_数学_老师个性化教案
教师学生姓名上课日期月日学科数学年级七年级教材版本浙教版
类型知识讲解：√考题讲解：√本人课时统计第（）课时共（）课时
学案主题七下第一章《平行线》复习课时数量第（）课时授课时段
教学目标能够准确判定两直线是否平行
掌握平行线的基本性质，平行线的判定定理；
能用判定定理证明两直线平行，了解图形的平移。
教学重点、
难点
掌握平行线的判定定理和性质并能熟练解相关几何题。
教学过程
学生活动
【知识点整理】
1. 平行线的概念：
在同一平面内，不相交的两条直线叫做平行线，直线a与直线b互相平行，记住a∥b.
2. 平行公理——平行线的存在性与唯一性：
经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行。
3. 平行公理的推论：
如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行。
4. 同位角、内错角、同旁内角的判断（三线八角）：
5. 平行线的判定：
两条直线被第三条直线所截，如果同位角相等，那么这两条直线平行。（同位角相等，两直线平行。）两条直线被第三条直线所截，如果内错角相等，那么这两条直线平行。（内错角相等，两直线平行。）两条直线被第三条直线所截，如果同旁内角互补，那么这两条直线平行。（同旁内角互补，两直线平行。）在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线互相平行。
6. 平行线的性质：
两条平行线被第三条直线所截，同位角相等。（两直线平行，同位角相等。） 两条平行线被第三条直线所截，内错角相等。（两直线平行，内错角相等。） 两条平行线被第三条直线所截，同旁内角互补。（两直线平行，同旁内角互补。） 7. 图形的平移
一个图形沿某个方向移动，在移动的过程中，原图形上所有的点都沿同一个方向移动相等的距离，这样的图形运动叫做图形的平移。 8. 图形平移的性质：
平移不改变图形的形状和大小。
一个图形和它经过平移所得的图形中，两组对应点的连线平行（或在同一条直线上）且相等。 【例题解析】 1. 正误判断
（1）不相交的两条直线必定平行。
（2）在同一平面内不相重合的两条直线，如果它们不平行，那么这两条直线一定相交。 （3）过一点可以且只可以画一条直线与已知直线平行。
2. 平行线的判定
如图，如果∠1=125°，∠2=55°，直线AB 、CD 平行吗？说说你的理由．
3. 平行线性质的运用
如图，AB ∥CD ，BF ∥CE ，则∠B 与∠C 有什么关系？请说明理由。
4. 如图1，直线AB 、CD 被EF 所截，∠1 =∠2，∠CNF =∠BME。求证：AB∥CD，MP∥NQ．
F
2 A B C D Q
E 1 P M
N 图1
5. 如图，已知：∠A ＝∠1，∠C ＝∠2。求证：求证：AB ∥CD 。
6. 如图：∠AHF ＋∠FMD ＝180°，GH 平分∠AHM ，MN 平分∠DMH 。
求证：GH ∥MN 。
7. 如图，.,,,BC AD E CFE F AE CD BAD AE CD AB ∥求证：，相交于与平分∥∠=∠∠
【练习巩固】 一、选择题
1、如图，∠B=50°，CE ∥AB ，则∠ECD 的度数是( ) A ．40° B ．50° C ．60° D ．130°
2、两条直线被第三条直线所截，下列各组角 中一定相等的是 ( )
A ．同位角
B ．内错角
C ．对顶角
D ．同旁内角
B A
C B
D C
A
E
3、如图，a ∥b ，△ABC 的三个顶点分别在直线a ，b 上， 若∠1=120°，∠2=80°，则∠3的度数是( ) A ．40° B ．60° C ．80° D ．120°
4、三条直线a ，b ，c ，若a ∥c ，b ∥c ，则a 与b 的位置 关系是( )
A ．a ⊥b
B ．a ∥b
C ．a ⊥b 或a ∥b
D ．无法确定 5、一零件如图所示，已知AB=4cm ，若将该零件水平向右平移 4cm ，(∠ABC=90°)则图中阴影部分的面积是( )
A ．8cm 2
B ．16cm 2
C ．20cm 2
D ．无法计算 二、填空题
6、直尺与三角板如图所示放置，下列结论：①∠1=∠2；②∠3=∠4； ③∠2+∠4=90°；④∠4+∠5=180°；其中正确的是____________(填序号)
7、如图，矩形花坛的长为12m ，宽为8m ，中间有一各处宽均为2m 的小路，则种植花草部分(图中阴影部分)的面积为_________；
8、如图，△BEF 是由△ABC 平移所得， 点A ，B ，E 在同一直线上， 若∠C=20°，∠ABC=68°， 则∠CBF=__________度； 9、如图，已知∠1=∠2=∠3=62°， 则∠4=________°
三、完成下列各题
10、如图，已知AB ∥DE ∥CF ，若∠ABC=70°， ∠CDE=130°，求∠BCD 的度数； 解：∵AB ∥CF ，且∠ABC=70°(已知)
A
B
C
a
b
1 2 3
1 2
3 4
5
B
A
C
E
F
第8题图
第9题图
1
3 2
4
∴∠BCF=∠_______=________°，( ) ∵DE ∥CF(已知)
∴∠_______+∠________=180°，( ) 又∵∠CDE=130°， ∴∠DCB=_______°，
∴∠BCD=∠_______－∠________ =______°－_______° =______°
11、如图，直线AB ，CD 分别与直线AC 相交于点A 、C ，与直线BD 相交于点B 、D ，若∠1=∠2，∠
3=75°，求∠4；
12、如图，已知CD ∥AB ，∠1=∠2，试说明∠3=∠4；
13、如图，AB ∥DF ，BC ∥DE ，∠D=115°，
求∠B 的度数；
14. 如图，已知：∠AOE ＋∠BEF ＝180°，∠AOE ＋∠CDE ＝180°，
求证：CD ∥BE 。
B A C
F
D
E A B
C
D
2 1
3
4 A
B
C
D
E
F 1 3
4 2
A
B
C
D
E
F
G
15. 如图，AB ∥CD ，∠BEF ＝85°，求∠ABE ＋∠EFC+∠FCD 的度数。
16. 已知AB ∥CD ，∠B=65°，CM 平分∠BCE ，∠MCN=90°，求∠DCN 的度数.
