一、函数、极限、连续
1． 函数的概念及表示法、简单应用问题的函数关系的建立. 2． 函数的性质：有界性、单调性、周期性和奇偶性.
3． 复合函数、反函数、分段函数和隐函数、基本初等函数的性质及其图形、初等函数. 4． 数列极限与函数极限的定义及其性质、函数的左极限与右极限. 5． 无穷小和无穷大的概念及其关系、无穷小的性质及无穷小的比较. 6． 极限的四则运算、极限存在的单调有界准则和夹逼准则、两个重要极限. 7． 函数的连续性（含左连续与右连续）、函数间断点的类型. 8． 连续函数的性质和初等函数的连续性.
9． 闭区间上连续函数的性质(有界性、最大值和最小值定理、介值定理). 二、一元函数微分学
1. 导数和微分的概念、导数的几何意义和物理意义、函数的可导性与连续性之间的关系、平面曲线的切线和法线.
2. 基本初等函数的导数、导数和微分的四则运算、一阶微分形式的不变性.
3. 复合函数、反函数、隐函数以及参数方程所确定的函数的微分法.
4. 高阶导数的概念、分段函数的二阶导数、某些简单函数的n 阶导数.
5. 微分中值定理，包括罗尔定理、拉格朗日中值定理、柯西中值定理和泰勒定理.
6. 洛必达(L ’Hospital )法则与求未定式极限.
7. 函数的极值、函数单调性、函数图形的凹凸性、拐点及渐近线(水平、铅直和斜渐近线)、函数图形的描绘.
8. 函数最大值和最小值及其简单应用. 9. 弧微分、曲率、曲率半径. 三、一元函数积分学
1. 原函数和不定积分的概念.
2. 不定积分的基本性质、基本积分公式.
3. 定积分的概念和基本性质、定积分中值定理、变上限定积分确定的函数及其导数、
牛顿-莱布尼茨(Newton-Leibniz )公式. 4. 不定积分和定积分的换元积分法与分部积分法. 5. 有理函数、三角函数的有理式和简单无理函数的积分. 6. 广义积分.
7. 定积分的应用：平面图形的面积、平面曲线的弧长、旋转体的体积及侧面积、平行
截面面积为已知的立体体积、功、引力、压力及函数的平均值． 四.常微分方程
1. 常微分方程的基本概念：微分方程及其解、阶、通解、初始条件和特解等.
2. 变量可分离的微分方程、齐次微分方程、一阶线性微分方程、伯努利(Bernoulli )方
程、全微分方程.
3. 可用简单的变量代换求解的某些微分方程、可降阶的高阶微分方程：),()n (x f y =
),,(y x f y '='' ),(y y f y '=''.
4. 线性微分方程解的性质及解的结构定理.
5. 二阶常系数齐次线性微分方程、高于二阶的某些常系数齐次线性微分方程.
6. 简单的二阶常系数非齐次线性微分方程：自由项为多项式、指数函数、正弦函数、
余弦函数，以及它们的和与积
7.欧拉(Euler)方程.
8.微分方程的简单应用
五、向量代数和空间解析几何
1.向量的概念、向量的线性运算、向量的数量积和向量积、向量的混合积.
2.两向量垂直、平行的条件、两向量的夹角.
3.向量的坐标表达式及其运算、单位向量、方向数与方向余弦.
4.曲面方程和空间曲线方程的概念、平面方程、直线方程.
5.平面与平面、平面与直线、直线与直线的夹角以及平行、垂直的条件、点到平面和
点到直线的距离.
6.球面、母线平行于坐标轴的柱面、旋转轴为坐标轴的旋转曲面的方程、常用的二次
曲面方程及其图形.
7.空间曲线的参数方程和一般方程、空间曲线在坐标面上的投影曲线方程.
六、多元函数微分学
1.多元函数的概念、二元函数的几何意义.
2.二元函数的极限和连续的概念、有界闭区域上多元连续函数的性质.
3.多元函数偏导数和全微分、全微分存在的必要条件和充分条件.
4.多元复合函数、隐函数的求导法.
5.二阶偏导数、方向导数和梯度.
6.空间曲线的切线和法平面、曲面的切平面和法线.
7.二元函数的二阶泰勒公式.
8.多元函数极值和条件极值、拉格朗日乘数法、多元函数的最大值、最小值及其简
单应用.
七、多元函数积分学
1.二重积分和三重积分的概念及性质、二重积分的计算(直角坐标、极坐标)、三重积
分的计算(直角坐标、柱面坐标、球面坐标).
2.两类曲线积分的概念、性质及计算、两类曲线积分的关系.
3.格林(Green)公式、平面曲线积分与路径无关的条件、已知二元函数全微分求原函
数.
4.两类曲面积分的概念、性质及计算、两类曲面积分的关系.
5.高斯(Gauss)公式、斯托克斯(Stokes)公式、散度和旋度的概念及计算.
6.重积分、曲线积分和曲面积分的应用(平面图形的面积、立体图形的体积、曲面面
积、弧长、质量、质心、转动惯量、引力、功及流量等)
八、无穷级数
1.常数项级数的收敛与发散、收敛级数的和、级数的基本性质与收敛的必要条件.
2.几何级数与p级数及其收敛性、正项级数收敛性的判别法、交错级数与莱布尼茨
(Leibniz)判别法.
3.任意项级数的绝对收敛与条件收敛.
4.函数项级数的收敛域与和函数的概念.
5.幂级数及其收敛半径、收敛区间（指开区间）、收敛域与和函数.
6.幂级数在其收敛区间内的基本性质(和函数的连续性、逐项求导和逐项积分)、简单
幂级数的和函数的求法. 7. 初等函数的幂级数展开式.
8. 函数的傅里叶(Fourier )系数与傅里叶级数、狄利克雷(Dirichlei)定理、函数在[-l ，
l]上的傅里叶级数、函数在[0,l]上的正弦级数和余弦级数
2009年 第一届全国大学生高等数学竞赛预赛试题及答案
（非数学类）
一、填空题（每小题5分，共20分）
1．计算=--+
+??
y x y
x x y
y x D
d d 1)
1ln()(____________，其中区域D 由直线1=+y x 与两坐标轴所围成三角形区域.
解 令v x u y x ==+,，则v u y v x -==,，v u v u y x d d d d 11
10
det d d =???
?
??-=， v u u
v
u u u y x y
x x y y x D
D
d d 1ln ln d d 1)
1ln()(??
??
--=--+
+
?
??
?
---
-=
--
-=10
2
10
d 1)
ln (1ln d )d ln 1d 1ln (u
u
u u u u u u u u
v v u u v u u u u
u
?
-=
1
2d 1u u
u
（*）
令u t -=
1，则21t u -=，dt 2d t u -=，42221t t u +-=，)1)(1()1(2t t t u u +-=-，
?+--=0
1
4
2
d )21(2(*)t t t
?
+-=10
4
2d )21(2t t t 1516513221
053=
?????
?+-=t t t 2．设)(x f 是连续函数，且满足?
--
=20
22d )(3)(x x f x x f , 则=)(x f ____________.
解 令?
=
20
d )(x x f A ，则23)(2
--=A x x f ，
A A x A x A 24)2(28d )23(20
2
-=+-=--=
?
, 解得3
4=A 。因此3
103)(2
-
=x x f
3．曲面22
2
2
-+=
y x
z 平行平面022=-+z y x 的切平面方程是__________.
解 因平面022=-+z y x 的法向量为)1,2,2(-，而曲面22
2
2
-+=
y x
z 在
),(00y x 处的法向量为)1),,(),,((0000-y x z y x z y x ，故)1),,(),,((0000-y x z y x z y x 与
)1,2,2(-平行，因此，由x z x =，y z y 2=知0000002),(2,),(2y y x z x y x z y x ====，
即1,200==y x ，又1)1,2(),(00==z y x z ，于是曲面022=-+z y x 在)),(,,(0000y x z y x 处的切平面方程是0)1()1(2)2(2=---+-z y x ，即曲面22
2
2
-+=
y x
z 平行平面
022=-+z y x 的切平面方程是0522=--+z y x 。
4．设函数)(x y y =由方程29ln )
(y
y f e xe =确定，其中f 具有二阶导数，且1≠'f ，
则=22
d d x
y ________________.
解法1 方程29ln )
(y
y f e xe
=的两边对x 求导，得
29ln )()()
(y e e y y f x e
y
y f y f '=''+
即
29ln ])(1[)
(y
y f e y xe
y y f x
'=''+
因029ln )
(≠=y f y xe
e ，故
y y y f x
'=''+)(1，即))
(1(1y f x y '-=
'，因此
2
2
22
)](1[)())
(1(1d d y f x y y f y f x y x
y '-'''+
'--
=''=
322
2
32)]
(1[)](1[)())
(1(1
)](1[)
(y f x y f y f y f x y f x y f '-'--''=
'--
'-''=
解法2 方程29ln )
(y
y f e xe =取对数，得29ln ln ln )(+=+y x y f （1）
方程（1）的两边对x 求导，得y x
y y f '=+''1)( （2）
即))
(1(1y f x y '-=
' （3）
方程（2）的两边对x 求导，得y x
y y f y y f ''=-
'''+'''2
2
1))(()( （4）
将（3）代入（4），得
y x
y f x y f y y f ''=-
'-''+
'''2
2
2
1))
(1()()(
将左边的第一项移到右边，得
))(1())
(1())
(1()(2
22
y f y y f x y f y f '-''='-'--''
因此
3
22
)]
(1[)]
(1[)(y f x y f y f y '-'--''=
''
二、（5分）求极限x e
nx
x
x
x n
e e
e )(
lim 20
+++→ ，其中n 是给定的正整数.
