2009年普通高等学校招生全国统一考试
数 学（理科）
本试卷分为选择题和非选择题两部分。全卷共五页，选择题部分1至2页。非选择题部分3至5页。满分150分，考试时间120分种。
请考生按规定用笔将所有试题的答案标号涂、写在答题纸上。
选择题部分（共50分）
注意事项： 1、 答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号用黑色字迹的签字笔或钢笔填写在答题纸上。 2、 每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题纸上对应试题的答案标号涂黑，如需改动，用橡
皮擦干净后，再选涂其他答案标号。不能答在答题纸上。
参考公式：
如果事件A ，B 互斥，那么P （A+B ）=P （A ）+P （B ）； 如果事件A ，B 互相独立，那么P （A ．B ）=P （A ）．P （B ） 如果事件Ａ在一次试验中发生地概率是ｐ，那么ｎ次独立重复试验中事件Ａ恰好发生Ｋ次的
概率：k k n k m n k P P
-（K ）=C （1-P ）（=0，1，2，...n ） 球的表面积公式：2
4S R π= 球的体积公式：34
3
V R π=
其中Ｒ表示球的半径 棱柱的体积公式Ｖ＝Ｓｈ
其中Ｓ表示棱柱的底面积，ｈ表示棱柱的高，棱锥的体积公式：1h 3V S =
其中Ｓ表示棱锥的底面积，ｈ表示棱锥的高，棱台的体积公式：1
h 3
V =12（S ）
其中分别表示棱台的上、下底面积、h 表示棱台的高
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
（1） 设U=R ，{|0}{|1}u A x x B x x B =>=>?=，，则A e
（A ）{|01}x x ≤ k n k m n k P P -（K ）=C （1-P ）（=0，1，2，...n ） （B ）{|01}x x <≤ （C ）{|0}x x < （D ）{|1}x x > （2）已知a 、b 是实数，则“a>0，b>0”是a+b>0且ab>0的 （A ）充分而不必要条件 （B ）必要而不充分条件 （C ）充分必要条件 （D ）既不充分也不必要条件2 4S R π= （3）设z=1+i （i 是虚数单位），则 2 2z z += （A ）-1-i （B ）-1+ i （C ）1- i （D ）1+i （4）在二项式5)1 (x x -的展开式中，含x 4的项的系数是 （A ）-10 （B ）10 （C ）-5 （D ）5 （5）在三棱柱ABC-A 1B 1C 1中，各棱长相等，侧棱垂直于底面，点D 式侧面BB 1C 1C 的中心，则AD 与平面BB 1C 1C 所成角的大小是 （A ）300 （B ）450 （C ）600 （D ）900 （6）某程序框图如图所示，该程序运行后输出的k 的值是 （A ）4 （B ）5 （C ）6 （D ）7 （7）设向量a,b 满足︱a ︱=3,︱b ︱=4,b a ?=0.以a,b,a-b 的模为边长构成三角形，则它的边与半径为1的圆的公共点个数最多为 （A ）3 （B ）4 （C ）5 （D ）6 （8）已知a 是实数，则函数f （x ）=1+asinax 的图像不可能是 （9）过双曲线12 2=-b y a x （a ＞0,b ＞0）的右顶点A 作斜率为-1的直线，该直线与双曲线 的两条渐近线的交点分别为B,C.若= 2 1 ,则双曲线的离心率是 （A ）2 （B ）3 （C ）5 （D ）10 （10）对于正实数α，记M α为满足下述条件的函数f （x ）构成的集合：R x x ∈?21,且2x ＞1x ,有-α（2x -1x ）＜f （2x ）-f （1x ）＜α（2x -1x ）.下列结论正确的是 （A ）若2121)()(,)(,)(αααα?∈?∈∈M x g x f M x g M x f 则 （B ）2 121)() (,0)()(,(ααααM x g x f x g M x g M x f ∈≠∈∈则且） 若 （C ）2 121)()(,)(,)(αααα+∈+∈∈M x g x f M x g M x f 则若 （D ）121,)(,)(ααα且若M x g M x f ∈∈＞212)()(ααα-∈-M x g x f ，则 2009年普通高等学校招生全国统一考试 数学（理科） 非选择题部分（共100分） 注意事项： 1.用黑色字迹的签字笔或钢笔将答案写在答题纸上，不能答在试题卷上。 2.在答题纸上作图，可先使用2B 铅笔，确定后必须使用黑色字迹的签字笔或钢笔描黑。 二、填空题：本大题共7小题，每小题4分，共28分。 （11）设等比数列{}n a 的公比1 2 q =，前n 项和为n S ， 则 4 4 S a =_____________. （12）若某几何体的三视图（单元：cm ）如图所示，则 此几何体的体积是________3cm . （13）若实数x ，y 满足不等式组224230x y x y x y x y +≥?? -≤+??-≥? ，，则， 的最小值是__________. （14）某地区居民生活用电分为高峰和低谷两个时间段进行分时计价，该地区的电网销售电价表如下： 若某家庭5月份的高峰时间用电量为200千瓦时，低谷时间段用电量为100千瓦 时，则按这种计费方式该家庭本月应付的电费为________元（用数字作答）。 观察下列等式： 1535522C C +=-, 1597399922C C C ++=+, 159131151313131322C C C C +++=-, 1591317157171717171722C C C C C ++++=+, …… 由以上等式推测到一个一般的结论： 对于n ∈* N ,15941 41414141n n n n n C C C C +++++++++=…_________. （16）甲、乙、丙三人站到共有7级的台阶上，若每级台阶最多站2人，同一级台阶上的人不区分站的位置，则不同的站法种数是________（用数字作答） （17）如图，在长方形ABCD 中，AB=2,BC=1,E 为DC 的中点，F 为线段EC(端点除外)上一动点，现将 AFD 沿AF 折起，使平面AFD ⊥平面ABC,在平面ABD 内过点D 作DK ⊥AB,K 为垂足，设AK=t,则t 的取值范围是_______. 三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 （18）（本题满分14分）在 ABC 中，角A 、B 、C 所对应的边分别为a 、b 、c ，且满足cos 2A =5 , AB AC =3. （Ⅰ）求ABC 的面积； （Ⅱ）若b+c=6,求a 的值。 （19）（本题满分14分）在1，2，3…，9，这9个自然数中，任取3个数. （Ⅰ）求这3个数中，恰有一个是偶数的概率； （Ⅱ）记ξ为这三个数中两数相邻的组数，（例如：若取出的数1、2、3，则有两组相邻的数1、2和2、3，此时ξ的值是2）。求随机变量ξ的分布列及其数学期望E ξ. （20）（本题满分15分）如图，平面PAC ⊥平面ABC ，ABC ?是以AC 为斜边的等腰直角三角形。,,E F O 分别为,,PA PB PC 的中点，16,10AC PA PC ===。 （I ） 设C 是OC 的中点，证明：//PC 平面BOE ； （II ）证明：在ABO ?内存在一点M ，使FM ⊥平面BOE ，并求点M 到OA ,OB 的距离。 （21）（本题满分15分）已知椭圆1C :22 221y x a b +=（0a b >>）的右顶点A （1，0），过1 C 的焦点且垂直长轴的弦长为1。 （I ） 求椭圆1C 的方程； （II ） 设点P 在抛物线2C :2 ()y x h h R =+∈上，2C 在点P 处的切线与1C 交于点M ，N 。当线段AP 的中点与MN 的中点的横坐标相等时，求h 的最小值。 （22）（本题满分14分）已知函数322()(1)52f x x k k x x =--++-，22 ()1g x k x kx =++，其中k R ∈。 （I ） 设函数()()()p x f x g x =+。若() p x （II ）设函数(),0,()(),0.g x x q x f x x ≥?=? 是否存在k ，对任意给定的非零实数1x ，存在惟一的非 零实数2x （21x x ≠），使得''21()()q x q x =？若存在，求k 的值；若不存在，请说明理由。 2009年普通高等学校招生全国统一考试(浙江卷) 数 学（理科） 一、选择题 1-10 BCDBC ACDCC 1、【解析】 对于{} 1U C B x x =≤，因此U A B = e{|01 }x x <≤． 2、【解析】对于“0a >且0b >”可以推出“0a b +>且0ab >”，反之也是成立的 3、【解析】对于 2222 (1)1211z i i i i z i +=++=-+=++ 4、【解析】对于()251031551() ()1r r r r r r r T C x C x x --+=-=-，对于1034,2r r -=∴=，则4x 的项的系数是2 25(1)10C -= 5、【解析】取BC 的中点E ，则AE ⊥面11BB C C ，AE DE ∴⊥，因此AD 与平面11BB C C 所成角即为ADE ∠，设A B a =， 则A E a = ，2 a DE =，即 有0tan 60ADE ADE ∠==． 