一、初一数学几何模型部分解答题压轴题精选（难）
1．已知点C在线段AB上，AC=2BC，点D、E在直线AB上，点D在点E的左侧
（1）若AB=18，DE=8，线段DE在线段AB上移动
①如图1，当E为BC中点时，求AD的长；
②点F(异于A，B，C点)在线段AB上，AF=3AD，CE+EF=3，求AD的长；
（2）若AB=2DE，线段DE在直线AB上移动，且满足关系式，则________.
【答案】（1）解：①
又 E为BC中点
；
②设，因点F（异于A、B、C点）在线段AB上，可知：
，和
当时，
此时可画图如图2所示，代入得：
解得：，即AD的长为3
当时，
此时可画图如图3所示，代入得：解得：，即AD的长为5
综上，所求的AD的长为3或5；
（2） .
【解析】【解答】（2）①若DE在如图4的位置设，则
又
（不符题设，舍去）
②如DE在如图5的位置
设，则
又
代入得：
解得：
则 .
【分析】（1）①根据AB的长和可求出AC和BC，根据中点的定义可得CE，再由可得CD，最后根据计算即可得；②设，因点F（异于A、B、C点）在线段AB上，可知，和，所以需分2种情况进行讨论：和，如图2、3（见解析），先根据已知条件判断点E、F位置，再将EF和CE用含x的式子表示出来，最后代入求解即可；
（2）设，先判断出DE在AB上的位置，再根据得出x和y 满足的等式，然后将其代入化简即可得.
2．已知：如图1，点M是线段AB上一定点，AB=12cm，C、D两点分别从M、B出发以1cm/s、2cm/s的速度沿直线BA向左运动，运动方向如箭头所示（C在线段AM上，D在线段BM上）
（1）若AM=4cm，当点C、D运动了2s，此时AC=________，DM=________；（直接填空）
（2）当点C、D运动了2s，求AC+MD的值．
（3）若点C、D运动时，总有MD=2AC，则AM=________（填空）
（4）在（3）的条件下，N是直线AB上一点，且AN﹣BN=MN，求的值．
【答案】（1）2；4
（2）解：当点C、D运动了2 s时，CM=2 cm，BD=4 cm
∵AB=12 cm，CM=2 cm，BD=4 cm
∴AC+MD=AM﹣CM+BM﹣BD=AB﹣CM﹣BD=12﹣2﹣4=6 cm
（3）4
（4）解：①当点N在线段AB上时，如图1，
∵AN﹣BN=MN，
又∵AN﹣AM=MN
∴BN=AM=4
∴MN=AB﹣AM﹣BN=12﹣4﹣4=4
∴ = = ；
②当点N在线段AB的延长线上时，如图2，
∵AN﹣BN=MN，
又∵AN﹣BN=AB
∴MN=AB=12
∴ = =1；
综上所述 = 或1
【解析】【解答】解：（1.）根据题意知，CM=2cm，BD=4cm，
∵AB=12cm，AM=4cm，
∴BM=8cm，
∴AC=AM﹣CM=2cm，DM=BM﹣BD=4cm，
故答案为：2，4；
（3.）根据C、D的运动速度知：BD=2MC，
∵MD=2AC，
∴BD+MD=2（MC+AC），即MB=2AM，
∵AM+BM=AB，
∴AM+2AM=AB，
∴AM= AB=4，
故答案为：4；
【分析】（1）根据运动速度和时间分别求得CM、BD的长，根据线段的和差计算可得；
（2）由题意得CM=2 cm、BD=4 cm，根据AC+MD=AM﹣CM+BM﹣BD=AB﹣CM﹣BD可得答案；（3）根据C、D的运动速度知BD=2MC，再由已知条件MD=2AC求得MB=2AM，所以
AM= AB；（4）分点N在线段AB上时和点N在线段AB的延长线上时分别求解可得．
3．如图1，已知，点A、B在直线a上，点C、B在直线b上，且于E.
（1）求证：；
（2）如图2，平分交于点F，平分交于点G，求
的度数；
（3）如图3，P为线段上一点，I为线段上一点，连接，N为的角平分线
上一点，且，则、、之间的数量关系是________. 【答案】（1）证明：过作 ,
∴
∴
∴
∴
∴
（2）解：作，，
设，，
由（1）知：，，
，
∴，
∴，
同理：，
∴
（3）
【解析】【解答】解：（3）结论：或
，
I.∠NCD在∠BCD内部时，
过I点作，过N点作，设∠IPN=∠BPN=x， =y，
∴∠BCD=3y.
