数列常用性质
①
?????=+=+?+=+q
p n m q p n m a a a a a a a a q p n m ·等比数列
等差数列
②等差数列中
()n k kn n n n n n S S S S S S S 1232,,--??--也成等差数列
等比数列中
()n k kn n n n n n S S S S S S S 1232,,--??--也成等比数列
③等差数列
()()()()()122
122
121211
2-?=-?+=
-?+=--n a n a a n a a S n
n n n n
常用求和公式
①2
)1(321n n n ?+=++++
②2
)12(7531n n =-+++++
③
)12)(1(6
1
3212
2
2
2
++=++++n n n n
④
第一组公式的平方
2
3
3
3
3
2)1(321???
?
??+=++++n n n
常用求和技巧： ①裂相相加
7
6711)7161()4131()3121()211(7
616515414313212114213011216121=
-=-++-+-+-=?+
?+?+?+?+?=++++
②分组求和
()()()()()()55
1155555263110158136112610863117151311=?=++++=-++-+-+-=++++-+++++
③错位相减法
等差数列与等比数列的乘积 ④反序相加法
把数列倒过来排序，与原数列相加有公因式可提 例1．设{}n a 公差为正数的等差数列 若
_______
80,15131211321321=++==++a a a a a a a a a 则
解一 设{}n a 首项为a1,公差为d
()()()??
?==????
????
==+==+???
?=+?+?==+=++32165802·5315802··
153311111113211321d a d a a d a d a d a a a a a d a a a a 解二 设中间量法 设
()()??
?-=±==?=???+-=?+-)
3(35
80
·15
3,,22222222舍去d d a d a a d a a d a a d a
105
333233*********
,5,21111131211321=?+?=+=+++++=++=d a d
a d a d a a a a a a a
例2．在等比{}n a 中；{}1,,21+=n n a S n a 若数列项和为前 也是等比数列，则
n
S 等于
()221-+n A ()n B 3 ()n C 2 ()13-n D
解：设公比为2
3
222,q a q a q ==则
()()
()
每个数都相等常数列,210120
242361441
23121211211
21222222
2321n
S q q q q q q q q q q q a q a a n =?=?=+-?=+-?+=++?+?=+??
????+=++=++=+
例3．已知数列{}n a ，{}n b 都是公差为1的等差数列，
其首项分别为
(){}n b n C N n a C N b a b a b a n 则数例
设且,,,,5,,1111++∈=∈=+ 的前10项和等于（ ）
()()85
454012
9
104101
43
251
11111
1100
8570551011111111=+=??+?===+=-+=--++=-+==??
?-+=-+=-+=-+=S d c n n n b a b a a C n b d n b b n a d n a a D C B A n b n n n n
难点在于代换。
例4．在等差数{}n a 中，若
{}9
64,12S ，n a S a a n n 则项和前是数列=+的值为_____。
()54
2
9122
9)(2
966
60544864919
=?=?+=?+=a a a a S D 、C 、B 、A 、
例5．在等差数列
{}n a 中，已知
_________,13,2654321等于则a a a a a a ++=+=。
45434240D C B A
解：设公差为d
()()()()14
34242
33
93132225555556465432=?+===++=++=++=?==+++=+a a a a a a a a a a a d d d d a a 方法一：
方法二：
()()()()()
42
1322727
933654362514321654=++=++∴==?=-+-+-=++-++a a a d d a a a a a a a a a a a a
例6.设n
S 为等差数列{}n a 的前n 项和，若
5
1010
5-==S S ，则公差为_____：
法一：
1
25255
29
101010
24
5511015-==-?-=?+==?+=d d d a S d a S
法二：
1
252525
555551510510109876510543215-=-=-=++++-??
?-=--=++++=-=++++=d d d d d d d a a a a a S S a a a a a S 上式下式
例7、已知正项数列{}n a ，其前n 项和n S 满足
,,,,651015312
a a a a a S n n n 且++=成等比数列，求数列{}n a 的通项n a 。
解：
()265106
51012112≥++=++=---n a a S a a S n n n n n n
①—②：12
12155)(10----+-=-n n n n n n a a a a S S
()()6
51015
05005)
055(55055101211111112212121
2
12++===-?=--∴>+=--+?=------=?-+-=---------a a a n a a a a a a a a a a y x y x a a a a a a a a a n n n n n n n n n n n n a n n n n n n 令
不满足条件
若满足条件若如果如果或73133,2572122,352
5)1(53335)1(5223
2065153115311111121===-====-=-=-+==-=-+====?=+-?a a a n a a a a n a n n a a n n a a a a a a n n n n
例8：设n S 是等差数列{}n a 的前n 项和
若
==12
6
63,31S S S S 则__________
解：由于{}n a 是等差数列
10
3103104334344,323,,,126691291269366391269363==?=++=++=+==-=-?=-?==---k k S S k
k
k k k
k S k S S k S S k S S k
S S k
S K S S S S S S S S 设成等差数列
例9．已知某等差数列共有10项，其奇数项之和为15， 偶数之项和为30，则其公差为______ A 、2 B 、3 C 、4 D 、5 解：15=++++=-d d d d d S S 奇偶 分组求和，对应相减。
例10．若互不相等的实数c b a 、、成等差数列，
b a
c 、、成等比数列，且103=++c b a
______=a 则
A 、4
B 、2
C 、-2
D 、-4 设()设中间量法d
b c d
b a +=-=
则d b b d b c b a +-,.为、、
0)3(32)()(22
2
2
22=-?=?+=+-?+=-?=?b d d bd d bd b d bd b d b b d b bc a b a c 成等比数列，、
由于c b a 、、互不相等所以
421043210
3432330
30-==?=++-=++??
