分式方程复习课教案
教学内容： 复习分式方程
教学目标： 1. 掌握分式方程的概念以及解法 ;2. 了解分式方程产生增根的原因，
教学重、难点： 分式方程的概念以及解法
4. 若关于 x 的方程
m
1 x 0 ，有增根，则 m 的值是（
）
x
1
x 1
A.3
B.2
C.1
D.-1
5. 若方程
A B
2x 1 , 那么 A 、 B 的值为（ ）
3 x
4
(x 3)( x
x
4)
教学过程：
一、小组结合提示复习
；
1、什么是分式方程？
2、解分式方程的基本指导思想是什么？
3、解分式方程的一般步骤是什么？
二、基础过关（独立完成，小组订正）
1. 在下列方程中，关于 x 的分式方程的个数有（
）
① 1
x
2
2 x 4 0
② . x
4
③ .
a
4; ④ .
x 2
9 2
3
a
x
x
3
⑥
x
a 1 x 1 2 .
a
A.2 个
B.3
个 C.4
个 D.5 个
2. 方程
1
5
3
的根是（
）
1 x
2
x 1 1 x
x =
3
A. x =1
B.
x =-1
C.
D.
x =2
8
3. 下列分式方程去分母后所得结果正确的是（
）
A. 1 1 x
2 1 去分母得， x 1 ( x 1)( x 2) 1；
x
x 1 B.
x 5 1 ，去分母得， x 5 2 x 5 ；
5
5
2x 2x
C. x
2 x
2 x x ，去分母得， ( x 2)2 x 2 x(x
x
2 x 2
4 2 D.
2
1 , 去分母得，
2 ( x
1) x 3 ；
1; ⑤
1 6;
x 2
2) ；
A.2 ， 1
B.1
，2
C.1
， 1
D.-1
，-1
6. . 解下列方程
1
2
4 x
(1)
3 x
x 3
(2)
4 x 3 x 1
4
x 2 x 2
x 2 （ 3） x
1
1
．
2
x 2
x
4
三、例题讲解（小组交流，教师适当点拨）
例： 已知关于 x 的方程
x
1 x x
m 的有增根，求 m 的
值。
x
2
1 ( x 2)( x
1)
变式训练： 1、已知关于 x 的方程
x
1 x m
无解，求 m 的值。
x
2 x 1 ( x 2)( x
1)
2
、已知关于 x 的方程
x
1 x m
的解为正，求 m 的取值范
围。
x
2 x 1 ( x 2)( x
1)
四、小结：
通过这节课的学习你有何收获与感想 ?说出来与同伴分享。
x 3
x 1
五、 当堂作业；
10. 4 2x
x 5
11.
x 1 4 1
A （全班必做） 4 x
x 4
x
1 x
2 1
一、选择题
1. 在下列方程中，关于 x 的分式方程的个数有（ ）
① 2x 3 y 0
② . x 1
3
2x ③ .
3 5
④ .
x 1 3 ⑤
2
7
x
2 x
x 2
2
1
6
x 2 x x 2
.
1
4 x
4 x 3 x 1
1
12.
2
13.
x
2
A.2 个
B.3
个 C.4
个 D.5 个
x 3 3 x
4
x 2 x 2
2. 下列方程中，是分式方程的是（
）
A. x 1 x 1 1
B. x 1 x 2
x 4
3
2
4
x
1 x 1 1
C. 2x
2
x 0
D.
x
a x(ab
0)
5
m
a
b
3. 关于 x 的分式方程
1，下列说法正确的是（
）
x
5
B 选作题
A ．方程的解是 x m 5
B ． m
5 时，方程的解是正数
1. 若关于 x 的方程
m
1 x 0 ，有增根，则 m 的值是（
）
C ． m
x
5 时，方程的解为负数
D ．无法确定
x 1 1
4. 方程
2
3 的解为（
）
A.3
B.2
C.1
D.-1
x
x
1
2. 若方程
A
B
2x 1 , 那么 A 、 B 的值为（
A. x
2
B.
x 1 C.
x
2
D.
x
1
）
3
x
4 (x
3)( x
x
4)
5. 已知
2x
y
2
，则 y
的值为（
）
A.2 ， 1
B.1
，2
C.1 ， 1
D.-1
，-1
x
y 3
x
a 1, b
0, 那么
a b
3. 如果 x
（
）
4
4
b
a b
A.-
B.
C.1
D.5
5 5
1
x 1
1
1
A.1-
B.
C. x
D. x
x x 1
x 1
二、填空题
x
6. 满足方程：
x 1 x 2
的 x 的值是 ________.
4、已知
x
1 x
m
的解为负，试求 m 的取值范围。
1
2
x 1
x
2
x 1
2 x
7. 分式方程 x
2
2x 0 的增根是
x 2
8. 如果关于 x 的方程
x
a 1 1
2x
有增根，则 a 的值为 ________.
4 4
x
三、解方程
15.3 分式方程 第1课时分式方程及其解法 【知识与技能】 1.理解分式方程的意义； 2.掌握解分式方程的基本思路和解法； 3.理解解分式方程可能无解的原因,掌握解分式方程的验根方法. 【过程与方法】 通过探索实际问题中的数量关系,体会分式方程的模型作用,在经历“实际问题——分式方程——整式方程”的过程,发展学生分析问题,解决问题的能力,渗透转化的数学思想,培养学生的应用意识. 【情感态度】 在活动中培养学生乐于探索、合作学习的习惯,培养学生努力寻找解决问题的进取心,体会数学的应用价值. 【教学重点】 解分式方程的基本思路和解法. 【教学难点】 理解解分式方程可能无解的原因,及增根的含义. 一、情境导入,初步认识 问题一艘轮船在静水中的最大航速为30千米/时,它沿江以最大航速顺流航行90千米所用的时间,与以最大航速逆流航行60千米所用时间相等,江水的流速为多少？ 【教学说明】让学生求出江水流速为v千米/时后,自主探究,获得方程.然后师生共同评析.教师讲课前,先让学生完成“自主预习”. 思考 (1)方程 9060 3030 v v = +- 与以往学过的方程有什么不同之处？ （2）什么叫分式方程？分式方程的特征是什么？ （3）怎样解分式方程 9060 3030 v v = +- 呢？ 【教学说明】教师提出问题后,学生自主探究,相互交流,得出相应结论.教师应关注学生的参与情况及解决问题的情形,适时予以点拨,最后师生共同评析. 二、思考探究,获取新知 分式方程：分母中含有未知数的方程叫做分式方程.
