Ll μ π R 2
? 1 2 ? 2 ?
i
21 2
2
*电磁感应：
1. 截流长直导线激发的磁场：B =
μ0 I ，载流直螺线管、绕环内磁场：B = μ nI = μ0 NI
2π d 0
l
d Φ 2. 法拉第电磁感应定律：
i
= -
dt
。通过回路所包围面积的磁通量发生变化时，回路中
产生的感应电动势
i 与磁通量对时间的变化率成正比。
Ex.12-4：两平行导线的平面内，有一矩形线圈，如导线中电流 I 随时间变化，试计算线圈 中的感生电动势。 解：
B =
μ0
I
= f ( x ) , dS = l dx , d Φ = BdS = ( B - B ) dS =
μ0 ? I
I ? - l dx
? 2π x 1 1 2
2π d + x d + x ? 1
μ l ? I I ? μ l I ? d d ? Φ = ? d Φ = 0 l ? - ? dx = 0 1 ln 1 - ln 2 ? 2π 1 0 d + x d + x 2π d + l d + l ? 1 2 ? ? 1 2 2 2 ? = - d Φ = μ0l 1 ? ln d 2 + l 2 - ln d 1 + l 2 ? dI
dt 2π ? d 2 d 1 ? dt
3. 自感： L =
ψ = N μ nS = n 2 μ V = μ
N S ，其中 ψ 是全磁通： ψ = n Φ I
0 l
Ex. 12-17：在长为 60cm ，直径为 0.5cm 的空心纸筒上多少匝线圈才能得到自感系数为
6 ?10-3 H 的线圈？
解： L =
ψ = N μ nS = n 2 μ V = μ
N S ? N =
= 1200
I
dI d ψ l
dI d ψ
4. 自感电动势： L = -L = -
dt
= - dI dt dt Ex.求长直螺线管的自感电动势 思
路： B → Φ → ψ → L →
L
B = μ ni Φ = BS = μ ni S ψ = N Φ = N μ niS L = N μ nS = n 2 μ V = -L di
0 , 0 , 0 , 0 0 , L
dt
5. 互感： M 21 = ψ
21 ， ψ 表示第一个线圈在第二个线圈中产生的全磁通
1
6. 互感电动势： 21 = -M 21 dI 1 = - d ψ21 dt
di 1
dI 1 = - d ψ21
dt dt
Ex. 12-19 圆形线圈 A 由 50 匝绕线绕成，其面积为 4cm 2，放在另一匝数为 100 匝，半径为
20cm 的圆形线圈 B 的中心，两线圈共轴，设线圈 B 中的电流在线圈 A 所在处所激发的磁场 可看做是均匀的。求（1）两线圈的互感（2）若线圈 B 中的电流以 50A/s 的变化率减少时， 线圈 A 中磁通量的变化率（3）线圈 A 中的感生电动势。
d ψ dt ε εr ε0
εr ε0 μr μ0
ε0 μ0
解：
(1).M = ψ AB
= N A BS
A = N N
? μ0 ? S
= 6.28?10-6 H
I I A B
2R ? A B
B
? B ?
(2). d ψ = M dI B dt dt
= 3.14 ?10-4 V(3). = = 3.14 ?10-4 V
7. 自感磁能（知道即可）：W m
= 1 LI 2 2
B 2 8. 磁能密度：单位体积磁场所具有的能量。 w m =
= 1 μ H 2 = 1 BH 2μ0 2 2
Ex. 12-27 有一段 10 号铜线，直径为 2.54mm ，单位长度电阻为 3.28?1Ω0-/3
m 上载有 10A 电流，计算铜线表面磁能密度多大。 解：
，在着同线
?L
μ I B 2
m Bdl = μ
*电磁波：
I = B 2π R ? B =
, w 2π R = = 0.987J/m 3
2μ0
1. *电磁波的性质：
a) 电磁波的电场 E 和磁场 H 都垂直于波的传播方向，三者相互垂直，所以电磁波是
横波。 E 、 H 和波的传播方向构成右手螺旋关系，即 E 向 H 转动，其右手螺旋的
前进方向即为波的传播方向。
b) 沿给定方向传播的电磁波， E 和 H 分别在各自平面内振动，这种特性称为偏振。
c)
E 和 H 都在做同相周期性变化，而且位相相同，即同时达到最大同时减到最小。
d) *任一时刻，在空间内任意一点， E 和 H 在量值上的关系为：
i.
*
E = H
ii. *
E = H iii. * E = u B
e) 电磁波的传播速度为：* u = 1
1
； c 0 =
= n u
2. 电磁波能量密度： w = w + w = ε E
2
e
m
3. 电磁波能流密度：单位时间通过与传播方向垂直的单位面积的能量。（定义了解）
a) 矢量式： S = E ? H （说明电磁波性质 a ）[瞬时值]
4. *能流密度一周期内的平均值（波强）：
a) = = = = ε E 2
= c ε E 2 = 1 c ε E 2 ，最后的等号中的
E 表示峰值 I S 1T
EH wc c 1T
0 ms
2
0 0 0
μ μr μ0 L
∑ 0
ε
0 2S
ε0c
2S
μ
c
2S
ε0c
2 ?3.18?103
8.85?10-12 ? 3?108
ε00
**Ex.13-2 设有一平面电磁波在真空中传播，电磁波通过某点时，该点的E = 50V/m ，求该时刻点的B 和H 的大小，以及电磁能量密度w 和能流密度S 的大小。
解：
B=μ
0 H , E =
1
, c
=
∴B =E
=
50
T =1.67 ?10-7 T, H = B
=
1.67 ?10 A/m = 0.134A/m
c 3?108 μ4π?10-7
∴w =ε0E2 = 8.85?10-12 ? 502 J/m3 = 2.21?10-8 J/m3
∴S =EH = 50 ?0.134J/(m2 s) = 6.7J/(m2 s)
**Ex.13-3 某广播电台的平均辐射功率为P = 15kW ，假定辐射出来的能流均匀地分布在以电台为中心的半．个．球．面．上，（1）求在离电台为r = 10km 处的能流密度；（2）在r = 10km 处一个小的空间范围内电磁波可看做平面波，求该处电场强度和磁场强度的幅值。
解：
(1).S =
P
= 15?103J/(m2 s) = 2.39 ?10-5 J/(m2 s) 2πr 22π?(10?103)2
(2).E== 0.134V/m, H== 4.47 ?10-8 A/m
0 0
**Ex. 13-11. 有一氦-氖激光管，它所发射的激光功率10mW。设发出的激光为圆柱形光束，圆柱截面的直径为2mm，试求激光的最大电场强度E0 和磁感应强度B0 。
解：
S =
4P
πD2
4 ?10 ?10-3
=J/(m2 s) = 3.18?103 J/(m2 s)
π?(2 ?10-3)2
E ==
V/m=1.55?103 V/m, B=
E
0 = 5.17 ?10-6 T
0 0 c
Ex. 13-12 一雷达发射装置发射出一圆锥形的辐射束，而辐射能量均匀分布在锥内各个方向，圆锥立体角为0.01sr，距发射装置1km 处电场强度的最大值为10V/m。求（1）磁场强度的最大值H（2）这圆锥体内的最大辐射功率。
解：
(1). E = H ?H = E = 2.65?10-2 A/m
(2).S
max =EH =E2= 2.6510-1 W/m2
μ
0ε
μ
μ
ε
μ
ε
μ
-7
B
≥
2
光的偏振：
1. 马吕斯定理：如果入射线偏振光的光强为I1 ，透射光的光强I2 =I1 cos α
2. 起偏振角：当入射角i 为某一特定角度时，反射光中只有垂直于入射面的振动，平行于
入射面的振动为零，这时的反射光为完全偏振光。自然光以i B 入射到两种介质的分界面
上时，反射光和折射光互相垂直。i B+r = 90o ，t an i=n2
n
1
**光的干涉：
波长
↓ D ←缝到屏的距离
?x
d ←双缝之间的距离
1. 杨氏双缝干涉：
↑
明纹间距
=λ
DλDλ
a) 明纹位置：x =±k
d
b) 暗纹位置：x =±(2k +1)
2d