?=+===-=-=-=?=?=-?≠a b b b b c b a b b b d b c b
b b d b a b d b d d 代入
例11．在数列{}n a 中，若()132111≥+==+n a a a n n 则该数列的通项_______=n
a
解：
()3
22
2
42)3(3)3(233223211
1
1
11111-==?=?+=++=+=?+=+=++=++--++++n n n n n n n n n n n n n n a a a a a a a a a a a 代回原式令λλλλ
例12．已知数列{}n a 中(
)
()n n n a a a a 求,212,211+-=
=+
解：
)
(
)
)
)
)
)
)
)(
{
)
11111112212
222121n n n n n n n n
a a a a a a a a
λλλλ
λ
λλλ++++=-+=
-+
--=
-+--=
-?-=-=-=-=
-----是首项为公比为
的等比数列
(
)
()
]
112[21
22
2+-=∴-=-n
n n
n a a
1
1-=
+=+b c c ba a n n λ
例13已知n n n a a S S 求,1,1211=+=+
()
()()()1
111111
2221
212211211
2222----+++=-=---=-==++=+=∴+=-+=+=+n n n n n n n n n
n n n n n n n n S S a S S S S S S S ：S
λλλλλλ解
等差数列及其性质 典型例题： 热点考向一：等差数列的基本量 例1. 在等差数列{n a }中， （1） 已知81248,168S S ==，求1,a 和d （2） 已知6510,5a S ==，求8a 和8S 变式训练： 等差数列{}n a 的前n 项和记为n S ，已知 102030,50a a ==. （1）求通项公式{}n a ； （2）若242n S =，求n . 热点考向二：等差数列的判定与证明. 例2：在数列{}n a 中，11a =，1114n n a a +=- ，221 n n b a = -，其中* .n N ∈ （1）求证：数列{}n b 是等差数列； （2）求证：在数列{}n a 中对于任意的* n N ∈，都有 1n n a a +>. （3 ）设n b n c =，试问数列{n c }中是否存在三项，使它们可以构成等差数列？如果存在，求出这三项；如果不存在，请说明理由. 跟踪训练：已知数列{n a }中，13 5 a = ，数列11 2,(2,)n n a n n N a *-=-≥∈，数列{n b }满足 1()1 n n b n N a *=∈- （1）求证数列{n b }是等差数列； （2）求数列{n a }中的最大项与最小项. 热点考向三：等差数列前n 项和 例3 在等差数列{}n a 的前n 项和为n S . （1）若120a =，并且1015S S =，求当n 取何值时，n S 最大，并求出最大值； （2）若10a <，912S S =，则该数列前多少项的和最小？ 跟踪训练3：设等差数列}{n a 的前n 项和为n S ，已知 .0,0,1213123<>=S S a （I ）求公差d 的取值范围； （II ）指出12321,,,,S S S S 中哪一个最大，并说明理由。 热点考向四：等差数列的综合应用 例4.已知二次函数y ＝f (x )的图象经过坐标原点，其导函数为f ′(x )＝6x －2，数列{a n }的前n 项和为S n ，点列(n ，S n )(n ∈N *)均在函数y ＝f (x )的图象上． (1)求数列{a n }的通项公式； (2)设b n ＝3 a n a n ＋1，T n 是数列{b n }的前n 项和，求使得 T n
“数列基本性质”（A ） 【教学目标】 教学目标1：掌握数列基本性质，数列前n 项和S n 与数列每一项a n 的关系； （难度系数：★☆☆☆☆） 数学目标1： 掌握数列基本性质，数列前n 项和S n 与数列每一项a n 的关系 例1、（原创）已知数列{a n }前n 项和为S n ，2n S an bn =+，其中,a b ∈，0a ≠且为定值，求证数列{a n }为等差数列。 例2、（原创）已知数列{a n }前n 项和为S n ，()1n n S a b =-，，其中,a b ∈为定值且0a ≠， 1b ≠，求证数列{a n }为等比数列。 例3、（改编）已知数列 ，满足，其中 (I) 若，求数列的通项公式； (II) 若，且。设6k k i c a +=，i 为{0,1,2,3,4,5}中任意一个固定的数。求证{c k }为等差数列
例4、（改编）已知数列{}() :2,n A a n n +≥∈Z 满足10n a a ==，且对于所有2,3,...,1i n =-有11i i a a --=，S n 为数列{a n }前n 项和。 (I) 求证：n 为奇数 (II) 求S n 最大值 (III) 是否存在数列A 使得()234n n S -=，若存在则找出数列A ，若不存在则给出证明。 【练习】 一、选择题 1、设a n ＝－n 2＋10n ＋11，则数列{a n }从首项到第几项的和最大（ ） A ．第10项 B ．第11项 C ．第10项或11项 D ．第12项 2、数列7130,,,...55- 的一个通项公式是（ ） A ． B ． C ． D ． 3、已知（z-x ）2=4（x-y ）（y-z ），则（ ）
