随机过程简史

H a r b i n I n s t i t u t e o f T e c h n o l o g y

课程设计（论文）

课程名称：应用随机过程

设计题目：随机过程简史

院系：电气工程学院

班级： 11S0104

设计者：孙延博

学号： 11S001070

指导教师：田波平

设计时间： 2011-10-23

随机过程简史

摘要

本文简要地介绍了随机过程从20世纪初创立至今，100年的发展历程考察了导致随机过程产生的历史契机，以及早期数学家在这方面作出的杰出工作。并简要介绍了随机过程的概念，研究方法

和研究内容，在现代工程技术领域的应用。

关键词：随机过程平稳随机过程平稳随机序列

1.随机过程的概念研究方法及研究内容

随机过程是现代概率论研究的一个重要分支。数学上的随机过程是由实际随机过程概念引起的一种数学结构。人们研究这种过程，是因为它是实际随机过程的数学模型，或者是因为它的内在数学意义以及它在概率论领域之外的应用。数学上的随机过程可以简单的定义为一组随机变量，即指定一参数集，对于其中每一参数点t指定一个随机变量x(t)。如果回忆起随机变量自身就是一个函数，以ω表示随机变量x(t)的定义域中的一点，并以x(t，ω)表示随机变量在ω的值，则随机过程就由刚才定义的点偶(t，ω)的函数以及概率的分配完全确定。如果固定t，这个二元函数就定义一个ω的函数，即以x(t)表示的随机变量。如果固定ω，这个二元函数就定义一个t的函数，这是过程的样本函数。由于物理学生物学，通讯和控制管理科学等学科的需要随机过程逐步发展起来的。马尔柯夫最早研究了随机过程。研究随机过程的方法多种多样，主要可以分为两大类：一类是概率方法，其中用到轨道性质、停时和随机微分方程等；另一类是分析的方法，其中用到测度轮、微分方程、半群理论、函数堆和希尔伯特空间等。实际研究中常常两种方法并用。另外组合方法和代数方法在某些特殊随机过程的研究中也有一定作用。研究的主要内容有：多指标随机过程、无穷质点与马尔可夫过程、概率与位势及各种特殊过程的专题讨论等。中国学者在平稳过程、马尔科夫过程、鞅论、极限定理、随机微分方程等方面做出了较好的工作。

2.随机过程的历史

1900年，Bachelier在分析股票市场波动时．发现了随机过程的一个重过程——独立增量过程的特恻。1905年，物理学家Einstein在研究Brown运动时，也遇到了相同的过程．1923年，Wiener 给出了Brown运动的数学描述- wiener过程。

Lunbderg在1903年研究一个保险公司所承担索赔累计数的变化规律时．导出了另一类型的随机过程——Lundberg过程。而众所周知、应用甚广的Poisson过程是当所有得付出的索赔总数中每一笔数目都相同时的Lundberg过程。

1909年，Erlang在研究电话业务时引入了Poisson过程，并被物理学家Rutherford和Geiger用于分析放射性蜕变。这些早期对随机过程的研究都是同实际问题紧密联系在一起的。虽然在数学上用了不太严密的方法，却表现出了直观处理这些概念和方法的绝妙能力。

系统地严密地研究随机过程始于本世纪30年代。1931年，柯尔莫哥洛夫发表了一篇极有影响的论文《概率论的解析方法》，他进行了一般性的马氏过程的研究。马氏过程为经典的马尔柯夫链概念的自然推广，得到著名的向前方程。这一工作为揭示概率论同二阶偏微分方程之间的联系莫定了基础。在这之前，物理学家Plank曾建立过抛物型方程同马氏链及直线上的马尔柯夫游动的联系，得到部分的结果。柯尔莫哥洛夫的结论更完善，并广泛地应用于物理生物，化学以及工程技术方面。

时齐独立增量过程是拇尔莫哥格夫在1932年的工作中得到的。它使得wiener过程和Lunbdberg 风险过程成为特例。

1934年，苏联数学家辛欣发表了平稳过程的奠基性文章，而且指出当系统的过去的历史对未来发展有本质影响的情况下。马氏过程是不能描述的。平稳过程的发现为统计力学，气象和经济学等领域找到一个台适的数学模型，特别是为显示出周期性行为趋向的现象的研究以及应用于信息论开辟了前景。

1944年．柯尔莫哥洛夫对离散时问的平稳过程进行了研究．发现具有二阶矩的所有随机变量组成一个Hilbert空间，而离散时间的随机过程就成为其中的一个点序列。对于随机变量的平稳序列，柯尔莫哥洛夫运用Hilbert空间理论，以一种简单的方法导出过去所有已知的结果。这一开创性的工作首次把Hilbert空间这种抽象理论用于随机变量和随机过程的研究．

在实际中遇到的很多随机现象有如下的共同特性：它的未来的演变，在已知它目前状态的条件下与以往的状况无关。描述这种随时间推进的随机现象的演变模型就是马尔可夫过程。

20世纪50年代以前，研究马尔可夫过程的主要工具是微分方程和半群理论（即分析方法）；1936年前后就开始探讨马尔可夫过程的轨道性质，直到把微分方程和半群理论的分析方法同研究轨道性质的概率方法结合运用，才使这方面的研究工作进一步深化，并形成了对轨道分析必不可少的强马尔可夫性概念。1942年，伊藤清用他创立的随机积分和随机微分方程理论来研究一类特殊而重要的马尔可夫过程──扩散过程，开辟了研究马尔可夫过程的又一重要途径。近年来，鞅论方法也已渗透到马尔可夫过程的研究中，它与随机微分方程结合在一起，已成为目前处理多维扩散过程的工具。此外，马尔可夫过程与分析学中的位势论有密切的联系。对马尔可夫过程的研究，推动了位势理论的发展，并为研究偏微分方程提供了概率论的方法。最近十多年发展起来的吉布斯随机场和无穷粒子随机系统，是由于统计物理的需要而提出的。

许多自然的和生产过程中的随机现象表现出某种平稳性。一种平稳性是过程在任意一些时刻上的联合概率分布随时间推移不变，这种平稳性称为严平稳性。严平稳过程的研究与遍历理论有密切的联系。如果上述对概率分布的要求放宽为仅对二阶相关矩的要求，即过程在任意两时刻上的协方

差随时间推移不变，则称这种平稳性为宽平稳性。关于宽平稳过程的研究，辛钦、柯尔莫哥洛夫和维纳等人运用傅里叶分析和泛函分析的工具，在40年代已经找出了过程的相关函数及过程本身的谱分解式，并且较完满地解决了有应用意义的预测问题。许多应用问题还要求根据观测数据去建立这些数据所来自的随机过程的模型。为此产生了时间序列分析这一课题，提出了宽平稳序列的自回归滑动平均(ARMA)模型以及一些非线性模型。