Ex.杨氏试验中，采用加油蓝绿色滤光片的白光光源，其波长范围为?λ= 100nm ，平均波长为490nm，试估算从第几级开始，条纹将变得无法分辨。
解：
设蓝绿光的波长范围为λ2 -λ1 =?λ= 100nm, (λ1+λ2)=λ= 490nm
2
D D
相应于λ2 和λ1 ，杨氏双缝干涉中k 级明纹的位置分别为：x1 =k
D D
λ
1
, x
2
=k λ2
d d
因此，k 级干涉条纹所占宽度为：x2 -x1 =k
(λ2-λ1)=k?λ
d d
显然，当宽度大于或等于相应与平均波长λ的条纹间距时，干涉条纹变得模糊不清：
k
D
?λ≥
D
λ?k
d d
λ
= 4.9 ，故第五级条纹开始，干涉条纹变的无法分辨。
?λ
Ex. 14-2 用很薄的云母片（n=1.58）覆盖在双缝之一，这时屏幕的零级暗纹移动到原来的第七级暗纹的位置上，入射光波长为550nm，求云母片的厚度。
δ=r-r=7μλm,δ'=r- r +ne -e= 0, e =
7λ
= 6.64
解：
2 1 2
[
1
]
n -1
2. 半波损失：光从光疏介质向光密介质传播时，在界面发生反射现象时，有半波损失。
3. 光的相位差：?=2π
δ
λ
4. **薄膜干涉：δ=2+
λ
2
a) 说明1：等倾干涉恒成立，对于垂直入射或接收到的光线很少时的等厚干涉亦成立。
λ
b) 说明2：涉及到的
2
λ
均为半波损失的补充波长。根据实际判断是否加上。
2
c) 垂直入射时，δ=2ne +
λ
2
d) δ=kλ为加强区，出现明纹。δ= (2k +1)
λ
为减弱区，出现暗纹。
2
1
N
≤ 5. 麦克尔逊干涉仪
a) 干涉薄膜： M 2 和 M 1'
b)
M 1 与 M 2 垂直时发生等倾干涉，圆条纹
c) M 1 与 M 2 不垂直时发生等厚干涉，线条纹
d)
M 可移动，每移动 λ
， δ 变化 λ 2 2
视点移动过的条纹数
↓
e)
d =
λ
↑
2
M 2移动的距离
Ex. 14-15 M 2 移动 0.3220mm 时，测得某单色光的条纹移动过 N=1204 条，求波长。 解：
d = N λ 2 ? λ = 2d
N
= 534nm Ex.14-5 一平面单色光波垂直照射在厚度均匀的薄油膜上，油膜覆盖在玻璃板上，所用单色
光的波长可以连续变化，观察到 500nm 和 700nm 这两个波长的光在反射中消失，油的折射 率为 1.30，玻璃的折射率为 1.50，试求油膜的厚度。 解：
δab = 2ne = (2k +1) λ500 ? e = (2k +1)? 500 nm = 1250 (2k +1) n m
2
2 ?1.30 ? 2 13
δ ' = 2ne = (2k +1) λ700 = ??2 (k +1) +1?? λ700 ? e = 1750
(2k + 3) n m ab
2 2 13
1250 (2k +1) = 1750
(2k + 3) ? k = -4, e = 6.73?10-4 mm 13 13
Ex.14-6 白光垂直照射在空气厚度为 0.4μm 的玻璃片上，玻璃的折射率为 1.50，试问在可见 光范围内（ λ =400 700nm ），那些波长的光在反射中增强，那些波长的光在透射中增强。
λ
4ne 解： (1)δab = 2ne + = k λ ? 400≤≤ 2 2k -1
700, (k = 1, 2, 3 ) ? k = 3, λ = 480nm.
当反射减弱时，透射增强，则：
(2)δ = 2ne + λ = (2k +1) λ ? 400≤ 2ne
700, (k = 1, 2, 3 ) ab
2 2 k
? k = 2, λ = 600nm, k = 3, λ = 400nm
*Ex. 3-21 在制作珠宝时，为了使人造水晶（n=1.5）具有强反射本领，就在其表面上镀一层 一氧化硅（n=2.0），要使波长为 560nm 的光强烈反射，这镀层至少应为多厚。 λ
解： δab = 2ne +
= k λ ? e ≥ 2
(2k -1) λ 4n
? k = 1, e
min
= 70nm.
Ex. 3-23 白光照射到 n=1.33 的肥皂泡上，若从 45°角方向观察薄膜呈现绿色（500nm ），试 求薄膜的最小厚度。若从垂直方向观察，肥皂泡正面呈现什么颜色？
．
解：
δ =2
+ λ
= k λ ? e ≥
1
?
k - 1 ?
k =1
λ nm
= 111 ab
2
2.253 2 ? δ ' = 2ne + λ
= k λ ? 400≤ 4ne
色 ? ?
700 ? k = 1, λ = 590nm(
)
ab
***光的衍射：
≤黄 2
2k -1
1. 惠根斯-菲涅尔原理：在光的传播过程中，从同一波面上各点发出的子波，经传播而在空
间某点相遇时，产生相干叠加。 2. 单缝衍射：
a) 垂直入射时， a sin θ =k λ 时，出现暗．条纹。 b) 垂直入射时， a sin θ = (2k +1) λ
时，出现明条纹。
2
c) 当θ =0o
时，对应零级明纹中心，也是几何像中心。90%的能量集中于此。 d) 应用：光栅缺级出现在 k λ
Ex. 14-16 有一单缝，宽 a=0.10mm ，在缝后放一焦距为 50cm 的会聚透镜，用平行绿光 ( λ = 546.0nm ) 垂直照射单缝，求位于透镜焦面处的屏幕上的中央明纹及第二级明纹宽度。 解：
λ
（1）两个第一级暗纹中心间距即为中央明纹宽度，利用 a sin θ1 =λ 得： sin θ1 ≈ θ1 =
。
a
则： ?x = 2D tan θ1 ≈ 2D θ1 = 2λ D a 2 ? 5.46 ? 5?10-2
= 0.10
mm = 5.46mm （2）第二级暗纹中心和第三级暗纹中心即为第二级明纹宽度，为中央暗纹宽度一半
λ D 则： ?x = D tan θ1 ≈ D θ1 =
a 5.46 ? 5?10-2 =
0.10
mm = 2.73mm
Ex. 4-1 在一单缝夫琅禾费衍射试验中，缝宽 a = 5λ ,缝后透镜焦距 f = 40cm ，试求中央条 纹和第一级亮纹的宽度。
解：
a sin θ1 = λ ? θ1 ≈ sin θ1 = 0.2
x 1 = f tan θ1 ≈ 0.2 f = 8cm; x 2 = f tan θ2 ≈ 2 ? 0.2 f = 16cm ∴ ?x 0 = 2x 1 = 16cm; ?x 1 = x 2 - x 1 = 8cm
3. 圆孔衍射：
a) 第一级暗环内的爱利斑的占有 98%的光能 b) 爱利斑的圆心就是象点
λ
c) *第一级暗环的衍射角θ1 满足：θ1 ≈ sin θ1 = 1.22 D
λ
d) 光学仪器的最小分辨角θR 满足：θR = θ1 ≈ 1.22
D
Ex. 14-24 在迎面驶来的汽车上，两盏前灯相距 1.2m ，试问汽车离人多远的地方，眼睛才能 分辨这两盏前灯？假设夜间人瞳孔直径为 5.0mm ，入射光波长 λ = 550.0nm 解：
θR = 1.22 λ D = 1.342 ?10-4 rad, tan θ = 1.2 = 1.342 ?10-4 ? x = 8.94km x
Ex. 14-25 已知天空中两颗星相对于一望远镜的角距离为 4.84 ?10-6
rad ，由他们发出的光波 波长为 λ = 550.0nm ，望远镜物镜的口径至少要多大，才能分辨出这两颗星？ 解：
θR = 1.22 λ
D
= 4.84 ?10-6 rad ? D = 13.9cm Ex. 14-27 已知地球到月球的距离是 3.84 ?108
m ，设来自月球的光的波长为 600nm ，若在 地球上用物镜直径为 1m 的一天文望远镜观察时，刚好月球正面一环形山上的两点分辨开， 则该两点的距离为多少？ 解：
tan θR = x 3.84 ?108
= 1.22 λ D
? x = 281m Ex. 14-28 一直径为 2mm 的氦氖激光束射向月球表面，其波长为 632.8nm 。已知月球和地面
的距离为 3.84 ?108
m ，试求（1）在月球航得到的光斑直径有多大？（2）如果这激光束经 扩束器扩展为直径为 2m ，则月球表面上得到的光斑直径为多大？在激光测距仪中，通常采
