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高中数学公式大全(理科)

高中数学常用公式及结论

1 元素与集合的关系:U x A x C A ∈??,U x C A x A ∈??.A A ??≠??

2 集合12{,,

,}n a a a 的子集个数共有2n 个；真子集有21n -个；非空子集有21n -个；非空的真子集

有22n

-个.

3 二次函数的解析式的三种形式：

(1) 一般式2()(0)f x ax bx c a =++≠;

(2) 顶点式2()()(0)h f x a a k x =-+≠;（当已知抛物线的顶点坐标(,)h k 时，设为此式） (3) 零点式12()()()(0)f x a x x x a x =--≠；（当已知抛物线与x 轴的交点坐标为12(,0),(,0)x x 时，

设为此式）

（4）切线式：02()()(()),0x kx d f x a x a =-+≠+。（当已知抛物线与直线y kx d =+相切且切点的

横坐标为0x 时，设为此式）

4 真值表：同真且真，同假或假

5 常见结论的否定形式;

原结论反设词原结论

反设词是不是至少有一个一个也没有都是不都是至多有一个至少有两个

大于不大于至少有n 个至多有（1n -）个小于不小于至多有n 个至少有（1n +）个对所有x ，成立存在某x ，不成立

p 或q p ?且q ?

对任何x ，不成立存在某x ，成立

p 且q p ?或q ?

6 四种命题的相互关系(下图):（原命题与逆否命题同真同假；逆命题与否命题同真同假.）

原命题互逆逆命题若ｐ则ｑ若ｑ则ｐ互互

互为为互否否逆逆否否

否命题逆否命题若非ｐ则非ｑ互逆若非ｑ则非ｐ

充要条件： (1)、p q ?，则P 是q 的充分条件，反之，q 是p 的必要条件；

（2）、p q ?，且q ≠> p ，则P 是q 的充分不必要条件； (3)、p ≠> p ，且q p ?，则P 是q 的必要不充分条件；

4、p ≠> p ，且q ≠> p ，则P 是q 的既不充分又不必要条件。

7 函数单调性:

增函数：(1)、文字描述是：y 随x 的增大而增大。

（2）、数学符号表述是：设f （x ）在x ∈D 上有定义，若对任意的

1212,,x x D x x ∈<且，都有

12()()f x f x <成立，则就叫f （x ）在x ∈D 上是增函数。D 则就是f （x ）的递增区间。

减函数：(1)、文字描述是：y 随x 的增大而减小。

（2）、数学符号表述是：设f （x ）在x ∈D 上有定义，若对任意的

1212,,x x D x x ∈<且，都有

()()21x f x f ＞成立，则就叫f （x ）在x ∈D 上是减函数。D 则就是f （x ）的递减区间。

单调性性质：(1)、增函数+增函数=增函数；（2）、减函数+减函数=减函数；

(3)、增函数-减函数=增函数；(4)、减函数-增函数=减函数；

注：上述结果中的函数的定义域一般情况下是要变的，是等号左边两个函数定义域的交集。复合函数的单调性：函数单调单调性内层函数 ↓ ↑ ↑ ↓ 外层函数 ↓ ↑ ↓ ↑ 复合函数 ↑

↑

↓

等价关系：

(1)设[]1212,,,x x a b x x ∈≠那么

[]1212()()()0x x f x f x -->?

[]b a x f x x x f x f ,)(0)

()(2

121在?>--上是增函数；

[]1212()()()0x x f x f x --

[]b a x f x x x f x f ,)(0)

()(2

121在?<--上是减函数. (2)设函数)(x f y =在某个区间内可导，如果0)(>'x f ，则)(x f 为增函数；如果0)(<'x f ，则)(x f 为减函数. 8函数的奇偶性：（注：是奇偶函数的前提条件是：定义域必须关于原点对称）奇函数：

定义：在前提条件下，若有()()()()0f x f x f x f x -=--+=或，则f （x ）就是奇函数。

性质：（1）、奇函数的图象关于原点对称；

（2）、奇函数在x >0和x <0上具有相同的单调区间；

（3）、定义在R 上的奇函数，有f （0）=0 . 偶函数：

定义：在前提条件下，若有()()f x f x -=，则f （x ）就是偶函数。性质：（1）、偶函数的图象关于y 轴对称；

（2）、偶函数在x >0和x <0上具有相反的单调区间；奇偶函数间的关系：

(1)、奇函数·偶函数=奇函数；（2）、奇函数·奇函数=偶函数；

(3)、偶奇函数·偶函数=偶函数； (4)、奇函数±奇函数=奇函数（也有例外得偶函数的） (5)、偶函数±偶函数=偶函数； (6)、奇函数±偶函数=非奇非偶函数

奇函数的图象关于原点对称，偶函数的图象关于y 轴对称;反过来，如果一个函数的图象关于原点对称，那么这个函数是奇函数；如果一个函数的图象关于y 轴对称，那么这个函数是偶函数．（7）反函数的性质：互为反函数的两个函数的图像关于直线y x =对称

若函数()y f x =与()y g x =的图像关于直线y x =对称，则函数()2y f x =与

()1

y g x =

的图像也关于直线y x =对称；

9函数的周期性：定义：对函数f （x ），若存在T ≠0，使得f （x+T ）=f （x ），则就叫f （x ）是周期函数，其中，T 是f （x ）

的一个周期。

周期函数几种常见的表述形式：

(1)、f （x+T ）= - f （x ），此时周期为2T ；（2）、 f （x+m ）=f （x+n ），此时周期为2m n - ； (3)、1

()()

f x m f x +=-

，此时周期为2m 。（4）、若奇函数()f x 对定义域内任意x 都有()(2)f x f x =-，则()f x 为周期函数。 10常见函数的图像：

k<0

k>0

y=kx+b

a<0

a>0

y=ax 2

+bx+c o

a>1

y=a x

a>1

1y=log a x

11 对于函数)(x f y =(R x ∈),)()(x b f a x f -=+恒成立,则函数)(x f 的对称轴是2

a x +=;两个函数)(a x f y +=与)(x

b f y -= 的图象关于直线2

b a

x -=对称. 12 分数指数幂与根式的性质： (1)m n m n

a =（0,,a m n N *>∈，且1n >）.