鞅是另一类重要的随机过程。从20世纪30年代起，莱维等人就开始研究鞅序列，把它作为独立随机变量序列的部分和的推广。40年代到50年代初，杜布对鞅进行了系统的研究，得到有名的鞅不等式、停止定理和收敛定理等重要结果。1962年，p.a.迈耶解决了杜布提出的连续时间的上鞅分解为鞅及增过程之差的问题。在解决这个问题的过程中，出现了很多新鲜而深刻的概念，使鞅和随机过程一般理论的内容大大丰富起来。鞅的研究丰富了概率论的内容，并引起人们用它所提供的新方法新概念对概率论中许多经典的内容重新审议，把以往认为是复杂的东西纳入鞅论的框架而加以简化。此外，利用上鞅的分解定理，可以把伊藤清的对布朗运动的随机积分推广到对一般鞅乃至半鞅的随机积分；因而，更一般的随机微分方程的研究也随之发展。随机微分方程理论不仅可以用来研究马尔可夫过程，它还是解决滤波问题的必要工具。最近出现的流形上的随机微分方程又和微分几何及分析力学的研究发生了密切的联系。鞅论还对本学科以外的位势理论、调和分析及复变函数论等提供了有用的工具。

点过程是从所谓计数过程发展出来的，它们的特点是，可用落在不相重叠的集合上的随机点数目的联合概率分布来刻画整个过程的概率规律。最基本的计数过程是泊松过程，1943年，c.帕尔姆将它作为最简单的输入流应用于研究电话业务问题；1955年，辛钦又以严密的数学观点作了整理和发展。

随机分析是概率论中又一独立分支。对于随机变量和跹机过程的分析性质的研究始于Wiener1923年的工作．他将Brown运动的平方可积泛函按Hermit多项式展开，讨论了Brown运动的非线性泛函。1931年，柯尔莫哥洛夫在前面提到的文章中首次研究了马氏过程同二阶偏微分方程的联系。

1942年，日率数学家Ito发表了一篇重要的论文，他首次研究了微分方积的随机积分理论。他从分析经典的热扩散过程给出了抛物型偏微分方程的一个路径积分表示”。1947年，物理学家Feynman 在研究量子力学中的微分方程时，提出了一种“路径积分“理论。后来数学家Mark Kao在这一方面做了大量出色的工怍，建立了概率理论同微分方程新的联系。50年代，Ito讨论了一维扩散过程。他的学生Ikede和Watanabe在随机微分方程和扩散过程方面作出了重要的工作。

在60年代以前，点过程的研究主要限于泊松过程及其推广的过程。以后，由于大量实际问题的

需要以及随机测度论和现代鞅论的推动，进一步把实轴上的点过程（即计数过程）推广到一般的可分完备度量空间上，在内容和方法上都有根本性的进展。

3.随机过程在工程技术的应用

随机过程的发展史说明了理论与实际之间的密切关系。许多研究方向的提出，归根到底是有其实际背景的。反过来，当这些方向被深入研究后，又可指导实践，进一步扩大和深化应用范围。概率论作为数理统计学的理论基础是尽人皆知的。下面简略介绍一下概率论本身在各方面的应用情况。在物理学方面，高能电子或核子穿过吸收体时，产生级联（或倍增）现象,在研究电了-光子级联过程的起伏问题时，要用到随机过程，常以泊松过程、弗瑞过程或波伊亚过程作为实际级联的近似，有时还要用到更新过程（见点过程）的概念。当核子穿到吸收体的某一深度时，则可用扩散方程来计算核子的概率分布。物理学中的放射性衰变，粒子计数器，原子核照相乳胶中的径迹理论和原子核反应堆中的问题等的研究，都要用到泊松过程和更新理论。湍流理论以及天文学中的星云密度起伏、辐射传递等研究要用到随机场的理论。探讨太阳黑子的规律及其预测时，时间序列方法非常有用。

化学反应动力学中，研究化学反应的时变率及影响这些时变率的因素问题,自动催化反应，单分子反应,双分子反应及一些连锁反应的动力学模型等，都要以生灭过程（见马尔可夫过程）来描述。

随机过程理论所提供的方法对于生物数学具有很大的重要性，许多研究工作者以此来构造生物现象的模型。研究群体的增长问题时，提出了生灭型随机模型，两性增长模型，群体间竞争与生尅

模型，群体迁移模型，增长过程的扩散模型等等。有些生物现象还可以利用时间序列模型来进行预报。传染病流行问题要用到具有有限个状态的多变量非线性生灭过程。在遗传问题中，着重研究群体经过多少代遗传后，进入某一固定类和首次进入此固定类的时间，以及最大基因频率的分布等。

许多服务系统，如电话通信，船舶装卸，机器损修，病人候诊，红绿灯交换，存货控制，水库调度，购货排队，等等，都可用一类概率模型来描述。这类概率模型涉及的过程叫排队过程，它是点过程的特例。排队过程一般不是马尔可夫型的。当把顾客到达和服务所需时间的统计规律研究清楚后，就可以合理安排服务点。

在通信、雷达探测、地震探测等领域中，都有传递信号与接收信号的问题。传递信号时会受到噪声的干扰，为了准确地传递和接收信号，就要把干扰的性质分析清楚，然后采取办法消除干扰。这是信息论的主要目的。噪声本身是随机的，所以概率论是信息论研究中必不可少的工具。信息论中的滤波问题就是研究在接收信号时如何最大限度地消除噪声的干扰，而编码问题则是研究采取什

么样的手段发射信号，能最大限度地抵抗干扰。在空间科学和工业生产的自动化技术中需要用到信息论和控制理论，而研究带随机干扰的控制问题，也要用到概率论方法。

参考文献

1 田波平?应用随机过程讲义

2 张红?数学简史?科学出版社

应用随机过程学习总结

应用随机过程学习总结 一、预备知识：概率论 随机过程属于概率论的动态部分，即随机变量随时间不断发展变化的过程，它以概率论作为主要的基础知识。 1、概率空间方面，主要掌握sigma代数和可测空间，在随机过程中由总体样本空间所构成的集合族。符号解释： sup表示上确界， inf表示下确界。 本帖隐藏的内容 2、数字特征、矩母函数与特征函数：随机变量完全由其概率分布来描述。其中由于概率分布较难确定，因此通常计算随机变量的数字特征来估算分布总体，而矩母函数和特征函数便用于随机变量的N阶矩计算，同时唯一的决定概率分布。 3、独立性和条件期望：独立随机变量和的分布通常由卷积来表示，对于同为分布函数的两个函数，卷积可以交换顺序，同时满足结合律和分配率。条件期望中，最重要的是理解并记忆E(X) = E[E(X|Y)] = intergral(E(X|Y=y))dFY(y)。 二、随机过程基本概念和类型 随机过程是概率空间上的一族随机变量。因为研究随机过程主要是研究其统计规律性，由Kolmogorov定理可知，随机过程的有限维分布族是随机过程概率特征的完整描述。同样，随机过程的有限维分布也通过某些数值特征来描述。 1、平稳过程，通常研究宽平稳过程：如果X(t1)和X(t2)的自协方差函数 r(t1,t2)=r(0,t-s)均成立，即随机过程X(t)的协方差函数r(t,s)只与时间差 t-s有关，r(t) = r(-t)记为宽平稳随机过程。 因为一条随机序列仅仅是随机过程的一次观察，那么遍历性问题便是希望将随即过程的均值和自协方差从这一条样本路径中估计出来，因此宽平稳序列只需满足其均值遍历性原理和协方差遍历性原理即可。 2、独立增量过程：若X[Tn]– X[T(n-1)]对任意n均相互独立，则称X(t)是独立增量过程。若独立增量过程的特征函数具有可乘性，则其必为平稳增量过程。 兼有独立增量和平稳增量的过程称为平稳独立增量过程，其均值函数一定是时间t的线性函数。

