幂函数与二次函数
高考考点：
1．求二次函数的解析式．
2．求二次函数的值域与最值．
3．利用幂函数的图象和性质分析解决有关．题问
【复习指导】
本讲复习时，应从“数”与“形”两个角度来把握二次函数和幂函数的图象和性
质，重点解决二次函数在闭区间上的最值问，题掌握求函数最值的常用方法：配方法、判别式法、不等式法、换元法、导数法等，注重分类讨论思想与数形结合思想的综合应用．
基础梳理
1．幂函数的定义
αx 是自变量，α为常
数．
(α∈R )的函数称为幂函数，其中底数
一般地，形如y＝ x
2．幂函数的图象
1
在同一平面直角坐标系下，幂函数y＝ x，y＝ x，y＝x
2，y＝x3，y＝x－1的图象分
2
别如右图．
3．幂函数的性质
3y＝ x1
2y＝ x
－ 1 y＝ x y＝ x2y＝ x
定义域R R R[0 ，＋∞){ x |x∈R 且
x≠0}值域R[0，＋∞)R[0 ，＋∞)
{ y |y∈R 且
y≠0}奇偶性奇偶奇非奇非偶奇
x∈[0，＋∞)x∈(0 ，＋∞)时，时，增减单调性增
增增
x∈(－∞， 0]x∈(－∞， 0)时，
时，减减定点(0,0) ， (1,1)(1,1) 4.二次函数的图象和性质
解析式f(x)＝ ax
2＋ bx＋ c(a>0)图象
定义域(－∞，＋∞)
2
值域4ac－ b
，＋∞
4a f(x)＝ ax2＋ bx＋ c(a<0)
(－∞，＋∞)
2
4ac－ b －∞，4a
b
在 x∈ －，＋∞ 上单调增递单调性2a
在 x∈
b
－∞，－
b
在 x∈ －∞，
－
2a
b
上单调减递2a 上单调增递
奇偶性当 b＝ 0 时为偶函数，
在x∈ －，＋∞上单调减递
2a
b≠0 时为非奇非偶函数
2
b4ac－ b
顶点－
2a ，
4a
对称性图象关于直线x＝
－
b
成轴对称图形
2a
5.二次函数解析式的三种形式
2 ＋bx＋c( a≠0) (1)一般式：f(x)＝ ax
2 ＋k(a≠0) (2)顶点式：f(x) ＝ a(x － h)
(3)两根式： f(x) ＝ a(x－ x1 )(x－ x2)( a≠0)
五个代表
函数y＝ x，y＝ x， y＝ x
2，y＝x3，y＝x1
－ 1可做为研究和学习幂函数图象和性的质
2
代表．
两种方法
函数 y＝ f(x) 对称轴的判断方法
(1)对于二次函数y＝ f(x) 对定义域内所有x，都有f( x1)＝f(x2) ，那么函数y＝ f(x)的
图象关于x＝x1＋x2
对称．
2
(2)对于二次函数 y＝ f(x) 对定义域内所有 x，都有 f(a ＋ x)＝ f( a－ x)成立的充要条件是函数 y＝ f(x) 的图象关于直线 x＝ a 对称 (a 为常数 )．
双基自测
2
1． (2011·安徽)设f(x)是定义
在
R 上的奇函数，当x≤0时，f(x)＝ 2x－ x，则f(1)
＝ ()．
A ．－3
B ．－ 1C． 1 D ． 3
解析∵f(x)为奇函数，∴f(1) ＝－ f(－ 1)＝－3.
答案A
n 在第一象限的图象．已知n 2.( 人教 A 版教材例题改编)如图中曲线是幂函数y＝x
1
取±2，±四个值，则相应于曲线C1， C2， C3， C4的n 值依次为
2
()．
1111
A ．－ 2，－，
， 2 B ． 2，，－
，－ 2
2222
1111
C．－
，－ 2,2， 2D． 2，2
，－ 2，－
22
答案B
3． (2011 ·浙江) 设函数 f(x) ＝－ x， x≤ 0，
若 f( α)＝ 4，则实数α等于 ()．2， x＞ 0.
x
A ．－ 4 或－ 2
B ．－ 4 或 2 C．－ 2 或 4D．－ 2 或 2
解析
α≤ 0，
或
α＞0，得α＝－4 或α＝2，故选
B.
由
α
2
＝4，
－α＝4
2
＝ 4，
答案B
2－ 2x＋ 2 的定义域和值域均为[1 ， b]，则 b 等于 ()．4．已知函数f(x) ＝ x
A ． 3
B ． 2 或 3C． 2 D ． 1 或 2
解析函数 f(x) ＝ x2－ 2x＋ 2 在 [1 ， b]上递增，
f 1 ＝ 1，
f b ＝ b，即
b>1，
由已知条件
2－ 3b＋ 2＝ 0，
b
b>1.
解得 b＝ 2.
答案C
5．(2012 ·武汉拟模)若函数 f(x) ＝ (x＋ a)(bx＋ 2a)(常数 a、b∈R )是偶函数，且它的值域为(－∞， 4]，则该函数的解析式f(x)＝ ________.
解析 f (x)＝ bx2＋( ab＋2a)x＋2a2
由已知条件ab＋ 2a＝ 0，又 f(x)的值域为(－∞， 4]，
a ≠0，
则
b ＝－ 2，
因此 f(x) ＝－ 2x
2
＝ 4.
2
＋ 4.
2
＋ 4.
2a
答案 － 2x
2
＋ 4
考向一
二次函数的图象
【例 1】?(2010 ·安徽 )设 abc ＞ 0，二次函数
f(x) ＝ ax
2＋ bx ＋ c 的图象可能是
(
)．
[ 审题视点 ] 分类讨论a＞ 0， a＜ 0.
解析若 a＞ 0，则 bc＞ 0，根据选项 C、 D，c＜ 0，此时只有b＜ 0，二次函数的
b
对称轴方程x＝
－＞ 0，选项 D 有可能；若a＜ 0，根据选项 A ， c＜ 0，此时只
2a
b
能b＞ 0，二次函数的对称轴方程x＝－＞ 0，与选项 A 不符合；根据选项 B ，
c 2a
＞ 0，此时只能b＜ 0，此时二次函数的对称轴方程x＝－
b
＜ 0，与选项 B 不符2a
合．综合知只能是选项 D.
答案D
分析二次函数的图象，主要有两个要点：一个是看二次项系数的符号，它确定二次函数图象的开口方向；二是看对称轴和最值，它确定二次函数的具体
位置．对于函数图象判断类似题要会根据图象上的一些特殊点进行判断，如函数图象与正半轴的交点、函数图象的最高点与最低点等．
【训练1】已知二次函数 f (x)的图象如图所示，则其导函数f′(x)的图象的大致
形状是 ()．
解析由函数 f(x) 的图象知：当 x∈(－∞， 1]时， f(x) 为减函数，∴f′(x)≤ 0；
当x∈[1，＋∞)时， f (x)为增函数，∴f′(x)≥ 0.结合选项知选C.
答案C
考向二二次函数的性质
【例 2】 ?函数 f(x)＝ x
2－ 2x＋ 2 在闭区间[t， t＋ 1](t ∈R)上的最小值记为g(t) ．
(1)试写出g(t)的函数表达式；
(2)作 g(t) 的图象并写出g(t )的最小值．
[ 审题点视 ] 分类讨论t的范围分别确定g(t)解析式．
解(1)f (x)＝ (x－ 1)
2＋ 1.