（2）1

m n

a a

（0,,a m n N *

>∈，且1n >）.

（3）()n n a a =.

（4）当n 为奇数时，n

n a a =；当n 为偶数时，,0

||,0

a a a a a a ≥?==?

13 指数式与对数式的互化式: log b a N b a N =?=(0,1,0)a a N >≠>.

指数性质： (1)1、1p

p a

；（2）、01a =（0a ≠）； (3)、()mn m n

a a = (4)、(0,,)r s

r s

a a a a r s Q +?=>∈ ； (5)、m n m n

a a = ；

指数函数：

(1)、 (1)x

y a a =>在定义域内是单调递增函数；

（2）、 (01)x

y a a =<<在定义域内是单调递减函数。注：指数函数图象都恒过点（0，1）对数性质：

(1)、 log log log ()a a a M N MN += ；（2）、 log log log a a a

M N N

-= ； (3)、 log log m

a a

b m b =? ；(4)、 log log m n

a a n

b b m

? ； (5)、 log 10a = (6)、 log 1a a = ； (7)、 l o g a b

b =

对数函数：

(1)、 log (1)a y x a => 在定义域内是单调递增函数；

（2）、log (01)a y x a =<<在定义域内是单调递减函数；注：对数函数图象都恒过点（1，0） (3)、 l o g 0

,(0,1),(1,a x a x a x >?∈∈+∞

或 (4)、log 0(0,1)(1,)a x a x

N a

(0a >,且1a ≠,0m >,且1m ≠, 0N >).

对数恒等式：log a N

N =(0a >,且1a ≠, 0N >).

推论 log log m n

a a n

b b m

(0a >,且1a ≠, 0N >). 15对数的四则运算法则:若a ＞0，a ≠1，M ＞0，N ＞0，则

(1)log ()log log a a a MN M N =+; (2) log log log a a a M

M N N

=-; (3)log log ()n a a M n M n R =∈; (4) log log (,)m

n a a n

N N n m R m

=∈。

16 平均增长率的问题（负增长时0p <）：

如果原来产值的基础数为N ，平均增长率为p ，则对于时间x 的总产值y ，有(1)x

y N p =+. 17 等差数列：

通项公式：（1） 1(1)n a a n d =+- ，其中1a 为首项，d 为公差，n 为项数，n a 为末项。

（2）推广： ()n k a a n k d =+-

（3）1(2)n n n a S S n -=-≥ （注：该公式对任意数列都适用）

前n 项和：（1）1()

n n n a a S +=

；其中1a 为首项，n 为项数，n a 为末项。（2）1(1)

n n n S na d -=+

（3）1(2)n n n S S a n -=+≥ （注：该公式对任意数列都适用）（4）12n n S a a a =++

+ （注：该公式对任意数列都适用）

常用性质：（1）、若m+n=p+q ，则有 m n p q a a a a +=+ ；

注：若,m n p a a a 是的等差中项，则有2m n p a a a =+?n 、m 、p 成等差。（2）、若{}n a 、{}n b 为等差数列，则{}n n a b ±为等差数列。

（3）、{}n a 为等差数列，n S 为其前n 项和，则232,,m m m m m S S S S S --也成等差数列。（4）、,,0p q pq a qa p a +

===则；

（5） 1+2+3+…+n=

)

1(+n n

等比数列：

通项公式：（1） 1

*11()n n

n a a a q

q n N q

-==

?∈ ，其中1a 为首项，n 为项数，q 为公比。（2）推广：n k n k a a q -=?

（3）1(2)n n n a S S n -=-≥ （注：该公式对任意数列都适用）

前n 项和：（1）1(2)n n n S S a n -=+≥ （注：该公式对任意数列都适用）

（2）12n n S a a a =++

+ （注：该公式对任意数列都适用）

（3）1

1(1)(1)

(1)

1n n na q S a q q q =??

=-?≠?-?

常用性质：（1）、若m+n=p+q ，则有 m n p q a a a a ?=? ；

注：若,m n p a a a 是的等比中项，则有 2

m n p a a a =??n 、m 、p 成等比。

（2）、若{}n a 、{}n b 为等比数列，则{}n n a b ?为等比数列。

18分期付款(按揭贷款) ：每次还款(1)(1)1

n n

ab b x b +=+-元(贷款a 元,n 次还清,每期利率为b ). 19三角不等式：

（1）若(0,)2

x π

∈，则sin tan x x x <<.

(2) 若(0,

x π

∈，则1sin cos 2x x <+≤. (3) |sin ||cos |1x x +≥.

20 同角三角函数的基本关系式：2

sin cos 1θθ+=，tan θ=θ

cos sin ， 21 正弦、余弦的诱导公式（奇变偶不变，符号看象限） 22 和角与差角公式

sin()sin cos cos sin αβαβαβ±=±;

cos()cos cos sin sin αβαβαβ±=;

tan tan tan()1tan tan αβ

αβαβ±±=.

sin cos a b αα+=22sin()a b α?++

(辅助角?所在象限由点(,)a b 的象限决定,tan b

23 二倍角公式及降幂公式

sin 2sin cos ααα=22tan 1tan α

cos 2cos sin 2cos 112sin ααααα=-=-=-22

1tan 1tan α

-=+. 22tan tan 21tan ααα=-. sin 21cos 2tan 1cos 2sin 2αα

ααα-==+

221cos 21cos 2sin ,cos 22

αα

αα-+==

24 三角函数的周期公式

函数sin()y x ω?=+，x ∈R 及函数cos()y x ω?=+，x ∈R(A,ω,?为常数，且A ≠0)的周期

2||T πω=

；函数tan()y x ω?=+，,2x k k Z ππ≠+∈(A,ω,?为常数，且A ≠0)的周期||

T π

ω=.