建立数学模型的方法、步骤、特点及分类

建立数学模型的方法、步骤、特点及分类 [学习目标] 1.能表述建立数学模型的方法、步骤； 2.能表述建立数学模型的逼真性、可行性、渐进性、强健性、可转移性、非 预制性、条理性、技艺性和局限性等特点；； 3.能表述数学建模的分类； 4.会采用灵活的表述方法建立数学模型； 5.培养建模的想象力和洞察力。 一、建立数学模型的方法和步骤 —般说来建立数学模型的方法大体上可分为两大类、一类是机理分析方法，一类是测试分析方法．机理分析是根据对现实对象特性的认识、分析其因果关系，找出反映内部机理的规律,建立的模型常有明确的物理或现实意义.测试分折将研究对象视为一个“黑箱”系统，内部机理无法直接寻求，可以测量系统的输人输出数据、并以此为基础运用统计分析方法，按照事先确定的准则在某一类模型中选出一个与数据拟合得最好的模型。这种方法称为系统辨识(System Identification)．将这两种方法结合起来也是常用的建模方法。即用机理分析建立模型的结构，用系统辨识确定模型的参数． 可以看出，用上面的哪一类方法建模主要是根据我们对研究对象的了解程度和建模目的决定的．如果掌握了机理方面的一定知识，模型也要求具有反映内部特性的物理意义。那么应该以机理分析方法为主．当然,若需要模型参数的具体数值，还可以用系统辨识或其他统计方法得到．如果对象的内部机理基本上没掌握，模型也不用于分析内部特性,譬如仅用来做输出预报，则可以系统辩识方法为主．系统辨识是一门专门学科，需要一定的控制理论和随机过程方面的知识．以下所谓建模方法只指机理分析。 建模要经过哪些步骤并没有一定的模式，通常与实际问题的性质、建模的目的等有关，从 §16.2节的几个例子也可以看出这点．下面给出建模的—般步骤，如图16-5所示． 图16-5 建模步骤示意图 模型准备首先要了解问题的实际背景，明确建模的目的搜集建模必需的各种信息如现象、数据等，尽量弄清对象的特征,由此初步确定用哪一类模型，总之是做好建模的准备工作．情况明才能方法对，这一步一定不能忽视，碰到问题要虚心向从事实际工作的同志请教，尽量掌握第一手资料. 模型假设根据对象的特征和建模的目的，对问题进行必要的、合理的简化，用精确的语言做出假设，可以说是建模的关键一步．一般地说，一个实际问题不经过简化假设就很难翻译成数学问题，即使可能，也很难求解．不同的简化假设会得到不同的模型．假设作得不合理或过份简单，会导致模型失败或部分失败，于是应该修改和补充假设；假设作得过分详细，试图把复杂对象的各方面因素都考虑进去，可能使你很难甚至无法继续下一步的工作．通常，作假设的依据，一是出于对问题内在规律的认识，二是来自对数据或现象的分析，也可以是二者的综合．作假设时既要运用与问题相关的物理、化学、生物、经济等方面的知识，又要充分发挥想象力、洞察力和判断力，善于辨别问题的主次，果断地抓住主要因素，舍弃次要因素，尽量将问题线性化、均匀化．经验在这里也常起重要作用．写出假设时，语言要精确，就象做习题时写出已知条件那样．

第三章_随机过程教案

第三章随机过程 本节首先介绍利用matlab现有的库函数根据实际需要直接产生均分分布和高斯分布随机变量的方法，然后重点讲解蒙特卡罗算法。 一、均匀分布的随机数 利用MATLAB库函数rand产生。rand函数产生（0，1）内均匀分布的随机数，使用方法如下： 1）x=rand(m)；产生一个m×m的矩阵，所含元素取值均为在（0，1）内均匀分布的随机数。 2）x=rand(m，n)；产生一个m×n的矩阵，所含元素取值均为在（0，1）内均匀分布的随机数。 3）x=rand；产生一个随机数。 举例：1、产生一个5×5服从均匀分布的随机矩阵，所含元素取值均为在（0，1）内均匀分布的随机数。 x=rand(5) 2、产生一个5×3服从均匀分布的随机矩阵，所含元素取值均为在（0，1）内均匀分布的随机数。 x=rand(5,3) 二、高斯分布的随机数 randn函数产生均值为0，方差为1的高斯分布的随机数，使用方法如下： 1）x=randn(m)；产生一个m×m的矩阵，所含元素都是均值

为0，方差为1的高斯分布的随机数。 2）x=randn(m，n)；产生一个m×n的矩阵，所含元素都是均值为0，方差为1的高斯分布的随机数。 3）x=randn；产生一个均值为0，方差为1的高斯分布的随机数。 举例：1、产生一个5×5的矩阵，所含元素都是均值为0，方差为1的高斯分布的随机数。 x=randn(5) 2、产生一个5×3的矩阵，所含元素都是均值为0，方差为1的高斯分布的随机数。 x=randn(5,3) 3、产生一个5×3的矩阵，所含元素都是均值为0，方差为4的高斯分布的随机数。 x=2×randn(5,3) 三、蒙特卡罗仿真 1、蒙特卡罗算法 蒙特卡罗估计是指通过随机实验估计系统参数值的过程。蒙特卡罗算法的基本思想：由概率论可知，随机实验中实验的结果是无法预测的，只能用统计的方法来描述。故需进行大量的随机实验，如果实验次数为N，以 N表示事件A发 A 生的次数。若将A发生的概率近似为相对频率，定义为 N N。 A 这样，在相对频率的意义下，事件A发生的概率可以通过重

随机过程历史

H a r b i n I n s t i t u t e o f T e c h n o l o g y 课程设计（论文） 课程名称：应用随机过程 设计题目：随机过程历史 院系：计算机科学与技术学院 班级：计算机4班 设计者：徐立秋 学号： 11S003124 指导教师：田波平 设计时间： 2011-11至2011-12 哈尔滨工业大学