当t＋ 1≤ 1，即 t≤ 0 时， g(t) ＝ t
2＋ 1.
当t<1 当t≥ 1 时， g(t )＝ f (t) ＝ (t － 1) 2＋ 1 2＋ 1≤ 0， t≤ 0， t 综上可知g(t) ＝1， 0 2－ 2 t ＋ 2， t≥ 1. t (2)g( t)的图象如图所示，可知g(t) 在 (－∞， 0]上递减，在 [1，＋∞)上递增，因此g(t )在 [0,1] 上取到最小值 1. 2＋bx＋c，在(－∞，＋∞)上的最值可由二次函数图 (1)二次函数 y＝ ax 象的顶点坐标公式求出；(2)二次函数y＝ ax 2 ＋bx＋c，在[m，n]上的最值需要根 据二次函数y＝ ax 2＋ bx＋ c 图象对称轴的位置，通过讨论行进求解． 【训练2】已知函数f(x)＝ x 2＋ 2ax＋ 2， x∈[ － 5,5] ． (1)当 a＝－ 1 时，求函数f(x) 的最大值和最小值． (2)求实数 a 的取值范围，使y＝ f(x) 在区间[－ 5,5] 上是单调函数． 解(1)当 a＝－ 1 时， f(x) ＝ x 2－2x＋2＝(x－1)2 ＋1，x∈[－5,5]，∴x＝ 1 时， f(x) 取得最小值1； x＝－ 5 时， f(x) 取得最大值37. 2＋ 2－ a2的图象的对称轴为直线x＝－ a， (2)函数 f(x) ＝ (x＋ a) ∵y＝ f(x) 在区间[－ 5,5] 上是单调函数， ∴－ a≤ － 5 或－ a≥ 5， 故 a 的取值范围是a≤ － 5 或 a≥ 5. 考向三幂函数的图象和性质 【例 3】 ?已知幂函数f(x)＝ xm 2－ 2m－ 3(m∈N *)的图象关于y 轴对称，且在 (0， m m ＋∞)上是减函数，求满足(a＋ 1) － 3＜ (3－ 2a)－3的 a 的取值范围． 2－ 2m－ 3＜ 0，再结合 m 是整数，及 [ 审题视点]由幂函数的性质可得到幂指数m 幂函数是偶数可得m 的值． 解∵函数在 (0，＋∞)上递减， ∴m 2－ 2m－ 3＜ 0，解得－ 1＜ m＜ 3. ∵m∈N *，∴m＝ 1,2. 又函数的图象关于y 轴对称， ∴m 2－ 2m－ 3 是偶数， 而2 2－ 2×2－ 3＝－ 3 为奇数， 2－2×1－3＝－4为偶数，1 ∴m＝ 1. 1 而f(x) ＝ x－在 (－∞， 0)， (0，＋∞)上均为减函数， 3 11 ∴(a＋ 1)－ 3＜ (3 － 2a)－3等价于 a＋ 1＞ 3－ 2a＞ 或0＞ a＋ 1＞ 3－ 2a 或 a＋ 1＜ 0＜ 3－ 2a. 23 解得 a＜－ 1 或＜ a＜ 2. 3 23 故a 的取值范围为 a|a＜－ 1 或＜ a＜ 3 2 . 本题集幂函数的概念、图象及单调性、奇偶性于一体，合综性较，强 解此题的关键是弄清幂函数的概念及性质．解答此类问题可分为两第：步大一步，利用单调性和奇偶性(图象对称性 )求出 m 的值或范围；第二步，利用分类讨的论思想，结合函数的图象求出参数 a 的取值范围． 【训练3】 幂函数 y ＝ x a ，当 a 取不同的正数时，在区间 [0,1] 上它们的图象是一 族美丽的曲线 (如图 )．设点A(1,0)， B(0,1) ，连接AB ，线段AB 恰好被 其中的两个幂函数 y ＝ x α ，y ＝ x β 的图象三等分，即有 |BM |＝ |MN |＝ |NA|.那么， αβ＝( )． A ． 1 B ． 2 C ． 3 D ．无法确定 1 2 2 1 1 α 1 β 解析 法一 由条件得 M ，由一般性，可得 2 ， 2 ， ， N ， 3 3 ＝ ， 3 3 3 3 3 ＝ ＝ 3 1 2 即 α＝log 21 12 21 12 lg lg ，β＝log 3 3 33 ＝ ·3.所以 αβ＝log 3·log ＝ 1. 3 3 33 2 1 3.所以 αβ＝log 3·log ＝ 1. α 1 β lg 3 lg 3 法二 由解法一，得 1 2 ， 2 3 ， 3 3 ＝ ＝ ＝ 1 ＝ 2 a ＝ 1 3 ，即 αβ βα αβ 3 ＝1. ＝ 1 则 ，即 αβ＝1. 3 3 3 答案 A 规范解答 4— — 如何求解二次函数在某个闭区间上的最值 【问题研究】 二次函数在闭区间上的最值问题，一定要根据对称轴与区间的相 对位置关系确定最值， 当函数解析式中含有参数时， 要根据参数的取值情况进行分类讨论，避免漏解． 【解决方案】对于二次函数f(x) ＝ ax 2＋ bx＋ c( a≠0)而言，首先确定对称轴，然 后与所给区间的位置关系分三类进行讨论． 【示例】 ?(本题满分 12 分 )(2011 ·济南模拟)已知 f(x) ＝－ 4x 2＋ 4ax－ 4a－ a2在区间[0,1] 内有最大值－5，求 a 的值及函数表达式f(x)． 求二次函数f(x) 的对称轴，分对称轴在区间的左侧、中间右、讨侧论． a 2－ 4a， 2 [ 解答示范 ] ∵f(x)＝－ 4 x － a ，－ 4a .(1 分 ) ∴抛物线顶点坐为标 2 ①当a 2 2 .≥ 1，即 a≥ 2 时， f(x)取最大值－ 4－ a 令－ 4－ a 2＝－ 5，得 a2＝ 1， a＝±1＜ 2(舍去 )； (4 分 ) a a ②当 0＜＜ 1，即 0＜ a＜ 2 时， x＝时， 22 6.1 二次函数 一.学习目标 1.经历对实际问题情境分析确定二次函数表达式的过程，体会二次函数意义。 2.了解二次函数关系式，会确定二次函数关系式中各项的系数。 二.知识导学 （一）情景导学 1．一粒石子投入水中，激起的波纹不断向外扩展，扩大的圆的面积S 与半径r 之间的函 数关系式是 。 2．用16米长的篱笆围成长方形的生物园饲养小兔,怎样围可使小兔的活动范围较大? 设长方形的长为x 米，则宽为 米，如果将面积记为y 平方米，那么变量y 与x 之间的函数关系式为 . 3．要给边长为x 米的正方形房间铺设地板，已知某种地板的价格为每平方米240元，踢 脚线的价格为每米30元，如果其他费用为1000元，门宽0.8米，那么总费用y 为多少元？ 在这个问题中，地板的费用与 有关，为 元,踢脚线的费用与 有关，为 元；其他费用固定不变为 元，所以总费用y （元）与x （m ） 之间的函数关系式是 。 （二）归纳提高。 上述函数函数关系有哪些共同之处？它们与一次函数、反比例函数的关系式有什么不 同？ 。 一般地，我们称 表示的函数为二次函数。其中 是自变量， 函数。 一般地，二次函数c bx ax y ++=2中自变量x 的取值范围是 ，你能 说出上述三个问题中自变量的取值范围吗？ （三）典例分析 例1、判断：下列函数是否为二次函数，如果是，指出其中常数a.b.c 的值. (1) y ＝1— 23x (2)y ＝x(x －5) (3)y ＝ x 21－23x ＋1 (4) y ＝3x(2－x)＋ 3x 2 (5)y ＝ 12312++x x (6) y ＝652++x x (7)y ＝ x 4＋2x 2－1 (8)y ＝ax 2＋bx ＋c 例2．