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初中数学动点问题专题复习及问题详解.doc

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初中数学动点问题练习题

1、（宁夏回族自治区）已知：等边三角形ABC 的边长为 4 厘米，长为 1 厘米的线段MN 在△ABC 的边 AB上沿AB 方向以 1 厘米 / 秒的速度向 B 点运动（运动开始时，点M 与点A 重合，点N 到达点 B

时运动终止），过点 M 、N 分别作 AB 边的垂线，与△ ABC 的其它边交于P、Q

两点，线段 MN 运

动的时间为 t 秒．

1、线段MN在运动的过程中，t 为何值时，四边形MNQP

恰为矩形？并求出该矩形的面积；

（2）线段 MN 在运动的过程中，四边形MNQP

的面积为

S，运动的时间为t．求四边形

MNQP

的面

积 S 随运动时间 t 变化的函数关系式，并写出自变量t 的取值范围．

A MN B

2、如图，在梯形ABCD

中，

AD ∥ BC，AD 3， DC 5， AB 4 2，∠B 45．

动点 M

从 B 点出发沿线段BC 以每秒2 个单位长度的速度向终点 C 运动；动点 N 同时从 C 点出发沿线段 CD 以每秒 1 个单位长度的速度向终点 D 运动．设运动的时间为t 秒．

（1）求BC的长．

（2）当MN∥AB时，求t的值．

（3）试探究：t为何值时，△MNC

为等腰三角形．

3、如图，在平面直角坐标系中，四边形OABC是梯形， OA∥BC，点 A 的坐标为(6，0)，点 B 的坐标为 (4 ， 3) ，点

C 在y 轴的正半轴上．动点在上运动，从O 点出发到 A 点；动点

M OA

N在 AB上运动，从 A 点出发到 B 点．两个动点同时出发，速度都是每秒 1 个单位长度，当

其中一个点到达终点时，另一个点也随即停止，设两个点的运动时间为t (秒)．

(1) 求线段AB的长；当t为何值时，MN∥OC？

(2) 设△CMN的面积为S，求S与t之间的函数解析式， B

并指出自变量 t 的取值范围； S是否有最小值？

若有最小值，最小值是多少？

(3) 连接

，那么是否存在这样的 t ，使与互相垂直？

AC MN AC 若存在，求出这时的 t 值；若不存在，请说明理由．

4、（河北卷）如图，在 Rt △ ABC 中，∠ C ＝90°， AC ＝ 12， BC ＝16，动点 P 从点 A 出发沿

AC 边向点 C 以每秒 3 个单位长的速度运动，动点 Q 从点 C 出发沿 CB 边向点 B 以每秒 4 个单位长

的速度运动． P ，Q 分别从点 A ，C 同时出发，当其中一点到达端点时，另一点也随之停止运动．在

运动过程中，△ PCQ 关于直线 PQ 对称的图形是△ PDQ ．设运动时间为 t （秒）．

（ 1）设四边形 PCQD 的面积为 y ，求 y 与 t 的函数关系式；（ 2） t 为何值时，四边形 PQBA 是梯形？

（ 3）是否存在时刻 t ，使得 PD ∥ AB ？若存在，求出 t 的值；若不存在，请说明理由；

（4）通过观察、画图或折纸等方法，猜想是否存在时刻

t ，使得⊥ ？若存在，请估计

PD AB t 的值在括号中的哪个时间段内（ 0≤ t ≤ 1；1＜ t ≤ 2； 2＜ t ≤ 3；3＜ t ≤ 4）；若不存在，请简要说明理由．

5、（山东济宁）如图， A 、 B 分别为 x 轴和 y 轴正半轴上的点。OA 、 OB 的长分别是方程 x 2－ 14x ＋ 48＝0 的两根 (OA ＞ OB)，直线BC 平分∠ ABO 交 x 轴于 C 点， P 为 BC 上一动点， P 点以每秒 1

个单位的速度从 B 点开始沿 BC 方向移动。

(1) 设△ APB 和△ OPB 的面积分别为 S 1、 S 2，求 S 1∶ S 2 的值；

(2) 求直线 BC 的解析式；

(3) 设 PA － PO ＝ m ， P 点的移动时间为 t 。

A P

Q B

①当 0＜ t ≤ 4 5

时，试求出 m 的取值范围；

②当 t ＞

4 5

时，你认为 m 的取值范围如何 ( 只要求写出结

论) ？

6、在 ABC 中，

Rt , AC 4cm, BC 5 cm,点 D 在 BC 上，且以 CD ＝ 3cm,现有

两个动点 P 、Q 分别从点 A 和点 B 同时出发，其中点 P 以 1cm/s 的速度，沿 AC 向终点 C 移动；

点 Q 以 1.25cm/s 的速度沿 BC 向终点 C 移动。过点 P 作 PE ∥ BC 交 AD 于点 E ，连结 EQ 。设动点运动时间为 x 秒。

（1）用含 x 的代数式表示 AE 、 DE 的长度；

（2）当点 Q 在 BD （不包括点 B 、D ）上移动时，设

EDQ 的面积为 y(cm 2

) ，求 y 与月份 x 的函数关系式，并写出自变量

的取值范围；

（3）当 x 为何值时，

EDQ

为直角三角形。

7（杭州）在直角梯形ABCD中，C 90，高CD 6cm（如图 1）。动点P, Q

同时从点B出发，

点 P 沿BA, AD,DC

运动到点C停止，点

沿BC运动到点C停止，两点运动时的速度都是

1cm/ s。而当点P到达点A时，点Q

正好到达点 C 。设

P,Q

同时从点B出发，经过

的时间为t s

时， BPQ 的面积为

y cm

2 （如图 2）。分别以

t , y

为横、纵坐标建立直角坐

标系，已知点P 在 AD 边上从 A 到 D 运动时，y

与 t 的函数图象是图3中的线段MN。

（1）分别求出梯形中BA, AD

的长度；

（2）写出图 3 中M , N

两点的坐标；

（3）分别写出点P在BA边上和DC

边上运动时，

与

的函数关系式（注明自变量的取值

范围），并在图 3 中补全整个运动中y

关于

的函数关系的大致图象。

A D A D 30

B C B

Q C

t A(0，4 3)

8、（金华（）图如1

图） 1 ，在平面直角坐标系中（，图已知2）点

，点（图B在3）正半轴上，且

∠ ABO 30 ．动点P在线段AB上从点A向点B以每秒3

个单位的速度运动，设运动

时间为t

秒．在

轴上取两点

M，N

作等边

△PMN

．

（1）求直线AB的解析式；

（ 2）求等边△PMN的边长（用t的代数式表示），并求出当等边△PMN 的顶点 M 运动

到与原点O

重合时

的值；

（3）如果取OB的中点D，以OD为边在Rt△AOB内部作如图 2 所示的矩形ODCE

，

点C

在线段 AB 上．设等边

△PMN

和矩形

ODCE

重叠部分的面积为

，请求出当

0 ≤ t ≤ 2 秒时S

与

的函数关系式，并求出

的最大值．

y y

A P C

M O N B x A E

ODB x

（图 1）（图 2）

9、两块完全相同的直角三角板ABC和 DEF如图1所示放置，点C、 F 重合，且 BC、 DF在一

条直线上，其中AC=DF=4，BC=EF=3．固定Rt△ ABC不动，让Rt△ DEF沿 CB向左平移，直到

点 F 和点 B重合为止．设FC=x，两个三角形重叠阴影部分的面积为y．

（1）如图 2，求当x= 2时，y的值是多少？

（2）如图 3，当点E移动到AB上时，求x、y的值；

（3）求y与x之间的函数关系式；

10、（重庆课改卷）如图 1 所示，一张三角形纸片ABC，∠ ACB=90° ,AC=8,BC=6. 沿斜边 AB

的中线 CD把这张纸片剪成AC

1 和

2 两个三角形（如图2所示）.将纸片AC1D1

沿直线D

（AB）方向平移（点

A, D

, D

, B

始终在同一直线上），当点

1于点B重合时，

停止平移 . 在平移过程中，C

1 与

2 交于点E,

1 与

、BC

2 分别交于点F、P.

（1）当AC

1平移到如图 3 所示的位置时，猜想图中的

与

的数量关系，并证明

你的猜想；

（2）设平移距离D

1 为x，

1 与

2 重叠部分面积为y，请写出y与x的函数

关系式，以及自变量的取值范围；

（ 3）对于（ 2）中的结论是否存在这样的x

的值；使得重叠部分的面积等于原ABC 面积

的4

？若不存在，请说明理由.