解分式方程的基本思路是将分式方程运用去分母的方法化成为整式方程. 如：解方程90603030v v =+-. 解：在方程两边乘的最简公分母(30+v)（30-v ）,得 90(30-v)=60（30+v ）. 解得v=6. 检验：将v=6代入方程,左边=5/2=右边,所以v=6是原分式方程的解. 试一试 解方程2110525 x x =-- . 思考 上面两个分式方程中,为什么 90603030v v =+-去分母后所得整式方程的解就是原分式方程的解,而2110525 x x =--去分母后所得整式方程的解却不是原分式方程的解呢？ 【教学说明】教师提出问题后,学生先独立解决问题,然后在小组中提出自己的看法并讨论.在学生讨论时,教师可参与交流,鼓励学生勇于探索、实践,解释产生这一现象的原因,并让学生明白解分式方程时一定要验根. 【归纳结论】 一般地,解分式方程时,去分母后所得整式方程的解有可能使原方程中分母为0,因此；解分式方程时必须检验.检验方法可以如下：将整式方程的解代入最简公分母,如果最简公分母的值不为0,则整式方程的解是原分式方程的解；如果使最简公分母为0,则整式方程的解不是原分式方程的解,它是原分式方程增根,原分式方程无解. 三、典例精析,掌握新知 例1解方程233x x =- . 解：方程两边同乘以x(x-3),得 2x=3(x-3). 解得x=9. 检验：x=9时,x(x-3)=54≠0,∴x=9是原分式方程的解. 例2解方程() 31112x x x x -=--+（） . 解：方程两边同乘以（x-1）(x+2),得 x （x+2）-（x-1）(x+2)=3 化简,得x+2=3. 解得x=1.
9.3分式方程（1） 一、内容和内容解析 1．内容 分式方程的概念和解法 2．内容解析 分式方程是分母中含有未知数的方程，它是整式方程的延伸与发展，它是初中阶段是要学的又一类方程． 解分式方程的基本思路是通过去分母将分式方程转化为整式方程．在去分母时方程两边所乘的最简公分母可能为零，因而所解整式方程的解不一定是分式方程的解，所以，检验整式方程的解是不是分式方程的解是解分式方程中必不可少的一步． 基于以上分析，可以确定本课的教学重点是：分式方程的解法． 二、目标和目标解析 1．目标 （1）理解分式方程的概念． （2）理解并掌握解分式方程的一般步骤，并学会用去分母的方法解可化为一元一次方程的简单分式方程． （3）了解检验在解分式方程中的必要性． 2．目标解析 目标（1）是让学生理解分式方程的概念，掌握分式方程的特征——分母中含有未知数，并学会判断一个方程是否为分式方程． 目标（2）是让学生知道解分式方程的一般步骤是去分母、解整式方程、检验、写出分式方程的解；熟悉解分式方程的基本思路是通过去分母将分式方程转化为整式方程，把未知问题转化成已知问题，从而渗透数学的转化思想；让学生知道去分母的关键是找各分母的最简公分母；目前只要求学生掌握去分母后能转化为一元一次方程的分式方程的解法．目标（3）是让学生知道在解分式方程去分母时两边同乘了最简公分母可能会等于零，会使原分式方程无意义，因而需要检验． 三、教学问题诊断分析 学生在只学习一元一次方程及二元一次方程等简单整式方程的基础上学习分式方程，在用去分母将分式方程转化为整式方程，通过先求出整式方程的解进而检验是否为分式方程的解，为什么有些整式方程的解是原分式方程的解，而有一些不是原分式方程的解，学生一时难以接受，更不明白为什么会出现有些分式方程无解的情况． 基于以上分析，本课的教学难点是：了解去分母解分式方程检验的必要性． 四、教学过程设计 （一）复习与回顾 1.什么是一元一次房？
《解分式方程》的教学设计 邢台县皇台底中学李改增 设计理念： 《数学课程标准》指出：数学教学是在老师指导下，学生积极主动地掌握数学知识、技能，发展能力，形成 积极、主动的学习态度。而教师应引导学生从已有的数 学现实出发，经过自己的思考，得出有关数学结论，形 成数学知识、技能和能力，发展情感态度和思维品质。 由此，我确定自己在本节课中起引导作用，依学生已有 的数学实际，重新设计教学内容，使整节课贯穿一条节 节拔高的教学主线。而学生是这节课的主体，由他们探 索问题，相互解答疑惑，达成共识，逐步形成知识点， 再运用知识巩固与提高。 教学内容：《义务教育教科书数学》（冀教版版）八年级上册第十二章第四节（课本第18页至20页）。 教学目标： 1.知识目标： （1）熟悉解分式方程的步骤。 （2）理解解分式方程时验根的必要性。
2.能力目标： 会按照解分式方程的步骤解分式方程。 3.情感与价值观： （1）培养学生自觉反思求解过程和自觉检验的良好习惯，培养严谨的治学态度。 （2）运用“转化”的思想，将分式方程转化为整式方程，从而获得成就感和学习数学的自信。 老师引导学生自主探索分式方程的解法，将分式方程转化为整式方程，在解题中亲身体验“转化”思想。 弄清了“转化”的方向，也就明白了解分式方程的步骤，解题思路自然清晰，能力随之形成。 重点： 1.探索解分式方程的步骤，熟练掌握分式方程的解法。 2.体会解分式方程验根的必要性。 难点：如何将分式方程转化为整式方程；体会分式方程 验根的必要性。 学情与教材分析：我所任教的学生大多头脑聪明，在老师适当的引导下，有一定的探求新知识的能力。但
15．3 分式方程 第1课时 分式方程及其解法 1．了解分式方程的概念．(重点) 2．掌握可化为一元一次方程的分式方程的解法，知道转化的思想方法在解分式方程中的应用．(重点) 3．了解增根的概念，会检验一个数是不是分式方程的增根，会根据增根求方程中字母的值．(难点) 一、情境导入 1．什么是方程？ 2．什么是一元一次方程？ 3．解一元一次方程的一般步骤是什么？ 我们今天将学习另外一种方程——分式方程．二、合作探究 探究点一：分式方程的概念 下列关于x 的方程中，是分式方程的是( ) A.3＋x 2＝2＋x 5 B.2x －17＝x 2 C. x π＋1＝2－x 3 D.12＋x ＝1－2x 解析：A 中方程分母不含未知数，故不是分式方程；B 中方程分母不含未知数，故不是分式方程；C 中方程分母不含表示未知数的字母，π是常数；D 中方程分母含未知数x ，故是分式方程．故选D. 方法总结：判断一个方程是否为分式方程，主要是看分母中是否含有未知数(注意：仅仅是字母不行，必须是表示未知数的字母)． 