6、【解析】对于0,1,1k s k ==∴=，而对于1,3,2k s k ==∴=，则2 ,38,3k s k ==+∴=， 后面是11 3,382,4k s k ==++∴=，不符合条件时输出的4k =． 7、【解析】对于半径为1的圆有一个位置是正好是三角形的内切圆，此时只有三个交点，对于圆的位置稍一右移或其他的变化，能实现4个交点的情况，但5个以上的交点不能实现． 8、【解析】对于振幅大于1时，三角函数的周期为2,1,2T a T a π π=>∴< ，而D 不符合要求，它的振幅大于1，但周期反而大于了2π． 9、【解析】对于(),0A a ，则直线方程为0x y a +-=，直线与两渐近线的交点为B ，C ， 22,,( ,)a ab a ab B C a b a b a b a b ??- ?++--?? ，则有 22222222(,),,a b a b ab ab BC AB a b a b a b a b ??=-=- ?--++?? ，因22 2,4,AB BC a b e =∴=∴= 10、【解析】对于212121()()()()x x f x f x x x αα--<-<-，即有2121 ()() f x f x x x αα--< <-， 令 2121 ()() f x f x k x x -=-，有k αα-<<，不妨设1()f x M α∈，2() g x M α∈，即有 11,f k αα-<<22g k αα-<<，因此有1212f g k k αααα--<+<+，因此有12()()f x g x M αα++∈． 二、填空题 11、答案：15 【解析】对于443 1444134(1)1,,151(1) a q s q s a a q q a q q --==∴==-- 12、答案：18 【解析】该几何体是由二个长方体组成，下面体积为1339??=，上面的长方体体积为 3319??=，因此其几何体的体积为18 13、答案：4 【解析】通过画出其线性规划，可知直线2 3 y x Z =-+过点()2,0时，()min 234x y += 14、答案：148.4 【解析】对于应付的电费应分二部分构成，高峰部分为500.5681500.598?+?；对于低峰部分为500.288500.318?+?，二部分之和为148.4 15、答案：()41 212 12n n n --+- 【解析】这是一种需类比推理方法破解的问题，结论由二项构成，第二项前有()1n -，二项指 数 分 别 为 412,2n n - - ， 因此对于 * n N ∈， 15941 41414141n n n n n C C C C +++++++++= ()4121212n n n --+- 16、答案：336 【解析】对于7个台阶上每一个只站一人，则有3 7A 种；若有一个台阶有2人，另一个是1人，则共有1237C A 种，因此共有不同的站法种数是336种． 17、答案：1,12?? ??? 【解析】此题的破解可采用二个极端位置法，即对于F 位于DC 的中点时，1t =，随着F 点到C 点时，因,,CB AB CB DK CB ⊥⊥∴⊥平面A D B ，即有C B B D ⊥，对 于2,1,CD BC ==∴，又1,2AD AB ==，因此有AD BD ⊥，则有1 2 t =，因此t 的取值范围是1,12?? ??? 三、解答题 18、解析：（I ） 因为cos 25 A =，234cos 2cos 1,sin 255A A A ∴=-==，又由3A B A C ?= ， 得cos 3,bc A =5bc ∴=，1 sin 22 ABC S bc A ?∴= = （II ）对于5bc =，又6b c +=，5,1b c ∴==或1,5b c ==，由余弦定理得 2222cos 20a b c bc A =+-= ，a ∴= 19、解析：（I ）记“这3个数恰有一个是偶数”为事件A ，则12453 910 ()21 C C P A C ==； （II ）随机变量ξ的取值为0,1,2,ξ的分布列为 ξ 0 1 2 P 5 12 12 112 所以ξ的数学期望为5112012122123 E ξ=? +?+?