C C1 C2

C1 C2

F E

A D

B A D1 D2 B A D2 D1 B

图 1 图 2 图 3

1. 梯形 ABCD中， AD∥ BC，∠ B=90°， AD=24cm，AB=8cm，BC=26cm，动点 P 从点 A 开始，沿AD边，以 1 厘米 / 秒的速度向点 D 运动；动点 Q从点 C开始，沿 CB边，以 3 厘米 / 秒的速度向 B 点运动。

已知 P、 Q两点分别从A、C 同时出发，，当其中一点到达端点时，另一点也随之停止运动。

假设运动时间为t 秒，问：

（1） t 为何值时，四边形PQCD是平行四边形？

（2）在某个时刻，四边形PQCD可能是菱形吗？为什么？

（3） t 为何值时，四边形PQCD是直角梯形？

A P （4） t 为何值时，四边形PQCD是等腰梯形？

B Q

2.如右图，在矩形ABCD中， AB=20cm， BC=4cm，点

P 从 A 开始沿折线A— B— C—D以 4cm/s 的速度运动，点Q从 C

开始沿 CD边 1cm/s 的速度移动，如果点P、 Q分别从 A、C 同时

出发，当其中一点到达点 D 时，另一点也随之停止运动，设运动

时间为 t(s) ， t 为何值时，四边形APQD也为矩形？D

3.如图，在等腰梯形ABCD

中，AB∥

，AD BC 5cm,AB=12 cm,CD=6cm ,点P从

A 开始沿 A

B 边向 B 以每秒3cm的速度移动，点Q

从

开始沿CD边向D以每秒1cm的速度

移动，如果点P、Q分别从 A、C同时出发，当其中一点到达终点时运动停止。设运动时间为t秒。

（1）求证：当t = 2时，四边形APQD

是平行四边形；

（2）PQ是否可能平分对角线BD？若能，求出当t为何值时由；

（3）若△DPQ是以PQ为腰的等腰三角形，求t的值。

A 4.如图所示，△ABC中，点O是AC边上的一个动点，PQ平分 BD；若不能，请说明理

D C

过 O作直线 MN//BC，设 MN交BCA 的平分线于点E，交BCA 的外角平分线于F。

（ 1）求让：EO FO；

（ 2）当点 O运动到何处时，四边形 AECF是矩形？并证明你的结论。

（ 3）若 AC边上存在点 O，使四边形 AECF是正方形，且

M O F N 6

= E ，求 B 的大小。

5. 如图，矩形 ABCD中， AB=8,BC=4, 将矩形沿 AC 折叠，点 D

B D'

C D

落在点 D’处，求重叠部分⊿ AFC的面积 .

B A

C D

6.如图所示，有四个动点 P、Q、 E、 F 分别从正方形CD、 DA以同样的速度向B、 C、 D、 A 各点移动。

（1）试判断四边形 PQEF是正方形并证明。

（2） PE是否总过某一定点，并说明理由。

（3）四边形 PQEF的顶点位于何处时，

其面积最小，最大？各是多少？ABCD的四个顶点出发，沿着AB、 BC、

A F D

B Q C

7.已知在梯形 ABCD中， AD∥ BC， AB= DC，对角线 AC和 BD相交于点 O， E 是 BC边上一个动点（ E 点不与 B、C两点重合）， EF∥BD交 AC于点 F， EG∥ AC交 BD于点

⑴求证：四边形 EFOG的周长等

于 2 OB；

⑵请你将上述题目的条件“梯形中，∥ ，= ”改为另一种四边形，其他条件

ABCD AD BC AB DC

不变，使得结论“四边形EFOG的周长等于2 OB”仍

成立，并将改编后的题目画出图形，写出已知、求 A D

证、不必证明 . O

B E C

图 10

如图，直角梯形ABCD中， AD∥ BC，∠ ABC＝ 90°，

已知 AD＝ AB＝ 3，BC＝4，动点 P 从 B 点出发，沿线段 BC向点 C 作匀速运动；动点 Q从点 D 出发，沿线段 DA向点 A 作匀速运动．过 Q点垂直于 AD的射线交 AC于点 M，交 BC于点 N． P、Q 两点同时出发，速度都为每秒1 个单位长度．当Q点运动到A 点，P、Q两点同时停止运动．设点Q运动的时间为 t 秒．

(1)求 NC，MC的长 ( 用 t 的代数式表示 ) ；

(2)当 t 为何值时，四边形 PCDQ构成平行四边形？

(3)是否存在某一时刻，使射线 QN恰好将△ ABC的面积和周长同时平分？若存在，求出此时

t的值；若不存在，请说明理由；(4)探究：t为何值时，△PMC 为等腰三角形？

（1） NC=t+1， PN=|5-(t+1)-t|=|4-2t|

（2）若 t 时刻满足条件，则满足矩形ABNQ面积 =3× (3-t))=1/2*(3+4)*3/2=21/4，则t=5/4

此时 AB+BN+QA=3+2(3-t)=13/2，而梯形总周长为 10+10^0.5 ，不满足条件。故不存在这样（ 1）

NC=t+1， PN=|5-(t+1)-t|=|4-2t|

（2）

若 t 时刻满足条件，则满足矩形 ABNQ面积 =3×(3-t))=1/2*(3+4)*3/2=21/4，则t=5/4

此时 AB+BN+QA=3+2(3-t)=13/2，而梯形总周长为 10+10^0.5 ，不满足条件。故不存在这样的 t 。t。

9、（山东青岛课改卷）如图①，有两个形状完全相同的直角三角形ABC和 EFG叠放在一起（点 A 与点 E 重合），已知 AC＝ 8cm，BC＝ 6cm，∠ C＝ 90°， EG＝ 4cm，∠ EGF＝ 90°， O 是△EFG斜边上的中点．

如图②，若整个△ EFG从图①的位置出发，以 1cm/s 的速度沿射线AB方向平移，在△ EFG 平

移的同时，点P 从△ EFG的顶点 G出发，以 1cm/s 的速度在直角边GF上向点 F 运动，当点

P 到达点 F 时，点 P 停止运动，△ EFG也随之停止平移．设运动时间为x（s）， FG的延长线

交 AC 于 H，四边形 OAHP的面积为

y（ cm) （不考虑点 P 与 G、 F 重合的情况）．

（1）当 x 为何值时， OP∥ AC ?

（2）求 y 与 x 之间的函数关系式，并确定自变量x 的取值范围．

（3）是否存在某一时刻，使四边形OAHP面积与△ ABC面积的比

为13∶ 24？若存在，求出 x

的值；若不存在，说明理由．

（参考数据：

2 2 2

＝13456 114 ＝ 12996， 115 ＝ 13225， 116

或 4. 42＝19. 36， 4. 52＝20. 25， 4. 62＝ 21. 16）

10、已知：如图，△ ABC是边长 3cm 的等边三角形，动点P、

Q同时从 A、 B 两点出发，分别沿 AB、 BC方向匀速移动，它

们的速度都是 1cm/s ，当点 P 到达点 B 时， P、 Q两点停止运

动．设点 P 的运动时间为 t （ s），解答下列问题：（1）当 t

（2）设四边形APQC的面积为y（ cm2），求 y 与 t 的

关系式；是否存在某一时刻 t ，使四边形 APQC的面积是△ ABC面积的三分之二？如果存在，求

出相应的 t 值；不存在，说明理由；

（2005? 宁德）如图，已知直角梯形ABCD中， AD∥ BC， D B=90°， AB=12cm， BC=8cm，

DC=13cm，动点 P 沿 A→D→ C 线路以 2cm/ 秒的速度向 C 运动，动点Q沿 B→C线路以 1cm/秒的速度向 C运动． P、Q两点分别从 A、 B同时出发，当其中一点到达C点时，另一点也随之停止．设运动时间为 t 秒，△ PQB的面积为 ym2．

（1）求 AD的长及 t 的取值范围；

（2）当 1.5 ≤ t ≤ t0 （ t0 为（ 1）中 t 的最大值）时，求 y 关于 t 的函数关系式；

（3）请具体描述：在动点P、Q的运动过程中，△ PQB的面积随着t 的变化而变化的规律．

（1）在梯形 ABCD中， AD∥BC、 D B=90°过 D作 DE⊥ BC于 E 点，如图所示∴ AB∥ DE∴四边形ABED为矩形，∴ DE=AB=12cm

在 Rt △ DEC中， DE=12cm， DC=13cm

∴E C=5cm

∴A D=BE=BC-=EC=3cm（ 2 分）

点 P 从出发到点 C 共需 =8（秒），

点 Q从出发到点 C 共需 =8 秒（ 3 分），

又∵ t ≥ 0，

∴0≤ t ≤ 8（ 4 分）；

（2）当 t=1.5 （秒）时， AP=3，即 P 运动到 D 点（ 5 分）∴

当 1.5 ≤t ≤ 8 时，点 P 在 DC边上

∴PC=16-2t

过点 P 作 PM⊥ BC于 M，如图所示

∴PM∥ DE

∴=即 =

∴PM=（ 16-2t ）（ 7 分）

又∵ BQ=t

∴y=BQ? PM

=t ?（ 16-2t ）

=-t2+t（3分），

（3）当 0≤ t ≤ 1.5 时，△ PQB的面积随着 t 的增大而增大；当

1.5 ＜ t ≤ 4 时，△ PQB的面积随着 t 的增大而（继续）增大；

当 4＜ t ≤ 8 时，△ PQB的面积随着t 的增大而减小．（ 12 分）

注：①上述不等式中，“ 1.5 ＜t ≤ 4”、“4＜ t ≤ 8”写成“ 1.5 ≤ t ≤ 4”、“ 4≤ t ≤ 8”也得分．

②若学生答：当点P 在 AD上运动时，△ PQB的面积先随着t 的增大而增大，当点P 在 DC上运动时，△ PQB的面积先随着 t 的增大而（继续）增大，之后又随着 t 的增大而减小．给（ 2 分）

③若学生答：△PQB的面积先随着t 的增大而减小给（ 1 分）

答案

1 .解:(1)作CH垂直AB于H,则AH=AB/2=2,CH=√(AC

2 -AH2 )=2√3.

