第一节指数与指数函数、幂函数
复习目标
学法指导
1.指数函数
(1)指数与指数幂的运算
①根式的意义.
②分数指数幂的意义.
③无理数指数幂的意义.
④有理数指数幂的运算性质.
(2)指数函数及其性质
①指数函数的概念.
②指数函数的图象.
③指数函数的性质.
了解函数图象的平移与对称变换,体会数学的逼近、数形结合等思想. 2.幂函数(y=x,y=x2,y=x3,y=12x,y=x-1)
(1)幂函数的概念.
(2)幂函数的图象.
(3)幂函数的性质. 1.明确根式与分数指数幂的意义,能互相转化.
2.有理数指数幂的运算以同底为基本条件.
3.指数函数与幂函数的概念及形式概念,要从解析式的系数、底数、指数、常数等方面去理解与把握其要求.
4.运用指数函数的图象与性质能解决幂值的大小比较、指数不等式的求解、参数的取值范围的确定等问题.
一、根式与指数幂 1.根式 n 次
方 根
如果x n =a,那么x 叫做a 的n 次方根,其中n>1,n ∈N *
当n 是奇数时,a 的n 次方根x=
n
a
当n 是偶数时,正数a 的n 次方根x=±
n
a
(a>0);负数的偶次方
根没有意义
0的任何次方根都是0,记作0n
=0
式子n
a
叫做根式,其中n 叫做根指数,a 叫做被开方数
当n 为任意正整数时,(n
a
)n =a
当n 为奇数时,n
n a =a
当n 为偶数时,
n
n
a =|a|=(0)
(0)
a a a a ≥??
-
正分数指数幂:m n
a =n
m
a
a>0,m,n ∈N *,且
n>1
负分数指数幂:m
n
a -=
1m n
a
=
1n
m
a
0的正分数指数幂等于0;0的负分数指数幂没有意义
a r ·a s =a r+s
a>0,b>0,
r,s ∈Q
(a r
)s
=a rs
(ab)r =a r b r
3.无理数指数幂
无理数指数幂aα(a>0,α是无理数)是一个确定的实数.有理数指数幂的运算性质同样适用于无理数指数幂
.
1.公式理解
(1)n a中a 的取值取决于n(n ∈N*)的奇偶,当n为奇数时,a∈R;当n 为偶数时,a≥0.
(2)n n a的值取决于n(n∈N*)的奇偶,必要时需分类讨论.
2.与指数幂的运算性质有关的结论
由负指数幂的定义可知:
(1)a r÷a s=a r-s;
(2)s r a=1
()r s
a=r s a.
二、指数函数的概念、图象与性质
函数y=a x(a>0,且a≠1)
图象
0
图象特征
在x轴上方,过定点(0,1)
当x逐渐增大时,图象逐
渐下降
当x逐渐增大时,图象逐
渐上升
性质定义域R
值域(0,+∞)
单调性递减递增
函数变化
规律
当x=0时,y=1
当x<0时,y>1;当x>0
时,0 当x<0时,0 时,y>1 1.概念理解 (1)指数函数的定义是形式定义,其解析式特征为 ①系数为1; ②底数a>0且a≠1; ③无常数项; ④指数为自变量x. 符合以上特征才为指数函数,否则为指数型函数,如 y=2x+1,y=-3x,y=(1 4 )x+1等均为指数型函数y=Aa x+B. (2)由定义可知,解析式中只有一个参数a,所以只需已知函数图象上一点坐标即可确定指数函数. 2.与指数函数图象相关的结论 ①指数函数图象之间的位置关系:在y轴右侧,图象越高,对应的底数越大.如图所示,直线x=1与图象交点的纵坐标即为各自底数的值. ②画指数型函数f(x)=Aa x+B的图象时,注意标明渐近线,即在变换指数函数y=a x的图象的同时,渐近线x轴也应随之变换,以便准确应用图象. ③底数互为倒数的指数函数的图象关于y轴对称. ④画指数函数图象应抓住三个关键点:(1,a),(0,1),(-1, 1 a ). 三、幂函数 1.