热力学与统计物理复习题及答案
一、解释如下概念
⑴热力学平衡态；⑵可逆过程；⑶ 准静态过程；⑷焦耳-汤姆逊效应；⑸μ空间；⑹Γ 空间；⑺特性函数；⑻系综；⑼混合系综；⑽非简并性条件；⑾玻色——爱因斯坦凝聚；
⑴热力学平衡态：一个孤立系统经长时间后，宏观性质不随时间而变化的状态。 ⑵可逆过程：若系统经一过程从状态A 出发到达B 态后能沿相反的过程回到初态A ，
而且在回到A 后系统和外界均回复到原状，那么这一过程叫可逆过程。
⑶ 准静态过程： 如果系统状态变化很缓慢，每一态都可视为平衡态，则这过程叫准静态过程。
⑷焦耳一汤姆孙效应：气体在节流过程中气体温度随压强减小而发生变化的现象。 ⑸μ空间：设粒子的自由度r ，以r 个广义坐标为横轴，r 个动量为横轴，所张成的
笛卡尔直角空间。
⑹Γ空间：该系统自由度f ，则以f 个广义坐标为横轴，以f 个广义动量为纵轴，由此张成的f 2维笛卡尔直角空间叫Γ空间。
⑺特性函数：若一个热力学系统有这样的函数，只要知道它就可以由它求出系统的其它函数，即它能决定系统的热力学性质，则这个函数叫特性函数。
⑻系综：大量的彼此独立的具有相同结构但可以有不同微观状态的假想体系的集合叫系综，常见的有微正则系综、正则系综、巨正则系综。
⑼混合系综：设系统能级E 1…，E n …，系综中的n 个系统中，有n 1个处于E 1的量子态；…，有n i 个系统处于E i 的相应量子态，则这样的系综叫混合系综。
⑽非简并性条件：指1/< a ω，此时不可识别的粒子可视为可识别的粒子的条 件。 ⑾玻色―爱因斯坦凝聚：对玻色系统，当温度T 低于临界温度c T 时，处于基态的粒子数0n 有与总粒子数n 相同数量级的现象叫玻色－爱因斯坦凝聚。 二 回答问题 ⒈写出热力学第一定律的文字叙述、数学表示、简述该定律的重要性、适用范围。 ⒉写出热力学第二定律的文字叙述、数学表示、适用条件，在热力学中的重要性。 ⒊写出热力学第三定律的文字叙述、重要性并给予微观解释。 （12分） ⒋写出熵增加原理的文字叙述、数学表示、适用范围及其微观解释 （10分） ⒌写出等概率原理，举例说明为什么它是平衡态统计物理的基本原理？ （10分） ⒍写出玻尔兹曼关系表达式，简述公式的物理意义和重要性，并用此公式对热力学的熵增加原理给以解释。 ⒎写出弛豫时间近似下的玻尔兹曼方程，简述方程的物理意义、适用条件 （10分） 答案 ⒉答：① 热力学第二定律文字叙述有两种： 克氏说法：热传导不可逆 开氏说法：功变热不可逆 ② 数学表示： T Q S δ≥ ? （等号对应可逆，不等号对应不可逆） ③适用范围： 大量微观粒子构成的宏观系统，且在时间和空间上有限，不适用宇 宙。 ④重要性： 1.定义了熵 2.揭示了过程进行方向3.否定了第二类永动机制造的 可能性。 ⒊热力学第三定律的文字叙述有两种： 能斯脱定理：均匀物质系统在等温过程中的熵变随绝对温度趋于零，与体积、压强等状态参量无关。即0)(lim 0 =?→T T S 。 绝对零度不可达定理：不可能使物体冷却到绝对零度的温度。 重要性：①揭示了低温的极限值；②揭示了低温物质的性质 微观解释：由波尔兹曼关系式Ω=ln k S 可知，当T →0k 时，组成物质的微观粒子均处 于能量最低状态（基态），此时系统微观状态数1=Ω，因而0=S 。 （文字叙述和数学表示6分，重要性3分，微观解释3分） ⒋熵增加原理讲的是：绝热系统的熵永不减小。其中不可逆过程熵增加；到达平衡态时熵不变。 适用条件：由大量微观粒子组成的、在时间和空间上是有限的系统，对宇宙这类无限大系统不适合，也不适用于无定性物质和无序合金不适用。 微观解释：从波尔兹曼关系Ω≈KIn S 可知：绝热系统中发生的过程，从微观上讲，就是 由微观状态数（Ω）少向微观状态数多的状态变化，即由有序向无序转变。平衡态，系统的无序度最大 ⒌等概率原理讲的是：处于平衡态的孤立系统，系统各种可能的微观状态出现的概率相同。 该原理适用条件：平衡态、孤立系统，大量粒子组成的宏观系统。 它是统计物理的一个最基本的原理，其原因是： ①它是实验观察的总结；而不能由其它定理或原理来推证。 ②各种统计规律的建立均以它为基础。例如：（1）推导玻尔兹曼统计、玻色统计、费米统计时找出最可几分布，正是等概率原理，才可由确定微观状态数最多的分布来确定；（2）微正则系综概率分布的建立也是以等概率原理为基础。 ⒎答：①玻尔兹曼方程为 ) (v f f f m F f v t f v r τ?--??-??-=?? 物理意义：描述了近离平衡的非平衡态下的粒子分布变化规律：等式右边第一项是粒子运动的贡献；第二项是受力而具有加速度的贡献；第三项为碰撞项。 