三角函数的图像：

-1

y=sinx

-2π2π

3π/2

π/2

-3π/2

-π

-π/2

-1

y=cosx

-2π2π

3π/2π

π/2

-3π/2

-π

-π/2

25 正弦定理：

2sin sin sin a b c

R A B C

===（R 为ABC ?外接圆的半径）. 2sin ,2sin ,2sin a R A b R B c R C ?===::sin :sin :sin a b c A B C ?=

26余弦定理：

2222cos a b c bc A =+-;2222cos b c a ca B =+-;2222cos c a b ab C =+-.

27面积定理：

（1）111

222a b c S ah bh ch =

==（a b c h h h 、、分别表示a 、b 、c 边上的高）. （2）111

sin sin sin 222S ab C bc A ca B ===.

(3)221

(||||)()2

OAB S OA OB OA OB ?=?-?. 2,2

a b c S r r a b c ?

??+==++斜边内切圆直角内切圆－

28三角形内角和定理：

在△ABC 中，有()A B C C A B ππ++=?=-+

222

C A B π+?

=-222()C A B π?=-+. 29实数与向量的积的运算律:设λ、μ为实数，那么： (1) 结合律：λ(μa )=(λμ) a ;

(2)第一分配律：(λ+μ) a =λa +μa ;

(3)第二分配律：λ(a +b )=λa +λb .

30a 与b 的数量积(或内积)：a ·b =|a ||b |cos θ。 31平面向量的坐标运算：

(1)设a =11(,)x y ,b =22(,)x y ，则a +b =1212(,)x x y y ++. (2)设a =11(,)x y ,b =22(,)x y ，则a -b =1212(,)x x y y --.

(3)设A 11(,)x y ，B 22(,)x y ,则2121(,)AB OB OA x x y y =-=--.

(4)设a =(,),x y R λ∈，则λa =(,)x y λλ.

(5)设a =11(,)x y ,b =22(,)x y ，则a ·b =1212()x x y y +. 32 两向量的夹角公式：

121222221

cos ||||

x x y y a b

a b x y x y

θ+?=

?+?+(a =11(,)x y ,b =22(,)x y ).

33 平面两点间的距离公式：

,A B d =||AB AB AB =

?222121()()x x y y =-+-(A 11(,)x y ，B 22(,)x y ).

34 向量的平行与垂直：设a =11(,)x y ,b =22(,)x y ，且b ≠0，则：

a ||

b ?b =λa 12210x y x y ?-=.（交叉相乘差为零）

a ⊥

b (a ≠0)? a ·b =012120x x y y ?+=.（对应相乘和为零）

35 线段的定比分公式：设111(,)P x y ，222(,)P x y ，(,)P x y 是线段12P P 的分点,λ是实数，且12PP PP λ=，

则12

211x x x y y y λλλλ+?=??+?+?=?+?

21OP OP OP λλ+=+ ?12(1)OP tOP t OP =+-（

1t λ

=+）. 36三角形的重心坐标公式： △ABC 三个顶点的坐标分别为11A(x ,y )、22B(x ,y )、33C(x ,y ),则△ABC

的重心的坐标是1

23123

(,)33

x x x y y y G ++++. 37三角形五“心”向量形式的充要条件：

设O 为ABC ?所在平面上一点，角,,A B C 所对边长分别为,,a b c ，则

（1）O 为ABC ?的外心222

OA OB OC ?==. （2）O 为ABC ?的重心0OA OB OC ?++=.

（3）O 为ABC ?的垂心OA OB OB OC OC OA ??=?=?. （4）O 为ABC ?的内心0aOA bOB cOC ?++=. （5）O 为ABC ?的A ∠的旁心aOA bOB cOC ?=+. 38常用不等式：

（1）,a b R ∈?2

2a b ab +≥(当且仅当a ＝b 时取“=”号)．

（2）,a b R +

∈?

a b

ab +≥(当且仅当a ＝b 时取“=”号)．（3）333

3(0,0,0).a b c abc a b c ++≥>>>

（4）b a b a b a +≤+≤-.

（5）22

222

ab a b a b ab a b ++≤≤≤

+(当且仅当a ＝b 时取“=”号)。 39极值定理:已知y x ,都是正数，则有

（1）若积xy 是定值p ，则当y x =时和y x +有最小值p 2；（2）若和y x +是定值s ，则当y x =时积xy 有最大值24

1s . （3）已知,,,a b x y R +

∈，若1ax by +=则有

21111()()2()by ax ax by a b a b ab a b x y x y x y

+=++=+++≥++=+。

（4）已知,,,a b x y R +∈，若1a b

x y

+=则有 2()()2()a b ay bx

x y x y a b a b ab a b x y x y

+=++=+++≥++=+

40 一元二次不等式20(0)ax bx c ++><或2(0,40)a b ac ≠?=->，如果a 与2

ax bx c ++同号，则

其解集在两根之外；如果a 与2

ax bx c ++异号，则其解集在两根之间.简言之：同号两根之外，异

号两根之间.即：

121212()()0()x x x x x x x x x <?--><或.

41 含有绝对值的不等式：当a> 0时，有

22x a x a a x a

22x a x a x a >?>?>或x a <-.

42 斜率公式：

y y k x x -=

-（111(,)P x y 、222(,)P x y ）.

43A 直线的五种方程：

（1）点斜式 11()y y k x x -=- (直线l 过点111(,)P x y ，且斜率为k )．

（2）斜截式 y kx b =+(b 为直线l 在y 轴上的截距).

（3）两点式

2121

y y x x y y x x --=--(12y y ≠)(111(,)P x y 、222(,)P x y (1212,x x y y ≠≠)).

两点式的推广：211211()()()()0x x y y y y x x -----=（无任何限制条件！）

(4)截距式 1x y

a b

+=(a b 、分别为直线的横、纵截距，00a b ≠≠、)

（5）一般式 0Ax By C ++=(其中A 、B 不同时为0).