17. 如图，已知AB ∥CD ，∠1=100°，∠2=120°，求∠α。
课后作业 练习题
学生成长记录
本节课教学计划完成情况：照常完成□ 提前完成□ 延后完成□ ____________________________ 学生的接受程度： 5 4 3 2 1 ______________________________
学生的课堂表现：很积极□ 比较积极□ 一般积极□ 不积极□ ___________________________ 学生上次作业完成情况： 优□ 良□ 中□ 差□ 存在问题 _____________________________ 学管师（ 班主任）_______________________________________________________________
备 注
签字时间
教学组长审批
教学主任审批
F
E D A B
C N M E
D C
B A
2
1
F
E D C
B A
单元测试（二）相交线与平行线（A 卷） 一、选择题（每小题3分，共30分） 1.如图，下列各组角中，是对顶角的一组是（ ） A.1∠和2∠ B.3∠和5∠ C.3∠和4∠ D.1∠和5∠ 2.如图，直线AB 与CD 相交于点,O OE CD ⊥.若140∠=，则AOD ∠的度数为（ ） A.120? B.130? C.140? D.150? 3.如图所示，点P 到直线l 的距离是（ ） A.线段PB 的长度 B.线段PA 的长度 C.线段PC 的长度 D.线段PD 的长度 4.如图，已知70,AOB OC ?∠=平分,//AOB DC OB ∠，则C ∠为（ ） A.20? B.35? C.45? D.70? 5.如图，直线,a b 被直线c 所截，下列条件不能判定直线a 与b 平行的是（ ） A.34∠=∠ B.13∠=∠ C.24180?∠+∠= D.14∠=∠ 6.如图所示，有下列五种说法：①1∠和4∠是同位角；②3∠和5∠是内错角；③2∠和6∠是同旁内角；④5∠和2∠是同位角；⑤1∠和3∠是同旁内角.其中正确的是（ ） A.①②③ B.①②③④ C.①②③④⑤ D.①②④⑤ 7.下列说法不正确的是（ ） A.钝角没有余角，但一定有补角
B.若两个角相等且互补，则它们都是直角 C.锐角的补角比该锐角的余角大 D.一个锐角的余角一定比这个锐角大 8.如图，三角板的直角顶点落在矩形纸片的一边上.若135?∠=，则2∠的度数是（ ） A.35? B.45? C.55? D.65? 9.如图，小芳从A 出发沿北偏东60方向行至B 处，又沿北偏西20方向行至C 处，则ABC ∠的度数是（ ） A.80? B.90? C.100? D.95? 10.如图，把一个长方形纸片沿EF 折叠后，点,D C 分别落在,D C ''的位置.若65EFB ?∠=，则AED '∠等于（ ） A.25? B.40? C.50? D.65? 二、填空题（每小题4分，共20分） 11.如果35α?∠=，那么α∠的余角等于___________. 12.如图，已知12∠=∠，则图中互相平行的线段是____________. 13.如图，在铁路旁边有一李庄，现要建一火车站，为了使李庄人乘火车距离最近，请你在铁路边选一点来建火车站（位置已选好），理由是_______________. 14.如图，已知直线12,l l 被直线34,l l 所截，155332,4148,???∠=∠=∠=，则2∠= ____________.
第二章平行线与相交线 余角 余角补角 补角 角两线相交对顶角 同位角 平三线八角内错角 行同旁内角 线 与 相平行线的判定 交 线平行线 平行线的性质 尺规作图 一、平行线与相交线 1、平行线：在同一平面内，不相交的两条直线叫做平行线。 2、若两条直线只有一个公共点，我们称这两条直线为相交线。 二、余角与补角 1、如果两个角的和是直角，那么称这两个角互为余角，简称为互余，称其中一个角是另一 个角的余角。 2、如果两个角的和是平角，那么称这两个角互为补角，简称为互补，称其中一个角是另一 个角的补角。 3、互余和互补是指两角和为直角或两角和为平角，它们只与角的度数有关，与角的位置无关。 4、余角和补角的性质：同角或等角的余角相等，同角或等角的补角相等。即： （1）12900 (1800 ),13900 (1800 ),则2 3 (同角的余角（或补角）相等) 。 （ 2 ）12900 (1800 ),3490 0 (1800 ), 且14, 则2 3 (等角的余角（或补角）相等) 。 三、对顶角 1、一个角的两边分别是另一个角的两边的反向延长线，这两个角叫做对顶角。 2、对顶角的性质：对顶角相等。 4、对顶角是从位置上定义的，对顶角一定相等，但相等的角不一定是对顶角。 四、垂线及其性质 1、垂线：两条直线相交成直角时，叫做互相垂直，其中一条叫做另一条的垂线。 2、垂线的性质：
性质 1：过一点有且只有一条直线与已知直线垂直。 性质 2：连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短。 五、同位角、内错角、同旁内角 1、两条直线被第三条直线所截，形成了8 个角。 2、同位角：两个角都在两条直线（被截线）的同侧，并且在第三条直线（截线）的同旁， 这样的一对角叫做同位角。 3、内错角：两个角都在两条直线（被截线）之间，并且在第三条直线（截线）的两旁，这 样的一对角叫做内错角。 4、同旁内角：两个角都在两条直线（被截线）之间，并且在第三条直线（截线）的同旁， 这样的一对角叫同旁内角。 5、这三种角只与位置有关，与大小无关，通常情况下，它们之间不存在固定的大小关系。 六、平行线的判定方法 1、同位角相等，两直线平行。 2、内错角相等，两直线平行。 3、同旁内角互补，两直线平行。 4、在同一平面内，如果两条直线都平行于第三条直线，那么这两条直线平行。 5、在同一平面内，如果两条直线都垂直于第三条直线，那么这两条直线平行。 七、平行线的性质 1、两直线平行，同位角相等。 2、两直线平行，内错角相等。 3、两直线平行，同旁内角互补。 4、平行线的判定与性质具备互逆的特征，其关系如下：
