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北师大版九年级上册数学第四章图形的相似专题练习含答案

图形的相似专题练习

1．已知△ABC ∽△DEF ，AB ＝1，BC ＝3，EF ＝5，则△ABC 与△DEF 的面积比是( )

A ．1∶9

B ．1∶25

C ．9∶25

D ．3∶5

2．如图，四边形ABCD 和A ′B ′C ′D ′是以点O 为位似中心的位似图形，若OB ∶OB ′＝2∶3，则四边形ABCD 与四边形A ′B ′C ′D ′的面积比为( )

图2

A ．4∶9

B ．2∶5

C ．2∶3

D ．2∶ 3

3．如果3A ＝2B (AB ≠0)，那么下列比例式中正确的是( ) A ．a b ＝32 B ．b a ＝23 C ．a 2＝b 3 D ．a 3＝b 2

4．如图，在△ABC 中，点D ，E 分别为边AB ，AC 上的点，且DE ∥B C ．若AD ＝5，BD ＝10，AE ＝3，则CE 的长为( )

图4

A ．3

B ．6

C ．9

D ．12

5．在下面的图形中，相似的一组是( )

,A ) ,B )

,C ) ,D )

图5

6．如图所示，小正方形的边长均为1，则下列选项中阴影部分的三角形与△ABC 相似的是()

,A) ,B)

,C) ,D)

图6

7．为测量某河的宽度，小军在河对岸选定一个目标点A，再在他所在的这一侧选点B，C，D，使得AB⊥BC，CD⊥BC，然后找出AD与BC的交点E，如图所示．若测得BE＝90 m，EC＝45 m，CD＝60 m，则这条河的宽AB等于()

图7

A．120 m B．67.5 m

C．40 m D．30 m

8．如图，在△ABC中，∠A＝70°，AB＝4，AC＝6，将△ABC沿图中的虚线剪开，则剪下的阴影三角形与原三角形不相似的是()

,A) ,B)

,C) ,D)

图8

9．如图，在△ABC中，D，E两点分别在AB，AC边上，DE∥B C．如果AD

DB＝3 2，

AC＝10，那么EC＝________．

图9

10．如图是一位同学设计的用手电筒来测量某古城墙高度的示意图．点P处放一水平的平面镜，光线从点A出发经平面镜反射后刚好到古城墙CD的顶端C处．已知AB⊥BD，CD⊥BD，测得AB＝2米，BP＝3米，PD＝15米，那么该古城墙的高度CD 是_________米．

图10

11．如图，比例规是一种画图工具，它由长度相等的两脚AD和BC交叉构成，利用它可以把线段按一定的比例伸长或缩短．如果把比例规的两脚合上，使螺丝钉固定在刻度3的地方(即同时使OA＝3OD，OB＝3OC)，然后张开两脚，使A，B两个尖端分别在线段l的两个端点上，若CD＝3.2 cm，则AB的长为_________ cm.

图11

12．如图，已知矩形纸片ABCD中，AB＝1，剪去正方形ABEF，得到的矩形ECDF 与矩形ABCD相似，则AD的长为__________．

图12

13．如图，在平面直角坐标系xOy中，以原点为位似中心，线段AB与线段A′B′是位似图形，若A(－1，2)，B(－1，0)，A′(－2，4)，则B′的坐标为___________．

图13

14．如图，在平面直角坐标系中，△OAB的顶点坐标分别为O(0，0)，A(2，1)，B(1，－2)．

(1)以原点O为位似中心，在y轴的右侧画出△OAB的一个位似△OA1B1，使它与△OAB的位似比为2∶1，并分别写出点A，B的对应点A1，B1的坐标；

(2)画出将△OAB向左平移2个单位，再向上平移1个单位后得△O2A2B2，并写出点A，B的对应点A2，B2的坐标；

(3)△OA1B1和△O2A2B2是位似图形吗？若是，请在图中标出位似中心M，并写出点M的坐标．

图14

15．如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，AB⊥BC，点E在AB上，∠DEC＝90°.

(1)求证：△ADE∽△BEC；

(2)若AD＝1，BC＝3，AE＝2，求AB的长．

图15

16．如图，在正方形ABCD中，点E在边BC上(点E不与点B重合)，连接AE，过点B作BF⊥AE于点F，交CD于点G.

(1)求证：△ABF∽△BGC；

(2)若AB＝2，G是CD的中点，求AF的长．

图16

17．如图，BD，CE分别是△ABC的两边上的高，过D作DG⊥BC于G，分别交CE及BA的延长线于F，H，求证：

(1)DG2＝BG·CG；

(2)BG·CG＝GF·GH.