解法1 因
x e
nx
x
x x x e
nx
x
x x n
n
e e
e n
e e
e )1(lim )(
lim 20
20
-++++
=+++→→
故
nx
n e e
e e x
e
n n e e e A nx
x
x x nx
x
x
x -+++=-+++=→→ 20
20
lim
lim
e n n
n
e
n
ne e
e e nx
x
x x 2
1212lim
20
+=
+++=+++=→
因此
e
n A
x
e nx
x
x x e
e
n
e e
e 2
1
20
)
(
lim +→==+++
解法2 因
x
n e e
e e n
e e
e nx
x
x x x
e
nx
x
x x ln )ln(lim
)
ln(
lim 20
20
-+++=+++→→
e n n
n
e
e
e
e ne e e e nx
x
x
nx
x x
x 2
1212lim
220
+=
+++=++++++=→
故
e
n A
x
e
nx x
x x e
e
n
e e
e 2
1
20
)
(
lim +→==+++
三、（15分）设函数)(x f 连续，?
=
10
d )()(t xt f x g ，且A x
x f x =→)(l i m
，A 为常数，求
)(x g '并讨论)(x g '在0=x 处的连续性.
解 由A x
x f x =→)(lim 0
和函数)(x f 连续知，0)(lim
lim )(lim )0(0
===→→→x
x f x x f f x x x
因?
=
10
d )()(t xt f x g ，故0)0(d )0()0(10
===
?
f t f
g ，
因此，当0≠x 时，?=
x u u f x
x g 0
d )(1
)(，故
0)0(1
)(lim
d )(lim
)(lim 0
====→→→?
f x f x
u u f x g x x x x
当0≠x 时，
x
x f u u f x
x g x )(d )(1)(0
2
+
-
='?
， 2
d )(lim
d )(1
lim )
0()(lim
)0(x
t t f x
t t f x
x
g x g g x x x x x ?
?
→→→==-='2
2)(lim 0
A x
x f x =
=→
2
2d )(1lim
)(lim
])(d )(1[lim )(lim 0
2
2
0A A A u u f x
x
x f x
x f u u f x
x g x x x x x x =-=-=+
-
='?
?
→→→→
这表明)(x g '在0=x 处连续.
四、（15分）已知平面区域}0,0|),{(ππ≤≤≤≤=y x y x D ，L 为D 的正向边界，试证：
（1）??-=---L
x
y
L
x
y
x ye
y xe
x ye
y xe
d d d d sin sin sin sin ；
（2）2
sin sin 2
5d d π?≥
--L
y y x ye y xe .
证 因被积函数的偏导数连续在D 上连续，故由格林公式知 （1）y x ye y xe x x ye
y xe
D
x y L
x
y
d d )()(d d sin sin sin sin ??
???
?
?
??-??-??=
--- y x e
e
D
x
y
d d )(sin sin ??
-+=
?
--L
x
y
x ye
y xe
d d sin sin
y x ye y xe x D
x y d d )()(sin sin ??
??
?
?
??-??-??=
- y x e
e
D
x
y
d d )(sin sin ??
+=
-
而D 关于x 和y 是对称的，即知
y x e
e
D
x
y
d d )(sin sin ??
-+y x e
e
D
x
y
d d )(sin sin ??
+=
-
因此
??-=---L
x
y
L
x
y
x ye
y xe
x ye
y xe
d d d d sin sin sin sin
（2）因
)1(2)!
4!
21(22
4
2
t t
t
e
e t
t
+≥++
+
=+-
故
2
2cos 52
2cos 12sin
22
sin sin x
x
x e
e
x
x
-=
-+
=+≥+-
由
?????+=
+=
----D
x
y
L
D
x
y
y
y
y x e
e
y x e
e
x ye
y xe
d d )(d d )(d d sin sin sin sin sin sin
知
??
?
??
++
+=
----D
x
y
L
D
x
y
y
y
y x e
e
y x e
e x ye
y xe d d )(2
1d d )(2
1d d sin sin sin sin sin sin
??
??
??
+=++
+=
---D
x
x
D
x
x
D
y
y
y x e
e
y x e
e
y x e
e
d d )(d d )(21
d d )(21
sin sin sin sin sin sin
2
sin sin 2
5d 2
2cos 5d )(ππ
π
π
π
=-≥+=?
?
-x x
x e
e
x
x
即
2sin sin 2
5d d π?
≥
--L
y
y
x ye
y xe
五、（10分）已知x x e xe y 21+=，x x e xe y -+=2，x x x e e xe y --+=23是某二阶常系数线性非齐次微分方程的三个解，试求此微分方程.
解 设x x e xe y 21+=，x x e xe y -+=2，x x x e e xe y --+=23是二阶常系数线性非齐次微分方程
)(x f cy y b y =+'+''
的三个解，则x x e e y y 212-=--和x
e y y -=-13都是二阶常系数线性齐次微分方程
0=+'+''cy y b y
的解，因此0=+'+''cy y b y 的特征多项式是0)1)(2(=+-λλ，而0=+'+''cy y b y 的特征多项式是
02
=++c b λλ
因此二阶常系数线性齐次微分方程为02=-'-''y y y ，由)(2111
x f y y y =-'-''和 x
x
x
e
xe e y 21
2++='，x
x
x
e xe e y 21
42++=''
知，111
2)(y y y x f -'-''=)(2)2(42222x
x x
x
x
x
x
x
e
xe e
e xe e e xe +-++-++=
x
e x )21(-=
二阶常系数线性非齐次微分方程为
x
x
xe e y y y 22-=-'-''
六、（10分）设抛物线c bx ax y ln 22
++=过原点.当10≤≤x 时,0≥y ,又已知该抛
物线与x 轴及直线1=x 所围图形的面积为3
1.试确定c b a ,,,使此图形绕x 轴旋转一周而成
的旋转体的体积最小.
解 因抛物线c bx ax y ln 22
++=过原点，故1=c ，于是
2323dt )(31
1
231
02
b a x b x a bx ax +=???
???+=+=? 即
)1(3
2a b -=
而此图形绕x 轴旋转一周而成的旋转体的体积为
??-+
=+=1
2
2
1
2
2
dt ))1(3
2(dt )()(x a ax
bx ax
a V ππ
?
??
-+-+=1
2
2
1
3
1
4
2
dt )
1(9
4dt )1(3
4dt x a x a a x a π
π
π
2
2
)1(27
4)1(3
151a a a a -+-+=π
π
π
即
2
2
)1(274)1(315
1)(a a a a a V -+-+=
π
π
π
令
0)1(27
8)21(3
15
2)(=---+=
'a a a a V πππ，
得
04040904554=+--+a a a
即
054=+a
因此
4
5-
=a ,2
3=b ,1=c .
七、（15分）已知)(x u n 满足),2,1()()(1 =+='-n e x x u x u x n n n
, 且n
e u n =)1(, 求函
数项级数∑∞
=1
)(n n x u 之和.
解
x
n n n
e x x u x u 1
)()(-+='，
即
x
n e x
y y 1
-=-'
由一阶线性非齐次微分方程公式知
)d (1
x x
C e y n x
?-+
=
即
)(n
x
C e y n
x
+
=
因此
)()(n
x
C e x u n
x
n +
=
由
)1
()1(n
C e u n
e n +
==知，0=C ，
于是
n
e
x x u x
n
n =
)(
下面求级数的和：
令
∑
∑∞
=∞
==
=
1
1)()(n x
n n n
n
e x x u
x S
则
x
e
x S e x
x S n
e x e x
x S x
n x
n n x n x
n -+
=+
=+
=
'∑∑∞
=-∞
=-1)()()()(1
1
1
1
即
x
e
x S x S x
-=
-'1)()(
由一阶线性非齐次微分方程公式知
)d 11
()(x x C e x S x
?-+
=
令0=x ，得C S ==)0(0，因此级数∑∞=1
)(n n x u 的和
)1ln()(x e x S x
--=
八、（10分）求-
→1x 时, 与∑∞
=0
2
n n x 等价的无穷大量.
