=—[cos (二 )一cos( )] = -[-cos
—(-cos )] = 0。
3
3 3 3
3
【解法二】应用定积分换元法
, n n
于是有 二sin(x )dx
3
23- - -[cos —— cos ——]
2 3 3n
n:
=-[-cos
- (- cos )] = 0。
3
3
【解法二】应用定积分换元法
则dx = 1 du ，当x 从-2单调变化到1时,
5
16,于是有
【解法一】应用牛顿-莱布尼兹公式
1计算下列定积分:
I 、 ■■兀 n ⑴！
:...s in (x )dx 3 3 【解法一】应用牛顿 -莱布尼兹公式
71
二sin(x c )dx _ :sin(x 3)d(x 3)
=_cos(x )
3
兀
JI
3
令x
u ，则d di
3
，当x 从一单调变化到 3
二时，u 从
3
4n
单调变化到 ，
dx 1 ⑵"11 5犷 【解法一】应用牛顿 -莱布尼兹公式 1
dx 2(11 5x)3
5 ；
(11 5x)'d(11 5x)二 1 1
(11 5x)
-2
1 1
10[(11 5 1)2
(11一5 2)' - 10 (162
1)
1
[ (1)
51 512 °
⑶ 2 sin :
1 dx
2(11 5x)3
5
cos 3 d ；
16
u "du
5 -2
1
u" 16 1
10(
16
2_1)
51 512 °
o
2
sin Z
-，
o 2
cos ：
3
dcos
JI
2 0
1 4心
4
一 [cos — cos 0]
4
2
JI JI
二 23 sinudu 二-cosu 令 11 5x = u ，
u 从1单调变化到
【解法二】应用定积分换元法
-si n d = du ,当「从0单调变化到二时，u 从1单调变化
到-1，于是有
1
1 [0 -1] 4
4
【解法二】应用定积分换元法 令cos 二u ，则-sin d 二du ，当「从0单调变化到 一时，u 从1单调变化
2
到0,于是有 71 3
o 3
1 3
1 4 1 1
2sin
COS
d —1udu = o udu =4u 0=
4。
JI Q
⑷.0 （1 -Sin’Rdd ； 【解】被积式为
（
1 - sin 3 Rd 二，不属于三角函数的基本可积形式，须进行变换。由于
1是
独立的，易于分离出去独立积分，于是问题成为对 sin 3vdv 的积分，这是正、余弦的奇数 次幕的积分，其一般方法是应用第一换元法，先分出一次式以便作凑微分： 2 2
sin vdv - -dcosv ，余下的 sin 二-1 - cos 二，这样得到的 「（1「co$ v ）d cos ：便为变
量代换做好了准备。具体的变换方式有如下两种: 【解法一】应用牛顿-莱布尼兹公式 兀 3 o (1 -sin 3 Rd v = 二 ■: 2 ■ .. . ° 1d ：
- sin 2 ^sin vd v - v 0’ 亠 i (1 _ cos 2 v )d cos =JI JI
=JI
1 3 3
(cos 二-cosO) - 3 (cos 二-cos 0)
=JI
1
4 — 3(f3。
o (1 —sin 3
r )dr
ji
1d )-
sin 2
二 sin rdr --
JC
亠 I (1 - cos 2 r )d cos-
=JI
=JI
-4 2
1 3 亠 i (1 -u )du 二二(u - u )
3
1 4
(-1-1) - (-1-1)。
3 3
-1
1
令 cos 二 u ，贝U
JI
2
⑸ 2 cos udu ；
6
【解法二】应用定积分换元法
【解】被积函数中含根号，且根指数及根号内多项式的次数都是 中的三角变换法:
变化到 2时，u 从0单调变化到…，且 2-x 2
2
dx 二 2 cosudu ，使得
为使根号内的变量在后的平方差转换成完全平方，应令
当x 从o 单调
【解】 这是正、余弦的偶次幕，其一般积分方法为， 利用三角函数的半角公式：
1 cos u ------- ，将平方部份降次成为一次的余弦三角函数:
2 2
U cos
2 可以换元成为基本可积形式:
cos 2 u 」cos2u ，使之
2
【解法一】应用牛顿-莱布尼兹公式
31 2
cos udu = i 2
6 6
'T
cos2u du 」(.2du 1
2 2 6 2 n
2
cos2ud2u)
6
=
2(U 二 1 2 I ■: 2
2
1 一二 二
十一sin2u 2)=_[(—_—)+_(sin
JI
懐一sin —)]
3
于是有
1 下
令2u = x ，则du = dx ，当u 从…单调变化到
2 6
2时,x
从3单调变化到二，
2
cos 2
udu 「2
1 cos2u
6
2
cos2ud2u)
=
2(U
^cosxdx)=二[(二一二)+ 二 sinx 才]
-x 2dx ；
1 二 2[3 J(sin 兀 2
兀
1 n
-sin
3
)]
=2(
3
43）。
2,应该应用第二类换元法
二 2-2s in 2u
二 2cosu ，
⑹
1
x = sinu ，当x 从^单调
V 2
化到a 时，u 从0单调变化到 一，且x 2 a 2 -x 2 ~a 2
2
dx 二 acosudu ，使得
4
__
兀 — x 2dx =。彳 2 cosu 2 cosudu =2 21 cos2u du
临 2
JI JI =02du 02cos2udu 二
u 1 二
+ 列02cos2ud2u
f 1sin2u 2 兀 1 （sin 二-0）
2 2 【解】被积函数中含根号，且根指数及根号内多项式的次数都是
2,应该应用第二类换元法
中的三角变换法:
变化到 1时，u 从二单调变化到二，且1_2x2
2
x 2
使得 1
1 -x .1
2 x
dx 1 -s in 2 u 2 sin u
cosu , ,
——2 ， dx 二
cosudu ，
sin u
n
=\2
co ^u
cosudu =后 cot 2 udu =疑（csc u -1）du 4 sin u
= （-cotu 「u ） JE JE JE
=-［（cot -cot ） （ 一 ）］ = 1
一一 2 4-
2
、a 2 -x 2dx （ a 0）； 【解】被积函数中含根号，且根指数及根号内多项式的次数都是 2，应该应用第二类换元法
中的三角变换法:
为使根号内的变量在后的平方差转换成完全平方,
应令 x=asi nu ，当x 从0单调变
JI
2 2 . 2 0 '
x 2 a 2 -x 2dx 2a_sin_u a cosu a cos
4
udu a
4
Eudu
为使根号内的变量在后的平方差转换成完全平方，应令
snu a 2
2 2
-sin u =sn u accs u ，
—『21+cos4u d u=^（u n4u）
40 2 8 4
2
2
x-x 2
dx =
cosu cosudu
1 cos2u
二 2 du （u
2
；sin2u ）
3
dx
⑼
■1
x 2 .1 x 2
【解】被积函数中含根号，且根指数及根号内多项式的次数都是 2,应该应用第二类换元法
中的三角变换法：
为使根号内的变量在后的平方和转换成完全平方，应令
x =tanu ，当x 从1单调变
TT
TT
化到 3时，u 从…单调变化到
，且
4 3
2 2
dx sec udu sec udu cosu ’ 1
,.