幂函数的概念 形如y=xα(α∈R)的函数称为幂函数,其中x是自变量,α为常数. 2.常见幂函数的图象与性质 函数 图象或性 质 y=x y=x2y=x3y=12x y=x-1图象 定义域R R R [0,+∞) (-∞,0)∪ (0,+∞) 值域R [0,+∞) R [0,+∞) (-∞,0)∪ (0,+∞) 奇偶性奇偶奇 非奇非 偶 奇 单调性增x∈[0,+ ∞) 时,增; x∈(- ∞,0] 增增 x∈(0, +∞)时, 减; x∈(-∞, 0)时,减 时,减 特殊点 (1,1) (0,0) (-1,-1) (1,1) (0,0) (-1,1) (1,1) (0,0) (-1,-1) (1,1) (0,0) (1,1) (-1,-1) 1.概念理解 (1)幂函数的定义是形式定义,其解析式特征为 ①系数为1;②底数只能是自变量x;③指数为常数;④无常数项. (2)由定义可知,幂函数解析式中只有一个参数,所以只需已知函数图象上一点坐标即可确定幂函数. 2.与幂函数图象相关的结论 (1)幂函数图象可分为三类 ①α>1,其图象在第一象限是“站立型”的;②0<α<1,其图象在第一象限是“趴型”的;③α<0,其图象在第一象限是“躺型”的,如图所示. (2)幂函数的图象都过定点(1,1),当α>0时,还过定点(0,0),α<0时,一定不过点(0,0),且以坐标轴为渐近线. (3)幂函数图象一定会出现在第一象限,一定不会出现在第四象限,是否出现在二、三象限,取决于函数的奇偶性. 3.与幂函数性质相关的结论 单调性:当α>0时,在(0,+∞)上为增函数;当α<0时,在(0,+∞)上为减函数 . 1.(2019·全国Ⅰ卷)已知a=log 20.2,b=20.2,c=0.20.3,则( B ) (A)a 220.20 0.30 log 0.2log 100,2211, 00.20.2101, a a b b c c =<=?=?>??<=<=?< 2.函数f(x)=e |x-1|的单调递减区间是( C ) (A)(-∞,+∞) (B)[1,+∞) (C)(-∞,1] (D)[0,+∞) 3.已知函数f(x)= 1 ,1, 1(),1,2 x x x x -≤???>??则f(f(2))= ,不等式f(x-3) 的解集为 . 解析:f(2)=(12)2-1=12,f(12)=12,f(f(2))= 1 2, 当x-3>1,即x>4时,(12 )x-3-1<12, 解得x>5, 当x-3≤1,即x ≤4时,x-3<12,解得x<72 , 所以f(x-3) )∪(5,+∞). 答案:12 (-∞,72 )∪(5,+∞) 4.若幂函数y=(m 2-3m+3)22 m m x --的图象不经过原点,则实数m 的值 为 . 解析:因为函数为幂函数, 所以m 2-3m+3=1, 解得m=1或m=2. 又因为图象不经过原点, 所以m 2-m-2<0, 所以m=1. 答案:1 5.(2018·浙江嘉兴模拟)已知函数f(x)=log 4(4-|x|),则f(x)的单调递增区间是 . 解析:令t=4-|x|,由于4-|x|>0,所以原函数的定义域为 (-4,4),y=log 4t 在定义域上单调递增,而t=4-|x|在(-4,0)上单调递增,在(0,4)上单调递减,根据复合函数的单调性知f(x)=log 4(4-|x|)在(-4,0)上单调递增,在(0,4)上单调递减,故原函数的单调递增区间为(-4,0). 答案:(-4,0) 考点一 根式与指数幂的运算 [例1] 求值与化简: (1)13 3()2-×0 7()6-+1 4 84 23 236 23 2()3 - (2) 3 5 2 a b · 5334 3 b a . 