解 令2)(t x t f =，则因当10< <='x tx t f t ，故 x t t e x t f 1ln 2 2 )(-==在),0(+∞上严格单调减。因此 ∑? ∑ ∑? ? ∞+∞ =-∞=∞ =+∞++ =+ ≤≤ = 1 1 01 d )(1d )()0()(d )(d )(t t f t t f f n f t t f t t f n n n n n n n 即 ? ∑ ? ∞+∞ =∞++ ≤≤ -0 10 d )(1)(1d )(t t f n f t t f n 又 ∑ ∑ ∞ =∞== 2 )(n n n x n f ， 11 1 lim 11 ln lim 11=-- =-→→x x x x x 2 1ln 1d 1ln 1d d d )(0 1ln 2 2 2 πx t e x t e t x t t f t x t t = = = = ? ? ? ? ∞+-∞+-∞+∞+， 所以，当- →1x 时, 与∑∞ =0 2 n n x 等价的无穷大量是 x -12 1π。 第二届(2010年)全国大学生数学竞赛预赛试卷及参考答案 （非数学类） (150分钟) 一、（25分，每小题5分） （1）设22 (1)(1)(1),n n x a a a =+++ 其中||1,a <求lim .n n x →∞ （2）求2 1lim 1x x x e x -→∞? ?+ ? ? ?。 （3）设0s >，求0 (1,2,)sx n I e x dx n ∞ -= =? 。 （4）设函数()f t 有二阶连续导数，2 2 1,(,)r x y g x y f r ?? = += ??? ，求22 22 g g x y ??+??。 （5）求直线10:0 x y l z -=?? =?与直线2213: 4 2 1 x y z l ---= = --的距离。 解：（1）2 2 (1)(1)(1)n n x a a a =+++ =22 (1)(1)(1)(1)/(1)n n x a a a a a =-+++- =222(1)(1)(1)/(1)n a a a a -++- = =1 2(1)/(1)n a a +-- 1 2 lim lim (1)/(1)1/(1)n n n n x a a a +→∞ →∞ =--=-∴ (2) 2 2 2 11ln (1) ln(1)1lim 1lim lim x x x e x x x x x x x x e e e x -+ + --→∞ →∞ →∞ ? ?+== ? ? ? 令x=1/t,则 原式=2 1(ln(1)) 1/(1)1 12(1) 22 lim lim lim t t t t t t t t t e e e e +-+-- - +→→→=== （3） 00 001 1202 1 11()()[|](1)!!sx n n sx n sx sx n n sx n n n n n I e x dx x de x e e dx s s n n n n n n e x dx I I I s s s s s ∞∞∞---∞-∞----+= =-=--= -= = == = ? ??? （4）略（不难，难得写） （5）用参数方程求解。答案好像是14 二、（15分）设函数()f x 在(,)-∞+∞上具有二阶导数，并且 ()0,lim ()0,lim ()0,x x f x f x f x αβ→+∞ →-∞ ''''>=>=<且存在一点0x ，使得0()0f x <。 证明：方程()0f x =在(,)-∞+∞恰有两个实根。 解：（简要过程） 二阶导数为正，则一阶导数单增，f(x)先减后增，因为f(x)有小于0的值，所以只需在两边找两大于0的值。 将f(x)二阶泰勒展开 '' ' 2 ()()(0)(0)2 f f x f f x x ξ=++ 因为二阶倒数大于0，所以 lim ()x f x →+∞ =+∞，lim ()x f x →-∞ =-∞ 证明完成。 三、（15分）设函数()y f x =由参数方程2 2(1)() x t t t y t ψ?=+>-? =?所确定，其中()t ψ具有二阶导数，曲线()y t ψ=与2 2 1 32t u y e du e -= + ? 在1t =出相切，求函数()t ψ。 解：（这儿少了一个条件 2 2 d y dx = ）由()y t ψ=与2 2 1 32t u y e du e -=+ ? 在1t =出相切得 3(1)2e ψ=，' 2(1)e ψ= ' //()22dy dy dt dx dx dt t t ψ= = + 2 2 d y dx = ' 3 '' ()(2(/) (/)//(22) 2)2() d dy dx d dy dx dt dx dx d t t t t t ψψ= = ++-=。。。 上式可以得到一个微分方程，求解即可。 四、（15分）设1 0,,n n n k k a S a =>= ∑证明： （1）当1α>时，级数1 n n n a S α+∞ =∑ 收敛； （2）当1α≤且()n s n →∞→∞时，级数1 n n n a S α +∞ =∑ 发散。 解： （1）n a >0, n s 单调递增 当1n n a ∞ =∑收敛时，1 n n n a a s s α α < ，而 1 n a s α 收敛，所以 n n a s α 收敛； 当1 n n a ∞ =∑发散时， lim n n s →∞ =∞ 1 1 1 n n n n s s n n n s s n n n a s s dx dx s s s x α α α α ----= = < ? ? 所以，1 1 111 21 1 n n n s s n s s n n n a a a dx dx s s x s x α α α α α -∞ ∞ ==< + = + ∑ ∑? ? 而1 1111 111 1 1 lim 11 n s n s n s s a a s dx k x s s α α α α α α α α---→∞ -= += + =--? ，收敛于k 。 所以，1 n n n a s α ∞ =∑ 收敛。 （2）lim n n s →∞ =∞ 所以1 n n a ∞ =∑发散，所以存在1k ，使得1 12 k n n a a =≥∑ 于是，1 1 1 1 2 2 2 12 k k k n n n n n k a a a s s s α ≥ ≥ ≥ ∑∑ ∑ 依此类推，可得存在121...k k <<< 使得1 12 i i k n k n a s α +≥ ∑ 成立 所以1 12 N k n n a N s α ≥? ∑ 当n →∞时，N →∞ 所以1 n n n a s α ∞ =∑ 发散 五、（15分）设l 是过原点、方向为(,,)αβγ，（其中222 1)αβγ++=的直线，均匀椭球 2222 2 2 1x y z a b c + + ≤，其中（0,c b a <<<密度为1）绕l 旋转。 （1）求其转动惯量； （2）求其转动惯量关于方向(,,)αβγ的最大值和最小值。 解： （1）椭球上一点P(x,y ,z)到直线的距离 2 2 2 2 2 2 2 (1)(1)(1)222d x y z xy yz zx αβγαββγγα=-+-+---- 0xydV yzdV zxdV Ω Ω Ω = = =????????? 2222 2 2 22 2 2 3 2 14(1)15 c c c c x y z a b c z z dV z dz dxdy ab z dz abc c ππ--Ω +≤- = = - = ??? ? ?? ? 由轮换对称性， 2 32 3 44,15 15 x dV a bc y dV ab c ππΩ Ω = = ??? ??? 22 32 32 3 444(1) (1) (1) 15 15 15 I d dV a bc ab c abc απβπγπΩ ==-+-+-??? 2 2 222 2 4 [(1)(1)(1)]15 abc a b c παβγ= -+-+- （2）a b c >> ∴当1γ=时，22 m ax 4()15 I abc a b π= + 当1α=时，2 2 m in 4()15 I abc b c π= + 六、(15分)设函数()x ?具有连续的导数，在围绕原点的任意光滑的简单闭曲线C 上，曲线 积分4 2 2()c xydx x dy x y ?++? 的值为常数。 （1）设L 为正向闭曲线22(2)1,x y -+=证明4 2 2()0;c xydx x dy x y ?+=+? （2）求函数()x ?； （3）设C 是围绕原点的光滑简单正向闭曲线，求4 2 2()c xydx x dy x y ?++? 。 解： （1） L 不绕原点，在L 上取两点A ，B ，将L 分为两段1L ，2L ，再从A ，B 作一曲线3L ， 使之包围原点。 则有 13 23 4 2 4 2 4 2 2()2()2()L L L L L xydx x dy xydx x dy xydx x dy x y x y x y ???- +++++= - +++? ? ? （2） 令4 2 4 2 2(),xy x P Q x y x y ?= = ++ 由（1）知 0Q P x y ??-=??，代入可得 '42352()()()422x x y x x x xy ??+-=- 上式将两边看做y 的多项式，整理得 2 ' ' 4 3 2 5 ()()()4(2)2y x x x x x y x x ???+-=-+ 由此可得 ' ()2x x ?=- ' 4 3 5 ()()42x x x x x ??-= 解得：2 ()x x ?=- （3） 取'L 为4 2 4 x y ξ+=，方向为顺时针 0Q P x y ??-=?? ' ''4 2 42 4 2 2 4 2()2()2()1 2c c L L L xydx x dy xydx x dy xydx x dy x y x y x y xydx x dy ???π ξ - - ++++∴= + +++= -=? ? ? ? （最后一步曲线积分略去，不知答案对不对） 2011年 第三届全国大学生高等数学竞赛预赛试题及答案 （非数学类） 一．计算下列各题（本题共3小题，每小题各5分，共15分，要求写出重要步骤。） （1）.