二年级数学(上册)期末考试试题浙教版 (含答案)班级:_________ 姓名:_________ 学号:_________ （试卷60分钟，满分为100分，卷面分为5分） 试卷满分为100分，卷面书写有下列情况，在100分基础上酌情扣1-5分： 1.书写字迹潦草，答卷不整洁扣2分。 2.使用修正纸、涂改液、透明胶等纠错扣1分。 3.不规范纠错，乱涂乱画扣2分。 一、按要求填空（本题共计12分） 1、用心想，填一填。 1、20个十是（），10个百是（）。 2、十位、百位上都是9的数是（），比这个数多10的数是（）。 3、8个一和6个百合起来是（），读作：（）。 2、看图填空。 1、每（）个一堆，有（）堆萝卜，一共有（）个萝卜。 列式____________________________________________________ 2、16个萝卜，平均分成（）堆，每堆（）个。 列式____________________________________________________
3、16个萝卜，每（）个一堆，平均分成了（）堆。 列式____________________________________________________ 二、计算题（本题共计10分） 1、先圈一圈，再算一算。 2、看谁算的又对又快。 三、列竖式计算（本题共计6分） 1、用竖式计算。 8＋57＋29＝82－53－19＝
78－24＋35＝61＋15－37＝ 四、选一选（本题共计12分） 1、估一估，得数大于50的是（）。 A、21+23 B、72-29 C、100-19-19 2、下面四个数中，只读一个零的数是( ) A、6320 B、1000 C、3009 D、5600 3、下面几个数中最接近1000的数是（）。 A、999 B、899 C、1009 4、小刚和小强进行口算比赛，每人做72道，小强每分钟做9道题，小刚9分钟做完，他们俩谁做的速度快？ ( ) A.小刚 B.小强 C.一样快 5、1千克铁与1千克棉花比较，( )重。 A、铁 B、棉花 C、一样重 D、不一定 6、除数是一位数的除法中，余数最大是( )。 A、9 B、8 C、7 D、10 五、判断对与错（本题共计15分） 1、我是公正小法官。 (对的打“√”，错的打“╳”)。 1、计算8×6和6×8，48÷8用同一句乘法口诀。 ( ) 2、一个乒乓球约重3千克。( )
一、四则运算 1.把两个数合并成一个数的运算叫做加法。 2.已知两个数的和与其中的一个加数，求另一个加数的运算叫做减法。 3.求几个相同加数的和的简便运算叫做乘法。 4.已知两个数的积与其中的一个因数，求另一个因数的运算叫做除法。 5.四则混合运算的运算顺序： ①有多层括号时，先算小括号里的，再算中括号里面的，最后算括号外面的。 ②没有括号的，先乘除后加减。 ③只有加减或乘除的，从左至右计算。 计算下列各题，先写出运算顺序再计算。 408÷[108－(78＋28)] [557－(186＋26)]÷23 672－672÷12×7 104×48＋272÷16 二、运算定律。 1.加法交换律：a＋b=b＋a 加法结合律：(a＋b)＋c=a＋(b＋c) 2.乘法交换律：a×b=b×a 乘法结合律：(a×b)×c=a×(b×c) 乘法分配率：(a＋b)×c=a×c＋b×c 3.连减的运算性质：①a－b－c=a－(b＋c) ②a－b－c=a－c－b 4.连除的运算性质：①a÷b÷c=a÷(b×c) ②a÷b÷c=a÷c÷b 5.简便运算的规律。 ①先看符号再看数（确定运用的运算定律）。 ②只有加减用“凑整”。 ③有加（减）有乘，用分配。 ④多数相乘（除），交换结合律。 ⑤两数相乘，先拆数。加减拆数分配律，乘法拆数，交换结合律。 ⑥两数相除，乘法拆除数，关键是整除。 ⑥不能拆的两对数：25×4=100 125×8=1000 ⑦两数相乘中优先拆的数：91^99看成（100－9）^（100－1） 101^109看成（100+1）^（100+9） 用简便方法计算。 凑整：48＋25＋175 75＋34＋125＋366 400－273－127 442－103－142 分配律：34×72＋34×28 25×97+25×3 38×99＋38 99×128＋128 84×35＋84×24＋41×84 38×35＋38×84－38×19 9999×36＋6666×3×32拆数：25×44 36×25 125×64 32×125 99×24 98×78 102×89 69×103
人教版七年级下册数学 第二章复习题 -CAL-FENGHAI-(2020YEAR-YICAI)_JINGBIAN