当k 为何值时，函数1)1(2+-=+k k x k y 为二次函数？ 例3．写出下列各函数关系，并判断它们是什么类型的函数． ⑴正方体的表面积S （cm 2）与棱长a （cm ）之间的函数关系； ⑵圆的面积y （cm 2）与它的周长x （cm ）之间的函数关系； ⑶某种储蓄的年利率是1.98%，存入10000元本金，若不计利息，求本息和y （元）与所 二次函数教学设计方案 单元知识集锦： 教学重点：二次函数图象及其性质，应用二次函数分析和解决简单的实际问题． 教学难点：二次函数性质的灵活运用，能把相关应用问题转化为数学问题． 第一讲 二次函数的概念 一般地，形如_______________的函数，叫做二次函数.图像是__________. 例:下列各式中,y 是x 的二次函数的是（ ） A.3 230x y --= B.2 (2)(2)(5)y x x x =+--- C.21 y x x = + D.2(1)210x y --+= 练习：若232 (3)1k k y k x kx -+=-++的图象是抛物线，则k= 注意： 2y ax =的图像和性质 （1）顶点坐标___________ 对称轴___________. （2）开口方向由_________决定. __0__0 a a （3）增减性: 如果a ＞0. 00x x >< 如果a ＜0. 00 x x >< （4）开口大小由________决定. _______越大开口越________. 例1 若抛物线2 10 (3)m y m x -=+的开口向下，则m 为_______. 例2 已知直线y ax b =+经过二、三、四象限，则抛物线2 y abx =（ ） A.开口向上，有最低点 B. 开口向下，有最高点 C.开口向下，有最低点 D. 开口向上，有最高点 练习：已知函数2 5y x =-+，当x 取1x ，2x 12()x x ≠，函数值相等，则当x 取12x x +时， 函数值为_______. 2y ax c =+的图像和性质 （1）顶点坐标___________ 对称轴___________. （2）开口方向由_________决定. __0__0 a a （3）增减性: 如果a ＞0. 00x x >< 如果a ＜0. 00 x x >< （4）开口大小由________决定. _______越大开口越________. 例1 在抛物线2 132 y x =- -的对称轴左侧（ ） A.y 随x 的增大而增大 B. y 随x 的增大而减小 二次函数配方问题 如何将2y ax bx c =++ （一般式）的形式变化为 2 ()y a x h k =-+（顶点 式） 2 2424b ac b y a x a a -? ?=++ ? ? ?，其中2 424b ac b h k a a -=-=， 对称轴是2b h a =- 顶点（a b a c a b 44, 22 -- ） （h, k ） （1）y=x 2-2x-1 （2） y =x 2-x-6 （3）5322--=x x y （4） y=x 2+2x+1 （5）y=2x 2-6x-1 （6）6422++-=x x y （7）432+--=x x y （8） y =-x 2-x-6 （9）y =-4x 2-3x-7 关于y=ax 2+bx+c 中a b c 的分析以及y=ax 2+bx+c 与c ax y +=图像判断 1.已知二次函数y=ax 2+bx+c,如果a>b>c,且a+b+c=0,则它的图象可能是图所示的( ) 2.如图所示,当b<0时,函数y=ax+b 与y=ax 2 +bx+c 在同一坐标系内的图象可能是( ) 1 x A y O 1 x B y O 1 x C y O 1 x D y O x A y O x B y O x C y O x D y O 二次函数平移 一、本节学习指导 平移是二次函数中的常考点，大多以选择题、填空题出现，在判断平移时，首先我们要判断平移类型，再结合口诀“上加下减，左加右减”来解题，拿不准的题目就画图，虽然花费时间较多，但是准确率较高。本节有配套免费学习视频。 二、知识要点 1、 平移步骤： 方法一：⑴ 将抛物线解析式转化成顶点式()2 y a x h k =-+，确定其顶点坐标()h k ，； ⑵ 保持抛物线2y ax =的形状不变，将其顶点平移到()h k ，处，具体平移方法如下： 向右(h >0)【或左(h <0)】平移 |k|个单位 向上(k >0)【或下(k <0)】平移|k |个单位 向右(h >0)【或左(h <0)】平移|k|个单位 向右(h >0)【或左(h <0)】平移|k|个单位 向上(k >0)【或下(k <0)】平移|k |个单位 向上(k >0)【或向下(k <0)】平移|k |个单位 y=a (x-h )2+k y=a (x-h )2 y=ax 2+k y=ax 2 2、平移规律 在原有函数的基础上“h 值正右移，负左移；k 值正上移，负下移”． 概括成八个字“左加右减，上加下减”。 方法二： ⑴ 2 y ax bx c =++ 沿y 轴平移:向上（下）平移m 个单位，2 y ax bx c =++ 变成 2 y ax bx c m =+++（或2 y ax bx c m =++- ） ⑵2 y ax bx c =++沿轴平移：向左（右）平移m 个单位，2 y a x b x c =++变 成2 () ()y a x m b x m c =++++（或2 ()()y a x m b x m c =-+-+） 3、二次函数2 ()y a x h k =-+与2 y ax bx c =++ 的比较 从解析式上看，2()y a x h k =-+与2 y ax bx c =++ 是两种不同的表达形式，后者通过配 方可以得到前者，即2 2 424b ac b y a x a a -? ?=++ ?? ?，其中2 424b ac b h k a a -=-=，。 一．教学目标 1.知识与能力 能够作出函数y=ax2+k的图象，并能够理解函数y=ax2+k与y=ax2之间的关系，理解a、k对二次函数图象的影响；能够正确说出函数图象的开口方向、对称轴和顶点坐标。 2.过程与方法 通过学生自己的探索活动，对二次函数性质的研究，达到对抛物线自身的特点的认识和对二次函数性质的理解；经历探索二次函数的图象的作法和性质的过程，培养学生的探索能力。 3.情感态度与价值观 通过动手操作，激发学生的学习兴趣，在互动中让学生学会和他人合作、交流，同时让学生在猜想与探究中，体验学习的快乐。 二．教材分析 二次函数是描述变量之间关系的重要数学模型。它的图象是抛物线，通过前两节课的学习，大家不仅会画简单的抛物线，而且还能够通过观察图像了解抛物线的一些性质。 本节课通过对二次函数y=ax2+k的图象的作法和性质的过程探索，进一步将函数的表格、关系式、图像三者联系起来，逐步积累研究函数的图象和性质的经验。 