导函数（理）
1、（单调区间、极值、最值问题）已知函数22()(23)(),x f x x ax a a e x R =+-+∈其中
a R ∈。
（1）当0a =时，求曲线()y f x =在点(1
(1))f ，处的切线的斜率； （2）当2
3
a ≠
时，求函数()f x 的单调区间与极值。 解：（1）当0a =时，求曲线()y f x =在点(1
(1))f ，处的切线的斜率为3e ； （2）当3
2
>a 时，()f x 在(2)(2)a a -∞--+∞，
，，内是增函数，在(22)a a --，内是减函数；
函数()f x 在2x a =-处取得极大值2(2)(2)3a f a f a ae ---=，且； 函数()f x 在2x a =-处取得极小值2(2)(2)(43).a f a f a a e ---=-，且 当3
2
<
a 时，()f x 在(2)(2)a a -∞--+∞，，，内是增函数，在(22)a a --，内是减函数；
函数()f x 在2x a =-处取得极大值2(2)(2)(43)a f a f a a e ---=-，且； 函数()f x 在2x a =-处取得极小值2(2)(2)3a f a f a ae ---=，且。
2、（单调区间、极值、最值问题）设R k ∈，函数(
)1
1 1 1 x x f x x ?
-=??≥?
，，，，，
()()F x f x kx =-，R x ∈，试讨论函数()F x 的单调性。
解：()(
)1 1 1 1 kx x x F x f x kx kx x ?-
-=-=??≥?，，，，
()(
)21
1 1 1 k x x F'x k x ?-
?-≥??，，，，对于()F x ，分段进行研究。 对于()()1
11F x kx x x
=
-<-，对k 分类： 当0k ≤时，()()
2
1
01F x k x '=
->-，∴
函数()F x 在() 1-∞，上是增函数；
当0k >时，()()
()
22
2
1
21
11kx kx k F x k x x -+-+'=
-=
--，
令()0F x '=，得1x k =-
或1x k
=+（舍）， 函数()F x 在 1
?-∞ ?，上是减函数，在1 1??
???
上是增函数；
对于)1(1)(≥---=x kx x x F ，k x x F ---
=1
21
)('，对k 分类：
当0k ≥时，()0F x '<，函数()F x 在)1 ??+∞，上是减函数； 当0k <时，由()0
F x k '=-=，解得1
14x k =+；
函数()F x 在211
14k ?
????
?+，上是减函数，在2
11 4k ??
????
++∞，上是增函数。 3、（单调区间、极值、最值问题）已知函数ln ()x
f x x
=。 （1）求函数()f x 的单调区间；
（2）设0>a ，求函数()f x 在[]2,4a a 上的最小值。 解：（1）定义域为(0,)+∞，21ln ()x f x x -'=
，令2
1ln ()0x
f x x -'==，则e x =，
当x 变化时，'()f x ，()f x 的变化情况如下表：
()f x 的单调增区间为(0,)e ；单调减区间为(,)e +∞。
（2）由（1）知()f x 在(0,)e 上单调递增，在(,)e +∞上单调递减，所以， 当4a e ≤时，即4
e
a ≤
时，()f x 在[]2,4a a 上单调递增，∴min ()(2);f x f a = 当2a e ≥时，()f x 在[]2,4a a 上单调递减，∴min ()(4)f x f a =
当24a e a <<时，即
42
e e
a <<时，()f x 在[]2,a e 上单调递增，()f x 在[],4e a 上单调递减，∴{}min ()min (2),(4).f x f a f a = 下面比较(2),(4)f a f a 的大小，∵ln (2)(4),4a
f a f a a
-=
∴若
14e a <≤，min ln 2()(2);2a f x f a a ==若12
e
a <<，min ln 4()(4);4a f x f a a == 综上，当01a <≤时，min ln 2()(2)2a f x f a a ==；当1a >时，min ln 4()(4)4a
f x f a a
==。
4、（单调性问题）已知R a ∈，函数()()2x f x x ax e =-+，
其中R x ∈，e 为自然对
数的底数。
（1）当2a =时，求函数()f x 的单调递增区间；
（2）若函数()f x 在()1,1-上单调递增，求实数a 的取值范围；
（3）函数()f x 是否为R 上的单调函数？若是，求出实数a 的取值范围；若不是，请说明理由。
解：（1）当2a =时，()()22x f x x x e =-+， ()()()22()2222x x x f x x e x x e x e '∴=-++-+=-+
令()0f x '>，即()220
x x e -+>，
20,20x e x >∴-+>，解得x <<
∴函数()f x 的单调递增区间是(
。
（2）函数()f x 在()1,1-上单调递增，()0f x '∴≥对()1,1x ∈-都成立，
()()()22()22x x x
f x x a e x ax e x a x a e '??=-++-+=-+-+??，
∴()220x
x a x a e ??-+-+??≥对()1,1x ∈-都成立。
()20,20x e x a x a >∴-+-+≥对()1,1x ∈-都成立，
即()()2
2
11211111
x x x a x x x x +-+==+-+++≥对()1,1x ∈-都成立；
令()111y x x =+-
+，则()
2
1101y x '=+>+，()1
11y x x ∴=+-+在()1,1-上单调递增，()1311112y ∴<+-
=+，32
a ∴≥。
（3）若函数()f x 在R 上单调递减，则()0f x '≤对R x ∈都成立，即
()220x
x a x a e ??-+-+??
