1、向量与空间几何 向量：向量表示((a^b));
向量的模: 向量的大小叫做向量的模. 向量a 、→a 、→
AB 的模分别记为|a |、||→
a 、||→
AB . 单位向量: 模等于1的向量叫做单位向量.
零向量: 模等于0的向量叫做零向量, 记作0或→
0. 零向量的起点与终点重合, 它的方向可以看作是任意的.
向量的平行: 两个非零向量如果它们的方向相同或相反, 就称这两个向量平行. 向量a 与b 平行, 记作a // b . 零向量认为是与任何向量都平行. 向量运算(向量积)； 1． 向量的加法 2. 向量的减法
3．向量与数的乘法
设a =(a x , a y , a z ), b =(b x , b y , b z )
即 a =a x i +a y j +a z k , b =b x i +b y j +b z k ,
则 a +b =(a x +b x )i +(a y +b y )j +(a z +b z )k =(a x +b x , a y +b y , a z +b z ). a -b = (a x -b x )i +(a y -b y )j +(a z -b z )k =(a x -b x , a y -b y , a z -b z ).
λa =λ(a x i +a y j +a z k ) =(λa x )i +(λa y )j +(λa z )k =(λa x , λa y , λa z ). 向量模的坐标表示式 222||z y x ++=r
点A 与点B 间的距离为 →
212212212)()()(||||z z y y x x AB AB -+-+-==
向量的方向：向量a 与b 的夹角 当把两个非零向量a 与b 的起点放到同一点时, 两个向量之间的不超过π的夹角称为向量a 与b 的夹角, 记作^) ,(b a 或^) ,(a b . 如果向量a 与b 中有一个是零向量, 规定它们的夹角可以在0与π之间任意取值. 类似地, 可以规定向量与一轴的夹角或空间两轴的夹角.
数量积: 对于两个向量a 和b , 它们的模 |a |、|b | 及它们的夹角θ 的 余弦的乘积称为向量a 和b 的数量积, 记作a ?b , 即
a ·
b =|a | |b | cos θ .
数量积与投影:
由于|b | cos θ =|b |cos(a ,^ b ), 当a ≠0时, |b | cos(a ,^ b ) 是向量 b 在向量a 的方向上的投影, 于是a ·b = |a | Prj a b . 同理, 当b ≠0时, a·b = |b | Prj b a . 数量积的性质: (1) a·a = |a | 2.
(2) 对于两个非零向量 a 、b , 如果 a·b =0, 则 a ⊥b 反之, 如果a ⊥b , 则a·b =0.
如果认为零向量与任何向量都垂直, 则a ⊥b ? a ·b =0.
两向量夹角的余弦的坐标表示:
设θ=(a , ^ b ), 则当a ≠0、b ≠0时, 有
2
22222|
|||cos z
y x z y x z
z y y x x b b b a a a b a b a b a ++++++=
?=b a b a θ
向量积: 设向量c 是由两个向量a 与b 按下列方式定出:
c 的模 |c |=|a ||b |sin θ , 其中θ 为a 与b 间的夹角
c 的方向垂直于a 与b 所决定的平面, c 的指向按右手规则从a 转向b 来确定.
那么, 向量c 叫做向量a 与b 的向量积, 记作a ?b , 即 c = a ?b . 坐标表示:
z
y x z y x b b b a a a k
j i b a =?=a y b z i +a z b x j +a x b y k -a y b x k -a x b z j -a z b y i
= ( a y b z - a z b y ) i + ( a z b x - a x b z ) j + ( a x b y - a y b x ) k . . 向量的方向余弦:
设r =(x , y , z ), 则 x =|r |cos α, y =|r |cos β, z =|r |cos γ . cos α、cos β、cos γ 称为向量r 的方向余弦.
|
|c o s r x =α, ||cos r y
=β, ||cos r z =γ. 从而 r e r r ==|
|1)cos ,cos ,(cos γβα
向量的投影
向量在轴上的投影
设点O 及单位向量e 确定u 轴.
任给向量r , 作→
r =OM , 再过点M 作与u 轴垂直的平面交u 轴于点M '(点M '叫作点M 在u 轴上的投影), 则向量→
M O '称为向量r 在u 轴上的分向量. 设→
e λ='M O , 则数λ称为向量r 在u 轴上的投影, 记作Prj u r 或(r )u .