等差数列的性质、求和知识点及训练 重点：掌握等差数列的通项公式、求和公式以及等差中项的求法 难点:对等差数列的综合考察 一知识梳理 1.定义：d a a n n =--1（d 为常数）（2≥n ）； 2．等差数列通项公式： * 11(1)()n a a n d dn a d n N =+-=+-∈ ， 首项:1a ，公差:d ，末项:n a 推广： d m n a a m n )(-+=． 从而m n a a d m n --=； 3．等差中项 （1）如果a ，A ，b 成等差数列，那么A 叫做a 与b 的等差中项．即：2 b a A += 或b a A +=2 （ 2 ） 等 差 中 项 ： 数 列 {} n a 是等差数列 )2(211-≥+=?+n a a a n n n 212+++=?n n n a a a 4．等差数列的前n 项和公式： 1()2n n n a a s += 1(1)2n n na d -=+211 ()22 d n a d n =+-2An Bn =+ （其中A 、B 是常数） （当d ≠0时，S n 是关于n 的二次式且常数项为0） 5．等差数列的判定方法 （1）定义法：若d a a n n =--1或d a a n n =-+1(常数* ∈N n )? {}n a 是等差数 列．
（2）等差中项：数列 {} n a 是等差数列 )2(211-≥+=?+n a a a n n n 212+++=?n n n a a a ． （3）数列{}n a 是等差数列?b kn a n +=（其中b k ,是常数）。 （4）数列{}n a 是等差数列?2 n S An Bn =+,（其中A 、B 是常数）。 6．等差数列的证明方法 定义法：若d a a n n =--1或d a a n n =-+1(常数* ∈N n )? {}n a 是等差数列． 7.提醒：（1）等差数列的通项公式及前n 和公式中，涉及到5个元素：1a 、d 、 n 、n a 及n S ，其中1a 、d 称作为基本元素。只要已知这5个元素中的任意3个，便 可求出其余2个，即知3求2。 （2）通常把题中条件转化成只含1a 和d 的等式！ 8.等差数列的性质： （1）若公差0d >，则为递增等差数列，若公差0d <，则为递减等差数列，若公差 0d =，则为常数列。 （2）当m n p q +=+时,则有q p n m a a a a +=+，特别地，当2m n p +=时，则有 2m n p a a a +=. (3) 若{n a }是等差数列，则232,,n n n n n S S S S S -- ，…也成等差数列 （公差为md ） 图示： m m m m m m S S S m m S S m m S m a a a a a a a a 323231221321-+-+++++++++++ （4）若等差数列{}n a 、{}n b 的前n 和分别为n A 、n B ，且()n n A f n B =， 则 21 21 (21)(21)(21)n n n n n n a n a A f n b n b B ---===--. （5）若{}n a 、{}n b 为等差数列，则{}n n a b ±为等差数列 (6)求n S 的最值 法一：直接利用二次函数的对称性：由于等差数列前n 项和的图像是过原点的二次函数，故n 取离二次函数对称轴最近的整数时，n S 取最大值（或最小值）。若S p = S q 则
等差数列 一、等差数列的定义以及证明方法： 1、定义：若数列{a n }中，对于任意两项a n ，a n -1均有：a n -a n -1=d （d 为常数），则数列{a n }为等差数列. 注意一些等差数列的变形形式，如： 111n n d a a +-=（d 为常数，此时，数列{1 n a }为等差数列） d =(d 为常数，此时，数列??为等差数列) …… 2、证明方法： （1）定义法：若数列{a n }中，对于任意两项a n ，a n -1均有：a n -a n -1=d （d 为常数），则数列{a n }为等差数列. （2）等差中项法：2a n+1=a n +a n+2 （3）通项公式法：若数列{a n }的通项公式为a n =pn+q 的一次函数，则数列{a n }为等差数列. （4）若数列{a n }的前n 项和为S n =An 2+Bn ，则数列{a n }为等差数列. 【例题1】【2013年，北京高考（文）】给定数列a 1，a 2，a 3，……，a n ，……，对i =1，2，……，n-1，该数列的前i 项的最大值记为A i ，后n –i 项a i+1，a i +2，……，a n 的最小值记为B i ，d i =A i –B i . (I)设数列{a n }为3，4，7，1，求d 1，d 2，d 3的值. (II)设d 1，d 2，……，d n -1是公差大于0的等差数列，且d 1>0，证明：a 1，a 2，a 3，……，a n -1是等差数列.
3、等差数列的通项公式： （1）等差数列的通项公式：a n =a 1+(n-1)d 累加法和逐项法：对于形如() 1n n a a f n --=的形式，我们一般情况下，可以考虑使用逐项法或者累加法，从而达到求a n 的目的. 变形形式： a n =a m +(n-m )d 由以上公式可以得到：n m a a d n m -= - （2）等差数列通项公式的一些性质： ①若实数m,n,p,q 满足：m+n=p+q ，则：n m p q a a a a +=+；特别的，若m+n=2p ，则： 2n m p a a a +=； ②若数列{a n }为等差数列，则下标成等差数列的新数列仍然成等差数列； ③若数列{a n }为等差数列，数列{b n }为等差数列，则数列{pa n +qb n }还是等差数列； ④当d >0时，{a n }为递增数列；当d =0时，数列{a n }为常数列；当d <0时，数列{a n }为递减数列； 【例题1】【2015届黑龙江省双鸭山一中高三上学期期末考试，3】在等差数列{}n a 中,首项 01=a ,公差,0≠d 若7321a a a a a k ++++=Λ,则k =（ ） A . 22 B . 23 C . 24 D. 25 【变式训练】【2015届吉林省东北师大附中高三上学期第三次摸底考试，3】设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若151,15a S ==，则6a 等于 （ ） A .8 B .7 C .6 D .5 4、等差数列的求和问题：——方法：倒序相加 ()()()111111222 n n n n n n S a a a a n d na d -= +=++-=+???? （1）在等差数列{a n }中，k S ，2k k S S -，32k k S S -成等差数列；或者：()233k k k S S S -=； （2）奇偶项问题： 在等差数列中，若项数为偶数项，即：当n=2m （n,m ∈N*）时，有：S 偶-S 奇=md ， 1 = m m S a S a +奇偶；