求1 1cos 0 sin lim x x x x -→?? ??? ； 解：方法一（用两个重要极限）： () () 2 0003 2 2 1 sin 1cos sin 1cos 001 sin cos 12lim lim lim sin 11331cos 3 2 2 2 sin sin lim lim 1lim x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x e e e e e →→→-? ---→→- ---- -→-????=+ ? ????? ===== 方法二（取对数）： 2 02 000 3 2 2sin 1 sin 1 ln lim 11cos lim 1cos 2 1sin cos 12lim lim lim 11333 2 2 2 sin lim x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x e e x e e e e →→→→→-?? ???--→---- ??== ??? ==== （2）.求1 11 lim (1) 2 n n n n n →∞ ? ?+ ++ ?+++?? ； 解：方法一（用欧拉公式）令1 11 (1) 2 n x n n n n = + ++ +++ 111ln =C +o 1211111ln 2=C +o 121 2n n n n n n +++-+ ++ +++ -+ 由欧拉公式得（），则（）， 其中，()1o 表示n →∞时的无穷小量， -ln 2o 1n x ∴=两式相减，得：（）,lim ln 2.n n x →∞ ∴= 方法二（用定积分的定义） 111 lim lim lim ()12n n n n x n n n →∞→∞→∞=++++ 111lim ()111n n n n n →∞=++++ 1 01ln 21dx x ==+? （3）已知()2ln 1arctan t t x e y t e ?=+? ?=-?? ，求22 d y dx 。 解： 222222221211, 121121t t t t t t t t t t t e dx e dy e dy e e e e dt e dt e dx e e --++= =- ∴ = = +++ ()() 22 22 22412121224t t t t t t t e e d y d dy e e dx dx dt dx e e e dt +--+??∴ =?== ??? 二．（本题10分）求方程()()2410x y dx x y dy +-++-=的通解。 解：设24,1P x y Q x y =+-=+-，则0Pdx Qdy += 1,P Q y x ??= =∴?? 0Pdx Qdy +=是一个全微分方程，设 d z P d x Q =+ 方法一：由 24z P x y x ?==+-?得 ()()2 244z x y dx x xy x C y = + -=+-+? 由 ()' 1z x C y Q x y y ?=+==+-?得 ()()' 2 11,2 C y y C y y y c =-∴= -+ 2 2 142 z x xy x y y c ∴=+-+ -+ 方 法二 ： ()()( ) () ,0 ,0 24x y z dz Pdx Q dy x y dx x y dy = =+=+ - ++ - ??? ,P Q y x ??= ∴?? 该曲线积分与路径无关 ()()2 2 00124142 x y z x dx x y dy x x xy y y ∴= -++ -=-++ -?? 三．（本题15分）设函数f(x)在x=0的某邻域内具有二阶连续导数，且 ()()()' " 0,0, 0f f f 均不为 0，证明：存在唯一一组实数123,,k k k ，使得 ()()()() 1232 230lim 0h k f h k f h k f h f h →++-=。 证明：由极限的存在性：()()()()1230 lim 2300h k f h k f h k f h f →++-=???? 即[]()123100k k k f ++-=，又()00f ≠，123 1k k k ∴++=① 由洛比达法则得 ()()()() ()()() 1232 ' '' 1230 230lim 2233lim 2h h k f h k f h k f h f h k f h k f h k f h h →→++-++== 由极限的存在性得()()()' ' ' 1230 lim 22330h k f h k f h k f h →??++=?? 即()()' 1232300k k k f ++=，又()'00f ≠ ，123230k k k ∴++=② 再次使用洛比达法则得 ()()() ()()() ()()()' ' ' 1230 " ""1230 " " 1232233lim 24293lim 02 490000 h h k f h k f h k f h h k f h k f h k f h k k k f f →→++++==∴++=≠ 123490k k k ∴++=③ 由①②③得123,,k k k 是齐次线性方程组1231231231230490 k k k k k k k k k ++=?? ++=??++=?的解 设1231 1111 23,,014 90k A x k b k ?????? ? ? ? === ? ? ? ? ? ?? ????? ，则Ax b =， 增广矩阵 * 111110 31 23001 0314 90 00 1 1 A ??? ? ? ?=- ? ? ? ?? ?? ? ，则()(),3R A b R A == 所以，方程Ax b =有唯一解，即存在唯一一组实数123,,k k k 满足题意， 且1233,3,1k k k ==-=。 四．（本题17分）设22212 2 2 : 1x y z a b c ∑+ + =，其中0a b c >>>， 2 2 2 2:z x y ∑=+，Γ为1∑与2∑的交线，求椭球面1∑在Γ上各点的切平面 到原点距离的最大值和最小值。 解：设Γ上任一点(),,M x y z ，令()2222 2 2 ,,1x y z F x y z a b c = + + -， 则' ''2 2 2 222,,,x y z x y z F F F a b c = = = ∴椭球面1∑在Γ上点M 处的法向量为： 222 ,,,x y z t a b c ?? =∴ ??? 1∑在点M 处的切平面为∏： ()()()2 2 2 0x y z X x Y y Z z a b c -+ -+ -= 原 点 到 平面 ∏ 的距离 为 22 24 4 4 1 d x y z a b c = + +，令 ()2224 4 4 ,,,x y z G x y z a b c = + + 则() 1,,d G x y z = ， 现在求( )2224 4 4 , ,,x y z G x y z a b c =+ + 在条件 2222 2 2 1x y z a b c + + =， 2 2 2 z x y =+下的条件极值， 令 ()() 2 2 2 222 222 12444222,,1x y z x y z H x y z x y z a b c a b c λλ??=+++++-++- ??? 则由拉格朗日乘数法得： ' 1242'1242 ' 1242222 222222 22202220 2220100x y z x x H x a a y y H y b b z z H z c c x y z a b c x y z λλλλλλ?=++=?? ?=++=?? ?=+-=?? ?++-=???+-=?? ， 解得2222 22 0x b c y z b c =???==?+?或22 222 20a c x z a c y ?==?+??=? ， 对应此时的()() 44 2 2 2 2 ,,b c G x y z b c b c += +或()() 44 2 2 2 2 ,,a c G x y z a c a c += + 此时的2214 4 b c d bc b c +=+或2224 4 a c d ac a c +=+ 又因为0a b c >>>，则12d d < 所以，椭球面1∑在Γ上各点的切平面到原点距离的最大值和最小值分别为： 2224 4 a c d ac a c +=+，2214 4 b c d bc b c +=+ 五．（本题16分）已知S 是空间曲线2231 x y z ?+=?=?绕y 轴旋转形成的椭球面 的上半部分（0z ≥）取上侧，∏是S 在(),,P x y z 点处的切平面，(),,x y z ρ是原点到切平面∏的距离，,,λμν表示S 的正法向的方向余弦。计算： （1） (),,S z dS x y z ρ??；（2）()3S z x y z dS λμν++?? 解：（1）由题意得：椭球面S 的方程为()222 310x y z z ++=≥ 令2 2 2 31,F x y z =++-则''' 2,6,2x y z F x F y F z ===， 切平面∏的法向量为(),3,n x y z = ， ∏的方程为()()()30x X x y Y y z Z z -+-+-=， 原点到切平面∏的距离()2222 2 2 2 2 2 31,,99x y z x y z x y z x y z ρ++= = ++++ () 222 19,,S S z I dS z x y z dS x y z ρ∴= = ++???? 将一型曲面积分转化为二重积分得：记2 2 :1,0,0xz D x z x z +≤≥≥ ()() ()() 2 2 2 21210 2 2 2 323244sin 3131xz D z x z r r dr I dxdz d x z r π θθ??-+-? ?∴==---?? ?? ()() ()2 2 2 2 1 2 2 32sin 32sin 443 31r r dr d r π θθθ --==-? ? 全国大学生数学竞赛 百度简介 中国大学生数学竞赛 该比赛指导用书为《大学生数学竞赛指导》，由国防科技大学大学数学竞赛指导组组织编写，已经由清华大学出版社出版。 编辑本段竞赛大纲 中国大学生数学竞赛竞赛大纲 (2009年首届全国大学生数学竞赛) 为了进一步推动高等学校数学课程的改革和建设，提高大学数学课程的教学水平，激励大学生学习数学的兴趣，发现和选拔数学创新人才，更好地实现“中国大学生数学竞赛”的目标，特制订本大纲。 