当 MN在移动过程中, 点 M与 N在 CH两侧 ,MH=NH时, 根据对称性可知, 四边形 MNQP为矩形 .

∴M H=NH=MN/2=0.5,AM=AH-MH=2-0.5=1.5,即 t=1.5 时 , 四边形 MNQP为矩形 .

PM⊥ AB,CH⊥ AB,则 PM∥ CH,⊿APM∽⊿ ACH,PM/CH=AM/AH.

即 PM/(2 √3)=1.5/2,PM=3 √ 3/2. 四边形 MNQP的面积为 :PM*MN=(3√3/2)*1=(3 √ 3)/2.

(2) ①当 0≤t ≤ 1时 ,PM/CH=AM/AH,PM/(2√ 3)=t/2,PM= √ 3t;

QN/CH=AN/AH,QN/(2√ 3)=(t+1)/2,QN= √ 3t+ √ 3.

∴S=(PM+QN)*MN/2=(2√ 3t+ √3)*1/2= √ 3t+ √ 3/2.

②当 1

∴S=(PM+QN)*MN/2=(3√ 3)*1/2=(3 √ 3)/2.

③当 2≤ t ≤3时 , 同理可求 :PM=4√ 3- √3t,QN=3 √3- √ 3t.

∴S=(PM+QN)*MN/2=(7√ 3-2 √3t)*1/2=(7 √ 3)/2- √ 3t.

2. (1) BC=4+3+3=10

(2) CM=10-2T ，CN=T sin ∠C=4/5 ，cos ∠C=3/5 由于MN//AB ，∠NMC=45 °sin ∠MNC=sin(180- ∠C- ∠NMC) =sin( ∠C+ ∠NMC) =sin ∠Ccos ∠NMC+sin ∠NMCcos ∠ C =(4/5)( √2/2)+( √2/2)(3/5)

=7 √2/10 再由正弦定理：CN/sin ∠NMC=CM/sin ∠MNC T/( √2/2)=(10-2T)/(7 √2/10)

T=70/19

(3) MNC 为等腰三角形，有三种情况：

i. ∠C= ∠NMC 此时，∠MNC=180-2 ∠ C sin ∠MNC=sin(2 ∠C)=2sin ∠Ccos ∠C=24/25 CM/sin ∠MNC=CN/sin ∠ C (10-2T)/(24/25)=T/(4/5)

T=25/7

ii.∠C=∠MNC

同理，得：

(10-2T)/(4/5)=T/(24/25)

T=60/17

iii.∠MNC=∠NMC

此时，CM=CN

10-2T=T

T=10/3

3. 求线段AB的长可通过构建直角三角形进行求解．过B作BD⊥OA于D，那么AD=3，BD=4，

根据勾股定理即可求出AB 的长．如果MN∥ OC，那么△ AMN∽△ ABD，可的关于AN， AB， AM，AD的比例关系，其中AN=t，AM=6-t ，AD=3，AB=5，由此可求出 t 的值．（2）由于三角形CMN

的面积无法直接求出，因此可用其他图形的面积的“和，差”关系来求．△CMN的面积 =梯

形 AOCB的面积 - △ OCM的面积 - △ AMN的面积 - △ CBN的面积．可据此来得出 S，t 的函数关系式．然后根据函数的性质即可得出S 的最小值．（ 3）易得△ NME∽△ ACO，利用相似三角形的

对应边成比例得出的等量关系即可得出此时t 的值．

解：（ 1）过点 B 作 BD⊥ OA于点 D，则四边形 CODB是矩形， BD=CO=4，OD=CB=3，

DA=3．在 Rt △ABD中，AB=32+42=5．当 MN∥ OC时，MN∥ BD，∴△ AMN∽△ ADB，

AN/AB=AM/ AD．∵ AN=OM=t， AM=6-t ， AD=3，∴ t5=6-t3 ，即 t=154 （秒）．

（2）过点N作NE⊥x轴于点E，交CB的延长线于点F，∵NE∥BD，∴△AEN∽△ADB，

EN/DB=AN/AB．即 EN4=t5，EN=45t．∵ EF=CO=4，∴ FN=4-45t ．∵ S=S梯形 OABC-S△ COM-S△ MNA-

S△ CBN，∴S=12CO（ OA+CB）-12CO? OM-12AM? EN-12CB? FN，=12× 4×（ 6+3）-12 ×4t-12

×（ 6-t ）× 45t-12 × 3×（ 4-45t ）．即 S=25t2-165t+12 （ 0≤ t ≤ 5）．由 S=25t2-165t+12 ，

得 S=25（ t-4 ）2+285．∴当 t=4 时， S 有最小值，且S 最小 =285．（ 3）设存在点P 使 MN⊥

AC于点 P 由（2）得 AE=35t NE=45t∴ ME=AM-AE=6-t-35t=6-85t，∵∠MPA=90°，∴∠ PMA+

∠PAM=90°，∵∠ PAM+∠ OCA=90°，∴∠ PMA=∠ OCA，∴△ NME∽△ ACO∴ NE： OA=ME： OC∴

45t6=6-85t4解得t=4516∴存在这样的t ，且 t=4516 ．

4. (1) PC=12-3t CQ=4t

S △PCQ=PC*CQ/2=2t(12-3t)=24t-6t 2 0<=t<=4 SPCQD=48t-12t 2 0<=t<=4 (2)PQ//AB CP:CA=CQ:CB 即（ 12-3t ） :4t=3:4 t=2

<3> 存在，t=12/11 。

设在时刻t ， PD//AB，延长 QD交 AB 于 E，过 P 作 PF⊥ AB（如图 1，下面只给出计算，证明

过程略）。

∵△APF ∽△ABC

∴PF/AP=BC/AB=16/20=4/5

PF=AP*4/5=3t*4/5=2.4t

△PDQ ≌△PCQ ，DEFP 为矩形QE=DQ+DE=CQ+PF=4t+2.4t=6.4t

∵△QBE ∽△ABC ∴QE/QB=AC/AB 即 6.4t/ （16-4t ）=3/5 t=12/11

<4> 存在，t=36/13 ，2＜t≤ 3 。设在时刻t ， PD⊥ AB，延长 PD交 AB 于 F，过 Q作 QE⊥ AB（如图 2，下面只给出计算，证明

过程略）。同<1>PF=2.4t ∵△QBE ∽△ABC ∴QE/QB=AC/AB 即QE=QB*AC/AB= （16-4t ）*3/5 △PDQ ≌△PCQ ，DFEP 为矩形PD=PC= （12-3t ）DF=QE= （16-4t ）*3/5 PF=PD+DF=PC+QE= （12-3t ）+（16-4t ）*3/5=2.4t t=36/13 。 1） PC=12-3t CQ=4t