用激光扩束器，这是为什么？ 解：
(1) tan θR = r 3.84 ?108 = 1.22 λ D
? d = 2r = 2 ?148km = 296km (2) tan θR
' = r ' 3.84 ?108
= 1.22 λ D '
? d ' = 2r ' = 2 ?148m = 296m 光斑变小，易于测量。
Ex. 4-10 据说间谍卫星上的照相机能清楚识别地面上汽车的牌照号码。（1）如果需要识别的 拍照上的字划间距为 5cm ，在 160km 高空的卫星上的照相机角分辨率应多大。（2）此照相 机的孔径需要多大？光的波长按 500nm 计。 解：
(1)θ = 5?10 = 3.125?10-7 rad
R
1.6 ?105
(2) tan θ ' = 3.125?10-7 rad = 1.22 λ
? D = 1.952m
R
D
4. 光栅
a) *平行光垂直入射时光栅方程： (a + b )sin θ = k λ, k = 0, ±1, ±2
i. 上式决定各级亮谱线（主极大）的角位置。 ii. 在复色光入射时，零级谱线无色散，其余各级不同波长单色光出现在不同位置。 iii. 每一级都有一组谱线。
Ex. 14-19 一光栅，宽为 2.0cm ，共有 6000 条缝，如用钠光（589.3nm ）垂直入射，在哪些 角度出现光强极大？
R
-2
解：
a +
b =
2.0 ?10-2
6000
, (a + b )sin θ = k λ, k = 0, ±1, ±2
sin θ = k λ
a + b
= 0.1768k , k = 0, ±1, ±2
的可见光谱？那一级光谱中的哪个波长的光开始和其他谱线重叠？（ λ = 400 760nm ）
解：（1）
k λ760 < (k +1) λ400 ?, k = 1 ，则只有一个完整的可见光谱。 a + b a + b
(2)(k +1)λ' = k λ k =2 3 λ' = λ = 600nm
400 ? 2
400
，从第二级光谱中的 600nm 开始重叠。 b) 平行光以θ ' 斜射时光栅方程： (a + b )(sin θ - sin θ ') = k λ, k = 0, ±1, ±2 Ex. 14-8 用每毫米刻有 500 条纹的光栅，观察钠光谱线（ λ = 589.3nm ），问平行光垂直入 射时，最多看到第几级条纹，总共有多少条条纹。以 30°角入射时呢？ 解：垂直入射时：
(a + b )sin θ = k λ ?k ?
max ??sin ?θma ?x =1
→ k = a + b
sin θ ? k = 3.4 能看到第三级条纹，7 条 λ
以 30°入射时，设从上方看到的最大级数为 k 1 ,θ = 90 ，从下方为 k 2 ,θ = -90
(a + b )(sin 90o - s in 30o )
(a + b )(sin - 90o - s in 30o )
k 1 =
λ
= 1.70, k 2 =
λ
= 5.09
所以能看到 k 1 + k 2 +1 = 7 条明纹，最多从下方看到第五级明条纹。
(a + b )
c) 谱线光强受单缝衍射的阔制，缺级条件： k =
k ', k ' = 1, 2, 3
a
Ex. 14-21 波长 600nm 的单色光垂直入射在一光栅上，第二级明条纹分别出现在 sin θ = 0.2 处，第四级缺级。（1）光栅上相邻两缝的间距有多大？（2）光栅上狭缝可能的最小宽度 a 有多大？（3）按上述选定的 a,b 值，光屏上可能观察到的全部级数是多少？ 解：
max
(1). (a + μb m ) s in θ = k λ ? a + b = + b
k λ = 6
sin θ (2). a
a
μm = 4 ? a = 1.5
(a + b )sin 90o
(3).k max = λ
= ±10
逢 4 缺级， ±4，± 8 观察不到，θ = 90o
，±10 级观察不到共 20 +1- 2 - 4 = 15 级
d) 光栅的分辨本领： R = kN =
λ
= λ
λ2 - λ1 ?λ
Ex. 4-5 用每毫米内有 500 条缝的光栅，观察钠光谱线。（1）光线以 30°角入射光栅时，谱 线的最高级次是多少？并与垂直入射时比较。（2）若在第三级谱线处恰能分辨出钠双线，光 栅必须有多少条缝？（钠双线 λ1 = 589.0nm,λ2 = 589.6nm ） 解：（1）斜入射比垂直入射相比，可以看到更高级次的谱线：
(a + b )(sin θ - s in i ) k =
λ
? θ = -90o , k = 5.1;i = 0,θ = 90o
, k = 3.4
λ
λ 1 589.3 1
（2） R = kN =
? N =
=
? = 327
?λ
?λ k
0.6 3
5. X 射线衍射时亮点的布拉格公式： 2d sin ? = k λ, k = 1, 2, 3
Ex. 4-26 若? =45o
,入射 X 射线包含有从 0.095nm 到 0.130nm 这一波带中的各种波长。已知 晶格常数 d=0275nm ，问是否会有干涉加强的衍射 X 射线产生？如果有，这种 X 射线波长如 何？
2d sin ? 解： 2d sin ? = k λ ? 0.095nm ≤≤，；， 0.130nm ? k = 3 4
k
λ =0.130nm 0.097nm
A r r y r ? 第一章质点运动学主要内容 一. 描述运动的物理量 1. 位矢、位移和路程 由坐标原点到质点所在位置的矢量r 称为位矢 位矢r xi yj =+,大小 2r r x y ==+运动方程 ()r r t = 运动方程的分量形式() ()x x t y y t =???=?? 位移是描述质点的位置变化的物理量 △t 时间内由起点指向终点的矢量B A r r r xi yj =-=?+?△，2r x =?+△路程是△t 时间内质点运动轨迹长度s ?是标量。 明确 r ?、r ?、s ?的含义(?≠?≠?r r s ) 2. 速度（描述物体运动快慢和方向的物理量） 平均速度 x y r x y i j i j t t t u u u D D = =+=+D D r r r r r V V r 瞬时速度(速度) t 0r dr v lim t dt ?→?== ?(速度方向是曲线切线方向) j v i v j dt dy i dt dx dt r d v y x +=+==，2222y x v v dt dy dt dx dt r d v +=?? ? ??+??? ??== ds dr dt dt = 速度的大小称速率。 3. 加速度(是描述速度变化快慢的物理量） 平均加速度v a t ?= ? 瞬时加速度(加速度) 220lim t d d r a t dt dt υυ→?===?△ a 方向指向曲线凹向j dt y d i dt x d j dt dv i dt dv dt v d a y x 2222+=+== 2 2222222 2 2???? ??+???? ??=? ?? ? ? ?+??? ??=+=dt y d dt x d dt dv dt dv a a a y x y x 二.抛体运动 运动方程矢量式为 2 012 r v t gt =+
一、刚体的简单运动知识点总结 1、刚体运动的最简单形式为平行移动与绕定轴转动。 2、刚体平行移动。 ·刚体内任一直线段在运动过程中,始终与它的最初位置平行,此种运动称为刚体平行移动,或平移。 ·刚体作平移时,刚体内各点的轨迹形状完全相同,各点的轨迹可能就是直线,也可能就是曲线。 ·刚体作平移时,在同一瞬时刚体内各点的速度与加速度大小、方向都相同。 3、刚体绕定轴转动。 ?刚体运动时,其中有两点保持不动,此运动称为刚体绕定轴转动,或转动。 ?刚体的转动方程φ=f(t)表示刚体的位置随时间的变化规律。 ?角速度ω表示刚体转动快慢程度与转向,就是代数量, 。角速度也可以用矢量表示, 。 ?角加速度表示角速度对时间的变化率,就是代数量, ,当α与ω同号时,刚体作匀加速转动;当α与ω异号时,刚体作匀减速转动。角加速度也可以用矢量表示, 。 ?绕定轴转动刚体上点的速度、加速度与角速度、角加速度的关系: 。 速度、加速度的代数值为。 ?传动比。