随机过程的历史 一随机过程概述 随机过程有一族无限多个随机变量组成的序列，是用来描绘一连串随机事件动态关系的序列。随机过程论与其他数学分支如位势论、微分方程、力学及复变函数论等有密切的联系，是在自然科学、工程科学及社会科学各领域研究随机现象的重要工具。随机过程论目前已得到广泛的应用，在诸如天气预报、统计物理、天体物理、运筹决策、经济数学、安全科学、人口理论、可靠性及计算机科学等很多领域都要经常用到随机过程的理论来建立数学模型。随机过程的概念很广泛，其研究几乎包括概率论的全部。 在客观世界中有些随机现象表示的是是事物随机变化的过程，不能用随机变量和速记矢量来描绘，需要用一族无限多个随机变量/矢量来描绘，这就是随机过程。 定义：设（Ω，F，P）是一个概率空间，T是一个实数集。{X(t ,w)，t∈T, w ∈Ω}（是对应于t和w的函数）即为定义在T和Ω上的二元函数，若此函数对任意固定的t∈T，X(w, t)是任意（Ω，F，P）上的随机变量，则称{X(t ,w)，t∈T, w∈Ω} 是随机过程(Stochastic Process)。 在研究随机过程时人们透过表面的偶然性描述出必然的内在规律并以概率的形式来描述这些规律，从偶然中悟出必然正是这一学科的魅力所在。 二随机过程发展简史 概率论的起源与博弈问题有关，而随机过程这一学科最早是起源于对物理学的研究，如吉布斯、玻尔兹曼、庞加莱等人对统计力学的研究，及后来爱因斯坦、维纳、莱维等人对布朗运动的开创性工作。气体分子运动时，由于相互碰撞等原因而迅速改变自己的位置与速度，其运动的过程是随机的。人们希望知道，运动的轨道有什么性质(是否连续、可微的等等)？分子从一点出发能达到某区域的概率有多大？如果有两类分子同时运动，由于扩散而互相渗透，那么扩散是如何进行的，要经过多久其混合才会变得均匀？又如，在一定时间内，放射性物质中有多少原子会分裂或转化？电话交换台将收到多少次呼唤？机器会出现多少次故障？物价如何波动？这些实际问题的数学抽象为随机过程论提供了研究的课题。 1900年，Bachelier首次将布朗运动用于股票价格的描述。

通信原理教程+樊昌信+习题答案第二章

> 第二章习题 习题 设随机过程X (t )可以表示成： ()2cos(2), X t t t πθ=+-∞<<∞ 式中，θ是一个离散随机变量，它具有如下概率分布：P (θ=0)=，P (θ=π/2)= 试求E [X (t )]和X R (0,1)。 解：E [X (t )]=P (θ=0)2cos(2)t π+P (θ= /2)2cos(2)=cos(2)sin 22 t t t π πππ+ - cos t ω ： 习题 设一个随机过程X (t )可以表示成： ()2cos(2), X t t t πθ=+-∞<<∞ 判断它是功率信号还是能量信号并求出其功率谱密度或能量谱密度。 解：为功率信号。 []/2 /2/2 /21()lim ()()1lim 2cos(2)*2cos 2()T X T T T T T R X t X t dt T t t dt T ττπθπτθ→∞-→∞ -=+=+++? ? 222cos(2)j t j t e e πππτ-==+ 2222()()()(1)(1) j f j t j t j f X P f R e d e e e d f f πτπππττττδδ∞-∞---∞-∞==+=-++?? @ 习题 设有一信号可表示为： 4exp() ,t 0 (){0, t<0 t X t -≥= 试问它是功率信号还是能量信号并求出其功率谱密度或能量谱密度。 解：它是能量信号。X (t )的傅立叶变换为： (1)004 ()()441j t t j t j t X x t e dt e e dt e dt j ωωωωω +∞-+∞--+∞-+-∞====+??? 则能量谱密度 G(f)=2 ()X f =2 22 416 114j f ωπ=++ 习题 X (t )=12cos 2sin 2x t x t ππ-，它是一个随机过程，其中1x 和2x 是相互统计独立的高斯随机变量，数学期望均为0，方差均为2σ。试求： ! (1)E [X (t )]，E [2()X t ]；(2)X (t ) 的概率分布密度；(3)12(,)X R t t

随机过程

《随机过程》课程教学大纲 课程编号：02200021 课程名称：随机过程 英文名称：Stochastic Processes 课程类别：选修课 总学时：72 讲课学时：68 习题课学时：4 学分: 4 适用对象：数学与应用数学、信息与计算科学专业 先修课程：数学分析、高等代数、概率论与数理统计 一、课程简介 随机过程是研究客观世界中随机演变过程规律性的学科，它的基本知识和方法不仅为数学、概率统计专业所必需，也为工程技术、生物信息及经济领域的应用和研究所需要。本课程介绍随 机过程研究领域的一些基础而重要的知识和技能。 二、课程性质、目的和任务 随机过程是概率论的后续课程，具有比概率理论更加实用的应用方面，处理问题也更加贴近实际情况。通过这门课程的学习，使学生了解随机过程的基本概念，掌握最常见而又有重要应用 价值的诸如Poisson过程、更新过程、Markov过程、Brown运动的基本性质，能够处理基本的随 机算法。提高学生利用概率理论数学模型解决随机问题的能力。通过本课程的学习，可以让数学 专业的学生很方便地转向在金融管理、电子通讯等应用领域的研究。 三、课程基本要求 通过本课程的学习，要求学生掌握随机过程的一般概念，知道常见的几类随机过程的定义、背景和性质；掌握泊松过程的定义与基本性质，了解它的实际背景，熟悉它的若干推广；掌握更 新过程的定义与基本性质、更新函数、更新方程，了解更新定理及其应用，知道更新过程的若干 推广；掌握离散时间的马尔可夫链的基本概念，熟练掌握转移概率、状态分类与性质，熟悉极限 分布、平稳分布与状态空间的分解，了解分枝过程；掌握连续时间的马尔可夫链的定义、柯尔莫 哥洛夫方程；掌握布朗运动的定义与基本性质，熟悉随机积分的定义与基本性质，了解扩散过程 与伊藤公式，会求解一些简单的随机微分方程。 四、教学内容及要求 第一章预备知识 §1.概率空间；§2.随机变量和分布函数；§3.数字特征、矩母函数和特征函数；§4. 条件概率、条件期望和独立性；§5.收敛性 教学要求：本章主要是对概率论课程的复习和巩固，为后续学习做准备。 第二章随机过程的基本概念和类型

最新第1章 随机过程的基本概念习题答案

第一章 随机过程的基本概念 1．设随机过程 +∞<<-∞=t t X t X ,cos )(0ω，其中0ω是正常数，而X 是标准正态变量。试求X （t ）的一维概率分布 解：∵ 当0cos 0=t ω 即 πω)2 1 (0+ =k t 即 πω)21(10+=k t 时 {}10)(==t x p 若 0cos 0≠t ω 即 πω)2 1 (1 0+≠ k t 时 {}{}x t X P x x X P t x F ≤=≤=0cos )(),(ω 当 0cos 0>t ω时 ξπ ωωξd e t x X P t x F t x ? - = ??? ? ??≤=02 cos 0 2 021cos ),( 此时 ()t e x t x F t x f t x 0cos 2cos 1 21,),(022ωπ ω? =??=- 若 0cos 0