（新课标）2013高考数学 三轮必考热点集中营 热点17数列的基 本运算大题（教师版） 【三年真题重温】 1.【2012?新课标全国理】已知{}n a 为等比数列，472a a +=，568a a ?=-，则110a a +=（ ） A 、7 B 、5 C 、-5 D 、-7 2.【2012?新课标全国文】等比数列{a n }的前n 项和为S n ，若S 3+3S 2=0，则公比q =_______ 3.【2012?新课标全国理】数列{}n a 满足1(1)21n n n a a n ++-=-，则{}n a 的前60项和为 4.【2012?新课标全国文】数列{a n }满足a n +1＋(－1)n a n ＝2n －1，则{a n }的前60项和为 （A ）3690 （B ）3660 （C ）1845 （D ）1830 答案：D
5.【2011?新课标全国理，17】等比数列{}n a 的各项均为正数，且12231a a +=， 23269a a a =． (Ⅰ) 求数列{}n a 的通项公式； (Ⅱ) 设3132log log n b a a =++…3log n a +，求数列1{}n b 的前n 项和．
6.【2011 新课标全国文，17】已知等比数列{}a 中，213a = ，公比13q =． (Ⅰ) n S 为{}n a 的前n 项和，证明：12 n n a S -=； (Ⅱ) 设31323log log log n n b a a a =++???+，求数列n b 的通项公式． 7.【2010 新课标全国理，17】设数列{}n a 满足21112,32n n n a a a -+=-= （1） 求数列{}n a 的通项公式； （2） 令n n b na =，求数列的前n 项和n S
等差数列的定义及性质 ?等差数列的定义： 一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做公差，用符号语言表示为a n+1-a n=d。 ?等差数列的性质： （1）若公差d＞0，则为递增等差数列；若公差d＜0，则为递减等差数列；若公差d＝0，则为常数列； （2）有穷等差数列中，与首末两端“等距离”的两项和相等，并且等于首末两项之和； （3）m，n∈N*，则a m＝a n+(m-n)d； （4）若s，t，p，q∈N*，且s+t=p+q，则a s+a t=a p+a q，其中a s，a t，a p，a q是数列中的项，特别地，当s+t=2p时，有a s+a t=2a p； （5）若数列｛a n｝，｛b n｝均是等差数列，则数列｛ma n+kb n｝仍为等差数列，其中m，k均为常数。 （6） （7）从第二项开始起，每一项是与它相邻两项的等差中项，也是与它等距离的前后两项的等差中项，即 （8）仍为等差数列，公差为
?对等差数列定义的理解： ①如果一个数列不是从第2项起，而是从第3项或某一项起，每一项与它前一项的差是同 一个常数，那么此数列不是等差数列，但可以说从第2项或某项开始是等差数列． ②求公差d时，因为d是这个数列的后一项与前一项的差，故有 还有 ③公差d∈R，当d=0时，数列为常数列（也是等差数列）；当d>0时，数列为递增数 列；当d<0时，数列为递减数列； ④是证明或判断一个数列是否为等差数列的依据； ⑤证明一个数列是等差数列，只需证明a n+1-a n是一个与n无关的常数即可。 等差数列求解与证明的基本方法： (1)学会运用函数与方程思想解题； (2)抓住首项与公差是解决等差数列问题的关键； (3)等差数列的通项公式、前n项和公式涉及五个量：a1，d，n，a n，S n，知道其中任意三 个就可以列方程组求出另外两个(俗称“知三求二’)．
等差、等比数列基本量的运算法宝 典例解析： 题型一 等差、等比数列的基本运算 例1 已知等差数列{a n }的前5项和为105，且a 10＝2a 5. (1)求数列{a n }的通项公式； (2)对任意m ∈N *，将数列{a n }中不大于72m 的项的个数记为b m .求数列{b m }的前m 项和S m . 题型二 等差、等比数列的性质及应用 例2 (1)已知正数组成的等差数列{a n }，前20项和为100，则a 7·a 14的最大值是( ) A ．25 B ．50 C ．100 D ．不存在 (2)在等差数列{a n }中，a 1＝－2 013，其前n 项和为S n ，若S 1212－S 10 10＝2，则S 2 013的值为( ) A ．－2 011 B ．－2 012 C ．－2 010 D ．－2 013 题型三 等差、等比数列的综合应用 例3 已知数列{a n }的前n 项和S n 满足条件2S n ＝3(a n －1)，其中n ∈N *. (1)证明：数列{a n }为等比数列； (2)设数列{b n }满足b n ＝log 3a n ，若c n ＝a n b n ，求数列{c n }的前n 项和．