图17

18．如图，一圆柱形油桶，高1.5 m，用一根2 m长的木棒从桶盖小口斜插桶内，至另一端的B处，抽出木棒后，量得上面没浸油的部分为1.2 m，求桶内油面高度．

图18

19．如图，操场上有一根旗杆AH，为测量它的高度，在B和D处各立一根高1.5米的标杆BC，DE，两杆相距30米．测得视线AC与地面的交点为F，视线AE与地面的交点为G，并且H，B，F，D，G都在同一直线上，测得BF为3米，DG为5米，求旗杆AH的高度．

图19

20．如图1，把两块全等的含45°角的直角三角板ABC和DEF叠放在一起，使三角板DEF的锐角顶点D与三角板ABC的斜边中点O重合．把三角板ABC固定不动，让三角板DEF绕点D旋转，两边分别与线段AB，BC相交于点P，Q，易说明△APD∽△CDQ.根据以上内容，回答下列问题：

(1)如图2，将含30°角的三角板DEF(其中∠EDF＝30°)的锐角顶点D与等腰△ABC(其中∠ABC＝120°)的底边中点O重合，两边DF，DE分别与边AB，BC相交于点P，Q.写出图中的相似三角形__△APD∽△CDQ__(直接填在横线上)；

(2)其他条件不变，将三角板DEF旋转至两边DF，DE分别与边AB的延长线、边BC相交于点P，Q.上述结论还成立吗？请你在图3上补全图形，并说明理由；

(3)在(2)的条件下，连接PQ，△APD与△DPQ是否相似？请说明理由；

(4)根据(1)(2)的解答过程，你能否将两三角板改为更一般的三角形，使得(1)中的结论仍然成立？若能，请说明两个三角形应满足的条件；若不能，请简要说明理由．

,图1),图2),图3)

图20

参考答案

【过关训练】

1．C2．A3．C4．B5．C6．A7．A8．D

9．__4__

10．__10__

11．_9.6__

12．_1＋5

2__

13．(－2，0)_

14．解：(1)如答图，△OA 1B 1为所作，点A 1，B 1的坐标分别为(4，2)，(2，－4)；

(2)如答图，△O 2A 2B 2为所作，点A 2，B 2的坐标分别为(0，2)，(－1，－1)； (3)△OA 1B 1和△O 2A 2B 2是位似图形，如答图，点M 为所，位似中心 M 的坐标为(－4，2)．

15．[解：(1)证明：∵AD ∥BC ，AB ⊥BC ， ∴AB ⊥AD ，∠A ＝∠B ＝90°， ∴∠ADE ＋∠AED ＝90°. ∵∠DEC ＝90°， ∴∠AED ＋∠BEC ＝90°， ∴∠ADE ＝∠BEC ， ∴△ADE ∽△BE C ． (2)∵△ADE ∽△BEC ， ∴BE AD ＝BC AE ，即BE 1＝32，

∴BE ＝3

2，

∴AB ＝AE ＋BE ＝7

16．解：(1)证明：∵四边形ABCD 是正方形， ∴∠ABE ＝∠BCG ＝90°.

∵BF ⊥AE ，∴∠BAE ＋∠ABF ＝90°，∠CBG ＋∠ABF ＝90°， ∴∠BAE ＝∠CBG ， ∴△ABF ∽△GB C ． (2)∵△ABF ∽△BG C ． ∴AB BG ＝AF BC .

∵AB ＝2，G 是CD 的中点，四边形ABCD 是正方形， ∴BC ＝2，CG ＝1，

∴BG＝BC2＋CG2＝5，

∴2

＝

2，

解得AF＝45 5.

17．证明：(1)∵BD⊥AC，DG⊥BC，

∴∠BDC＝∠DGC＝90°，

∴∠DBC＋∠DCG＝∠GDC＋∠DCG，

∴∠GDC＝∠DBC，

∴△BDG∽△DCG，

∴BG∶DG＝DG∶CG，

即DG2＝BG·CG.

(2)同(1)中的方法，同理可证△BGH∽△FGC，∴BG∶GF＝GH∶CG，

∴BG·CG＝GF·GH.