解:(1)原式=1 3 2()3×1+34 2×14 2+(13 2×12 3) 6 -13 2()3 =2+4×27 =110. (2) 3 5 2 a b ·5334 3 b a =33212 a -·321510 b - =54 a =a 4 a . 指数幂的运算顺序及注意事项 (1)有括号的先算括号里的,无括号的先做指数运算. (2)先乘除后加减,负指数幂化成正指数幂的倒数. (3)底数是负数,先确定符号;底数是小数,先化成分数;底数是带分数,先化成假分数. (4)若是根式,应化为分数指数幂,尽可能用幂的形式表示,运用指数幂的运算性质来解答. 提醒:运算结果不能同时含有根号和分数指数,也不能既有分母又含有负指数. 若f(x)符合:对定义域内的任意的x 1,x 2,都有f(x 1)f(x 2)=f(x 1+x 2),且当x>1时,f(x)<1,则称f(x)为“好函数”,则下列函数是“好函数”的是( B ) (A)f(x)=2x (B)f(x)=(12 )x (C)f(x)=1 2 log x (D)f(x)=log 2x 解析:对定义域内的任意的x1,x2,都有f(x1)·f(x2)=f(x1+x2),说明函数是指数函数,排除选项C,D;又因为x>1 时,f(x)<1,所以排除选项A.故选B. 考点二幂、指数函数的图象及应用 [例2] (1)幂函数y=f(x)的图象经过点(4,2),则f(x)是( ) (A)偶函数,且在(0,+∞)上是增函数 (B)偶函数,且在(0,+∞)上是减函数 (C)奇函数,且在(0,+∞)上是减函数 (D)非奇非偶函数,且在(0,+∞)上是增函数 (2) 图中曲线是幂函数y=xα在第一象限的图象.已知α取±2,±1 2 四个值.则相应于曲线C1,C2,C3,C4的α值依次为. 解析:(1)设幂函数f(x)=xα,代入点(4,2),4α=2,α=1 2 , 所以f(x)=12x x则f(x)是非奇非偶函数,且在(0,+∞)上是增函数,故选D. (2)由图象特征可知C1的α1>1,C2的α2满足0<α2<1,C3,C4的α3,α 4<0, 又x=2时,2-2=1 4<122 2 , 所以α3=-1 2 ,α4=-2. 答案:(1)D (2)2,1 2,-1 2 ,-2 (1)幂函数的指数与图象特征的关系 当α≠0,1时,幂函数y=xα在第一象限的图象特征 α取值α>1 0<α<1 α<0 图象 特殊点过(0,0),(1,1) 过(0,0),(1,1) 过(1,1) 凹凸性下凸上凸下凸 单调性递增递增递减 举例y=x2y=12x y=x-1,y=12x (2)指数函数图象可解决的两类热点问题及思路 ①求解指数型函数的图象与性质问题 对指数型函数的图象与性质问题(单调性、最值、大小比较、零点等)的求解往往利用相应指数函数的图象,通过平移、对称变换得到其图象,然后数形结合使问题得解. ②求解指数型方程、不等式问题 一些指数型方程、不等式问题的求解,往往利用相应指数型函数图象数形结合求解. 提醒:应用指数函数的图象解决指数方程、不等式问题以及指数型函数的性质,要注意画出的图象的准确性,否则数形结合得到的可能为错误结论. (2018·上海卷)已知α∈(-2,-1,-1 2,1 2 ,1,2,3).若函数f(x)=xα为奇 函数,且在(0,+∞)上递减,则α= . 解析:由f(x)为奇函数,故只能取-1,1,3,又在(0,+∞)上递减,所以α=-1. 答案:-1 考点三幂、指数函数的性质及应用 [例3] 设y1=40.7,y2=80.45,y3=(1 2 )-1.5,则( ) (A)y3>y1>y2(B)y2>y1>y3 (C)y1>y2>y3(D)y1>y3>y2 解析:因为y1=40.7=21.4,y2=80.45=21.35, y3=(1 2 )-1.5=21.5, 又函数y=2x在R上为增函数,且1.35<1.4<1.5, 所以21.35<21.4<21.5,即y2 指数函数的性质及应用问题的常见类型及解题策略 (1)比较大小问题,常利用指数函数的单调性及中间值(0或1)法. (2)简单的指数方程或不等式的求解问题.