?? ?= ,2 ,cos )(出现反面出现正面t t t X π 假定“出现正面”和“出现反面”的概率各为21。试确定)(t X 的一维分布函数)2 1 ,(x F 和)1,(x F ，以及二维分布函数)1,2 1;,(21x x F 解：（1）先求)21,(x F 显然???=?? ???-=??? ??出现反面出现正面 出现反面出现正面10,212,2cos 21π X 随机变量?? ? ??21X 的可能取值只有0，1两种可能，于是 21 021= ??????=?? ? ??X P 2 1121=??????=??? ??X P 所以 ?????≥<≤<=??? ?? 11102 1 0021,x x x x F 再求F （x ,1） 显然? ??-=???=出现反面出现正面出现反面出现正面 2 1 2 cos (1)πX {}{}2 1 2)1(-1 (1)====X p X p 所以 ???? ???≥<≤<=2 121- 2 1-1 0,1)(x x x x F (2) 计算)1,2 1 ;,(21x x F ???-=???=出现反面出现正面出现反面出现正面 2 1)1(, 1 0)2 1 ( X X 于是

应用随机过程教学大纲

《应用随机过程A》课程教学大纲 课程编号： L335001 课程类别：专业限选课适用专业：统计学专业 学分数：3学分学时数： 48学时 应修（先修）课程：数学分析、概率统计、微分方程、高等代数 一、本课程的地位和作用 应用随机过程是数学与应用数学专业的专业限选课程，是统计学专业的专业课程之一。随机过程是研究客观世界中随机演变过程规律性的学科，随机过程的研究对象为随时间变化的随机现象，即随时间不断变化的随机变量，通常被视为概率论的动态部分。随着科学技术的发展，它已广泛地应用于通信、控制、生物、地质、经济、管理、能源、气象等许多领域，国内外许多高等工科院校在研究生中设此课程，大量工程技术人员对随机分析的方法也越来越重视。通过本课程的学习，使学生初步具备应用随机过程的理论和方法来分析问题和解决问题的能力。 二、本课程的教学目标 使学生掌握随机过程的基本知识，通过系统学习，学生的概率理论数学模型解决随机问题的能力得到更加进一步的提高，特别在经济应用上，通过本课程的学习，可以让数学专业的学生很方便地转向在金融管理、电子通讯等应用领域的研究。 三、课程内容和基本要求 ?”记号标记既（用“*”记号标记难点内容，用“?”记号标记重点内容，用“* 是重点又是难点的内容。） 第一章预备知识 1．教学基本要求 （1）掌握概率空间, 随机变量和分布函数, 矩母函数和特征函数的概念和相关性质。 （2）掌握条件概率, 条件期望和独立性的概念和相关性质。 （3）了解概率中收敛性的概念和相互关系。 2．教学内容 （1）概率空间 （2）▽随机变量和分布函数

（3）▽*数字特征、矩母函数和特征函数 （4）▽*条件概率、条件期望和独立性 （5）收敛性 第二章随机过程的基本概念和类型 1．教学基本要求 （1）掌握随机过程的定义。 （2）了解有限维分布族和Kolmogorov定理。 （3）掌握独立增量过程和独立平稳增量过程概念。 2．教学内容 （1）基本概念 （2）▽*有限维分布和Kolmogorov定理 （3）▽随机过程的基本类型 第三章 Poisson过程 1．教学基本要求 （1）了解计数过程的概念。 （2）掌握泊松过程两种定义的等价性。 （3）掌握泊松过程的到达时刻的分布、等待时间的分布和来到时刻的条件分布。（4）了解泊松过程的推广。 2．教学内容 （1）▽ Poisson过程 （2）▽* 与Poisson过程相联系的若干分布 （3）* Poisson过程推广 第四章更新过程 1．教学基本要求 （1）掌握更新过程的定义和基本性质。 （2）掌握更新函数、更新方程。 （3）了解更新定理及其应用，更新过程的若干推广。 （4）了解更新过程的若干推广。 2．教学内容

通信原理教程+樊昌信+习题答案第二章Word版

第二章习题 习题2.1 设随机过程X (t )可以表示成： ()2cos(2), X t t t πθ=+-∞<<∞ 式中，θ是一个离散随机变量，它具有如下概率分布：P (θ=0)=0.5，P (θ=π/2)=0.5 试求E [X (t )]和X R (0,1)。 解：E [X (t )]=P (θ=0)2cos(2)t π+P (θ=/2)2cos(2)=cos(2)sin 22 t t t π πππ+ - cos t ω 习题2.2 设一个随机过程X (t )可以表示成： ()2cos(2), X t t t πθ=+-∞<<∞ 判断它是功率信号还是能量信号？并求出其功率谱密度或能量谱密度。 解：为功率信号。 []/2 /2/2 /21()lim ()()1lim 2cos(2)*2cos 2()T X T T T T T R X t X t dt T t t dt T ττπθπτθ→∞-→∞ -=+=+++? ? 222cos(2)j t j t e e πππτ-==+ 2222()()()(1)(1) j f j t j t j f X P f R e d e e e d f f πτπππττττδδ∞-∞---∞-∞==+=-++?? 习题2.3 设有一信号可表示为： 4exp() ,t 0 (){0, t<0 t X t -≥= 试问它是功率信号还是能量信号？并求出其功率谱密度或能量谱密度。 解：它是能量信号。X (t )的傅立叶变换为： (1)004 ()()441j t t j t j t X x t e dt e e dt e dt j ωωωωω +∞-+∞--+∞-+-∞====+??? 则能量谱密度 G(f)=2 ()X f =2 22 416 114j f ωπ=++ 习题2.4 X (t )=12cos 2sin 2x t x t ππ-，它是一个随机过程，其中1x 和2x 是相互统计独立的高斯随机变量，数学期望均为0，方差均为2σ。试求： (1)E [X (t )]，E [2()X t ]；(2)X (t ) 的概率分布密度；(3)12(,)X R t t 解：(1)()[][]()[]02sin 2cos 2sin 2cos 2121=?-?=-=x E t x E t t x t x E t X E ππππ