18．解：∵DE∥BC，∴△ADE∽△ABC，

∴AE

AC＝AD

AB，即

1.5＝

1.2

2，

解得AE＝0.9 m，

∴EC＝1.5－0.9＝0.6(m)，即油面高0.6 m. 19．解：设AH＝x，BH＝y，由题意知，

△AHF∽△CBF，△AHG∽△EDG，

∴BF

HF＝CB

AH，DG

HG＝

AH，

∴3x＝1.5×(y＋3)，5x＝1.5×(y＋30＋5)，

解得x＝24.

则旗杆AH的高度为24 m.

20．__△APD∽△CDQ__

解：(2)成立，如答图．理由如下：

∵AB＝BC，∴∠BAC＝∠BC A．

∵∠ABC＝120°，∴∠BAC＝∠BCA＝30°，∴∠ADP＋∠APD＝180°－30°＝150°.

∵∠EDF＝30°，∴∠ADP＋∠CDQ＝150°，∴∠APD＝∠CDQ，∴△APD∽△CDQ. (3)△APD∽△DPQ.

理由如下：∵△APD∽△CDQ，∴AP

CD＝

DQ.

∵点D为AC的中点，∴CD＝AD，

∴AP

AD＝DP

DQ，即AP

DP＝

DQ.

又∵∠P AD＝∠PDQ＝30°，

∴△APD∽△DPQ.

(4)△DEF满足∠EDF＝α，△ABC满足顶角为(180°－2α)的等腰三角形即可．理由：∵∠ABC＝180°－2α，

∴∠A＝∠C＝α.

∵∠ADP＋∠APD＝180°－α，∠ADP＋∠QDC＝180°－α，

∴∠APD＝∠CDQ.

又∵∠A＝∠C，

∴△APD∽△CDQ.

北师大版九年级数学上册知识点总结

北师大版初中数学知识点汇总九年级(上册) 班级姓名第一章证明(二) 1、三角形全等的性质及判定全等三角形的对应边相等，对应角也相等判定：SSS、SAS、ASA、AAS、 2、等腰三角形的判定、性质及推论性质：等腰三角形的两个底角相等（等边对等角）判定：有两个角相等的三角形是等腰三角形（等角对等边）推论：等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合（即“三线合一”） 3、等边三角形的性质及判定定理性质定理：等边三角形的三个角都相等，并且每个角都等于60度；等边三角形的三条边都满足“三线合一”的性质；等边三角形是轴对称图形，有3条对称轴。判定定理：有一个角是60度的等腰三角形是等边三角形。或者三个角都相等的三角形是等边三角形。含30度的直角三角形的边的性质定理：在直角三角形中，如果一个锐角等于30度，那么它所对的直角边等于斜边的一半。 4、直角三角形（1）勾股定理及其逆定理定理：直角三角形的两条直角边的平方和等于斜边的平方。逆定理：如果三角形两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形。（2）命题包括已知和结论两部分；逆命题是将倒是的已知和结论交换；正确的逆命题就是逆定理。（3）直角三角形全等的判定定理定理：斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等（HL） 5、线段的垂直平分线（1）线段垂直平分线的性质及判定性质：线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等。判定：到一条线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上。（2）三角形三边的垂直平分线的性质三角形三条边的垂直平分线相交于一点，并且这一点到三个顶点的距离相等。（3）如何用尺规作图法作线段的垂直平分线分别以线段的两个端点A、B为圆心，以大于AB的一半长为半径作弧，两弧交于点M、N；作直线MN，则直线MN就是线段AB的垂直平分线。 6、角平分线（1）角平分线的性质及判定定理性质：角平分线上的点到这个角的两边的距离相等；判定：在一个角的内部，且到角的两边的距离相等的点，在这个角的平分线上。

北师大版数学九年级上册知识点归纳

北师大版《数学》（九年级上册）知识点归纳第一章证明（二）一、公理（1）三边对应相等的两个三角形全等（可简写成“边边边”或“SSS ”）。（2）两边及其夹角对应相等的两个三角形全等（可简写成“边角边”或“SAS ”）。（3）两角及其夹边对应相等的两个三角形全等（可简写成“角边角”或“ASA ”）。（4）全等三角形的对应边相等、对应角相等。推论：两角及其中一角的对边对应相等的两个三角形全等（可简写成“角角边”或“AAS ”）。二、等腰三角形 1、等腰三角形的性质（1）等腰三角形的两个底角相等（简称：等边对等角）（2）等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合（三线合一）。等腰三角形的其他性质： ①等腰直角三角形的两个底角相等且等于45° ②等腰三角形的底角只能为锐角，不能为钝角（或直角），但顶角可为钝角（或直角）。 ③等腰三角形的三边关系：设腰长为a ，底边长为b ，则2 b