S△ PCQ=PC*CQ/2=2t(12-3t)=24t-6t 2 0<=t<=4

SPCQD=48t-12t2 0<=t<=4

(2)PQ//AB CP:CA=CQ:CB 即（ 12-3t ） :4t=3:4 t=2

回答者 :teacher024

<3>存在， t=12/11 。

设在时刻 t ， PD//AB，延长 QD交 AB 于 E，过 P 作 PF⊥ AB（如图 1，下面只给出计算，证明

过程略）。

∵△ APF∽△ ABC

∴P F/AP=BC/AB=16/20=4/5

PF=AP*4/5=3t*4/5=2.4t

△PDQ≌△ PCQ， DEFP为矩形

QE=DQ+DE=CQ+PF=4t+2.4t=6.4t

∵△ QBE∽△ ABC

∴Q E/QB=AC/AB

即6.4t/ （ 16-4t ） =3/5

t=12/11

<4>存在， t=36/13 ，2＜ t ≤ 3。

设在时刻 t ， PD⊥ AB，延长 PD交 AB 于 F，过 Q作 QE⊥ AB（如图 2，下面只给出计算，证

明过程略）。

同<1>PF=2.4t

∵△ QBE∽△ ABC

∴Q E/QB=AC/AB

即 QE=QB*AC/AB=（ 16-4t ） *3/5

△PDQ≌△ PCQ， DFEP为矩形

PD=PC=（ 12-3t ）

DF=QE=（ 16-4t ） *3/5

PF=PD+DF=PC+QE=（12-3t ） +（ 16-4t ） *3/5=2.4t

t=36/13 。

5.（ 1）如图①，过 P 点作 PD⊥BO， PH⊥AB，垂足分别为 D、H，

∵BC为∠ ABO的平分

线，∴ PH=PD，

∴ S1：S2=AB：OB，

又∵ OA、 OB的长是方程 x2-14x+48=0的两根（ OA＞

OB），解方程得： x1=8，x2=6，

∴ OA=8， OB=6，

∴AB=10，

∴S1：S2=AB：OB=5： 3；

（ 2）过 C 点作 CK⊥ AB，垂足为 K，

∴OC=CK，

∴S△ AOB=OC（OB+AB）=8OC=24，

∴OC=3，

∴C（3，0），

∴y=-2x+6 ；

（3）①当 O、P、E 三点共线时，（P 在 OE与 BC交点时）有

S△AOP=S△AEP，过 E 点作 EG⊥OA，垂足为 G，

∵OE⊥BC，BC平分∠ ABO，

∴ P 是 OE的中点，

∴ PF是△ OEG的中位

线，∵△ AGE∽△

AOB，

EGEA2

BOAB5

∴EG=，yP=，

把 yP=，代入 y=-2x+6 中，求得 xP=，

∴ P1（）；

②当 PA∥OE时，有 S△ AOP=S△AEP，

∴P2（4，-2 ）．

或用代数方法：设 E 点坐标为（ x， y），根据勾股定理求

出，再将代入 y=-2x+6 ，同样求出 P1（）、P2（ 4， -2 ）．

(完整)初三数学几何的动点问题专题练习

动点问题专题训练 1、如图，已知ABC △中，10 AB AC ==厘米，8 BC=厘米，点D为AB的中点．（1）如果点P在线段BC上以3厘米/秒的速度由B点向C点运动，同时，点Q 在线段CA上由C点向A点运动． ①若点Q的运动速度与点P的运动速度相等，经过1秒后，BPD △与CQP △是否全等，请说明理由； ②若点Q的运动速度与点P的运动速度不相等，当点Q的运动速度为多少时，能够使BPD △与CQP △全等？（2）若点Q以②中的运动速度从点C出发，点P以原来的运动速度从点B同时出发，都逆时针沿ABC △三边运动，求经过多长时间点P 与点Q第一次在ABC △的哪条边上相遇？ 2、直线 3 6 4 y x =-+与坐标轴分别交于A B 、两点，动点P Q 、同时从O点出发，同时到达A点，运动停止．点Q沿线段OA运动，速度为每秒1个单位长度，点P沿路线O→B→A运动．（1）直接写出A B 、两点的坐标；（2）设点Q的运动时间为t秒，OPQ △的面积为S，求S与t之间的函数关系式；（3）当 48 5 S=时，求出点P的坐标，并直接写出以点O P Q 、、为顶点的平行四边形的第四个顶点M的坐标．

3如图，在平面直角坐标系中，直线l：y=－2x－8分别与x轴，y轴相交于A，B两点，点P（0，k）是y轴的负半轴上的一个动点，以P为圆心，3为半径作⊙P. （1）连结PA，若PA=PB，试判断⊙P与x轴的位置关系，并说明理由；（2）当k为何值时，以⊙P与直线l的两个交点和圆心P为顶点的三角形是正三角形？ 4 如图1，在平面直角坐标系中，点O是坐标原点，四边形ABCO是菱形，点A的坐标为（－3，4），点C在x轴的正半轴上，直线AC交y轴于点M，AB边交y轴于点H．（1）求直线AC的解析式；（2）连接BM，如图2，动点P从点A出发，沿折线ABC方向以2个单位／秒的速度向终点C匀速运动，设△PMB的面积为S（S≠0），点P的运动时间为t秒，求S与t之间的函数关系式（要求写出自变量t的取值范围）；（3）在（2）的条件下，当t为何值时，∠MPB与∠BCO互为余角，并求此时直线OP与直线AC所夹锐角的正切值．

初中数学动点问题专题复习

初中数学动点问题练习题 1、（宁夏回族自治区）已知：等边三角形ABC 的边长为4厘米，长为1厘米的线段MN 在 ABC △的边AB 上沿AB 方向以1厘米/秒的速度向B 点运动（运动开始时，点M 与点A 重合，点N 到达点B 时运动终止），过点M N 、分别作AB 边的垂线，与ABC △的其它边交于P Q 、两点，线段MN 运动的时间为t 秒． 1、线段MN 在运动的过程中，t 为何值时，四边形MNQP 恰为矩形？并求出该矩形的面积；（2）线段MN 在运动的过程中，四边形MNQP 的面积为S ，运动的时间为t ．求四边形 MNQP 的面积S 随运动时间t 变化的函数关系式，并写出自变量t 的取值范围． 2、如图，在梯形ABCD 中，3545AD BC AD DC AB B ====?∥，，，．动点 M 从B 点出发沿线段BC 以每秒2个单位长度的速度向终点C 运动；动点N 同时从C 点出发沿线段CD 以每秒1个单位长度的速度向终点D 运动．设运动的时间为t 秒．（1）求BC 的长．（2）当MN AB ∥时，求t 的值．（3）试探究：t 为何值时，MNC △为等腰三角形． 3、如图，在平面直角坐标系中，四边形OABC 是梯形，OA ∥BC ，点A 的坐标为(6，0)，点B 的坐标为(4，3)，点C 在y 轴的正半轴上．动点M 在OA 上运动，从O 点出发到A 点；动点N 在AB 上运动，从A 点出发到B 点．两个动点同时出发，速度都是每秒1个单位长度，当其中一个点到达终点时，另一个点也随即停止，设两个点的运动时间为t (秒)． (1)求线段AB 的长；当t 为何值时，MN ∥OC ？ (2)设△CMN 的面积为S ，求S 与t 之间的函数解析式，并指出自变量t 的取值范围；S 是否有最小值？ C P Q B A M N C B

(word完整版)北师大版九年级数学动点问题题型方法归纳,推荐文档

图（3） B 图（1） B 图（2）动点问题题型方法归纳动态几何特点----问题背景是特殊图形，考查问题也是特殊图形，所以要把握好一般与特殊的关系；分析过程中，特别要关注图形的特性（特殊角、特殊图形的性质、图形的特殊位置。）动点问题一直是中考热点，近几年考查探究运动中的特殊性：等腰三角形、直角三角形、相似三角形、平行四边形、梯形、特殊角或其三角函数、线段或面积的最值。下面就此问题的常见题型作简单介绍，解题方法、关键给以点拨。一、三角形边上动点 1、（2009年齐齐哈尔市）直线3 64 y x =- +与坐标轴分别交于A B 、两点，动点P Q 、同时从O 点出发，同时到达A 点，运动停止．点Q 沿线段OA 运动，速度为每秒1个单位长度，点P 沿路线O →B →A 运动．（1）直接写出A B 、两点的坐标；（2）设点Q 的运动时间为t 秒，OPQ △的面积为S ，求出S 与t 之间的函数关系式；（3）当48 5 S =时，求出点P 的坐标，并直接写出以点O P Q 、、为顶点的平行四边形的第四个顶点M 的坐标．提示：第（2）问按点P 到拐点B 所有时间分段分类；第（3）问是分类讨论：已知三定点O 、P 、Q ，探究第四点构成平行四边形时按已知线段身份不同分类-----①OP 为边、OQ 为边，②OP 为边、OQ 为对角线，③OP 为对角线、OQ 为边。然后画出各类的图形，根据图形性质求顶点坐标。 2、（2009年衡阳市）如图，AB 是⊙O 的直径，弦BC=2cm ，∠ABC=60o．（1）求⊙O 的直径；（2）若D 是AB 延长线上一点，连结CD ，当BD 长为多少时，CD 与⊙O 相切；（3）若动点E 以2cm/s 的速度从A 点出发沿着AB 方向运动，同时动点F 以1cm/s 的速度从B 点出发沿BC 方向运动，设运动时间为)20)((<

