二次函数与一次函数综合应用题赏析
二次函数与一次函数是初中阶段两个非常重要的学习内容，同时也是各类考试的考查热点，综合考查两者的应用性问题就是其中常见的一类．下面给出两例，供大家复习时参考．
例1 汽车在行驶中，由于惯性，刹车后还要向前滑行一段距离才能停住，我们称这段距离为刹车距离．刹车距离是分析事故的一个重要因素．在一个限速40千米/时以内的弯道上，甲、乙两车相向而行，发现情况不对，同时刹车，但还是相撞了．事后现场测得甲车的刹车距离为12米，乙车的刹车距离超过10米，但小于12
米．查有关资料知，甲种车的刹车距离S 甲（米）与车速x （千
米/时）之间有下列关系：20.10.01S x x =+甲；乙种车的刹
车距离S 乙（米）与车速x （千米/时）的关系如图1所示．
请你就两车的速度方面分析相碰的原因．
解析：这是一例数学物理结合型应用性问题．综合考查二次函数与一次函数知识，以及
数形结合，待定系数等思想方法．由12S =甲，可得：20.10.0112x x +=，解方程得
123040x x ==-， (不合题意，舍去)，∴甲车不超速；由图1知，可设乙车的刹车距离S 乙（米）与车速x (千米/时)的关系为S kx =乙，又∵60x =时，15S =乙，∴1560k =．解得14k =，∴14S x =乙，由1012S <<乙得1101 24
x <<，∴40 48x <<．∴乙车超速．综上所述，就两车速度方面分析，相撞的原因在于乙车超速行驶．
例2 某商业公司为指导某种应季商品的生产和销售，对三月份至七月份该商品的销售和成本进行了调研，结果如下：每件商品的售价M （元）与时间t （月）的关系可用一条线段上的点来表示（如图2），每件商品的成本Q （元）与时间t （月）的关系可用一条抛物线的一部分上的点来表示（如图3）．
请你根据图象提供的信息回答：
（1）每件商品在3月份出售时的利润（利润=售价-成本）是多少元？
（2）求图3中表示的每件商品的成本Q （元）与时间t （月）之间的函数关系式（不要求写出自变量的取值范围）；
（3）你能写出三月份至七月份每件商品的利润W （元）与时间t （月）之间的函数关
系式吗？（请写出计算过程，不要求写自变量的取值范围）若该公司共有此种商品30 000件，准备在一个月全部售完，请你计算一下至少可获利多少元．
解析：该例是一道取材于商品销售的市场经济问题，除了考查二次函数与一次函数外，还涉及数形结合，配方法，待定系数及方程思想，综合性较强．
（1）结合图2，图3信息易知每件商品在3月份出售时的利润为615-=（元）；
（2）由图3知：可设Q 与t 的关系式为2(6)4Q a t =-+，又∵3t =时，1Q =，
∴2(36)41a -+=，∴1
3a =-．∴21(6)43
Q t =--+； （3）由图2可设M kt b =+，∵3t =时，66M t ==，时，8M =，∵3668
k b k b +=⎧⎨+=⎩，，解方程组得234k b ⎧=⎪⎨⎪=⎩
，，∴243M t =+，∴2214(6)433W M Q t t ⎛⎫⎡⎤=-=+---+ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦ 221212(6)(1236)3333t t t t t =-+=-++221111(1036)(5)333
t t t =-+=-+．当5t =时，113W =最小．∴30 000件商品一个月内售完，至少获利1130 000110 0003
⨯=元．