直线0Ax By C ++=的法向量：(,)l A B '=，方向向量：(,)l B A =-

43B ．四种常用直线系方程

(1)定点直线系方程：经过定点000(,)P x y 的直线系方程为00()y y k x x -=-(除直线0x x =),其中k 是待定的系数; 经过定点000(,)P x y 的直线系方程为00()()0A x x B y y -+-=,其中,A B 是待定的系数． (2)共点直线系方程：经过两直线1111:0l A x B y C ++=,2222:0l A x B y C ++=的交点的直线系方程为

111222()()0A x B y C A x B y C λ+++++=(除2l )，其中λ是待定的系数．

(3)平行直线系方程：直线y kx b =+中当斜率k 一定而b 变动时，表示平行直线系方程．与直线0Ax By C ++=平行的直线系方程是0Ax By λ++=(0λ≠)，λ是参变量．

(4)垂直直线系方程：与直线0Ax By C ++= (A ≠0，B ≠0)垂直的直线系方程是0Bx Ay λ-+=,

λ是参变量． 44 夹角公式：

(1)21

tan |

|1k k k k α-=+. (111:l y k x b =+，222:l y k x b =+,121k k ≠-)

(2)12

1212

tan ||A B A B A A B B α-=+.(1111:0l A x B y C ++=,2222:0l A x B y C ++=,12120A A B B +≠). 直线12l l ⊥时，直线l 1与l 2的夹角是2

45 1l 到2l 的角公式：

(1)21

tan 1k k k k α-=+.(111:l y k x b =+，222:l y k x b =+,121k k ≠-)

相离外切相交

内切内含r 1+r 2

r 2-r 1

(2)1221

1212

tan A B A B A A B B α-=+.(1111:0l A x B y C ++=,2222:0l A x B y C ++=,12120A A B B +≠). 直线12l l ⊥时，直线l 1到l 2的角是2

46 点到直线的距离：0022||

Ax By C d A B

++=+(点00(,)P x y ,直线l ：0Ax By C ++=).

47 圆的四种方程：

（1）圆的标准方程 222()()x a y b r -+-=.

（2）圆的一般方程 220x y Dx Ey F ++++=(2

4D E F +-＞0).

（3）圆的参数方程 cos sin x a r y b r θ

=+??

=+?.

（4）圆的直径式方程 1212()()()()0x x x x y y y y --+--=(圆的直径的端点是11(,)A x y 、22(,)B x y ).

48点与圆的位置关系：点00(,)P x y 与圆2

)()(r b y a x =-+-的位置关系有三种：

若2200()()d a x b y =-+-，则d r >?点P 在圆外; d r =?点P 在圆上; d r

49直线与圆的位置关系：直线0=++C By Ax 与圆2

22)()(r b y a x =-+-的位置关系有三种

A C

Bb Aa d +++=

0相离r d ;0=???=相切r d ;0>???<相交r d .

50 两圆位置关系的判定方法:设两圆圆心分别为O 1，O 2，半径分别为r 1，r 2，d O O =21，则：

条公切线外离421??+>r r d ; 条公切线外切321??+=r r d ;

条公切线相交22121??+<<-r r d r r ; 条公切线内切121??-=r r d ; 无公切线内含??-<<210r r d .

51 椭圆22221(0)x y a b a b +=>>的参数方程是cos sin x a y b θθ

=??=?. 离心率2

21c b e a a ==-，

准线到中心的距离为2a c

，焦点到对应准线的距离(焦准距)2b p c =。

过焦点且垂直于长轴的弦叫通经，其长度为：2

2b a

52 椭圆22

221(0)x y a b a b

+=>>焦半径公式及两焦半径与焦距构成三角形的面积:

21()a PF e x a ex c

=+=+，2

2()a PF e x a ex c =-=-；1221||tan 2F PF P F PF S c y b ?∠==。

53椭圆的的内外部:

（1）点00(,)P x y 在椭圆22

221(0)x y a b a b +=>>的内部22

221x y a b ?

+<. （2）点00(,)P x y 在椭圆22

221(0)x y a b a b

+=>>的外部2200

1x y a b ?

+>. 54 椭圆的切线方程:

(1) 椭圆22

221(0)x y a b a b

+=>>上一点00(,)P x y 处的切线方程是00221x x y y a b +=.

（2）过椭圆22

221x y a b

+=外一点00(,)P x y 所引两条切线的切点弦方程是00221x x y y a b +=.

（3）椭圆22221(0)x y a b a b

+=>>与直线0Ax By C ++=相切的条件是22222

A a

B b c +=.

55 双曲线22221(0,0)x y a b a b -=>>的离心率2

21c b e a a

==+，准线到中心的距离为2a c ，焦点到对应

准线的距离(焦准距)2

b p c

=。过焦点且垂直于实轴的弦叫通经，其长度为：22b a .

焦半径公式21|()|||a PF e x a ex c

=+=+，2

2|()|||a PF e x a ex c =-=-，

两焦半径与焦距构成三角形的面积122

1cot 2

F PF F PF S b ?∠=。

56 双曲线的方程与渐近线方程的关系:

(1）若双曲线方程为12222=-b

y a x ?渐近线方程：22220x y a b -=?x a b

y ±=.

(2)若渐近线方程为x a b

y ±=?0=±b y a x ?双曲线可设为λ=-2222b

y a x .

(3)若双曲线与12222=-b y a x 有公共渐近线，可设为λ=-22

22b

y a x

（0>λ，焦点在x 轴上，0<λ，焦点在y 轴上）. (4) 焦点到渐近线的距离总是b 。

57双曲线的切线方程:

(1)双曲线22

221(0,0)x y a b a b

-=>>上一点00(,)P x y 处的切线方程是00221x x y y a b -=.

(2)过双曲线22

221x y a b

-=外一点00(,)P x y 所引两条切线的切点弦方程是00221x x y y a b -=.

（3）双曲线22221x y a b -=与直线0Ax By C ++=相切的条件是22222

A a

B b c -=.

58抛物线px y 22

=的焦半径公式:

抛物线2

2(0)y px p =>焦半径02

p CF x =+.

过焦点弦长p x x p

x p x CD ++=+++=21212

59二次函数22

24()24b ac b y ax bx c a x a a

-=++=++(0)a ≠的图象是抛物线：（1）顶点坐标为24(,)24b ac b a a --；（2）焦点的坐标为241(,)24b ac b a a -+-；（3）准线方程是241

4ac b y a

--=.

