第九章微分方程初步
我们已经熟悉了象代数方程、三角方程等一些方程，在这些方程中作为未知而需要求的是一个量的某几个特定的值。在自然科学的许多邻域中，却常常需要研究另外的一类性质上完全不同的方程，在这类的方程中，作为未知而需要求的是整个函数，这类方程统称为函数方程，而微分方程是最重要、最基本的函数方程之一。
微分方程的理论在十七世纪末就开始发展起来，很快的成为了研究自然现象的一种强有力工具。早在十七、十八世纪，它就作为牛顿力学的得力助手，在力学、天文、物理和技术科学中，就已经借助微分方程取得了巨大的成就。例如海王星被实际发现（观测）之前，这颗星的存在就被天文学家（Leverrier）用微分方程的方法推算出来的，并准确的定出了这颗星在空中的位置。再如：范梅格伦伪造名画案——也是借助微分方程才破了此案。到目前为止，这个数学工具——微分方程，在力学、物理、化学和工程领域中，已获得了日新月异的应用。例如：自动化控制和多种电工学的设备装置的设计，弹道的计算，飞机、火箭和导弹飞行的稳定性的研究以及化学反应过程稳定性的研究等，都可以化为求微分方程的解，或者是研究解的性质问题来解决。
现在的问题是：一方面应用微分方程的理论已有许许多多的成就；另一方面是现有的微分方程的理论还远远不能满足应用上的需要，对工程师们感兴趣的很多有关工程上的微分方程问题，研究微分方程的数学家们却无法给出满意的答案。所以，微分方程的理论现在已经作为重要的数学分支之一来吸引愈加众多的数学工作者的注意和研究。
本章将介绍微分方程的一些基本概念，几类常见方程类型的解法以及其在经济学上的简单应用.
§9—1 微分方程的基本概念
我们通过几何、物理及经济学中的三个例题来说明微分方程的基本概念.
例1 已知一条平面光滑曲线上各点的切线斜率等于该点横坐标的两倍，且该曲线通过点（2，6），求此曲线方程.
解 设该曲线的方程是 ()y y x =. 根据所给的条件，可知未知数()y y x =应满足
2
d 2(1.1)d 6(1.2)
x y
x
x y =?=??
?=?
把方程（1.1）两端积分，得
2d y x x =?
即 2y x C =+ (1.3) 其中C 为任意常数.
把条件（1.2）代入到（1.3）得2C =. 从而得到所求曲线方程
22y x =+ (1.4)
这里式（1.3）几何上表示一个抛物线簇，是满足方程（1.1）的全部曲线，而式（1.4）在几何上表示满足方程（1.1）、条件（1.2）的唯一的一条曲线.
例2 一个质量为m 的物体受重力作用而下落，假设初始位置和初始速度都为零，试确定该物体下落的距离s 与时间t 的函数关系（假设物体下落过程时不计空气阻力）.
解 设变量s 的正方向和物体下落的速度、加速度正方向一致，取作垂直向下. 由牛顿第二定律或二阶导数的物理意义，设经过t 秒后下落距离s 与t 的函数关系()s t 满足
22d g (1.5)d (0)0
(1.6)(0)0(1.7)
s t s s ?=??
?=??'=???
将方程（1.5）两边对t 求不定积分
1d d s
gt C t
=+ （1.8）
再积分一次得
21212
s gt C t C =++ （1.9） 其中12C C 、为任意常数. 将条件（1.6）、（1.7）代入到式（1.8）、（1.9），求得10C =，20C = 于是，所求得物体下落的运动方程为
212
s gt = (1.10)
例3 设有某种新产品要推向市场，t 时刻的销量为()x t ，由于产品性能良好，每个产品都是一个宣传品，因而t 时刻产品的销售量
的增长率
d d x
t
与()x t 成正比，同时考虑到市场的容量有限，假设市场的容量是N ，统计数据表明d d x
t
与尚未购买产品的潜在顾客
()N x t -也成正比. 试建立销售量()x t 与时间t 的函数关系.
解 由已知条件，销售量()x t 与时间t 满足
()dx
k x N x dt
=??- (1.11) 其中k 为比例系数. 可以通过后面的学习，求得方程（1.11）的解是
1kNt
N
x Ce -=
+ (1.12)
其中C 为任意常数.
习惯上把方程（1.11）（0k >）称为Logistic （逻辑斯谛）方程，该方程的解曲线（1.12）称为Logistic 曲线. 在经济学、生物学等学科中常遇到这样的数学模型.
一、什么叫微分方程
——表示函数与导数（或微分）及自变量之间的关系的方程。
二、微分方程的分类
1、常微分方程————（一阶、高阶方程）
2、偏微分方程————（一阶、高阶方程） 三、微分方程的阶
——方程中出现的各阶导数（微分）中最高的阶数叫做微分方
程的阶。 （举几个例子）
一般地，n 阶常微分方程的一般形式
(,,,,)0n n dy d y
F x y dx dx
= (1.13)
这里(,,,,)n n dy d y F x y dx dx 是,,,,n n dy d y x y dx dx 的已知函数，而且一定含有n n d y
dx
；
y 是未知数，x 是自变量.
如果方程（1.13）的左端为,,,n n dy d y
y dx dx
的一次有理整式，则称方
程（1.13）为n 阶线性微分方程.
例如方程（1.1）、（1.5）分别是一阶线性微分方程和二阶线性微分方程.
一般地，n 阶线性微分方程的一般形式
-11-1-1()()()()n n n n n n d y d y dy
a x a x a x y f x dx dx dx
+++= (1.14)
这里1(),,(),()n a x a x f x 是x 的已知函数.
不是线性方程的方程称为非线性方程.
四、微分方程的解
——代入微分方程能使方程两边相等的函数，称为微分方程的解（或积分）。
例4 的解是x x x e y y e e y 2='+''+=-
微分方程的解分为??
????
?
??*
通解中得出的解—不能由已知条件而从
—奇解）下来的解（举几个例子中的任意常数确定—根据已知条件将通解
—特解阶数相等们的个数与方程的—含有任意常数，且它
—通解 初始条件——确定通解中的任意常数的已知条件（求解条件）
我们把满足初始条件的唯一解称为微分方程的特解. 例如（例1中）函数（1.4）是方程（1.1）满足初始条件（1.2）的特解，（例2中）函数（1.10）是方程（1.5）满足初始条件（1.6）、（1.7）的特解.
几何上，微分方程的解的图形是一条曲线，叫做微分方程的积分曲线，微分方程的通解对应平面上的一簇曲线，我们称这簇曲线为积分曲线簇.
例5 以2
1c x y c e =（12,c c 是任意常数）为通解的微分方程是 。
（()2
''
'0yy y -=）
例6 2
y c x c
=-是微分方程()2''y y x y =-的通解 ()2
2''21144y x y y x y y x c ==-=是方程的奇解（不能从通解中定出的值而得到）
作业：（A ）321页 1（4）、（5）；2（1）、（2）。
§9—2 一阶微分方程
本节将介绍一阶微分方程的初等解法，即把微分方程的求解问题化为积分问题. 我们知道微分方程理论研究的一个重要问题是求解微分方程，但是一般的一阶微分方程不能用初等积分法来求解，即不能用初等函数或它们的积分来表示方程的解. 例如，在1686年刘维尔（Liouville ）证明一阶微分方程
22dy
x y dx
=+ 不能用初等积分法求解. 因此本节介绍几种特殊类型的一阶微分方程的解法，虽其类型有限，但它们却反映了实际问题中出现的微分方程的相当部分.