在教学中，运用类比的学习方法，通过与y=ax2的图象和性质的比较，总结出它们的异同，从而更进一步地掌握不同形式的二次函数的图象和性质， 三．教学重点 能作出y=ax2+k的图象，并能够比较它与y=ax2的异同，理解a与k对于二次函数图象的影响，能说出函数y=ax2+k的图象的开口方向、对称轴和顶点坐标。 四．教学难点 能够作出函数y=ax2+k的图象，并总结其性质，还能和函数y=ax2作比较， 五．教学准备多媒体 六．教学过程 教学内容教师行为学生行为设计意图 【创设问题情境，引出新课】 上节课，我们一起学习了函数y=ax2的图象的画法，了解了它们的图象的一些性质，请你告诉大家函数y=2x2与y=-x2图象有哪些相同点和不同点？提出问题，引导 学生回顾已学的 知识。并追问： 你知道y=2x2+1 y=2x2-1有哪些 性质吗？它们的 图象与y=2x2的 图象有什么关 系？ 【板书课题】 积极回忆已 学的知识， 并思考回 答。 对于函数y=ax2（a>0）图象 性质加以总结。这里取a为 正，负数对比，不仅进一步 复习巩固，同时为今天运用 类比教学打下铺垫，提问时 分层回答，不断补充，体现 合作，互助。 课题：1.1二次函数 教学目标： 1、从实际情景中让学生经历探索分析和建立两个变量之间的二次函数关系的过程，进一步体验如何用数学的方法去描述变量之间的数量关系。 2、理解二次函数的概念，掌握二次函数的形式。 3、会建立简单的二次函数的模型，并能根据实际问题确定自变量的取值范围。 4、会用待定系数法求二次函数的解析式。 教学重点：二次函数的概念和解析式 教学难点：本节“合作学习”涉及的实际问题有的较为复杂，要求学生有较强的概括能力。 教学设计： 一、创设情境，导入新课 问题1、现有一根12m 长的绳子，用它围成一个矩形，如何围法，才使举行的面积最大？小明同学认为当围成的矩形是正方形时 ，它的面积最大，他说的有道理吗？ 问题2、很多同学都喜欢打篮球，你知道吗：投篮时，篮球运动的路线是什么曲线？怎样计算篮球达到最高点时的高度？ 这些问题都可以通过学习俄二次函数的数学模型来解决，今天我们学习“二次函数”（板书课题） 二、 合作学习，探索新知 请用适当的函数解析式表示下列问题中情景中的两个变量y 与x 之间的关系： （1）面积y (cm 2)与圆的半径 x ( Cm ) (2)王先生存人银行2万元,先存一个一年定期，一年后银行将本息自动转存为又一个一年定期,设一年定期的年存款利率为文 x 两年后王先生共得本息y 元; (3)拟建中的一个温室的平面图如图,如果温室外围是一个矩形，周长为12Om , 室内通道的尺寸如图,设一条边长为 x (cm), 种植面积为 y (m2) （一）教师组织合作学习活动： 1、先个体探求，尝试写出y 与x 之间的函数解析式。 2、上述三个问题先易后难，在个体探求的基础上，小组进行合作交流，共同探讨。 （1）y =πx 2 （2）y = 2000(1+x)2 = 20000x 2+40000x+20000 (3) y = (60-x-4)(x-2)=-x 2+58x-112 （二）上述三个函数解析式具有哪些共同特征？ 让学生充分发表意见，提出各自看法。 x 活动课二次函数的平移规律 【教学目标】 1、借助几何画板探究如何通过y=ax2平移得到y=ax2+k的图象和y=a(x-h)2的图像； 2、思考如何通过y=ax2平移得到y=a(x-h)2+k的图像； 3、归纳猜想得出平移规律。 【重点难点】 探究理解平移规律是教学的重点，也是教学的难点。 【教学过程】 一、探究归纳 利用几何画板画出二次函数y=2x2和y=2x2－1及y=2（x－1）2的图象，并观察三个图象的位置关系？ 1、利用几何画板移动y=2x2向上和向下平移1个单位，观察其中y k的变化规律（关注其正负值） 抛物线y=2x2与y=2x2+k图像位置有什么关系？ 可以发现后者可以由前者向上或向下平移｜k｜个单位得到的，当k>0时向上平移，当k<0时，向下平移。 2、利用几何画板移动y=2x2分别向左和向右平移1个单位，观察其中x k的变化规律（关注其正负值） 可以发现，y=2(x-h)2的图像可以由y=2x2与分别向左和向右平移 ｜k｜个单位得到。当h>0时，向右平移，当h<0时，向左平移。 3、归纳猜想：如何通过平移y=2x 2得到y=2（x －1）2+1的图像。 又如何通过平移y=ax 2平移得到y=a(x-h)2+k 的图像。 引出平移规律。 二、知识巩固 例1、抛物线y=ax 2+k 与y=-5x 2的形状大小，开口方向都相同，且其顶点坐标是(0，3)，则其表达式为y=-5x 2+3，它是由抛物线y=-5x 2向上平移3个单位得到的. 教师 ①点拨解这类题，必须根据二次函数y=ax 2+k 的图象与性质来解，a 值确定抛物线的形状大小及开口方向，k 值确定顶点的位置. ②抛物线平移多少个单位，主要看两顶点坐标，确定两顶点相隔的距离，从而确定平移的方向与单位长.(有时也可以比较两抛物线上横坐标相同的两点相隔的距离，从而确定平移的方向与单位长) 例2 已知抛物线y=ax 2+k 向下平移2个单位后，所得抛物线为y=-3x 2+2，试求a 、k 的值. 解:根据题意，得3,2 2.a k =-??-=?解得3,4. a k =-??=? 此题可以根据规律直接求出a 、k. 三、课堂小结 1.本节课探究得出了二次函数的平移规律；你知道如何通过平移y=ax 2平移得到y=a(x-h)2+k 的图像吗？ 三、作业 不画图象，回答下列问题. ①函数y=－2(x+3)2的图象可以看成是由函数y=－2x 2的图象作怎样 滨泉中学教学设计 课题22.1 二次函数（1）课时 1 设计教师李春丽备课组长 学科书写授课班级9.2 课型新授课审核领导 三维目标知识与技能 能够根据实际问题，熟练地列出二次函数关系式，并求出函数的自变量的取值 范围。 过程与方法通过实际问题的探究，认识二次函数，认识二次项、一次项、常数项。 情感态度与价 值观 注重学生参与，联系实际，丰富学生的感性认识，培养学生的良好的学习习惯 教学 重点 能够根据实际问题，熟练地列出二次函数关系式，并求出函数的自变量的取值范围 教学 难点 能够根据实际问题，熟练地列出二次函数关系式，并求出函数的自变量的取值范围 教学 方法 自主学习辅导法 教学 资源 多媒体课件 教学 流程 教师活动学生活动设计意图 情境导入 一、试一试 1、设矩形花圃的垂直于墙的一边AB的长为 xm，先取x的一些值，算出矩形的另一边BC的长， 进而得出矩形的面积ym2．试将计算结果填写在下 表的空格中， AB长x(m) 1 2 3 4 5 6 7 8 9 BC长(m) 12 面积y(m2) 48 2、x的值是否可以任意取?有限定范围吗? 3、我们发现，当AB的长(x)确定后，矩形的面积 (y)也随之确定， y是x的函数，试写出这个函数 的关系式， 可让学生根据表中给出 的AB的长，填出相应的 BC的长和面积，然后引 导学生观察表格中数据 的变化情况，提出问题： (1)从所填表格中，你能 发现什么？