适用范围：大量经典粒子组成的系统，粒子密度不太高，近离平衡的非平衡态 ② τ ε0 f f f m e v -- =??- ③ τ f f T T f v r e --=???? 四、 填空题 1 气体普适常数R=-------------------，玻尔兹蔓常数K=--------------------，1mol 范氏气体物态方程为---------------------------。 ⒉ 照能量均分定理，刚性双原子分子理想气体的内能U ＝ -5NKT/2------------------，摩尔定容热容量v C ＝-------------------，光子气体的化学势为=μ-----------------------------。 ⒊ 理想气体的焦耳—汤姆孙系数=μ _0_____________; 工作于温度为500C 与10000C 的两热源之间的热机或致冷机热机效率的最大值=η74.5%。5%_______________; 最大致冷系数为_______________; 对等温等容系统平衡态时 ，U 、S 、F 、G 、H 、中_F_____________;最小；而对等温等压系统，U 、S 、F 、G 、H 中__G______________最小 玻耳兹曼统计中分布公为_______ ___________ _______________， 适用条件为 。 5\1moI 单原子理想气体在温度为T 、体积为v 的状态等温膨胀到体积为2v 的状 态、则此过程中，内能改变=?u ________________；吸收热量△Q = ____________；对外作功△W = _____________________；熵的改变△S= ________________________。 6热力学基本方程为dU = TdS —PdV ，因此出发，其它几个等式为dH = ________________________；dF = _____________________；dG = 。根据热力学判据，对等温等容系统，平衡态系统的 ________________ 为最小。 7\玻尔兹曼关系式为S = _______________ 解答： 1,K mol J R ./31.8=；K J /1038.123-?； ()RT b v v a p =-?? ? ? ? +2 2 5NkT/2 ； 5R/2 ；0 3,0; 74,5%; 34% ； F ； G 4 ∑--==l l e Z Z e N a l l l βεβεωω11,/； ∑--== s s s s e Z e Z f βεβε11,1； r p g h dgdp e Z N dN )(1?-= βε 适用条件为大量玻尔兹曼粒子组成的宏观系统且处于平衡状态 5、0=?u 2ln RT =?θ 2ln RT w =? 2ln R S =? 6、Vdp TdS dH += PdV SdT dF --= Vdp SdT dG +-= F 7、S=Kln Ω 四、作图题 ⒈在P —V 图上画出：① 理想气体（单原子经典气体）；②光子气体的等温线、等压线。 ⒉ T ——S 图上，画出①经典单原子理想气体等温线、等容线、等压线、绝热线和理想气体卡诺循环曲线。 ⒊ P---T 和T---S 图中作出（1）以理想气体为工作物质，（2）以平衡辐射体（即光子气体）为工作物质的可逆卡诺循环曲线，并写出相应的过程方程。 4能量为ε和ε2的一维谐振子的相轨迹并写出轨道方程。 p ⒋5沿直线作匀加速运动（加速a ）的质量为m 的相轨道并写出相轨道方程； 答案 ⒈⒌作出能量为ε的一维自由粒子的相轨道并写出相轨道方程。 答案；、 1. ① PV= 常 ② 4 31aT P = ③ ???><=0 /v v v c v v P P O 常量 ④ 常=5 /7PV 2. 3、①理想气体 T O 1 4 2 3 S 1 2 3 4 T p ②光子气体 4、 5 )(20x x a m p x -= 一、计算题 1. 求范德瓦尔气体的内能u 和熵S 和绝热过程方程（假定热容为常数） 2. N 个单原子分子组成的理想气体，分布在体积为的容器中，分别用以下方法 的任意两种，求系统的内能、定容热容量、状态方程、熵和绝热过程方程：（1）正则分布；（2）巨正则分布；（3）波尔兹曼分布。 3. 由N 个近独立粒子组成的体系，每个粒子只有两个能级ε1、ε2且ε1<ε2， 能 级非简并。 1）求处于二能级的几率的比， 2） 不必计算，定出低温和高温两种极限情况下，系统的平均能量E ； 3）画出E ～T 曲线的大体形状和C V ～T 1曲线的大体形状； 4）求系统的内能E 和熵。 4。 1mol 理想气体由体积为V 1温度为T 1的状态等温膨胀至体积为2V 1的状态，求此过程 中，气体内能的改变U ?