跟踪训练 1．已知{a n }为等差数列，其公差为－2，且a 7是a 3与a 9的等比中项，S n 为{a n }的前n 项和，n ∈N *，则S 10的值为( ) A ．－110 B ．－90C ．90 D ．110 2．(2014·课标全国Ⅱ)等差数列{a n }的公差为2，若a 2，a 4，a 8成等比数列，则{a n }的前n 项和S n 等于( ) A ．n (n ＋1) B ．n (n －1) C.n (n ＋1)2 D.n (n －1)2 3．等比数列{a n }的前n 项和为S n ，若2S 4＝S 5＋S 6，则数列{a n }的公比q 的值为( ) A ．－2或1 B ．－1或2 C ．－2 D ．1 4．(2014·大纲全国)等比数列{a n }中，a 4＝2，a 5＝5，则数列{lg a n }的前8项和等于( ) A ．6 B ．5 C ．4 D ．3 5．(2014·大纲全国)设等比数列{a n }的前n 项和为S n ，若S 2＝3，S 4＝15，则S 6等于( ) A ．31 B ．32 C ．63 D ．64 6．已知两个等差数列{a n }和{b n }的前n 项和分别为A n 和B n ，且A n B n ＝7n ＋45n ＋3，则使得a n b n 为整数 的正整数n 的个数是( ) A ．2 B ．3 C ．4 D ．5 7．(2013·课标全国Ⅰ)若数列{a n }的前n 项和S n ＝23a n ＋1 3，则{a n }的通项公式是a n ＝________. 8．(2014·江苏)在各项均为正数的等比数列{a n }中，若a 2＝1，a 8＝a 6＋2a 4，则a 6的值是________． 9．(2014·安徽)数列{a n }是等差数列，若a 1＋1，a 3＋3，a 5＋5构成公比为q 的等比数列，则q ＝________. 10．在数列{a n }中，如果对任意n ∈N *都有a n ＋2－a n ＋1 a n ＋1－a n ＝k (k 为常数)，则称数列{a n }为等差比 数列，k 称为公差比．现给出下列问题： ①等差比数列的公差比一定不为零； ②等差数列一定是等差比数列； ③若a n ＝－3n ＋2，则数列{a n }是等差比数列； ④若等比数列是等差比数列，则其公比等于公差比． 其中正确命题的序号为________． 11．(2014·课标全国Ⅰ)已知{a n }是递增的等差数列，a 2，a 4是方程x 2－5x ＋6＝0的根． (1)求{a n }的通项公式； (2)求数列{a n 2 n }的前n 项和．
等差数列性质总结 1.等差数列的定义式：d a a n n =--1（d 为常数）（2≥n ）； 2．等差数列通项公式： *11(1)()n a a n d dn a d n N =+-=+-∈ ， 首项:1a ，公差:d ，末项:n a 推广： d m n a a m n )(-+=． 从而m n a a d m n --=； 3．等差中项 （1）如果a ，A ，b 成等差数列，那么A 叫做a 与b 的等差中项．即：2 b a A +=或 b a A +=2 （2）等差中项：数列{}n a 是等差数列+-112(2,n N )n n n a a a n +?=+≥∈212+++=?n n n a a a 4．等差数列的前n 项和公式： 1()2n n n a a S += 1(1)2n n na d -=+211 ()22 d n a d n =+-2An Bn =+ （其中A 、B 是常数，所以当d ≠0时，S n 是关于n 的二次式且常数项为0） 特别地，当项数为奇数21n +时，1n a +是项数为2n+1的等差数列的中间项 ()()()12121121212 n n n n a a S n a +++++= = +（项数为奇数的等差数列的各项和等于项数乘 以中间项） 5．等差数列的判定方法 （1） 定义法：若d a a n n =--1或d a a n n =-+1(常数*∈N n )? {}n a 是等差数列． （2） 等差中项：数列{}n a 是等差数列)2(211-≥+=?+n a a a n n n 212+++=?n n n a a a ． ⑶数列{}n a 是等差数列?b kn a n +=（其中b k ,是常数）。 （4）数列{}n a 是等差数列?2n S An Bn =+,（其中A 、B 是常数）。 6．等差数列的证明方法 定义法：若d a a n n =--1或d a a n n =-+1(常数*∈N n )? {}n a 是等差数列 等差中项性质法：-112(2n )n n n a a a n N ++=+≥∈，．
目录 数列上下极限的不同定义方式及相关性质 摘要 (01) 一、数列的上极限、下极限的定义 (01) 1. 用“数列的聚点”来定义 (01) 2. 用“数列的确界”来定义 (02) 3. 数列上、下极限定义的等价性 (02) 二、数列的上、下极限的性质及定理 (04) 参考文献 (14) 英文摘要 (15)
数列上下极限的不同定义方式及相关性质 摘 要：数列的上、下极限的概念是极限概念的延伸，由于它们在正项级数敛散性的判别法中的重要作用，又成为数学分析中重要的理论部分.本文主要讨论了数列的上下极限的两种定义方式及其等价证明和一些相关定理. 关键词：数列、上极限、下极限、聚点、函数 一、数列的上极限、下极限的定义 关于数列的上极限、下极限的定义常见的有如下两种形式： 1. 用“数列的聚点”来定义 定义 1 若在数a 的任一邻域内都含有数列{}n x 的无限多项，则称a 为数列 {}n x 的一个聚点. 例1 数列{(1)}1 n n n -+有聚点1-与1； 数列{sin }4n π 有1,22 --和1五个聚点； 数列1 {}n 只有一个聚点0； 常数列{1,1,,1,}只有一个聚点1. 定义 2 有界数列{}n x 的最大聚点a 大与最小聚点a 小分别称为数列{}n x 的上极限和下极限，记作 lim n a →+∞ =大;lim n n a x →∞ =小. 例2 lim (1)11n n n n →+∞-=+(),lim 111 n n n →∞-=-+ lim sin 14n n π→+∞=,limsin 14 n n π→∞=- 11 lim lim 0n n n n →+∞→∞== 2. 用“数列的确界”来定义