探究点二：分式方程的解法 【类型一】 解分式方程 解方程： (1)5x ＝7x －2；(2)1x －2＝1－x 2－x －3. 解析：分式方程两边同乘以最简公分母， 把分式方程转化为整式方程求解，注意验根． 解：(1)方程两边同乘x (x －2)，得5(x －2)＝7x ，5x －10＝7x ，2x ＝－10，解得x ＝－5，检验：把x ＝－5代入最简公分母，得x (x －2)≠0，∴x ＝－5是原方程的解； (2) 方程两边同乘最简公分母(x －2)，得1＝x －1－3(x －2)，解得x ＝2，检验：把x ＝2代入最简公分母，得x －2＝0，∴原方程无解． 方法总结：解分式方程的步骤：①去分母；②解整式方程；③检验；④写出方程的 解．注意检验有两种方法，一是代入原方程，二是代入去分母时乘的最简公分母，一般是 代入公分母检验． 【类型二】 由分式方程的解确定字母的取值范围 关于x 的方程2x ＋a x －1＝1的解是正 数，则a 的取值范围是____________． 解析：去分母得2x ＋a ＝x －1，解得x ＝－a －1，∵关于x 的方程2x ＋a x －1＝1的解是 正数，∴x ＞0且x ≠1，∴－a －1＞0且－a －1≠1，解得a ＜－1且a ≠－2，∴a 的取值范围是a ＜－1且a ≠－2. 方法总结：求出方程的解(用未知字母表示)，然后根据解的正负性，列关于未知字母的不等式求解，特别注意分母不能为0. 探究点三：分式方程的增根 【类型一】 求分式方程的增根 若方程 3x －2＝a x ＋4x （x －2） 有增
课题：分式方程(一) 学习目标：1．了解分式方程的概念, 和产生增根的原因. 2．掌握分式方程的解法，会解可化为一元一次方程的分式方程，会检验一个数是不是原方程的增根. 学习重点：会解可化为一元一次方程的分式方程，会检验一个数是不是原方程的增根. 学习难点：会解可化为一元一次方程的分式方程，会检验一个数是不是原方程的增根. 学习过程： 一、预习新知： 1、前面我们已经学习了哪些方程？是怎样的方程？如何求解？ （1）前面我们已经学过了 方程。 （2）一元一次方程是 方程。 （3）一元一次方程解法 步骤是：①去分母；②去括号；③移项；④合并同类项；⑤系数化为1。 如解方程： 16 3 242=--+x x 2、探究新知：一艘轮船在静水中的最大航速为20千米/时，它沿江以最大航速顺流100千米所用时间，及以最大航速逆流航行60千米所用时间相等，江水的流速为多少？ 分析：设江水的流速为v 千米/时，根据“两次航行所用时间相同”这一等量关系， 得到方程： v v -=+2060 20100. 像这样分母中含未知数的方程叫做分式方程。 分式方程及整式方程的区别在哪里？通过观察发现得到这两种方程的区别在于未知数是否在分母上。未知数在分母的方程是分式方程。未知数不在分母的方程是整式方程。前面我们学过一元一次方程的解法，但是分式方程中分母
含有未知数，我们又将如何解？ 解分式方程的基本思路是将分式方程转化为 方程，具体的方法是去分母，即方程两边同乘以最简公分母。 如解方程： v +20100=v -2060 …………………… ① 去分母：方程两边同乘以最简公分母（20+v ）（20-v ），得 100（20-v ）=60（20+v ）……………………② 解得 v=5 观察方程①、②中的v 的取值范围相同吗？ ① 由于是分式方程v ≠±20,而②是整式方程v 可取任何实数。 这说明，对于方程①来说，必须要求使方程中各分式的分母的值均不为0.但变形后得到的整式方程②则没有这个要求。如果所得整式方程的某个根，使原分式方程中至少有一个分式的分母的值为0，也就是说，使变形时所乘的整式的值为0，它就不适合原方程，即是原分式方程的增根。因此，解分式方程必须验根。 如何验根：将整式方程的根代入最简公分母，看它的值是否为0.如果为0即为增根。 如解方程： 51-x =25 10 2-x 。 分析：为去分母，在方程两边同乘最简公分母()()55x x -+， 得整式方程 510x += 解得 5x = 将5x =代入原方程的最简公分母检验，发现这时分母5x -和225x -的值都是0，相应的分式无意义。因此，5x =虽是整式方程的解，但不是原分式方程的解。实际上，这个方程无解。 二、课堂展示 解方程： () 5312 22x x x x -=-- [分析]找对最简公分母x(x-2),方程两边同乘x(x-2),把分式方程转化为整式方程，整式方程的解必须验根
解分式方程 教学目标 1．了解分式方程的概念，和产生增根的原因. 2．掌握分式方程的解法，会解可化为一元一次方程的分式方程，会检验一 个数是不是 原方程的增根. 重点难点 1．重点：会解可化为一元一次方程的分式方程，会检验一个数是不是原方程的增根. 2．难点：会解可化为一元一次方程的分式方程，会检验一个数是不是原方 程的增根. 3．认知难点与突破方法 解可化为一元一次方程的分式方程，也是以一元一次方程的解法为基础，只是需把分式方程化成整式方程，所以教学时应注意重新旧知识的联系与区别，注重渗透转化的思想，同时要适当复习一元一次方程的解法．至于解分式方程时产生增根的原因只让学生了解就可以了，重要的是应让学生掌握验根的方法. 要使学生掌握解分式方程的基本思路是将分式方程转化整式方程，具体的方法是“去分母”，即方程两边统称最简公分母. 要让学生掌握解分式方程的一般步骤： 教学过程 一、例、习题的意图分析 1．[思考]提出问题，引发学生的思考，从而引出解分式方程的解法以及产生增根的原因. 2．[归纳]明确地总结了解分式方程的基本思路和做法. 3．[思考]提出问题，为什么有的分式方程去分母后得到的整式方程的解就是原方程的解，而有的分式方程去分母后得到的整式方程的解就不是原方程的