随机过程-方兆本-第三版-课后习题答案

习题4 以下如果没有指明变量t 的取值范围，一般视为R t ∈，平稳过程指宽平稳过程。 1. 设Ut t X sin )(=，这里U 为)2,0(π上的均匀分布. （a ） 若Λ,2,1=t ，证明},2,1),({Λ=t t X 是宽平稳但不是严平稳， （b ） 设),0[∞∈t ，证明}0),({≥t t X 既不是严平稳也不是宽平稳过程. 证明：（a ）验证宽平稳的性质 Λ,2,1,0)cos (2121)sin()sin()(2020==-=? ==?t Ut t dU Ut Ut E t EX π π ππ ))cos()(cos(2 1 )sin (sin ))(),((U s t U s t E Us Ut E s X t X COV ---=?= t U s t s t U s t s t ππ π21}])[cos(1])[cos(1{212020? +++--= s t ≠=,0 2 1 Ut Esin ))(),((2= =t X t X COV (b) ,)),2cos(1(21 )(有关与t t t t EX ππ-= .)2sin(81 21DX(t)有关，不平稳，与t t t ππ-= 2. 设},2,1,{Λ=n X n 是平稳序列，定义Λ Λ,2,1},,2,1,{) (==i n X i n 为 Λ,,)1(1)1()2(1)1(---=-=n n n n n n X X X X X X ，证明：这些序列仍是平稳的. 证明：已知，)(),(,,2 t X X COV DX m EX t t n n n γσ===+ 2 121)1(1)1()1(2)(,0σγσ≡+=-==-=--n n n n n n X X D DX EX EX EX ) 1()1()(2),(),() ,(),(),(),(111111) 1()1(++--=+--=--=--+-+-++--+++t t t X X COV X X COV X X COV X X COV X X X X COV X X COV n t n n t n n t n n t n n n t n t n n t n γγγ显然，) 1(n X 为平稳过程. 同理可证，Λ,,) 3()2(n n X X 亦为平稳过程. 3.设 1 )n n k k k Z a n u σ==-∑这里k σ和k a 为正常数，k=1，....n; 1,...n u u 是（0,2π）

随机过程习题和答案

一、1.1设二维随机变量(,)的联合概率密度函数为： 试求:在时,求。 解： 当时， ＝ ＝ 1.2 设离散型随机变量X 服从几何分布： 试求的特征函数，并以此求其期望与方差。 解： 所以： 2.1 袋中红球，每隔单位时间从袋中有一个白球，两个任取一球后放回，对每 对应随机变量一个确定的t ?????=时取得白球如果对时取得红球 如果对t e t t t X t 3)( .维分布函数族试求这个随机过程的一 2.2 设随机过程，其中是常数，与是相互独立的随机变量，服从区间上的均匀 分布，服从瑞利分布，其概率密度为 试证明为宽平稳过程。 解：（1）

与无关 （2） ， 所以 （3） 只与时间间隔有关，所以为宽平稳过程。 2.3是随机变量，且，其中设随机过程U t U t X 2cos )(=求：，.5)(5)(==U D U E .321）方差函数）协方差函数；（）均值函数；（（ 2.4是其中，设有两个随机过程U Ut t Y Ut t X ,)()(32==.5)(=U D 随机变量，且 数。试求它们的互协方差函 2.5， 试求随机过程是两个随机变量设B At t X B A 3)(,,+=的均值),(+∞-∞=∈T t 相互独若函数和自相关函数B A ,.),()(),2,0(~),4,1(~,21t t R t m U B N A X X 及则且立 为多少？ 3.1一队学生顺次等候体检。设每人体检所需的时间服从均值为2分

钟的指数分布并且与其他人所需时间相互独立，则1小时内平均有多少学生接受过体检？在这1小时内最多有40名学生接受过体检的概率是多少（设学生非常多，医生不会空闲） 解：令()N t 表示(0,)t 时间内的体检人数，则()N t 为参数为30的 poisson 过程。以小时为单位。 则((1))30E N =。 40 300 (30)((1)40)!k k P N e k -=≤=∑。 3.2在某公共汽车起点站有两路公共汽车。乘客乘坐1,2路公共汽车的强度分别为1λ，2λ，当1路公共汽车有1N 人乘坐后出发；2路公共汽车在有2N 人乘坐后出发。设在0时刻两路公共汽车同时开始等候乘客到来，求（1）1路公共汽车比2路公共汽车早出发的概率表达式；（2）当1N =2N ，1λ=2λ时，计算上述概率。 解： 法一：（1）乘坐1、2路汽车所到来的人数分别为参数为1λ、2λ的poisson 过程，令它们为1()N t 、2()N t 。1 N T 表示1()N t =1N 的发生时 刻，2 N T 表示2()N t =2N 的发生时刻。 1 11 1111111()exp()(1)! N N N T f t t t N λλ-= -- 2 22 1222222()exp()(1)! N N N T f t t t N λλ-= -- 1 2 121 2 1 2 2 1 112,12|1221 1122212(,)(|)()exp() exp() (1)! (1)! N N N N N N N N N T T T T T f t t f t t f t t t t t N N λλλλ--== ---- 1 2 2 121 2 1 11221 11222100 12()exp() exp()(1)! (1)! N N t N N N N P T T dt t t t t dt N N λλλλ∞ --<=----??

随机过程知识点汇总

第一章随机过程的基本概念与基本类型 一．随机变量及其分布 1．随机变量，分布函数 离散型随机变量的概率分布用分布列分布函数 连续型随机变量的概率分布用概率密度分布函数 2．n维随机变量 其联合分布函数 离散型联合分布列连续型联合概率密度 ３．随机变量的数字特征 数学期望：离散型随机变量连续型随机变量 方差：反映随机变量取值的离散程度 协方差（两个随机变量）： 相关系数（两个随机变量）：若，则称不相关。 独立不相关 ４．特征函数离散连续 重要性质：，，， ５．常见随机变量的分布列或概率密度、期望、方差 ０－１分布 二项分布 泊松分布均匀分布略 正态分布 指数分布 ６．Ｎ维正态随机变量的联合概率密度 ，，正定协方差阵 二．随机过程的基本概念 １．随机过程的一般定义 设是概率空间，是给定的参数集，若对每个，都有一个随机变量与之对应，则称随机变量族是上的随机过程。简记为。 含义：随机过程是随机现象的变化过程，用一族随机变量才能刻画出这种随机现象的全部统计规律性。另一方面，它是某种随机实验的结果，而实验出现的样本函数是随机的。 当固定时，是随机变量。当固定时，时普通函数，称为随机过程的一个样本函数或轨道。 分类：根据参数集和状态空间是否可列，分四类。也可以根据之间的概率关系分类，如独立增量过程，马尔可夫过程，平稳过程等。 ２．随机过程的分布律和数字特征 用有限维分布函数族来刻划随机过程的统计规律性。随机过程的一维分布，二维分布，…，维分布的全体称为有限维分布函数族。随机过程的有限维分布函数族是随机过程概率特征的完整描述。在实际中，要知道随机过程的全部有限维分布函数族是不可能的，因此用某些统计特征来取代。（１）均值函数表示随机过程在时刻的平均值。 （２）方差函数表示随机过程在时刻对均值的偏离程度。 （３）协方差函数且有 （４）相关函数(3)和(4)表示随机过程在时刻，时的线性相关程度。

