。求丙组中男、女会员人数之比。
【考点】分数应用题【难度】2星【题型】解答
【解析】设总人数为1
甲组男会员为
乙组男会员为
丙组男会员为
丙组中男女会员之比为:5:9
【答案】110厘米5:9
【例 3】某单位买甲、乙两种钢笔共100支,已知甲钢笔每支3元,乙钢笔每支2元,且甲、乙两种钢笔所用钱数一样多,求甲、乙两种钢笔各买了多少支?
【考点】分数应用题【难度】2星【题型】解答
【解析】要买的钢笔总数,两种钢笔的单价,且两种钢笔所花的钱一样多。
花钱总数一定时,购物数量与单价成反比。
甲种钢笔的数量∶乙种钢笔的数量=2∶3
甲种钢笔的数量=(支)
【答案】40
【巩固】如图26,甲圆和乙圆的面积之和是丙圆面积的,甲圆内阴影部分面积占甲圆面积的,乙圆内阴影部分面积占乙圆面积的,丙圆内阴影部分面积占丙圆面积的,那么甲、乙两圆面积之比是多少?
【考点】分数应用题【难度】2星【题型】解答
【解析】由已知可得:①,②
欲求甲、乙两圆的面积比,可以把①、②两式的丙的系数均化成1,再进行比较。
如果通过比较得到,则可得结论甲=乙。
【答案】甲=乙
【例 4】有甲、乙、丙三只水杯和一只空水桶,用甲杯向桶内舀水30次后,桶内水的体积占全桶容积的,再用乙杯舀10次水后,水桶留下容积又缩小了,再用丙杯舀30次,恰好使水桶装满,问:甲、乙、丙三只水杯的容积之比是多少?
【考点】分数应用题【难度】2星【题型】解答
【解析】甲杯向桶内舀水30次后,桶内水的体积占全桶容积的,再用乙杯舀10次水后,水桶留下容积又缩小了,再用丙杯舀30次,恰好使水桶装满。
设水桶容积为1,则甲杯容积为
设水桶容积为1,则乙杯容积为
3
【答案】
100
【巩固】盒子里有三种颜色的球,黄球个数与红球个数比是2∶3,红球个数与白球个数比是4∶5,已知三种颜色的球共有175个,问红球有多少个?请选择,题目的问题是什么?
【考点】分数应用题【难度】2星【题型】解答
【解析】盒子里有三种颜色的球的总数,黄球个数与红球个数比是2∶3,红球个数与白球个数比是4∶5
由已知可知红球必为12的倍数。
设红球有12x个,则黄球有8x个,白球有15x个。
红球有60个。
【答案】60
【例 5】A有若干本书,B借走一半加一本,剩下的书,C借走一半加两本,再剩下的书,D借走一半加3本,最后A还有2本书,问A原有多少本书.
【考点】分数应用题【难度】2星【题型】解答
【解析】
【答案】2
【巩固】六年级男生有50人,女生有40人,(1)女生人数是男生人数的几分之几?(2)男生人数比女
生人数多百分之几?(3)女生人数比男生人数少百分之几?(4)女生比男生少的人数是全班人数的百分之几?
【考点】分数应用题【难度】2星【题型】解答
【解析】此题四个问题都是求一个数是另一个数的百分之几,解答的关键是找准单位“1”,要注意帮助学生找一些典型字眼如:“…的”、“…占…”、“…是…”、“…比…”等.
(1)男生人数为单位“1”,40÷50=4/5;
(2)女生人数为单位“1”,(50-40)÷40=25%;
(3)男生人数为单位“1”,(50-40)÷50=20%;
(4)全班人数为单位“1”,(50-40)÷(50+40)≈11.1% .
【答案】11.1% .
【例 6】一个机关精简机构后有工作人员120人,比原来工作人员少40人,精简了百分之几?
【考点】分数应用题【难度】2星【题型】解答
【解析】“精简了百分之几”是在说“现在比原来少的人数是原来工作人员的百分之几”单位“1”就是“原来工作人数”,40÷(120+40)=25%.
【答案】25%
【巩固】小强看一本书,每天看15页,4天后加快进度,又看了全书的2
5
,还剩下30页,这本故事书有
多少页?
【考点】分数应用题【难度】2星【题型】解答
【解析】教师可先讲解下题:小强看一本故事书,每天看20页,5天后还剩下全书的1
5
没看,这本故事书
有多少页?分析:1
(205)(1)125
5
?÷-=(页). 回到原题:4天看了15×4=60(页),而60+30=90
页占全书的:1-2
5
=
3
5
,这本故事书有:90÷
3
5
=150(页).
【答案】150
【例 7】有男女同学325人,新学年男生增加25人,女生减少5%,总人数增加16人,那么现有男同学
多少人?
【考点】分数应用题 【难度】2星 【题型】解答
【解析】 男生增加25人,总人数只增加16人,说明女生减少9人,而女生减小5%,故9人对应的为5%,
女生原人数为9÷5%=180人.