解，引出分析产生增根的原因，及归纳出检验增根的方法. 4．教科书习题15.3第2题是含有字母系数的分式方程，对于学有余力的学生，教师可以点拨一下解题的思路与解数字系数的方程相似，只是在系数化1时，要考虑字母系数不为0，才能除以这个系数. 这种方程的解必须检验. 二、课堂引入 1．回忆一元一次方程的解法，并且解方程 16 3242=--+x x 2．提出本章引言的问题： 一艘轮船在静水中的最大航速为20千米/时，它沿江以最大航速顺流航行100千米所用时间，与以最大航速逆流航行60千米所用时间相等，江水的流速为多少？ 分析：设江水的流速为v 千米/时，根据“两次航行所用时间相同”这一等量关系，得到方程v v -=+206020100. 像这样分母中含未知数的方程叫做分式方程. 三、例题讲解 （教科书）例1 解方程 [分析]找对最简公分母x(x-3)，方程两边同乘x(x-3)，把分式方程转化为整式方程，整 式方程的解必须检验. 这道题还有解法二：利用比例的性质“内项积等于外项积”，这样做也比较简便. （教科书）例2 解方程 [分析]找对最简公分母(x-1)(x+2)，方程两边同乘(x-1)(x+2)时，学生容易把整数1漏乘最简公分母(x-1)(x+2)，整式方程的解必须检验. 四、随堂练习 解方程： (1)623-=x x （2）1 613122-=-++x x x （3）114112=---+x x x （4）22 122=-+-x x x x 五、课后练习 1．解方程： (1) 01152=+-+x x (2) x x x 38741836---=- (3)01432222=---++x x x x x (4) 4322511-=+-+x x
一、导入新课 复习：前面我们已经学习了哪些方程？是怎样的方程？如何求解？ （1）前面我们已经学过了 方程。 （2）一元一次方程是 方程。 （3）一元一次方程解法 步骤是：①去___；②去____；③移项；④合并_____；⑤_____化为1。 如解方程：16 3242=--+x x 二、教学新课 1.探究新知：一艘轮船在静水中的最大航速为20千米/时，它沿江以最大航速顺流100千米所用时间，与以最大航速逆流航行60千米所用时间相等，江水的流速为多少？ 分析：设江水的流速为v 千米/时，根据“两次航行所用时间相同”这一等量关系， 得到方程：______________________ . 像这样分母中含未知数的方程叫做分式方程。 分式方程与整式方程的区别在哪里？通过观察发现得到这两种方程的区别在于未知数是否在分母上。未知数在_____的方程是分式方程。未知数不在分母的方程是____方程。前面我们学过一元一次方程的解法，但是分式方程中分母含有未知数，我们又将如何解？ 解分式方程的基本思路是将分式方程转化为 方程，具体的方法是去分母，即方程两边同乘以最简公分母。 如解方程：v +20100=v -2060 …………………… ① 去分母：方程两边同乘以最简公分母_____________，得 100（20-v ）=60（20+v ）……………………② 解得 V=_______. 观察方程①、②中的v 的取值范围相同吗？ ① 由于是分式方程v ≠_______, ② 而②是整式方程v 可取_____实数。
这说明，对于方程①来说，必须要求使方程中各分式的分母的值均不为0.但变形后得到的整式方程②则没有这个要求。如果所得整式方程的某个根，使原分式方程中至少有一个分式的分母的值为0，也就是说，使变形时所乘的整式的值为0，它就不适合原方程，即是原分式方程的增根。因此，解分式方程必须___根。 如何验根：将整式方程的____代入最简公分母，看它的值是否为_____.如果为0即为_______。 2.例 解方程： 51-x =25 102-x 。 解：方程两边同乘最简公分母为________， 得整式方程 510x += 解得： 5x = 检验：当5x =时， （5x -）（x+5）=0。 所以5x =不是原分式方程的解，原方程无解。 3.练一练： 4.例题讲解 解方程： () 531222x x x x -=-- 总结：解分式方程的一般步骤是： 1．“化”.在方程两边同乘以最简公分母，化成 方程； 2.“解”即解这个 方程； 3.“检验”：即把 方程的根代入 。如果值 ，就是原方程的根；如果值 ，就是增根，应当 。 5.练习： 解方程 ：注意：找对最简公分母,去分母时别忘漏乘1 1、 532x x =- 2 、 15144x x x --=-- 3、 2324111 x x x +=+-- 4、 63041x x -=+- 5、 23132--=--x x x 6、 1211422+=+--x x x x x 三、课堂小结 总结分式方程的求解过程，用框图方式总结。 四、作业布置 自我检测 五、板书设计 分式方程及其解法 “化” 51-x =25 102-x 。 “解” 解：方程两边同乘最简公分母为________， “检验” 得整式方程 510x += 解得： 5x = 检验：当5x =时， （5x -）（x+5）=0。 所以5x =不是原分式方程的解，原方程无解。
分式方程的解法 一、知识清单 1. 分式方程的定义：分母里含有未知数的方程叫分式方程. 2. 解分式方程的基本思想是：去分母，化为整式方程. 3. 解分式方程的一般步骤是： 去分母→去括号→移项→合并同类项→化系数为1→检验. 4. 分式方程增根：使最简公分母为0 的未知数的值叫做分式方程的增根. 二、基础夯实 1. 解下列分式方程： （1） 4x x 2 1 3 2 x x 2 （2） 1 x 1 ( x 1)( x 2) 2. 当m 为何值时，分式方程 m 2 x 1 x 1 3 2 x 会产生增根？ 1 三、经典例题 1 1 例1. 我们容易求得分式方程 2 x x 2 的解为x 2或 1 x （口头检验一下）. 2 1 1 （1）方程 3 x x 3 的解为； 1 1 （2）以x为未知数的方程 c x x c 的解为； （3）解方程： x 3x 4 2 3x x 2 4 26 5
例2. 解方程 x x 2 1 x x 3 2 x x 4 3 x x 5 4 例 3. 解 方 程 1 x(x 1) (x 1 1)( x 2) ... ( x 1 1998)( x 1999 ) 1 1 x . 4 ax 例4. 当a 为何值时，以x为未知数的方程 3 x 2 无 解？ 1 1 5 ab 1 x y y z 6 a b 3 例5. 解方程组（1） bc b c 1 4 （2） 1 1 y z z x 7 12 ca 1 1 1 3 c a 5 z x x y 4