一、竞赛的性质和参赛对象 “中国大学生数学竞赛”的目的是：激励大学生学习数学的兴趣，进一步推动高等学校数学课程的改革和建设，提高大学数学课程的教学水平，发现和选拔数学创新人才。 “中国大学生数学竞赛”的参赛对象为大学本科二年级及二年级以上的在校大学生。 二、竞赛的内容 “中国大学生数学竞赛”分为数学专业类竞赛题和非数学专业类竞赛题。 （一）中国大学生数学竞赛（数学专业类）竞赛内容为大学本科数学专业基础课的教学内容，即，数学分析占50%，高等代数占35%，解析几何占15%，具体内容如下： Ⅰ、数学分析部分 一、集合与函数 1. 实数集、有理数与无理数的稠密性，实数集的界与确界、确界存在性定理、闭区间套定理、聚点定理、有限覆盖定理. 2. 上的距离、邻域、聚点、界点、边界、开集、闭集、有界（无界）集、上的闭矩形套定理、聚点定理、有限覆盖定理、基本点列，以及上述概念和定理在上的推广. 3. 函数、映射、变换概念及其几何意义，隐函数概念，反函数与逆变换，反函数存在性定理，初等函数以及与之相关的性质. 二、极限与连续 1. 数列极限、收敛数列的基本性质（极限唯一性、有界性、保号性、不等式性质）. 2. 数列收敛的条件（Cauchy准则、迫敛性、单调有界原理、数列收敛与其子列收敛的关系），极限及其应用. 3.一元函数极限的定义、函数极限的基本性质（唯一性、局部有界性、保号性、不等式性质、迫敛性），归结原则和Cauchy收敛准则，两个重要极限及其应用，计算一元函数极限的各种方法，无穷小量与无穷大量、阶的比较，记号O与o的意义，多元函数重极限与累次极限概念、基本性质，二元函数的二重极限与累次极限的关系. 4. 函数连续与间断、一致连续性、连续函数的局部性质（局部有界性、保号性），有界闭集上连续函数的性质（有界性、最大值最小值定理、介值定理、一致连续性）. 三、一元函数微分学 第一届全国大学生数学竞赛预赛试题 一、填空题（每小题5分，共20分） 1．计算__ ，其中区域由直线与两坐标轴所围成三角形区域. 2．设是连续函数，且满足, 则____________. 3．曲面平行平面的切平面方程是__________. 4．设函数由方程确定，其中具有二阶导数，且，则_____. 二、（5分）求极限，其中是给定的正整数. 三、（15分）设函数连续，，且，为常数，求并讨论在处的连续性. 四、（15分）已知平面区域，为的正向边界，试证： （1）；（2） . 五、（10分）已知，，是某二阶常系数线性非齐次微分方程的三个解，试求此微分方程. 六、（10分）设抛物线过原点.当时,,又已知该 抛物线与轴及直线所围图形的面积为.试确定,使此图形绕轴旋转一周而成的旋转体的体积最小. 七、（15分）已知满足, 且, 求函 数项级数之和. 八、（10分）求时, 与等价的无穷大量. 第二届全国大学生数学竞赛预赛试题 一、（25分，每小题5分） （1）设其中求（2）求。 （3）设，求。 （4）设函数有二阶连续导数，，求。 （5）求直线与直线的距离。 二、（15分）设函数在上具有二阶导数，并且 且存在一点，使得,证明：方程在恰有两个实根。 三、（15分）设函数由参数方程所确定，其中具 有二阶导数，曲线与在出相切，求函数。 四、（15分）设证明：（1）当时，级数收敛； （2）当且时，级数发散。 五、（15分）设是过原点、方向为，（其中的直线，均 匀椭球，其中（密度为1）绕旋转。（1）求其转动惯量；（2）求其转动惯量关于方向的最大值和最小值。 六、(15分)设函数具有连续的导数，在围绕原点的任意光滑的简单闭曲线上，曲线积分的值为常数。（1）设为正向闭曲线 广东省首届大学生数学竞赛试卷参考答案(高职高专) 一、单项选择题(本大题共5小题，每小题3分，共15分) 1．设函数()f x 、()g x 在区间(,)-∞+∞内有定义，若()f x 为奇函数，()g x 为偶函数，则[()]g f x 为（ B ）. (A) 奇函数 (B) 偶函数 (C) 非奇非偶函数 (D) 有界函数 2．设函数()f x 是以3为周期的奇函数, 且(1)1f -=-,则(7)f =( A ) . (A) 1 (B) 1- (C) 2 (D) 2- 3．设(0)0f =，且极限0()lim x f x x →存在，则0() lim x f x x →=（ C ）. (A) ()f x ' (B) (0)f (C) (0)f ' (D) 1 (0)2 f ' 4．设函数()f x 在[,]a b 上连续，在(,)a b 内可导，且()<0f x '，若()>0f b ，则在(,)a b 内()f x （ A ）. (A) 0> (B) 0< (C) ()f x 的符号不能确定 (D) 0= 5．设()F x 是()f x 的一个原函数，则（ D ）. (A) ()d ()F x x f x =? (B) ()d ()F x x f x C =+? (C) ()d ()f x x F x =? (D) ()d ()f x x F x C =+? 二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分） 1．极限201lim 1→?? -= ??? x x x 1 . 2．已知函数1 sin sin 33 y a x x =+（其中a 为常数），在3 x π =处取得极值，则a = 2 . 3．设1 ()ln ln 2f x x =-，则(1)f '= 1- . 4．设函数()y y x =由方程e e sin()x y xy -=所确定，求隐函数y 在0x =处的 导数0='=x y 1 . 5．4 1 -=? 62 5 . 三、(10分）设函数1sin , 0()e , x x x f x x x α β?>?=??+≤?，根据α和β的不同情况， 讨论()f x 在0x =处的连续性. 10 10 110 1 lim ()lim ()1,lim ()lim sin 0sin 1,lim 0,lim sin 0,lim ()=lim ()=(0)0=0lim sin lim sin 0lim ααα αββαβαα--+ +++-++++ →→→→→→→→→→→=+=+=>≤==== 全国大学生数学竞赛 第一届 2009年，第一届全国大学生数学竞赛由中国数学会主办、国防科学技术大学承办。该比赛将推动高等学校数学课程的改革和建设，提高大学数学课程的教学水平，激励大学生学习数学的兴趣，发现和选拔数学创新人才。 第二届 2011年3月，历时十个月的第二届全国大学生数学竞赛在北京航空航天大学落幕。来自北京、上海、天津、重庆等26个省(区、市)数百所大学的274名大学生进入决赛，最终，29人获得非数学专业一等奖，15人获数学专业一等奖。这次赛事预赛报名人数达3万余人，已成为全国影响最大、参加人数最多的学科竞赛之一。 竞赛用书 该比赛指导用书为《大学生数学竞赛指导》，由国防科技大学大学数学竞赛指导组组织编写，已经由清华大学出版社出版。 竞赛大纲 中国大学生数学竞赛竞赛大纲 (2009年首届全国大学生数学竞赛) 为了进一步推动高等学校数学课程的改革和建设，提高大学数学课程的教学水平，激励大学生学习数学的兴趣，发现和选拔数学创新人才，更好地实现“中国大学生数学竞赛”的目标，特制订本大纲。 1.竞赛的性质和参赛对象 “中国大学生数学竞赛”的目的是：激励大学生学习数学的兴趣，进一步推动高等学校数学课程的改革和建设，提高大学数学课程的教学水平，发现和选拔数学创新人才。 “中国大学生数学竞赛”的参赛对象为大学本科二年级及二年级以上的在校大学生。 1.竞赛的内容 “中国大学生数学竞赛”分为数学专业类竞赛题和非数学专业类竞赛题。（一）中国大学生数学竞赛（数学专业类）竞赛内容为大学本科数学专业基础课的教学内容，即，数学分析占50%，高等代数占35%，解析几何占15%，具体内容如下： Ⅰ、数学分析部分 1.集合与函数 2. 1. 实数集、有理数与无理数的稠密性，实数集的界与确界、确界存在性 定理、闭区间套定理、聚点定理、有限覆盖定理. 3. 2. 上的距离、邻域、聚点、界点、边界、开集、闭集、有界（无界）集、 上的闭矩形套定理、聚点定理、有限覆盖定理、基本点列，以及上述概念和定理在上的推广. 2011年数学竞赛练习题C_3解答 1. 设数列{}n x 满足： 11 sin (2)sin 11 n n x n n n <<+++， 则1 1lim 1n k n k x n →∞==+∑_______。 11 sin (2)sin 111 n n n x n x n n <<+∴→++解 ； Q 1 1 1 1lim lim lim lim 1111n n k k n k k k n n n n k x x n n x n n n n n ==→∞→∞→∞→∞ =∴=?=?=+++∑∑∑ 2.设曲线()y f x =与sin y x =在原点相切， 则极限lim n ________。 (0)0,(0)1n n f f '===已知有： 2. 设(1n n a b =+， 其中,n n a b 为正整数，lim n n n a b →∞=__ 2224 113 (1) 1)3)(13)3) )()3) ) n n n n n n n C C C C C C =+++ =+++++ 224 41133(1(1)() n n n n n C C C C =++-++ (1=+(1=n n n n n n a b a b a b -所以，若则解得： lim =n n n n n a b →∞∴= 3. 设()f x 有连续导数且0 () lim 0x f x a x →=≠， 又20 ()()()x F x x t f t dt =-?， 当0x →时()F x '与n x 是同阶无穷小， 则n =________。 2020 ()()()()()x x x F x x t f t dt x f t dt tf t dt =-=-? ?? 20 ()2()()()x F x x f t dt x f x xf x '=+-? 0() lim 0x F x x →'=显然 20 2 02()()() lim x x x f t dt x f x xf x x →+-?考虑： 2()() lim lim ()x x x f t dt f x f x x →→-=+? 