解决此类问题应利用指数函数的单调性,要特别注意底数a的取值范围,并在必要时进行分类讨论. (3)指数型函数中参数的取值范围问题,在解决涉及指数函数的单调性或最值问题时,应注意对底数a的分类讨论. (4)对可化为a2x+b·a x+c=0或a2x+b·a x+c≥0(≤0)的指数方程或不等式,常借助换元法解决,但应注意换元后“新元”的范围. (2019·全国Ⅲ卷)函数 y=3 222x x x -+在[-6,6]的图象大致为( B ) 解析:函数 y=3 222x x x -+是奇函数,且当x>0时,y>0,排除C,D,又 f(6)=3 66 2622-?+≈7,排除A.故选B. 考点四 幂函数单调性的应用 [例4] (1)已知y 1=a x ,y 2=b x 是指数函数,y 3=x c ,y 4=x d 是幂函数,它们的图象如图所示,则a,b,c,d 的大小关系为( ) (A)a (2)若12 (1)a +<12 (32)a -,求实数a 的取值范围. (1)解析:因为底数大于1,指数函数是增函数,底数大于0小于1,指数函数是减函数,幂指数大于0,幂函数在(0,+∞)是增函数,幂指数小于 0,幂函数在(0,+∞)是减函数,所以观察图象可知,d>1,c<0,0 (2)解:易知函数y=12x的定义域为[0,+∞),在定义域内为增函数, 所以 10, 320, 132. a a a a +≥ ? ? -≥ ? ?+<- ? 解得-1≤a<2 3 . (1)根据幂函数的单调性比较大小 ①同底不同指、同指不同底的幂值大小比较:幂函数y=xα中指数α的取值直接影响图象和性质,当α的取值不同时,函数的单调性不同,依据图象规律确定单调性后再比较大小. ②既不同底又不同指的幂值大小比较 常找到一个中间值,通过比较幂值与中间值的大小来判断. (2)与幂函数有关的综合性问题一般是利用单调性、奇偶性以及函数图象求函数值域、不等式解集等. 考点五易错辨析 [例5] 方程(1 2)x-1+(1 4 )x+a=0有正数解,则实数a的取值范围是( ) (A)(-∞,1) (B)(-∞,-2) (C)(-3,-2) (D)(-3,0) 解析:令t=(1 2 )x, 因为方程有正根, 所以t∈(0,1),t2+2t+a=0有解, 所以a=1-(t+1)2. 因为t∈(0,1),所以a∈(-3,0).故选D. 令t=(1 )x易忽视t的范围,误认为t∈(0,+∞),从而导致错 2 误. (2019·诸暨市期末)函数f(x)满足f(x)≤x2且f(x)≤2x(x∈R),则( D ) (A)若f(a)≤b2,则a≥b (B)若f(a)≤2b,则a≤b (C)若f(a)≥b2,则a≤b (D)若f(a)≥2b,则a≥b 解析:若f(a)≥2b,则由f(x)≤2x得f(a)≤2a,则2b≤2a,则a≥b,故选D. 类型一根式与指数幂的运算 1.已知f(x)=2x+2-x,若f(a)=3,则f(2a)等于( B ) (A)5 (B)7 (C)9 (D)11 解析:由f(a)=3得2a+2-a=3, 两边平方得22a+2-2a+2=9, 即22a+2-2a=7,故f(2a)=7.故选B. 2.(2019·新高考研究联盟)已知方程log a(5x-3x)=x(其中a>0,a≠1),若x=2是方程的解,则a= ;当a=2时,方程的解 x= . 解析:若x=2是方程的解,则log a(52-32)=log a42=2,所以a=4;当a=2时,log2(5x-3x)=x,即5x-3x=2x,通过对比可知,该方程的解为x=1. 