四、方法归纳 1. 解分式方程常用的方法：去分母法、部分分式法、逐项通分或整体通分法、裂项相消法、 1 1 换元法、倒置变换法等，还可以巧妙应用“x c x c ”型的解是x c或x 1 c . 2. 利用增根的意义解题是一类重要题型，其方法为：（1）先将分式方程转化为整式方程；（2）从原分式方程中求出使分母为零的增根；（3）把增根代入所得到的整式方程中. 3. 方程无解与方程有增根不是一回事. 如例4 方程无解时 a 有2 个值，但方程有增根时 a 只 有1 个值. 五、考题演练 1. 解关于x的方程 1 1 x a . x 1 a 1 2. 解方程13 11 2x 2x 17 15 2x 2x 19 17 2x 2x 11 9 2x 2x 3. 解方程x 1 1 1 1 2 x x x x x x2 x 2 2 3 2 5 6 7 12 4 21
9.3分式方程（第一课时） 太湖天桥学校：方奇 玲 一、教学目标 1、了解分式方程的概念，能够区分分式方程与整式方程。 2、经历探索分式方程解法的过程，会解可化为一元一次方程的分式方程，初步了解分式方程产生增根的原因，并掌握验根的方法。 3、在探究分式方程解法的过程中，培养学生发现问题、解决问题的能力，体会数学的类比思想。 4、通过师生合作、生生合作培养学生的合作意识，体会成功感。 二、教学重难点 教学重点：分式方程的概念及解法 教学难点：去分母及增根产生的原因 三、教学方法 类比法 、自主探究法、精讲法 四、教学过程 （一）温故知新 1、什么是一元一次方程？ 2、判断下列方程是不是一元一次方程？ 25105161213242212522-=-++=---+=+x x y x x x x )()()(152353213143211=+-+=--=+)()()()(x x x x x
3、（2） (4)（6）三个方程有什么共同之处？ 设计意图：通过对一元一次方程概念的回顾，帮助学生快速进入学习状态，同时经过对比发现分式方程的本质特征：分母中含有未知数。 （二）探究新知 1、分式方程：分母中含有未知数的方程叫做分式方程。 2、小游戏：将8个方程进行分类，帮他们找到自己的家。 3、勇于尝试：你会解 吗？你能从 的解题过程中获取一些灵感解出分式方程吗？ 设计意图：在未学习分式方程解法时，大多数学生不知如何下手，产生疑问。此时教师给出大家所熟悉的一元一次方程，同学们都会解，在回忆一元一次方程的解法过程中，学生会发现两个方程都含有分号，可以类比的解。从而得出解分式方程的关键是去分母。 4、合作交流 你能为下列方程去分母吗？ 用自己的语言概括如何去分母？ 设计意图：这三个方程难度依次加大，（2）中的两个分母互为相反数，需要通过改变符号变为同分母的分式，（3）应首先对分母进行因式分12325-+=+x x 32121x x =-+251051)3(13132)2() 2)(1(311) 1(2-=++-=--+-=--x x x x x x x x x
分式方程 瑞发学校张文娇 一、教学目标 1．使学生理解分式方程的意义． 2．使学生掌握可化为一元一次方程的分式方程的一般解法． 3．了解解分式方程解的检验方法． 4．在学生掌握了分式方程的一般解法和分式方程验根方法的基础上，使学生进一步掌握可化为一元一次方程的分式方程的解法，使学生熟练掌握解分式方程的技巧． 5．通过学习分式方程的解法，使学生理解解分式方程的基本思想是把分式方程转化成整式方程，把未知问题转化成已知问题，从而渗透数学的转化思想．二、教学重点和难点 1．教学重点： (1)可化为一元一次方程的分式方程的解法． (2)分式方程转化为整式方程的方法及其中的转化思想． 2．教学难点：检验分式方程解的原因 3．疑点及分析和解决办法： 解分式方程的基本思想是将分式方程转化为整式方程(转化思想)，基本方法是去分母(方程左右两边同乘最简公分母)，而正是这一步有可能使方程产生增根．让学生在学习中讨论从而理解、掌握． 三、教学方法 启发式设问和同学讨论相结合，使同学在讨论中解决问题，掌握分式方程解法． 四、教学手段： 演示法和同学练习相结合，以练习为主． 五、教学过程 (一)复习引入 1．提问：什么叫方程？什么叫方程的解？ 答：含有未知数的等式叫做方程．
使方程两边相等的未知数的值，叫做方程的解． (二)新知探索 板书课题：分式方程的定义． 分母中含有未知数的方程叫分式方程（fractional equation ）．以前学过的方程都是整式方程．（课件展示） 1、判断下列各式哪个是分式方程．（课件展示） (1)21-=x (2) 22=-x x (3) 1 21 41 12 -= +- -x x x (4) 05 43 2=---x x 在同学讨论的基础上分析： 由于我们比较熟悉整式方程的解法，所以要把分式方程转化为整式方程，其关键是去掉含有未知数的分母． 2、例题精讲 例1 解方程 x x 33 2=-（课件展示完整步骤） 解：方程两边同乘x （x －3），得 2x ＝3x －9 解得 x ＝9 检验：x ＝9时 x （x －3）≠0，9是原分式方程的解。 例2 解方程 ) 2)(1(311 +-= --x x x x 解：方程两边同乘（x －1）（x ＋2），得 x （x ＋2）－（x －1）（x ＋2）＝3 化简，得 x ＋2＝3 解得 x ＝1 检验：x ＝1时（x －1）（x ＋2）＝0，1不是原分式方程的解，原分式方程无解。 例3 一艘轮船在静水中的最大航速为20千米/时，它沿江以最大航速顺流航行
15.3分式方程 第1课时分式方程及其解法 ◇教学目标◇ 【知识与技能】 1.理解分式方程的概念,能将实际问题中的等量关系用分式方程表示,体会分式方程的模型作用; 2.知道分式方程的意义,会解可化为一元一次方程的分式方程. 【过程与方法】 经历“实际问题—分式方程模型”的过程,发展学生分析问题、解决问题的能力,渗透数学的转化思想,培养学生的应用意识. 【情感、态度与价值观】 在探索活动中培养学生乐于探究、合作学习的习惯,培养学生努力寻找解决问题的进取心,体会数学的应用价值. ◇教学重难点◇ 【教学重点】 探索如何将分式方程转化为整式方程并掌握解分式方程的一般步骤. 【教学难点】 寻求实际问题中的等量关系,寻求不同的解决问题的方法. ◇教学过程◇ 一、情境导入 甲、乙两人加工同一种服装,乙每天比甲多加工1件,已知乙加工24件服装所用时间与甲加工20件服装所用时间相同.甲每天加工多少件服装?