2 2 du 2 ds in u x 2 1 x 2
tan 2 u 1 tan 2u tan useoj sin u sin u
匹1
-——2 dsi nu 4 sin u
这时，再令si nu = t ，当u 从一单调变化
到
4
丄 1 — 1
又得 4
3
sin 2u
dsinu
Y t
2dt
（10）2x -x 2dx ；
【解】被积函数中含根号，且根指数及根号内多项式的次数都是 2,应该应用第二类换元法 中的
三角变换法。
由于根号内的二次多项式并非为三角变换中的平方和或差的标准形式， 需要先将其转 化为标
准形:
2x -x 2 = 1 -（1 -2x x 2） = 1 -（x -1）2 ,
现在，根号内的二次多项式成为了变量在后的平方差的形式了，因此可令
X-1二si nu ，当x 从0单调变化到1时，X-1从-1单调变化到0,从而u 对应从?一单调
2
变化到0,
而且 2x-x 2 二 1-sin 2 u = cos u = cosu , dx=cosudu ，于是
1
4
二 ..a o
16
使得
3
dx
1
x 2
1 x 2
二时，t 从 2单调变化到 3，
3 2 2
【解】被积函数中含根号，可见根指数与根号内多项式的次数不相等， 应该应用第二类换元
法中的直接变换法：
【解法一】令 X 二u ，当x 从1单调变化到4时，u 从1单调变化到2，且由此得X 二U 2，
dx =2udu ，
= 2[(2 -1)-(1 n3 -In2)] =2(1-|n / =2(1 I n 3)。
【解法二】为便于积分，可使变换后的分母成为简单变量，即令
1 X 二u ，当x 从1单调
2
1 1 变化到4时，u 从2单调变化到3，且由此得x=(u-1)2，dx=2(u-1)du ,
1+J x u
于是
= 2[(3 -2) - (In3 - In 2)] =2(1 -In 3)。
2
dx ；
【解】被积函数中含根号，可见根指数与根号内多项式的次数不相等， 应该应用第二类换元
法中的直接变换法：
___ 3 1 【解法一】令 1-x=u ，当x 从3单调变化到 1时，u 从1单调变化到 0，且由此得
4
2
I
dx
—2u - 1
i —
1 二 1
=2{[。—(二叫⑸心刑切}
Ji 4
于是
4
dx _ 2 2udu 1
1 x 1 1 u
2 -21(
1
)du =2(u —In 1 +u )
4 dx 1
1 —X
2(u -1)
1
du =
22
(1
-u )du
=2(u Tn u ) 3
-1
不定积分练习题一、选择题、填空题： 1、(1 sin2X )dx 2 2、若e x是f(x)的原函数，贝x2f(l nx)dx ___________ 3、sin(ln x)dx _______ 2 4、已知e x是f (x)的一个原函数，贝V f (tanx)sec2xdx ___________ : 5、在积分曲线族dx 中，过(1,1点的积分曲线是y _______________ 6、F'(x) f(x)，则f '(ax b)dx ____________ ; 、1 7、设f (x)dx 2 c,则 x 8、设xf (x)dx arcs in x c,贝V ---------- dx f(x) 9、f '(lnx) 1 x,则f (x) _______ ; 10、若f (x)在(a,b)内连续，则在(a,b)内f (x) _________ (A)必有导函数(B)必有原函数(C)必有界(D)必有极限 11、若xf (x)dx xsin x sin xdx,贝Vf (x) _____ 12、若F'(x) f(x), '(x) f(x),贝V f (x)dx ______ (A)F(x) (B) (x) (C) (x) c (D)F(x) (x) c 13 、 下列各式中正确的是：(A) d[ f (x)dx] f (x) (B)引 dx f (x)dx] f (x)dx (C) df(x) f(x) (D) df(x) f (x) c 14 、设f (x) e x,则： f(lnx) dx x 1 c x (A) 1 c x (B) lnx c (C) (D) ln x c ◎dx
§5.3基本积分公式 重点与难点提示 基本积分公式均直接由基本导数公式表得到，因此，导数运算的基础好坏直接影响积分的能力，应熟记一些常用的积分公式. 因为求不定积分是求导数的逆运算,所以由基本导数公式对应可以得到基本积分公式. (1) （ 5.6 ） (2) ( 5.7 ) (3) ( 5.8 ) (4) ( 5.9 ) (5) ( 5.10 ) (6) ( 5.11 ) (7) ( 5.12 ) (8) ( 5.13 ) (9) ( 5.14 )
(10) ( 5.15 ) (11) ( 5.16 ) 对这些公式应正确熟记.可根据它们的特点分类来记. 公式（1）为常量函数0的积分，等于积分常数. 公式（2）、（3）为幂函数的积分，应分为与. 当时，， 积分后的函数仍是幂函数，而且幂次升高一次. 特别当时，有. 当时， 公式（4）、（5）为指数函数的积分，积分后仍是指数函数，因为 ，故（，）式右边的是在分母，不在分子，应记清. 当时，有.