2 学校 班级 姓名 考号________________考试时间 ______ ________ 装订线内不要答题 学年下期七年级数学练习五 本试卷共印两个班：七年级 命题人：张纳 时间：2018-4-1 一选择题（每题3分，共36分） 1．(和县校级月考)体育课上，老师测量跳远成绩的依据是( ) A ．两点确定一条直线 B ．垂线段最短 C ．两点之间，线段最短 D ．平行线间的距离相等 2．如图，三条直线相交于点O.若CO ⊥AB ，∠1＝52°，则∠2等于( ) A ．52° B ．28° C ．38° D ．47° 3．如图所示，下列说法不正确的是( ) A ．点B 到AC 的垂线段是线段AB B ．点C 到AB 的垂线段是线段AC C ．线段AD 是点D 到BC 的垂线段 D ．线段BD 是点B 到AD 的垂线段 4．两条直线被第三条直线所截，就第三条直线上的两个交点而言形成了“三线八角”．为了便于记忆，同学们可仿照图用双手表示“三线八角”(两大拇指代表被截直线，食指代表截线)．下列三幅图依次表示( ) A ．同位角、同旁内角、内错角 B ．同位角、内错角、同旁内角 C ．同位角、对顶角、同旁内角 D ．同位角、内错角、对顶角 5．(威海中考)如图，AB ∥CD ，DA ⊥AC ，垂足为A ，若∠ADC ＝35°，则∠1的度数( ) A ．65° B ．55° C ．45° D ．35° 6．如图，能判定EB ∥AC 的条件是( ) A ．∠C ＝∠ABE B ．∠A ＝∠EBD C ．∠C ＝∠ABC D ．∠A ＝∠ABE 7．下列命题中是真命题的是( ) A ．两个锐角之和为钝角 B ．两个锐角之和为锐角 C ．钝角大于它的补角 D ．锐角小于它的余角 卷面分
人教版七年级数学下册 第六章 实数 一、实数的概念及分类 1、实数的分类 正有理数 有理数 零 有限小数和无限循环小数 实数 负有理数 正无理数 无理数 无限不循环小数 负无理数 整数包括正整数、零、负整数。 实数 正整数又叫自然数。 正整数、零、负整数、正分数、负分数统称为有理数。 2、无理数 在理解无理数时，要抓住“无限不循环”这一时之，归纳起来有四类： （1）开方开不尽的数，如32,7等； （2）有特定意义的数，如圆周率π，或化简后含有π的数，如3 π+8等； （3）有特定结构的数，如0.1010010001…等； 二、实数的倒数、相反数和绝对值 1、相反数：实数与它的相反数是一对数（只有符号不同的两个数叫做互为相反数，零的相反数是零），从数轴上看，互为相反数的两个数所对应的点关于原点对称，如果a 与b 互为相反数，则有a+b=0，a=—b ，反之亦成立。 2、绝对值：一个数的绝对值就是表示这个数的点与原点的距离，|a|≥0。零的绝对值时它本身，也可看成它的相反数，若|a|=a ，则a ≥0；若|a|=-a ，则a ≤0。正数大于零，负数小于零，正数大于一切负数，两个负数，绝对值大的反而小。 3、倒数：如果a 与b 互为倒数，则有ab=1，反之亦成立。倒数等于本身的数是1和-1。零没有倒数。 三、平方根、算数平方根和立方根 1、平方根 （1）平方根的定义：如果一个数x 的平方等于a ，那么这个数x 就叫做a 的平方根．即：如果 a x =2，那么x 叫做a 的平方根． （2）开平方的定义：求一个数的平方根的运算，叫做开平方．开平方运算的被开方数必须是 非负数才有意义。 （3）平方与开平方互为逆运算：±3的平方等于9，9的平方根是±3 （4）一个正数有两个平方根，即正数进行开平方运算有两个结果； 一个负数没有平方根，即负数不能进行开平方运算 （5）符号：正数a 的正的平方根可用a 表示，a 也是a 的算术平方根； 正数a 的负的平方根可用-a 表示． （6）a x =2 <———————————————— > a x ±= a 是x 的平方，x 是a 的平方根 x 的平方是a ，a 的平方根是x
一小数的认识和加减法 【知识要点】 小数的意义 1、小数的意义: 用来表示十分之几、百分之几、千分之几……的数,叫小数。 2、体会十进分数与小数的关系，并能互相转。 3、表示十分之几的小数是一位小数，百分之几的小数是两位小数，千分之几的小数是三位小数…… 4、小数的读写法。 小数的读法和写法。 14、0．006读作（），60．56读作（）。 15、六点零四二写作（），零点零零零八五写作（）。 16、有一个数十位上和百分位上都是6，个位和十分位上都是0，这 个数写作（）。 17、一个数由3个一、7个百分之一和9个千分之一组成，这个数是 （）。 18、小红在读一个小数时，没有看到小数点，结果读成了七万零四，
原来的小数只读出一个零，原来的小数是（）。 19、小淘气读数时把小数点的位置读错了，结果读成了三万八千点二， 原来的小数只读出一个零，原来的小数是（）。20、用2、0、5、三个数字和小数点组成两位小数，其中最大的是 （），最小的是（）。 21、用0、2、3、8这几个数字按要求写出大于8的三位小数，要求 每个数字在每个数中只能出现一次，符合条件的数中最大的是（），最小的是（）。 5、借助计数器，介绍小数部分的数位以及数位之间的进率 6、掌握小数的数位和计数单位。 7、了解小数的组成：整数部分和小数部分 1、用来表示十分之几、百分之几、千分之几……的数,叫做( )。 2、小数计数单位是十分之一、百分之一、千分之一……分别写作（）。 3、小数点的左边是它的（）部分，最低位是（），（） 最高位；小数点的右边是它的（）部分，最高位是（），（）最低位。 4、小数点右边第二位是（）位，计数单位是（）。 5、小数的计数单位，和（）一样，每相邻的两个计数单位间的进率是（）。
北师大数学七年级下第二章拔高题 一．选择题（共7小题） 1．如图，AB∥CD，BF平分∠ABE，且BF∥DE，则∠ABE与∠D的关系是（） A．∠ABE＝3∠D B．∠ABE+∠D＝90° C．∠ABE+3∠D＝180°D．∠ABE＝2∠D 2．如图，将含30°角的直角三角板ABC的直角顶点C放在直尺的一边上，已知∠A＝30°，∠1＝40°，则∠2的度数为（） A．55°B．60°C．65°D．70° 3．如图，ABCD为一长条形纸带，AB∥CD，将ABCD沿EF折叠，A、D两点分别与A′、D′对应，若∠1＝2∠2，则∠AEF的度数为（） A．60°B．65°C．72°D．75° 5．下列生活实例中，数学原理解释错误的一项是（） A．从一条河向一个村庄引一条最短的水渠，其中数学原理是：在同一平面内，过一点有且只有 一条直线垂直于已知直线 B．两个村庄之间修一条最短的公路，其中的数学原理是：两点之间线段最短 C．把一个木条固定到墙上需要两颗钉子，其中的数学原理是：两点确定一条直线 D．从一个货站向一条高速路修一条最短的公路，其中的数学原理是：连结直线外一点与直线上 各点的所有线段中，垂线段最短 6．如图，已知AB∥DE，∠ABC＝80°，∠CDE＝150°，则∠BCD＝（） A．30°B．40°C．50°D．60° 7．如图，图1是AD∥BC的一张纸条，按图1→图2→图3，把这一纸条先沿EF折叠并压平，再沿BF折叠并压平，若图3中∠CFE＝18°，则图2中∠AEF的度数为（）