随机过程教学大纲

《随机过程》教学大纲 课程编码：1511104303 课程名称：随机过程 学时/学分：48/3 先修课程：《数学分析》、《概率论与数理统计》 适用专业：数学与应用数学 开课教研室：信息与计算科学教研室 一、课程性质与任务 1．课程性质：随机过程是概率论与数理统计的后继课程，是数学与应用数学专业的专业选修课。随机过程通常被视为概率论的动态部分，即研究的是随机现象的动态特征，着重对随时间和空间变化的随机现象提出各种不同的模型并研究其内在的性质与相互联系，具有较强的理论性。该学科在社会科学、自然科学、经济和管理等各个领域中都有广泛的应用。随机过程论在理论与应用两方面都发展迅速，学习、了解这门学科对概率统计及数学其他分支如信息与计算科学、自然学科、工程技术乃至经济管理等方面的学者及科技工作者都是重要而且有益的。本课程开设在第6学期。 2．课程任务：通过本课程的学习，学生应能较好地理解随机数学的基本思想，掌握几个常用过程，如泊松过程、马尔可夫链、生灭过程、更新过程、鞅的基本概念，基本理论及分析方法。提高学生的数学素质，加强学生运用随机过程的思想方法开展科研工作和解决实际问题的能力。 二、课程教学基本要求 《随机过程》要求在熟练掌握概率论的基础上深刻理解随机过程的基本思想，理解随机过程是概率论的动态部分的含义；掌握随机过程的分类方法及常见的随机过程（如Poisson 过程、更新过程、Markov链和鞅等）的各种性质、推广形式及简单应用。 本课程的成绩考核形式：末考成绩（闭卷考试）（70%）＋平时成绩（平时测验、作业、课堂提问、课堂讨论等）（30％)。成绩评定采用百分制，60分为及格。 三、课程教学内容 第一章 准备知识 1．教学基本要求 复习随机变量、分布函数、分布律和概率密度函数的概念，条件分布，函数的分布求法，常见的离散型与连续型分布，及多维随机变量的知识；复习随机变量的数学期望、方差、矩、协方差与协方差阵、相关系数的定义及计算；掌握条件数学期望的求法，全期望

随机过程在经济学中的应用

随机过程在经济学的应用 一、随机过程概述 随机过程是由一组无限多个随机变量组成的序列，是用来描绘一连串随机事件动态关系的序列。随机过程论语其他数学分支如位势论、微分方程、力学及复变函数论邓有密切的关系，是在自然科学、工程科学及社会科学各领域研究随机现象的重要工具。随机过程论目前已得到广泛的应用，在诸多如天气预报、统计物理、天体物理、运筹决策、经济数学、安全科学、人口理论、可靠性及计算机科学等很多领域都要经常用到随机过程的理论来建立数学模型。随机过程的概念很广泛，其研究几乎包括概率论的全部。 在客观世界中有些随机现象表示的是事物随机变化的过程，不能用随机变量和速记矢量来描绘，需要用一族无限多个随见变量来描述，这就是随机过程。 定义：设（Ω，F，P）是一个概率空间，T是一个实数集。{X（t，w），t∈T，w∈Ω}即为定义在T和Ω上的二元函数，若此函数对任意固定的t∈T，X （w，t）是任意（Ω，F，P）上的随机变量，则称{X（t，w），t∈T，w∈Ω}是随机过程（Stochastic Process）。 在研究随机过程是人们透过表面的偶然性描述出必然的内在规律并以概率的形式来描述这些规律，从偶然中悟出必然正是这一学科的魅力所在。 二、随机过程发展简史 概率论的起源与博弈问题有关，而随机过程这一学科最早是起源于对物理学的研究，如布吉斯、玻尔兹曼、庞加莱等人对统计力学的研究，及后来爱因斯坦、维纳、莱维等人对布朗运动的开创性工作。气体分子运动是，由于相互碰撞等原因而迅速改变自己的位置与速度，其运动的过程是随机的。人们希望知道，运动的轨道有什么性质（能否连续、可微的等等）；分子从一点出发能达到某区域的概率有多大；如果有两类分子同时运动，由于扩散而互相渗透，那么扩散是如何进行的，要经过多久其混合才会变得均匀......这些实际问题的数学抽象为随机过程论提供了研究的课题。 1900年，Bachelier首次将布朗运动用与股票价格的描述。随后公式化概率论首先使得随机过程的研究获得了新的起点，他是作为随机变化的偶然量的数学模型，是线代概率论研究的主要论题。 1907年前后，A.A.马尔可夫研究过一列有特定相依性的随机变量，后人称之为马尔可夫链。这是一种无后效性随机过程，即在当前状态下，过程未来状态与其过去状态无关。 1923年，N.维纳给出了布朗运动的数学定义（后人也称数学上的布朗运动为维纳过程），这种过程至今仍是重要的研究对象。虽然如此，随机过程一般理论的研究通常认为开始于30年代，维纳还在时间序列和滤波理论的建立做出了贡献。

《随机过程》课程教学大纲

《随机过程》课程教学大纲 课程编号：100005 英文名称：Stochastic Processes 一、课程说明 1. 课程类别 理工科学位基础课程 2. 适应专业及课程性质 理、工、经、管类各专业，必修 文、法类各专业，选修 3.课程目的 随机过程是概率论的一个重要分支，研究的是依赖于一个变动参量的一族随机变量的性质和规律性，是理工科研究生的一门重要基础课。本课程的教学目的是： （1）使学生掌握随机过程的基本概念、基本理论和基本方法； （2）初步具有运用随机过程知识分析和解决实际问题的能力。 4. 学分与学时 学分2，学时40 5. 建议先修课程 微积分、线性代数、概率论与数理统计。 6. 推荐教材或参考书目 推荐教材： （1）《随机过程及其应用》（第三版）. 刘次华主编. 高等教育出版社. 2004年 （2）《随机过程及其应用》（第一版）. 陆大铨主编. 清华大学出版社. 1986年 参考书目： （1）《概率论与数理统计》（第三版）. 盛骤，谢式千，潘承毅主编. 高等教育出版社. 2004年（2）《随机过程论》（第一版）. 胡迪鹤著. 武汉大学出版社. 2000年 7. 教学方法与手段 （1）教学方法：启发式 （2）教学手段：多媒体演示、演讲与板书相结合 8. 考核及成绩评定 考核方式：考试 成绩评定：考试课（1）平时成绩占20%，形式有：考勤、课堂测验、作业完成情况 （2）考试成绩占80%，形式有：笔试（闭卷） 9. 课外自学要求 （1）课前预习； （2）课后复习； （3）完成教材上每章后的适量习题。 二、课程教学基本内容及要求 第一章预备知识 基本内容： （1）概率空间、随机变量及其分布； （2）随机变量的数字特征、特征函数和母函数； （3）n维正态分布； （4）条件期望。