是一个较特殊的函数，其导数与积分均不变. 应注意区分幂函数与指数函数的形式，幂函数是底为变量，幂为常数；指数函数是底为常数，幂为变量.要加以区别，不要混淆.它们的不定积分所采用的公式不同. 公式（6）、（7）、（8）、（9）为关于三角函数的积分，通过后面的学习还会增加其他三角函数公式. 公式（10）是一个关于无理函数的积分 公式（11）是一个关于有理函数的积分 下面结合恒等变化及不定积分线性运算性质，举例说明如何利用基本积分公式求不定积分. 例1 求不定积分. 分析：该不定积分应利用幂函数的积分公式. 解： （为任意常数）
1．计算下列定积分： ⑴ 3sin()3x dx π ππ +?； 【解法一】应用牛顿-莱布尼兹公式 3sin()3x dx π ππ +?3sin()()33x d x π πππ=++?3 cos() 3x πππ =-+ [cos()cos()]333π π π π=-+-+[cos (cos )]033 π π =----=。 【解法二】应用定积分换元法 令3 x u π + =，则dx du =，当x 从 3π单调变化到π时，u 从23π单调变化到43 π ，于是有 3sin()3x dx π ππ +?4323 sin udu ππ=? 4323 cos u π π=-42[cos cos ]33 ππ=-- [cos (cos )]033 π π =----=。 ⑵ 1 32(115)dx x -+?； 【解法一】应用牛顿-莱布尼兹公式 1 32(115)dx x -+?13 2 1(115)(115)5x d x --=++?212 11(115)52 x --=?+- 22111 []10(1151)(1152)=- -+?-?211(1)1016 =--51512=。 【解法二】应用定积分换元法 令115x u +=，则1 5 dx du =，当x 从2-单调变化到1时，u 从1单调变化到16，于是有 1 32(115)dx x -+?1631 15u du -=?2 161 1152 u -=?-211 (1)1016 =- -51512=。 ⑶ 32 sin cos d π ???? ； 【解法一】应用牛顿-莱布尼兹公式 3 20sin cos d π????3 2 cos cos d π??=-?420 1cos 4 π?=-441[cos cos 0]42 π =--
不定积分练习题 2 11sin )_________ 2 x d x -=?一、选择题、填空题：、（ 2 2()(ln )_______x e f x x f x dx =?、若是的原函数，则： 3sin (ln )______x d x =?、 2 2 2 4()(tan )sec _________; 5(1,1)________; 6'()(),'()_________;1() 7(),_________;1 8()arcsin ,______() x x x e f x f x xd x d x y x x F x f x f a x b d x f e f x d x c d x x e xf x d x x c d x f x --===+== +==+=?? ??? ? ? 、已知是的一个原函数，则、在积分曲线族 中，过点的积分曲线是、则、设则、设 则____; 9'(ln )1,()________; 10()(,)(,)()______;()()()()11()sin sin ,()______; 12'()(),'()(),()_____()() ()() ()(f x x f x f x a b a b f x A B C D xf x d x x x xd x f x F x f x x f x f x d x A F x B x C x κ??=+== - = ===???、则、若在内连续，则在内必有导函数必有原函数必有界 必有极限 、若 则、若则)()()()c D F x x c ?+++ 13()[()]() ()[()]()() ()() () ()()d A d f x dx f x B f x dx f x dx d x C df x f x D df x f x c === = +????、下列各式中正确的是： (ln )14(),_______ 11() ()ln () () ln x f x f x e dx x A c B x c C c D x c x x -==++-+-+? 、设则：
第4章不定积分
习题4-1 1.求下列不定积分： 知识点：直接积分法的练习——求不定积分的基本方法。 思路分析：利用不定积分的运算性质和基本积分公式，直接求出不定积分！ ★(1) 思路: 被积函数52 x - =，由积分表中的公式（2）可解。 解： 5 3 2 2 23x dx x C - - ==-+? ★(2)dx - ? 思路:根据不定积分的线性性质，将被积函数分为两项，分别积分。 解：1 14111 33322 23 ()2 4dx x x dx x dx x dx x x C - - =-=-=-+???? ★(3)22x x dx +? （） 思路:根据不定积分的线性性质，将被积函数分为两项，分别积分。 解：2 2 3 2122ln 23 x x x x dx dx x dx x C +=+=++? ??（） ★(4) 3)x dx - 思路:根据不定积分的线性性质，将被积函数分为两项，分别积分。 解： 3153 22 222 3)325 x dx x dx x dx x x C -=-=-+?? ★★(5)422 331 1 x x dx x +++? 思路:观察到422 223311311 x x x x x ++=+++后，根据不定积分的线性性质，将被积函数分项， 分别积分。 解：4223 2233113arctan 11x x dx x dx dx x x C x x ++=+=++++??? ★★(6)2 2 1x dx x +?