(2)对前面提 出的问题的解答能作出 什么猜想?让学生思考、 交流、发表意见，达成共 识。 可让学生分组讨论、交 流，然后各组派代表发表 意见。形成共识，x的值 不可以任意取，有限定范 围，其范围是0 ＜x ＜ 10。 实际问题导入， 体现新知识的产生 源于生活实际的需 要。 22.1.1 二次函数 一、教学目标 1.结合具体情境体会二次函数的意义，理解二次函数的有关概念. 2.能够表示简单变量之间的二次函数关系. 二、课时安排 1课时 三、教学重点 体会二次函数的意义，理解二次函数的有关概念. 四、教学难点 能够表示简单变量之间的二次函数关系. 五、教学过程 （一）导入新课 情景问题：正方体的六个面是全等的正方形，设正方体的棱长为x，表面积为y.显然，对于x的每一个值，y都有一个对应值，即y是x的函数，它们的具体关系可以表示为 y=6x2. （1） （二）讲授新课 问题1：n个球队参加比赛，每两队之间进行一场比赛.比赛的场次数m与球队数n有什么关系？ 分析：每个队要与其他（n-1）支球队各比赛一场，甲队对乙队的比赛与乙队对甲队的比赛是同一场比 赛，所以比赛的场次数是1 (1) 2 n n-（2） 问题2：某种产品现在的年常量是20 t，计划今后两年增加产量.如果每年都比上一年的产量增加x倍，那么两年后这种产品的产量y将随计划所定的x的值而确定，y与x之间的关系应怎样表示？ 分析：这种产品的原产量是20 t，一年后的产量是20(1+x) t，再经过一年后的产量是20(1+x)(1+x) t，即两年后的产量 22 20(1)204020 y x x x =+=++（3） 活动2：探究归纳 函数（1）（2）（3）有什么共同点？ 明确：一般地，形如y=ax 2+bx+c(a,b,c 是常数,a≠0)的函数，叫做二次函数. （三）重难点精讲 例1 用总长为60m 的篱笆围成矩形场地，场地面积S(m 2)与矩形一边长a(m)之间的关系是什么？ 2(602)30.2 a S a a a -=? =-+ 例2 （1）m 取什么值时，此函数是正比例函数？ （2） m 取什么值时，此函数是二次函数？ 解：由（1）可知, 271, 30,m m ?-=?+≠? 解得：=m ± 由（2）可知，272,30,m m ?-=?+≠? 解得m=3 归纳：本题考查正比例函数和二次函数的概念，这类题紧扣概念的特征进行解题.尤其第2问要保证二次项系数m+3≠0. 例3 下列函数中，（x 是自变量），哪些是二次函数？为什么？ ① y=ax 2+bx+c ② s=3-2t 2 ③y=x 2 ④21y x = ⑤y=x 2+x 3+25 ⑥ y=(x +3)2-x 2 明确：②③ ①不一定是，缺少a ≠0的条件；④不是，右边是分式；⑤不是，x 的最高次数是3；⑥可以化成y=6x+9。 （四）归纳小结 小结：判断一个函数是不是二次函数，先看原函数和整理化简后的形式再作判断.除此之外，二次函数除有一般形式y=ax 2+bx+c(a ≠0)外，还有其特殊形式如y=ax 2,y=ax 2+bx,y=ax 2 +c 等. （五）随堂检测 1、把y=(2-3x)(6+x)变成一般式，二次项为_____,一次项系数为______，常数项为 . 2.函数 y=(m-n)x 2+ mx+n 是二次函数的条件是( ) A . m,n 是常数,且m ≠0 B . m,n 是常数,且n ≠0 C. m,n 是常数,且m ≠n D . m,n 为任何实数 二次函数y a b c的图像 和性质教案 Company number【1089WT-1898YT-1W8CB-9UUT-92108】 2＋bx＋c的图像和性质 教学内容 二次函数y＝ax2＋bx＋c的图像和性质 教材分析 二次函数是在学生系统学习了函数概念，基本掌握了函数的性质的基础上进行研究的，在初中的学习中已经给出了二次函数的图象及性质，学生已经基本掌握了二次函数的图象及一些性质，只是研究函数的方法都是按照函数解析式---定义域----图象----性质的方法进行的，基于这种情况，我认为本节课的作用是让学生借助于熟悉的函数来进一步学习研究函数的更一般的方法，即：利用解析式分析性质来推断函数图象。它可以进一步深化学生对函数概念与性质的理解与认识，使学生得到较系统的函数知识和研究函数的方法，站在新的高度研究函数的性质与图象。因此，本节课的内容十分重要。 学情分析 教学目标 1.知识与技能 使学生掌握用描点法画出函数y＝ax2＋bx＋c的图象。 2.过程与方法 使学生掌握用图象或通过配方确定抛物线的开口方向、对称轴和顶点坐标。 3.情感态度价值观 让学生经历探索二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象的开口方向、对称轴和顶点坐标以及性质的过程，理解二次函数y＝ax2＋bx＋c的性质。 教学重难点 重点：用描点法画出二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象和通过配方确定抛物线的对称轴、顶点坐标。 难点：理解二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的性质以及它的对称轴(顶点坐标分别是x＝－b/2a、(－b/2a，4ac－b2/4a) 教学方法和手段 讲授法、练习法 学法指导 讲授指导 教学过程 （一）提出问题导入新课 1．你能说出函数y＝－4(x－2)2＋1图象的开口方向、对称轴和顶点坐标吗具有哪些性质? 2．函数y＝－4(x－2)2＋1图象与函数y＝－4x2的图象有什么关系? 3．不画出图象，你能直接说出函数y＝-1/2x2-6x+21的图象的开口方向、对称轴和顶点坐标吗?通过今天的学习你就明白了 （二）学习新知 1、思考：像函数 y＝－4(x－2)2＋1很容易说出图像的顶点坐标，函数y＝-1/2x2-6x+21能画成y=a(x－h)2＋k 这样的形式吗 5.4二次函数的图像和性质(1) 教材分析： 本节内容是在学生已经学习过的一次函数、反比例函数的图象与性质，以及二次函数的有关概念的基础上进行的，它既是前面所学知识的应用、拓展，又是对前面所学一次函数、反比例函数图象与性质的一次升华，还是今后学习的基础，在教材中起着非常重要的作用． 教学设计： 本课一开始先让学生回忆用描点法画函数图象的一般步骤和方法，然后根据表中的各对对应值，在直角坐标系中描出相应的各点，用光滑的曲线连接，画出图象．通过画出图象，让学生分析、归纳二次函数的图象与性质. 教学目标： 知识与技能：1.掌握二次函数的图象的作法及其性质，会根据图象用数学语言表达图象的性 质． 2.能分清当a>0,a<0时图象之间有什么共同点与不同点． 过程与方法：通过对二次函数图象与性质的发现，提高分析、归纳等能力，体验数学中的数 形结合思想的应用. 情感态度和价值观：引导学生养成全面看问题，分类讨论的学习习惯，通过直观多媒体演示 和学生动手作图、分析，激发学生学习数学的积极性． 