一、等差数列 1.等差数列的定义：d a a n n =--1（d 为常数）（2≥n ）； 2．等差数列通项公式： * 11(1)()n a a n d dn a d n N =+-=+-∈ ， 首项:1a ，公差:d ，末项:n a 推广： d m n a a m n )(-+=． 从而m n a a d m n --=； 3．等差中项 （1）如果a ，A ，b 成等差数列，那么A 叫做a 与b 的等差中项．即：2 b a A += 或b a A +=2 （2）等差中项：数列{}n a 是等差数列)2(211-≥+=?+n a a a n n n 212+++=?n n n a a a 4．等差数列的前n 项和公式： 1()2n n n a a S += 1(1)2n n na d -=+211 ()22 d n a d n =+-2An Bn =+ （其中A 、B 是常数，所以当d ≠0时，S n 是关于n 的二次式且常数项为0） 特别地，当项数为奇数21n +时，1n a +是项数为2n+1的等差数列的中间项 ()()()12121121212 n n n n a a S n a +++++= = +（项数为奇数的等差数列的各项和等于项数乘以中间项） 5．等差数列的判定方法 （1） 定义法：若d a a n n =--1或d a a n n =-+1(常数* ∈N n )? {}n a 是等差数列． （2） 等差中项：数列{}n a 是等差数列)2(211-≥+=?+n a a a n n n 212+++=?n n n a a a ． ⑶数列{}n a 是等差数列?b kn a n +=（其中b k ,是常数）。 （4）数列{}n a 是等差数列?2 n S An Bn =+,（其中A 、B 是常数）。 6．等差数列的证明方法 定义法：若d a a n n =--1或d a a n n =-+1(常数* ∈N n )? {}n a 是等差数列． 7.提醒： （1）等差数列的通项公式及前n 和公式中，涉及到5个元素：1a 、d 、n 、n a 及n S ，其中1a 、d 称作为基本元素。只要已知这5个元素中的任意3个，便可求出其余2个，即知3求2。 （2）设项技巧： ①一般可设通项1(1)n a a n d =+- ②奇数个数成等差，可设为…，2,,,,2a d a d a a d a d --++…（公差为d ）； ③偶数个数成等差，可设为…，3,,,3a d a d a d a d --++,…（注意；公差为2d ） 8..等差数列的性质： （1）当公差0d ≠时， 等差数列的通项公式11(1)n a a n d dn a d =+-=+-是关于n 的一次函数，且斜率为公差d ； 前n 和211(1)()222 n n n d d S na d n a n -=+ =+-是关于n 的二次函数且常数项为0. （2）若公差0d >，则为递增等差数列，若公差0d <，则为递减等差数列，若公差0d =，则为常数列。 （3）当m n p q +=+时,则有q p n m a a a a +=+，特别地，当2m n p +=时，则有2m n p a a a +=. 注：12132n n n a a a a a a --+=+=+=???，
通过数列基本概念的学习，谈谈对学生数列基本运算能力的培养 以数列为例，在教学中要做到熟练运算方法，优化思维过程，加强综合运算能力的培养，并把良好的运算品质的培养贯穿其中。 一、熟练基本运算：抓概念与运算 抓概念与运算，从首项和公差与公比入手，是解决等差与等比数列问题的基本途径。 例1．（1）设数列{}n a 是递增等差数列，前三项的和为12，前三项的积为48，则它的首项为 2 ． （2）已知等差数列{}n a 的公差0d ≠，且139,,a a a 成等比数列，则1392410a a a a a a ++++=1316 ． 二、优化运算思维过程：抓观点与性质 运算能力是一种综合能力，它不可能独立存在和发展，而且与观察能力、注意力、理解能力、记忆力、推理能力、表达能力等相互渗透相互影响，优化运算思维过程以培养学生正确、简洁、有创造性的运算能力与品质，从而逐步形成解决实际问题的能力。在求解数列问题时要注意运用函数思想，方程思想和整体消元思想，设而不求． 三、培养综合运算能力：抓联系与渗透 教学中要培养学生从单一运算到复合运算再到综合运算。 （1）抓住通项与前n 项和的联系 （2）抓等差数列与等比数列的组合 （3）抓等差数列或等比数列与其他数学知识如函数、方程、不等式等的组合 例2．有四个数，其中前三个数成等差数列，后三个数成等比数列，且第一个数与第四个数的和是16，第二个数与第三个书的和是12，求这四个数．
解：设这四个数为：2 (),,,a d a d a a d a +-+，则2 ()16212a d a d a a d ?+-+=???+=? 解得：48a d =??=?或96a d =??=-?，所以所求的四个数为：4,4,12,36-；或15,9,3,1． 例3．由正数组成的等比数列{}n a ，若前2n 项之和等于它前2n 项中的偶数项之和的11倍，第3项与第4项之和为第2项与第4项之积的11倍，求数列{}n a 的通项公式． 解：当1q =时，得11211na na =不成立，∴1q ≠， ∴221122331111 (1)11(1)1111n n a q a q q q q a q a q a q a q ?--=?--??+=?? 由①得110 q =，代入②得110a =， ∴21()10 n n a -= 四：强化培养运算品质：抓常规与情感教育 中学生数学基础差，学习动力不足，为难情绪重，因此要重视情感教育，解决好学生“为什么学？学什么？怎样学”问题。帮助学生明确数学学习是学好其他学科的需要，是自身不断发展的需要，才能激发学生学习动机，学习兴趣。其次，教学中要抓好学生的学习纪律，学习态度 。总之，培养学生的运算能力必须分阶段、分层次、有计划的进行，应与其他教学能力的培养相结合，才能使学生运算能力的培养与提高形成可持续发展的态势。 ① ②