按此定义, 向量a 在直角坐标系Oxyz 中的坐标a x , a y , a z 就是a 在三条坐标轴上的投影, 即
a x =Prj x a , a y =Prj y a , a z =Prj z a . 投影的性质:
性质1 (a )u =|a |cos ? (即Prj u a =|a |cos ?), 其中?为向量与u 轴的夹角; 性质2 (a +b )u =(a )u +(b )u (即Prj u (a +b )= Prj u a +Prj u b ); 性质3 (λa )u =λ(a )u (即Prj u (λa )=λPrj u a );
空间方程：
曲面方程(旋转曲面和垂直柱面)； (1)椭圆锥面
由方程222
22
z b
y a x =+所表示的曲面称为椭圆锥面.
(2)椭球面
由方程12222
22
=++c
z b y a x 所表示的曲面称为椭球面.
(3)单叶双曲面
由方程1222222=-+c
z b y a x 所表示的曲面称为单叶双曲面. (4)双叶双曲面
由方程12222
22
=--c
z b y a x 所表示的曲面称为双叶双曲面.
(5)椭圆抛物面
由方程z b
y a x =+2222所表示的曲面称为椭圆抛物面 (6)双曲抛物面.
由方程z b
y a x =-22
22
所表示的曲面称为双曲抛物面.
椭圆柱面122
22
=+b
y a x ,
双曲柱面12222=-b
y a x , 抛物柱面ay x =2, .
直线方程(参数方程和投影方程) 空间直线的一般方程
空间直线L 可以看作是两个平面∏1和∏2的交线.
如果两个相交平面∏1和∏2的方程分别为A 1x +B 1y +C 1z +D 1=0和A 2x +B 2y +C 2z +D 2=0, 那么直线L 上的任一点的坐标应同时满足这两个平面的方程, 即应满足方程组
???=+++=+++002222
1111D z C y B x A D z C y B x A .
空间直线的对称式方程与参数方程
方向向量: 如果一个非零向量平行于一条已知直线, 这个向量就叫做这条直线的方向向量. 容易知道, 直线上任一向量都平行于该直线的方向向量.
确定直线的条件: 当直线L 上一点M 0(x 0, y 0, x 0)和它的一方向向量s = (m , n , p )为已知时, 直线L 的位置就完全确定了.
直线方程的确定: 已知直线L 通过点M 0(x 0, y 0, x 0), 且直线的方向向量为s = (m , n , p ), 求直线L 的方程.
设M (x , y , z )在直线L 上的任一点, 那么 (x -x 0, y -y 0, z -z 0)//s , 从而有
p
z z n y y m x x 0
00-=
-=-. 这就是直线L 的方程, 叫做直线的对称式方程或点向式方程
???
??+=+=+=pt
z z nt y y mt x x 000 直线L 1和L 2的夹角?可由
|) ,cos(|cos 2^
1s s =?2
2
2222212121212121|
|p n m p n m p p n n m m ++?++++=
直线与平面的夹角
设直线的方向向量s =(m , n , p ), 平面的法线向量为n =(A , B , C ), 直线与平面的夹
角为? , 那么|) , (2
|^n s -=π?, 因此|) , cos(|sin ^
n s =?. 按两向量夹角余弦的坐标表示式,
有
2
22222|
|sin p
n m C B A Cp Bn Am ++?++++=
? 平面方程：
点法式(法向量)、
一般式、任一平面都可以用三元一次方程来表示 . Ax +By +Cz +D =0.
其中x , y , z 的系数就是该平面的一个法线向量n 的坐标, 即 n =(A , B , C ). 提示:
D =0, 平面过原点.
n =(0, B , C ), 法线向量垂直于x 轴, 平面平行于x 轴. n =(A , 0, C ), 法线向量垂直于y 轴, 平面平行于y 轴. n =(A , B , 0), 法线向量垂直于z 轴, 平面平行于z 轴.
n =(0, 0, C ), 法线向量垂直于x 轴和y 轴, 平面平行于xOy 平面. n =(A , 0, 0), 法线向量垂直于y 轴和z 轴, 平面平行于yOz 平面. n =(0, B , 0), 法线向量垂直于x 轴和z 轴, 平面平行于zOx 平面.