一、可分离变量的方程
1、变量已经分离的方程
形如 dy y g dx x f )()(= （2.1）
的方程，称为变量已经分离的方程。 解法--------
直接积分得通解：()()f x dx g y dy c =+??
例1 求解方程 02sin 2=++-xdx dy e xdx y
解 两边积分，得
222sin 21
cos 2
y
y xdx e
dy xdx c
x e x c
--++=--+=???即
为所求方程的通解。
（2.2） （2.4）
例2 求下列方程的通解及满足给定条件的特解：
xy dx
dy
2= e y x ==0| 解：将方程变量分离，得
1
2dy xdx y
=， 两边积分，得
2
2,x Lny x Lnc y ce =+?=为所求方程的通解，
其中C 为任意常数；
把条件e y x ==0|代入通解，得c e =
因此，所求方程的特解为：2
1x y e +=。 例3 求解下列方程的通解：
()()220x y x dx y x y dy ++-=
解： 将方程变量分离，得
()()2222
110011x y x y dx y x dy dx dy x y
++-=?
+=-+ 两边积分，得
()()22111
11222
Ln x Ln y Lnc --++= 因此，所求方程的通解为：()2211y c x +=-
0x N <<解 将方程变量分离，得
d d ()
x
k t x N x =-
两边不定积分
d d ()x
k t x N x =-?? 或 111
()d d x k t N x N x +
=-?? 111ln ln x kt N N x N C =+- 即
1
e Nkt x N x C
=- 故原方程的通解
1kNt
N
x Ce -=
+
例5 求方程
d ()d y
P x y x
=的通解，其中()P x 是x 的连续函数. 解 将方程变量分离，得
d ()d y
P x x y
= 两边不定积分
1d ()d y
P x x C y =+?? 1ln ()d y P x x C =+?
这里1C 是任意常数.
即 1
()d P x x C y e +?
=
1()d P x x
C y e e ?
=±
令1
C e C ±=，得到方程的通解为
()d P x x
y Ce ?
=
其中C 为任意常数.
此方程亦可以这样求解：
将方程变量分离，得
d ()d y
P x x y
= 两边不定积分
d ()d ln y
P x x C y =+??
即有通解为
()d P x x
y Ce ?
=
其中C 为任意常数.
作业：（A ）321页 3（1），（5）；.
二、齐次方程
形如：
??
?
??=x y f dx dy （2.5） 的方程，称为齐次微分方程，简称为齐次方程. 其中()u ?是u 的连续
函数.
解法——设x y =u ，则
dx
du x u dx dy +=，原方程变为： )(u f u dx
du
x
=+， （2.6） 分离变量，积分得：?
+=-c x du u
u f ln ln )(1
求出积分?
-du u
u f )(1
后再代回y u x =便得原方程的通解
例6 求方程
t a n d y y y
d x x x
=+的通解. 解 所给方程是齐次方程. 令y u x =，则d d ,d d y u
y ux u x x x
==+，代入方
程，得
tan du
u x
u u dx +=+ 即
tan du
x
u dx
= 分离变量，得
cot dx udu x
=
两边不定积分 ln sin ln ln u x C =+
即
sin u Cx =
将y u x
=代入上式，即得方程的通解为
sin
y
cx x
= 其中C 为任意常数.
例7求解方程 dx dy =2
2
y xy x -
解 将方程改写为2
2
1x dx y x dy y
=-，故原方程为齐次方程．
作变量代换 y x u =，则 uy x =，两端求导得dy
du
y u dy dx +=
代入方程，化简可得
111du dy u y ??
-= ???
两端分别积分，得
u u Lnu Lny Lnc cuy e -=+?= 将y
x
u =代入并整理，得原方程通解为
x y
cx e =
其中C 为任意常数.
例8 求微分方程 0)(22=++-dy y x x ydx 的通解.
解 将方程改写为 12
+???
? ??+=y x y x
dy dx ，故原方程为齐次方程． 作变量代换 y x u =，则 uy x =，两端求导得dy
du
y u dy dx +=
代入方程，化简可得
1
2+=u du
y dy 两端分别积分，得
()
C u u y ln 1ln ln 2+++=
或 C y u u =
++12 从而得 y
C
u u -=+-12
将y
x
u =代入并整理，得原方程通解为
??? ?
?
+=222C x C y
作业：（A ）321页 4（1），（5）；题.
可化为齐次方程的方程*（见讲义302页）（略）
有的方程本身不是齐次或变量分离方程，但通过适当的变量代换化为齐次或变量分离方 程来求解. 形如
111
222
d d a x b y c y x a x b y c ++=
++ （2.7） 的方程可通过变量代换化为齐次或变量分离方程. 这里121212,,,,,a a b b c c 均是常数且12,c c 不全为零.
现在我们分两种情况来讨论.
（1） 若1122=
0a b D a b =，即1122
a b
a b =，可设 11
22
a b k a b == 则方程可写成
221
22222
()d ()d k a x b y c y f a x b y x a x b y c ++==+++ 此时令22u a x b y =+，方程可写成
2222d d ()d d u y a b a b f u x x
=+=+ 这时方程已化为关于,x u 的可分离变量方程.
（2） 若11
22
=
0a b D a b ≠，可作变量代换
--X x Y y α
β=??
=?
化方程为齐次方程，其中,X Y 是新变量，,αβ可由方程组
111222
0a x b y c a x b y c ++=??
++=? 确定的常数.
此时方程化为
11
22dY =()dX a X bY Y g a X b Y X
+=+ 这时方程已化为关于,X Y 的齐次方程.
以上所介绍的方法也可适用于比方程（2.7）更一般的方程
111222a x b y c dy
f dx a x b y c ??++= ?++?? 例9 求微分方程1
1
++--=
y x y x dx dy 的通解. 解 解方程组
10
10x y x y --=??
++=?
得 0
1
x y =??=-?
令
(1)X x
Y y =??
=--?
代入方程，有
Y
X Y
X dX dY +-= 再令X
Y
u = 代入，得
X
dX
du u u u -=--+2
211 积分，得
2221CX u u =--
由 X
Y
u =代回，得
通解为 2
2
1121Cx x y x y =??
? ??+-+-
其中C 为任意常数. 此外，诸如
()()0yf xy dx xg xy dy += ()dy
f ax by c dx
=++ 以及
2()dy y xf dx x
= 等一些方程类型，均可通过适当变量代换化为可分离变量方程。
例10 求微分方程
11+-=y
x dx dy 的通解. 解 作变换 y x z -=，两端对x 求导，得
dx
dy dx dz -=1 又因
11
+=z
dx dy 于是
11
1--=z
dx dz 化简为 dx zdz -= 两边分别积分得 C x z +-=22 原方程的通解为 2()2x y x C -+= 其中C 为任意常数.
三、一阶线性微分方程
1、概念 形如
()()y P x y Q x '+= （2.8） 的一阶微分方程，称为一阶线性微分方程. 其中(),()P x Q x 都是已知的连续函数；()Q x 称为自由项.