2.2 等差数列概念、通项公式、性质 第1课时 等差数列的概念及通项公式 题型一 等差数列的概念 例1 判断下列数列是不是等差数列？ (1)9,7,5,3，…，－2n ＋11，…； (2)－1,11,23,35，…，12n －13，…； (3)1,2,1,2，…； (4)1,2,4,6,8,10，…； (5)a ，a ，a ，a ，a ，…. 跟踪训练1 数列{a n }的通项公式a n ＝2n ＋5(n ∈N ＋)，则此数列( ) A ．是公差为2的等差数列 B ．是公差为5的等差数列 C ．是首项为5的等差数列 D ．是公差为n 的等差数列 题型二 等差中项 例2 在－1与7之间顺次插入三个数a ，b ，c ，使这五个数成等差数列，求此数列． 跟踪训练2 若m 和2n 的等差中项为4,2m 和n 的等差中项为5，求m 和n 的等差中项． 题型三 等差数列通项公式的求法及应用 例3 在等差数列{a n }中， (1)若a 5＝15，a 17＝39，试判断91是否为此数列中的项． (2)若a 2＝11，a 8＝5，求a 10. 跟踪训练3 (1)求等差数列8,5,2，…的第20项； (2)判断－401是不是等差数列－5，－9，－13，…的项，如果是，是第几项？ 等差数列的判定与证明 典例1 已知数列{a n }满足a n ＋1＝3a n ＋3n ，且a 1＝1. (1)证明：数列???? ??a n 3n 是等差数列；
(2)求数列{a n }的通项公式． 典例2 已知数列{a n }：a 1＝a 2＝1，a n ＝a n －1＋2(n ≥3)． (1)判断数列{a n }是否为等差数列？说明理由； (2)求{a n }的通项公式． 【课堂练习】 1．下列数列不是等差数列的是( ) A ．1,1,1,1,1 B ．4,7,10,13,16 C.13，23，1，43，53 D ．－3，－2，－1,1,2 2．已知等差数列{a n }的通项公式a n ＝3－2n (n ∈N ＋)，则它的公差d 为( ) A ．2 B ．3 C ．－2 D ．－3 3．已知在△ABC 中，三个内角A ，B ，C 成等差数列，则角B 等于( ) A ．30° B ．60° C ．90° D ．120° 4．若数列{a n }满足3a n ＋1＝3a n ＋1，则数列{a n }是( ) A ．公差为1的等差数列 B ．公差为13 的等差数列 C ．公差为－13 的等差数列 D ．不是等差数列 5．已知等差数列1，－1，－3，－5，…，－89，则它的项数是( ) A ．92 B ．47 C ．46 D ．45 1．判断一个数列是否为等差数列的常用方法 (1)a n ＋1－a n ＝d (d 为常数，n ∈N ＋)?{a n }是等差数列； (2)2a n ＋1＝a n ＋a n ＋2(n ∈N ＋)?{a n }是等差数列； (3)a n ＝kn ＋b (k ，b 为常数，n ∈N ＋)?{a n }是等差数列． 但若要说明一个数列不是等差数列，则只需举出一个反例即可． 2．由等差数列的通项公式a n ＝a 1＋(n －1)d 可以看出，只要知道首项a 1和公差d ，就可以求出通项公式，反过来，在a 1，d ，n ，a n 四个量中，只要知道其中任意三个量，就可以求出另一个量. 【巩固提升】 一、选择题 1．设数列{a n }(n ∈N ＋)是公差为d 的等差数列，若a 2＝4，a 4＝6，则d 等于( ) A ．4 B ．3 C ．2 D ．1 2．已知等差数列－5，－2,1，…，则该数列的第20项为( ) A ．52 B ．62 C ．－62 D ．－52 3．在数列{a n }中，a 1＝2,2a n ＋1－2a n ＝1，则a 101的值为( )
【知识要点】 一、数列性质的证明一般有两种方法： 方法一：利用等差数列等比数列的定义来证明. 1 (2,) n n a a d n n N* - -=≥∈?{}n a是等差数列 1 (2,) n n a q n n N a * - =≥∈?数列{}n a是等比数列 方法二：利用等差等比数列的中项公式来证明. 11(2,) 2 n n n a a a n n N* +- + =≥∈{ n a ?}是等差数列 2 11 (2,) n n n a a a n n N* -+ =≥∈?数列{}n a是等比数列 【方法讲评】 方法一定义法 使用情景绝大部分情况下，都是用这种方法. 解题步骤把已知条件代到1 n n a a或 1 n n a a 中化简，证明化简结果是一个常数. 【例1】已知数列{}n a满足 4 4 4 ,3 1 1+ + = = + n n n a a a a （1）求证：数列 ? ? ? ? ? ? - + 2 2 n n a a 为等比数列； （2）设p n m N p n m< < ∈, , ,*，问：数列{}n a中是否存在三项p n m a a a, ,，使 p n m a a a, ,成等差数列，如果存在，请求出这三项；如果不存在，请说明理由.
而0 5 2 2 1 1≠ = - + a a ， ∴ ? ? ? ? ? ? - + 2 2 n n a a 是以5为首项，3为公比的等比数列. 【点评】利用定义证明数列{} n a等比，只要把已知条件代入 1 n n a a 化简，注意化简时，一般只变分子或分母，不要同时变化，一直化简到最后是一个非零常数为止. 【反馈检测1】已知数列{} n a，2 n a≠， 1 58 23 n n n a a a + - = - ， 1 3 a= （1）证明：数列 1 {} 2 n a- 是等差数列． （2）设2 n n b a =-，数列 1 {} n n b b + 的前n项和为n S，求使2 (21)2n n n S + +??1 (23)2192 n n+ >-?+成立的最小正整数n． 【反馈检测2】已知数列{}n a满足：12n n a a a n a +++=-，其中* n N ∈.