≤对R x ∈都成立，0,x e >∴()220x a x a ---≥对R x ∈都成立，()2240a a ∴?=-+≤，即240a +≤，这是不可能的，故函数()f x 不可能在R 上单调递减；
若函数()f x 在R 上单调递增，则()0f x '≥对R x ∈都成立，即
()220x
x a x a e ??-+-+??≥对
R x ∈都成立，0,x e >∴()220
x a x a ---≤
对R x ∈都成立，而()2
22440a a a ?=-+=+>， 故函数()f x 不可能在R 上单调递增。 综上可知函数()f x 不可能是R 上的单调函数。
5、（不等式成立问题）已知函数2)21ln()(x x a x f -+=，0>a ，]1,0(∈x 。 （1）求函数()f x 的单调递增区间；
（2）若不等式)2
1ln(122n n n +≥+λ对一切正整数n 恒成立，求实数λ的取值范围。
解：（1）x ax a x f 21)(-+='ax
a
x ax ++--=
1222， 由0222
=+--a x ax ，得a
a x 21
212+±-=，
0>a ，021212<+--∴
a a ，021
212>++-a
a ， 又1
1
1221212
2<++=++-a a a
a
，
∴函数()f x 的单调递增区间为)2112,0(2a a -+，递减区间为)1,21
12(2a
a -+。
（2）不等式)21ln(12n n
+≥+λ，即为21
)21ln(n n -+≥λ 令
x n
=1
，当*∈N n 时，]1,0(∈x ，则不等式即为2)21ln(x x -+≥λ； 令2)21ln()(x x x g -+=，(0,1]x ∈，
在)(x f 的表达式中，当2=a 时，)(x f )(x g =，
又 2=a 时，
2121212=++-a a ，∴)(x g 在)21,0(单调递增，在)1,2
1
(单调递减， )(x g 在21=
x 时，取得最大，最大值为4
1
2ln )21(-=g ， 因此，对一切正整数n ，当2=n 时，21)21ln(n n -+取得最大值41
2ln -，
∴实数λ的取值范围是4
1
2ln -
≥λ。 6、（不等式成立问题）已知函数1)1()1ln()(+---=x k x x f 。 （1）求函数)(x f 的单调区间；
（2）若不等式0)(≤x f 恒成立，试确定实数k 的取值范围； （3）证明：①),2(2)1ln(+∞-<-在x x 上恒成立； ②2
,,4)
1(1ln *2≥∈-<+∑
=n N n n n i i n
i 。
解：（1）函数k x x f x f --=+∞1
1
)('),,1()(的定义域为 当0≤k 时01
1
)('>--=
k x x f ，则),1()(+∞在x f 上是增函数 当0>k 时，若)11,1(k x +∈时，有011
)('>--=k x x f ，
若),11(+∞+∈k x 时有011)('<--=k x x f ，则)1
1,1()(k x f +在上是增函数，在
),1
1(+∞+k
上是减函数；
（2）由（1）知0≤k ，时),1()(+∞在x f 递增，而0)(,01)2(≤>-=x f k f 不成立，
故0>k ，又由（1）知k k
f y ln )1
1(max -=+=，要使0)(≤x f 恒成立，则
0ln )1
1(max ≤-=+=k k
f y 即可，由10ln ≥≤-k k 得；
（3）由（2）知，当1=k 时有),1(0)(+∞≤在x f 恒成立，且),2[)(+∞在x f 上是减函数，0)2(=f ，0)(),,2(≤+∞∈∴x f x 恒成立，即),2(2)1ln(+∞-<-在x x 上恒成
立；令21n x =-，则1ln 22- 2 1 1ln -< +n n n ， 4 ) 1(212322211ln 54ln 43ln 32ln -=-++++<+++++n n n n n 成立。 7、（不等式成立问题）已知函数()()0≠++=x b x a x x f ，其中R b a ∈,。 （1）若曲线()x f y =在点()()2,2f P 处的切线方程为13+=x y ，求函数()x f 的解析式； （2）讨论函数()x f 的单调性； （3）若对于任意的??????∈2,21a ，不等式()10≤x f 在?? ? ???1,41上恒成立，求b 的取值范 围。 解：（1）2()1a f x x '=- ， 由导数的几何意义得(2)3f '=，于是8a =-， 由切点(2(2))P f ，在直线31y x =+上可得27b -+=， 解得9b =，所以函数()f x 的解析式为8 ()9f x x x =-+。 （2）2()1a f x x '=-， 当0≤a 时，显然()0(0)f x x '>≠，这时()f x 在()0,∞-，()+∞,0内是增函数； 当0a >时，令()0f x '=，解得x = 当x 变化时，()f x '，()f x 的变化情况如下表： 所以()f x 在],(a --∞，),[+∞a 内是增函数，在(，(0内是减函数。 （3）解：由（2）知，()f x 在?? ? ???1,41上的最大值为 14f ?? ??? 与(1)f 中的较大者， 对于任意的?? ? ???∈2,21a ，不等式()10≤x f 在??????1,41上恒成立， 当且仅当1104(1)10f f ? ??? ??? ??? ≤，≤，即39449b a b a ?-???-?≤，≤ 对任意的??? ???∈2,21a 成立，从而得满足条件的b 的取值范围是]47,(-∞。 8、（不等式成立问题）设函数432()2()f x x ax x b x =+++∈R ，其中R b a ∈,。 （1）当10 3 a =- 时，讨论函数()f x 的单调性； （2）若函数()f x 仅在0x =处有极值，求a 的取值范围； （3）若对于任意的[]22a ∈-，，不等式1)(≤x f 在[]11-，上恒成立，求b 的取值范围。 解：（1）322()434(434)f x x ax x x x ax '=++=++； 当10 3 a =- 时，2()(4104)2(21)(2)f x x x x x x x '=-+=--。 令()0f x '=，解得10x =，21 2x =，32x =。 当x 变化时，()f x '，()f x 的变化情况如下表： 所以()f x 在102?? ???，，(2)+，∞内是增函数，在(0)-∞，，122?? ??? ，内是减函数。 （2）2()(434)f x x x ax '=++，显然0x =不是方程24340x ax ++=的根； 为使()f x 仅在0x =处有极值，必须2 4340x ax ++≥恒成立， 即有29640a ?=-≤； 解此不等式，得8833 a -≤≤，这时，(0)f b =是唯一极值，因此满足条件的a 的 取值范围是8833?? -???? ，。 （3）由条件[]22a ∈-，可知29640a ?=-<，从而24340x ax ++>恒成立。 当0x <时，()0f x '<；当0x >时，()0f x '>。 因此函数()f x 在[]11-，上的最大值是(1)f 与(1)f -两者中的较大者。 为使对任意的[]22a ∈-，，不等式()1f x ≤在[]11-，上恒成立， 当且仅当(1)1(1)1f f ?? -?≤，≤，即22b a b a --??-+? ≤， ≤在[]22a ∈-，上恒成立； 所以4-≤b ，因此满足条件的b 的取值范围是]4,(-∞。 9、（不等式证明问题）设0≥a ，函数)0(,ln 2ln 1)(2>+--=x x a x x x f 。 （1）令()()0F x xf x '=>，讨论()F x 在),0(+∞内的单调性并求极值； （2）求证：当1x >时，恒有2ln 2ln 1x x a x >-+。 解：（1）根据求导法则有2ln 2()10x a f x x x x '=- +>，， 故()()2ln 20F x xf x x x a x '==-+>，，于是22 ()10x F x x x x -'=-=>，，列表如下： 故知()F x 在(02)，内是减函数，在(2)+， ∞内是增函数， 所以，在2x =处取得极小值(2)22ln 22F a =-+。 （2）证明：由0a ≥知，()F x 的极小值(2)22ln 220F a =-+>； 于是由上表知，对一切(0)x ∈+， ∞，恒有()()0F x xf x '=>； 从而当0x >时，恒有()0f x '>，故()f x 在(0)+， ∞内单调增加； 所以当1x >时，()(1)0f x f >=，即21ln 2ln 0x x a x --+>； 故当1x >时，恒有2ln 2ln 1x x a x >-+。 10、（不等式证明问题）已知函数2()ln ,()3f x x x g x x ax ==-+-。 （1）求()f x 在[,2](0)t t t +>上的最小值； （2）若存在1,x e e ?? ∈???? （e 是常数，e ＝2.71828???），使不等式2()()f x g x ≥成 立，求实数a 的取值范围； （3）证明对一切(0,),x ∈+∞都有12 ln x x e ex >-成立。 解：（1） 11、（不等式证明问题）已知函数)()(R x xe x f x ∈=-。 （1）求函数()f x 的单调区间和极值； （2）已知函数()y g x =的图象与函数()y f x =的图象关于直线1x =对称，证明：当1x >时，()()f x g x >； （3）如果12x x ≠，且12()()f x f x =，证明122x x +>。 解：（1）()()1e x f x x -'=-，令()()1e 0x f x x -'=-=，则1x =。 当x 变化时，()(),f x f x '的变化情况如下表，略 所以()f x 在区间(),1-∞内是增函数，在区间()1,+∞内是减函数； 函数()f x 在1x =处取得极大值()1f 且()11e f =。 （2）因为函数()y g x =的图象与函数()y f x =的图象关于直线1x =对称， 所以()()2g x f x =-，于是()()22e x g x x -=-。 