60 直线与圆锥曲线相交的弦长公式 221212()()AB x x y y =

-+-

或222221211212(1)[()4]||1tan ||1t AB k x x x x x x y y co αα=

++-?=-+=-+

（弦端点A ),(),,(2211y x B y x ，由方程???=+=0

)y ,x (F b kx y 消去y 得到02

=++c bx ax

0?>,α为直线AB 的倾斜角，k 为直线的斜率，2121212||()4x x x x x x -=+-.

61证明直线与平面的平行的思考途径:

（1）转化为直线与平面无公共点；（2）转化为线线平行；（3）转化为面面平行.

62证明直线与平面垂直的思考途径:

（1）转化为该直线与平面内任一直线垂直；（2）转化为该直线与平面内相交二直线垂直；（3）转化为该直线与平面的一条垂线平行；（4）转化为该直线垂直于另一个平行平面。 63证明平面与平面的垂直的思考途径：

（1）转化为线面垂直；

(2)转化为判断二面角是直二面角； 64.共面向量定理

向量p 与两个不共线的向量a 、b 共面的?存在实数对,x y ,使p ax by =+．

推论空间一点P 位于平面MAB 内的?存在有序实数对,x y ,使MP xMA yMB =+，或对空间任一定点O ，有序实数对,x y ，使OP OM xMA yMB =++.

65对空间任一点O 和不共线的三点A 、B 、C ，满足OP xOA yOB zOC =++（x y z k ++=），则当1k =时，对于空间任一点O ，总有P 、A 、B 、C 四点共面；当1k ≠时，若O ∈平面ABC ，则P 、A 、B 、C 四点共面；若O ?平面ABC ，则P 、A 、B 、C 四点不共面．

C A B 、、、

D 四点共面?AD 与AB 、AC 共面?AD xAB yAC =+?

(1)OD x y OA xOB yOC =--++（O ?平面ABC ）.

66空间向量基本定理

如果三个向量a 、b 、c 不共面，那么对空间任一向量p ，存在一个唯一的有序实数组x ，y ，z ，使p ＝x a ＋y b ＋z c ．

推论设O 、A 、B 、C 是不共面的四点，则对空间任一点P ，都存在唯一的三个有序实数x ，y ，z ，使OP xOA yOB zOC =++.122. 67A 向量的直角坐标运算

设a ＝123(,,)a a a ，b ＝123(,,)b b b 则

(1)a ＋b ＝112233(,,)a b a b a b +++； (2)a －b ＝112233(,,)a b a b a b ---； (3)λa ＝123(,,)a a a λλλ (λ∈R)； (4)a ·b ＝112233a b a b a b ++； 123.设A 111(,,)x y z ，B 222(,,)x y z ，则

AB OB OA =-= 212121(,,)x x y y z z ---.

67B 空间的线线平行或垂直

设，()()222221,,,,,z y x b z y x a ==则

b a //?()

0≠=b b a λ?12121

2x x y y z z

λλλ=??

=??=?；

0=??⊥b a b a ?1212120x x y y z z ++=.

67C 夹角公式

设a ＝123(,,)a a a ，b ＝123(,,)b b b ，则 cos 〈a ，b 〉=

1122332222221

123

a b a b a b a a a

b b b

++++++.

推论 2222222

112233123123()()()a b a b a b a a a b b b ++≤++++，此即三维柯西不等式.

67D 四面体的对棱所成的角

四面体ABCD 中, AC 与BD 所成的角为θ,则

2222|()()|

cos 2AB CD BC DA AC BD

θ+-+=?.

67E 异面直线所成角

cos |cos ,|a b θ=r r

b a ,cos cos =θ=

212121z

y x z y x z z y y x x b

a b a ++?++++=??

（其中θ（090θ<≤o

）为异面直线a b ,

所成角，b a ,分别表示异面直线a b ,的方向向量） 67F 直线AB 与平面所成角

sin

||||

AB m

arc AB m β?=(m 为平面α的法向量).

67G 若ABC ?所在平面若β与过若AB 的平面α成的角θ,另两边AC ,BC 与平面α成的角分别是1θ、2θ,A B 、为ABC ?的两个内角，则

2222212sin sin (sin sin )sin A B θθθ+=+.

特别地,当90ACB ∠=时,有

22212sin sin sin θθθ+=.

67H 若ABC ?所在平面若β与过若AB 的平面α成的角θ,另两边AC ,BC 与平面α成的角分别是1θ、

2θ,''A B 、为ABO ?的两个内角，则

222'2'212tan tan (sin sin )tan A B θθθ+=+.

特别地,当90AOB ∠=时,有

22212sin sin sin θθθ+=. 67I 二面角l αβ--的平面角

cos

||||m n arc m n θ?=或cos ||||

m n

arc m n π?-（m ，n 为平面α，β的法向量）.

67J 三余弦定理

设AC 是α内的任一条直线，且BC ⊥AC ，垂足为C ，又设AO 与AB 所成的角为1θ，AB 与AC 所成的角为2θ，AO 与AC 所成的角为θ．则12cos cos cos θθθ=.

67K 三射线定理

若夹在平面角为?的二面角间的线段与二面角的两个半平面所成的角是1θ,2θ,与二面角的棱所成的角是θ，则有22221212sin sin sin sin 2sin sin cos ?θθθθθ?=+- ;

1212||180()θθ?θθ-≤≤-+(当且仅当90θ=时等号成立).

67L 空间两点间的距离公式

若A 111(,,)x y z ，B 222(,,)x y z ，则

,A B d =||AB AB AB =

?222212121()()()x x y y z z =-+-+-.

67M 点Q 到直线l 距离

221

(||||)()||

h a b a b a =

-?(点P 在直线l 上，直线l 的方向向量a=PA ，向量b=PQ ). 67N 异面直线间的距离

CD n d n ?=

(12,l l 是两异面直线，其公垂向量为n ，C D 、分别是12,l l 上任一点，d 为12,l l 间的距离).

