第六章 无界空间平面电磁波的传播 习题解答 6-1．已知自由空间的电磁波的电场强度E 的瞬时值为 ()()
()8;37.7cos 6102V/m y z t t z ππ=?+E e
试回答下列问题：（1）该电磁波是否属于均匀平面波？沿何方向传播？（2）该电磁波的频率、波长、相位常数和相速度各为多少？（3）该电磁波的磁场强度的瞬时表达式。
解 （1）均匀平面波等振幅面与等相位面重合，在垂直于传播方向上E 、H 的方向和大小都不变的电磁波。由题给电磁波电场强度的表达式，可知电磁波沿-Z 方向传播，电场强度在垂直于传播方向+Y 方向，且振幅为常数，所以电磁波属于均匀平面波。 （2）与沿-Z 方向传播，且电场强度矢量沿y e 方向的均匀平面波的一般表达式 ()()()0;cos V/m y z t E t kz E e ω=+ 相比较，可知
8
610;2k ωππ=?=
因此，有
频率 83.010()2f Hz ω
π==? 波长
21()m k π
λ=
=
相速度
881 3.010 3.010(/)f m s ?υλ==??=?
显然，自由空间电磁波的相速度等于光速。
（3）磁场强度H 的瞬时表达式为 ()()()0001
1
;cos A/m y z t E t kz H k E k e ωη
η
=?=
?+
而
0;120()z k e ηπ=-=
=Ω 代入，得到
()()()
()()
01
;()cos A/m 1200.1cos A/m z y x z t E t kz t kz H e e e ωπ
ω=
-?+=+ 6-2．理想介质（介质参数为μ=μ0，ε=εr ε0，σ=0）中有一均匀平面电磁波沿X 方向传播，已知其电场瞬时表达式为
()()()9;377cos 105V/m y x t t x =-E e
试求：（1）该理想介质的相对介电常数；（2）该平面电磁波的磁场瞬时表达式；（3）该平面电磁波的平均功率密度。
解 （1）根据 00
r k
有
2
22
82
2
900
1
53010
22510
r
k ..
（2）磁场的瞬时表达式
()()()
()()
9091
1
;377cos 105A/m 1
377cos 105A/m x y z z t t x t x H k E e e e η
η
η
=
?=
?-=
-
而理想介质中的波阻抗为
01
11
120
12022515
r
r
..
所以，有
()()()9; 1.5cos 105A/m z z t t x
H e =-
（3）平均坡印廷矢量 1Re 2
*av ??=
???S E H 由电场强度E 和磁场强度H 的瞬时表达式可知，电场和磁场的复振幅矢量为 55377; 1.5j x
j x y z e e E e H e --==
有
()5521Re 37715282752
j x j x av y z x e .e .W /m -??=
?=??S e e e 6-3．空气中一平面电磁波的磁场强度矢量为
()()63
1;10cos A/m 22x y z t t x y z ωπ-??
????=+++--
? ?????
????
H r e e e 求：（1）波的传播方向；（2）波长和频率；（3）电场强度矢量E ；（4）平均坡印廷矢量。
解 （1）根据平面波的一般表达式 ()[]()0;cos A/m t t H r H k r ω=-? 比较可知
6
03110;22x y z x y z k x k y k z x y z H e e e k r π-???
?=++?=++=--- ? ????
?
有
;
;2
x y z k k k π
ππ=-==
2
x x y y z z x y z k k k k e e e e e e π
ππ=++=-++
32k π=
=
因此，波传播的单位矢量为 0221
333
y x z x y z x y z k k k k k k k k k e e e e e e =
=++=-++ （2）波长 ()24
3
m k πλ=
= 频率
()883.0109
10434
c f Hz ?υλλ?====?
（3）电场强度矢量与磁场强度矢量的关系可由麦克斯韦方程得到
()011x y z x
y z x
y
z
ym ym zm xm zm xm x y z x y z j k x k y k z x y z j
j
x
y z H H H H H H H H H j y z z x x y k k k e A B C
ωε
ωεωεηωε
ωε
-++??
?=-
??=-
???????
??????????=--+-+-?? ? ? ? ? ?????????????????