二. 转动定律转动惯量 转动定律 力矩相同,若转动惯量不同,产生的角加速度不同 与牛顿定律比较: 转动惯量 刚体绕给定轴的转动惯量J 等于刚体中每个质元的质量与该质元到转轴距离的平方的乘积之总与。 定义式质量不连续分布 质量连续分布 物理意义 转动惯量就是描述刚体在转动中的惯性大小的物理量。 它与刚体的形状、质量分布以及转轴的位置有关。 计算转动惯量的三个要素:
(1)总质量; (2)质量分布; (3)转轴的位置 (1) J 与刚体的总质量有关 几种典型的匀质刚体的转动惯量 平行轴定理与转动惯量的可加性 1) 平行轴定理 设刚体相对于通过质心轴线的转动惯量为Ic,相对于与之平行的另一轴的转动惯量为I,则可以证明I 与Ic 之间有下列关系 2c I I md =+ 2)转动惯量的可加性 对同一转轴而言,物体各部分转动惯量之与 等于整个物体的转动惯量。 三 角动量 角动量守恒定律 2 c I I md =+
一、判断题 （ 对 ） 1 X ( X 1 , X 2 ,L , X p ) 的协差阵一定是对称的半正定阵 （ 对 （ ） 2 标准化随机向量的协差阵与原变量的相关系数阵相同。 对） 3 典型相关分析是识别并量化两组变量间的关系，将两组变量的相关关系 的研究转化为一组变量的线性组合与另一组变量的线性组合间的相关关系的研究。 （ 对 ）4 多维标度法是以空间分布的形式在低维空间中再现研究对象间关系的数据 分析方法。 （ 错）5 X (X 1 , X 2 , , X p ) ~ N p ( , ) ， X , S 分别是样本均值和样本离 差阵，则 X , S 分别是 , 的无偏估计。 n （ 对） 6 X ( X 1 , X 2 , , X p ) ~ N p ( , ) ， X 作为样本均值 的估计，是 无偏的、有效的、一致的。 （ 错） 7 因子载荷经正交旋转后，各变量的共性方差和各因子的贡献都发生了变化 （ 对） 8 因子载荷阵 A ( ij ) ij 表示第 i 个变量在第 j 个公因子上 a 中的 a 的相对重要性。 （ 对 ）9 判别分析中， 若两个总体的协差阵相等， 则 Fisher 判别与距离判别等价。 （对） 10 距离判别法要求两总体分布的协差阵相等， Fisher 判别法对总体的分布无特 定的要求。 二、填空题 1、多元统计中常用的统计量有：样本均值向量、样本协差阵、样本离差阵、 样本相关系数矩阵． 2、 设 是总体 的协方差阵， 的特征根 ( 1, , ) 与相应的单 X ( X 1,L , X m ) i i L m 位 正 交 化 特 征 向 量 i ( a i1, a i 2 ,L ,a im ) ， 则 第 一 主 成 分 的 表 达 式 是 y 1 a 11 X 1 a 12 X 2 L a 1m X m ，方差为 1 。 3 设 是总体 X ( X 1, X 2 , X 3, X 4 ) 的协方差阵， 的特征根和标准正交特征向量分别 为： 1 2.920 U 1' (0.1485, 0.5735, 0.5577, 0.5814) 2 1.024 U 2' (0.9544, 0.0984,0.2695,0.0824) 3 0.049 U 3' (0.2516,0.7733, 0.5589, 0.1624) 4 0.007 U 4' ( 0.0612,0.2519,0.5513, 0.7930) ，则其第二个主成分的表达式是
大学物理上册期末考试 重点例题 Document number：PBGCG-0857-BTDO-0089-PTT1998
第一章 质点运动学习题 1-4一质点在xOy 平面上运动，运动方程为 x =3t +5, y = 2 1t 2 +3t -4.（SI ） (式中t 以 s 计，x ,y 以m 计．) (1)以时间t 为变量，写出质点位置矢量的表示式； (2)求出t =1 s 时刻和t ＝2s 时刻的位置矢量，并计算这1秒内质点的位移； (3)计算t ＝0 s 时刻到t ＝4s 时刻内的平均速度； (4)求出质点速度矢量表示式，并计算t ＝4 s 时质点的速度； (5)计算t ＝0s 到t ＝4s 内质点的平均加速度； (6)求出质点加速度矢量的表示式，并计算t ＝4s 时质点的加速度。 (请把位置矢量、位移、平均速度、瞬时速度、平均加速度、瞬时加速度都表示成直角坐标系中的矢量式)． 解：（1）质点位置矢量 21 (35)(34)2r xi yj t i t t j =+=+++-m (2)将1=t ,2=t 代入上式即有 211 [(315)(1314)](80.5)2t s r i j m i j m ==?++?+?-=- 221 [(325)(2324)](114)2 t s r i j m i j ==?++?+?-=+m 21(114)(80.5)(3 4.5)t s t s r r r i j m i j m i j m ==?=-=+--=+ (3) ∵ 20241 [(305)(0304)](54)2 1 [(345)(4344)](1716)2 t s t s r i j m i j m r i j m i j m ===?++?+?-=-=?++?+?-=+ ∴ 1140(1716)(54)(35)m s 404 t s t s r r r i j i j v m s i j t --==-?+--= ==?=+??-
y 第一章质点运动学主要内容 一. 描述运动的物理量 1. 位矢、位移和路程 由坐标原点到质点所在位置的矢量r r 称为位矢 位矢r xi yj =+r v v ,大小 r r ==v 运动方程 ()r r t =r r 运动方程的分量形式() ()x x t y y t =???=?? 位移是描述质点的位置变化的物理量 △t 时间内由起点指向终点的矢量B A r r r xi yj =-=?+?r r r r r △，r =r △路程是△t 时间内质点运动轨迹长度s ?是标量。 明确r ?r 、r ?、s ?的含义(?≠?≠?r r r s ) 2. 速度（描述物体运动快慢和方向的物理量） 平均速度 x y r x y i j i j t t t u u u D D = =+=+D D r r r r r V V r 瞬时速度(速度) t 0r dr v lim t dt ?→?== ?r r r (速度方向是曲线切线方向) j v i v j dt dy i dt dx dt r d v y x ??????+=+==，2222y x v v dt dy dt dx dt r d v +=?? ? ??+??? ??==?? ds dr dt dt =r 速度的大小称速率。 3. 加速度(是描述速度变化快慢的物理量） 平均加速度v a t ?=?r r 瞬时加速度(加速度) 220lim t d d r a t dt dt υυ→?===?r r r r △ a r 方向指向曲线凹向j dt y d i dt x d j dt dv i dt dv dt v d a y x ????ρ ?2222+=+== 2 2222222 2 2???? ??+???? ??=? ?? ? ??+??? ??=+=dt y d dt x d dt dv dt dv a a a y x y x ? 二.抛体运动 运动方程矢量式为 2 012 r v t gt =+ r r r