67O 点B 到平面α的距离

AB n d n ?=

（n 为平面α的法向量，AB 是经过面α的一条斜线，A α∈）. 67P.异面直线上两点距离公式

2222cos d h m n mn θ=++.

222'2cos ,d h m n mn EA AF =++-.

2222cos d h m n mn ?=++-（'E AA F ?=--）.

(两条异面直线a 、b 所成的角为θ，其公垂线段'

AA 的长度为h.在直线a 、b 上分别取两点E 、F ，

'A E m =,AF n =,EF d =).

67Q 三个向量和的平方公式

2()222a b c a b c a b b c c a ++=+++?+?+?

2||||cos ,2||||cos ,2||||cos ,a b c a b a b b c b c c a c a =+++?+?+?

67R 长度为l 的线段在三条两两互相垂直的直线上的射影长分别为123l l l 、、，夹角分别为123θθθ、、,则有

222

2123l l l l =++222123cos cos cos 1θθθ?++=222123sin sin sin 2θθθ?++=.

（立体几何中长方体对角线长的公式是其特例）. 141. 面积射影定理

cos S S θ

(平面多边形及其射影的面积分别是S 、'

S ，它们所在平面所成锐二面角的为θ). 68球的半径是R ，则其体积34

V R π=

,其表面积24S R π=． 69A 球的组合体：

(1)球与长方体的组合体: 长方体的外接球的直径是长方体的体对角线长.

(2)球与正方体的组合体:正方体的内切球的直径是正方体的棱长, 正方体的棱切球的直径是正方体

的面对角线长, 正方体的外接球的直径是正方体的体对角线长. (3)球与正四面体的组合体: 棱长为a 的正四面体的内切球的半径为612

a (正四面体高

63a 的14),外接球的半径为64a (正四面体高63a 的34

). 69B 欧拉定理(欧拉公式)

2V F E +-=(简单多面体的顶点数V 、棱数E 和面数F).

（1）E =各面多边形边数和的一半.特别地,若每个面的边数为n 的多边形，则面数F 与棱数E 的关系：1

E n

F =

；（2）若每个顶点引出的棱数为m ，则顶点数V 与棱数E 的关系：1

E mV =

70 分类计数原理（加法原理）：12n N m m m =++

+. 分步计数原理（乘法原理）：12n N m m m =???.

71排列数公式：m

n A =)1()1(+--m n n n =！

！)(m n n -.(n ，m ∈N *，且m n ≤)．规定1!0=.

72组合数公式：m n C

m n m

A A =m m n n n ???+-- 21)1()1(=！！！)(m n m n -?(n ∈N *

，m N ∈，且m n ≤). 组合数的两个性质:(1)m n C =m n n C - ;(2) m n C +1-m n C =m n C 1+.规定10

=n C .

73单条件排列

以下各条的大前提是从n 个元素中取m 个元素的排列. （1）“在位”与“不在位”

①某（特）元必在某位有11--m n A 种；②某（特）元不在某位有11---m n m n A A （补集思想）1111---=m n n A A （着

眼位置）11111----+=m n m m n A A A （着眼元素）种.

（2）紧贴与插空（即相邻与不相邻）

①定位紧贴：)(n m k k ≤≤个元在固定位的排列有k

m k n k k A A --种.

②浮动紧贴：n 个元素的全排列把k 个元排在一起的排法有k k k n k n A A 11+-+-种.注：此类问题常用捆绑法；

③插空：两组元素分别有k 、h 个（1+≤h k ），把它们合在一起来作全排列，k 个的一组互不能挨

近的所有排列数有k h h h A A 1+种.

（3）两组元素各相同的插空

m 个大球n 个小球排成一列，小球必分开，问有多少种排法？

当1+>m n 时，无解；当1+≤m n 时，有n m n n

n m C A A 11

++=种排法.

（4）两组相同元素的排列：两组元素有m 个和n 个，各组元素分别相同的排列数为n

n m C +. 74分配问题

（1）(平均分组有归属问题)将相异的m 、n 个物件等分给m 个人，各得n 件，其分配方法数共有

n n n n n mn n n mn n mn n mn C C C C C N )!()!

(22=

?????=-- . （2）(平均分组无归属问题)将相异的m ·n 个物体等分为无记号或无顺序的m 堆，其分配方法数共

有

n n

n n n n mn n n mn n mn n m mn m C C C C C N )!(!)!(!...22=

????=--. （3）(非平均分组有归属问题)将相异的)12m P(P=n +n ++n 个物体分给m 个人，物件必须被分完，分别得到1n ，2n ，…，m n 件，且1n ，2n ，…，m n 这m 个数彼此不相等，则其分配方法数共有

!...!!

!! (212)

11m n n n n p n p n n n m p m C C C N m m

=??=-.

（4）(非完全平均分组有归属问题)将相异的)12m P(P=n +n +

+n 个物体分给m 个人，物件必须被分

完，分别得到1n ，2n ，…，m n 件，且1n ，2n ，…，m n 这m 个数中分别有a 、b 、c 、…个相等，则其分

配方法数有!...!!! (2)

11c b a m C C C N m m

n n n n p n p ??=

- 12!!

!!...!(!!!...)

m p m n n n a b c =

（5）(非平均分组无归属问题)将相异的)12m P(P=n +n ++n 个物体分为任意的1n ，2n ，…，m n 件

无记号的m 堆，且1n ，2n ，…，m n 这m 个数彼此不相等，则其分配方法数有!

!...!!

21m n n n p N =.

（6）(非完全平均分组无归属问题)将相异的)12m P(P=n +n ++n 个物体分为任意的1n ，2n ，…，m

n 件无记号的m 堆，且1n ，2n ，…，m n 这m 个数中分别有a 、b 、c 、…个相等，则其分配方法数有

!...)

!!(!!...!!

21c b a n n n p N m =

（7）(限定分组有归属问题)将相异的p （2m p n n n =1+++）个物体分给甲、乙、丙，……等m 个

人，物体必须被分完，如果指定甲得1n 件，乙得2n 件，丙得3n 件，…时，则无论1n ，2n ，…，m n 等m

个数是否全相异或不全相异其分配方法数恒有

!...!!