教学大纲_随机过程

《随机过程》教学大纲 课程编号：121213A 课程类型：□通识教育必修课□通识教育选修课 □√专业必修课□专业选修课 □学科基础课 总学时：48 讲课学时：32实验（上机）学时：16 学分：3 适用对象：数学与应用数学（金融数学）、统计学 先修课程：数学分析、高等代数、概率论 毕业要求： 1.掌握数学、统计及计算机的基本理论和方法； 2.建立数学、统计等模型解决金融实际问题； 3.具备国际视野，并且能够与同行及社会公众进行有效沟通和交流。 一、教学目标 随机过程是对随时间和空间变化的随机现象进行建模和分析的学科，在物理、生物、工程、心理学、计算机科学、经济和管理等方面都有广泛的应用。本课程介绍随机过程的基本理论和几类重要随机过程模型与应用背景，通过本课程的学习，使学生获得随机过程的基本知识和基本运算技能，同时使学生在运用数学方法分析和解决问题的能力得到进一步的培养和训练，为学习有关专业课程提供必要的数学基础。 二、教学内容及其与毕业要求的对应关系 （一）教学内容 随机过程的基本概念（有限维分布、数字特征，复值随机过程，特征函数），

几种重要随机过程（独立过程，独立增量过程，伯努利过程，正态过程，维纳过程），泊松过程（定义（计数过程）与例子，泊松过程的叠加与分解，时间间隔与等待时间的分布，复合泊松过程，非齐次泊松过程），更新过程介绍，马尔科夫过程（离散时间的马尔科夫过程定义及转移概率，C-K方程，马氏链的分布，遍历性与平稳分布，状态分类与分解，马氏链的应用，连续时间的马尔可夫链的定义与基本性质，鞅论初步），平稳随机过程（平稳过程及相关函数，随机微积分，各态历经，谱密度）。 （二）教学方法和手段 教师课上讲授理论知识内容及相关基本例题，学生课下练习及教师答疑、辅导相结合。 （三）考核方式 实行过程考核和期末考试相结合的方式，期末闭卷考试为主（70%），平时过程考核为辅（30%）。学期期末闭卷考试一次，采用统一的考题和统一的评分标准。考试分数为百分制。期末总成绩为平时成绩的30%加上期末成绩的70%。 （四）学习要求 随机过程这门课要求学生必须具有微积分，概率论与数理统计的知识，课上听讲，并独立完成课后作业。 三、各教学环节学时分配 教学课时分配

应用随机过程教学大纲

遵义师范学院课程教学大纲 应用随机过程教学大纲 （试行） 课程编号：280020 适用专业：统计学 学时数：48 学分数： 2.5 执笔人：黄建文审核人： 系别：数学教研室：统计学教研室 编印日期：二〇一五年七月

课程名称：应用随机过程 课程编码： 学分：2.5 总学时：48 课堂教学学时：32 实践学时：16 适用专业：统计学 先修课程：高等数学、线性代数、概率论、测度论或者实变函数（自学） 一、课程的性质与目标： （一）该课程的性质 《应用随机过程》课程是普通高等学校统计学专业必修课程。它是在学生掌握了数学分析、线性代数和概率论等一定的数学专业理论知识的基础上开设的，要求学生掌握随机过程的基本理论和及其研究方法。 （二）该课程的教学目标 （1）从生活中的需要出发，结合研究随机现象客观规律性的特点，并根据随机过程的内容和知识结构，着重从随机过程的基本理论和基本方法出发，就实际应用中的典型随机过程做应用研究，并在理论、观点和方法上予以总结、提高及应用。 （2）对各个章节的教学，随机过程侧重于基本思想和基本方法的探讨，介绍随机过程的基本概念，建立以分布函数等研究相关问题概率的实际应用思路，寻求解决统计和随机过程问题的方法。着重基本思想及方法的培养和应用。 （3）结合学生实际，利用生活中的实例进行分析，培养学生的辩证唯物主义观点。 二、教学进程安排 课外学习时数原则上按课堂教学时数1:1安排。

三、教学内容与要求 第一章 预备知识 【教学目标】 通过本章的学习，复习并扩展概率论课程的内容，为学习随机过程打下良好的基础，提供必备的数学工具。 【教学内容和要求】 随机过程以概率论为其主要的基础知识，为此，本章主要对概率空间；随机变量与分布函数；随机变量的数字特征、矩母函数与特征函数；独立性和条件期望；随机变量序列的收敛性与极限定理等常用到的概率论基本知识作简要的回顾和扩展。其中概率空间，矩母函数和特征函数的定义及性质、条件期望、收敛性、极限定理等既是本章的重点，又是本章的难点。 【课外阅读资料】 《应用随机过程》，林元烈编，清华大学出版社。 【作业】 1.已知连续型随机变量X 的分布函数为0,0()arcsin ,011,1x F x A x x x ≤? ? =<

通信原理教程+樊昌信+习题答案第二章

第二章习题 习题 设随机过程X (t )可以表示成： ()2cos(2), X t t t πθ=+-∞<<∞ 式中，θ是一个离散随机变量，它具有如下概率分布：P (θ=0)=，P (θ=π/2)= 试求E [X (t )]和X R (0,1)。 解：E [X (t )]=P (θ=0)2cos(2)t π+P (θ=/2)2cos(2)=cos(2)sin 22 t t t π πππ+ - cos t ω 习题 设一个随机过程X (t )可以表示成： ()2cos(2), X t t t πθ=+-∞<<∞ 判断它是功率信号还是能量信号并求出其功率谱密度或能量谱密度。 解：为功率信号。 []/2 /2/2 /21()lim ()()1lim 2cos(2)*2cos 2()T X T T T T T R X t X t dt T t t dt T ττπθπτθ→∞ -→∞-=+=+++? ? 222cos(2)j t j t e e πππτ-==+ 2222()()()(1)(1) j f j t j t j f X P f R e d e e e d f f πτπππττττδδ∞-∞---∞-∞==+=-++?? 习题 设有一信号可表示为： 4exp() ,t 0 (){0, t<0 t X t -≥= 试问它是功率信号还是能量信号并求出其功率谱密度或能量谱密度。 解：它是能量信号。X (t )的傅立叶变换为： (1)004 ()()441j t t j t j t X x t e dt e e dt e dt j ωωωωω +∞-+∞--+∞-+-∞====+??? 则能量谱密度 G(f)=2 ()X f =2 22 416114j f ωπ=++ 习题 X (t )=12cos 2sin 2x t x t ππ-，它是一个随机过程，其中1x 和2x 是相互统计独立的高斯随机变量，数学期望均为0，方差均为2σ。试求： (1)E [X (t )]，E [2()X t ]；(2)X (t ) 的概率分布密度；(3)12(,)X R t t 解：(1)()[][]()[]02sin 2cos 2sin 2cos 2121=?-?=-=x E t x E t t x t x E t X E ππππ ()X P f 因为21x x 和相互独立，所以[][][]2121x E x E x x E ?=。