若()0Q x ≡，方程（2.8）变为
()0dy
P x y dx
+= （2.9） 称方程（2.9）为一阶齐次线性方程; 若()Q x 不恒等于零，则称方程
（2.8）为一阶非齐次线性方程，并称方程（2.9）是一阶非齐次线性方程（2.8）对应的齐次线性方程. 2、通解的求解方法
首先讨论方程（2.8）对应齐次线性方程（2.9）的通解. 方程（2.9）是可变量分离方程，我们已经在前面的例5中求得它的通解为
()d P x x
y Ce -?= （2.10）
其中C 为任意常数.
下面我们讨论方程（2.8）的通解求法. 将方程（2.8）变形为
()
()dy Q x P x dx y y ??=-????
两边积分，得
()
ln ||()Q x y dx P x dx y
=-?
? 若记()
()Q x dx v x y
=?
，则ln ||()()y v x P x dx =-?，即 ()()()()P x dx P x dx
v x y e e u x e --??=±= （2.11）
这个解与齐次线性方程的通解（2.10）相比较，易见其表达形式一致，
只需将式（2.10）中的常数C 换成函数()u x . 为此我们引入求解一阶非齐次线性微分方程的常数变易法，在通解（2.10）中，把常数C 变易成x 的函数()u x ，使得它满足方程（2.8），即作变换且假设 ()()P x dx
y u x e -?= （2.12） 是方程（2.8）的解，并且对（2.12）两边求导，有
()()()()()'p x dx p x dx dy
u x e u x p x e dx
--??=- （2.13） 将（2.12）与（2.13）代入方程（2.8），有
()()()()()()()()()P x dx P x dx P x dx
u x e u x P x e u x P x e Q x ---???'-+=
即 ()()()P x dx
u x e Q x -?
'= ()()()P x dx
u x Q x e ?
'=
积分，得 ()()()P x dx
u x Q x e dx C ?
=?＋ （2.14）
其中C 为任意常数. 将（2.14）代入到（2.12），得到方程（2.8），即
()()y P x y Q x '+=的通解为
()()()P x dx P x dx
y e Q x e dx C -??=?（＋）
（2.15） 常数变易法是求解线性微分方程（包括高阶线性微分方程）的一种有效方法。常数变易法实际上也是一种变量代换的方法，通过变量代换（2.11），可将方程（2.8）化为变量分离方程. 将（2.15）改写成两项之和
()()()()P x dx P x dx P x dx y Ce e Q x e dx --???=?
＋ 显然，一阶非齐次线性微分方程的解等于非齐次方程的一个特解与对
应的齐次方程的通解之和.
类似地 方程 ()()'x p y x Q y
+=的通解为 ()()()p y dy p y dy x e Q y e dy c -????=+????
?。
例11 求方程
()3
211
dy y x dx x -=++通解. 解 这是一个非齐次线性微分方程.
（方法一）首先求其对应的齐线性方程的通解，即
201
dy y dx x -=+ 的通解为 2(1)y C x =+
其次应用常数变易法求非齐次线性方程的通解.
设2()(1)y u x x =+是非齐次线性方程的解, 代入方程, 有
()()()()()()()2
23
'2121111
u x x u x x u x x x x +++-
+=++ 即 ()3
2()(1)1u x x x '+=+ ()1u x x '=+
积分，得 2
1()12
u x x C =++（） 因此，非齐线性方程的通解是
4211(1)2
y x C x =+++（） 其中C 为任意常数.
（方法二）由通解（2.15）()()()P x dx P x dx
y e Q x e dx C -??=?（＋）
得 （()()()3
2,11p x Q x x x =-
=++） ()()()()()()()()()223113
2121232
22111111112dx dx x x Ln x Ln x y e x e
dx c e x e dx c x x x dx c x x c ????--- ? ?++????
+-+-????=++??????
??
=++????
=++++????
=+++??
????? 即 4
211(1)2
y x C x =+++（）
为所求通解，其中C 为任意常数.
例12 求下列方程的通解及满足给定条件的特解：
'xy =+y sinx （,02
x y π
=
=）
解：方程改写为
y '+x 1y =
x x
sin
()()1sin ,x
p x Q x x x
==，
由通解公式，得
[]11sin sin 11sin cos dx dx Lnx Lnx x x
x x y e e dx c e e dx c x x xdx c x c x x -
-??????=+=+??????????=+=-+?????
即所求通解为：[]1
cos y x c x
=-+，其中C 为任意常数.
再由条件,02
x y π
==得：c=0，
因此，所求特解为：cos x
y x
=-。
例13 求微分方程22)0ydx x y dy --=（的通解.
解 把x 看作y 的函数，方程改写为
2
x x y y
'-
=- 这是一阶非齐线性方程.
（方法一）首先求其对应的齐线性方程的通解，即
2
0x x y
'-
= 的通解是
2x Cy =
其次应用常数变易法求非齐次线性方程的通解.
设2()x u y y =是非齐次线性方程的解，代入方程 ，有
222
()()2()u y y u y y u y y y y
'+?-
?=- 即 2()u y y y '=-
1()u y y
'=-
积分，得 ()u y Lny c =-+ 因此，非齐线性方程的通解是
()2x y Lny c =-+
其中C 为任意常数.
（方法二）由通解公式()()()p y dy p y dy x e Q y e dy c -????=+??
??
?得 ()()()[]222222
2dy dy y y Lny Lny x e
y e dy c e y e dy c y y y dy c y Lny c ??
??
--- ?
?-??
??
-???
???
??=-+=-+??????
??=-+=-+??
??? 即()2x y Lny c =-+为所求的通解。
3、贝努利型方程*（307页）
n
y x Q y x p y )()(=+' （n ≠0，1） （非线性型）
方程变形为 ： ()()'1n n y y p x y Q x --?+?= ， 设 n y -=1μ，得：
dx
dy
y n dx d n --=)1(μ，代入方程得 )()1()()1(x Q n u x p n dx
du
-=-+ （一阶线性方程） 通解为 ()()1n p x d x
u e --?=[?
+?--c dx e x Q n dx x p n )()1()()1(]
回代u=n y -1得原方程的通解为
n y -1=()()1n p x dx
e
--?
[?+?
--c dx e x Q n dx
x p n )()1()()1(]
（可见n=0时便是一阶线性方程的通解）
例14 求0dy
x
y dx +-=的通解. 解 这是1
2
n =的贝努利方程. 将方程变形，得
=
令z ，代入方程，有
2dz
x
z dx
+= 这是一阶线性方程，求得它的通解是
)z x C
=
+ 又
z ，所以
21
()y x C x
=
+ 为原方程的通解.
此外，方程还有解0y =. 作业：（A ）321---322页 9（3），（7）；11（1）；题
四、 一阶微分方程的简单应用
应用上
：
??
?????
?
?
??????
?
???????? ?????????--=-=?????=
=正比有效质量和浓度成参与反应的物质的化学反应的速度与二级化学反应方程：一级化学反应方程：——化学方面和为路的电压律之代数沿电路上的任一闭合回）之代数和为会合在每一点处的电流）—利用基尔霍夫定律—电学方面或—牛顿第三定律：—力学方面面的知识—主要借助解析几何方
—几何方面))(()(.40.20.1.3.2.1x b x a k dt dx x a k dt dx m F a F m a 5. 经济方面-----利用变化率、边际、弹性等方面的内容。
例15 求通过（2，2）的曲线方程，使曲线上任意点处的切线在y 轴上的截距等于该点横坐标的立方.
解 设曲线方程()y y x =，则曲线在任其上任意(,)P x y 点的切线方
程为
()Y y y X x '-=-
令0X =，得Y y xy '=-是y 轴上的截距. 由题意可得方程
3y xy x '-=
且满足初始条件(2)2y =.