2()() lim lim ()x x x f t dt f x f x x →→-=+? 2()() lim lim 0x x x f t dt f x x x →→=-+?0a =-≠ 2n ∴= 5. ()f x ∞设在[1,+)上可导，下列结论成立的是：________。 +lim ()0()x f x f x →∞ '=∞A.若，则在[1,+)上有界； 河北省大学生数学竞赛试题及答案 一、(本题满分10 分) 求极限))1(21(1 lim 222222--++-+-∞→n n n n n n Λ。 【解】 ))1(21(12 22222--++-+-= n n n n n S n Λ 因 21x -在]1,0[上连续，故dx x ?1 02-1存在，且 dx x ? 1 2 -1=∑-=∞→-1 21 .)(1lim n i n n n i ， 所以，= ∞ →n n S lim n dx x n 1lim -11 2∞→-? 4 -1102π ==?dx x 。 二、(本题满分10 分) 请问c b a ,,为何值时下式成立.1sin 1 lim 22 0c t dt t ax x x b x =+-?→ 【解】注意到左边得极限中，无论a 为何值总有分母趋于零，因此要想极限存在，分子必 须为无穷小量，于是可知必有0=b ，当0=b 时使用洛必达法则得到 22 022 01)(cos lim 1sin 1lim x a x x t dt t ax x x x x +-=+-→→?， 由上式可知：当0→x 时，若1≠a ，则此极限存在，且其值为0；若1=a ，则 21)1(cos lim 1sin 1lim 22 220-=+-=+-→→?x x x t dt t ax x x x b x ， 综上所述，得到如下结论：;0,0,1==≠c b a 或2,0,1-===c b a 。 三、(本题满分10 分) 计算定积分? += 2 2010tan 1π x dx I 。 【解】 作变换t x -= 2 π ，则 =I 22 20π π = ?dt ， 所以，4 π= I 。 四、(本题满分10 分) 求数列}{1n n - 中的最小项。 【解】 因为所给数列是函数x x y 1- =当x 分别取ΛΛ,,,3,2,1n 时的数列。 又)1(ln 21-=--x x y x 且令e x y =?='0， 容易看出：当e x <<0时，0<'y ；当e x >时，0>'y 。 所以，x x y 1-=有唯一极小值e e e y 1)(-=。 而3 3 1 2 132> ? < 山东省大学生数学竞赛（专科）试卷及标准答案 （非数学类，2010） 考试形式： 闭卷 考试时间： 120 分钟 满分： 100 分. 一、填空（每小题5分，共20分）. (1)计算) cos 1(cos 1lim 0 x x x x -- + →= . (2)设()f x 在2x =连续，且2 ()3lim 2 x f x x →--存在，则(2)f = . (3)若tx x x t t f 2) 11(lim )(+ =∞ →，则=')(t f . (4)已知()f x 的一个原函数为2ln x ，则()xf x dx '?= . （1） 2 1. (2) 3 . (3)t e t 2)12(+ . (4)C x x +-2 ln ln 2. 二、（5分）计算dxdy x y D ??-2 ，其中 1010≤≤≤≤y x D ，：. 解：dxdy x y D ??-2 = dxdy y x x y D )(2 1:2 -??<+ ??≥-2 2:2 )(x y D dxdy x y -------- 2分 =dy y x dx x )(2 210 -??+dy x y dx x )(1 210 2 ??- -------------4分 = 30 11 -------------5分. 姓名： 身份证号 所在院校： 年级 专业 线 封 密 注意：1.所有答题都须写在此试卷纸密封线右边，写在其它纸上一律无效. 2.密封线左边请勿答题，密封线外不得有姓名及相关标记. 三、（10分）设)](sin[2x f y =，其中f 具有二阶 导数，求 2 2 dx y d . 解：)],(cos[)(22 2x f x f x dx dy '=---------------3分 )](sin[)]([4)](cos[)(4)](cos[)(22 2222222222 x f x f x x f x f x x f x f dx y d '-''+'=-----7分 =)]}(sin[)]([)](cos[)({4)](cos[)(222222222x f x f x f x f x x f x f '-''+'---------10分. 四、（15分）已知3 123ln 0 = -? ?dx e e a x x ，求a 的值. 解：) 23(232 1 23ln 0 ln 0 x a x a x x e d e dx e e --- =-? ?? ---------3分 令t e x =-23，所以 dt t dx e e a a x x ? ? -- =-? 231 ln 0 2 123---------6分 =a t 231 2 33 221-?-------------7分 =]1)23([3 13 --?- a ，-----------9分 由3 123ln 0 = -? ? dx e e a x x ，故]1)23([3 13 --?- a = 3 1，-----------12分 即3)23(a -=0-----------13分 亦即023=-a -------------14分 所以2 3= a -------------15分. 中国大学生数学竞赛竞赛大纲(数学专业类) 为了进一步推动高等学校数学课程的改革和建设，提高大学数学课程的教学水平，激励大学生学习数学的兴趣，发现和选拔数学创新人才，更好地实现“中国大学生数学竞赛”的目标，特制订本大纲。 一、竞赛的性质和参赛对象 “中国大学生数学竞赛”的目的是：激励大学生学习数学的兴趣，进一步推动高等学校数学课程的改革和建设，提高大学数学课程的教学水平，发现和选拔数学创新人才。 “中国大学生数学竞赛”的参赛对象为大学本科二年级及二年级以上的在校大学生。 二、竞赛的内容 “中国大学生数学竞赛”分为数学专业类竞赛题和非数学专业类竞赛题。 （一）中国大学生数学竞赛（数学专业类）竞赛内容为大学本科数学专业基础课的教学内容，即，数学分析占50%，高等代数占35%，解析几何占15%，具体内容如下： Ⅰ、数学分析部分 一、集合与函数 1. 实数集 、有理数与无理数的稠密性，实数集的界与确界、确界存在性定理、闭区间套定理、聚点定理、有限覆盖定理. 2. 2上的距离、邻域、聚点、界点、边界、开集、闭集、有界（无界）集、2上的闭矩形套定理、聚点定理、有限复盖定理、基本点列，以及上述概念和定理在n 上的推广. 3. 函数、映射、变换概念及其几何意义，隐函数概念，反函数与逆变换，反函数存在性 定理，初等函数以及与之相关的性质. 二、极限与连续 1. 数列极限、收敛数列的基本性质（极限唯一性、有界性、保号性、不等式性质）. 2. 数列收敛的条件（Cauchy 准则、迫敛性、单调有界原理、数列收敛与其子列收敛的关系），极限1lim(1)n n e n →∞+=及其应用. 3.一元函数极限的定义、函数极限的基本性质（唯一性、局部有界性、保号性、不等式 性质、迫敛性），归结原则和Cauchy 收敛准则，两个重要极限sin 10lim 1,lim(1)x x x x x x e →→∞ =+=及其应用，计算一元函数极限的各种方法，无穷小量与无穷大量、阶的比较，记号O 与o 的意义，多元函数重极限与累次极限概念、基本性质，二元函数的二重极限与累次极限的关系. 4. 函数连续与间断、一致连续性、连续函数的局部性质（局部有界性、保号性），有界闭集上连续函数的性质（有界性、最大值最小值定理、介值定理、一致连续性）. 三、一元函数微分学 1.导数及其几何意义、可导与连续的关系、导数的各种计算方法，微分及其几何意义、可微与可导的关系、一阶微分形式不变性. 2.微分学基本定理：Fermat 定理，Rolle 定理，Lagrange 定理，Cauchy 定理，Taylor 公式(Peano 余项与Lagrange 余项). 3.一元微分学的应用：函数单调性的判别、极值、最大值和最小值、凸函数及其应用、 浙江省首届高等数学竞赛试题（2002.12.7） 一． 计算题(每小题5分，共30分) 1 ．求极限lim x →。 2．求积分 |1|D xy dxdy -??，11{(,)2,2}22D x y x y =≤≤≤≤。 3．设2x y x e =是方程hx y ay by ce '''++=的一个解，求常数,,,a b c h 。 4．设()f x 连续，且当1x >-时，20()[()1]2(1)x x xe f x f t dt x +=+? ，求()f x 。 5．设21 1arctan 2n n k S k ==∑，求lim n n S →∞。 6．求积分1 2121(1)x x x e dx x ++ -?。 2003年浙江省大学生高等数学竞赛试题（2003.12.6） 一．计算题 7．求20 50sin()lim x x xt dt x →?。 8．设31()sin x G x t t dt =?，求21()G x dx ?。 9．求2401x dx x ∞+?。 10． 求∑=∞→++n k n k n k n 12lim 。 浙江省大学生第三届高等数学竞赛试题 1．计算：( )()2 00cos 2lim tan 1x t x x e tdt x x x →----?。 2．计算：20cos 2004 x dx x x π ππ+-+?。 3．求函数()22,415f x y x y y =++在 (){}22,41x y x y Ω=+≤上的最大、小值。 4．计算：()3max ,D xy x d σ?? ，其中(){},11,01D x y x y =-≤≤≤≤。 5. 设()1tan 1x f x arc x -=+，求)0()(n f 。 天津市竞赛题 1.证明??+≤?+020220 21cos 1sin dx x x dx x x ππ. 2. 