= 20、证明：（I ）如图，连结OP ，以O 为坐标原点，分别以OB 、OC 、OP 所在直线为x 轴， y 轴，z 轴，建立空间直角坐标系O xyz -， 则()0,0,0,(0,8,0),(8,0,0),(0,8,0),O A B C -(0,0,6),(0,4,3),P E -()4,0,3F ，由题意得， ()0,4,0,G 因(8,0,0),(0,4,3)OB OE ==- ， 因此平面BOE 的法向量为(0,3,4)n = ，(4,4,3FG =-- 得0n FG ?= ，又直线FG 不在 平面BOE 内，因此有//FG 平面BOE （II ）设点M 的坐标为()00,,0x y ，则00(4,,3)FM x y =-- ，因为FM ⊥平面BOE ，所以有//FM n ，因此有009 4,4 x y ==-，即点 M 的坐标为94,,04?? - ??? ，在平面直角坐标系xoy 中，AOB ?的内部区域满足不等式组00 8x y x y >?? ，经检验，点M 的坐标满足上述不等式组，所以在ABO ?内存在一点M ，使FM ⊥平面BOE ，由点M 的坐标得点M 到OA ，OB 的距离为9 4, 4 ． x y z 21、解析：（I ）由题意得212,,1 21b a b b a =?=?? ∴??=?=???所求的椭圆方程为2 214y x +=， （II ）不妨设2 1122(,),(,),(,),M x y N x y P t t h +则抛物线2C 在点P 处的切线斜率为 2x t y t =' =，直线MN 的方程为22y tx t h =-+，将上式代入椭圆1C 的方程中，得 2224(2)40x tx t h +-+-=，即()2222 2414()()40t x t t h x t h +--+--=，因为直线MN 与椭圆1C 有两个不同的交点，所以有422 1162(2)40t h t h ???=-++-+>??， 设线段MN 的中点的横坐标是3x ，则21232() 22(1) x x t t h x t +-== +， 设线段PA 的中点的横坐标是4x ，则412 t x += ，由题意得34x x =，即有2(1)10t h t +++=，其中的22(1)40,1h h ?=+-≥∴≥或3h ≤-； 当3h ≤-时有220,40h h +<-<，因此不等式422 1162(2)40t h t h ???=-++-+>??不 成立；因此1h ≥，当1h =时代入方程2 (1)10t h t +++=得1t =-，将1,1h t ==-代入不等式422 1162(2)40t h t h ???=-++-+>??成立，因此h 的最小值为1． 22、解析：（I ）因32()()()(1)(5)1P x f x g x x k x k =+=+-++-， ()232(1)(5)p x x k x k '=+-++，因()p x 在区间(0,3)上不单调，．．．．所以()0p x '=在()0,3上有实数解，且无重根，由()0p x '=得2(21)(325), k x x x +=--+ ()2(325)391021214213x x k x x x -+??∴=-=-++-??++?? ，令21,t x =+有()1,7t ∈，记 9 (),h t t t =+则()h t 在(]1,3上单调递减，在[)3,7上单调递增，所以有()[)6,10h t ∈，于 是()[)9 216,1021 x x ++ ∈+，得(]5,2k ∈--，而当2k =-时有()0p x '=在()0,3上有两个相等的实根1x =，故舍去，所以()5,2k ∈--； （II ）当0x <时有()()2 2 32(1)5q x f x x k k x ''==--++； 当0x >时有()()2 2q x g x k x k ''==+，因为当0k =时不合题意，因此0k ≠， 下面讨论0k ≠的情形，记A (,)k =+∞，B=()5,+∞（ⅰ）当10x >时，()q x '在()0,+∞上单调递增，所以要使()()21q x q x ''=成立，只能20x <且A B ?，因此有5k ≥，（ⅱ）当 10x <时，()q x '在()0,+∞上单调递减，所以要使()()21q x q x ''=成立，只能20x >且 A B ?，因此5k ≤，综合（ⅰ）（ⅱ）5k =； 当5k =时A=B ，则()110,x q x B A '?<∈=，即20,x ?>使得()()21q x q x ''=成立，因为 ()q x '在()0,+∞上单调递增，所以2x 的值是唯一的； 同理，10x ?<，即存在唯一的非零实数221()x x x ≠，要使()()21q x q x ''=成立，所以5k =满足题意．
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