该方程是一阶线性方程
21
y y x x
'-
=- 其通解为
2
()2
x y x C =-
由初始条件(2)2y =，得3C =. 故所求的曲线方程为
31
32
y x x =-
例16 某林区现有木材
10万立方米, 如果在每一瞬时木材的变化率与当时木材数p 成正比, 假设10年内这林区能有木材20万立方米, 试确定木材数p 与
时间t 的关系.
解 设t 时刻木材为()p p t =万立方米, 则
p kp '= 其中k 为比例常数，且满足(0)10p =. 将方程p kp '=变量分离, 得
dp
kdt p
= 两边积分, 得
ln ln p kt C =+
即
kt p Ce =
由(0)10p =,得10C = ,由(10)20p =, 得
102010k e =
有 10
2ln =k
所以木材数p 与时间t 满足关系式
2
10
10Ln t p e
=。
例17（323页20题） 假设某公司的净资产因资产本身产生了利息而以5%的年利率增长，同时，该公司还必须以每年200万元的数额连续地支付职员工资.
(1) 求出描述公司净资产w （以万元为单位）的微分方程； (2) 解上述微分方程，这里假设初始净资产为0w （万元）； (3) 试描绘出0w 分别为 3000，4000和 5000时的解曲线.
解(1) 现在我们用分析法来解此问题.为给净资产建立一个微分方程，我们将使用下面这一事实，即 净资产增长的速度 = 利息盈取速度－工资支付率.
以每年万元为单位,利息盈取的速率为0.05w ，而工资的支付率为每年200万元，于是我们有
20005.0-=w dt
dw
其中t 以年为单位.
(2) 分离变量,有
dt w dw
05.04000
=-
积分得
ln(4000)0.05ln w t C -=+
于是
0.054000t w Ce -=
由0=t 时 0w w =， 有04000C w =-，代入解中，得
t e w w 05.00)4000(4000-+=
(3) 如果40000=w ，则4000=w （万元）为平衡解，净资产保持在4000（万元）不变；
如果50000=w ，则 t e w 05.010004000+=，公司净资产将按指数不断增长；
如果30000=w ，则 t e w 05.010004000-=，净资产将按指数不断递减；且当7.27≈t 时，0=w ，于是这一解意味着该公司在今后的第28个年头破产.
例18 一容器盛盐水100升，其中含盐50克. 现将2克/升的盐
水以3升/分的速度注入容器内，设流入的盐水与原有的盐水因搅拌而成为均匀的混合物，同时此混合物又以2升/分的流速流出，试求30分钟后，容器内所含的盐量. 解 以x 表示时刻t 的含盐量，则
dt
dx
表示含盐量的变化率
. t e 05.010004000+ t
e 05.010004000-= 4000 w
容器中含盐量的变化率=盐的流入速度－盐的流出速度， 盐的流入速度=流入盐水的速度×流入盐水的浓度 =3（升/分）×2（克/升）=6（克/分）， 盐的流出速度=流出盐水的速度×流出盐水的浓度 =2（升/分）×t
x
)23(100-+（克/升）
t
x
+=
1002（克/分）， 所以x 满足微分方程
t x dt dx +-=10026 或 61002=++
t
x
dt dx 这是一阶线性微分方程，它的通解为
])100(2[)
100(13
2
C t t x +++=
由 500==t x 得2100150?-=C ，于是
]100150)100(2[)
100(1
232
?-++=
t t x 当30=t 时，171x =（克），所以过30分钟后，容器中盐的含量为171克. 作业：（A ）321页 ----7题
323页—24题.
第八章 多元函数的微分法及其应用 § 1 多元函数概念 一、设]),,([:,),(,),(22222y y x f y x y x y x y x f ??求-=+=. 二、求下列函数的定义域： 1、2 221) 1(),(y x y x y x f ---= 222{(,)|(,)R ,1};x y x y y x ∈+≠ 2、x y z arcsin = };0,|),{(≠≤x x y y x 三、求下列极限： 1、22 2)0,0(),(sin lim y x y x y x +→ （0） 2、 x y x x y 3)2,(),()1(lim +∞→ (6e ) 四、证明极限 24 2)0,0(),(lim y x y x y x +→不存在. 证明：当沿着x 轴趋于（0，0）时，极限为零，当沿着2 x y =趋于（0，0）时，极限为2 1 , 二者不相等，所以极限不存在 五、证明函数?? ??? =≠+=)0,0(),(,0)0,0(),(,1sin ),(22 y x y x y x xy y x f 在整个xoy 面上连续。 证明：当)0,0(),(≠y x 时，为初等函数，连续),(y x f 。当)0,0(),(=y x 时， )0,0(01 sin lim 2 2)0,0(),(f y x xy y x ==+→，所以函数在（0，0）也连续。所以函数 在整个xoy 面上连续。 六、设)(2y x f y x z +++=且当y=0时2x z =，求f(x)及z 的表达式. 解：f(x)=x x -2，z y xy y x -++=2222 § 2 偏导数 1、设z=x y x e x y + ,验证 z xy +=??+??y z y x z x 证明：x y x y x y e x ,e x y e y +=??-+=??y z x z ，∴z xy xe xy xy x y +=++=??+??y z y x z x 4 2244222222)()),,((y y x x y y x y y x f +-=+-=?答案：
1.设 u =a -b +2c ， v =-a +3b -c .试用 a ， b ， c 表示 2u -3v . 解 2u -3v =2（ a -b +2c ） -3（ -a +3b -c ） =5a -11b +7c . 2.如果平面上一个四边形的对角线互相平分，试用向量证明它是平 行四边形 . 证 如图 8-1，设四边形 ABCD 中 AC 与 BD 交于 M ，已知 AM =MC ， DM MB . 故 AB AM MB MC DM DC . 即 AB// DC AB |=| DC |，因此四边形 ABCD 3.把△ ABC 的 BC 边五等分，设分点依次为 D 1， D 2， D 3， D 4 ，再把各 分点与点 A 连接 .试以 AB =c, BC=a 表向量 D 1A , D 2A , D 3A , D A . 4 证 如图 8-2，根据题意知 1 5 1 5 1 5 BD 1 D 1D 2 D 2D 3 a, a, a, 1 5 D 3D 4 a, 1 故 D 1A =-（ 1） =- a- c AB BD 5
2 D 2A =-（ AB BD 2）D 3A =-（ AB BD 3）=- a- c 5 3 =- a- c 5 4 D A =-（ AB BD 4） =- a- c. 4 5 4.已知两点 M 1（ 0， 1， 2）和 M 2（ 1， -1， 0） . 试用坐标表示式表示 向量 M 1M 2及 -2M 1M 2 . M 1M 2 =（ 1-0， -1-1， 0-2） =（ 1， -2， -2） . 解 -2M 1M 2 =-2（ 1， -2， -2） =（ -2， 4， 4） . 5.求平行于向量 a =（ 6， 7， -6）的单位向量 . a 解向量 a 的单位向量 为 ，故平行向量 a 的单位向量为 a a 1 6 7 6 , , 11 11 11 （ 6， 7， -6）= ， = a 11 其中 a 62 72 ( 6)2 11. 6.在空间直角坐标系中，指出下列各点在哪个卦限？ A （ 1， -2， 3）， B （ 2， 3， -4）， C （ 2， -3， -4） ， D （ -2， -3， 1） . 解 A 点在第四卦限， B 点在第五卦限， C 点在第八卦限， D 点 在第三卦限 . 7.在坐标面上和在坐标轴上的点的坐标各有什么特征？指出下列各 点的位置： A （ 3， 4， 0）， B （ 0， 4， 3）， C （ 3， 0， 0）， D （ 0，