∵a∥b，
∴
∴，，，
∴，，
∴，
∴
∴
II. 在外部时,如图3（2）：
过I点作，过N点作，设∠IPN=∠BPN=x， =y，
∴∠BCD=y.
∵a∥b，
∴IG∥a∥
∴，，，
∴，，
∴，
∴
∴.
故答案为：.
【分析】(1) 过作EF∥a,由BC⊥AD可知,由平行可知，,从而可得 = + = ；
(2)作，，设，，由平行线性质和邻补角定义可得，，进而计算出
即可解答;
（3）分两种情况解答：I.∠NCD在∠BCD内部，II 外部，仿照（2）解答即可.
4．如图1， .如图2，点分别是上的点，且， .
（1）求证： F；
（2）若的角平分线与的角平分线交于点，请补全图形并直接写出与之间的关系为________.
【答案】（1）证明：如图,延长EH，交CD的延长线与M，
（2）∠BFE=2∠P.
【解析】【解答】解:（2）结论：∠BFE=2∠P，理由如下：
如图，设∠B=∠HEF=y.∠BFE=x
=
，
故答案为：∠BFE=2∠P.
【分析】（1）延长EH，交CD的延长线与M，根据平行线的性质及等量代换即可证明；
（2）设∠B=∠HEF=y，∠BFE=x，根据平行的性质结合三角形的内角和定理得出∠BFE=2∠P.
5．已知：如图1，在平面直角坐标系中，点A，B，E分别是x轴和y轴上的任意点．BD是∠ABE的平分线，BD的反向延长线与∠OAB的平分线交于点C．
（1）探究：
求∠C的度数．
（2）发现：当点A，点B分别在x轴和y轴的正半轴上移动时，∠C的大小是否发生变化？若不变，请直接写出结论；若发生变化，请求出∠C的变化范围．
（3）应用：如图2在五边形ABCDE中，∠A+∠B+∠E＝310°，CF平分∠DCB，CF的反向延长线与∠EDC外角的平分线相交于点P，求∠P的度数．
【答案】（1）解：∵∠ABE＝∠OAB+∠AOB，∠AOB＝90°，
∴∠ABE＝∠OAB+90°，
∵BD是∠ABE的平分线，AC平分∠OAB，
∴∠ABE＝2∠ABD，∠OAB＝2∠BAC，
∴2∠ABD＝2∠BAC+90°，
∴∠ABD＝∠BAC+45°，
又∵∠ABD＝∠BAC+∠C，
∴∠C＝45°
（2）解：不变．
理由如下：∵∠ABE＝∠OAB+∠AOB，∠AOB＝90°，
∴∠ABE＝∠OAB+90°，
∵BD是∠ABE的平分线，AC平分∠OAB，
∴∠ABE＝2∠ABD，∠OAB＝2∠BAC，
∴2∠ABD＝2∠BAC+∠AOB，
∴∠ABD＝∠BAC+ ∠AOB，
又∵∠ABD＝∠BAC+∠C，
∴∠C＝∠AOB＝45°
（3）解：延长ED，BC相交于点G．
在四边形ABGE中，
∵∠G＝360°﹣（∠A+∠B+∠E）＝50°，
∴∠P＝∠FCD﹣∠CDP＝（∠DCB﹣∠CDG）
＝∠G＝ ×50°＝25°
【解析】【分析】（1）（2）根据三角形外角的性质和角平分线的性质进行解答；
（3）延长ED，BC相交于点G，根据四边形形内角和为360°求得∠G的度数，再根据三角形外角的性质和角平分线的性质求∠P的度数.