(212)

11m n n n n p n p n n n p C C C N m m

=?=-.

75“错位问题”及其推广

贝努利装错笺问题:信n 封信与n 个信封全部错位的组合数为

1111()![

(1)]2!3!4!!

n f n n n =-+-+-. 推广: n 个元素与n 个位置,其中至少有m 个元素错位的不同组合总数为 1234

(,)!(1)!(2)!(3)!(4)!

(1)()!(1)()!

m m m m p

m m

f n m n C n C n C n C n C n p C n m =--+---+--+--+

+--

12341224![1(1)(1)]p m p

m m m m

p m n n n n n

C C C C C C n A A A A A A =-+-+-

+-+

+-.

76.二项式定理 n

n n r r n r n n n n n n n n b C b a C b a C b a C a C b a ++++++=+--- 222110)( ;

二项展开式的通项公式

r n r n r b a C T -+=1)210(n r ，，，

=. 77等可能性事件的概率

()m

P A n

. 78.互斥事件A ，B 分别发生的概率的和 P(A ＋B)=P(A)＋P(B)．

79.n 个互斥事件分别发生的概率的和

P(A 1＋A 2＋…＋A n )=P(A 1)＋P(A 2)＋…＋P(A n )． 79独立事件A ，B 同时发生的概率 P(A ·B)= P(A)·P(B).

80A.n 个独立事件同时发生的概率

P(A 1· A 2·…· A n )=P(A 1)· P(A 2)·…· P(A n )． 80B.n 次独立重复试验中某事件恰好发生k 次的概率

()(1).k k

n k n n P k C P P -=-

80C.离散型随机变量的分布列的两个性质（1）0(1,2,)i P i ≥=; （2）121P P ++=. 80D.数学期望

1122n n E x P x P x P ξ=++

80E.数学期望的性质

（1）()()E a b aE b ξξ+=+. （2）若ξ～(,)B n p ,则E np ξ=.

(3) 若ξ服从几何分布,且1

()(,)k P k g k p q p ξ-===，则1E p

ξ=

. 80F.方差

()()()22

1122n n D x E p x E p x E p ξξξξ=-?+-?+

+-?+

80G.标准差

σξ=ξD .

80H.方差的性质

(1)()2D a b a D ξξ+=；

(2）若ξ～(,)B n p ，则(1)D np p ξ=-.

(3) 若ξ服从几何分布,且1()(,)k P k g k p q p ξ-===，则2q D p

ξ=. 80I.方差与期望的关系

()2

2D E E ξξξ=-.

80J.正态分布密度函数

()()()2

261

,,26

x f x e x μπ--

∈-∞+∞，式中的实数μ，σ（σ>0）是参数，分别表示个体的平均

数与标准差.

80K.标准正态分布密度函数

()()22

,,26

x f x e x π-

∈-∞+∞. 80L.对于2(,)N μσ，取值小于x 的概率

()x F x μσ-??

=Φ ???

()()()12201x x P x x P x x x P <-<=<< ()()21F x F x =-

21x x μμσσ--????=Φ-Φ ? ?????

80M.回归直线方程

y a bx =+，其中()()()1122

n n

i i i i

i i n n

i i

i i x x y y x y nx y

b x x x

nx a y bx

====?

---?

?==

--??

=-?∑∑∑∑.

80N.相关系数

()()

i n n

i i x x y y r x x y y ===--=

--∑∑∑ ()()

22221

()()

i n n

i i i i x x y y x nx y ny ===--=

--∑∑∑.

|r|≤1，且|r|越接近于1，相关程度越大；|r|越接近于0，相关程度越小. 80O.特殊数列的极限

（1）0||1lim 1

1||11

n q q q q q →∞

不存在或.

（2）1101100()lim ()()k k k k t

t t n t t k

k t a n a n a a k t b n b n b b k t ---→∞-?

+++?==?+++??>?

不存在 .

（3）(

)111lim

11n

n a q a S q

→∞

-==

--（S 无穷等比数列}{

1n a q - (||1q <)的和）. 80P. 函数的极限定理

lim ()x x f x a →=?0

lim ()lim ()x x x x f x f x a -+→→==.

80Q.函数的夹逼性定理

如果函数f(x)，g(x)，h(x)在点x 0的附近满足：（1）()()()g x f x h x ≤≤;

（2）0

lim (),lim ()x x x x g x a h x a →→==（常数）,

则0

lim ()x x f x a →=.

本定理对于单侧极限和∞→x 的情况仍然成立. 80R.几个常用极限

（1）1

lim

0n n

→∞=，lim 0n n a →∞=（||1a <）；

（2）00lim x x x x →=，00

lim x x x x →=.

80S.两个重要的极限（1）0sin lim

1x x

→=；

（2）1lim 1x

x e x →∞

+= ???

(e=2.718281845…).

80T.函数极限的四则运算法则

若0

lim ()x x f x a →=，0

lim ()x x g x b →=，则

(1)()()0lim x x f x g x a b →±=±????；

(2)()()0

lim x x f x g x a b →?=?????; (3)()()()0

lim

0x x f x a

b g x b

→=≠. 80U.数列极限的四则运算法则若lim ,lim n n n n a a b b →∞

→∞

==，则

(1)()lim n n n a b a b →∞±=±；

(2)()lim n n n a b a b →∞

?=?； (3)()lim

0n n n

a a

b b b →∞=≠

(4)()lim lim lim n n n n n c a c a c a →∞

→∞

?=?=?( c 是常数). 80 )(x f 在0x 处的导数（或变化率）：

00000()()()lim

lim x x x x f x x f x y

f x y x x

=?→?→+?-?''

===??.

瞬时速度：00()()()lim

lim t t s s t t s t s t t t

υ?→?→?+?-'===??.

瞬时加速度：00()()()lim lim t t v v t t v t a v t t t

?→?→?+?-'===??.