记()()()F x f x g x =-，则()()2e 2e x x F x x x --=+-，()()()221e 1e x x F x x --'=--， 当1x >时，220x ->，从而22e 10x -->，又e 0x ->， 所以()0F x '>，于是函数()F x 在区间[)1,+∞上是增函数， 因为()111e e 0F --=-=，所以，当1x >时，()()10F x F >=，因此()()f x g x >。 （3）若()()12110x x --=，由（1）及()()12f x f x =，得12x x =，与12x x ≠矛盾； 若()()12110x x -->，由（1）及()()12f x f x =，得12x x =，与12x x ≠矛盾； 则()()12110x x --<，不妨设121,1x x <>。 由（2）可知()()()2222f x g x f x >=-，所以()()()()12222f x f x g x f x =>=-。 因为21x >，所以221x -<，又11x <，由（1），()f x 在区间(),1-∞内是增函数， 所以122x x >-，即122x x +>。 附：解决不等式证明问题的思路：通过构造函数，以导数为工具，证明不等式或比较大小。证明不等式()()f x g x ≥在区间D 上成立，等价于函数()()f x g x -在区间D 上的最小值等于零；而证明不等式()()f x g x >在区间D 上成立，等价于函数 ()()f x g x -在区间D 上的最小值大于零，因此不等式的证明问题可以转化为用导数求函数的极值或最值问题。 12、（函数零点问题）设函数()()()322113 f x x x m x x R =-++-∈，其中0m >。 （1）当1m =时，求曲线()y f x =在点()()1,1f 处的切线的斜率；1 （2）求函数()f x 的单调区间与极值； （3）已知函数()f x 有三个互不相同的零点120,,x x ，且12x x <，若对任意的 []()()12,,1x x x f x f ∈>恒成立，求m 的取值范围。 解：（1）当1m =时，()()3221 ,23 f x x x f x x x '=-+=-+，故()11f '=。 所以，曲线()y f x =在点()()1,1f 处的切线的斜率为1。 （2）()2221f x x x m '=-++-，令()0f x '=，解得11x m x m =-=+或。 因为0m >，所以，11m m >+-。当x 变化时，()(),f x f x '的变化情况如下表： 所以()f x 在区间(),1m -∞-，()1,m ++∞内是减函数，在()1,1m m -+内是增函数； 函数()f x 在1x m =-处取得极小值()3221 133f m m m -=-+-； 函数()f x 在1x m =+处取得极大值()3221 133 f m m m +=+-。 （3）由题设，()()()221211133f x x x x m x x x x x ?? =-++-=--- ??? ， 所以，方程221 103 x x m -++-=，有两个相异实根12,x x ，故123x x +=， () 24 1103 m ?=+->，由0m >解得12m >。 因为12x x <，所以21223x x x >+=，故23 12 x >>。 如果121x x ≤<，则()()()121 11103 f x x =---≥，而()10f x =，不合题意； 如果121x x <<，对任意的[]12,x x x ∈，有120,0,0x x x x x >-≥-≤， 则()()()121 03 f x x x x x x =---≥，又()10f x =， 所以，()f x 在[]12,x x 上的最小值为0，于是对任意的[]12,x x x ∈，()()1f x f >恒 成立的充要条件是()()min 1f x f >，即()21 103 f m =-<，解得m <<。 注意到1 2m >，于是m 的取值范围是1,23? ?? 。 13、（函数零点问题）已知函数R x t x t tx x x f ∈-+-+=,1634)(223，其中R t ∈。 （1）当1=t 时，求曲线)(x f y =在点))0(,0(f 处的切线方程； （2）当0≠t 时，求()f x 的单调区间； （3）证明：对任意),0(+∞∈t ，()f x 在区间)1,0(内均存在零点。 14、（函数零点问题）已知0a >，函数2()ln ,0.f x x ax x =->。（()f x 的图象连续不断） （1）求()f x 的单调区间； （2）当18a =时，证明：存在0(2,)x ∈+∞，使03()()2f x f =； （3）若存在均属于区间[]1,3的,αβ，且1βα-≥，使()()f f αβ=， 证明：ln3ln2ln2 53 a - ≤≤。 补充1：关于函数图象的切线问题的处理方法。《审题要津与解法研究》第410页题目12，第407页题目9。 补充2：《审题要津与解法研究》经典例题解析。
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