思路:注意到22222 111 1111x x x x x +-==-+++，根据不定积分的线性性质，将被积函数分项，分别积分。 解：2221arctan .11x dx dx dx x x C x x =-=-+++??? 注：容易看出(5)(6)两题的解题思路是一致的。一般地，如果被积函数为一个有理的假分式， 通常先将其分解为一个整式加上或减去一个真分式的形式，再分项积分。 ★(7)x dx x x x ? 34134 （- +-）2 思路:分项积分。 解：34 11342x dx xdx dx x dx x dx x x x x --=-+-?????34134（- +-）2 223134 ln ||.423 x x x x C --=--++ ★ (8)23( 1dx x -+? 思路:分项积分。 解 ：2231( 323arctan 2arcsin .11dx dx x x C x x =-=-+++? ? ★★ (9) 思路 =？ 111 7248 8 x x ++==，直接积分。 解 ： 715 8 88 .15x dx x C ==+? ? ★★(10) 221 (1)dx x x +? 思路:裂项分项积分。 解： 222222 111111 ()arctan .(1)11dx dx dx dx x C x x x x x x x =-=-=--++++???? ★(11)21 1 x x e dx e --? 解：21(1)(1) (1).11 x x x x x x x e e e dx dx e dx e x C e e --+==+=++--??? ★★(12)3x x e dx ?
第4章不定积分 习题4-1 1.求下列不定积分： 知识点：直接积分法的练习——求不定积分的基本方法。 思路分析：利用不定积分的运算性质和基本积分公式，直接求出不定积分！
★(1) ? 思路: 被积函数52 x - =，由积分表中的公式（2）可解。 解： 53 2 2 23x dx x C --==-+? ★(2) dx ? 思路:根据不定积分的线性性质，将被积函数分为两项，分别积分。 解：1 14111 33322 23 ()2 4dx x x dx x dx x dx x x C - - =-=-=-+? ??? ★(3)22 x x dx +? （） 思路:根据不定积分的线性性质，将被积函数分为两项，分别积分。 解：2 2 3 2122ln 23 x x x x dx dx x dx x C +=+=++???（） ★(4) 3)x dx - 思路:根据不定积分的线性性质，将被积函数分为两项，分别积分。 解： 3153 22 222 3)325 x dx x dx x dx x x C -=-=-+?? ★★(5)4223311x x dx x +++? 思路:观察到422 22 3311311 x x x x x ++=+++后，根据不定积分的线性性质，将被积函数分项，分别积分。 解：422 32233113arctan 11x x dx x dx dx x x C x x ++=+=++++??? ★★(6)2 21x dx x +? 思路:注意到 22222 111 1111x x x x x +-==-+++，根据不定积分的线性性质，将被积函数分项，分别积分。
定积分的换元积分法与分部积分法
定积分的换元积分法与分部积分法 教学目的：掌握定积分换元积分法与分部积分法 难点：定积分换元条件的掌握 重点：换元积分法与分部积分法 由牛顿－莱布尼茨公式可知，定积分的计算归结为求被积函数的原函数．在上一章中，我们已知道许多函数的原函数需要用换元法或分部积分法求得，因此，换元积分法与分部积分法对于定积分的计算也是非常重要的．1．定积分换元法 定理假设 (1) 函数?Skip Record If...?在区间?Skip Record If...?上连续； (2) 函数?Skip Record If...?在区间?Skip Record If...?上有连续且不变号的导数； (3) 当?Skip Record If...?在?Skip Record If...?变化时，?Skip Record If...?的值在?Skip Record If...?上变化，且?Skip Record If...?， 则有 ?Skip Record If...?．(1) 本定理证明从略．在应用时必须注意变换?Skip Record If...?应满足定理的条件，在改变积分变量的同时相应改变积分限，然后对新变量积分．例1计算?Skip Record If...?． 仅供学习与交流，如有侵权请联系网站删除谢谢4
仅供学习与交流，如有侵权请联系网站删除 谢谢4 解 令?Skip Record If...?，则?Skip Record If...?．当?Skip Record If...?时，?Skip Record If...?；当?Skip Record If...?时，?Skip Record If...?．于是 ?Skip Record If...? ?Skip Record If...?． 例2 计算?Skip Record If...??Skip Record If...?． 解 令?Skip Record If...?，则?Skip Record If...?．当?Skip Record If...?时，?Skip Record If...?；当?Skip Record If...?时，? ?Skip Record If...??Skip Record If...? ?Skip Record If...? ?Skip Record If...? ?Skip Record If...?． 显然，这个定积分的值就是圆?(图5－8)． 例3 计算?Skip Record If...?． 解法一 令?Skip Record If...?，则?Skip Record If...?． 当?Skip Record If...?时，?Skip Record If...?；当?Skip Record If...?时，?Skip Record If...?，于是 ?Skip Record If...?． 解法二 也可以不明显地写出新变量?Skip Record If...?，这样定积分的上、下限也不要改变． 即 ?Skip Record If...? ?Skip Record If...?．
定积分典型例题 例1 求21lim n n →∞L ． 分析 将这类问题转化为定积分主要是确定被积函数和积分上下限．若对题目中被积函数难以想到，可采取如下方法：先对区间[0,1]n 等分写出积分和，再与所求极限相比较来找出被积函数与积分上下限． 解 将区间[0,1]n 等分，则每个小区间长为1i x n ?=，然后把2111n n n =?的一个因子1 n 乘 入和式中各项．于是将所求极限转化为求定积分．即 21lim n n →∞L =1lim n n →∞+L =34 =?． 例2 0 ? =_________． 解法1 由定积分的几何意义知，0 ?等于上半圆周22(1)1x y -+= (0y ≥) 与x 轴所围成的图形的面积．故0 ? = 2 π ． 解法2 本题也可直接用换元法求解．令1x -=sin t （2 2 t π π - ≤≤ ），则 ? =2 2 tdt ππ- ? =2tdt =220 2cos tdt π ?= 2 π 例3 比较1 2 x e dx ?，2 1 2 x e dx ?，1 2 (1)x dx +?． 分析 对于定积分的大小比较，可以先算出定积分的值再比较大小，而在无法求出积分值时则只能利用定积分的性质通过比较被积函数之间的大小来确定积分值的大小． 解法1 在[1,2]上，有2 x x e e ≤．而令()(1)x f x e x =-+，则()1x f x e '=-．当0x >时，()0f x '>，()f x 在(0,)+∞上单调递增，从而()(0)f x f >，可知在[1,2]上，有1x e x >+．又 1 22 1 ()()f x dx f x dx =-? ?，从而有2 111 2 2 2 (1)x x x dx e dx e dx +>>???． 解法2 在[1,2]上，有2 x x e e ≤．由泰勒中值定理2 12! x e e x x ξ=++得1x e x >+．注意到 1 2 2 1 ()()f x dx f x dx =-? ?．因此 2 1 11 2 2 2 (1)x x x dx e dx e dx +>>? ??． 例4 估计定积分2 2x x e dx -?的值． 分析 要估计定积分的值, 关键在于确定被积函数在积分区间上的最大值与最小值．