A．120°B．108°C．126°D．114° 二．填空题（共8小题） 8．将一块60°的直角三角板DEF放置在45°的直角三角板ABC上，移动三角板DEF使两条直角边DE、DF恰分别经过B、C两点，若EF∥BC，则∠ABD＝°． 9．如图，将一张矩形纸片ABCD沿EF折叠后，点C落在AB边上的点G处，点D落在点H处．若∠1＝62°，则图中∠BEG的度数为． 10．如图，已知DE∥BC，2∠D＝3∠DBC，∠1＝∠2．则∠DEB＝度． 11．如图，已知AE∥BD，∠1＝130°，∠2＝28°，则∠C的度数为． 12．如图，BE∥CF，则∠A+∠B+∠C+∠D＝度． 第9题第10题第11题第12题13．如图，若OP∥QR∥ST，则∠1，∠2，∠3的数量关系是：． 14．如图，∠BCD＝90°，AB∥DE，则α与β一定满足的等式是． 15．如图，∠AOB的一边OA为平面镜，∠AOB＝37°，在OB上有一点E，从E点射出一束光线经OA上一点D反射，此时∠ODE＝∠ADC，且反射光线DC恰好与OB平行，则∠DEB的度数是． 第13题第14题第15 题 三．解答题（共11小题） 16．如图，AB∥CD，直线EF与AB，CD交于点G，H，GM⊥GE，∠BGM＝20°，HN 平分∠CHE，求∠NHD的度数．
浙教版二年级数学下册期末试卷 班级姓名成绩 考生注意： 1、本试卷共六道大题，满分100分。 2、本试卷考试时间为50分钟。 一、口算。(20分) 4×4= 700-110= 63÷9= 49-30-18= 150+50= 5×5= 6÷6= 13+8+2= 900-80= 900+90= 24÷6= 45+45-80= 2400-600= 24-24= 8×4= 40-(30+10)= 2500+50= 6×6= 25÷4= (5+35)-20= 二、填空。（每空1分，共16） 1. 2000克=（）千克，8千克=（）克。 2.在（）里填上“＞”或“<”。 398（）400 1989（）2008 2004（）1999 3. 一个四位数，最高位是（），最高位是百位的数是（） 位数。 4、（）里最大能填几。 3×（）＜14 （）×9＜67 34＞（）×6 23＞（）×9 5、三位数中最大的数与最小的数的差是（）。 6. 5个3相加是( )，再减去5得( )。 7. 被除数是18，除数是3，商是( )，再加上16得( )。
8、一个除数是5的除法算式，余数可能是（）。 三、在正确答案下面的( )里面“√”，错误答案下面的( )里面“×”。 （4分） 1. 下列各题竖式计算中，没有简便写法的是： ① 36+24-30 ② 42-(18-23) ③ (69+30)-45 ( ) ( ) ( ) 2. 一个足球重是： ① 450克②450千克③4千克5克 ( ) ( ) ( ) 3. 6000里面有（）个百： ①6 ②60 ③600 ( ) ( ) ( ) 4. 1千克棉花与1千克铁相比较（） ①同样重。②1千克铁重。③1千克棉花重。 ( ) ( ) ( ) 四、计算下面各题。（24分） 1. 4897+1561= 2. 7008-3609= 3. 68+24-49= 4. 58-39+28=
人教版四年级数学下册知识点 一）四则运算： 1、运算顺序：1、在没有括号的算式里，如果只有加减法或只有乘除法，都要从左往右按顺序（依次）计算。 2、在没有括号的算式里，有加减法又有乘除法，要先算乘除法，后算加减法。 3、算式里有括号时，要先算括号里面的。 2、加法、减法、乘法和除法统称为四则运算。 3、有关0的运算：1、一个数加上0得原数。 2、任何一个数乘0得0。 3、0不能做除数。0除以一个非0的数等于0。 0÷0得不到固定的商;5÷0得不到商. （二) 位置与方向： 1、根据方向和距离确定或者绘制物体的具体地点。（比例尺、角的画法和度量） 2、位置间的相对性。会描述两个物体间的相互位置关系。(观测点的确定) 3、简单路线图的绘制。 （三)运算定律及简便运算： 1、加法运算定律：1、加法交换律：两个数相加，交换加数的位置，和不变。 a+b=b+a 2、加法结合律：三个数相加，可以先把前两个数相加，再加上第三个数；或者先把后两个数相加，再加上第一个数，和不变。（a+b）+c=a+(b+c) 加法的这两个定律往往结合起来一起使用。 如：１６５+９３+３５＝９３+（１６５+３５）依据是什么？ 2、连减的性质：一个数连续减去两个数，等于这个数减去那两个数的和。 a-b-c=a-(b+c) 3、乘法运算定律：1、乘法交换律：两个数相乘，交换因数的位置，积不变。 a × b = b ×a 2、乘法结合律：三个数相乘，可以先把前两个数相乘，再乘以第三个数，也可以先把后两个数相乘，再乘以第一个数，积不变。 （a × b ）× c = a ×( b × c ) 乘法的这两个定律往往结合起来一起使用。 如：１２５×７８×８的简算 3、乘法分配律：两个数的和与一个数相乘，可以先把这两个数分别与这两个数相乘，再把积相加。（a+b）×c=a×c+b×c 4、连除的性质：一个数连续除以两个数，等于除以这两个数的积。 a ÷ b ÷ c = a ÷ ( b × c) 5、有关简算的拓展：