教学重难点： 重点：能在直角坐标系中，正确画出二次函数的图象，并能说出二次函数的图象的性质. 难点：作二次函数图象时要选取适当的点，选取适当数目的点. 课前准备 教具准备 教师准备PPT 课件 课时安排：4课时 教学过程： 知识回顾： 一次函数:y =kx +b (k ≠0) 图象:直线 反比例函数： (k ≠0)图象:双曲线 问:1．如何画出函数图象呢? 2．如何得到相应的性质呢? 【设计意图】： 通过对一次函数和反比例函数解析式、图象的回顾，一方面巩固学生的旧知，另一方面对本节课的学习起到类比作用. 合作探究一: 二次函数y=ax 2 (a>0)的图象 请同学们用描点法按下列要求画图： k y x 《二次函数复习》教学案 班级：初三18班年级：九设计者：李玲时间：2015年10月16日 关基础知识．同学们之间可以相互补充，体现团结协作精神．同时发展了学生的探究意识，培养了学生思维的广阔性． 基础知识之基础演练 二次函数是生活中最常见的一类函数，它有着自己固有的性质，反映的是轴对称性和增减性； 我们要突出反映二次函数的轴对称性、顶点坐标，我们就可以把一般式改写成顶点式；如果想知道抛物线与x轴两个交点的情况，我们可以把一般式写出交点式； 刚刚我们回顾了二次函数的性质，我们发现二次函数的图像能够直观地反映函数的特性，而数又能细致刻画函数图像的大小和位置，下面就让我们遵循着数形结合的线索，继续对二次函数进行深入的研究。 难点突破之思维激活1、如果把抛物线绕 ()4 12+ + - =x y顶点旋转 180°，则该抛物线对应的解析式是 . 若把新抛物线再向右平移2个单位，向下平 移3个单位，则得到的抛物线对应的解析式 是 . 抛物线的平移——点的平移 难点突破之聚焦中考2、问题①，结合图像思考： 方程 ()1 4 12= + + -x 有几个实数解？ 问题②，结合图像思考： 当m为何值时，方程 ()m x= + + -4 12 1）有两个不相等的实数根； 2）有两个相等的实数根； 3）没有实数根？ 问题③ 其实方程、不等式本身就 有一个代数的解法，我们现在 也用图像解法 我们通过三个题目把这 个知识的层次性展示出来，方 程、不等式都可以转化成函数 的图像来解 若直线 m kx y +=1与抛物线 c bx ax y ++=22交于A （1,0） 、B （-1，4） 两点，观察图像填空： 1）方 程 m kx c bx ax +=++2的解 为 ； 2）不等式 m kx c bx ax +>++2的解 为 ； 3）不等式 m kx c bx ax +<++2的解 为 ； 反思与 提高 1、本节课你印象最深的是什么？ 2、通过本节课的函数学习，你认为自己 还有哪些地方是需要提高的？ 3、在下面的函数学习中，我们还需要注意 哪些问题？ 教者归纳本章知识网络图示 让学生自己总结一节课的得失，教者进行适当的点评．真正体现出学生是学习的主体．为今后自主学习奠定基础，由此达到数学教学的新境界——提升思维品质，形成数学素养． 二次函数图象的几何变换 内容基本要求略高要求较高要求 二次函数 1.能根据实际情境了解 二次函数的意义； 2.会利用描点法画出二 次函数的图像； 1.能通过对实际问题中 的情境分析确定二次函 数的表达式； 2.能从函数图像上认识 函数的性质； 3.会确定图像的顶点、 对称轴和开口方向； 4.会利用二次函数的图 像求出二次方程的近似 解； 1.能用二次 函数解决简 单的实际问 题； 2.能解决二 次函数与其 他知识结合 的有关问 题； 一、二次函数图象的平移变换 （1）具体步骤： 先利用配方法把二次函数化成2 () y a x h k =-+的形式，确定其顶点(,) h k，然后做出二次函数2 y ax =的图像，将抛物线2 y ax =平移，使其顶点平移到(,) h k.具体平移方法如图所示： （2）平移规律：在原有函数的基础上“左加右减”. 二、二次函数图象的对称变换 二次函数图象的对称一般有五种情况，可以用一般式或顶点式表达 1. 关于x 轴对称 2y ax bx c =++关于x 轴对称后，得到的解析式是2y ax bx c =---； ()2 y a x h k =-+关于x 轴对称后，得到的解析式是()2y a x h k =---； 2. 关于y 轴对称 2y ax bx c =++关于y 轴对称后，得到的解析式是2y ax bx c =-+； ()2 y a x h k =-+关于y 轴对称后，得到的解析式是()2y a x h k =++； 3. 关于原点对称 2y ax bx c =++关于原点对称后，得到的解析式是2y ax bx c =-+-； ()2y a x h k =-+关于原点对称后，得到的解析式是()2y a x h k =-+-； 4. 关于顶点对称 2 y ax bx c =++关于顶点对称后，得到的解析式是2 2 2b y ax bx c a =--+-； ()2 y a x h k =-+关于顶点对称后，得到的解析式是()2y a x h k =--+． 5. 关于点()m n ，对称 ()2 y a x h k =-+关于点()m n ，对称后，得到的解析式是()222y a x h m n k =-+-+- 根据对称的性质，显然无论作何种对称变换，抛物线的形状一定不会发生变 22.1 二次函数（第二课时） 教学目标： 1.会用描点法画出形如y = ax 2 的二次函数图象，了解抛物线的有关概念； 2．通过观察图象，能说出二次函数y = ax 2 的图象特征和性质； 3．在类比探究二次函数y = ax 2 的图象和性质的过程中，进一步体会研究函数图象和性质的基本方法和数形结合的思想 教学重点：会用描点法画出二次函数y=ax2的图象，观察图象，得出二次函数y = ax 2 的图 象特征和性质。 教学难点：抛物线的图像特征。 教学过程： 一、问题引新 1，同学们可以回想一下，一次函数的性质是什么? 2．我们能否类比研究一次函数性质方法来研究二次函数的性质呢? 3．一次函数的图象是什么？二次函数的图象是什么? 二、学习新知 1、例1、画二次函数y=2x2与y=2x2的图象。（有学生自己完成） 解：(1)列表：在x的取值范围内列出函数对应值表： 找一名学生板演画图 提问：观察这个函数的图象，它有什么特点? （让学生观察，思考、讨论、交流，） 2、归纳： 抛物线概念：像这样的曲线通常叫做抛物线。抛物线与它的对称轴的交点叫做抛物线的 顶点．顶点坐标（0，0） 3、运用新知 （1）．观察并比较两个图象，你发现有什么共同点？又有什么区别? （2）．课件出示：在同一直角坐标系中，y=2x2与y=-2x2的图象，观察并比较 （3）．将所画的四个函数的图象作比较，你又能发现什么?（课件出示）让学生观察y＝x2、y＝2x2的图象，填空； 当a>0时，抛物线y=ax2开口______，在对称轴的左边，曲线自左向右______；在对称 轴的右边，曲线自左向右______，______是抛物线上位置最低的点。 