答案:4 1 类型二幂、指数函数的图象及应用 3.已知函数f1(x)=a x,f2(x)=x a,f3(x)=log a x(其中a>0,且a≠1),在同一坐标系中画出其中的两个函数在第一象限内的图象,正确的是( B ) 解析:由a>0且a≠1知f2(x)=x a的图象过原点, f1(x)=a x的图象过(0,1),f3(x)=log a x的图象过(1,0),可排除A. 而f1(x)与f3(x)的单调性相同,排除C, 从选项B,D图象知f2(x)=x a中的a>1. 故选B. 4.(2018·浙江卷)函数y=2|x|sin 2x的图象可能是( D ) 解析:由y=2|x|sin 2x知函数的定义域为R, 令f(x)=2|x|sin 2x, 则f(-x)=2|-x|sin(-2x)=-2|x|sin 2x. 因为f(x)=-f(-x),所以f(x)为奇函数. 所以f(x)的图象关于原点对称,故排除A,B. 令f(x)=2|x|sin 2x=0,解得x=π2 k (k ∈Z), 所以当k=1时,x=π2 ,故排除C.故选D. 类型三 指数函数的性质及应用 5.已知函数f(x)=(12 )x ,则不等式f(a 2 -4)>f(3a)的解集为( B ) (A)(-4,1) (B)(-1,4) (C)(1,4) (D)(0,4) 解析:可知函数f(x)为减函数,由f(a 2-4)>f(3a),可得a 2-4<3a, 整理得a 2-3a-4<0,解得-1 6.设y=f(x)在(-∞,1]上有定义,对于给定的实数K,定义 f K (x)=(),(),,(), f x f x K K f x K ≤?? >?给出函数f(x)=2x+1-4x ,若对于任意x ∈(-∞,1],恒有f K (x)=f(x),则( D ) (A)K 的最大值为0 (B)K 的最小值为0 (C)K 的最大值为1 (D)K 的最小值为1 解析:根据给出的定义,f K (x)是在函数y=f(x),y=K 中取较小者,对任意的x ∈(-∞,1]恒有f K (x)=f(x),等价于对任意的x ∈(-∞,1]恒有f(x)≤K,等价于f(x)max ≤K,x ∈(-∞,1]. 令t=2x ∈(0,2],则函数f(x)=2x+1-4x , 即为函数?(t)=-t 2+2t=-(t-1)2+1≤1, 故函数f(x)在(-∞,1]上的最大值为1, 即K≥1,故选D. 7.函数f(x)=a x-b的图象如图所示,其中a,b为常数,则下列结论正确的是( D ) (A)a>1,b<0 (B)a>1,b>0 (C)0 解析:函数f(x)=a x-b在定义域上单调递减, 所以0 函数f(x)=a x-b的图象是在f(x)=a x的基础上向左平移得到的,所以 b<0. 类型四幂函数单调性的应用 8.设函数f(x)=e|ln x|(e为自然对数的底数).若x1≠x2且f(x1)=f(x2),则下列结论一定不成立的是( C ) (A)x2f(x1)>1 (B)x2f(x1)=1 (C)x2f(x1)<1 (D)x2f(x1) 解析:f(x)= 1 ,01, ,1, x x x x ? < ? ?≥ ? 当0 类型五易错易误辨析 9.若存在正数x使2x(x-a)<1成立,则a的取值范围是( D ) (A)(-∞,+∞) (B)(-2,+∞) (C)(0,+∞) (D)(-1,+∞) 解析:因为2x>0, 所以由2x(x-a)<1,得a>x-(1 )x, 2 )x, 令f(x)=x-(1 2 则函数f(x)在(0,+∞)上是增函数, )0=-1, 所以f(x)>f(0)=0-(1 2 所以a>-1.故选D.
相关主题
文本预览