截距式；
平面夹角和距离
两平面的夹角: 两平面的法线向量的夹角(通常指锐角)称为两平面的夹角.
设平面∏1和∏2的法线向量分别为n 1=(A 1, B 1, C 1)和n 2=(A 2, B 2, C 2), 那么平面
∏1和∏2的夹角θ 应是) ,(2^
1n n 和) ,() ,(2^
12^1n n n n -=-π两者中的锐角, 因此, |) ,cos(|cos 2^
1n n =θ. 按两向量夹角余弦的坐标表示式, 平面∏1和∏2的夹角θ 可由
2
2
22222
121212121212^
1|||) ,c o s (|c o s C B A C B A C C B B A A ++?
++++==n n θ
.
来确定.
从两向量垂直、平行的充分必要条件立即推得下列结论: 平面∏1和∏2垂直相当于A 1 A 2 +B 1B 2 +C 1C 2=0;
平面∏ 1和∏ 2平行或重合相当于
2
12121C C B B A A == 空间曲线的一般方程
空间曲线可以看作两个曲面的交线. 设
F (x , y , z )=0和
G (x , y , z )=0
是两个曲面方程, 它们的交线为C . 因为曲线C 上的任何点的坐标应同时满足这两个方程, 所以应满足方程组
???==0),,(0),,(z y x G z y x F
空间曲线的参数方程（33）
空间曲线C 的方程除了一般方程之外, 也可以用参数形式表示, 只要将C 上动点的坐标x 、y 、z 表示为参数t 的函数:
???
??===)
()()(t z z t y y t x x .
当给定t =t 1时, 就得到C 上的一个点(x 1, y 1, z 1); 随着t 的变动便得曲线C 上
的全部点. 方程组(2)叫做空间曲线的参数方程. 切平面和切线： 切线与法平面；
设空间曲线Г的参数方程为
),(),(),(t z t y t x ωφ?=== 曲线在点),,(000z y x M 处的切线方程为
)(00t x x ?'-=.)
()(00
00t z z t y y ωφ'-='- 向量 )}('),('),('{000t t t T ωφ?=就是曲线Г在点M 处的一个切向量 法平面的方程为
0))(('))(('))( ('000000=-+-+-z z t y y t x x t ωφ?
切平面与法线
隐式给出曲面方程
((,,)0F x y z =)
法向量为：)},,,(),,,(),,,({000000000z y x Fz z y x F z y x F n y x =
切平面的方程是
))(,,())(,,())(,,(000000000000z z z y x F y y z y x F x x z y x F z y x -+-+-
法线方程是
.)
,,(),,(),,(0000
00000000z y x F z z z y x F y y z y x F x x z y x -=-=-
),(y x z =在点),(00y x
如果用α、β、γ表示曲面的法向量的方向角，并假定法向量的方向是向上的，即使得它与z 轴的正向所成的角γ是一锐角，则法向量的方向余弦为
,1c o s 22
y
x
x f
f f ++-=α
,1c o s 22
y
x
y f
f f ++-=β
.11
c o s 22y
x f
f ++=γ
2、多元函数微分学
多元函数极限：简单复习讲解 偏微分
全微分：如果三元函数),,(z y x u φ=可以微分，那么它的全微分就等于它的三个偏微分之和， du =x u ??dx +y
u ??dy ＋z u ??dz 第二次课 3、重积分 二重积分：
利用直角坐标计算二重积分
我们用几何观点来讨论二重积分f x y d D
(,)σ
??的计算问题。
讨论中,我们假定
f x y (,)≥0；
假定积分区域D 可用不等式 a x b x y x ≤
≤≤≤??12()()表示,
其中?1()x , ?2()x 在[,]a b 上连续。
据二重积分的几何意义可知,
f x y d D
(,)σ
??的值等于以D 为底,以曲面
z f x y =(,)为顶的曲顶柱体
的体积。
在区间[,]a b 上任意取定一个点x 0,作平行于yoz 面的平面x x =0,这平
面截曲顶柱体所得截面是一个以区间
[(),()]??1020x x 为底,曲线
z f x y =(,)0为曲边的曲边梯形,其面积为
A x f x y dy
x x ()(,)()()
0010
20=
???