七年级数学下册第二章单元测试题及答案 Document number：WTWYT-WYWY-BTGTT-YTTYU-
北师大版七年级数学下册 第二章相交线与平行线 单元测试卷（一） 班级姓名学号得分 评卷人得分 一、单选题(注释) 1、如图，直线a、b、c、d，已知c⊥a，c⊥b，直线b、c、d交于一点，若 ∠1=500，则∠2等于【 】 A．600B．500C．400D．300 2、如图，AB⊥BC，BC⊥CD，∠EBC＝∠BCF，那么，∠ABE与∠DCF的位置与大小关系是（） A．是同位角且相等B．不是同位角但相等;
C．是同位角但不等D．不是同位角也不等 3、如果两个角的一边在同一直线上，另一边互相平行，那么这两个角只能（）A．相等B．互补C．相等或互补D．相等且互补 4、下列说法中，为平行线特征的是（）①两条直线平行，同旁内角互补; ②同位角相等, 两条直线平行;③内错角相等, 两条直线平行; ④垂直于同一条直线的两条直线平行. A．①B．②③C．④D．②和④ 5、如图，AB∥CD∥EF，若∠ABC＝50°，∠CEF＝150°，则∠BCE＝（） A．60°B．50°C．30°D．20° 6、如图，如果AB∥CD，则角α、β、γ之间的关系为（） A．α+β+γ＝360°B．α-β+γ＝180° C．α+β-γ＝180°D．α+β+γ＝180°
7、如图，由A到B 的方向是（） A．南偏东30°B．南偏东60°C．北偏西30°D．北偏西60° 8、如图，由AC∥ED，可知相等的角有（） A．6对B．5对C．4对D．3对 9、如图，直线AB、CD交于O，EO⊥AB于O，∠1与∠2的关系是( ) 更多功能介绍 A.互余 B.对顶角 C.互补 D.相等 10、若∠1和∠2互余，∠1与∠3互补，∠3=120°，则∠1与∠2的度数分别为( ) A．50°、40°B．60°、30°C．50°、130°D．60°、120° 11、下列语句正确的是( ) A．一个角小于它的补角
《经过时间》习题 一、填一填。 2时＝（）分150分＝（）时（）分 3时50分＝（）分70分＝（）时（）分 1时20分＝（）分63分＝（）时（）分 二、算一算。 6时－4时36分＝（）时（）分。 静香从8:40开始写作业，到10:10写完，共用了（）。 3时55分＋4时35分＝（）时（）分。 《动画梦工厂》在6:00开始，6:30结束，共播放了（）。 NBA比赛从3:30开始，4:20结束，比赛经过了（）。 马来西亚航空公司一架航班本该在6:43起飞，现在要提前27分钟，它（）起飞。 家长会从早上8:21开始，经过了1时10分结束，家长会结束在（）。 三、应用题。 1.一辆汽车上午7:08从石家庄开往北京，下午3:20到达，途中运行了多长时间？ 2.熊大和熊二监视光头强砍树，从上午的9:43一直到下午的5:12,共监视了多长时间？
《经过时间》习题答案 一、填一填。 2时＝（120）分150分＝（2）时（30）分 3时50分＝（230）分70分＝（1）时（10）分 1时20分＝（80）分63分＝（1）时（3）分 二、算一算。 6时－4时36分＝（1）时（24）分。 静香从8:40开始写作业，到10:10写完，共用了（1时30分）。 3时55分＋4时35分＝（8）时（30）分。 《动画梦工厂》在6:00开始，6:30结束，共播放了（30分）。 NBA比赛从3:30开始，4:20结束，比赛经过了（50分）。 马来西亚航空公司一架航班本该在6:43起飞，现在要提前27分钟，它（6:16）起飞。 家长会从早上8:21开始，经过了1时10分结束，家长会结束在（9:31）。 三、应用题。 1.一辆汽车上午7:08从石家庄开往北京，下午3:20到达，途中运行了多长时间？ 12:00－7:08＝4时52分； 4时52分＋3时20分＝8时12分。 答：途中运行了8时12分。 2.熊大和熊二监视光头强砍树，从上午的9:43一直到下午的5:12,共监视了多长时间？ 12:00－9:43＝2时17分； 2时17分＋5时12分＝7时29分。 答：共监视了7时29分。
四年级数学下册知识点及相应的练习 第一单元四则运算 知识点 1、加、减法的意义及各部分之间的关系： ⑴把两个数合并成一个数的运算，叫做加法。 ⑵已知两个数的和与其中一个加数，求另一个加数的运算，叫做减法 加数 + 加数 =和被减数－减数=差 和－加数=加数被减数－差 =减数差+减数=被减数 2、乘、除法的意义及各部分之间的关系： ⑴求几个相同加数的和的简便运算，叫做乘法. ⑵已知两个因数的积与其中一个因数，求另一个因数的运算，叫做除法 因数×因数 =积被除数÷除数=商 积÷因数=因数被除数÷商=除数商×除数=被除数 3、加法、减法、乘法和除法统称四则运算。 4、在没有括号的算式里，如果只有加、减法或者只有乘、除法，都要从左往右按顺序计算。 5、在没有括号的算式里，有乘、除法和加、减法、要先算乘除法，再算加减法。 6、算式有括号，先算括号里面的，再算括号外面的；括号里面的算式计算顺序遵循以上的计算顺序。 练习 1、一个数和0相乘，得（）。一个数和1相乘得（）。 2、被减数等于减数，差是（）。0除以任何非零的数都得（）。 3、650与250的和减去240除以8的商，算式是（）。 4、根据下面的算式列出综合算式。 （1）221×3=663 （2）217＋123=340 208÷16=13340÷17=20 663＋13=676 500－20=480 综合算式综合算式 5、（）×除数=（）因数=（）÷（）