第三讲 定积分的基本公式 【教学内容】 1．变上限积分函数 2．牛顿－莱布尼兹公式 【教学目标】 1．掌握变上限积分函数 2．掌握牛顿－莱布尼兹公式 【教学重点与难点】 牛顿－莱布尼兹公式 【教学过程】 一、引例 一物体作变速直线运动时，其速度)(t v v =，则它从时刻a t =到时刻b t =所经过的路程S ： dt t v S b a ? = )( 另一方面，如果物体运动时的路程函数)(t S S =，则它从时刻a t =到时刻b t =所经过的路程 S 等于函数)(t S S =在],[b a 上的增量 )()(a S b S - 同一物理量（路程）的两种不同数学表达式应该是相等的， ∴ dt t v S b a ? = )()()(a S b S -= ∵ )()(/ t v t S = ∴ ? ? = = b a b a dt t S dt t v S )()(/)()(a S b S -= 二、变上限积分函数 1．定义：如果函数)(x f 在区间],[b a 上连续，那么对于区间],[b a 上的任一点x 来说，)(x f 在区间],[x a 上仍连续，所以函数)(x f 在],[x a 上的定积分 ? x a dx x f )( 存在。也就是说，对于每一个确定的x 值，这个积分将有一个确定的值与之对应，因此它是积分上限x 的函数，此函数定义在区间],[b a 上，把它叫做变上限积分函数，记为)(x Φ。即 )()()()(b x a dt t f dx x f x x a x a ≤≤==Φ?? 2．定理1 如果函数)(x f y =在区间],[b a 上连续，则变上限积分函数 )()()(b x a dt t f x x a ≤≤=Φ? 是函数)(x f y =的原函数，即
第五章 不定积分 习题 5－1 1. 1. 验证在(-∞,+∞) 内, 221 sin , cos 2, cos 2x x x -- 都是同一函 数的原函数. 解 221 (sin )'(cos 2)'(cos )'sin 22x x x x =-=-=因为 221 sin ,cos 2,cos sin 22x x x x --所以都是的原函数. 2. 2. 验证在(-∞,+∞) 内, 2222(),() 2()x x x x x x e e e e e e ---+-+都是 的原函数. 解 2 2 22[()]' [()]'=2() x x x x x x e e e e e e - --+=-+因为 2222 ()() 2().x x x x x x e e e e e e ---+=-+所以都是的原函数 3.已知一个函数的导数是2 11 x -，并且当x = 1时, 该函数值是3 2π，求这个函数. 解 设所求函数为f (x ), 则由题意知 '()f x = '(arcsin )x 因为 '()()d arcsin f x f x x x C ===+?所以 又当x = 1时， 3 (1)2f π =，代入上式, 得C = π 故满足条件的函数为 ()f x =arcsin x π+. 3. 3. 设曲线通过点(1, 2) , 且其上任一点处的切线的斜率等于这点横坐 标的两倍，求此曲线的方程. 解 设曲线方程为 ()y f x =, 则由题意知'' ()2y f x x == 因为 2()'2x x = 所以 2'()d 2d y f x x x x x C = ==+? ? 又因为曲线过点(1, 2), 代入上式, 得C = 1 故所求曲线方程为 2 1y x =+. 5. 求函数y = cos x 的分别通过点( 0, 1) 与点(π, -1)的积分曲线的方程. 解 设y = cos x 积分曲线方程为 ()y f x = 因为 ' (sin )cos x x = 所以 ()cos d sin f x x x x C ==+? 又因为积分曲线分别通过点( 0, 1) 与点(π, -1),代入上式, 得C 1 = 1 与 C 2 = -1. 故满足条件的积分曲线分别为
__________________________________________________________________________________________ 【第一换元法例题】 1、9 9 9 9 (57)(57)(5711(57)(57)55 )(57)dx d x d x dx x x x x +=+?=+?= +?++? ? ? ? 110091(57)(57)(57)10111 (57)5550 d C x x x x C =?=?+=+++++? 【注】1 (57)'5,(57)5,(57)5 x d x dx dx d x +=+==+?? 2、1ln ln ln ln dx d x x x dx x x x =?=???? 221 (l 1ln ln (ln )2n )2x x x d C x C =?=+=+? 【注】111 (ln )',(ln ),(ln )x d x dx dx d x x x x ===?? 3（1）sin tan cos co si s cos cos n cos cos xdx d x xdx dx x d x x x x x --= ===? ???? cos ln |cos |c ln |co s |o s x x d C x C x =-=-+=-+? 【注】(cos )'sin ,(cos )sin ,sin (cos )x x d x xdx xdx d x =-=-=-?? 3（2）cos cos cot sin sin sin sin xdx x xdx dx d x x x x = ==? ??? sin ln |si ln |sin |n |sin x x d C x C x ==+=+? 【注】(sin )'cos ,(sin )cos ,cos (sin )x x d x xdx xdx d x ==?=? 4（1） 1()11d dx a x a x a d x x a x =?=?++++??? ln |1(|)ln ||d C a x a x a x a x C ++=?=+=+++? 【注】()'1,(),()a x d a x dx dx d a x +=+==+?? 4（2） 1()11d dx x a x x x d a a x a =?=?----??? ln |1(|)ln ||d C x a x a x a x a C --=?=+=--+? 【注】()'1,(),()x a d x a dx dx d x a -=-==-?? 4（3） 22221111111212x a a x a dx dx x a x a dx dx a a a x dx x ??- ?--+??? =-+?==- ? -?? ?????
