九年级数学竞赛专题讲座 ---二次函数的图像与性质
二、例题解析
例1 设抛物线为21y x kx k =-+-，根据下列各条件，求k 的值。 （1）抛物线的顶点在x 轴上； （2）抛物线的顶点在y 轴上； （3）抛物线的顶点()1,2--； （4）抛物线经过原点；
（5）当1x =时，y 有最小值；
（6）y 的最小值为1-.
例2 设直线y kx b =+与抛物线2y ax =的两个交点的横坐标分别为1x 和2x ，且直线与x 轴交点的横坐标为3x ，求证：123
111
x x x +=.
例3 二次函数2
y ax bx c =++，当12
x =时，有最大值25，而方程2
0ax bx c ++=的两根α、β，满足3319αβ+=，求a 、b 、c 。
例4 证明：无论a 取任何实数值时，抛物线2
11
(1)24
y x a x a =++++是通过一个定点，而且这些抛物线的顶点都在一条确定的抛物线上。
例 5 已知抛物线2(0)y ax bx c a =++>过()()0,4,2,2-两点，若抛物线在x 轴上截得的线段最短时，求这时的抛物线解析式。
例6 如果二次函数2y ax bx c =++的图像的顶点坐标是()2,4，且直线4y x =+依次与y 轴和抛物线相交于P 、Q 、R 三点，PQ:QR=1:3，求这个二次函数解析式。
训练题
班级 姓名 学号
1．二次函数(2)(21)y x x =-+图像抛物线的顶点坐标是_________，对称轴方程_________，与x 轴交点坐标_________，与y 轴交点坐标_________；当x ＝_________时，y 的最______值等于_________，当
x _________时，y 随x 增大而减小；当_________时，0y >；当_________时，0y <。
2．函数2
233
(2)m m y m x --=-是x 的二次函数，且抛物线开口向下，则m =________。
3．若2y x b x c =++的图像与x 轴两个交点间的距离为4，图像经过点()2,3-，则此二次函数的解析式
为____________。 4．把抛物线21
(2)12
y x =-
-+向左平移3个单位，再向下平移2
到抛物线______________。
5．已知二次函数2
y ax bx c =++的图像如右图，则下列6个代数式：
,,,,ab ac a
b c a b c ++--2a b +，
2a b -中，其值为正的式子的个数为
（
（8）在直角坐标系中，抛物线y=x 2+mx-34
m 2
（m>0）与x 轴交于A ，B 两点，若A ，B 两点到原点的距离分别为OA ，OB ，且满足
11OB OA -=23
，则m?的值等于_______． 8．已知：二次函数2(21)(53)35y m x m x m =--+++
（1）m 为何值时，此抛物线必与x 轴相交于两个不同的点； （2）m 为何值时，这两个交点再原点的左右两边； （3）m 为何值时，此抛物线的对称轴是y 轴；
（4）m 为何值时，这个二次函数有最大值5
4
-.
9．已知：二次函数2224y x mx m =-+的图像与x 轴有两个交点A 、B ，顶点为C ，若△ABC
的面积为求m 的值。
10．已知抛物线2(0)y ax bx c a =++≠经过点A ()1,0，对称轴方程是3x =，顶点为B ，直线y kx m =+经过A 、B 两点，它与坐标轴围成的三角形的面积为2，求一次函数y kx m =+和二次函数2
y ax bx c =++的解析式。
11．抛物线2(0)y ax bx c a =++≠的图像如图所示： （1）判断2
,,,4a b c b ac -的符号；
（2）当OA OB =时，求,,a b c 满足的关系。
12. 如图，以A 为顶点的抛物线与y 轴交于点B ．已知A 、B 两点的坐标分别为(3，0)、(0，4)． (1)求抛物线的解析式；
(2)设M(m ，n)是抛物线上的一点(m 、n 为正整数)，且它位于对称轴的右侧．若以M 、B 、O 、A 为顶
点的四边形四条边的长度是四个连续的正整数，求点M 的坐标；
(3)在(2)的条件下，试问：对于抛物线对称轴上的任意一点P ，PA 2+PB 2+PM 2＞28是否总成立?请说明理由．
13．如图，顶点坐标为()1,9的抛物线交x 轴于点A ()2,0-、B 两点，交y 轴于点C ，过A 、B 、C 三点的⊙'O 交y 轴于另一点D ，交抛物线于另一点P ，过原点O 且垂直于AD 的直线交AD 于点H ，交BC 于点G 。
（1）求抛物线的解析式和点G 的坐标； （2）设直线x m =交抛物线于点E ，交直线OG 于点F ，是否存在实数m ，使G 、P 、E 、F 为一个平行四边形的四个顶点？如果存在，求出m 的所有值；如果不存在，请说明理由。