、系统吸收的热量Q ?和对外作的功W ?。 5。 被吸附在平面上的单原子理想气体分子总分子数N ，温度T ，面积A 。求：（1）用玻 V S X X 0 1 1 222 2222 =+ ωεεm x m p a x 尔兹曼统计公式求系统的内能、定容热容量、状态方程、熵和绝热过程方程；（2）用正则分布求系统内能、热容量、状态方程、熵和绝热过程方程。（20分） [提示： ])(2121 2 α πα=? ∞ -dx e x 解：2、玻尔兹曼分布 粒子自由充r ＝3，能量() V z y x P P P m z y x ∈++∑,,,21 222＝ ()2 3 312 3 23 ,1)2ln(ln 23ln ln )2(h m V Z h m V h dxdydz e Z q p πββ πβ+-===?? ∑ NKT N Z N U 2 3 23ln 1==??-=ββ内能 V NKT V Z N P NK T U C V v = ??==??=1ln 2 3)( β ? ???? ? -+-=????????-=23)2ln(ln 23ln ln ln 23211h m V NK Z Z NK S πβββ 常数 常数，或方程为＝常数，得到绝热过程令==2 3 2 3 TV S T 3、解 （1） 粒子处于1 11 1Z e βεερε-=的几率 处于1 22 2Z e βεερε-=的几率 故 )(1 2 121 2 εεββεβερερε----==e e e （4分） （2） 低温时，各粒子处于基态，故1εN ≈E ；高温极限时，粒子处于2 1εε和几率相等，故2 2 1εε+=E N 3图如下 （4）粒子配分函数 ) 1ln(ln )1()(11)(1121212 1εεβεεββεβεβεβε-------++-=+=+=e Z e e e e Z （2分） 1 ) (ln ) (211121+-+=??-=∴-εεβεεεβe N N Z N U 内能 （1分） 熵 ?? ? ?????-=ββ 11ln ln Z Z NK S ? ????? +-++=---)(12)(12121)(]1ln[εεβεεβεεβe e NK （2分） 1.解：1mol 范氏状态方程为RT b v v a p =-+ ))((2 求得 b v R T p v -=??)( ，2)('v a p T p T v =-?? 代入dV v a dT C dV p T p dT C du v v v 2)(+=?? ? ???-??+= 00u v a T C S du u v +- =+=? T N 2 ) (21εε+N 0 T dV b v R dT T C dV T p dT T C dS v v v -+=??+=)( 0)ln(ln S b v R T C S v +-+= 令=S 常数，得绝热过程方程为 =-v C R b v T /)(常量 5.解：（1）波尔兹曼统计方法 粒子自由度 2 =r ， ) (212 2y x p p m +=ε， x ， y A ∈ （?==-)2(1221β πβεh m A dp dxdydp e h Z y x 内能NKT N Z N U ==??-=β β1ln NK T U C v v =??=)( A NKT A N A Z N p ==??=ββ1ln ??????-??? ??+=????????-=12ln ln ln ln 211βπββh m A NK Z Z NK S 令=S 常数，得到绝热过程方程 =TA 常数 （2）正则分布 系统的自由度N f 2=，)(212 2iy ix N i p p m H +=∑ 系统配分函数 N N H Z N h dqdp e N Z 12! 1!1== ?-β 这里?==-)2(221 β πβε h m A h dp dxdydp e Z y x )2ln( ln ln ln 21h m A Z πβ+-= 内能NKT Z N Z U =??-=??- =β β1ln ln NK T U C v v =??=)( A NKT A N A Z N A Z p = =??=??=βββ1ln ln 1 ! ln 12ln ln !ln ln ln ln ln 211N K h m A NK N K Z Z NK Z Z K S -??? ?? ?-??? ??+=-????? ? ??-=????????-=βπββββ 令=S 常数，得到绝热过程方程 =TA 常数
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