设函数)(x f 在闭区间]2,2[-上具有二阶导数,,1)(≤x f 且 ,4)]0([)]0([22='+f f 证明：存在一点),2,2(-∈ξ使得0)()(=''+ξξf f . 3. （1）证明：当x 充分小时,不等式422tan 0x x x ≤-≤成立. （2）设,1tan 12 k n x n k n +=∑=求.lim n x x ∞ → 4. 计算??????+-??? ??+-∞→61231e 2lim n n n n n n 。5. 设()x x x f +-=11arctan ，求()()05f 。 6. 对k 的不同取值，分别讨论方程01323=+-kx x 在区间()+∞,0内根的个数。 7. 设a ，b 均为常数且2->a ，0≠a ，问a ，b 为何值时，有 ()()??-=?? ????-+++∞ +10212d 1ln d 122x x x a x x a bx x 。 8.设121-≥a ， ,,,n ,a a n n 321121=+=+，证明：n n a ∞ →lim 存在并求其值。 9.设()x f 是区间[]2+a,a 上的函数，且()1≤x f ，()1≤''x f ，证明：()2≤'x f ，[]2+∈a,a x 。 北京市竞赛试题(2008、2007、2006) .______,111,1.11 =-+++-→-m x x x m x m 则的等价无穷小是时设当 .________)1(,) ()2)(1()()2)(1()(.2='+++---=f n x x x n x x x x f 则设 首届全国大学生数学竞赛决赛试卷 （非数学类） 考试形式： 闭卷 考试时间： 150 分钟 满分： 100 分. 一、 计算下列各题（共20分，每小题各5分，要求写出重要步骤）. (1) 求极限1 21lim (1)sin n n k k k n n π-→∞=+∑. (2) 计算 2∑其中∑ 为下半球面z =0a >. (3) 现要设计一个容积为V 的一个圆柱体的容器. 已知上下两底的材料费为单位面积a 元，而侧面的材料费为单位面积b 元.试给出最节省的设计方案：即高与上下底的直径之比为何值时所需费用最少？ (4) 已知()f x 在11,42?? ???内满足 331()sin cos f x x x '=+，求()f x . 二、（10分）求下列极限 (1) 1lim 1n n n e n →∞????+- ? ? ?????； (2) 111lim 3n n n n n a b c →∞??++ ? ? ???, 其中0,0,0a b c >>>. 三、（10分）设()f x 在1x =点附近有定义，且在1x =点可导， (1)0,(1)2f f '==. 求 220(sin cos )lim tan x f x x x x x →++. 四、（10分） 设()f x 在[0,)+∞上连续，无穷积分0()f x dx ∞?收敛. 求 0 1lim ()y y xf x dx y →+∞?. 五、五、（12分）设函数()f x 在[0,1]上连续，在(0,1)内可微，且 1(0)(1)0,12f f f ??=== ???. 证明：(1) 存在 1,12ξ??∈ ???使得()f ξξ=；(2) 存在(0,)ηξ∈使得()()1f f ηηη'=-+. 六、（14分）设1n >为整数， 20()1...1!2!!n x t t t t F x e dt n -??=++++ ????. 证明: 方程 ()2n F x =在,2n n ?? ???内至少有一个根. 中国大学生数学竞赛竞赛大纲(数学专业组) 为了进一步推动高等学校数学课程的改革和建设，提高大学数学课程的教学水平，激励大学生学习数学的兴趣，发现和选拔数学创新人才，更好地实现“中国大学生数学竞赛”的目标，特制订本大纲。 一、竞赛的性质和参赛对象 “中国大学生数学竞赛”的目的是：激励大学生学习数学的兴趣，进一步推动高等学校数学课程的改革和建设，提高大学数学课程的教学水平，发现和选拔数学创新人才。 “中国大学生数学竞赛”的参赛对象为大学本科二年级及二年级以上的在校大学生。 二、竞赛的内容 “中国大学生数学竞赛”分为数学专业类竞赛题和非数学专业类竞赛题。 （一）中国大学生数学竞赛（数学专业类）竞赛内容为大学本科数学专业基础课的教学内容，即，数学分析占50%，高等代数占35%，解析几何占15%，具体内容如下： Ⅰ、数学分析部分 一、集合与函数 1. 实数集 、有理数与无理数的稠密性，实数集的界与确界、确界存在性定理、闭区间套定理、聚点定理、有限覆盖定理. 2. 2 上的距离、邻域、聚点、界点、边界、开集、闭集、有界（无界）集、2 上的闭矩形套定理、聚点定理、有限复盖定理、基本点列，以及上述概念和定理在n 上的推广. 3. 函数、映射、变换概念及其几何意义，隐函数概念，反函数与逆变换，反函数存在性定理，初等函数以及与之相关的性质. 二、极限与连续 1. 数列极限、收敛数列的基本性质（极限唯一性、有界性、保号性、不等式性质）. 2. 数列收敛的条件（Cauchy 准则、迫敛性、单调有界原理、数列收敛与其子列收敛的关系），极限1lim(1)n n e n →∞+=及其应用. 3.一元函数极限的定义、函数极限的基本性质（唯一性、局部有界性、保号性、不等式 性质、迫敛性），归结原则和Cauchy 收敛准则，两个重要极限sin 10lim 1,lim(1)x x x x x x e →→∞ =+=及其应用，计算一元函数极限的各种方法，无穷小量与无穷大量、阶的比较，记号O 与o 的意义，多元函数重极限与累次极限概念、基本性质，二元函数的二重极限与累次极限的关系. 4. 函数连续与间断、一致连续性、连续函数的局部性质（局部有界性、保号性），有界闭集上连续函数的性质（有界性、最大值最小值定理、介值定理、一致连续性）. 三、一元函数微分学 1.导数及其几何意义、可导与连续的关系、导数的各种计算方法，微分及其几何意义、可微与可导的关系、一阶微分形式不变性. 2.微分学基本定理：Fermat 定理，Rolle 定理，Lagrange 定理，Cauchy 定理，Taylor 公式(Peano 余项与Lagrange 余项). 3.一元微分学的应用：函数单调性的判别、极值、最大值和最小值、凸函数及其应用、 2013年全国大学生数学竞赛练习题（一） 1.(第一届全国大学生数学竞赛初赛题)求极限2lim ()0 e x x nx e e e x n x +++→ 2.(第二届初赛题)设22(1)(1)...(1),n n x a a a =+++其中1a <,求lim n n x →∞ . 3.(第一届决赛题)设()f x 在1x =点附近有定义，且在1x = 点可导,(1)0,(1)2f f '==,求220(sin cos )lim tan x f x x x x x →++. 4.(第二届决赛题)设函数f(x)在x=0的某邻域内具有二阶连续导数, 且()(0),0,(0)f f f '''均不为0,证明:存在唯一一组实数123,,k k k ，使得 ()()()()1232 0230lim 0h k f h k f h k f h f h →++-=。 5.设()f x 在0x =的某邻域内有二阶导数， 且1 0()lim 13x x f x x x →? ?++=???? ,试求(0)f ,(0)f ',(0)f '' 6. (1)若函数()f x 在x 附近有连续的二阶导数， 且()0f x ''≠，则?θ由中值定理，,使得：0 ()=()(),lim ;h f x h f x hf x h →'+++θθ求 (2)若函数()f x 在x 附近有连续的非零n+1阶导数, 则0n ?θ≠,使得:()()=()()+(),!n n n h f x h f x hf x f x h n θ'+++ +0lim n h θ→求。 7.()lim[lim cos (!)]n m n f x m x π→∞→∞=求函数( x R ∈)的表达式 8. (刘丛志题) 当0x →时，估计无穷小量()f x =x 的阶. 9.求()lim (1)(0)k k n n n k →∞+-> 10.(刘丛志题)设 ()lim 20131n n n n αββ=→∞--,求,αβ的值。 11. (刘丛志题)求lim sin n ? ?→∞ 12.证明:limsin n n →∞? 13.0110,0,(),lim 2n n n n n a a a a a a a +→∞>>= +设求 14.设(1n n a b =+,其中,n n a b 为正整数,求lim n n n a b →∞. 15.(1)证明:(斯托尔兹定理) 12n +++lim lim n n n a a a a a a n →∞→∞=若=，则L (2)设11(0,1),(1)n n n x x x x +∈=-,试利用斯托尔兹定理证明lim 1n n nx →∞= (3)(第三届初赛题)若存在正整数p ,使得lim )n p n n a a λ+→∞-=（,试利用斯托尔兹定理证明lim n n a n p λ→∞= 全国大学生数学竞赛预赛试卷（非数学类） 2009年 第一届全国大学生数学竞赛预赛试卷（非数学类） 一、填空题（每小题5分，共20分） 1． 计算()ln(1) d y x y x y ++=??____________，其中区域D 由直线1=+y x 与两坐标轴所围成三角形区域. 2．设)(x f 是连续函数，且满足2 20()3()d 2f x x f x x =--?，则()f x =____________. 3．曲面2 222 x z y =+-平行平面022=-+z y x 的切平面方程是__________. 4．设函数)(x y y =由方程29ln )(y y f e xe =确定，其中f 具有二阶导数，且1≠'f ，则 =2 2d d x y ________________. 二、（5分）求极限x e nx x x x n e e e )( lim 20+++→Λ，其中n 是给定的正整数. 三、（15分）设函数)(x f 连续，10()()g x f xt dt =?，且A x x f x =→) (lim 0，A 为常数，求()g x '并 讨论)(x g '在0=x 处的连续性. 