高数第9章答案
高等数学（化地生类专业）（下册） 姜作廉主编 《习题解答》 习题9
1,{6,6,3},6(2)6(1)3(2)0,2280.3(2,3,n AB x y z x y z π==---++-=-+-=v v u u u v 指出下列平面与坐标系的位置关系，并作图：（1）x-2y+1=0;(2)3z+2=0;(3)x+2y+3z=1;(4)2y+z=0. 2已知A(2,-1,2)和B(8,-7,5),求一平面通过A 且垂直于线段AB. 解：设所求平面的法向量为n 由点法式方程，有：故平面方程为：求过点0),(2,3,4),(0,6,0)0,230 230,,,.46460 Ax By Cz D A B D D D D A B c D A B C B D --+++=++=?? --++==-=-=-? ?+=? ≠的平面方程。 解：设所求平面方程为将已知三点带入，解得：显然，由题意D 0,故所求方程为：3x+2y+6z-12=0 4求过点(-1,-1,2)且在三个坐标轴上有相同截距的平面方程。解：设平面在三个坐标轴上的截距为t ，则平面方程由截距式1,,0,3 y z t t D x ++=?≠≠=可得：x 将点（1,-1,2）代入，1-1+2=t t=2.t 故平面方程：x+y+z-2=0.5(1)通过x 轴和M(2,-1,1) 解：设所求过x 轴平面方程为By+Cz+D=0,将M 代入：-B+C+D=0,又D=0,故B=C(0),平面方程y+z=0(2)平行于yOz 平面且经过点（3,0,5） D 解：设平面为Ax+D=0,将点代入：3A+D=0,A=-显然 3 故平面方程(0) ,202. 6(1,2,1),(3,2,1)31,,3121 133,3,.32121 3D B C y A B y x y z A B A C A C A C A C ? =-≠???? ???=?=--++=?+-=??=-=-? ?-++=??(3)通过(1,2,-1)和(-5,2,7)且平行于x 轴。解：设平面方程为By+Cz+D=0, 2B-C+D=0故平面方程：2B+7C+D=0平面过在轴的截距为解：设平面方程 将代入解得：故平面方程为21,230333 x y z x y z -+-=-++=：即：
第七章：微分方程 一、微分方程的相关概念 1. 微分方程的阶数：方程中所含未知函数导数的最高阶数叫做微分方程的阶. 2. 微分方程的解：使微分方程成为恒等式的函数称为微分方程的解. 通解：所含独立的任意常数的个数与方程的阶数相同的解称为微分方程的通解. 特解：确定了任意常数的通解称为微分方程的特解. 3. 特解与通解的关系：可通过初始条件确定通解中的常数而得到满足条件的特解； 也可通过方程的表达式直接观察得到特解，因此特解不总包含在通解中. 二、微分方程的常见类型及其解法 1. 可分离变量的微分方程及其解法 (1).方程的形式：dx x f dy y g )()(= . (2). 方程的解法：分离变量法 (3). 求解步骤 ①. 分离变量，将方程写成dx x f dy y g )()(=的形式； ②. 两端积分： ??=dx x f dy y g )()(，得隐式通解C x F y G +=)()(； ③. 将隐函数显化. 2. 齐次方程及其解法 (1).方程的形式： ?? ? ??=x y dx dy ?. (2).方程的解法：变量替换法 (3). 求解步骤 ①．引进新变量x y u = ，有ux y =及dx du x u dx dy +=； ②．代入原方程得：)(u dx du x u ?=+； ③．分离变量后求解，即解方程x dx u u du =-)(?； ④．变量还原，即再用 x y 代替u . 3. 一阶线性微分方程及其解法 (1).方程的形式： )()(x Q y x P dx dy =+. 一阶齐次线性微分方程:0)(=+y x P dx dy . 一阶非齐次线性微分方程: 0)()(≠=+x Q y x P dx dy .
第9章 多元函数微分学及其应用总结 一、多元函数的极限与连续 1、n 维空间 2R 为二元数组),(y x 的全体，称为二维空间。3R 为三元数组),,(z y x 的全体，称为三 维空间。 n R 为n 元数组),,,(21n x x x 的全体，称为n 维空间。 n 维空间中两点1212(,,,),(,,,)n n P x x x Q y y y 间的距离： ||PQ = 邻域: 设0P 是n R 的一个点，δ是某一正数，与点0P 距离小于 δ的点P 的全体称为点0P 的δ 邻域，记为),(0δP U ，即00(,){R |||}n U P P PP δδ=∈< 空心邻域: 0P 的 δ 邻域去掉中心点0P 就成为0P 的δ 空心邻域,记为 0(,)U P δ =0{0||}P PP δ<<。 内点与边界点：设E 为n 维空间中的点集，n P ∈R 是一个点。如果存在点P 的某个邻域 ),(δP U ，使得E P U ?),(δ，则称点P 为集合E 的内点。 如果点P 的任何邻域内都既有 属于E 的点又有不属于E 的点，则称P 为集合E 的边界点, E 的边界点的全体称为E 的边界． 聚点：设E 为n 维空间中的点集，n P ∈R 是一个点。如果点P 的任何空心邻域内都包含E 中的无穷多个点，则称P 为集合E 的聚点。 开集与闭集: 若点集E 的点都是内点，则称E 是开集。设点集n E ?R , 如果E 的补集 n E -R 是开集，则称E 为闭集。 区域与闭区域：设D 为开集，如果对于D 内任意两点，都可以用D 内的折线（其上的点都属于D ）连接起来, 则称开集D 是连通的．连通的开集称为区域或开区域．开区域与其边界的并集称为闭区域． 有界集与无界集: 对于点集E ，若存在0>M ，使得(,)E U O M ?，即E 中所有点到原点的距离都不超过M ，则称点集E 为有界集，否则称为无界集． 如果D 是区域而且有界，则称D 为有界区域．
习题九 1. 求函数u =xy 2+z 3-xyz 在点（1，1,2）处沿方向角为 πππ ,,343αβγ=== 的方向导数。 解： (1,1,2)(1,1,2) (1,1,2)cos cos cos u u u u y l x z αβγ ????=++???? 22(1,1,2)(1,1,2)(1,1,2)πππ cos cos cos 5.(2)()(3)343xy xz y yz z xy =++=--- 2. 求函数u =xyz 在点（5,1,2）处沿从点A （5,1,2）到B （9，4，14）的方向导数。 解： {4,3,12},13.AB AB == u u u r u u u r AB u u u r 的方向余弦为 4312cos ,cos ,cos 131313αβγ= == (5,1,2)(5,1,2)(5,1,2)(5,1,2)(5,1,2)(5,1,2)2105u yz x u xz y u xy z ?==??==??==? 故4312982105. 13131313u l ?=?+?+?=? 3. 求函数22221x y z a b ??=-+ ??? 在点处沿曲线22 2 21x y a b +=在这点的内法线方向的方向导 数。 解：设x 轴正向到椭圆内法线方向l 的转角为φ，它是第三象限的角，因为 2222220,x y b x y y a b a y ''+==- 所以在点 处切线斜率为 2.b y a a ' ==- 法线斜率为 cos a b ?= . 于是tan sin ??== ∵2222,, z z x y x a y b ??=-=-??