81 函数)(x f y =在点0x 处的导数的几何意义：

函数)(x f y =在点0x 处的导数是曲线)(x f y =在))(,(00x f x P 处的切线的斜率)(0x f '，相应的切线方程是))((000x x x f y y -'=-. 82 几种常见函数的导数：

(1) 0='C （C 为常数）.(2) 1()()n n x nx n Q -'=∈.(3) x x cos )(sin ='. (4) x x sin )(cos -='. (5) x x 1

)(ln ='；1(log )log a a x e x

'=. (6) x x e e =')(; a a a x x ln )(='. 83 导数的运算法则：

（1）'

()u v u v ±=±.（2）'

()uv u v uv =+.（3）''

()(0)u u v uv v v v

-=≠. 84 判别)(0x f 是极大（小）值的方法：

当函数)(x f 在点0x 处连续时，

（1）如果在0x 附近的左侧0)(>'x f ，右侧0)(<'x f ，则)(0x f 是极大值；

（2）如果在0x 附近的左侧0)(<'x f ，右侧0)(>'x f ，则)(0x f 是极小值. 85 复数的相等：,a bi c di a c b d +=+?==.（,,,a b c d R ∈） 86 复数z a bi =+的模（或绝对值）||z =||a bi +=22a b +. 87 复平面上的两点间的距离公式：

22122121||()()d z z x x y y =-=-+-（111z x y i =+，222z x y i =+）.

88实系数一元二次方程的解

实系数一元二次方程2

0ax bx c ++=，

①若2

40b ac ?=->,则21,242b b ac

x a -±-=;

②若2

40b ac ?=-=,则122b x x a

==-;

③若2

40b ac ?=-<，它在实数集R 内没有实数根；在复数集C 内有且仅有两个共轭复数根

22(4)(40)2b b ac i x b ac a

-±--=-<.

高中数学公式提升

一、集合、简易逻辑、函数

1．研究集合必须注意集合元素的特征即三性(确定,互异,无序); 已知集合A={x,xy,lgxy},集合

B={0,｜x ｜,y},且A=B,则x+y=

2．研究集合,首先必须弄清代表元素,才能理解集合的意义。已知集合M={y ｜y=x 2 ,x ∈R},N={y ｜

y=x 2+1,x ∈R},求M ∩N ；与集合M={（x,y ）｜y=x 2 ,x ∈R},N={(x,y)｜y=x 2

+1,x ∈R}求M ∩N 的区别。 3．集合 A 、B ，?=?B A 时，你是否注意到“极端”情况：?=A 或?=B ；求集合的子集B

A ?时是否忘记?. 例如：()()012222<--+-x a x a 对一切R x ∈恒成立，求a 的取植范围，你讨论了a ＝2的情况了吗？

4．对于含有n 个元素的有限集合M, 其子集、真子集、非空子集、非空真子集的个数依次为，n

2，12-n

，12-n .22-n

如满足条件}4,3,2,1{}1{??M 的集合M 共有多少个

5．解集合问题的基本工具是韦恩图; 某文艺小组共有10名成员,每人至少会唱歌和跳舞中的一项,其中7人会唱歌跳舞5人会,现从中选出会唱歌和会跳舞的各一人，表演一个唱歌和一个跳舞节目,问有多少种不同的选法？ 6．两集合之间的关系。},14{},,12{Z k k x x N Z k k x x M ∈±==∈+==

7． (C U A)∩( C U B) = C U (A ∪B) (C U A)∪( C U B) = C U (A ∩B)；B B A = A B ??； 8、可以判断真假的语句叫做命题. 逻辑连接词有“或”、“且”和“非”.

p 、q 形式的复合命题的真值表: （真且真，同假或假）

p q P 且q P 或q 真真真真真假假真假真假真假假假假

9、命题的四种形式及其相互关系:

互逆

互互

互为互否逆逆否否否否否

否互逆

原命题与逆否命题同真同假；逆命题与否命题同真同假.

10、你对映射的概念了解了吗？映射f ：A →B 中，A 中元素的任意性和B 中与它对应元素的唯一性，哪

几种对应能够成映射？ 11、函数的几个重要性质：

①如果函数()x f y =对于一切R x ∈，都有()()x a f x a f -=+或f （2a-x ）=f （x ），那么函数

()x f y =的图象关于直线a x =对称.

②函数()x f y =与函数()x f y -=的图象关于直线0=x 对称；函数()x f y =与函数()x f y -=的图象关于直线0=y 对称；

原命题若p 则q 逆命题若q 则p

否命题若﹃ｐ则﹃q 逆否命题

若﹃ｑ则﹃ｐ

函数()x f y =与函数()x f y --=的图象关于坐标原点对称.

③若奇函数()x f y =在区间()+∞,0上是递增函数，则()x f y =在区间()0,∞-上也是递增函数． ④若偶函数()x f y =在区间()+∞,0上是递增函数，则()x f y =在区间()0,∞-上是递减函数． ⑤函数()a x f y +=)0(>a 的图象是把函数()x f y =的图象沿x 轴向左平移a 个单位得到的；函数

()a x f y +=()0(

a 个单位得到的；

函数()x f y =+a )0(>a 的图象是把函数()x f y =助图象沿y 轴向上平移a 个单位得到的;函数

()x f y =+a )0(

12、求一个函数的解析式和一个函数的反函数时，你标注了该函数的定义域了吗？ 13、求函数的定义域的常见类型记住了吗？函数y=

)3lg()4(--x x x 的定义域是；

复合函数的定义域弄清了吗？函数)(x f 的定义域是[0,1],求)(log 5.0x f 的定义域. 函数)(x f 的定义域

是[b a ,],,0>->a b 求函数)()()(x f x f x F -+=的定义域

14、一个函数的奇偶性时，你注意到函数的定义域是否关于原点对称这个必要非充分条件了吗？在公共

定义域内:两个奇函数的乘积是偶函数;两个偶函数的乘积是偶函数;一个奇函数与一个偶函数的乘积是奇函数;

15、据定义证明函数的单调性时，规范格式是什么？(取值, 作差, 判正负.)可别忘了导数也是判定函数

单调性的一种重要方法。 16、函数()0>+