6．如图，∠AOB＝40°，点C在OA上，点P为OB上一动点，∠CPB的角平分线PD交射线OA于D。设∠OCP的度数为x°，∠CDP的度数为y°。
小明对x与y之间满足的等量关系进行了探究，
下面是小明的探究过程，请补充完整；
（1）x的取值范围是________；
（2）按照下表中x的值进行取点、画图、计算，分别得到了y与x的几组对应值，补全表格；
（3）在平面直角坐标系xOy中，
①描出表中各组数值所对应的点(x，y)；
②描出当x＝120°时，y的值；
（4）若∠AOB＝ °，题目中的其它条件不变，用含、x的代数式表示y为________。
【答案】（1）40° （2）解：∵∠DPB=∠AOB+∠CDP=40°+ y°，∠DPB= （40°+ x°），∴40°+ y°= （40°+ x°），即y= x-20, x=60时，y= x-20= ×60-20=10， x=70时，y= x-20= ×70-20=15， x=80时，y= x-20= ×80-20=20， x=90时，y= x-20= ×90-20=25， 补全表格如下： ；（3）解：①②如图： x=120时，y= x-20= ×120-20=40； （4）y= （x-a） 【解析】【解答】解：（1）∵∠CPB是△COP的外角， ∴∠CPB=40°+ x°，∠CPB一定小于180°， 即40°+ x°<180°，x<140°， ∵PD平分∠CPB， ∴∠DPB= ∠CPB = （40°+ x°）， ∵当∠DPB=40°时，DP∥OA，即∠CPB的角平分线与OA无交点，所以∠DPB一定大于 40°，即（40°+ x°）>40°，解得x>40°， ∴x的取值范围是40° ∴∠DPB= °+ y°， ∵∠CPB=∠AOB+∠OCP，∠AOB＝ °，∠OCP的度数为x°， ∴∠CPB= °+ x°， ∵PD平分∠CPB， ∴∠DPB= ∠CPB= （ °+ x°）， ∴ °+ y°= （ °+ x°），即y= （x-a）. 【分析】（1）根据角平分线和三角形外角的性质，可得∠CPB=40°+ x°，∠DPB= （40°+ x°），当∠DPB=40°时，DP∥OA，即∠CPB的角平分线与OA无交点，所以∠DPB一定大于40°，且∠CPB是△COP的外角，一定小于180°，即可得出x的取值范围； （2）根据角平分线和三角形外角的性质列出y与x的关系式，分别计算求值即可； （3）在平面直角坐标系xOy中描出各点即可； （4）根据角平分线和三角形外角的性质即可求解. 7．将一副三角板中的两块直角三角尺的直角顶点O按如图方式叠放在一起． （1）如图（1）若∠BOD=35°，则∠AOC=________ ． 如图（2）若∠BOD=35°，则∠AOC=________ ． （2）猜想∠AOC与∠BOD的数量关系，并结合图（1）说明理由． （3）三角尺AOB不动，将三角尺COD的OD边与OA边重合，然后绕点O按顺时针或逆时针方向任意转动一个角度，当∠AOD（0°＜∠AOD＜90°）等于多少度时，这两块三角尺各有一条边互相垂直．（填空） 当________ ⊥ ________时，∠AOD = ________ ． 当________ ⊥ ________时，∠AOD = ________ ． 当________ ⊥ ________时，∠AOD = ________ ． 当________ ⊥ ________时，∠AOD = ________ ． 【答案】（1）145°；145° （2）解：∠AOC与∠BOD互补． ∵∠AOB=∠COD=90°， ∴∠AOD+∠BOD+∠BOD+∠BOC=180°． ∵∠AOD+∠BOD+∠BOC=∠AOC， ∴∠AOC+∠BOD=180°， 即∠AOC与∠BOD互补． （3）AB；OD；30°；CD；OA；45°；OC；AB；60°；AB；CD；75° 【解析】【解答】解：（1）若∠BOD=35°， ∵∠AOB=∠COD=90°， ∴∠AOC=∠AOB+∠COD-∠BOD=90°+90°-35°=145°； 如图2，若∠BOD=35°， 则∠AOC=360°-∠BOD-∠AOB-∠COD =360°-35°-90°-90° =145°；（3）解：当 AB ⊥ OD 时，∠AOD = 30°． 当 CD ⊥ OA 时，∠AOD = 45°． 