当X<0时，函数值y随着x的增大而______，当X>O时，函数值y随X的增大而______； 当X＝______时，函数值y=ax2 (a>0)取得最小值，最小值y=______ 1.以具体实践案例为基础，理解二次函数的深刻内涵及有关概念，感受现实问题中两个变 2.体会数量关系变化的过程，学会使用“二次函数”这一数学模型； 3. 使学生能够正确建立直角坐标系，从而应用二次函数的图象和性质解决实际问题； 4. 培养学生数学建模能力（包括理解实际问题的能力，抽象分析问题的能力，运用数学知识的能力和通过实际加以检验的能力，体会数学知识的现实意义，激发学生学习数学的热情； 教学重点及难点： ㈠教学重点： 1、将生活中的实际问题转化为数学问题。 2、将实际问题中的数量关系，归结二次函数变量之间的关系，从而利用二次函数知识解 决实际问题。 ㈡教学难点： 1、将实际问题转化为数学问题。 解：如图，建立平面直角坐标系，点（4，4）是图中这段抛物线的顶点，因此可设这段抛物线对应的函数为：2 (4)4y a x =-+, (08)x ≤≤ 209 抛物线经过点（0，） 220(04)49 a ∴=-+ 19 a ∴=- 21(4)49 y x ∴=--+ 208y 9 x ==当时， ∵篮圈中心距离地面3米,20y 39 =< ∴此球不能投中 问题;若假设出手的角度和力度都不变,则如何才能使此球命中? 预设:（1）跳得高一点 （2） 向前平移一点 【设计意图】通过这一问题，让学生思考角度和力度都不变,，与哪些数学知识点有关，体会实际问题中的语言，与数学知识点的转化，进而体会抛物线上下、左右的平移应用。 (1)在出手角度和力度都不变的情况下,小明的出手高度为多少时能将篮球投入篮圈? (2)在出手角度、力度及高度都不变的情况下，则小明朝着篮球架再向前平移多少米后跳起投篮也能将篮球投入篮圈？ 三、学以致用，巩固提高 练习： 一场足球比赛中, 一球员从球门正前方17m 处将球踢起正射向球门, 球飞行路线为抛物线, 当球飞行水平距离为1 0m时，球到达最高点，此时球高4米。在球门正前方1m 处只有一名身高1.85m的后卫, 他的最大弹跳高度为o.8m，若此时该后卫起跳及时，他能否拦住球? 为什么? 若没有这名后卫, 球能否射进球门(在不考虑守门员等情况下) ? ( 球门高:2.44m) 实际问题与二次函数 【教学目标】 一、知识与技能： 能够分析和表示实际问题中变量之间的二次函数关系，并运用二次函数的知识求出实际问题的最大（小）值，发展解决问题的能力。 二、过程与方法： 应用已有的知识，经过自主探索和合作交流尝试解决问题。 三、情感态度与价值观： 在经历和体验数学发现的过程中，提高思维品质，在勇于创新的过程中树立人生的自信心。【教学重难点】 1.探究利用二次函数的最大值（或最小值）解决实际问题的方法。 2.如何将实际问题转化为二次函数的问题。 【教学过程】 一、复习旧知、导入新课 1．写出下列抛物线的开口方向、对称轴和顶点坐标。 （1）y＝6x2＋12x；（2）y＝－4x2＋8x－10 以上两个函数，哪个函数有最大值，哪个函数有最小值？说出两个函数的最大值、最小值分别是多少？ 有了前面所学的知识，现在就可以应用二次函数的知识去解决生活中的实际问题。 二、学习新知 1.应用二次函数的性质解决生活中的实际问题 出示例1.要用总长为60m的篱笆围成一个矩形的场地，矩形面积S随矩形一边长L的变化而变化，当L是多少时，围成的矩形面积S最大？ 解：设矩形的一边为Lm，则矩形的另一边为(30－L)m，由于L＞0，且30－L＞O，所以O＜L＜30。围成的矩形面积S与L的函数关系式是 S＝L(30－L) 即S＝－L2＋30L (有学生自己完成，老师点评) 2.练一练： 某商店将每件进价8元的某种商品按每件10元出售，一天可销出约100件，该店想通过降低售价，增加销售量的办法来提高利润，经过市场调查，发现这种商品单价每降低0.1元，其销售量可增加约10件。将这种商品的售价降低多少时，能使销售利润最大？ 请同学们完成解答；教师巡视、指导；师生共同完成解答过程： 解：设每件商品降价x元(0≤x≤2)，该商品每天的利润为y元。 商品每天的利润y与x的函数关系式是： y＝(10－x－8)(100＋1OOx) 即y＝－1OOx2＋1OOx＋200 配方得y＝－100(x－12)2＋225 因为x＝12时，满足0≤x≤2，所以当x＝12时，函数取得最大值，最大值y＝225． 所以将这种商品的售价降低0.5元时，能使销售利润最大。 三、课堂小结 小结：让学生回顾解题过程，讨论、交流，归纳解题步骤： （1）先分析问题中的数量关系，列出函数关系式； （2）研究自变量的取值范围； （3）研究所得的函数； （4）检验x的取值是否在自变量的取值范围内，并求相关的值： （5）解决提出的实际问题。 二次函数的概念教学设计 芷兰实验学校佳雪 一、教材分析： 1、教材的地位和作用 二次函数是在学生学习了一次函数、正比例函数、反比例函数的基础上，来学习的一个新的函数，学习二次函数将为一元二次方程的解法提供新的方法和途径，并使学生更为深刻的理解“数形结合”的重要思想，为后来学习二次函数的图象做铺垫，更是高中学习阶段不可缺少的一类重要函数，在学业水平测试中占有较大比例，更是压轴题的热门. 2、学情分析 从心理特征来说，初中阶段的学生观察能力，记忆能力和想象能力迅速发展。但同时，学生进入九年级之后，上课气氛比较沉闷，不爱发表自己的见解，所以本节课我将利用生活中的视频，图片和时事问题引发学生的兴趣，创造条件和机会，让学生发表见解，发挥学习的主动性。 从认知状况来说，学生已经学习了一次函数、正比例函数、反比例函数，对函数概念已经有了认识，但对于得出二次函数的概念（由于其抽象程度较高，）学生可能会产生一定的困难，所以我将结合生活中的图片和实例予以引导。 二、教学目标分析 1、知识目标：掌握二次函数的概念，理解二次函数的一般式，初步运用二次函数解决简单应用题，了解如何根据实际问题确定自变量的取值围。 2、能力目标：通过视频图片的引入，培养学生的观察力，抽象概括能力及创造想象能力 3、情感目标：通过观察、讨论、合作交流等数学活动加深对二次函数概念的理解，发展学生的数学思维，增强学好数学的信心． 4、教学重点难点：新概念教学指出，正确的理解数学概念是牢固掌握数学知识，灵活运用知识解决问题的金钥匙，所以本节课的重点是对二次函数概念的理解。难点是由实际问题确定函数解析式和自变量的取值围。 三、课堂结构设计 1、设计理念：形的引入，揭示为什么学二次函数，再数的解析，得出什么是二次函数，最后达到数形结合的统一、 2、为充分发挥学生的主体性和教师的主导辅助作用，教学过程中设计了六个教学环节：（1）联系生活，引出概念 （2）合作交流，提炼概念 （3）全面剖析，理解概念 （4）例题讲练，运用概念 （5）拓展延伸，升华概念 （6）归纳小结，整理概念 二次函数的图像与性质的教案（3） 【目标】 1. 