等差数列基础习题选（附有详细解答） 一．选择题（共26小题） 1．已知等差数列{a n}中，a3=9，a9=3，则公差d的值为（） A．B．1C．D．﹣1 2．已知数列{a n}的通项公式是a n=2n+5，则此数列是（） A．以7为首项，公差为2的等差数列B．以7为首项，公差为5的等差数列 C．以5为首项，公差为2的等差数列D．不是等差数列 3．在等差数列{a n}中，a1=13，a3=12，若a n=2，则n等于（） A．23 B．24 C．25 D．26 4．等差数列{a n}的前n项和为S n，已知S3=6，a4=8，则公差d=（） A．一1 B．2C．3D．一2 5．两个数1与5的等差中项是（） A．1B．3C．2D． 6．一个首项为23，公差为整数的等差数列，如果前六项均为正数，第七项起为负数，则它的公差是（）A．﹣2 B．﹣3 C．﹣4 D．﹣5 7．（2012?福建）等差数列{a n}中，a1+a5=10，a4=7，则数列{a n}的公差为（） A．1B．2C．3D．4 8．数列的首项为3，为等差数列且，若，，则=（）A．0B．8C．3D．11 A．25 B．24 C．20 D．19 A．5B．3C．﹣1 D．1 A．a1+a8＞a4+a5B．a1+a8=a4+a5C．a1+a8＜a4+a5D．a1a8=a4a5 12．（2004?福建）设S n是等差数列{a n}的前n项和，若=（） A．1B．﹣1 C．2D． A．﹣1 B．1C．3D．7
14．在等差数列{a n}中，a2=4，a6=12，，那么数列{}的前n项和等于（） A．B．C．D． 15．已知S n为等差数列{a n}的前n项的和，a2+a5=4，S7=21，则a7的值为（） A．6B．7C．8D．9 16．已知数列{a n}为等差数列，a1+a3+a5=15，a4=7，则s6的值为（） A．30 B．35 C．36 D．24 17．（2012?营口）等差数列{a n}的公差d＜0，且，则数列{a n}的前n项和S n取得最大值时的项数n是A．5B．6C．5或6 D．6或7 A．58 B．88 C．143 D．176 A．﹣1 B．0C．1D．2 2 A．6B．7C．8D．9 2 A．4或5 B．5或6 C．4D．5 A．12 B．10 C．8D．4 A．230 B．140 C．115 D．95 A．5B．25 C．50 D．100 25．设S n是公差不为0的等差数列{a n}的前n项和，且S1，S2，S4成等比数列，则等于（） A．1B．2C．3D．4 A．第10项B．第11项C．第10项或11项D．第12项 二．填空题（共4小题）
数列的基本性质和常用结论 一、等差数列 1.等差数列的判定方法 （ 1）用定义：对任意的n，都有a n 1 a n d （d为常数）{ a n } 为等差数列（定义法） （ 2）2a n 1a n a n 2（ n N*）{ a n } 为等差数列（等差中项） (3) a n=pn+q (p，q为常数且p≠0)（即为关于n的一次函数）{ a n} 为等差数列 (4) S n pn2 qn (p，q为常数)（即为关于n的不含常数项的二次函数）{ a n } 为等差数列 2.常用性质 (1) 若数列 { a n } ， { b n} 为等差数列，则数列{ a n k} ， { kga n } ， { a n b n } ， { ka n b } (k，b为非零常数) 均为等差数列 . (2) 对任何 m， n N*，在等差数列{ a n}中，有a n a m (n m) d ，特别的，当m=1 时，便得到等差数 列的通项公式。另外可得公差d= a n a 1，或 d= a n a m n 1 n m (3) 若 m+n=p+q (m ， n， p， q N *)，则 a n a m= a p a q.特别的，当n+m=2k时，得 a n a m= 2a k (4){ a n} 是有穷等差数列，则与首末两项等距离的两项之和都相等，且等于首末两项之和，即 a1a n a2a n 1a3a n 2a i 1a n i。 (5)在等差数列 { a n} 中，每隔k(k N *)项取出一项，按原来的顺序排列，所得的数列仍为等差数列，且公 差为 (k+1)d(例如：a1，a4，a7，a10 仍为公差为 3d 的等差数列 ) (6) 如果 { a n } 是等差数列，公差为d，那么a n，a n 1，a2， a1也是等差数列，其公差为 d . (7) 若数列 { a n } 为等差数列，则记 S k a1 a2 a k ， S2k S k a k 1 a k 2 a2k， S 3k S 2 k a 2 k 1 a 2k 2 a3k，则 S k， S2k S k， S3 k S2k仍成等差数列，且公差为k 2d 3.等差数列前 n 项和公式：S n n(a1 a n ) n(n 1) d 2 ( a1 d 2 na1 2 d n )n 2 2 4.等差数列前 n 项和S n常用的基本性质： （ 1）在等差数列{ a n}中，当项数为 2n (n N *)时，S偶S奇nd, S奇a n (即中间两项之比 )，S偶 a n 1
必修5 数列础知识归纳 一、数列的有关概念： 1．数列的定义：按一定次序排列的一列数叫做数列． (1) 数列中的每个数都叫这个数列的项．记作a n ，在数列第一个位置的项叫第1项(或首项)，在第二个位置的叫第2项，…，序号为n 的项叫第n 项(也叫通项)，记作a n ． (2) 数列的一般形式：a 1，a 2，a 3，…，a n ，…，简记作{a n }． 2．通项公式的定义：如果数列{a n }的第n 项与n 之间的关系可以用一个公式表示，那么这 个公式就叫这个数列的通项公式． 说明：(1) {a n }表示数列，a n 表示数列中的第n 项，a n = f (n )表示数列的通项公式； (2) 同一个数列的通项公式的形式不一定唯一．例如，a n = ( 1)n =1,21 ()1,2n k k n k -=-?∈? =? Z ； (3) 不是每个数列都有通项公式．例如，1，1.4，1.41，1.414，…． (4) 从函数观点看，数列实质上是定义域为正整数集N *(或它的有限子集)的函数f (n )，当自变量n 从1开始依次取值时对应的一系列函数值f (1)，f (2)，f (3)，…，f (n )，…．通常用a n 来代替f (n )，其图象是一群孤立的点． 3．数列的分类： (1) 按数列项数是有限还是无限分：有穷数列和无穷数列； (2) 按数列项与项之间的大小关系分：单调数列(递增数列、递减数列)、常数列和摆动数列． 4．递推公式的定义：如果已知数列{a n }的第1项(或前几项)，且任一项a n 与它的前一项 a n 1 (或前几项)间的关系可以用一个公式来表示，那么这个公式就叫做这个数列的递推公式． 5．数列{a n }的前n 项和的定义：S n = a 1 + a 2 + a 3 + … +a n =1n k k a =∑称为数列{a n }的前n 项和 数 列 数列的概念 数列的定义 数列的分类 数列的性质 等差数列与等比数列 等差数列与等比数列的概念 等差数列与等比数列的性质 等差数列与等比数列的基本运算 数列的求和 倒序相加 错位相减 裂项相消 其他方法 数列应用