第二单元观察物体 从不同位置观察不同形状的物体，得到的视图形状可能是相同的，也可能是不同的 练习 1．填一填，找出从正面、上面、左面看到的形状。 2．填一填，找出从正面、上面、左面、右面看到的形状。 3.如图： （1）从（）面和（）面看到的形状是完全相同的。 （2）从（）面看到的形状是 4、下面的物体各是由几个正方体摆成的？
第二章《相交线与平行线》复习题 班级：姓名 一、选择题30分 1、如图，直线a、b、c、d，已知c⊥a，c⊥b，直线b、c、d交于一点，若∠1=500，则∠2等于【】 A．600B．500C．400D．300 第一题第二题第三题 2、如图，AB⊥BC，BC⊥CD，∠EBC＝∠BCF，那么，∠ABE与∠DCF的位置与大小关系是（） A．是同位角且相等B．不是同位角但相等; C．是同位角但不等D．不是同位角也不等 3、如果两个角的一边在同一直线上，另一边互相平行，那么这两个角只能（） A．相等B．互补C．相等或互补D．相等且互补 4、下列说法中，为平行线特征的是（） ①两条直线平行，同旁内角互补; ②同位角相等, 两条直线平行;③内错角相等, 两条直线平行; ④垂直于同一条直线的两条直线平行. A．①B．②③C．④D．②和④ 5、如图，AB∥CD∥EF，若∠ABC＝50°，∠CEF＝150°，则∠BCE＝（） A．60°B．50°C．30°D．20° 6、如图，如果AB∥CD，则角α、β、γ之间的关系为（） 第六题第七题 A．α+β+γ＝360°B．α-β+γ＝180° C．α+β-γ＝180°D．α+β+γ＝180°
7、如图，直线AB 、CD 交于O ，EO ⊥AB 于O ，∠1与∠2的关系是( ） A.互余 B.对顶角 C.互补 D.相等 8、两条直线被第三条直线所截，下列条件中，不能判断这两条直线平行的的是 （ ） A 、同位角相等 B 、内错角相等 C 、同旁内角互补 D 、同旁内角相等 9、如图，能判断直线AB ∥CD 的条件是（ ） A 、∠1=∠2 B 、∠3=∠4 C 、∠1+∠3=180 o D 、∠3+∠4=180 o 10、如图，PO ⊥OR ，OQ ⊥PR ，则点O 到PR 所在直线的距离是线段（ ）的长 A 、PO B 、RO C 、OQ D 、PQ 二、填空题36 1．如图（1）是一块三角板，且?=∠301，则____2=∠。 2．若,9021?=∠+∠则21∠∠与的关系是 。．若 ,18021?=∠+∠则21∠∠与的关系是 。 3．若,9021?=∠+∠,9023?=∠+∠则31∠∠与的关系是 ， 理由是 。 4．若,18021?=∠+∠,18023?=∠+∠则31∠∠与的关系是 ， 理由是 。 5．如图（3）是一把剪刀，其中?=∠401，则=∠2 ， 其理由是 。 6．如图（4），,3521?=∠=∠∠3= 则AB 与CD 的关系是 ，理由是 。 7．如图(5),∠1的同位角是 , ∠1的内错角是 ,若∠1=∠BCD, 则 ∥ ，根据是 。 若∠1=∠EFG ，则 ∥ ，根据是 。 图(3) 21 图(4) 321A B C D E F A B C D E 1 F G 图(5) 图6 D C B A 图(1)21 B A
练习一 37＋25＋15= 17－9－2= 72－24＋16= 34＋16＋27= 5×（26－20）= 26＋38－35= 9×7－25= 3×8＋24= 27－( ) =10 ( )－14=25 ( )＋16=40 34－( )=16 12＋( )=85 （）八四十八七（）五十六六（）三十六（）六二十四八九（）⑴羊圈里有15只白羊和7只黑羊，一共有多少只羊？ ⑵羊圈里有22只羊，跑了6只，还剩多少只羊？ ⑶羊圈里有15只白羊和7只黑羊，跑了6只，还剩多少只羊？ ⑷学校买来90本新书，借给同学53本，还剩多少本？ ⑸小明家有32只鸡，卖了17只，还剩下多少只？ ⑹小明家有32只鸡，第一次卖了9只，第二次卖了8
练习二56＋（28－15）= 7×6－14= 40＋50－20= 4×7＋72= 4×9－36= 3×5＋46= 28＋（26－17）= 24－(56－50)= （）二十一 （）六二十四 八九（） （）九二十七 四九（） （）二十四 （）三十六 8的7倍是多少？8个5相加是多少？ ⑴二年级同学一共做了45个布娃娃，送给幼儿园35个，还剩下多少个？ ⑵二年级同学做布娃娃，第一天做了22个，第二天做了23个，送给幼儿园35个，还剩下多少个？ ⑶食堂第一周吃大米25袋，第二周吃大米37袋，两周共吃大米多少袋？ ⑷商店里有苹果50筐，梨40筐，卖出25筐，还剩多少筐？ ⑸一辆客车里有48名乘客，在第一站下去了18名，又上来了20名，这时车上有多少名乘客？
练习三 ⑴自行车厂计划三天生产自行车80台，第一天生产20台，第二天生产35台，第三天生产多少台？ ⑵停车场上有65辆车，开走28辆后又开来39辆，停车场还有车多少辆？ ⑶有18个苹果，小朋友吃了8个，还剩多少个？ ⑷有3盘苹果，每盘6个，小朋友吃了8个，还剩多少个？ ⑸有6名同学做大红花，每人做5朵，一共做了多少⑹有6名同学做大红花，每人做5朵，已经做了25朵，还要做多少朵？ ⑺有40棵树，已经种了26棵，还要种多少棵？ ⑻有5名同学种树，每人种8棵，已经种了26棵，还要种多少棵？ ⑼买来48米布，做床单用去32米，做衣服用去5米，还剩多少米？ ⑽修路要用94袋水泥，第一次用了36袋，第二次用了38袋，还剩多少袋？