一般地,过区间[,]a b 上任一点x 且平行于yoz 面的平面截曲顶柱体所得
截面的面积为
A x f x y dy
x x ()(,)()()=
???1
2
利用计算平行截面面积为已知的立体之体积的方法,该曲顶柱体的体积为
V A x a dx f x y dy dx
b
x x a b ==?????
??????()(,)()()
??
12
从而有
dx
dy y x f d y x f b
a x x D
????
???
???????=)(2)(1),(),(??σ (1)
上述积分叫做先对Y,后对X 的二次积分,即先把x 看作常数,),(y x f 只看作
y 的函数,对),(y x f 计算从)(1x ?到)(2x ?的定积分,然后把所得的结果( 它是
x 的函数 )再对x 从a 到b 计算定积分。
这个先对y , 后对x 的二次积分也常记作
f x y d dx f x y dy
D
a
b
x x (,)(,)()
()σ??????=12
重积分化二次积分时应注意的问题 1、积分区域的形状
前面所画的两类积分区域的形状具有一个共同点:
对于I 型(或II 型)区域, 用平行于y 轴(x 轴 )的直线穿过区域内部,直线与区域的边界相交不多于两点。
如果积分区域不满足这一条件时,可对区域进行剖分,化归为I 型(或II 型)
区域的并集。
2、积分限的确定
二重积分化二次积分, 确定两个定积分的限是关键。这里,我们介绍配置二
次积分限的方法 -- 几何法。
极坐标：
x r →cos θy r →sin θdxdy rdrd →θ
f x y dxdy
D
(,)??f r r rdrd D
(cos ,sin )θθθ
??
极坐标系中的二重积分, 同样可以化归为二次积分来计算。 【情形一】积分区域D 可表示成下述形式
αθβ?θ?θ≤≤≤
≤12()()r
其中函数?θ1(), ?θ2()在[,]αβ上连续。
则 f r r rdrd d f r r rdr
D
(cos ,sin )(cos ,sin )
()
()
θθθθθθα
β
?θ?θ????=12
【情形二】积分区域D 为下述形式
显然,这只是情形一的特殊形式?θ10()≡( 即极点在积分区域的边界上 )。
故 f r r rdrd d f r r rdr
D
(cos ,sin )(cos ,sin )()
θθθθθθα
β?θ????=0
【情形三】积分区域D 为下述形式
显然,这类区域又是情形二的一种变形( 极点包围在积分区域D 的内部 ),D 可剖分成D 1与D 2,而
D r D r 120020:,():,()≤≤≤≤≤≤≤≤θπ?θπθπ?θ
故 D r :,()020≤≤≤≤θ
π?θ
则 f r r rdrd d f r r rdr
D
(cos ,sin )(cos ,sin )()
θθθθθθπ
?θ????=0
20
由上面的讨论不难发现, 将二重积分化为极坐标形式进行计算, 其关键之处在于: 将积分区域D 用极坐标变量r ,θ表示成如下形式
αθβ?θ?θ≤≤≤≤,()()12r
三重积分：()???V
dxdydz z y x f ,,
直角坐标：若平面区域xy D 可以用不等式()()x y y x y b x a 21,≤≤≤≤表示，则
()???
Ω
dV z y x f ,,()
()
()()
()
?
?
?=y x z y x z x y x y b
a
dz z y x f dy dx ,,2121,,．
这个公式也将三重积分化为了三次积分．
柱坐标()()??????=V
V
dz rdrd z r r f dV z y x f θθθ,sin ,cos ,,
球坐标；??
?
??≤≤≤≤+∞≤≤π?πθ0200r
??
?
??===?θ?θ?cos sin sin cos sin r z r y r x ()()??????=V
V
d drd r
r r r f dV z y x f θ???θ?θ?sin cos ,sin sin ,cos sin ,,2
重积分的应用： 曲面面积；
A z x z y dxdy D xy
=+?? ?
??+?? ??
???
12
2
????