二、合作探究 探究点1分式方程的定义 典例1下列关于x的方程中,是分式方程的是() A.3x= B. C.=2 D.3x-2y=1 [解析]根据分式方程的定义分母中含有未知数的方程,即可判断.A是整式方程中的一元一次方程,不符合题意;B是整式方程中的一元一次方程,不符合题意;C是分式方程,符合题意;D 是整式方程中的二元一次方程,不符合题意. [答案] C 探究点2解分式方程 典例2分式方程的解是() A.x=3 B.x=-1 C.x=1 D.x=-3 [解析]去分母得3(x+1)=2x,去括号得3x+3=2x,移项得x=-3,检验:把x=-3代入 x(x+1)=-3(-3+1)=6≠0,所以x=-3是原方程的解. [答案] D 解方程: =0. - [解析]去分母得3(x-2)-(x+2)=0, 解得x=4, 检验:当x=4时,x(x+2)(x-2)≠0,
9．3 分式方程 第1课时 分式方程及其解法 教学目标： 1．经历探索分式方程的概念； 2．经历探索分式方程解法的过程，掌握可化为一元一次方程的分式方程的解法，知道转化的思想方法在解分式方程中的应用； 3．了解增根的概念，会检验一个数是不是分式方程的增根，会根据增根求方程中字母的值． 教学重点： 分式方程的解法和应用 教学难点： 解分式方程可能产生增根原因的理解。 教学过程： 一、复习引入 前面我们学习了分式的有关性质及计算，我们来看下面问题： （1） （2） （3） （4） （5） （6） （7） （8） （9） （1）上面代数式中，哪些是整式？哪些是分式？ （2）利用“+”、“-”、“=”，把上述某几个代数式连接起来，请你写出几个方程。（两个学生板演） 从写的方程里找出我们学过的整式方程，如： 252=-x ，15 272=-+x 等。 何为整式方程？ 剩下的方程有何特点？如何命名？ 二、新课探究 （一）分式方程的概念 生总结口述，师板书。 辨一辨： 下列方程中，哪些是分式方程？哪些整式方程？为什么？ 2x -31x x 332-x 21 32--x x 323-+x x 7252x -
21;23x x -=（）43(2)7;x y +=1(3)30;21 x -=+3(4)=;2 x x -π1(5)210;5x x -+=3(6).2x x +- （二）探究分式方程的解法 还记不记得整式方程（一元一次方程）的解法？有哪些基本步骤？ 我们能否类比一元一次方程的解法来解分式方程呢？ 例一：解分式方程 7 2323=-+x x 你是如何解这个方程的？有哪些方法（同乘最简公分母或交叉相乘）？ 哪种方法更好？为什么？ 解得9-=x ，是否正确可以怎么办？（代入原方程检验） 反思提升： 我们解这个分式方程的基本思路是什么？（把分式方程转化为整式方程） 如何进行转化的？（方程两边同乘最简公分母） 解分式方程的基本步骤是什么？ 我们再来看下面的例题： 例二：解分式方程 3 2231--=--x x x 大家按上面的步骤解一下。 解得3=x 你有什么发现？为什么会出现这种情况？ 学生讨论，交流。 得到增根概念：3=x 是原方程两边同乘以最简公分母变形后的整式方程的根，但不是原方程的根，像3=x 这样的根，称为增根。解分式方程时可能产生增根，所以必须检验。 怎么检验是否是增根呢？（代入最简公分母） 师板书规范步骤。 课堂练习： 解分式方程x x x 2132=+-- 一生板演 反思提升： 解分式方程有哪些易错点？
《分式方程及其解法》教学设计 合肥市第四十中学金钊 教材分析 本节课内容旨在学习分式方程的概念及分式方程的一般解法，为之后的列分式方程解决实际问题打好基础。在学习过程中要求学生注意分式方程的基本特征，并能类比有分母的一元一次方程的解法探究分式方程的一般解法，并能理解增根存在的原因，学会验根。 学情分析 学生已熟练掌握有分母的一元一次方程的解法，因此不难理解分式方程的一般解法。但在解分式方程的过程中，可能对确定最简公分母的过程不是很熟练，以及可能忘了验根，在教学过程中需多加指导。另外增根对学生来说是个新的概念，需帮助学生理解增根产生的原因。 教学目标 1.掌握分式的概念，学会解分式方程的一般方法。 2.通过观察，发现分式方程的特征；通过类比，探究分式方程的一般解法；学会将未知问题转化成熟悉的问题再解决。 3.通过对问题的学习探究，体会新旧知识之间的密切联系。 教学重难点 重点：分式方程的概念，分式方程的一般解法。 难点：分式方程去分母的过程，增根的概念及产生增根的原因，验根的方法。 教学过程 一、问题引入 我们已经学习过列方程解决实际问题，同学们能否利用方程解决以下问题？ 1.某厂接到加工一批衣服的订单，预计每天做50件，正好按时完成。后因客户要求提前5天交货，固实际每天做了60件，正好按时完成。这批订单有多少件衣服？ （1）怎样设未知数列方程？这样列方程的依据是什么？ （2）列出的方程属于我们学习过的哪一类方程？什么是方程？什么是一元一次方程？ 等号两边都是整式的方程叫做整式方程。 （3）解含有分母的一元一次方程的一般步骤是什么？ 2.现将上述问题的条件变化一下，又该如何解决？ 某厂接到加工1500件衣服的订单，预计每天做50件，正好按时完成。后因客户要求提前5天交货，实际每天应多做多少件才能正好按时完成？ （1）可以设未知数列出方程吗？如果能，请说明列方程的依据。 （2）列出的方程还是整式方程吗？为什么？ 3.在这一问题中，列出的方程是我们没有学习过的类型。该如何给这个方程归类，又该如何解这个方程？这是我们本节课所需探究的内容。 二、新知探究 1.分式方程的定义 （1）分母中含有未知数的方程叫做分式方程。