第九章 典型相关分析 9.1 什么是典型相关分析？简述其基本思想。 答： 典型相关分析是研究两组变量之间相关关系的一种多元统计方法。用于揭示两组变量之间的内在联系。典型相关分析的目的是识别并量化两组变量之间的联系。将两组变量相关关系的分析转化为一组变量的线性组合与另一组变量线性组合之间的相关关系。 基本思想： （1）在每组变量中找出变量的线性组合，使得两组的线性组合之间具有最大的相关系数。即： 若设(1) (1)(1) (1)12(,, ,)p X X X =X 、(2)(2)(2) (2) 12(,, ,)q X X X =X 是两组相互关联的随机变量， 分别在两组变量中选取若干有代表性的综合变量Ui 、Vi ，使是原变量的线性组合。 在(1)(1)(1)(2)()()1D D ''==a X b X 的条件下，使得(1)(1)(1)(2)(,)ρ''a X b X 达到最大。（2）选取和最初挑选的这对线性组合不相关的线性组合，使其配对，并选取相关系数最大的一对。 （3）如此继续下去，直到两组变量之间的相关性被提取完毕为此。 9.2 什么是典型变量？它具有哪些性质？ 答：在典型相关分析中，在一定条件下选取系列线性组合以反映两组变量之间的线性关系，这被选出的线性组合配对被称为典型变量。具体来说， ()(1)()(1) ()(1) ()(1)1122i i i i i P P U a X a X a X '=++ +a X ()(2)()(2) ()(2) ()(2)1122i i i i i q q V b X b X b X '=+++b X 在(1)(1)(1)(2)()()1D D ''==a X b X 的条件下，使得(1)(1)(1)(2)(,)ρ''a X b X 达到最大，则称 (1)(1)'a X 、(1)(2)'b X 是(1)X 、(2)X 的第一对典型相关变量。 典型变量性质： 典型相关量化了两组变量之间的联系，反映了两组变量的相关程度。 1. ()1,()1 (1,2,,)k k D U D V k r === (,)0,(,)0()i j i j Cov U U Cov V V i j ==≠ 2. 0(,1,2,,) (,)0 ()0() i i j i j i r Cov U V i j j r λ≠==?? =≠??>? 9.3 试分析一组变量的典型变量与其主成分的联系与区别。 答：一组变量的典型变量和其主成分都是经过线性变换计算矩阵特征值与特征向量得出的。主成分分析只涉及一组变量的相互依赖关系而典型相关则扩展到两组变量之间的相互依赖关系之中 ()(1)()(1)()(1)()(1) 1122i i i i i P P U a X a X a X '=+++a X ()(2)()(2)()(2)()(2)1122i i i i i q q V b X b X b X '=+++b X (1)(1)(1)(1)1 2 (,,,)p X X X =X 、(2)(2)(2)(2)1 2 (,,,)q X X X =X
例1：1 mol 氦气经如图所示的循环，其中p 2= 2 p 1，V 4= 2 V 1，求在1~2、2~3、3~4、4~1等过程中气体与环境的热量交换以及循环效率（可将氦气视为理想气体）。O p V V 1 V 4 p 1p 2解：p 2= 2 p 1 V 2= V 11234T 2= 2 T 1p 3= 2 p 1V 3= 2 V 1T 3= 4 T 1p 4= p 1V 4= 2 V 1 T 4= 2 T 1 （1）O p V V 1 V 4 p 1p 21234)(1212T T C M m Q V -=1→2 为等体过程， 2→3 为等压过程， )(2323T T C M m Q p -=1 1123)2(23RT T T R =-=1 115)24(2 5RT T T R =-=3→4 为等体过程， )(3434T T C M m Q V -=1 113)42(2 3 RT T T R -=-=4→1 为等压过程， )(4141T T C M m Q p -=1 112 5)2(25RT T T R -=-= O p V V 1 V 4 p 1p 21234（2）经历一个循环，系统吸收的总热量 23121Q Q Q +=1 112 13 523RT RT RT =+=系统放出的总热量1 41342211 RT Q Q Q =+=% 1.1513 2 112≈=-=Q Q η三、卡诺循环 A → B ：等温膨胀B → C ：绝热膨胀C → D ：等温压缩D →A ：绝热压缩 ab 为等温膨胀过程：0ln 1>=a b ab V V RT M m Q bc 为绝热膨胀过程：0=bc Q cd 为等温压缩过程：0ln 1<= c d cd V V RT M m Q da 为绝热压缩过程：0 =da Q p V O a b c d V a V d V b V c T 1T 2 a b ab V V RT M m Q Q ln 11= =d c c d V V RT M m Q Q ln 12= =, 卡诺热机的循环效率： p V O a b c d V a V d V b V c ) )(1 212a b d c V V V V T T Q Q (ln ln 11-=- =ηT 1T 2 bc 、ab 过程均为绝热过程，由绝热方程： 11--=γγc c b b V T V T 1 1--=γγd d a a V T V T (T b = T 1, T c = T 2)(T a = T 1, T d = T 2) d c a b V V V V =1 212T T Q Q -=- =11η p V O a b c d V a V d V b V c T 1T 2 卡诺制冷机的制冷系数： 1 2 1212))(T T V V V V T T Q Q a b d c ==(ln ln 2 122122T T T Q Q Q A Q -= -== 卡ω
一 质 点 运 动 学 知识点： 1． 参考系 为了确定物体的位置而选作参考的物体称为参考系。要作定量描述，还应在参考系上建立坐标系。 2． 位置矢量与运动方程 位置矢量（位矢）：是从坐标原点引向质点所在的有向线段，用矢量r 表示。位矢用于确定质点在空间的位置。位矢与时间t 的函数关系： k ?)t (z j ?)t (y i ?)t (x )t (r r ++== 称为运动方程。 位移矢量：是质点在时间△t 内的位置改变，即位移： )t (r )t t (r r -+=?? 轨道方程：质点运动轨迹的曲线方程。 3． 速度与加速度 平均速度定义为单位时间内的位移，即： t r v ?? = 速度，是质点位矢对时间的变化率： dt r d v = 平均速率定义为单位时间内的路程：t s v ??= 速率，是质点路程对时间的变化率：ds dt υ= 加速度，是质点速度对时间的变化率：dt v d a = 4． 法向加速度与切向加速度 加速度 τ?a n ?a dt v d a t n +==
法向加速度ρ=2 n v a ，方向沿半径指向曲率中心（圆心），反映速度方向的变化。 切向加速度dt dv a t =，方向沿轨道切线，反映速度大小的变化。 在圆周运动中，角量定义如下： 角速度 dt d θ = ω 角加速度 dt d ω= β 而R v ω=，22 n R R v a ω== ，β==R dt dv a t 5． 相对运动 对于两个相互作平动的参考系，有 ''kk pk pk r r r +=，'kk 'pk pk v v v +=，'kk 'pk pk a a a += 重点： 1. 掌握位置矢量、位移、速度、加速度、角速度、角加速度等描述质点运动和运动变化的 物理量，明确它们的相对性、瞬时性和矢量性。 2. 确切理解法向加速度和切向加速度的物理意义；掌握圆周运动的角量和线量的关系，并能灵活运用计算问题。 3. 理解伽利略坐标、速度变换，能分析与平动有关的相对运动问题。 难点： 1．法向和切向加速度 2．相对运动问题 三、功和能 知识点： 1. 功的定义 质点在力F 的作用下有微小的位移d r （或写为ds ），则力作的功定义为力和位移的标积即 θθcos cos Fds r d F r d F dA ==?= 对质点在力作用下的有限运动，力作的功为 ? ?=b a r d F A 在直角坐标系中，此功可写为 ???++=b a z b a y b a x dz F dy F dx F A