当 OC ⊥ AB 时，∠AOD = 60°． 当 AB ⊥ CD 时，∠AOD = 75°． 即∠AOD角度所有可能的值为：30°、45°、60°、75°． 【分析】（1）由于是两直角三角形板重叠，根据∠AOC=∠AOB+∠COD-∠BOD可计算出∠AOC的度数；根据∠AOC=360°-∠BOD-∠AOB-∠COD可计算出∠AOC的度数;（2）由∠AOD+∠BOD+∠BOD+∠BOC=180°且∠AOD+∠BOD+∠BOC=∠AOC可知两角互补；（3）分别利用OD⊥AB、CD⊥OB、CD⊥AB、OC⊥AB分别求出即可． 8．如图，已知DC∥FP，∠1=∠2，∠FED=28°，∠AGF=80°，FH平分∠EFG. （1）说明：DC∥AB； （2）求∠PFH的度数. 【答案】（1）证明:∵DC∥FP， ∴∠3=∠2，又∵∠1=∠2，∴∠3=∠1， ∴DC∥AB （2）解:∵DC∥FP，DC∥AB，∠DEF=30°， ∴∠DEF=∠EFP=30°，AB∥FP， 又∵∠AGF=80°， ∴∠AGF=∠GFP=80°， ∴∠GFE=∠GFP+∠EFP=80°+30°=110°， 又∵FH平分∠EFG， ∴∠GFH= ∠GFE=55°， ∴∠PFH=∠GFP﹣∠GFH=80°﹣55°=25° 【解析】【分析】（1）根据二直线平行，同位角相等得出，又∠1=∠2，故∠1=∠3，根据同位角相等，两直线平行得出DC∥AB； （2）根据平行于同一直线的两条直线互相平行得出AB∥FP，根据二直线平行，内错角相 等得出，，根据角的和差，由 算出∠GFE的度数，根据角平分线的定义得出∠GFH的度数，最后根据即可算出答案。 9．课题学习近平行线的“等角转化”功能． 阅读理解： 如图1，已知点A是BC外一点，连接AB，AC． 求∠BAC+∠B+∠C的度数． （1）阅读并补充下面推理过程 解：过点A作ED∥BC，所以∠B＝∠EAB，∠C＝________． 又因为∠EAB+∠BAC+∠DAC＝180°， 所以∠B+∠BAC+∠C＝180° 解题反思： 从上面的推理过程中，我们发现平行线具有“等角转化”的功能，将∠BAC，∠B，∠C“凑”在一起，得出角之间的关系，使问题得以解决． 方法运用： （2）如图2，已知AB∥ED，求∠B+∠BCD+∠D的度数．（提示：过点C作CF∥AB） 深化拓展： （3）如图3，已知AB∥CD，点C在点D的右侧，∠ADC＝70°．点B在点A的左侧，∠ABC＝60°，BE平分∠ABC，DE平分∠ADC，BE，DE所在的直线交于点E，点E在AB与CD两条平行线之间，求∠BED的度数． 【答案】（1）∠DAC （2）解：如图2，过C作CF∥AB， ∵AB∥DE， ∴CF∥DE， ∴∠D＝∠FCD， ∵CF∥AB， ∴∠B＝∠BCF， ∵∠BCF+∠BCD+∠DCF＝360°， ∴∠B+∠BCD+∠D＝360°， （3）解：如图3，过点E作EF∥AB， ∵AB∥CD， ∴AB∥CD∥EF， ∴∠ABE＝∠BEF，∠CDE＝∠DEF， ∵BE平分∠ABC，DE平分∠ADC，∠ABC＝60°，∠ADC＝70°， ∴∠ABE＝∠ABC＝30°，∠CDE＝∠ADC＝35°， ∴∠BED＝∠BEF+∠DEF＝30°+35°＝65°． 【解析】【解答】解：（1）∵ED∥BC， ∴∠C＝∠DAC， 故答案为∠DAC； 【分析】（1）根据平行线的性质即可得到结论；（2）过C作CF∥AB根据平行线的性质得到∠D=∠FCD，∠B=∠BCF，然后根据已知条件即可得到结论；（3）过点E作EF∥AB，然后根据两直线平行内错角相等，即可求∠BED的度数． 10．如图，直线和直线互相垂直，垂足为，直线于点B，E是线段AB上一定点，D为线段OB上的一动点（点D不与点O、B重合），直 于点，连接AC. （1）当，则 ________°； （2）当时，请判断CD与AC的位置关系，并说明理由； （3）若、的角平分线的交点为P，当点D在线段上运动时，问的大小是否会发生变化？若不变，求出的大小，并说明理由；若变化，求其变化范围. 