数，故 /, =Jj( x2 + y1)3d(j =2jj(x2+ y1) 3dcr. fh i)i 又由于D3关于;t轴对称，被积函数(/ +r2)3关于y是偶函数，故jj(x2 +j2)3dcr=2j(x2+y2)3da=2/2. Dy 1)： 从而得 /, = 4/2. (2)利用对称性来计算二重积分还有以下两个结论值得注意： 如果积分区域关于^轴对称，而被积函数/(x,y)关于y是奇函数，即fix, -y) = -f(x,y) ,PJ jf/(x,y)da =0； D 如果积分区域D关于：K轴对称，而被积函数/(x，y)关于：c是奇函数，即/(~x,y)=-/(太，y)，则 =0. D ?3.利用二重积分定义证明： (1)jj da=(其中(7为的面积)； IJ (2)JJ/c/( X ,y)drr =Aj|y’(A:，y)do■(其中A：为常数)； o n (3 )JJ/( x,y)clcr = JJ/( x,y)drr +jJ/( x ,y) dcr ,其中 /) = /)! U /)2，， A 为两个 I) b\ lh 尤公共内点的WK域. 证(丨)由于被枳函数./U,y)=1,故山二t积分定义得 n"
jj'ltr = Hm y^/( ,rji) A 第9章（之1） （总第44次） 教学内容:§微分方程基本概念 *1． 微分方程7 359)(2xy y y y =''''-''的阶数是 （ ） （A ）3； （B ）4； （C ）6； （D ）7． 答案（A ） 解 微分方程的阶数是未知函数导数的最高阶的阶数． *2． 下列函数中的C 、α、λ及k 都是任意常数，这些函数中是微分方程04=+''y y 的通解的函数是 （ ） （ （A ）x C x C y 2sin )2912(2cos 3-+=； （B ）)2sin 1(2cos x x C y λ+=； （C ）x C k x kC y 2sin 12cos 22++=； （D ）)2cos(α+=x C y ． 答案 （D ） 解 二阶微分方程的通解中应该有两个独立的任意常数． （A ）中的函数只有一个任意常数C ； （B ）中的函数虽然有两个独立的任意常数，但经验算它不是方程的解； （C ）中的函数从表面上看来也有两个任意常数C 及k ，但当令kC C =时，函数就变成了 x C x C y 2sin 12cos 2 ++=，实质上只有一个任意常数； （D ）中的函数确实有两个独立的任意常数，而且经验算它也确实是方程的解． *3．在曲线族 x x e c e c y -+=21中，求出与直线x y =相切于坐标原点的曲线． : 解 根据题意条件可归结出条件1)0(,0)0(='=y y ， 由x x e c e c y -+=21， x x e c e c y --='21，可得1,02121=-=+c c c c ， 故21,2121-==c c ，这样就得到所求曲线为)(2 1 x x e e y --=，即x y sinh =． *4．证明：函数y e x x =-233321 2 sin 是初值问题??? ????===++==1d d ,00d d d d 0022x x x y y y x y x y 的解． 第九章 振动习题答案 9-1 一．填空题1. kx F -=； 02 2 2 =+x dt x d ω；()?ω+=t A x cos 2. 2 20 20 ω v x A + =；??? ? ??-=00 arctan x v ω? 3. 旋转矢量端点在Ox 轴上的投影点；?ω+t 4. m k ； l g 5. 3 π ；3 π - 二．选择题 1. D 2. A 3. C 4. B 三．计算题 1.（1）Z H T s T s m A 11,12,,2,1.01 == =====-νω π π?πω (2)由))(2cos(1.0m t x ππ+=， 得))(2sin(2.01 -?+-== s m t dt dx v πππ，))(2cos(4.02 2-?+-== s m t dt dv a πππ s t 1=时，24.0,0,1.0π==-=a v m x 2. ππω42== T （1）由旋转矢量法得2 π ?=，))(2 4cos(8cm t x π π+= （2）由旋转矢量法得3 π ?- =，))(34cos(8cm t x π π- = （3）由旋转矢量法得0=?，)(4cos 8cm t x π= 3.（1）平衡位置0kl mg =，任意位置kx x l k mg F -=+-=)(0，故为简谐运动。 （2）)(14cos 02.0m t x = 9-2 一．填空题 1. 2 21kA ； 2 4 1kA ； 2 2 1kA ； 2. 1cm;6 π - 二．选择题 1. C ; 2. D ; 3. B ; 4. C ; 5. C 三、计算题 1. （1）2 2max 0.4-?==s m A a ω，J mA E E k 3 2 210 0.22 1-?== =ω （2）p k E E =， 2 2 02 24 12 12 1kA kx mA = = ω ，m A x 3 010 07.72 2-?±=± = 第十章重积分9 5 y 2 D2 -1 O i T -2 图 10 - 1 数，故 /, = Jj( x 2 + y 1 ) 3 d(j = 2jj ( x2 + y 1 )3 dcr. fh i)i 又由于 D 3关于 ; t 轴对称，被积函数 ( / + r2) 3关于 y 是偶函数，故jj( x2 + j2 ) 3dcr = 2j( x2+ y2) 3 da =2/ 2 . Dy 1)： 从而得 /, = 4/ 2 . ( 2)利用对称性来计算二重积分还有以下两个结论值得注意： 如果积分区域关于 ^ 轴对称，而被积函数 / ( x, y) 关于 y 是奇函数，即 fix, -y) = -f(x,y) , PJ jf/ ( x, y)da = 0； D 如果积分区域 D 关于： K 轴对称，而被积函数 / ( x， y) 关于： c 是奇函数，即 / ( ~x, y) = - / ( 太， y) ，则 = 0. D ? 3. 利用二重积分定义证明： ( 1 ) jj da = ( 其 中 ( 7 为的面积 ) ； IJ (2) JJ/c/( X , y) drr = Aj | y’ ( A: ， y) do■ ( 其 中 A ：为常数 ) ； o n (3 ) JJ/( x,y)clcr = JJ/( x,y)drr + jJ/( x ,y) dcr ,其中/) = /)! U /) 2，， A 为两个 I) b \ lh 尤公共内点的 WK 域 . 证 ( 丨 ) 由于被 枳函数. / U, y) = 1 , 故山 二 t 积分定义得n " 9 6 一、 《高等数学》 (第七版 )下册习题全解 jj'ltr = Hm y^/( ,rji) A 数，故 /, = Jj( x2 + y1)3d(j = 2jj(x2+ y1) 3dcr. fh i)i 又由于D3关于;t轴对称，被积函数(/ +r2)3关于y是偶函数，故jj(x2 +j2)3dcr=2j(x2+y2)3da=2/2. Dy 1)： 从而得 /, = 4/2. (2)利用对称性来计算二重积分还有以下两个结论值得注意： 如果积分区域关于^轴对称，而被积函数/(x,y)关于y是奇函数，即fix, -y) = -f(x,y) ,PJ jf/(x,y)da =0； D 如果积分区域D关于：K轴对称，而被积函数/(x，y)关于：c是奇函数，即/(~x,y)=-/(太，y)，则 =0. D ?3.利用二重积分定义证明： (1)jj da=(其中(7为的面积)； IJ (2)JJ/c/( X ,y)drr =Aj|y’(A:，y)do■(其中A：为常数)； o n (3 ) JJ/( x,y)clcr = JJ/( x,y)drr + jJ/( x ,y) dcr ,其中 /) = /)! U /)2，，A 为两个 I) b\ lh 尤公共内点的W K域. 