大学物理下册 学院： 姓名： 班级： 第一部分：气体动理论与热力学基础 一、气体的状态参量：用来描述气体状态特征的物理量。 气体的宏观描述，状态参量： （1）压强p：从力学角度来描写状态。 垂直作用于容器器壁上单位面积上的力，是由分子与器壁碰撞产生的。单位 Pa （2）体积V：从几何角度来描写状态。 分子无规则热运动所能达到的空间。单位m 3 （3）温度T：从热学的角度来描写状态。 表征气体分子热运动剧烈程度的物理量。单位K。 二、理想气体压强公式的推导： 三、理想气体状态方程： 1122 12 PV PV PV C T T T =→=； m PV RT M ' =；P nkT = 8.31J R k mol =；23 1.3810J k k - =?；231 6.02210 A N mol- =?； A R N k = 四、理想气体压强公式： 2 3kt p nε =2 1 2 kt mv ε=分子平均平动动能 五、理想气体温度公式： 2 13 22 kt mv kT ε== 六、气体分子的平均平动动能与温度的关系： 七、刚性气体分子自由度表 八、能均分原理： 1.自由度：确定一个物体在空间位置所需要的独立坐标数目。 2.运动自由度： 确定运动物体在空间位置所需要的独立坐标数目，称为该物体的自由度 （1）质点的自由度： 在空间中：3个独立坐标在平面上：2 在直线上：1 （2）直线的自由度： 中心位置：3（平动自由度）直线方位：2（转动自由度）共5个 3.气体分子的自由度 单原子分子 (如氦、氖分子)3 i=；刚性双原子分子5 i=；刚性多原子分子6 i= 4.能均分原理：在温度为T的平衡状态下，气体分子每一自由度上具有的平均动都相等，其值为 1 2 kT 推广：平衡态时，任何一种运动或能量都不比另一种运动或能量更占优势,在各个自由度上，运动的机会均等,且能量均分。 5.一个分子的平均动能为： 2 k i kT ε=
大学物理典型例题分析 第１3章光的干涉 例13－1如图将一厚度为l ，折射率为n 的薄玻璃片放在一狭缝和屏幕之间，设入射光波长为λ,测量中点Ｃ处的光强与片厚l 的函数关系。如果l =0时，该点的强度为 0I ,试问: (1)点Ｃ的光强与片厚ｌ的函数关系是什么； (２)l 取什么值时,点C 的光强最小。 解 (1)在C 点来自两狭缝光线的光程差为nl l δ=- 相应的相位差为 22(1)n l π π ?δλ λ ?= = - 点C 的光强为： 2 14cos 2I I ??= 其中：Ｉ１ 为通过单个狭缝在点C 的光强。 014I I = (2)当 1(1)()2 n l k δλ =-=-时 点C 的光强最小。所以 1() 1,2,3, 21l k k n λ=-=- 例13-２如图所示是一种利用干涉方法测量气体折射率的干涉示意图。其中T 1 ,T 2 为一对完全相同的玻璃管，长为l ,实验开始时，两管中为空气，在 P ０ 处出现零级明纹。然后在T ２ 管中注入待测气体而将空气排除,在这过程中,干涉条纹就会移动，通过测定干涉条纹的移 动数可以推知气体的折射率。 设l =２0cm ，光波波长589.3nm λ=,空气的折射率1.0０02７6，充一某种气体后，条纹 移动2００条,求这种气体的折射率。 解当两管同为空气时，零级明纹出现在P 0处,则从S 1和S 2射出的光在此处相遇时，光程差为零。T 2管充以某种气体后,从Ｓ2射出的光到达屏处的光程就要增加,零级明纹将要向下移动,出现在o P ' 处。如干涉条纹移动Ｎ条明纹，这样P ０ 处将成为第N 级明纹,因此，充气后两 光线在P ０ 处的光程差为 S 1 L 1 L 2 T 2 T 1 S 2 S E P 0 P 0 ' 例13-2图 例13-1图
大学物理I期末复习知识点汇总 （2011-5-12） 第一章：质点运动学 1、参考系坐标系质点 2、位置矢量位移速度加速度 3、角量和线量的关系（角量：角坐标角速度角加速度） 4、运动方程和轨迹方程 5、相对运动绝对=牵连+相对 第二章：牛顿运动定律 1、牛顿运动定律（牛顿第一定律、牛顿第二定律、牛顿第三定律） 2、常见的三种力（万有引力、弹性力、摩擦力） 第三章：动量守恒定律和能量守恒定律 1、动量冲量质点和质点系的动量定理以及动量守恒定律 2、功保守力和非保守力的功势能 常见的保守力：重力弹性力万有引力 势能：引力势能重力势能弹性势能 3、质点和质点系的动能定理 4、系统的功能原理 5、机械能守恒定律 6、质心质心运动定理 第四章：刚体 1、刚体刚体的运动 2、刚体的定轴转动 3、力矩转动惯量转动定律 4、质点的角动量质点的角动量定理质点的角动量守恒定律 5、刚体定轴转动角动量 6、刚体定轴转动的角动量定理 7、刚体定轴转动的角动量守恒定律 8、刚体定轴转动时力矩做功 9、刚体定轴转动的动能定理 第五章：静电场
1、点电荷电荷守恒定律库伦定律 2、电场强度电场叠加原理 3、电势电势叠加原理 4、静电场的高斯定理 5、静电场的环路定理 6、电场强度和电势梯度之间的关系 7、求场强的三种方法： （1）已知空间电荷分布，用场强叠加原理求场强 （2）已知电荷分布，电荷分布具有高度对称性，高斯定律求场强（3）已知电势分布，可利用电势梯度来计算电场强度 第六章：静电场中的导体与电介质 1、静电场中的导体 （1）均匀导体静电平衡的条件：导体内部电场强度处处为零。 （2）根据均匀导体的静电平衡条件，可以得到以下推论： （a）导体为等势体，其表面为等势面 （b）导体表面上任意一点的电场强度的方向都垂直于该处表面 （c）当带点导体处于静电平衡时，导体内部处处没有净电荷存在，电荷只能分布在导体表面 （d）导体表面附近的电场强度大小与该处电荷的面密度成正比。即（e）孤立带电导体表面各处电荷密度的大小与该处表面的曲率半径有关，曲率半径越大的地方，电荷面密度越小。 （3）静电屏蔽 在静电平衡条件下： （a）外电场不可能对空腔内部空间发生任何影响 （b）接地封闭导体腔外电场不受腔内电荷的影响 2、静电场中的电介质 （1）电介质的极化外电场作用下，电介质表面出现束缚电荷的现象（2）电极化强度矢量 P （3）电位移矢量D P、D、E之间的关系 （4）有电介质时的高斯定理 3、电容器电容 （1）电容的定义 （2）串联和并联的等效电容 4、静电能 （1）电场的能量密度
大学物理典型例题分析 第13章光的干涉 例13-1如图将一厚度为I,折射率为n的薄玻璃片放在一狭缝和屏幕之间, I (k 1k 1,2,3，川 2 n 1 种利用干涉方法测量气体折射率的干涉示意图。其中 对完全相同的玻璃管，长为I，实验开始时，两管中为空气，在P0处出现零级明纹。然后 在T2管中注入待测气体而将空气排除，在这过程中，干涉条纹就会移动，通过测定干涉条纹的移动数可以推知气体的折射率。 设l=20cm，光波波长589.3nm，空气的折射率1.000276,充一某种气体后，条纹移动 200条，求这种气体的折射率。 解当两管同为空气时，零级明纹出现在P。处，则从S和S2射出的光在此处相遇时, 光程差为零。T2管充以某种气体后，从s射出的光到达屏处的光程就要增加，零级明纹将要向下移动，出现在 FO 处。如干涉条纹移动N条明纹，这样P。处将成为第N级明纹，因此, 充气后两光线在P0处的光程差为 n2l n1l ，测量中点C处的光强与片厚I的函数关系。如果1=0时，该点的强度为 (1) 点C的光强与片厚I的函数关系是什么； (2) I取什么值时，点C的光强最小。 解(1)在C点来自两狭缝光线的光程差为 相应的相位差为 长为 nl Io ，试问: I M1 C 点C的光强为: 2 I 2 其中：h为通过单个狭缝在点 I 411 cos 例13-1图 ⑵当 —(n 1)I C的光 强。 I i (n 1)l 1 (k 2)时 设入射光波 点C的光强最小。所以 例13-2如图所示是
