§ 13.6 概率统计实验
［学习目标］
1. 会用Mathematica 求概率、均值与方差；
2. 能进行常用分布的计算；
3. 会用Mathematica 进行期望和方差的区间估计；
4. 会用Mathematica 进行回归分析。
概率统计是最需要使用计算机的领域，过去依靠计算器进行统计计算，由于计算机的普 及得以升级换代。本节介绍 Mathematica 自带的统计程序包，其中有实现常用统计计算的各 种外部函数。
一、样本的数字特征
1. 一元的情况
Mathematica 的内部没有数理统计方面的功能，但是带有功能强大的数理统计外部程序， 由
多个程序文件组成。它们在标准扩展程序包集的 Statistic 程序包子集中，位于目录
D : \Mathematica\4.0\AddOns\StandardPackages'Statistics
下。通过查看Help ，可以找到包含所需外部函数的程序文件名。
在程序文件DescriptiveStatistics.m 中，含有实现一元数理统计基本计算的函数，常用的 有： 实际上程序文件中的函数很多，这里只列出了最常用的函数，其它计算函数可以通过Help 浏览。
例1 给出一组样本值：6.5，3.8，6.6，5.7, 6.0, 6.4，5.3,计算样本个数、最大值、
最小值、均值、方差、标准差等。
解：In[1]: = << Statistics 'DescriptiveStatistics'
SampleRa nge[data]
Media n[ data]
Mea n[data] Varia nce[data] Sta ndardDeviatio n[data] Varia nceMLE[data]
Sta ndardDeviatio nMLE[data] 求表data 中数据的极差（最大数减最小数） 求中值。 1 n
求平均值-X i 。
n i 1
求方差（无偏估计）
求标准差（无偏估计）
求方差-° (X i X)2。
n i 1 求标准差J 1 (X i X)2 n i 1
概率统计实验
In[2]: =data = {6.5， 3.8， 6.6， 5.7， 6.0, 6.4， 5.3}； In[3]: =Length[data]
Out[3]=7 In[4]: =Mi n[data]
Out[4]= In[5]: =3.8
=Max[data]
Out[5]= In[6]: Out[6]
=6.6
=SampleRa nge[data]
=2.8
In[7]: =Media n[ data]
Out[7]=
In[8]: =6. =Mea n[data] Out[8]=
=5.75714
In[9]: =Varia nce[data]
Out[9]= =0.962857 In[10]: =StandardDeviation[data]
Out[10]= 0.981253
In[11]: =VarianceMLE[data]
Out[11]= 0.825306
In[12]: = StandardDeviationMLE[data]
Out[12]= 0.908464
说明：在上例中，In [1]首先调入程序文件，求数据个数、最大值和最小值使用内部函数。
2. 多元的情况
在程序文件 MultiDescriptiveStatistics.m 中，含有实现多元数理统计基本计算的函数，常 用的有：
求表data 中数据的极差。 求中值。 求平均值。 求方差（无偏估计）。 求标准差（无偏估计）。 求方差。 求标准差。 求x ，y 的协方差（无偏估计）
(X i x)(y i y)。SampleRa nge[data]
Media n[ data]
Mea n[data]
Varia nce[data]
Sta ndardDeviatio n[data]
Varia nceMLE[data]
Sta ndardDeviatio
nMLE[data]
Covariance[xlist ，ylist]
CovarianceMLE[xlist , ylist]
Correlation[xlist , ylist]
求 x , y 的相关系数
n n 2 " 2
(X i x)(y i y)/ (X i x)
(y i y)。 i 1 i 1 i 1
实际上程序文件中的函数很多，这里只列出了最常用的函数，其它计算函数可以通过Help 浏览。
例2 给出 4 个样本值：{1.1，2.0，3.2}，{1.3，2.2, 3.1}，{1.15，2.05, 3.35}，{1.22，
2.31,
3.33}，计算样本个数、均值、方差、标准差等。
解：In[1]: = << Statistics 'MultiDescriptiveStatistics '
In[2]: = data = {{1.1，2.0，3.2}，{1.3，2.2，3.1}，
{1.15，2.05，3.35}，{1.22，2.31，3.33}}；
Len gth[data]
Out[3]=4
ln[4]: =SampleRange[data]
Out[4]= {0.2，0.31，0.25}
ln[5]: =Median[data]
Out[5]= {1.185，2.125，3.265}
ln[6]: =Mean[data]
Out[6]= {1.1925，2.14，3.245}
ln[7]: =Variance[data]
Out[7]= {0.00755833，0.0200667, 0.}
In[8]: =VarianceMLE[data]
Out[8]= {0.00566875，0.01505, 0.010325}
ln[9]: =CentralMoment[data , 2]
Out[9]= {0.00566875 , 0.01505, 0.010325}
ln[10]: =x=data[[All , 1]] ； y=data[[All , 2]]；
z=data[[AII , 3]]；
ln[11]: =Covariance[x , y]
求x , y 的协方差 (X i
i 1 X)(y i y)
Out[11]=0.0093
ln[12]: =Covariance[z, z]
Out[12]=0.
ln[13]: =CovarianceMLE[y , y]
们使用以上的分布表达式作为一个参数
常用的求值函数有： Domain[dist]
PDF[dist ，x]
CDF[dist ，x]
Quantile[dist ， q]
Mean[dist]
Variance[dist]
StandardDeviation[dist]
ExpectedValue[f ， dist ， x]
CharacteristicFunction[dist ，t]
Random[dist]
RandomArray[dist ，dims] 例3 求 dist 的定义域。 求点 x 处的分布 dist 的密度值。 求点 x 处的分布函数值。 求 x ,使 CDF[dist , x]达到 q 。 求分布dist 的期望。 求方差。 求标准差。 求 Ef ( x )。 求特征函数? (t )。 求具有分布dist 的伪随机数。 求维数为 dims 的伪随机数的数组 In[1]： =<< Statistics 'DiscreteDistributio ns'
In[2]： = b=BinomialDistribution[n , p] In[14] ：=Correlation[y ，z]
Out[14]=0.
In[15] ：=Correlation[x ，x]
Out[15]=1.
二、 常用分布的计算
在计算机出现以前， 统计计算总是依赖一堆函数表。 使用本节介绍的函数可以取代查表， 为实现各种统计计算的自动化做好了底层准备工作。
1. 离散分布
程序文件 DiscreteDistributions.m 中，含有用于离散分布计算的函数。其中常用的离散分 布有：
BernoulliDistribution[p]
BinomialDistribution[n , p]
GeometricDistribution[p]
HypergeometricDistribution[n , M , N]
PoissonDistribution[入] 贝努利分布。 二项分布。 几何分布。 超几何分布。 泊松分布。
DiscreteUniformDistribution[n] NegativeBinomialDistribution[n , p] 离散的均匀分布。 负二项分布。
以上函数中的参数，既可以是数值的，也可以是符号的。使用这些函数只能按用户给出 观察下面二项分布的各种基本计算