经历探索二次函数y ＝ax 2(a ≠0)及y ＝a(x-h)2 (a ≠0)的图象作法和性质 的过程； 2. 能够理解函数y ＝a(x-h)2 (a ≠0)与y ＝ax 2的图象的关系，了解a,h,k 对 二次函数图象的影响。 3．能正确说出函数 y ＝a(x-h)2的图象的开口方向，顶点坐标和对称轴。 【重点】 理解函数y ＝a(x-h)2 (a ≠0)与y ＝ax 2的图象的关系及性质； 【难点】 理解函数y ＝a(x-h)2 (a ≠0)与y ＝a x 2的图象的关系及性质； 同学们还记得一次函数y=2x 与y=2(x-1)的图象的关系吗？ 你能由此推测二次函数2 x y =与y =(x-1)2的图象之间的关系吗？那么 2x y =与y=(x-1)2的图象之间又有何关系？ 动手操作、探究： 在同一平面内画出函数2 x y =与y=(x-1)2的图象。比较它们的性质，你可以 得到什么结论？ 【探究问题1】 形如 的二次函数的开口方向，对称轴，顶点坐标各是什么？ 我们已经了解到，函数k ax y +=2的图象，可以由函数2ax y =的图象上下 平移所得，那么函数2)2(2 1-=x y 的图象，是否也可以由函数221x y =平移 而得呢？画图试一试，你能从中发现什么规律吗？ 1、在平面直角坐标系中，并画出函数2)1(+=x y 的图象。 2、比较它与函数2 x y =的图象之间的关系。 结论： （1）抛物线y=a(x-h)2(a ≠0)与抛物线y ＝ax 2(a ≠0)的形状一样，只是位置不 同，因此抛物线y=a(x-h)2可通过平移抛物线y ＝ax 2(a ≠0)得到。当h ＞0时， 把抛物线y ＝ax 2(a ≠0)向左平移|h|个单位得到抛物线y=a(x-h)2，当h<0时， 把抛物线y ＝ax 2(a ≠0)向右平移|h|个单位得到抛物线y=a(x-h)2 2.3二次函数的性质 教学目标:1.从具体函数的图象中认识二次函数的基本性质. 2.了解二次函数与二次方程的相互关系. 3.探索二次函数的变化规律,掌握函数的最大值(或最小值)及函数的增减性的概念,会求二次函数的最值,并能根据性质判断函数在某一范围内的增减性 重点:二次函数的最大值,最小值及增减性的理解和求法. 难点:二次函数的性质的应用. 教学过程: 一. 复习引入 二次函数: y=ax2 +bx + c (a ≠ 0)的图象是一条抛物线,它的开口由什么决定呢? 补充: 当a 的绝对值相等时,其形状完全相同,当a 的绝对值越大,则开口越小,反之成立. 二,新课教学: 1.探索填空: 根据下边已画好抛物线y= -2x 2的顶点坐标是 , 对称轴是 ， 在 侧，即x_____0时, y 随着x 的增大而增大；在 侧，即x_____0时, y 随着x 的增大而减小. 当x= 时，函数y 最大值是____. 当x____0时,y<0. 2. 探索填空:根据上边已画好的函数图象填空： 抛物线y= 2x2的顶点坐标是 , 对称轴是 ，在 侧，即x_____0时, y 随着x 的增大而减少；在 侧，即x_____0时, y 随着x 的增大而增大. 当x= 时，函数y 最小值是____. 当x____0时,y>0 3.归纳: 二次函数y=ax2+bx+c(a ≠0)的图象和性质 (1).顶点坐标与对称轴 (2).位置与开口方向 (3).增减性与最值 当a ﹥0时，在对称轴的左侧，y 随着x 的增大而减小；在对称轴的右侧，y 随着x 的增大 而增大；当 时，函数y 有最小值 。当a ﹤0时，在对称轴的 左侧，y 随着x 的增大而增大；在对称轴的右侧，y 随着x 的增大而减小。当 时，函数y 有最大值 4.探索二次函数与一元二次方程 a 2b x -=a 2b x -=a 4ac 4b 2-a 4ac 4b 2 - 二次函数平移专项练习题 平移规律：针对顶点式抛物线的解析式是“左加右减（括号内），上加下减” 要注意如果知道了顶点坐标在移动时是“左减右加” ｜a ｜的大小决定抛物线开口的大小,｜a ｜越大,抛物线的开口越小. a>0时 抛物线开口向上，反之向上 c>0时 抛物线交y 轴于正半轴，反之在负半轴 a 、 b 同号时 对称轴在y 轴左侧，异号时在右侧 抛物线平移时只有二次项系数a 是不变的 1、 把抛物线2y x =-向左平移一个单位，然后向上平移3个单位，则平移后抛 物线的表达式为（ ） A. 2(1)3y x =--+ B. 2(1)3y x =-++ C. 2(1)3y x =--- D. 2(1)3y x =-+- 根据左加右减、上加下减可得：B. 2(1)3y x =-++ 2、将函数2y x x =+的图像向右平移(0)a a >个单位，得到函数232y x x =-+的图像，则a 的值为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 由：2 y x x =+=-（x+21）2-41 232y x x =-+=(x-23)2-4 1 得：a=21-（-23）= 2 ，所以选B 3、抛物线2y x bx c =++的图像向右平移2个单位长度，再向下平移3个单位长度，所得图像的函数解析式为y=x 2-2x-3，则b 、c 的值为（ ） A.b=2，c=3 B.b=2，c=0 C.b=-2.，c=-1 D.b=-3，c=2 由y=x 2-2x-3=(x-1)2 -4， 再根据左加右减、上加下减可得平移前的解析式为： y=(x+2-1)2-4+3=x 2 +2x 所以：b=2 c=0 4、要从抛物线y=-2x 2的图象得到y=-2x 2-1的图象，则抛物线y=-2x 2必须 [ ] A ．向上平移1个单位； B ．向下平移1个单位； C ．向左平移1个单位； D ．向右平移1个单位． 根据上加下减可得：B 5、将抛物线y=-3x 2的图象向右平移1个单位，再向下平移两个单位后，则所得抛物线解析式为 [ ] A ．y=-3(x-1)2-2； B ．y=-3(x-1)2+2； C ．y=-3(x+1)2-2； D ．y=-3(x+1)2+2． 根据左加右减、上加下减可得：A ．y=-3(x-1)2-2； 6、要从抛物线212y x =-得到21(1)32y x =-+-的图像，则抛物线y=-21x 2必须[ ] A ．向左平移1个单位，再向上平移3个单位； B ．向左平移1个单位，再向下平移3个单位； C ．向右平移1个单位，再向上平移3个单位； D ．向右平移1个单位，再向下平移3个单位． 根据左加右减、上加下减可得：B ．向左平移1个单位，再向下平移3个单位 7. 把二次函数2x y -=的图象先向右平移2个单位，再向上平移5个单位后得到一个新图象，则新图象所表示的二次函数的解析式是 ( ) A. ()522+--=x y B. ()522++-=x y苏教版九年级下册6.1二次函数教案
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