【答案】180
【巩固】 甲、乙、丙三人一起买了八个面包平分着吃,甲拿出五个面包的钱,乙付了三个面包的钱,丙没
带钱,等吃完后一算,丙应该拿出四元钱,问:甲应收回多少钱?(以角为单位)
【考点】分数应用题 【难度】2星 【题型】解答 【解析】 每人应付
38个面包的钱,丙拿出的40角就是3
8
个面包的钱,所以一个面包的价格应为:340158÷=(角)
,甲多付的钱为:8
(5)15353
-?=(角),所以甲应收回35角. 【答案】35
【例 8】 好味多西饼屋推出一款新蛋糕,第一天卖出了全部的20%,第二天卖出了剩下的
1
2
,第二天比第一天多卖出40个,那么好味多西饼屋这次共推出新蛋糕多少个?
【考点】分数应用题 【难度】2星 【题型】解答
【解析】 分析好味多西饼屋推出新蛋糕个数看作“1”,140(120%)20%2002??÷?--=????
(个). 【答案】200
【巩固】 迎春农机厂计划生产一批插秧机,现已完成计划的56%,如果再生产5040台,总产量就超过计
划产量的16%.那么,原计划生产插秧机台.
【考点】分数应用题 【难度】2星 【题型】解答 【解析】 分析:5400÷(1+16%一56%)=9000(台). 【答案】9000
【例 9】某运输队运一批大米.第一天运走总数的1
5
多60袋,第二天运走总数的
1
4
少60袋.还剩下220
袋没有运走。这批大米原来一共有多少袋?
【考点】分数应用题【难度】2星【题型】解答
【解析】可画图帮助学生理解,(220-60+60)÷(1-1
5
-
1
4
)=400(袋).此题也可使用倒推法解决.
【答案】400
【巩固】小强看一本故事书,第一天看了全书的1
8
还多21页,第二天看了全书的
1
6
少6页,还剩172页,
这本故事书一共有多少页?
【考点】分数应用题【难度】2星【题型】解答【解析】
如图,
11 (172621)(1)264().
86
-+÷--=页
【答案】264
【例 10】奥数网派出60名选手参加2008年“华罗庚金杯小学数学邀请赛”,其中女选手占1
4
.正式比赛
时有几名女选手因故缺席,这样就使女选手人数变为参赛选手总数的
2
11
.正式参赛的女选手有
多少名?
【考点】分数应用题【难度】2星【题型】解答
【解析】因为女选手人数有变化,男选手人数未变,所以抓住男选手人数不变求解.把总人数视为“1”,
男选手人数是60×(1-1
4
)=45(人),男选手人数占正式参赛选手总数的1-
2
11
,所以正式参赛选
手总数是:45÷(1-
2
11
)=55(人),正式参赛的女选手人数是55×
2
11
=10(人).
【答案】10
【巩固】甲、乙两人星期天一起上街买东西,两人身上所带的钱共计是86元.在人民市场,甲买一双运动
鞋花去了所带钱的4
9
,乙买一件衬衫花去了人民币16元.这样两人身上所剩的钱正好一样多.问
甲、乙两人原先各带了多少钱?
【考点】分数应用题【难度】2星【题型】解答
【解析】把甲所带的钱视为单位“1”,那么甲原来带了
45
(8616)(2)45
99
-÷+?=(元),乙原来带了41
元.【答案】45、41
【例 11】右图是一个园林的规划图,其中,正方形的3
4
是草地;圆的
6
7
是竹林;竹林比草地多占地450
平方米.问:水池占多少平方米?
【考点】分数应用题【难度】2星【题型】解答
【解析】把水池的面积作为1个单位,那么草地的面积便是3个单位,而竹林的面积是6个单位。从而竹林比草地多出的面积是(6-3=)3个单位。3个单位的面积是450平方米,可见1个单位的面积是450÷3=150(平方米)。
【答案】150
【巩固】两根粗细相同、材质相同但长度不同的蜡烛竖直地漂在水面上。一开始,长蜡烛露出水面的部分
是短蜡烛总长度的一半;将两根蜡烛同时点燃1小时后,长蜡烛露出水面的部分与短蜡烛长度相等。已知蜡烛漂在水面上时,蜡烛在水下的长度始终等于露出水面的长度的9倍,那么两根蜡烛分别还可以再烧多长时间?
【考点】分数应用题 【难度】2星 【题型】解答
【解析】 短蜡烛是10份,水上为1份,水下为9份,长蜡烛水上为5份,水下为45份;设1小时燃烧的
长度为a 份,(50-a )×
1
10
=10-a a=
509
505050899?
?-÷
= ???(时) 505010=0.899??-÷ ??
?(时) 【答案】0.8
【例 12】 一小、二小、三小、四小四个学校组织了一次数学竞赛,共有700多人参赛,其中一小占1/4,二
小占1/3、三小占1/5,其余都是四小的。比赛结果是,一小有1/10学生获奖,二小有1/12学生获奖,三小有1/9学生获奖,四小有多少人参赛?