定积分基本公式 定积分是高等数学中一个重要的基本概念，在几何、物理、经济学等各个领域中都有广泛的应用.本章将由典型实例引入定积分概念，讨论定积分性质和计算方法，举例说明定积分在实际问题中的具体运用等. 第二节 微积分基本公式 一、变上限的定积分 设函数()f x 在[[,]a b ] 上连续,x ∈[,]a b ，于是积分()d x a f x x ?是一个定数， 这种写法有一个不方便之处，就是 x 既表示积分上限，又表示积分变量.为避免 t ，于是这个积分就写成了 ()d x a f t t ? . x 值,积分()d x a f t t ?就有一个确定的的一个函数，记作 ()Φx =()d x a f t t ? （ a ≤x ≤ b ）通常称函数 ()Φx 为变上限积分函数或变上限积分，其几何意义如图所示. 定理1 如果函数()f x 在区间[,]a b 上连续，则变上限积分 ()Φx =()d x a f t t ?在[,]a b 上可导，且其导数是 d ()()d ()d x a Φx f t t f x x '= =?（ a ≤x ≤ b ）. 推论 连续函数的原函数一定存在. 且函数()Φx =()d x a f t t ?即为其原函数.
例1 计算()Φx =2 0sin d x t t ?在x =0 ,处的导数. 解 因为2 d sin d d x t t x ?=2sin x ,故 2 (0)sin 00Φ'==； πsin 242Φ'==. 例2 求下列函数的导数： (1) e ln ()d (0)x a t Φx t a t =>? ； 解 这里()Φx 是x 的复合函数，其中中间变量e x u =，所以按复合函数求导 法则，有 d d ln d(e )ln e (d )e d d d e x x u x x a Φt t x x u t x ===?. (2) 2 1()(0) x Φx x θ=>? . 解 21d d d d x Φx x θ=-?2 2()x x ='=2sin 2sin 2x x x x x =- ?=-. 二、牛顿-莱布尼茨（Newton-Leibniz ）公式 定理2 设函数()f x 在闭区间[,]a b 上连续，又 ()F x 是()f x 的任一个原函数，则有()d ()() b a f x x F b F a =-? . 证 由定理1知，变上限积分 ()()d x a Φx f t t =?也是()f x 的一个原函数，于 是知0()()Φx F x C -=, 0C 为一常数, 即 0 ()d ()x a f t t F x C =+?.