初三数学动点问题

数学因运动而充满活力，数学因变化而精彩纷呈。动态题是近年来中考的的一个热点问题，以运动的观点探究几何图形的变化规律问题，称之为动态几何问题，随之产生的动态几何试题就是研究在几何图形的运动中，伴随着出现一定的图形位置、数量关系的“变”与“不变”性的试题，就其运动对象而言，有点动、线动、面动三大类，就其运动形式而言，有轴对称（翻折）、平移、旋转（中心对称、滚动）等，就问题类型而言，有函数关系和图象问题、面积问题、最值问题、和差问题、定值问题和存在性问题等。解这类题目要“以静制动”，即把动态问题，变为静态问题来解，而静态问题又是动态问题的特殊情况。以动态几何问题为基架而精心设计的考题，可谓璀璨夺目、精彩四射。动态几何形成的面积问题是动态几何中的基本类型，包括单动点形成的面积问题，双（多）动点形成的面积问题，线动形成的面积问题，面动形成的面积问题。本专题原创编写单动点形成的面积问题模拟题。在中考压轴题中，单动点形成的面积问题的重点和难点在于应用数形结合的思想准确地进行分类。原创模拟预测题1.某数学兴趣小组对线段上的动点问题进行探究，已知AB=8. 问题思考：如图1，点P为线段AB上的一个动点，分别以AP、BP为边在同侧作正方形APDC与正方形PBFE. （1）在点P运动时，这两个正方形面积之和是定值吗？如果时求出；若不是，求出这两个正方形面积之和的最小值. （2）分别连接AD、DF、AF， AF交DP于点A，当点P运动时，在△APK、△ADK、△DFK中，是否存在两个面积始终相等的三角形？请说明理由. 问题拓展：（3）如图2，以AB为边作正方形ABCD，动点P、Q在正方形ABCD的边上运动，且PQ=8.若点P从点A出发，沿A→B→C→D的线路，向D点运动，求点P从A到D的运动过程中， PQ 的中点O所经过的路径的长。

初中数学动点问题专题讲解简洁版

A B C D E O l A ′ 中考动点专题所谓“动点型问题”是指题设图形中存在一个或多个动点,它们在线段、射线或弧线上运动的一类开放性题目.解决这类问题的关键是动中求静,灵活运用有关数学知识解决问题. 关键:动中求静. 数学思想：分类思想函数思想方程思想数形结合思想转化思想注重对几何图形运动变化能力的考查从变换的角度和运动变化来研究三角形、四边形、函数图像等图形，通过“对称、动点的运动”等研究手段和方法，来探索与发现图形性质及图形变化，在解题过程中渗透空间观念和合情推理。图形在动点的运动过程中观察图形的变化情况，需要理解图形在不同位置的情况，才能做好计算推理的过程。在变化中找到不变的性质是解决数学“动点”探究题的基本思路,这也是动态几何数学问题中最核心的数学本质。函数揭示了运动变化过程中量与量之间的变化规律,是初中数学的重要容.动点问题反映的是一种函数思想,由于某一个点或某图形的有条件地运动变化,引起未知量与已知量间的一种变化关系,这种变化关系就是动点问题中的函数关系.那么,我们怎样建立这种函数解析式呢?下面结合中考试题举例分析. 例1(2005年·)如图3(1),在△ABC 中,∠ABC=90°,AB=4,BC=3. 点O 是边AC 上的一个动点,以点O 为圆心作半圆,与边AB 相切于点D,交线段OC 于点E.作EP ⊥ED,交射线AB 于点P,交射线CB 于点F. (1)求证: △ADE ∽△AEP. (2)设OA=x ,AP=y ,求y 关于 x 的函数解析式,并写出它的定义域. (3)当BF=1时,求线段AP 的长. （二）线动问题在矩形ABCD 中，AB ＝3，点O 在对角线AC 上，直线l 过点O ，且与AC 垂直交AD 于点E. (1)若直线l 过点B ，把△ABE 沿直线l 翻折，点A 与矩形ABCD 的对称中心A ＇重合，求BC 的长； (2)若直线l 与AB 相交于点F ，且AO ＝ 4 1 AC ，设AD 的长为x ，五边形BCDEF 的面积为S.①求S 关于x 的函数关系式，并指出x 的取值围； ②探索：是否存在这样的x ，以A 为圆心，以-x 4 3 长为半径的圆与直线l 相切，若存在，请求出x 的值；若不存在，请说明理由． (2)①92+=x AC ，9412+=x AO ，)9(121 2+=x AF ，x x AE 49 2+= ∴AF 2 1 ?=?AE S AEF x x 96)9(22+= ，x x x S 96)9(322+-= A 3(2) O 3(1)

初中数学动点问题归纳

图（3） A B 图（1） A B 图（2）动点问题题型方法归纳动态几何特点----问题背景是特殊图形，考查问题也是特殊图形，所以要把握好一般与特殊的关系；分析过程中，特别要关注图形的特性（特殊角、特殊图形的性质、图形的特殊位置。）动点问题一直是中考热点，近几年考查探究运动中的特殊性：等腰三角形、直角三角形、相似三角形、平行四边形、梯形、特殊角或其三角函数、线段或面积的最值。下面就此问题的常见题型作简单介绍，解题方法、关键给以点拨。一、三角形边上动点 1、（2009年齐齐哈尔市）直线3 64y x =-+与坐标轴分别交于A B 、两点，动点P Q 、同时从O 点出发，同时到达A 点，运动停止．点Q 沿线段OA 运动，速位长度，点P 沿路线O →B →A 运动．（1）直接写出A B 、两点的坐标；（2）设点Q 的运动时间为t 秒，OPQ △的面积为S ，求出S 与 t 之间的函数关系式；（3）当48 5 S =时，求出点P 的坐标，并直接写出以点O P Q 、、为顶点的平行四边形的第四个顶点M 的坐标．解：1、A （8，0） B （0，6） 2、当0＜t ＜3时，S=t 2 当3＜t ＜8时，S=3／8(8-t)t 提示：第（2）问按点P 到拐点B 所有时间分段分类；第（3）问是分类讨论：已知三定点O 、P 、Q ，探究第四点构成平行四边形时按已知线段身份不同分类-----①OP 为边、OQ 为边，②OP 为边、OQ 为对角线，③OP 为对角线、OQ 为边。然后画出各类的图形，根据图形性质求顶点坐标。 2、（2009年衡阳市）如图，AB 是⊙O 的直径，弦BC=2cm ， ∠ABC=60o ．（1）求⊙O 的直径；（2）若D 是AB 延长线上一点，连结CD ，当BD 长为多少时，CD 与⊙O 相切；（3）若动点E 以2cm/s 的速度从A 点出发沿着AB 方向运动，同时动点F 以1cm/s 的速度从B 点出发沿BC 方向运动，设运动时间为)20)((<

(完整版)中考数学动点问题专题讲解

动点及动图形的专题复习教案所谓“动点型问题”是指题设图形中存在一个或多个动点,它们在线段、射线或弧线上运动的一类开放性题目.解决这类问题的关键是动中求静,灵活运用有关数学知识解决问题. 关键:动中求静. 数学思想：分类思想函数思想方程思想数形结合思想转化思想注重对几何图形运动变化能力的考查从变换的角度和运动变化来研究三角形、四边形、函数图像等图形，通过“对称、动点的运动”等研究手段和方法，来探索与发现图形性质及图形变化，在解题过程中渗透空间观念和合情推理。选择基本的几何图形，让学生经历探索的过程，以能力立意，考查学生的自主探究能力，促进培养学生解决问题的能力．图形在动点的运动过程中观察图形的变化情况，需要理解图形在不同位置的情况，才能做好计算推理的过程。在变化中找到不变的性质是解决数学“动点”探究题的基本思路,这也是动态几何数学问题中最核心的数学本质。二期课改后数学卷中的数学压轴性题正逐步转向数形结合、动态几何、动手操作、实验探究等方向发展．这些压轴题题型繁多、题意创新，目的是考察学生的分析问题、解决问题的能力，内容包括空间观念、应用意识、推理能力等．从数学思想的层面上讲：（1）运动观点；（2）方程思想；（3）数形结合思想；（4）分类思想；（5）转化思想等．研究历年来各区的压轴性试题，就能找到今年中考数学试题的热点的形成和命题的动向，它有利于我们教师在教学中研究对策，把握方向．只的这样，才能更好的培养学生解题素养，在素质教育的背景下更明确地体现课程标准的导向．本文拟就压轴题的题型背景和区分度测量点的存在性和区分度小题处理手法提出自己的观点．函数揭示了运动变化过程中量与量之间的变化规律,是初中数学的重要内容.动点问题反映的是一种函数思想,由于某一个点或某图形的有条件地运动变化,引起未知量与已知量间的一种变化关系,这种变化关系就是动点问题中的函数关系.那么,我们怎样建立这种函数解析式呢?下面结合中考试题举例分析.