=-=-?=-?e e e E H e e e e e e k H k H
将波矢量和磁场矢量代入，有
()()
0662213112010333221751120103632x y z x y z x y z ;t cos t x y z cos t x y z V /m ηπωππωπ--=-????????
?=-?-++?+++-- ????????????????????
?=?--++-- ??????????
?E r k H
e e e e e e e e e
（3）平均坡印廷矢量 1Re 2
*av ??=
???S E H 由电场强度E 和磁场强度H 的瞬时表达式可知，电场和磁场的复振幅矢量为
126126175120103
633102j x y z x y z j x y z x y z e
e
E e e e H e e e πππ??
?
?-- ???-?
??????
?-- ???
-?
?????=?--+??????
=++ ???
代入得到
112266*********Re 1201010236321175312102363217112101122j x y z j x y z av x y z x y z x y z x y z x y z e e ...πππππ???????
?----- ? ?????--??????
??--??????=?--+?++??
???????????????=??--+?++??????????=??-++=????S e e e e e e e e e e e e e e e 1017102x y z π-?
??-++???
?e e e 6-7．在非磁性、有耗电介质中，一个300MHz 的平面电磁波的磁场复振幅矢量为
()()()294A/m y j y x z y j e e --=-H e e
求电场、磁场矢量的时域表达式。
解 由磁场强度矢量的复振幅表达式知，平面波沿+Y 方向传播，即
y k e
而衰减常数和相位常数分别为 2;9αβ==
根据
α=
β=
221αωμε??+= ???
2
21βωμε??-= ??? 求解可得
22001
r βαεωωμε??????=-?? ? ????????
?
22679
2
222220014300104101039277
564 1.9βαωπεππ
πμ--?????????=?--=
=
≈
11
1211101066177
0.47100.015
64σπ
---==??=≈???≈由此得到
()
1/4
2
1/4
21/4
2
111268.83c μ
σηε
εω---
?
??
???=
+=+
??
????????
??
?
?=
+≈Ω???
011
arg arg 221arg 2 3.67tg σ?εω=≈==
电场强度矢量与磁场强度矢量的关系可由麦克斯韦方程得到，有 0η=-?E k H 则电场强度矢量复振幅为
()()()()()()
29299367
292444268834y j y y j y
y x z z x j y .j y j y
y z x z x j e e j e e e
j e
e
.j e e
V /m θ
ηηη---------=-?-=+=+=+E e e e e e e e e e 由复振幅的表达式得到
()()()()()0
9367293672Re 26883426883Re 4j y .y j t z x j t y .y z x y;t .j e e e
.e j e
ωω----+-??=+??????
=+????
E e e e e
()()()200
26883cos 93674sin 9367y z x .e t y .t y .V /m ωω-??=-+--+??e e
()()()()()()()
29922;Re 4Re 4cos 94sin 9A/m y j y j t
x z j t y y x z y x z y t j e e e e j e e t y t y H e e e e e e ωωωω-----??=-??
??=-??
=-+-????
6-8．指出下列各平面波的极化方式： （1）()
()3V/m jkz
x y j e
-=+E e e
（2）()
()32V/m jkz x y e -=+E e e
（3）()334V/m j jkz
x y e e E e e π-??=+ ???
（4
）(
)
)
()0.0423V/m j y z
x y z e π
--+=-++E e
解 （1）由于 ()
233j jkz
jkz
x y x y j e e e E e e e e π
--??=+=+ ???
根据极化一般表达式
00()j jkz
x x y y z E E e e
δ
-??=+?
?
E e e
可知
2
003;,2
j
j x y E E e e π
δ
π
δ====
由此得到
()(;)3cos (;)3cos 2x y
E z t t kz E z t t kz ωπω=-??
???=-+ ?????
选择z =0的平面，有
(0;)3cos 3sin x y t t t E e
e ωω=- 相应的模和相角为
()(0;)3
(0;)3sin 0;arctan
arctan
(0;)
3cos y x t E t t
t t
E t t
E ωψωω=
=
=-===-
由此可见，电场矢量的模为常数，相角为时间的线性函数且随时间的增加，相角在减小。这种波为左旋圆极化波。
（2）由
()
()32V/m jkz
x y e -=+E e e
可知
003,
2;0x y E E δ===
选择z =0的平面，由此得到 (0;)3cos (0;)2cos x y
E t t
E t t ωω=???
=??