精品基础教育教学资料，请参考使用，祝你取得好成绩！ 15．3 分式方程 第1课时 分式方程及其解法 1．了解分式方程的概念．(重点) 2．掌握可化为一元一次方程的分式方程的解法，知道转化的思想方法在解分式方程中的应用．(重点) 3．了解增根的概念，会检验一个数是不是分式方程的增根，会根据增根求方程中字母的值．(难点) 一、情境导入 1．什么是方程？ 2．什么是一元一次方程？ 3．解一元一次方程的一般步骤是什么？ 我们今天将学习另外一种方程——分式方程．二、合作探究 探究点一：分式方程的概念 下列关于x 的方程中，是分式方程的是( ) A.3＋x 2＝2＋x 5 B.2x －17＝x 2 C.x π＋1＝2－x 3 D.12＋x ＝1－2x 解析：A 中方程分母不含未知数，故不是分式方程；B 中方程分母不含未知数，故不是分式方程；C 中方程分母不含表示未知数的字母，π是常数；D 中方程分母含未知数x ，故是分式方程．故选D. 方法总结：判断一个方程是否为分式方程，主要是看分母中是否含有未知数(注意：仅仅是字母不行，必须是表示未知数的字母)． 探究点二：分式方程的解法 【类型一】 解分式方程 解方程： (1)5x ＝7x －2；(2)1x －2＝1－x 2－x －3. 解析：分式方程两边同乘以最简公分母，把分式方程转化为整式方程求解，注意验根． 解：(1)方程两边同乘x (x －2)，得5(x －2)＝7x ，5x －10＝7x ，2x ＝－10，解得x ＝－
5，检验：把x ＝－5代入最简公分母，得x (x －2)≠0，∴x ＝－5是原方程的解； (2)方程两边同乘最简公分母(x －2)，得1＝x －1－3(x －2)，解得x ＝2，检验：把x ＝2代入最简公分母，得x －2＝0，∴原方程无解． 方法总结：解分式方程的步骤：①去分母；②解整式方程；③检验；④写出方程的解．注意检验有两种方法，一是代入原方程，二是代入去分母时乘的最简公分母，一般是代入公分母检验． 【类型二】 由分式方程的解确定字母的取值范围 关于x 的方程2x ＋a x －1 ＝1的解是正数，则a 的取值范围是____________． 解析：去分母得2x ＋a ＝x －1，解得x ＝－a －1，∵关于x 的方程2x ＋a x －1 ＝1的解是正数，∴x ＞0且x ≠1，∴－a －1＞0且－a －1≠1，解得a ＜－1且a ≠－2，∴a 的取值范围是a ＜－1且a ≠－2. 方法总结：求出方程的解(用未知字母表示)，然后根据解的正负性，列关于未知字母的不等式求解，特别注意分母不能为0. 探究点三：分式方程的增根 【类型一】 求分式方程的增根 若方程3x －2＝a x ＋4x （x －2） 有增根，则增根可能为( ) A ．0 B ．2 C ．0或2 D ．1 解析：∵最简公分母是x (x －2)，方程有增根，则x (x －2)＝0，∴x ＝0或x ＝2.去分母得3x ＝a (x －2)＋4，当x ＝0时，2a ＝4，a ＝2；当x ＝2时，6＝4不成立，∴增根只能为x ＝0，故选A. 方法总结：增根是使分式方程的分母为0的根．所以判断增根只需让分式方程的最简公分母为0；注意应舍去不合题意的解． 【类型二】 分式方程有增根，求字母的值 如果关于x 的分式方程2x －3＝1－m x －3 有增根，则m 的值为( ) A ．－3 B ．－2 C ．－1 D ．3 解析：方程两边同乘以x －3，得2＝x －3－m ①.∵原方程有增根，∴x －3＝0，即x ＝ 3.把x ＝3代入①，得m ＝－2.故选B. 方法总结：增根问题可按如下步骤进行：①让最简公分母为0确定增根；②化分式方程
4 分式方程 第2课时分式方程的解法 教学目标 【知识与技能】 1.知道解分式方程的步骤; 2.明确分式方程产生增根的原因及分式方程检验的方法； 【过程与方法】 经历和体会解分式方程的必要步骤；使学生进一步了解数学思想中的“转化”思想. 【情感态度】 在建立分式方程的数学模型的过程中培养能力和克服困难的勇气，并从中获得成就感，提高解决问题的能力. 【教学重点】 掌握分式方程的解法 【教学难点】 掌握分式方程的解法、解分式方程要验根. 教学过程 一.问题导引，初步认知 我们已经学过一元一次方程，你还记得一元一次方程的解法吗？你能想象一下，如何得到分式方程的解吗？
二.思考探究，获取新知 探究：分式方程的解法 1.解下列分式方程： 【教学说明】 通过观察，使学生发现可以将分式方程通过去分母转化成一元一次方程来求解.通过教师对例题讲解，让学生明确解分式方程的一般步骤. 【归纳结论】1.解分式方程的一般步骤： （1）去分母（即在方程的两边都乘以最简公分母），把原分式方程化为_____； （2）解这个整式方程； （3）检验 2.下列哪种解法准确？ 解分式方程 解法一：将原方程变形为 方程两边都乘以x-2,得：1-x=-1-2 解这个方程，得：x=4. 解法二：将原方程变形为方程两边都乘以x-2 ,得：1-x=-1-2(x-2) 解这个方程，得：x=2