证(丨)由于被枳函数./U,y)=1,故山二t积分定义得 n" jj'ltr = Hm y^/( ,rji) A 第九章 重 积 分 第 一 节 作 业 一、填空题： . )1(,)1,0(),0,1(),0,0(.4. ),,(,.3. ,4.2. 1),,(),(),,(.122222212121????= --=≤+=+<==D D d y x D y x D xoy d e y x D y x g g g g y x g z y x g z σρρσ可知 由二重积分的几何意义为顶点的三角形区域是以设为 质量可用二重积分表示则此薄板的其面密度为连续函数面内占有有界闭区域设一薄板在的值等于 则是设区域重积分可表示为所围成立体的体积用二与柱面且适合在全平面上连续曲面二、选择题（单选）： {}{}: ,20,10:),(,)(, 22,11:),(,)(13 22 2132212 1 则其中其中设≤≤≤≤=+=≤≤-≤≤-=+=????y x y x D d y x I y x y x D d y x I D D σσ （A ）I 1=2I 2； （B ）I 1〈I 2； （C ）I 1=I 2； （D ）I 1=4I 2。 答：（ ） 三、估计下列积分的值： ??≤+++=D y x D d y x I .4:,)94(2222为闭区域其中σ 第 二 节 作 业 一、填空题： 1. 设??=≤≤-≤≤D yd x y x D ..11,10:2σ则 ?? ??-+-+=≤+a y ay D y x dx y x f dy d e y x D 20 20 22) (222 22 )(.3. ,1:.2分是 为极坐标系下的二次积化则设σ 二、选择题（单选）： ? ? ? ? ?????? +----=1 10 221 102 2 101 02210 102210 10 2222 . 3) (; 3) (; 3)(;3)(: ,3.1x x y x y dy y x dx D dy y x dx C dy y x dx B dy y x dx A I dx y x dy I 等于则交换积分次序后设 答：（ ） ). (2)();()(); (2)(); ()(: ),0(,.22 22 2 2 22222a b a b a b a b D y x e e D e e C e e B e e A I b a b y x a D d e I ----<<≤+≤=??+ππππσ等于是则为其中设 答：（ ） 三、试解下列各题： ????-≥-≤>==+==+D D dxdy y x f x y x y D y x f a a y a y a x y x y D dxdy y x . ),(,1,1:),(.2. )0(3,,,,)(.12222化为二次积分试将上连续在设平行四边形区域所围成的 由直线其中求 第九章 重积分 复习要点 §1 二重积分 一、二重积分的概念及性质 1. 了解二重积分的定义 01(,)lim (,)n i i i i D f x y d f λσξησ→==?∑?? 2. 知道二重积分的几何意义 当(,)0f x y ≥时, (,)D f x y d σ ??表示：以区域D 为底,以曲面),(y x f 为顶的曲顶 柱体的体积 3. 二重积分的主要性质 (1) 线性性 ??????+=+D D D d y x g d y x f d y x g y x f σβσασβα),(),()],(),([ (2)可加性 若21D D D +=，则??????+=21),(),(),(D D D d y x f d y x f d y x f σσσ (3) σσ=??D d (σ为区域D 的面积.) 二、掌握二重积分的计算 基本思想：化为两次单积分来计算 1. 二重积分在直角坐标系下的计算 在直角坐标系下 dxdy y x f d y x f D D ????=),(),(σ (1) 当积分区域D 为x 型区域，即D 为：b x a ≤≤，)()(21x y y x y ≤≤时，二重积分可化为先y 后x 的两次积分积分 21()()(,)(,)b y x a y x D f x y d dx f x y dy σ=???? (2) 当积分区域D 为y 型区域，即D 为：d y c ≤≤，)()(21y x x y x ≤≤时，二重积分可化为先x 后y 的两次积分积分 21()()(,)(,)d x y c x y D f x y d dy f x y dx σ=???? 2. 二重积分在极坐标系下的计算 在极坐标系下 θρρθρθρσd d f d y x f D D ????=)sin ,cos (),( 其中θρcos =x ，θρsin =y 高等数学第七版下册答案 篇一：同济大学《高等数学》第五版上册答案(详解) 版下高等数学2第十一章答案[1] txt>1.计算下列对弧长的曲线积分：（1） ? l ，其中l为圆周x2?y2? a2，直线 y?x 及x轴在第一象限内所围成的 扇形的整个边界； （2） ? ? x2yzds，其中?为折线abcd，这里a、b、c、d依次为点(0,0,0)、(0,0,2)、 (1,0,2)、(1,3,2)； （3） ? l y2ds，其中l为摆线的一拱x?a(t?sint)，y?a(1?cost)(0?t?2?). 2. 有一段铁丝成半圆形y?，其上任一点处的线密度的大小等于该点的 纵坐标，求其质量。 解曲线l的参数方程为x?acos?,y?asin??0????? ds? ??ad? 依题意??x,y??y，所求质量m? 22 yds?asin?d??2a??l ? 习题11-2对坐标的曲线积分 1.计算下列对坐标的曲线积分：（1） ?(x l 2 ?y2)dx，其中l是抛物线y? x 2上从点(0,0)到点(2,4)的一段弧； （2） (x? y)dx?(x? y)dy222 l，其中为圆周（按逆时针方向绕行）； x?y?a22?l x? y （3） ? ? xdx?ydy?( x?y?1)dz，其中?是从点(1,1,1)到点(2,3,4)的一段直线； （4） ? dx?dy?ydz，其中?为有向闭折线abca，这里a、b、c依次为点(1,0,0)、 ? (0,1,0)、(0,0,1)； 2.计算 ?l (x?y)dx?(y?x)dy，其中l是： （1）抛物线y2?x上从点(1,1)到点(4,2)的一段弧； （2）从点(1,1)到点(4,2)的直线段； （3）先沿直线从点(1,1)到点(1,2)，然后再沿直线到(4,2)的折线；（4）曲线x?2t2 ?t?1，y?t2?1上从点(1,1)到点(4,2)的一段弧。 3.把对坐标的曲线积分 ? l p(x,y)dx?q(x,y)dy化成对弧长的曲线积分，其中l为：（1）在xoy面内沿直线从点(0,0)到点(1,1)； （2）沿抛物线y?x2 从点(0,0)到点(1,1)； 高等数学下册第九章习题答案详解 1. 求下列曲线在给定点的切线和法平面方程： （1）22 =sin ,=sintcos ,=cos ,x a t y b t z c t 点π 4 t = ; （2）222=6,++=0x y z x y z ++，点0(1,2,1)M -； （3）222,y mx z m x ==-点0000(,,)M x y z . 解：2sin cos ,cos 2,2cos sin x a t t y b t z c t t '''===- 曲线在点π 4 t = 的切向量为 {}πππ,,,0,444T x y z a c ????????'''==-?? ? ? ????????? 当π4t = 时， ,,222 a b c x y z === 切线方程为 2220a b c x y z a c - --==-. 法平面方程为 0()0.222a b c a c x y z ??????++-=--- ? ? ??????? 即 22 022 a c ax cz -- +=. （2）联立方程组 2226 x y z x y z ?++=? ++=? 