不定积分第一类换元法（凑微分法） 一、 方法简介 设)(x f 具有原函数)(u F ，即)()('u f u F =，C u F du u f +=?)()(，如果U 是中间变量，)(x u ?=，且设)(x ?可微，那么根据复合函数微分法，有 dx x x f x dF )(')]([)]([???= 从而根据不定积分的定义得 ) (] )([)]([)(')]([x u du u f C x F dx x x f ????=??=+=. 则有定理： 设)(u f 具有原函数，)(x u ?=可导，则有换元公式 ) (] )([)(')]([x u du u f dx x x f ???=??= 由此定理可见，虽然?dx x x f )(')]([??是一个整体的记号，但如用导数记号 dx dy 中的dx 及dy 可看作微分，被积表达式中的dx 也可当做变量x 的微分来对待，从而微分等式du dx x =)('?可以方便地应用到被积表达式中。 几大类常见的凑微分形式： ○1??++=+)()(1 )(b ax d b ax f a dx b ax f )0(≠a ； ○ 2??=x d x f xdx x f sin )(sin cos )(sin ，??-=x d x f xdx x f cos )(cos sin )(cos ，?? =x d x f x dx x f tan )(tan cos ) (tan 2，x d x f x dx x f cot )(cot sin )(cot 2??-=； ○3??=x d x f dx x x f ln )(ln 1 )(ln ，??=x x x x de e f dx e e f )()(； ○ 4n n n n x d x f n dx x x f ??=-)(1)(1)0(≠n ，??-=)1()1()1(2x d x f x dx x f ，? ?=)()(2) (x d x f x dx x f ； ○ 5??=-x d x f x dx x f arcsin )(arcsin 1)(arcsin 2 ；
定积分常用公式 二、基本积分表(188页1—15，205页16—24) (1) (k是常数) kdxkxC,，, ,，1x,(2) xdxC,，,(1)u,,,,，1 1(3) dxxC,，ln||,x dx(4) ,，arlxCtan2,1，x dx(5) ,，arcsinxC,21,x (6)cossinxdxxC,， , (7)sincosxdxxC,,， , 1(8) dxxC,，tan2,cosx 1(9) dxxC,,，cot2,sinx sectansecxxdxxC,，(10) , csccotcscxxdxxC,,，(11) , xxedxeC,，(12) , xax(13)， (0,1)aa,,且adxC,，,lna shxdxchxC,，(14) , chxdxshxC,，(15) , 11x(16) dxarcC,，tan22,axaa， 1 11xa,(17) dxC,，ln||22,xaaxa,，2 1x(18) dxarcC,，sin,22aax, 122(19) dxxaxC,，，，ln(),22ax， dx22(20) ,，,，ln||xxaC,22xa,
(21)tanln|cos|xdxxC,,， , (22)cotln|sin|xdxxC,， , )secln|sectan|xdxxxC,，， (23, cscln|csccot|xdxxxC,,，(24) , 注:1、从导数基本公式可得前15个积分公式，(16)-(24)式后几节证。 2、以上公式把换成仍成立，是以为自变量的函数。 xuux 3、复习三角函数公式: 1cos2，x22222， sincos1,tan1sec,sin22sincos,xxxxxxx，,，,,cosx,2 1cos2,x2。 sinx,2 fxxdxfxdx[()]'()[()](),,,,,注:由，此步为凑微分过程，所以第一,, 类换元法也叫凑微分法。此方法是非常重要的一种积分法，要运用自如，务必熟记基本积分表，并掌握常见的凑微分形式及“凑”的技巧。 2 小结: 1常用凑微分公式 积分类型换元公式11.f(ax，b)dx,f(ax，b)d(ax，b)(a,0)u,ax，b,,a u,x11,2.f(x)xdx,f(x)d(x)(,0),,,,,,,,,1u,lnx3.f(lnx),dx,f(lnx)d(lnx), ,x 4..f(e),edx,f(e)dexxxxu,ex,,第 1一5.f(a),adx,f(a)daxxxx,,lnau,ax换 6.f(sinx),cosxdx,f(sinx)dsinxu,sinx元,, u,cosx积7.f(cosx),sinxdx,,f(cosx)dcosx,,分 28.f(tanx)secxdx,f(tanx)dtanxu,tanx,,法 u,cotx29.f(cotx)cscxdx,,f(cotx)dcotx,,
第4章不定积分 内容概要 课后习题全解 习题4-1 1.求下列不定积分： 知识点：直接积分法的练习——求不定积分的基本方法。
思路分析：利用不定积分的运算性质和基本积分公式，直接求出不定积分！ ★(1) 思路: 被积函数52 x - =，由积分表中的公式（2）可解。 解： 53 2 2 23x dx x C -- ==-+? ★(2) dx - ? 思路:根据不定积分的线性性质，将被积函数分为两项，分别积分。 解：1 14111 33322 23()2 4dx x x dx x dx x dx x x C - - =-=-=-+???? ★(3)22 x x dx +? （） 思路:根据不定积分的线性性质，将被积函数分为两项，分别积分。 解：2 2 3 2122ln 23 x x x x dx dx x dx x C +=+=++? ??（） ★(4) 3)x dx - 思路:根据不定积分的线性性质，将被积函数分为两项，分别积分。 解： 3153 22 222 3)325 x dx x dx x dx x x C -=-=-+?? ★★(5)4223311x x dx x +++? 思路:观察到422 223311311x x x x x ++=+++后，根据不定积分的线性性质，将被积函数分项，分别积分。 解：4223 2233113arctan 11x x dx x dx dx x x C x x ++=+=++++??? ★★(6)2 21x dx x +?
思路:注意到 22222 111 1111x x x x x +-==-+++，根据不定积分的线性性质，将被积函数分项，分别积分。 解：22 21arctan .11x dx dx dx x x C x x =-=-+++??? 注：容易看出(5)(6)两题的解题思路是一致的。一般地，如果被积函数为一个有理的假分式，通常先将其分解为一个整式 加上或减去一个真分式的形式，再分项积分。 ★(7)x dx x x x ? 34 134（ -+-）2 思路:分项积分。 解：3411342x dx xdx dx x dx x dx x x x x --=-+-? ????34134（ -+-）2 ★ (8) 23(1dx x -+? 思路:分项积分。 解 ：2231( 323arctan 2arcsin .11dx dx x x C x x =-=-+++? ?? ★★ (9) 思路 =？ 看到1117248 8 x x ++==，直接积分。 解 ： 7 15 8 88 .15x dx x C ==+? ★★(10) 221 (1)dx x x +? 思路:裂项分项积分。 解： 222222 111111 ()arctan .(1)11dx dx dx dx x C x x x x x x x =-=-=--++++???? ★(11)21 1 x x e dx e --? 解：21(1)(1)(1).11 x x x x x x x e e e dx dx e dx e x C e e --+==+=++--??? 3x x e dx ?