你认为x=2是原方程的根？与同伴交流. 【归纳结论】 增根概念：将分式方程变形为整式方程时，方程两边同乘以一个含未知数的整式，并约去分母，有时可能产生不适合原分式方程的解(或根)，这种根通常称为增根； 认识增根： ①增根是去分母后所得的根； ②增根使最简公分母的值为0； ③增根不是原方程的根. 三.运用新知，深化理解 A．2个 B.3个 C.4个 D.5个 答案：B. （）是分式方程,（）是整式方程. 答案：B;A、C 3.王军同学准备在课外活动时间组织部分同学参加电脑网络培训，按原定的人数估计共需费用300元.后因人数增加到原定人数的2倍，费用享受了优惠，一共只需要480元，
分式方程的解法 （第二课时） 教案 教学目标： 1.了解增根的意义及解分式方程可能产生增根的原因，明确验根 是解分式方程的一个重要且必要的步骤。 2.能化分式方程为整式方程，体验转化的数学思想方法。 一．旧知回顾 例： 解方程 2 1 x =x 3 解：方程两边同乘 x(x-2) ，得x=3(x-2) 解这个一元一次方程，得x=3 检验：将 x=3 代入原方程，得 左边=右边 所以，x=3 是原方程的根 解分式方程的基本思路是：_________________________________ 一般步骤是：_____________________________________________ 学生活动：（口答）解分式方程的基本思路是：方程两边都乘以最简 公分母，把分式方程转化为整式方程。 一般步骤是：去分母、解整式方程、检验、下结论。 教师活动：（1）引导学生回顾解一元一次方程时有没有必须检验？ （没有，这个步骤可以在演草本上进行） （2）引入正题：其实，这里的检验也不仅是为了验证我们 求得的根是否是原方程的根，而更重要的目的是为了验证它是否是原方程的增根。
二．预习检测： 在方程变形的过程中，产生的___________的根叫做方程的增根，增根应当舍去。 验根就是把求出的根代入原方程检验，如果求出的根使原方程的一个__________的值是0，那么这个根就是方程的增根。 三．课内探究 （一）在解方程 7 8--x x - x -71=8 时，小亮的解法如下： 解：方程两边同乘（x －7）,得 x －8＋1=8(x －7) 解这个一元一次方程，得 X=7 思考：（1）你认为x =7 是原方程的根吗？ 学生观察后口答 ：x =7 不是原方程的根，因为它使方程中分母为0， 分式没有意义。 （2） 产生增根的原因是什么？ 教师媒体动画提示：“我”是（x-7）？奇怪？为什么方程两边同乘了“我”就变质了呢？ 学生活动：小组交流、讨论并口头展示 若有困难，教师作适当提示： 等式变形的条件是两边同乘以非零数或整式，而x-7可能为零。 师生共同总结产生增根的原因及验根方法：
第2课时 分式方程的解法 1．在进一步理解分式方程意义的基础上，掌握分式方程的一般解法；(重点) 2．了解解分式方程可能会产生增根，掌握解分式方程一定要验根及验根方法．(难点) 一、情境导入 方程5x －2＝3x 与以前学习的方程有什么不同？怎样解这样的方程？ 二、合作探究 探究点一：分式方程的解法 【类型一】 解分式方程 解方程： (1)5x ＝7x －2；(2)1x －2＝1－x 2－x －3. 解析：分式方程两边同乘以最简公分母，把分式方程转化为整式方程求解，注意验根． 解：(1)方程两边同乘x (x －2)，得5(x －2)＝7x ，5x －10＝7x ，2x ＝－10，解得x ＝－5，检验：把x ＝－5代入最简公分母，得x (x －2)≠0，∴x ＝－5是原方程的解； (2)方程两边同乘最简公分母(x －2)，得1＝x －1－3(x －2)，解得x ＝2，检验：把x ＝2代入最简公分母，得x －2＝0，∴原方程无解． 方法总结：解分式方程的步骤：①去分母；②解整式方程；③检验；④写出方程的解．注意检验有两种方法，一是代入原方程，二是代入去分母时乘的最简公分母，一般是代入公分母检验． 【类型二】 由分式方程的解确定字母的取值范围 关于x 的方程2x ＋a x －1 ＝1的解是正数，则a 的取值范围是____________． 解析：去分母得2x ＋a ＝x －1，解得x ＝－a －1，∵关于x 的方程2x ＋a x －1 ＝1的解是正数，∴x ＞0且x ≠1，∴－a －1＞0且－a －1≠1，解得a ＜－1且a ≠－2，∴a 的取值范围是a ＜－1且a ≠－2. 方法总结：求出方程的解(用未知字母表示)，然后根据解的正负性，列关于未知字母的不等式求解，特别注意分母不能为0. 探究点二：分式方程的增根 【类型一】 求分式方程的增根 若方程3x －2＝a x ＋4x （x －2） 有增根，则增根为( ) A ．0 B ．2 C ．0或2 D ．1 解析：∵最简公分母是x (x －2)，方程有增根，则x (x －2)＝0，∴x ＝0或x ＝2.去分母得3x ＝a (x －2)＋4，当x ＝0时，2a ＝4，a ＝2；当x ＝2时，6＝4不成立，∴增根只能为x ＝0，故选A.