【答案】（1）40 （2）解：由（1）可得：∠CDO=∠BED， ∵， ∴∠A=∠BED， ∴AC∥DE， ∵CD⊥DE， ∴AC⊥CD； （3）解：∠P的大小不会发生变化，理由如下： 如图，连接PD并延长， ∵CP平分∠OCD，PE平分∠BED， ∴∠1= ∠OCD，∠2= ∠BED， 即∠1+∠2= (∠OCD+∠BED)， ∵∠CDO=∠BED， ∴∠OCD+∠BED=∠OCD+∠CDO=90°， ∴∠1+∠2=45°， ∵CD⊥DE， ∴∠3+∠4=90°， ∵∠5=∠3?∠1，∠6=∠4?∠2， ∴∠P=∠5+∠6=∠3?∠1+∠4?∠2=∠3+∠4?(∠1+∠2)=45°， 即∠P的大小是定值45°. 【解析】【解答】解：（1）∵直线，CD⊥DE， ∴∠EDB+∠BED=90°，∠CDO+∠EDB=90°， ∴∠CDO=∠BED=50°， ∵直线和直线互相垂直， ∴∠OCD=40°； 【分析】（1）首先根据题意得出∠EDB+∠BED=90°，∠CDO+∠EDB=90°，由此可以求出∠CDO度数，最后进一步求出答案即可；（2）由（1）可得∠CDO=∠BED，然后进一步利用“同位角相等，两直线平行”证明CD∥AC，最后利用平行线性质进一步求证即可；（3） 连接PD并延长，首先根据角平分线性质得出∠1= ∠OCD，∠2= ∠BED，由此结合题意进一步得出∠1+∠2=45°，再根据三角形外角性质得出∠5=∠3?∠1，∠6=∠4?∠2，据此利用∠P=∠5+∠6进一步计算即可. 11．已知直线AB平行CD，直线EF分别截AB、CD于点E、F两点。 （1）如图①，有一动点P在线段CD之间运动（不与C，D两点重合），试探究∠1、∠2、∠3的等量等关系？试说明理由。 （2）如图②、③，当动点P在线段CD之外运动（不与C，D两点重合），问上述结论是否还成立？若不成立，试写出新的结论并说明理由。 【答案】（1）解：∠2=∠1+∠3理由如下： 如图，过点P作PQ∥AB，则∠1=∠APQ. ∵AB∥CD，PQ∥AB， ∴PQ∥CD. ∴∠3=∠CPQ. ∵∠2=∠APQ+∠CPQ =∠1+∠3. （2）解：解：②∠2=∠1+∠3不成立，新的结论为∠2=∠3 ∠1.理由如下：如图，过点P作PQ∥AB，则∠1=∠APQ. ∵AB∥CD，PQ∥AB， ∴PQ∥CD. ∴∠3=∠CPQ. ∠2=∠CPQ ∠APQ =∠3 ∠1. ③∠2=∠1+∠3不成立，新的结论为∠2=∠1 ∠3.理由如下： 如图，过点P作PQ∥AB，则∠1=∠APQ. ∵AB∥CD，PQ∥AB， ∴PQ∥CD. ∴∠3=∠CPQ. ∠2=∠APQ ∠CPQ =∠1 ∠3. 综合②、③的结论，∠2= . 【解析】【分析】（1）∠2=∠1+∠3，理由如下：如图，过点P作PQ∥AB，利用平行线的判定与性质可得∠1=∠APQ，PQ∥CD∥AB，利用平行线的性质可得∠3=∠CPQ，由∠2=∠APQ+∠CPQ即得结论； （2）不成立，新的结论为∠2=∠3∠1.理由：如图，过点P作PQ∥AB，利用平行线的判定与性质可得∠1=∠APQ，PQ∥CD∥AB，利用平行线的性质可得∠3=∠CPQ，由∠2=∠CPQ∠APQ即可求出结论； （3）不成立，新的结论为∠2=∠1∠3.理由如下：同（1）可证∠1=∠APQ，∠3=∠CPQ，利用∠2=∠APQ∠CPQ即可求出结论. 12．如图所示，O为一个模拟钟面圆心，M、O、N 在一条直线上，指针OA、OB 分别从OM、ON 出发绕点 O 转动，OA 运动速度为每秒 30 ，OB 运动速度为每秒10 ，当一根指针与起始位置重合时，运动停止，设转动的时间为 t 秒，试解决下列问题： （1）如图①，若OA顺时针转动，OB逆时针转动， =________秒时，OA与OB第一次重合； （2）如图②，若OA、OB同时顺时针转动， ①当 =3秒时，∠AOB=________ ； ②当为何值时，三条射线OA、OB、ON其中一条射线是另两条射线夹角的角平分线？________ 【答案】（1）4.5 （2）；解：由题意知， ∴∠BON＝10t ，∠AON＝180－30t (0≤t≤6)，∠AON＝30t－180(6 当ON为∠AOB的角平分线时，有 180－30t ＝10t ， 解得：t ＝4.5； 当OA为∠BON的角平分线时， 10t ＝2(30t －180)， 解得：t ＝7.2； 当OB为∠AON的角平分线时， 30t －180＝2×10t ，
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