【考点】分数应用题 【难度】2星 【题型】解答 【解析】 因为一小、二小、三小获奖人数分别占总参赛人数的111403645
,,
所以总参赛人数是40,36,45的公倍数,由[40,36,45]=720推知有 720人参赛,其中四小有111720435
?(1---)=156(人) 【答案】156
【巩固】 甲乙两班的同学人数相等,各有一些同学参加课外天文小组,已知甲班参加的人数恰好是乙班未
参加人数的三分之一,乙班参加人数恰好是甲班未参加人数的四分之一,问甲班没有参加的人数是乙班没有参加的人数的几分之几?
【考点】分数应用题 【难度】2星 【题型】解答
【解析】 分别用甲参、甲未、乙参、乙未表示甲、乙班参加和未参加的人数,则有 甲参+甲未=乙参+乙未,
1111
343489=
=+=+=
参末末末末末末末末末将甲乙、乙甲代入上式,得乙甲甲乙甲解得乙 【答案】9
8
【随练1】 一根绳子长10米,剪去4/5又4/5米,还剩多少米?
【考点】分数应用题 【难度】2星 【题型】解答 【解析】 解法为:10-10×4/5-4/5=1.2(米)或10-(10×4/5+4/5)=1.2(米)。
【答案】1.2
【随练2】 有男女同学325人,新学年男生增加25人,女生减少5%,总人数增加16人.那么现有男同学
多少人?
【考点】分数应用题 【难度】2星 【题型】解答
【解析】 男生增加25人,女生减少5%,而总人数增加了16人,说明女生减少了25-16=9人,那么女生
原来有9÷5%=180人,则男生有325-180=145人.增加25人后为145+25=170人,所以现有男同学170人.
【答案】170
【随练3】 农机厂计划生产一批插秧机,现已完成计划的56%,如果再生产5040台,总产量就超过计划产
量的16%.那么,原计划生产插秧机多少台?
【考点】分数应用题 【难度】2星 【题型】解答 【解析】 5040÷(1+16%-56%)=8400(台). 【答案】8400
【随练4】 用一批纸装订一种练习本.如果已装订120本,剩下的纸是这批纸的40%;如果装订了185本,
课堂检测
则还剩下1350张纸.这批纸一共有多少张?
【考点】分数应用题【难度】2星【题型】解答
【解析】装订120本,剩下40%的纸,即用了60%的纸.那么装订185本,需用185×(60%÷120)=92.5%的纸,即剩下1-92.5%=7.5%的纸,为1350张.所以这批纸共有1350÷7.5%=18000张.【答案】18000
家庭作业
【作业1】有甲、乙两块含铜量不同的合金,甲块重6千克,乙块重4千克。现在从甲、乙两块合金上切下重量相等的一部分,将甲块上切下的部分与乙块的剩余的部分一起熔炼,再将乙块上切下的
部分与甲块的剩余的部分一起熔炼,得到的两块新合金的含铜量相等。问:从每一块上切下的
部分的重量是多少千克?
【考点】分数应用题【难度】2星【题型】解答
【解析】设切下部分的重量是X千克,剩余部分分别重6-X千克和4-X千克
图中虚线左边的两块一起熔炼,右边的两块一起熔炼。两块新合金的含铜量相等,必有虚线左边两块的比=右边两块的比:
(6-X):X=X:(4-X)
X=2.4
【答案】2.4千克
【作业2】一把小刀售价3元。如果小明买了这把小刀,那么小明与小强剩余的钱数之比是2∶5;如果小强买了这把小刀,那么两人剩余的钱数之比变为8∶13。小明原来有多少钱?
【考点】分数应用题【难度】2星【题型】解答
【解析】由已知,小强的钱相当于小明、小强买刀后所剩钱数和的
55
257
=
+
,小明的钱相当于小明、小
强买刀后钱数和的
88
8+1321
=,所以小明、小强的钱数的比值为8:15,而小明买刀后小明、小
强的钱数之比为2:5=6:15,所以小明买刀前后的钱数之比为8:6=4:3,所以小刀的售价等于
小强原来钱数的4-31
44
=,所以小明的钱数为
1
312
4
÷=元.
【答案】12
【作业3】一个数的2
3
等于18,那么这个数等于多少?
【考点】分数应用题【难度】2星【题型】解答
【解析】解答:
23 181827 32
÷=?=
【答案】27
【作业4】果园里有桃树560棵,占果树总数的.果园里一共有果树多少棵?
【考点】分数应用题【难度】2星【题型】解答
【解析】设一共有果树棵.
答:一共有果树640棵.
【答案】640
【作业5】一个乡去年计划造林12公顷,实际造林比原计划多2公顷。实际造林比原计划多百分之几?
【考点】分数应用题【难度】2星【题型】解答
【解析】多的公顷数÷计划的
2÷12≈0.167=16.7%
答:实际造林比原计划多16.7%。
【答案】16.7%
【作业6】甲乙两辆汽车同时从A地向B地行驶,当甲行了全程的1/3时,乙行了全程的1/5,当甲行完全程时,乙离开B地还有60千米。问A、B两地相距多少千米?
【考点】分数应用题【难度】2星【题型】解答
【解析】把全程看作单位“1”,当甲行完全程时,也就是行了3个1/3,乙就行了3个1/5。因此,设全程为X千米,就可以列方程为:X-3/5X=60,解得X=150。
【答案】150