09工程力学答案第11章
压杆稳定
-标准化文件发布号：（9456-EUATWK-MWUB-WUNN-INNUL-DDQTY-KII
11-1 两端为铰支座的细长压杆，如图所示，弹性模量E=200GPa ，试计算其临界荷载。（1）圆形截面，25,1d l ==mm m ；（2）矩形截面2400,1h b l ===m m ；（3）16号工字钢，
2l =m
l
解：三根压杆均为两端铰支的细长压杆，故采用欧拉公式计算其临界力：
（1）圆形截面，25,1d l ==mm m ：2
29
22
2
0.025*******
37.81
cr EI
P l
πππ????
==
=N kN
（2）矩形截面2400,1h b l ===m m
当压杆在不同平面约束相同即长度系数相同均为1μ=时，矩形截面总是绕垂直短边的轴先
失稳20.040.02min(,)12
y z y I I I I ?===，故：2
2
9
2220.040.022********.71cr EI P l ππ????===N kN （3）16号工字钢，2l =m
查表知：4493.1,1130y z I I ==cm cm ，当压杆在不同平面约束相同即长度系数相同均为1μ=时4
min(,)93.1y z y I I I I ===cm ，故：2298
2
2
2001093.110459.42cr EI
P l ππ-????=
=
=N kN
11-3 有一根30mm ×50mm 的矩形截面压杆，一端固定，另一端铰支，试问压杆多长时可以用欧拉公式计算临界荷载已知材料的弹性模量E=200GPa ，比例极限σP =200MPa 。
解：（1）计算压杆能采用欧拉公式所对应的P λ
2299.35P P P E πσλλ=→=== （2）矩形截面压杆总是绕垂直于短边的轴先失稳，当其柔度大于P λ可采用欧拉公式计算临界力。故
0.780.83 1.2290.0399.35x P y z
l
l
l l i μλλ?=
=
=>>=→mm ， 即 1.229l >mm 为细长杆，可采用欧拉公式计算临界力。
11-6 某钢材的比例极限230P σ=MPa ，屈服极限274s σ=MPa ，弹性模量E=200GPa ，
331 1.09cr σλ=-。试求P s λλ和，并绘制临界应力总图（0150λ≤≤）。
解：（1）计算此钢材的判别柔度
①将230P σ=MPa 代入欧拉公式22E
πσλ
=可以计算此钢材细长压杆的判别柔度P λ：
92.64P λ=== ②由经验公式331 1.09cr σλ=-知：此钢材的331, 1.09a b ==MPa MPa ，将274s σ=MPa 代入中柔度杆的公式可以此钢材中柔度杆的判别柔度s λ：
33127452.291.09
s s a b σλ--=
== （2）绘制临界应力总图如图：
σ
(MPa)
cr
11-7 b=40mm,h=60mm 的矩形截面压杆如图所示，在在平面内，两端铰支，出平面内两端固定。材料为Q 235钢，其弹性模量210E G =Pa ,比例极限σP =200MPa 。试求（1）压杆的临界荷载P cr ，（2）若[]3st n =，压杆所承受的最大轴向压力为多大（3）从稳定性考虑b/h 为何值时最佳
习题11-7图
解：（1）计算柔度：
①当压杆在在平面内xoy 内失稳，为z 中性轴。
1 2.4
138.560.060xy xy z
l
i μλ??=
=
= ②当压杆在出平面内xoz 内失稳，为y 中性轴。
0.5 2.4
103.920.04xz xz y
l
i μλ??=
=
= ③λ越大，压杆越容易失稳，故此压杆将在在平面内先失稳。
max(,)138.56xz xy λλλ==
④计算压杆能采用欧拉公式所对应的P λ
22101.8P P P E πσλλ=→=== ⑤101.8138.56P λ=<，故采用欧拉公式计算P cr
222362
(2101010)
(0.0600.040)259.10138.56cr cr E P A A
πσλ
π=?=????=
??=N kN
(2) 由压杆稳定条件求压杆所承受的最大轴向压力［P ］若[]3st n =，
[][]
259.1086.373cr cr w w w P P n n P P n =
≥→≤==kN （3）求稳定性最佳的b/h
当压杆在不同方向的柔度相等时，才不会在某平面内先失稳。故
b
1 2.4
1 2.40.5 2.4
0.5
0.5 2.4
xy
xy
z
xz
xz
y
l
h
i
b
h b h
l
b
i
μ
λ
μ
λ
?
??
==
?
?
??
?
→=→=
?
??
?==
?
?
?
补充1 图示边长为a的正方形铰接结构，各杆的E、I、A均相同，且为细长杆。试求达到临界状态时相应的力P等于多少若力改为相反方向，其值又应为多少
F BC F N N BC
N
CD
解：（1）各杆的临界力
222
.
.22
2
cr BD
cr
EI EI
P P
a a
ππ
===
外
（2）求各杆的轴力与P的关系。
由对称性可知，外围的四个杆轴力相同，
NAB NBC NCD NDA
F F F F
===。研究C、B结点，设各杆都是受拉的二力杆，则与结点相联系的杆施与背离结点指向杆内的拉力，C、B结点受力如图所示。
第一种情况：
C:)
02450
x NCB NCB
F P F cos F
=→--=→=
∑压杆
B:()
02450
Y NBD NBC NBD NBC
F F F cos F P
=→--=→==
∑拉杆
令
22
,.22
=
NCB cr CB cr
EI EI
F P P P
a a
π
===?
外
第二种情况：
)
NCB
F=拉杆()
-
NBD NBC
F P
==压杆
22
.22
-==
22
NBD NBC cr BD
EI EI
F P P P
a a
ππ
===?
补充2 图示矩形截面松木柱，其两端约束情况为：在纸平面内失稳时，可视为两端固定；在出平面内失稳时，可视为上端自由下端固定。试求该木柱的临界力.
解：（1）计算柔度：
①当压杆在在平面内xoz 内失稳，y 为中性轴。
0.57
101.040.120xz xz y
l
i μλ??=
=
= ②当压杆在出平面内xoy 内失稳，z 为中性轴。
27
242.49xy xy z
l
i μλ??=
=
=
③λ越大，压杆越容易失稳，故此压杆将在在平面内先失稳。
max(.)242.49xz xy λλλ==
（2）松木75242.49P λ=<，故采用欧拉公式计算P cr
222112
(0.110)
(0.1200.200)40.28242.49cr cr E
P A A
πσλ
π=?=???=
??=N kN
补充3 图示压杆，材料为Q235钢，横截面有四种形式，其面积均为23102.3mm ?，试计算其临界力.