所以 n 2l nj N 即 代入数据得 n 2 N l n 1 n 2 200 589.3 103 1.0002 7 6 1.000865 0.2 例13-3.在双缝干涉实验中，波长 =5500?的单色平行光垂直入射到缝间距 a=2 10 -4 m 的双缝上，屏到双缝的距离 D = 2m .求： (1 )中央明纹两侧的两条第 10级明纹中心的间距； (2)用一厚度为e=6.6 10-6 m 、折射率为n=1.58的玻璃片覆盖一缝后，零级明纹将移到 原来的 第几级明纹处 ？ D 解：(1)因为相邻明(暗)条纹的间距为 T ，共20个间距 x 20— 0.11m 所以 a (2)覆盖玻璃后，零级明纹应满足： r 2 (r 1 e) ne 0 设不盖玻璃片时，此点为第k 级明纹，则应有 r 2 r 1 k 所以 (n 1)e k (n 1)e k 6.96 7 零级明纹移到原第 7级明纹处. 例13-4薄钢片上有两条紧靠的平行细缝，用波长 =5461?的平面光波正入射到钢片 上。屏幕距双缝的距离为 D =2.00m ，测得中央明条纹两侧的第五级明条纹间的距离为 x =12.0mm., (1) 求两缝间的距离。 (2) 从任一明条纹(记作0)向一边数到第20条明条纹，共经过多大距离？ (3) 如果使光波斜入射到钢片上，条纹间距将如何改变？ 2kD x --------- 解(1) d 2kd d x 此处 k 5 10D d 0.910mm x (2)共经过20个条纹间距，即经过的距离
y 第一章质点运动学主要容 一. 描述运动的物理量 1. 位矢、位移和路程 由坐标原点到质点所在位置的矢量r r 称为位矢 位矢r xi yj =+r v v ,大小 r r ==v 运动程 ()r r t =r r 运动程的分量形式() ()x x t y y t =???=?? 位移 是描述质点的位置变化的物理量 △t 时间由起点指向终点的矢量B A r r r xi yj =-=?+?r r r r r △，r =r △路程是△t 时间质点运动轨迹长度s ?是标量。 明确r ?r 、r ?、s ?的含义(?≠?≠?r r r s ) 2. 速度（描述物体运动快慢和向的物理量） 平均速度 x y r x y i j i j t t t u u u D D ==+=+D D r r r r r V V r 瞬时速度(速度) t 0r dr v lim t dt ?→?== ?r r r (速度向是曲线切线向) j v i v j dt dy i dt dx dt r d v y x ??????+=+==，2222y x v v dt dy dt dx dt r d v +=?? ? ??+??? ??==?? ds dr dt dt =r 速度的大小称速率。 3. 加速度(是描述速度变化快慢的物理量） 平均加速度v a t ?=?r r 瞬时加速度(加速度) 220lim t d d r a t dt dt υυ→?===?r r r r △ a r 向指向曲线凹向j dt y d i dt x d j dt dv i dt dv dt v d a y x ????ρ ?2222+=+== 2 2222222 2 2???? ??+???? ??=? ?? ? ? ?+??? ??=+=dt y d dt x d dt dv dt dv a a a y x y x ? 二.抛体运动
第1章质点运动学（复习指南) 一、基本要求 掌握参考系、坐标系、质点、运动方程与轨迹方程得概念，合理选择运动参考系并建立直角坐标系,理解将运动对象视为质点得条件、 掌握位矢、位移、速度、加速度得概念;能借助直角坐标系计算质点在平面内运动时得位移、平均速度、速度与加速度、会计算相关物理量得大小与方向、 二、基本内容 １.位置矢量(位矢） 位置矢量表示质点任意时刻在空间得位置,用从坐标原点向质点所在点所引得一条有向线段，用表示．得端点表示任意时刻质点得空间位置.同时表示任意时刻质点离坐标原点得距离及质点位置相对坐标轴得方位.位矢就是描述质点运动状态得物理量之一.对应注意: (１）瞬时性:质点运动时，其位矢就是随时间变化得,即.此式即矢量形式得质点运动方程. (2)相对性:用描述质点位置时，对同一质点在同一时刻得位置,在不同坐标系中可以就是不相同得．它表示了得相对性,也反映了运动描述得相对性. (3）矢量性:为矢量，它有大小，有方向,服从几何加法.在平面直角坐标系系中 位矢与x轴夹角正切值 ? 质点做平面运动得运动方程分量式:,． 平面运动轨迹方程就是将运动方程中得时间参数消去,只含有坐标得运动方程、 ２.位移 得大小?. 注意区分:(1)与,前者表示质点位置变化,就是矢量，同时反映位置变化得大小与方位.后者就是标量,反映从质点位置到坐标原点得距离得变化．(2)与,表示时间内质点通过得路程,就是标量.只有当质点沿直线某一方向前进时两者大小相同，或时,. 3．速度 定义，在直角坐标系中 得方向:在直线运动中,表示沿坐标轴正向运动,表示沿坐标轴负向运动． 在曲线运动中,沿曲线上各点切线,指向质点前进得一方.
例1 路灯离地面高度为H，一个身高为h 的人，在灯下水平路面上以匀速度步行。如图3-4所示。求当人与灯的水平距离为时，他的头顶在地面上的影子移动的速度的大小。 解:建立如右下图所示的坐标，时刻头顶影子的坐标为 ，设头顶影子的坐标为，则 由图中看出有 则有 所以有 ; 例2如右图所示，跨过滑轮C的绳子，一端挂有重物B，另一端A被人拉着沿水平方向匀速运动，其速率。A离地高度保持为h，h =1.5m。运动开始时，重物放在地面B0处，此时绳C在铅直位置绷紧，滑轮离地高度H = 10m，滑轮半径忽略不计，求： (1) 重物B上升的运动方程； (2) 重物B在时刻的速率和加速度； (3) 重物B到达C处所需的时间。 解：(1)物体在B0处时，滑轮左边绳长为l0 = H-h，当重物的位移为y时，右边绳长为
因绳长为 由上式可得重物的运动方程为 (SI) (2)重物B的速度和加速度为 (3)由知 当时，。 此题解题思路是先求运动方程，即位移与时间的函数关系，再通过微分求质点运动的速度和加速度。 例3一质点在xy平面上运动，运动函数为x = 2t, y = 4t2-8(SI)。 (1) 求质点运动的轨道方程并画出轨道曲线； (2) 求t1=1s和t2=2s时，质点的位置、速度和加速度。
解：(1) 在运动方程中消去t，可得轨道方程为 ， 轨道曲线为一抛物线如右图所示。 (2) 由 可得: 在t1=1s 时， 在t2=2s 时, 例4质点由静止开始作直线运动，初始加速度为a0，以后加速度均匀增加，每经过τ秒增加a0，求经过t秒后质点的速度和位移。 解：本题可以通过积分法由质点运动加速度和初始条件，求解质点的速度和位移。 由题意可知，加速度和时间的关系为: 根据直线运动加速度的定义
大学物理知识点归纳 -CAL-FENGHAI-(2020YEAR-YICAI)_JINGBIAN
大学物理 第十一章：真空中的静电场 一、电场强度：数值上等于单位正电荷在该点受到的电场力的大小，也等于单 位面积电通量的大小（即电场线密度）；方向与该点的受力方向（或者说电场线 方向）一致。 二、电场强度的计算： a)点电荷的电场强度： b)电偶极子中垂线上任意一点的电场强度：（表示点到电偶极 子连线的距离） c)均匀带电直棒： i.有限长度： ii.无限长（=0，）： iii.半无限长： （） 三、电通量 a)电场线：电场线上任意一点的切线方向与该点的电场强度E的方向一致，曲 线的疏密程度表示该点电场强度的大小，即该点附近垂直于电场方向的单位 面积所通过的电场线条数满足：电场中某点的电场强度大小 等于该处的电场线密度，即该点附近垂直于电场方向的单位面积所通过的电 场线条数。 b)静电场电场线的特点： 1.电场线起于正电荷（或无穷远），终于负电荷（或伸向无穷远）， 在无电荷的地方不会中断； 2.任意两条电场线不相交，即静电场中每一点的电场强度只有一个方 向； 3.电场线不形成闭合回路； 4.电场强处电场线密集，电场弱处电场线稀疏。 c)电通量 i.均匀电场E穿过任意平面S的电通量： ii.非均匀电场E穿过曲面S的电通量：