最全初中数学几何动点问题专题分类归纳汇总训练

最全初中数学几何动点问题专题分类归纳汇总近几年有关“线段最值”的中考试题层出不穷，形式多样，往往综合了几何变换、函数等方面的知识，具有一定的难度，具有很强的探索性，通过研究发现，这些问题尽管形式多样、背景复杂、变化不断，但都可以通过几何变换转化为常见的基本问题．最值题目类型多：作图、计算；有求差最大，求和最小；求周长最小、求时间最短；求最值、已知最值求待定系数等；对称载体多：几乎涉及到初中全部的轴对称图形（角、线段、等腰三角形、等腰梯形、菱形、正方形、抛物线、圆、坐标轴）. 我们知道“对称、平移、旋转” 是三种保形变换。通过这三种几何变换可以实现图形在保持形状、大小不变的前提下而使其位置发生变化，具有更紧凑的位置关系或组合成新的有利论证的基本图形．通过几何变换移动线段的位置是解决最值问题的有效手段，题目是千变万化的，但是运用几何变换把最值问题转化为基本问题却是不变的。数学问题是千变万化的，几何变换的应用也不是单一的，有些问题需要多种变换的组合才能解决，看看以下策略对解决问题能否奏效。（1）去伪存真。刨去不变的线段，看清楚究竟是几段和的最小值问题，必须仔细研究题目的背景，搞清楚哪些是动点、哪些是定点、哪些是定长。（2）科学选择。捕捉题目的信号，探索变换的基础，选择变换的手段．平移把不“连”的线段“接”起来，旋转把“碰头”的线段“展”开来重“接”，对称把在同侧的线段翻折过去重组，因此“不连——平移、碰头——旋转、同侧——对称”是一般的思路；对称变换的基础是轴对称图形，平移变换的基础是平行线，旋转变换的基础是等线段，所以选择哪种几何变换还要看题目中具备何种变换的基础信息。（3）怎么变换？对称变换一般以动点所在直线为对称轴，构建定点（直线）的对称点（直线），如有多个动点就必须作多次变换；平移一般是移动没有公共端点的两条线段中的某一条，与另一条对“接”；旋转变换一般以定点为旋转中心旋转60°或90°。（4）怎么求值？几何变换成了“两折线”或“三折线”后，根据“两点之间线段最

初二数学经典动点问题

动点问题 1、如图，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠B=90°，AD=24cm，AB=8cm，BC=26cm，动点P从A开始沿AD边向D以1cm/s的速度运动；动点Q从点C开始沿CB边向B以3cm/s的速度运动．P、Q分别从点A、C同时出发，当其中一点到达端点时，另外一点也随之停止运动，设运动时间为ts．（1）当t为何值时，四边形PQCD为平行四边形？（2）当t为何值时，四边形PQCD为等腰梯形？（3）当t为何值时，四边形PQCD为直角梯形？ 2、如图，△ABC中，点O为AC边上的一个动点，过点O作直线MN∥BC，设MN交∠BCA的外角平分线CF于点F，交∠ACB内角平分线CE于E．（1）试说明EO=FO；（2）当点O运动到何处时，四边形AECF是矩形并证明你的结论；（3）若AC边上存在点O，使四边形AECF是正方形，猜想△ABC的形状并证明你的结论． 3、如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，∠B=90°，AB=14cm，AD=15cm，BC=21cm，点M从点A开始，沿边AD向点D运动，速度为1cm/s；点N从点C开始，沿边CB向点B运动，速度为2cm/s、点M、N分别从点A、C出发，当其中一点到达端点时，另一点也随之停止运动，设运动时间为t秒．（1）当t为何值时，四边形MNCD是平行四边形？（2）当t为何值时，四边形MNCD是等腰梯形？

4、如图，在矩形ABCD中，BC=20cm，P，Q，M，N分别从A，B，C，D 出发沿AD，BC，CB，DA方向在矩形的边上同时运动，当有一个点先到达所在运动边的另一个端点时，运动即停止．已知在相同时间内，若BQ=xcm（x≠0），则AP=2xcm，CM=3xcm，DN=x2cm．（1）当x为何值时，以PQ，MN为两边，以矩形的边（AD或BC）的一部分为第三边构成一个三角形；（2）当x为何值时，以P，Q，M，N为顶点的四边形是平行四边形；（3）以P，Q，M，N为顶点的四边形能否为等腰梯形？如果能，求x的值；如果不能，请说明理由． 5、直线y=- 34x+6与坐标轴分别交于A、B两点，动点P、Q同时从O点出发，同时到达A点，运动停止．点Q沿线段OA运动，速度为每秒1个单位长度，点P沿路线O?B?A运动．（1）直接写出A、B两点的坐标；（2）设点Q的运动时间为t（秒），△OPQ的面积为S，求出S与t之间的函数关系式；（3）当S= 485时，求出点P的坐标，并直接写出以点O、P、Q为顶点的平行四边形的第四个顶点M的坐标．

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中考动点专题所谓“动点型问题”是指题设图形中存在一个或多个动点,它们在线段、射线或弧线上运动的一类开放性题目.解决这类问题的关键是动中求静,灵活运用有关数学知识解决问题. 关键:动中求静. 数学思想：分类思想函数思想方程思想数形结合思想转化思想注重对几何图形运动变化能力的考查从变换的角度和运动变化来研究三角形、四边形、函数图像等图形，通过“对称、动点的运动”等研究手段和方法，来探索与发现图形性质及图形变化，在解题过程中渗透空间观念和合情推理。选择基本的几何图形，让学生经历探索的过程，以能力立意，考查学生的自主探究能力，促进培养学生解决问题的能力．图形在动点的运动过程中观察图形的变化情况，需要理解图形在不同位置的情况，才能做好计算推理的过程。在变化中找到不变的性质是解决数学“动点”探究题的基本思路,这也是动态几何数学问题中最核心的数学本质。二期课改后数学卷中的数学压轴性题正逐步转向数形结合、动态几何、动手操作、实验探究等方向发展．这些压轴题题型繁多、题意创新，目的是考察学生的分析问题、解决问题的能力，内容包括空间观念、应用意识、推理能力等．从数学思想的层面上讲：（1）运动观点；（2）方程思想；（3）数形结合思想；（4）分类思想；（5）转化思想等．研究历年来各区的压轴性试题，就能找到今年中考数学试题的热点的形成和命题的动向，它有利于我们教师在教学中研究对策，把握方向．只的这样，才能更好的培养学生解题素养，在素质教育的背景下更明确地体现课程标准的导向．本文拟就压轴题的题型背景和区分度测量点的存在性和区分度小题处理手法提出自己的观点．函数揭示了运动变化过程中量与量之间的变化规律,是初中数学的重要内容.动点问题反映的是一种函数思想,由于某一个点或某图形的有条件地运动变化,引起未知量与已知量间的一种变化关系,这种变化关系就是动点问题中的函数关系.那么,我们怎样建立这种函数解析式呢?下面结合中考试题举例分析. 一、应用勾股定理建立函数解析式例1(2000年·上海)如图1,在半径为6,圆心角为90°的扇形OAB 的弧AB 上,有一个动点P,PH ⊥OA,垂足为H,△OPH 的重心为G. (1)当点P 在弧AB 上运动时,线段GO 、GP 、GH 中,有无长度保持不变的线段?如果有,请指出这样的线段,并求出相应的长度. (2)设PH x =,GP y =,求y 关于x 的函数解析式，并写出函数的定义域(即自变量x 的取值范围). (3)如果△PGH 是等腰三角形,试求出线段PH 的长. 解:(1)当点P 在弧AB 上运动时,OP 保持不变,于是线段GO 、GP 、GH 中,有长度保持不变的线段，这条线段是GH=3 2 NH=2132?OP=2. (2)在Rt △POH 中, 22236x PH OP OH -=-=, ∴ 2362 1 21x OH MH -== . 在Rt △MPH 中, . 222223362 1 419x x x MH PH MP +=- +=+=H M N G P O A B 图1 x y

初中的数学动点问题归纳

动点问题题型方法归纳动态几何特点----问题背景是特殊图形，考查问题也是特殊图形，所以要把握好一般与特殊的关系；分析过程中，特别要关注图形的特性（特殊角、特殊图形的性质、图形的特殊位置。）动点问题一直是中考热点，近几年考查探究运动中的特殊性：等腰三角形、直角三角形、相似三角形、平行四边形、梯形、特殊角或其三角函数、线段或面积的最值。下面就此问题的常见题型作简单介绍，解题方法、关键给以点拨。一、三角形边上动点 1、（2009年齐齐哈尔市）直线3 64 y x =- +与坐标轴分别交于A B 、两点，动点P Q 、同时从O 点出发，同时到达A 点，运动停止．点Q 沿线段OA 运动，速度为每秒1个单位长度，点P 沿路线O →B →A 运动．（1）直接写出A B 、两点的坐标；（2）设点Q 的运动时间为t 秒，OPQ △的面积为S ，求出S 与t 之间的函数关系式；（3）当48 5 S =时，求出点P 的坐标，并直接写出以点O P Q 、、为顶点的平行四边形的第四个顶点M 的坐标．解：1、A （8，0） B （0，6） 2、当0＜t ＜3时，S=t 2 当3＜t ＜8时，S=3／8(8-t)t 提示：第（2）问按点P 到拐点B 所有时间分段分类；第（3）问是分类讨论：已知三定点O 、P 、Q ，探究第四点构成平行四边形时按已知线段身份不同分类-----①OP 为边、OQ 为边，②OP 为边、OQ 为对角线，③OP 为对角线、OQ 为边。然后画出各类的图形，根据图形性质求顶点坐标。 2、（2009年衡阳市）如图，AB 是⊙O 的直径，弦BC=2cm ，