它确定了函数y =y (x ),z =z (x )，方程组两边对x 求导，得 d d 2220d d d d 10d d y z x y z x x y z x x ? +?+?=??? ?++=?? 解得 d d ,,d d y z x z x y x y z x y z --==-- 在点M 0（1，-2，1）处， 00 d d 0,1d d M M y z x x ==- 所以切向量为{1，0，-1}. 故切线方程为 121 101 x y z -+-== - 法平面方程为 1(x -1)+0(y +2)-1(z -1)=0 即x -z =0. (3)将方程y 2=2mx ,z 2=m -x 两边分别对x 求导，得 d d 22,21d d y z y m z x x ==- 于是 d d 1 ,d d 2y m z x y x z ==- 曲线在点（x 0,y 0,z 0）处的切向量为0011, ,2m y z ??-???? ,故切线方程为 000 00 ,112x x y y z z m y z ---==- 法平面方程为 00000 1()()()02m x x y y z z y z -+ ---=. 2. t ()02πt <<为何值时，曲线sin ,1cos ,4sin 2 t L x t t y t z =-=-=：在相应点的切线垂直于平 面0x y +=，并求相应的切线方程和法平面方程. 解：1cos ,sin ,2cos 2 t x t y t z '''=-==, 在t 处切向量为{} 1cos ,sin ,2cos 2 t T t t =-, 已知平面的法向量为{1,1,2n =. 且T ∥n , 故 2cos 1cos sin 11 t t t -==解得π2t = ，相应点的坐标为π1,1,2?- ? .且{1T = 故切线方程为 华东理工大学高等数学(下册)第9章作业答案 第9章（之1） （总第44次） 教学内容:§9.1微分方程基本概念 *1． 微分方程7 359)(2xy y y y =''''-''的阶数是 （ ） （A ）3； （B ）4； （C ）6； （D ）7． 答案（A ） 解 微分方程的阶数是未知函数导数的最高阶的阶数． *2． 下列函数中的C 、α、λ及k 都是任意常数， 这些函数中是微分方程04=+''y y 的通解的函数是 （ ） （A ）x C x C y 2sin )2912(2cos 3-+=； （B ）)2sin 1(2cos x x C y λ+=； （C ）x C k x kC y 2sin 12cos 22++=； （ D ）)2cos(α+=x C y ． 答案 （D ） 解 二阶微分方程的通解中应该有两个独立的任意常数． （A ）中的函数只有一个任意常数C ； （B ）中的函数虽然有两个独立的任意常数，但 经验算它不是方程的解； （C ）中的函数从表面上看来也有两个任意常数 C 及 k ，但当令 kC C =时，函数就变成了 x C x C y 2sin 12cos 2 ++=，实质上只有一个任意常数； （D ）中的函数确实有两个独立的任意常数，而且经验算它也确实是方程的解． *3．在曲线族 x x e c e c y -+=21中，求出与直线x y =相切 于坐标原点的曲线． 解 根据题意条件可归结出条件1)0(,0)0(='=y y ， 由x x e c e c y -+=21 ， x x e c e c y --='21，可得1 ,02121 =-=+c c c c ， 故21,2121 -== c c ，这样就得到所求曲线为) (2 1x x e e y --=， 即x y sinh =． *4．证明：函数 y e x x =-2333 2 1 2sin 是初值问题 ??? ??? ?===++==1d d ,00d d d d 0022x x x y y y x y x y 的解． 证明 '=-+--y e x e x x x 33323 2 1 21 2sin cos ， ''=----y e x e x x x 33323 2 1 21 2sin cos ， 第七章：微分方程 一、微分方程的相关概念 1. 微分方程的阶数：方程中所含未知函数导数的最高阶数叫做微分方程的阶 . 2. 微分方程的解：使微分方程成为恒等式的函数称为微分方程的解 . 通解：所含独立的任意常数的个数与方程的阶数相同的解称为微分方程的通解 . 特解：确定了任意常数的通解称为微分方程的特解 . 3. 特解与通解的关系：可通过初始条件确定通解中的常数而得到满足条件的特解； 也可通过方程的表达式直接观察得到特解，因此特解不总包含在通解中 . 二、微分方程的常见类型及其解法 1. 可分离变量的微分方程及其解法 (1). 方程的形式： g( y) dy f ( x)dx . (2). 方程的解法：分离变量法 (3). 求解步骤 ① . 分离变量，将方程写成 g( y) dy f ( x)dx 的形式； ② . 两端积分： g ( y)dy f (x)dx ，得隐式通解 G( y) F ( x) C ； ③ . 将隐函数显化 . 2. 齐次方程及其解法 (1). 方程的形式： dy y . dx x (2). 方程的解法：变量替换法 (3). 求解步骤 ①．引进新变量 u y ，有 y ux 及 dy u x du ； x dx dx ②．代入原方程得： u x du (u) ； dx ③．分离变量后求解，即解方程 du dx ； ( u) u x ④．变量还原，即再用 y 代替 u . x 3. 一阶线性微分方程及其解法 (1). 方程的形式： dy P(x) y Q( x) . dx 一阶齐次线性微分方程 : dy P( x) y 0 . dx 一阶非齐次线性微分方程 : dy P( x) y Q( x) 0 . dx 习题1-10 1.证明方程x5-3x=1至少有一个根介于1和2之间. 证明设f(x)=x5-3x-1,则f(x)是闭区间[1, 2]上的连续函数. 因为f(1)=-3,f(2)=25,f(1)f(2)<0,所以由零点定理,在(1, 2)内至少有一点ξ(1<ξ<2),使f(ξ)=0,即x=ξ是方程x5-3x=1的介于1和2之间的根. 因此方程x5-3x=1至少有一个根介于1和2之间. 2.证明方程x=a sin x+b,其中a>0,b>0,至少有一个正根,并且它不超过a+b. 证明设f(x)=a sin x+b-x,则f(x)是[0,a+b]上的连续函数. f(0)=b,f(a+b)=a sin (a+b)+b-(a+b)=a[sin(a+b)-1]≤0. 若f(a+b)=0,则说明x=a+b就是方程x=a sin x+b的一个不超过a+b的根; 若f(a+b)<0,则f(0)f(a+b)<0,由零点定理,至少存在一点ξ∈(0,a+b),使f(ξ)=0,这说明x=ξ也是方程x=a sin x+b的一个不超过a+b的根. 总之,方程x=a sin x+b至少有一个正根,并且它不超过a+b. 3.设函数f(x)对于闭区间[a,b]上的任意两点x、y,恒有 |f(x)-f(y)|≤L|x-y|,其中L为正常数,且f(a)?f(b)<0.证明:至少有一点ξ∈(a,b),使得f(ξ)=0. 证明设x0为(a,b)内任意一点.因为 0||lim |)()(|lim 0000 0=-≤-≤→→x x L x f x f x x x x , 所以 0|)()(|lim 00 =-→x f x f x x , 即 )()(lim 00 x f x f x x =→. 因此f (x )在(a , b )内连续. 同理可证f (x )在点a 处左连续, 在点b 处右连续, 所以f (x )在[a , b ]上连续. 因为f (x )在[a , b ]上连续, 且f (a )?f (b )<0, 由零点定理, 至少有一点ξ∈(a , b ), 使得f (ξ)=0. 4. 若f (x )在[a , b ]上连续, a 华东理工大学高等数学(下册)第9章作业答案
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