四、高斯定理 a) b)表述：真空中任何静电场中，穿过任一闭合曲面的电通量，在数值上等于该 闭合曲面内包围的电荷的代数和除以; c)理解： 1.高斯定理表达式左边的E是闭合面上处的电场强度，他是由闭合 面内外全部电荷共同产生的，即闭合曲面外的电荷对空间各点的E 有贡献，要影响闭合面上的各面元的同量。 2.通过闭合曲面的总电量只决定于闭合面内包围的电荷，闭合曲面外 部的电荷对闭合面的总电通量无贡献。 d)应用： 1.均匀带电球面外一点的场强相当于全部电荷集中于球心的点电荷在 该点的电场强度。 2.均匀带电球面内部的电场强度处处为零。 五、电势 a)静电场环路定理：在静电场中，电场强度沿任意闭合路径的线积分等于零。 b)电场中a点的电势： 1.无穷远为电势零点： 2.任意b点为电势零点： 六、电势能：电荷在电场中由于受到电场作用而具有电荷中的电荷比值决定位 置的能叫做电势能， 七、电势叠加定理：点电荷系电场中任意一点的电势等于各点电荷单独存在该 点所产生的电势的代数和。 八、等势面与电场线的关系： 1.等势面与电场线处处正交； 2.电场线指向电势降落的方向； 3.等势面与电场线密集处场强的量值大，稀疏处场强量值小。 九、电势梯度： a) b)电场中任意一点的电场强度等于该点点势梯度的负值。
大学物理下册 学院： ： 班级： 第一部分：气体动理论与热力学基础一、气体的状态参量：用来描述气体状态特征的物理量。 气体的宏观描述，状态参量： （1）压强p：从力学角度来描写状态。 垂直作用于容器器壁上单位面积上的力，是由分子与器壁碰撞产生的。单位 Pa （2）体积V：从几何角度来描写状态。 分子无规则热运动所能达到的空间。单位m 3 （3）温度T：从热学的角度来描写状态。 表征气体分子热运动剧烈程度的物理量。单位K。 二、理想气体压强公式的推导： 三、理想气体状态方程： 1122 12 PV PV PV C T T T =→=； m PV RT M ' =；P nkT = 8.31J R k mol =；23 1.3810J k k - =?；231 6.02210 A N mol- =?； A R N k = 四、理想气体压强公式： 2 3kt p nε =2 1 2 kt mv ε=分子平均平动动能 五、理想气体温度公式： 2 13 22 kt mv kT ε== 六、气体分子的平均平动动能与温度的关系： 七、刚性气体分子自由度表 八、能均分原理： 1.自由度：确定一个物体在空间位置所需要的独立坐标数目。 2.运动自由度： 确定运动物体在空间位置所需要的独立坐标数目，称为该物体的自由度 （1）质点的自由度： 在空间中：3个独立坐标在平面上：2 在直线上：1 （2）直线的自由度： 第一部分：气体动理论与热力学基础 第二部分：静电场 第三部分：稳恒磁场 第四部分：电磁感应 第五部分：常见简单公式总结与量子物理基础
中心位置：3（平动自由度） 直线方位：2（转动自由度） 共5个 3. 气体分子的自由度 单原子分子 (如氦、氖分子)3i =；刚性双原子分子5i =；刚性多原子分子6i = 4. 能均分原理：在温度为T 的平衡状态下，气体分子每一自由度上具有的平均动都相等，其值为 12 kT 推广：平衡态时，任何一种运动或能量都不比另一种运动或能量更占优势,在各个自由度上，运动的机会均等,且能量均分。 5.一个分子的平均动能为：2 k i kT ε= 五. 理想气体的能（所有分子热运动动能之和） 1.1mol 理想气体2 i E RT = 5. 一定量理想气体()2i m E RT M νν' == 九、气体分子速率分布律（函数） 速率分布曲线峰值对应的速率 v p 称为最可几速率，表征速率分布在 v p ~ v p + d v 中的分子数，比其它速率的都多，它可由对速率分布函数求极值而得。即 十、三个统计速率： a. 平均速率 M RT M RT m kT dv v vf N vdN v 60.188)(0 === == ??∞ ∞ ππ b. 方均根速率 M RT M k T v dv v f v N dN v v 73.13)(20 2 2 2 == ? = = ??∞ C. 最概然速率：与分布函数f(v)的极大值相对应的速率称为最概然速率，其物理意义为：在平衡态条件下，理想气体分子速率分布在p v 附近的单位速率区间的分子数占气体总分子数的百分比最大。 M RT M RT m kT v p 41.1220=== 三种速率的比较： 各种速率的统计平均值： 理想气体的麦克斯韦速率分布函数 十一、分子的平均碰撞次数及平均自由程： 一个分子单位时间里受到平均碰撞次数叫平均碰撞次数表示为 Z ，一个分子连续两次碰撞之间经历的平均自由路程叫平均自由程。表示为 λ 平均碰撞次数 Z 的导出： 热力学基础主要容 一、能 分子热运动的动能(平动、转动、振动)和分子间相互作用势能的总和。能是状态的单值函数。 对于理想气体，忽略分子间的作用 ，则 平衡态下气体能： 二、热量 系统与外界（有温差时）传递热运动能量的一种量度。热量是过程量。 )(12T T mc Q -=)(12T T Mc M m -=) (12T T C M m K -= 摩尔热容量：( Ck ＝Mc ) 1mol 物质温度升高1K 所吸收(或放出)的热量。 Ck 与过程有关。 系统在某一过程吸收（放出）的热量为： )(12T T C M m Q K k -= 系统吸热或放热会使系统的能发生变化。若传热过程“无限缓慢”，或保持系统与外界无穷小温差，可看成准静态传热过程。 准静态过程中功的计算： 元功: 41 .1:60.1:73.1::2=p v v v Z v = λn v d Z 2 2π=p d kT 22πλ= n d Z v 221πλ= = kT mv e v kT m v f 22232 )2(4)(-=ππ?∞ ?=0 )(dv v f v v ? ∞ ?= 22)(dv v f v v ∑∑+i pi i ki E E E ＝内) (T E E E k ＝理 =RT i M m E 2 =PdV PSdl l d F dA ==?=
摘要 典型相关分析是多元统计分析的一个重要研究课题.它是研究两组变量之间相关的一种统计分析方法，能够有效地揭示两组变量之间的相互线性依赖关系.它借助主成分分析降维的思想，用少数几对综合变量来反映两组变量间的线性相关性质.目前它已经在众多领域的相关分析和预测分析中得到广泛应用. 本文首先描述了典型相关分析的统计思想，定义了总体典型相关变量及典型 相关系数，并简要概述了它们的求解思路，然后深入对样本典型相关分析的几种算法做了比较全面的论述.根据典型相关分析的推理，归纳总结了它的一些重要性质并给出了证明，接着推导了典型相关系数的显著性检验.最后通过理论与实例分析两个层面论证了典型相关分析的应用于实际生活中的可行性与优越性. 【关键词】典型相关分析，样本典型相关，性质，实际应用 ABSTRACT The Canonical Correlation Analysis is an important studying topic of the Multivariate Statistical Analysis. It is the statistical analysis method which studies the correlation between two sets of variables. It can work to reveal the mutual line dependence relation availably between two sets of variables. With the help of the thought about the Principal Components, we can use a few comprehensive variables to reflect the linear relationship between two sets of variables. Nowadays It has already been used widely in the correlation analysis and forecasted analysis. This text describes the statistical thought of the Canonical Correlation Analysis firstly, and then defines the total canonical correlation variables and canonical correlation coefficient, and sum up