四、（15分）已知平面区域}0,0|),{(ππ≤≤≤≤=y x y x D ，L 为D 的正向边界，试证： （1）?? -=---L x y L x y x ye y xe x ye y xe d d d d sin sin sin sin ； （2）2sin sin 2 5 d d π? ≥--L y y x ye y xe . 五、（10分）已知x x e xe y 21+=，x x e xe y -+=2，x x x e e xe y --+=23是某二阶常系数 线性非齐次微分方程的三个解，试求此微分方程. 六、（10分）设抛物线c bx ax y ln 22 ++=过原点.当10≤≤x 时，0≥y ，又已知该抛物线与x 轴及直线1=x 所围图形的面积为3 1 .试确定c b a ,,，使此图形绕x 轴旋转一周而成的旋转体的体积V 最小. 七、（15分）已知)(x u n 满足1()()1,2,n x n n u x u x x e n -'=+=L ，且n e u n =)1(，求函数项级数∑∞ =1 )(n n x u 之和. 八、（10分）求- →1x 时，与∑∞ =0 2 n n x 等价的无穷大量. 全国大学生数学竞赛（非数学专业） 微分学 一、基本概念与内容提要 1.出参数方程确定的函数的导数 则冬二 dy df 二 d )，/dx 二 ?'(/)二儿 ‘ dx dt dx dt dt 0(f) x t ' d 严⑴ d/ 二以⑴0(/)-0(/)0? 1 dt(p\ty dx~ [?(or dt 2.多元函数微分学 全微分：衣二空血臬密?腸式不变^=—dx + — Jy + — dx oy dx dy dz 处的切线对和轴的斜率。函数的连续性和可微、可导必须会用定义判断。 连续的混合高阶偏导数与求导顺序无关。 二元函数的偏导数存在是连续的既不充分乂不必要条件。 二元两数存在两个偏导数是可微的必要不充分条件。 偏导数连续是函数可微的充分不必要条件。函数连续是可微的必要不充分条件。 全微分的近似计算：Az"卩人(兀，刃山+/；(x ，y)Ay 多元复合函数的求导法:z = /D/(O,v(O] — = — dt du dt dv dt 偏导数的儿何意义：粼規示册緝奇成，， z = /(s) y = >o (x o Jo Zo) z = /[u(x,y),u(x,y)] 当M 出&(x, y) v = v(x, y) dz dz du dz dv —= ----- ---- 1 -- --- dx du dx dv dx f du . du f du =—dx-\ --- dy dx dy dv = ^dx^dy dx dy 隐函数的求导公式： 隐函数F(X,)')F O 尘=_? dx F y 台7 F 隐函数F(x,)^) = 0 — = -一dx E d~y _ *( F C( F d y 乔一去(一亍石F忑 ) J 比_ Py 高数竞赛预赛试题（非数学类） （参加高等数学竞赛的同学最重要的是好好复习高等数学知识，适当看一些辅导书 及相关题目，主要是一些各大高校的试题。） 2009年 第一届全国大学生数学竞赛预赛试卷 一、填空题（每小题5分，共20分） 1．计算=--++??y x y x x y y x D d d 1) 1ln()(____________，其中区域D 由直线1=+y x 与两坐标轴所围成三角形区域. 解: 令v x u y x ==+,，则v u y v x -==,，v u v u y x d d d d 11 10 det d d =??? ? ? ?-=， v u u v u u u y x y x x y y x D D d d 1ln ln d d 1) 1ln()(????--= --++ ????----=---=10 2 1 00 0d 1)ln (1ln d )d ln 1d 1ln ( u u u u u u u u u u v v u u v u u u u u ? -=1 2 d 1u u u （*） 令u t -=1，则21t u -= dt 2d t u -=，42221t t u +-=，)1)(1()1(2t t t u u +-=-， ?+--=0 1 42d )21(2(*)t t t ? +-=10 42d )21(2t t t 1516513 2 21 053= ??????+-=t t t 2．设)(x f 是连续函数，且满足? -- =20 22d )(3)(x x f x x f , 则=)(x f ____________. 解: 令? = 20 d )(x x f A ，则23)(2--=A x x f ， A A x A x A 24)2(28d )23(20 2-=+-=--= ? , 解得34= A 。因此3 10 3)(2-=x x f 。 3．曲面22 22 -+=y x z 平行平面022=-+z y x 的切平面方程是__________. 试题1：如果平面:0Ax By D π++=与曲面261z xy +=的交线是圆，求实数,A B 的比值。 解：不妨设0B ≠以平面π为新的''X Y 平面，以(0,/,0)D B -为原点，以 '223(,,0)/e A B A B =+,'22'''1231(,,0)/,(0,0,1)e B A A B e e e =-+=?=为基本向量 建立一个新的坐标系''''O X Y Z ，则坐标变换公式为 '' 2222 ''2222'/B A x x z A B A B A B y D B x z A B A B z y ?=+?++? ?=-- +?++? ?=?? 在新的坐标系中，平面的方程为：'0z =, 而曲线的方程为： '2'''' 22 22 2 2 2 2 6( )(/)1 B A A B y x z D B x z A B A B A B A B ++ -- + =+++ + 所以交线的方程为： '2' '''22 22 22 22 '6()(/)1 B A A B y x z D B x z A B A B A B A B z ?++--+ =?++++? ?=? 化简得： '2' '22 22 '6()(/)1 0B A y x D B x A B A B z ?+--=?++? ?=? 因为交线是圆，所以 226AB A B -=+ 解得 322A B =-. 试题2：求过点)0,1,0(P 并且和两条直线 ? ? ?=+=+++?? ?=+=++020 13:,0201:21y x z y x l y x y x l 均相交的直线的方程。 解：把直线的方程化为点向式方程为： ,1 11 2 :,1 20 1:21-+==-=+=-z y x l z y x l 设所求的直线为,l 记l 和i l 所确定的平面为,1,2i i π=,那么12l ππ=， 试题3：在二次曲面2222360x y z xy xz z +-++-=上，求过点(1,4,1)-的所有直线的方程. 解：设所求的直线的方程为:141x lt y mt z nt =+??=-+??=+? ,又因为所求的直线在二次曲 面上,所以对任意的,t 有 2222(1 )(4)(1) 3(1)( 4)(1)(1 )6(1) l t m t n t l t m t l t n t n t ++--+++-+++-+=, 化简得; 2222(23)(757)0t l m n ml nl l m n t +-++-++= 由于上式对任意的,t 都成了，所以 222230 (1)7570l m n ml nl l m n ?+-++=? ++=? 由于n m l ,,可相差一个公共的非零常数倍，所以可分两种情况讨论 (1):,0=l 代入方程组(1)得 220 (1)570 m n m n ?-=? +=? 2011年全国大学生数学建模竞赛测试试题(A) 时量：180分钟满分：150分 院系：专业：学号：姓名： 一、选择题（2分/题×10题=20分） 1、Matlab程序设计中清除当前工作区的变量x,y的命令是( c ) A.clc x,y B.clear(x y) C.clear x y D.remove(x,y) 2、关于Matlab程序设计当中变量名和函数名的描述，下述说法正确的是( B ) A.都不区分大小写 B.都区分大小写 C.变量名区分,函数名不区分 D. 变量名区分,函数名不区分 3、MA TLAB软件中，把二维矩阵按一维方式寻址时的寻址访问是按（B）优先的。 A.行 B.列 C.对角线 D.左上角 4、关于矩阵上下拼接和左右拼接的方式中，下列描述是正确的是（ D ） A．上下拼接的命令为C=[A, B]，要求矩阵A, B的列数相同； B．左右拼接的命令为C=[A; B]，要求矩阵A, B的行数相同； C．上下拼接的命令为C=[A; B]，要求矩阵A, B的行数相同； D．左右拼接的命令为C=[A, B]，要求矩阵A, B的行数相同。 5、Matlab命令a=[65 72 85 93 87 79 62 73 66 75 70];find(a>=70 & a<80)得到的结果为（C ） A.[72 79 73 75] B.[72 79 73 75 70] C.[2 6 8 10 11] D.[0 1 0 0 0 1 0 1 0 1 1] 6、矩阵(或向量)的范数是用来衡量矩阵(或向量)的（A）的一个量 A.维数大小 B.元素的值的绝对值大小 C.元素的值的整体差异程度 D.所有元素的和 7、计算非齐次线性方程组AX=b的解可转化为计算矩阵X=A-1b，可以用Matlab的命令（A）实现 A.左除命令x=A\b B.左除命令x=A/b C.右除命令x=A\b D.右除命令x=A/b 8、关于Matlab的矩阵命令与数组命令，下列说法正确的是（b） A.矩阵乘A*B是指对应位置元素相乘 B.矩阵乘A.*B是指对应位置元素相乘 C.数组乘A.*B是指对应位置元素相乘 D.数组乘A*B是指对应位置元素相乘 9、生成5行4列，并在区间[1:10]内服从均分布的随机矩阵的命令是（d） A.rand(5,4)*10 B.rand(5,4,1,10) C.rand(5,4)+10 D.rand(5,4)*9+1 10、关于Matlab的M文件的描述中，以下错误的是（ d ） A、Matlab的M 文件有脚本M文件和函数M文件两种； B、Matlab的函数M文件中要求首行必须以function顶格开头；最新全国大学生数学竞赛简介
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