初三动点问题经典练习

动点问题练习 1.如图，已知在矩形ABCD 中，AD =8，CD =4，点E 从点D 出发，沿线段DA 以每秒1个单位长的速度向点A 方向移动，同时点F 从点C 出发，沿射线CD 方向以每秒2个单位长的速度移动，当B ，E ，F 三点共线时，两点同时停止运动．设点E 移动的时间为t （秒）．（1）求当t 为何值时，两点同时停止运动；（2）设四边形BCFE 的面积为S ，求S 与t 之间的函数关系式，并写出t 的取值范围；（3）求当t 为何值时，以E ，F ，C 三点为顶点的三角形是等腰三角形；（4）求当t 为何值时，∠BEC =∠BFC ． 1. 解：（1）当B ，E ，F 三点共线时，两点同时停止运动，如图2所示．………（1分）由题意可知：ED =t ，BC =8，FD = 2t -4，FC = 2t ． ∵ED ∥BC ，∴△FED ∽△FBC ．∴ FD ED FC BC = ． ∴ 2428 t t t -=．解得t =4． ∴当t =4时，两点同时停止运动；……（3分）（2）∵ED=t ，CF=2t ， ∴S =S △BCE + S △BCF = 12×8×4+1 2 ×2t ×t =16+ t 2．即S =16+ t 2．（0 ≤t ≤4）；………………………………………………………（6分）（3）①若EF=EC 时，则点F 只能在CD 的延长线上， ∵EF 2=2 2 2 (24)51616t t t t -+=-+， EC 2=222416t t +=+，∴251616t t -+=2 16t +．∴t =4或t=0（舍去）； ②若EC=FC 时，∵EC 2=222416t t +=+，FC 2=4t 2，∴2 16t +=4t 2．∴4 33 t =； ③若EF=FC 时，∵EF 2=2 2 2 (24)51616t t t t -+=-+，FC 2=4t 2， ∴2 51616t t -+=4t 2．∴t 1=163+，t 2=1683-． ∴当t 的值为44 33 1683-E ，F ，C 三点为顶点的三角形是等腰三角形；………………………………………………………………………………（9分）（4）在Rt △BCF 和Rt △CED 中，∵∠BCD =∠CDE =90°，2BC CF CD ED ==， A B C D E F O 图2 A B C D E F

初中数学几何的动点问题专题练习-附答案版

动点问题专题训练 1、如图，已知A B C △中，10A B A C ==厘米，8B C =厘米，点D 为A B 的中点．（1）如果点P 在线段BC 上以3厘米/秒的速度由B 点向C 点运动，同时，点Q 在线段CA 上由C 点向A 点运动． ①若点Q 的运动速度与点P 的运动速度相等，经过1秒后，B P D △与 CQP △是否全等，请说明理由； ②若点Q 的运动速度与点P 的运动速度不相等，当点Q 的运动速度为多少时，能够使B P D △与CQP △全等？（2）若点Q 以②中的运动速度从点C 出发，点P 以原来的运动速度从点B 同时出发，都逆时针沿A B C △三边运动，求经过多长时间点P 与点Q 第一次在A B C △的哪条边上相遇？ 2、直线364 y x =- +与坐标轴分别交于A B 、两点，动点P Q 、同时从O 点出发，同时到达A 点，运动停止．点Q 沿线段O A 运动，速度为每秒1个单位长度，点P 沿路线O →B →A 运动．（1）直接写出A B 、两点的坐标；（2）设点Q 的运动时间为t 秒，OPQ △的面积为S ，求出S 与t 之间的函数关系式；（3）当485 S = 时，求出点P 的坐标，并直接写出以点 O P Q 、、为顶点的平行四边形的第四个顶点M 的坐标．

3如图，在平面直角坐标系中，直线l：y=－2x－8分别与x轴，y轴相交于A，B 两点，点P（0，k）是y轴的负半轴上的一个动点，以P为圆心，3为半径作⊙P. （1）连结PA，若PA=PB，试判断⊙P与x轴的位置关系，并说明理由；（2）当k为何值时，以⊙P与直线l的两个交点和圆心P为顶点的三角形是正三角形？ 4 如图1，在平面直角坐标系中，点O是坐标原点，四边形ABCO是菱形，点A 的坐标为（－3，4），点C在x轴的正半轴上，直线AC交y轴于点M，AB边交y轴于点H．（1）求直线AC的解析式；（2）连接BM，如图2，动点P从点A出发，沿折线ABC方向以2个单位／秒的速度向终点C匀速运动，设△PMB的面积为S（S≠0），点P的运动时间为t秒，求S与t之间的函数关系式（要求写出自变量t的取值范围）；（3）在（2）的条件下，当t为何值时，∠MPB与∠BCO互为余角，并求此时直线OP与直线AC所夹锐角的正切值．

中考数学--动点问题题型方法归纳

图 B 图 B 图动点问题题型方法归纳动态几何特点----问题背景是特殊图形，考查问题也是特殊图形，所以要把握好一般与特殊的关系；分析过程中，特别要关注图形的特性（特殊角、特殊图形的性质、图形的特殊位置。）动点问题一直是中考热点，近几年考查探究运动中的特殊性：等腰三角形、直角三角形、相似三角形、平行四边形、梯形、特殊角或其三角函数、线段或面积的最值。下面就此问题的常见题型作简单介绍，解题方法、关键给以点拨。一、三角形边上动点 1（2009年齐齐哈尔市）直线3 64 y x =-+与坐标轴分别交于A B 、两点，动点P Q 、同时从O 点出发，同时到达A 点，运动停止．点Q 沿线段OA 运动，速度为每秒1个位长度，点P 沿路线O →B →A 运动．（1）直接写出A B 、两点的坐标；（2）设点Q 的运动时间为t 秒，OPQ △的面积为S ，求出S 与t 之间的函数关系式；（3）当48 5 S = 时，求出点P 的坐标，并直接写出以点O P Q 、、为顶点的平行四边形的第四个顶点M 的坐标．提示：第（2）问按点P 到拐点B 所有时间分段分类；第（3）问是分类讨论：已知三定点O 、P 、Q ，探究第四点构成平行四边形时按已知线段身份不同分类-----①OP 为边、OQ 为边，②OP 为边、OQ 为对角线，③OP 为对角线、OQ 为边。然后画出各类的图形，根据图形性质求顶点坐标。 2.如图，AB 是⊙O 的直径，弦BC=2cm ， ∠ABC=60o．（1）求⊙O 的直径；（2）若D 是AB 延长线上一点，连结CD ，当BD 长为多少时，CD 与⊙O 相切；（3）若动点E 以2cm/s 的速度从A 点出发沿着AB 方向运动，同时动点F 以1cm/s 的速度从B 点出发沿BC 方向运动，设运动时间为)20)((<

(精心整理)初二数学动点问题练习(含答案)

动态问题所谓“动点型问题”是指题设图形中存在一个或多个动点,它们在线段、射线或弧线上运动的一类开放性题目.解决这类问题的关键是动中求静,灵活运用有关数学知识解决问题. 关键:动中求静. 数学思想：分类思想数形结合思想转化思想 1、如图1，梯形ABCD中，AD∥BC，∠B=90°，AB=14cm,AD=18cm,BC=21cm,点P从 A开始沿AD边以1cm/秒的速度移动，点Q从C开始沿CB向点B以2 cm/秒的速度移动，如果P，Q分别从A，C同时出发，设移动时间为t秒。当 t= 时，四边形是平行四边形；6 当t= 时，四边形是等腰梯形. 8 2、如图2，正方形ABCD的边长为4，点M在边DC上，且DM=1，N为对角线AC上任意一点，则DN+MN的最小值为 5 3、如图，在Rt ABC △中，9060 ACB B ∠=∠= °，°，2 BC=．点O是AC的中点，过点O的直线l从与AC重合的位置开始，绕点O作逆时针旋转，交AB边于点D．过点C作 CE AB ∥交直线l于点E，设直线l的旋转角为α．（1）①当α=度时，四边形EDBC是等腰梯形，此时AD的长为； ②当α=度时，四边形EDBC是直角梯形，此时AD的长为；（2）当90 α=°时，判断四边形EDBC是否为菱形，并说明理由．解：（1）①30，1；②60，1.5；（2）当∠α=900时，四边形EDBC是菱形. ∵∠α=∠ACB=900，∴BC//ED. ∵CE//AB, ∴四边形EDBC是平行四边形在Rt△ABC中，∠ACB=900，∠B=600,BC=2, ∴∠A=300. ∴AB=4,AC=2 3. ∴AO= 1 2 AC =3.在Rt△AOD中，∠A=300，∴AD=2. ∴BD=2. ∴BD=BC. 又∵四边形EDBC是平行四边形， ∴四边形EDBC是菱形 4、在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，直线MN经过点C，且AD⊥MN于D，BE⊥MN于E. O E C D A α l O C A （备用图）C B A E D 图1 N M A B C D E M A C B E D N M 图3