二、基本积分表（188页1—15，205页16—24） （1）kdx kx C =+? （k 是常数） （2）1 ,1 x x dx C μμ μ+=++? (1)u ≠- （3）1ln ||dx x C x =+? （4）2 tan 1dx arl x C x =++? （5） arcsin x C =+? （6）cos sin xdx x C =+? （7）sin cos xdx x C =-+? （8）2 1 tan cos dx x C x =+? （9）2 1 cot sin dx x C x =-+? （10）sec tan sec x xdx x C =+? （11）csc cot csc x xdx x C =-+? （12）x x e dx e C =+? （13）ln x x a a dx C a = +?，(0,1)a a >≠且 （14）shxdx chx C =+? （15）chxdx shx C =+? （16）2 2 11tan x dx arc C a x a a = ++?
（17）2 2 11ln | |2x a dx C x a a x a -= +-+? （18） sin x arc C a =+? （19） ln(x C =++? （20） ln |x C =++? （21）tan ln |cos |xdx x C =-+? （22）cot ln |sin |xdx x C =+? （23）sec ln |sec tan |xdx x x C =++? （24）csc ln |csc cot |xdx x x C =-+? 注：1、从导数基本公式可得前15个积分公式，(16)-(24)式后几节证。 2、以上公式把x 换成u 仍成立，u 是以x 为自变量的函数。 3、复习三角函数公式： 2 2 2 2 sin cos 1,tan 1sec ,sin 22sin cos ,x x x x x x x +=+==2 1cos 2cos 2 x x += ， 2 1cos 2sin 2 x x -= 。 注：由[()]'()[()]() f x x dx f x d x ????= ?? ，此步为凑微分过程，所以第一 类换元法也叫凑微分法。此方法是非常重要的一种积分法，要运用自如，务必熟记基本积分表，并掌握常见的凑微分形式及“凑”的技巧。
不定积分 （Ａ） １、求下列不定积分 １）?2 x dx ２） ? x x dx 2 ３） dx x ?-2)2 ( ４） dx x x ? +2 2 1 ５）??- ? dx x x x 3 2 5 3 2 ６） dx x x x ?2 2sin cos 2 cos ７） dx x e x) 3 2(?+ ８） dx x x x ) 1 1( 2 ?- ２、求下列不定积分（第一换元法） １） dx x ?-3)2 3( ２） ? - 33 2x dx ３） dt t t ?sin ４） ? ) ln(ln ln x x x dx ５）? x x dx sin cos６） ?- +x x e e dx ７） dx x x) cos(2 ? ８） dx x x ? -4 3 1 3 ９） dx x x ?3 cos sin 10） dx x x ? - - 2 4 9 1 11）? -1 22x dx 12） dx x ?3 cos 13)?xdx x3 cos 2 sin 14) ?xdx x sec tan3 15) dx x x ? +2 3 916) dx x x ? +2 2sin 4 cos 3 1 17) dx x x ? -2 arccos 2 1 10 18) dx x x x ? +) 1( arctan
3、求下列不定积分（第二换元法） １） dx x x ? +2 1 1 ２） dx x ?sin ３） dx x x ?-4 2 ４） ?> - )0 (, 2 2 2 a dx x a x ５）? +3 2)1 (x dx ６） ? +x dx 2 1 ７）? - +2 1x x dx ８） ? - +2 1 1x dx ４、求下列不定积分（分部积分法） １） inxdx xs ? ２） ?xdx arcsin ３）?xdx x ln 2 ４） dx x e x ?- 2 sin 2 ５）?xdx x arctan 2 ６） ?xdx x cos 2 ７）?xdx 2 ln ８） dx x x 2 cos2 2 ? ５、求下列不定积分（有理函数积分） １） dx x x ? +3 3 ２）? - + + dx x x x 10 3 3 2 2 3）? +)1 (2x x dx （Ｂ） 1、一曲线通过点 )3, (2e，且在任一点处的切线斜率等于该点的横坐标的倒数，求该曲线的 方程。 2、已知一个函数 ) (x F的导函数为2 1 1 x -，且当1 = x时函数值为 π 2 3 ，试求此函数。
不定积分换元法例题
【不定积分的第一类换元法】 已知()()f u du F u C =+? 求()(())'()(())()g x dx f x x dx f x d x ????==??? 【凑微分】 ()()f u du F u C ==+? 【做变换，令()u x ?=，再积分】 (())F x C ?=+ 【变量还原，()u x ?=】 【求不定积分()g x dx ?的第一换元法的具体步骤如下：】 （1）变换被积函数的积分形式：()(())'()dx g x f x x dx ??=?? （2）凑微分：()(())((')))(()x g x dx d x dx f x f x ????==??? （3）作变量代换()u x ?=得：()(())'()()()()g x dx f x x x x dx f d ????==???()u f u d =? （4）利用基本积分公式()()f u du F u C =+?求出原函数： ()(())'()(())()g x dx f x x dx f x d x ????==???()()d u u C f u F ==+? （5）将()u x ?=代入上面的结果，回到原来的积分变量x 得： ()(())'()(())()g x dx f x x dx f x d x ????==???()()f u du F u C ==+?(())F x C ?=+ 【注】熟悉上述步骤后，也可以不引入中间变量()u x ?=，省略(3)(4)步骤，这与复合函数的求导法则类似。 __________________________________________________________________________________________ 【第一换元法例题】 1、9999(57)(57)(5711 (57)(57)55 )(57)dx d x d x dx x x x x +=+?=+?=+?++???? 110091(57)(57)(57)10111 (57)5550 d C x x x x C =?=?+=+++++? 【注】1 (57)'5,(57)5,(57)5 x d x dx dx d x +=+==+?? 2、1 ln ln ln ln dx d x x x dx x x x =?=???? 221 (l 1ln ln (ln )2n )2 x x x d C x C =?=+=+?