初中数学压轴题---几何动点问题专题训练(含详细答案)

初中数学压轴题---几何动点问题专题训练 1、如图，已知ABC △中，10AB AC ==厘米，8BC =厘米，点D 为AB 的中点．（1）如果点P 在线段BC 上以3厘米/秒的速度由B 点向C 点运动，同时，点Q 在线段CA 上由C 点向A 点运动． ①若点Q 的运动速度与点P 的运动速度相等，经过1秒后，BPD △与CQP △是否全等，请说明理由； ②若点Q 的运动速度与点P 的运动速度不相等，当点Q 的运动速度为多少时，能够使BPD △与CQP △全等？（2）若点Q 以②中的运动速度从点C 出发，点P 以原来的运动速度从点B 同时出发，都逆时针沿ABC △三边运动，求经过多长时间点P 与点Q 第一次在ABC △的哪条边上相遇？解：（1）①∵1t =秒， ∴313BP CQ ==?=厘米， ∵10AB =厘米，点D 为AB 的中点， ∴5BD =厘米．又∵厘米， ∴835PC =-=厘米8PC BC BP BC =-=，， ∴PC BD =．又∵AB AC =， ∴B C ∠=∠， ∴BPD CQP △≌△． ············································································· （4分） ②∵P Q v v ≠， ∴BP CQ ≠，又∵BPD CQP △≌△，B C ∠=∠，则45BP PC CQ BD ====，， ∴点P ，点Q 运动的时间4 33 BP t ==秒， ∴515 443 Q CQ v t = ==厘米/秒． · ································································· （7分）（2）设经过x 秒后点P 与点Q 第一次相遇，由题意，得 15 32104 x x =+?，

中考数学最新经典动点问题-十大题型

1、如图，已知ABC △中，10AB AC ==厘米，8BC =厘米，点D 为AB 的中点．（1）如果点P 在线段BC 上以3厘米/秒的速度由B 点向C 点运动，同时，点Q 在线段CA 上由C 点向A 点运动． ①若点Q 的运动速度与点P 的运动速度相等，经过1秒后，BPD △与 CQP △是否全等，请说明理由； ②若点Q 的运动速度与点P 的运动速度不相等，当点Q 的运动速度为多少时，能够使BPD △与CQP △全等？（2）若点Q 以②中的运动速度从点C 出发，点P 以原来的运动速度从点B 同时出发，都逆时针沿ABC △三边运动，求经过多长时间点P 与点Q 第一次在ABC △的哪条边上相遇？

2、直线与坐标轴分别交于两点，动点同时从点出发，同时到达点，运动停止．点沿线段运动，速度为每秒1个单位长度，点沿路线→→运动．（1）直接写出两点的坐标；（2）设点的运动时间为秒，的面积为，求出与之间的函数关系式；（3）当时，求出点的坐标，并直接写出以点为顶点的平行四边形的第四个顶点的坐标． 3 64 y x =-+A B 、P Q 、O A Q OA P O B A A B 、Q t OPQ △S S t 48 5 S = P O P Q 、、 M

初中数学几何动点问题分类专题汇总全书

初中数学几何动点问题分类专题汇总全书近几年有关“线段最值”的中考试题层出不穷，形式多样，往往综合了几何变换、函数等方面的知识，具有一定的难度，具有很强的探索性，通过研究发现，这些问题尽管形式多样、背景复杂、变化不断，但都可以通过几何变换转化为常见的基本问题．最值题目类型多：作图、计算；有求差最大，求和最小；求周长最小、求时间最短；求最值、已知最值求待定系数等；对称载体多：几乎涉及到初中全部的轴对称图形（角、线段、等腰三角形、等腰梯形、菱形、正方形、抛物线、圆、坐标轴）. 我们知道“对称、平移、旋转” 是三种保形变换。通过这三种几何变换可以实现图形在保持形状、大小不变的前提下而使其位置发生变化，具有更紧凑的位置关系或组合成新的有利论证的基本图形．通过几何变换移动线段的位置是解决最值问题的有效手段，题目是千变万化的，但是运用几何变换把最值问题转化为基本问题却是不变的。数学问题是千变万化的，几何变换的应用也不是单一的，有些问题需要多种变换的组合才能解决，看看以下策略对解决问题能否奏效。（1）去伪存真。刨去不变的线段，看清楚究竟是几段和的最小值问题，必须仔细研究题目的背景，搞清楚哪些是动点、哪些是定点、哪些是定长。（2）科学选择。捕捉题目的信号，探索变换的基础，选择变换的手段．平移把不“连”的线段“接”起来，旋转把“碰头”的线段“展”开来重“接”，对称把在同侧的线段翻折过去重组，因此“不连——平移、碰头——旋转、同侧——对称”是一般的思路；对称变换的基础是轴对称图形，平移变换的基础是平行线，旋转变换的基础是等线段，所以选择哪种几何变换还要看题目中具备何种变换的基础信息。（3）怎么变换？对称变换一般以动点所在直线为对称轴，构建定点（直线）的对称点（直线），如有多个动点就必须作多次变换；平移一般是移动没有公共端点的两条线段中的某一条，与另一条对“接”；旋转变换一般以定点为旋转中心旋转60°或90°。

浙教版-初中数学-关于动点问题的总结

浙教版初中数学关于动点问题的总结 “动点型问题”是指题设图形中存在一个或多个动点,它们在线段、射线或弧线上运动的一类开放性题目.解决这类问题的关键是动中求静关键:动中求静. 数学思想：分类思想函数思想方程思想数形结合思想转化思想函数揭示了运动变化过程中量与量之间的变化规律,和动点问题反映的是一种函数思想,由于某一个点或某图形的有条件地运动变化,引起未知量与已知量间的一种变化关系, 一、应用勾股定理建立函数解析式例1(2000年·上海)如图1,在半径为6,圆心角为90°的扇形OAB 的弧AB 上,有一个动点P,PH ⊥OA,垂足为H,△OPH 的重心为G. (1)当点P 在弧AB 上运动时,线段GO 、GP 、GH 中,有无长度保持不变的线段?如果有,请指出这样的线段,并求出相应的长度. (2)设PH x =,GP y =,求y 关于x 的函数解析式，并写出函数的定义域(即自变量x 的取值范围). (3)如果△PGH 是等腰三角形,试求出线段PH 的长. 解:(1)当点P 在弧AB 上运动时,OP 保持不变,于是线段GO 、GP 、GH 中,有长度保持不变的线段，这条线段是GH=32NH=2 1 32?OP=2. (2)在Rt △POH 中, 22236x PH OP OH -=-=, ∴ 2362 1 21x OH MH -== . 在Rt △MPH 中, . ∴y =GP= 32MP=23363 1x + (0

初中数学动点问题及练习题附参考答案

例1.如图，已知在矩形ABCD 中，AD =8，CD =4，点E 从点D 出发，沿线段DA 以每秒1 个单位长的速度向点A 方向移动，同时点F 从点C 出发，沿射线CD 方向以每秒2个单位长的速度移动，当B ，E ，F 三点共线时，两点同时停止运动．设点E 移动的时间为t （秒）．（1）求当t 为何值时，两点同时停止运动；（2）设四边形BCFE 的面积为S ，求S 与t 之间的函数关系式，并写出t 的取值范围；（3）求当t 为何值时，以E ，F ，C 三点为顶点的三角形是等腰三角形；（4）求当t 为何值时，∠BEC =∠BFC ．例2. 正方形ABCD 边长为4，M 、N 分别是BC 、CD 上的两个动点，当M 点在 BC 上运动时，保持AM 和MN 垂直，（1）证明：Rt Rt ABM MCN △∽△；（2）设BM x =，梯形ABCN 的面积为y ，求y 与x 之间的函数关系式；当M 点运动到什么位置时，四边形ABCN 面积最大，并求出最大面积；（3）当M 点运动到什么位置时Rt Rt ABM AMN △∽△，求此时x 的值．例3.如图，在梯形ABCD 中，3545AD BC AD DC AB B ====?∥，，，．动点M 从B 点出发沿线段BC 以每秒2个单位长度的速度向终点C 运动；动点N 同时从C 点出发沿线段CD 以每秒1个单位长度的速度向终点D 运动．设运动的时间为t 秒．（09年济南中考）（1）求BC 的长。（2）当MN AB ∥时，求t 的值．（3）试探究：t 为何值时，MNC △为等腰三角形．例1. 解：（1）当B ，E ，F 三点共线时，两点同时停止运动，如图2所示．………（1分）由题意可知：ED =t ，BC =8，FD = 2t -4，FC = 2t ． ∵ED ∥BC ，∴△FED ∽△FBC ．∴ FD ED FC BC =． ∴ 2428 t t t -=．解得t =4． A B C D E F O C D M A B C N 图2 A B C D E F