深圳小学四年级下册数学各单元知识点复习 一、小数的意义和加减法 小数的意义（一） 1.11元是1元1角1分，1.11米是1米1分米1厘米 1角是1元的1 10，也可以写成0.1元。1分是1元的1 100 ，也可以写成0.01元。 1分米是1米的1 10，也可以写成0.1米。1厘米是1米的1 100 ，也可以写成0.01米。 练习题。 一、填空题。 （1）把1平均分成10份，其中的1份是（），也可以用小数表示为（）。其中的6份是（），也可以用小数表示为（）。 （2）把1平均分成100份，其中的8份是（），也可以用小数表示为（）。其中的25份是（），也可以用小数表示为（）。 （3）把1平均分成1000份，其中的16份是（），也可以用小数表示为（）。其中的500份是（），也可以用小数表示为（）。 （4）5.62＝（）+（）+（） 0.23＝（）+（） 22.22＝（）+（）+（） 5.09＝（）+（） 二、先说一说下面每个数中的“3”分别是什么意思，再连一连。 1.39元 5.63元 3.04元 0.73米 3.25米 6.318米 3元 3角 3分 3米 3分米 3厘米 小数的意义（二） 1千克＝1000克 1克＝ 1 1000 千克＝0.001千克 1米＝100厘米 1厘米＝1 100 米＝0.01米 高级单位变成低级单位，乘以进率。低级单位变成高级单位，除以进率。 练习题。 一、填空题。 23厘米＝（）米 2米5厘米＝（）米 3分米＝（）米6米6分米＝（）米 1千克600克＝（）千克 60克＝（）千克 5克＝（）千克 8角＝（）元 0.3时＝（）分 0.7时＝（）分 325米＝（）千米 二、判断。 1. 2.50元和2.5元都表示2元5角。（） 2. 3.8米和3米8分米是相等的。（） 3. 3米2分米8厘米9毫米用小数表示是3.289米。（） 4. 25分是0.25时。
学校 班级 姓名 考号________________考试时间 ______ ________ 装订线内不要答题 ◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆装◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆订◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆线◆◆◆ 学年下期七年级数学练习五 本试卷共印两个班：七年级 命题人：张纳 时间：2018-4-1 一选择题（每题3分，共36分） 1．(和县校级月考)体育课上，老师测量跳远成绩的依据是( ) A ．两点确定一条直线 B ．垂线段最短 C ．两点之间，线段最短 D ．平行线间的距离相等 2．如图，三条直线相交于点O.若CO ⊥AB ，∠1＝52°，则∠2等于( ) A ．52° B ．28° C ．38° D ．47° 3．如图所示，下列说法不正确的是( ) A ．点B 到AC 的垂线段是线段AB B ．点C 到AB 的垂线段是线段AC C ．线段AD 是点D 到BC 的垂线段 D ．线段BD 是点B 到AD 的垂线段 4．两条直线被第三条直线所截，就第三条直线上的两个交点而言形成了“三线八角”．为了便于记忆，同学们可仿照图用双手表示“三线八角”(两大拇指代表被截直线，食指代表截线)．下列三幅图依次表示( ) A ．同位角、同旁内角、内错角 B ．同位角、内错角、同旁内角 C ．同位角、对顶角、同旁内角 D ．同位角、内错角、对顶角 5．(威海中考)如图，AB ∥CD ，DA ⊥AC ，垂足为A ，若∠ADC ＝35°，则∠1的度数( ) A ．65° B ．55° C ．45° D ．35° 6．如图，能判定EB ∥AC 的条件是( ) A ．∠C ＝∠ABE B ．∠A ＝∠EBD C ．∠C ＝∠ABC D ．∠A ＝∠ABE 7．下列命题中是真命题的是( ) A ．两个锐角之和为钝角 B ．两个锐角之和为锐角 C ．钝角大于它的补角 D ．锐角小于它的余角 8．(潮南区月考)将图中所示的图案平移后得到的图案是( ) 卷面分
第二单元：实数 1、 选择题 1、的平方根是（ ）。 A、±4 B、4 C、－4 D、±2 2、有一个数的相反数、平方根、立方根都等于它本身，这个数是（ ）。 A、－1 B、1 C、0 D、±1 3、 -8的立方根与4的平方根之和是（） A．0 B. 4 C. 0或-4 D. 0或4 4、下列说法中，错误的是（ ）。 A、4的算术平方根是2 B、的平方根是±3 C、8的立方根是±2 Ｄ、立方根等于－１的实数是 －１ 5、在我们已经学的数的范围内, 当x为何值时, 有意义（ ） A. B. C. D. 以上答案都不对 6、下列各数中无理数有（ ）． ，，，，，，，． A．2个 B．3 个 C． 4个 D． 5个 7、下列说法正确的是（ ） A. 7是49的算术平方根, 即＝±7 B. 7是 (－7)2的算术平方根, 即 C. ±7是49的平方根, 即±＝7 D.±7是49的平方根, 即＝±7 8、下列说法正确的是（） A、数轴上的点与有理数一一对应 B、数轴上的点与无理数一一对 应 C、数轴上的点与整数一一对应 D、数轴上的点与实数一一对应 9、要使等式成立的x的值（）
A．是正数 B．是负数 C．是0 D．不能确定 10. 下列说法中, 正确的有( ) 个 （ ） （1）若, 则; （2）若, 则; （3）若, 则. （4）= A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 2、 填空 1.算术平方根等于本身的数_________；平方根等于本身的数 _________；立方根等于本身的数_________；倒数等于本身的数 _________；相反数等于本身的数_________。 2、的算术平方根是__________。 3、＝ _____________。 4、的平方根是__________。 5、式子有意义时, x的范围是 . 6．已知一块长方形的地长与宽的比为3:2，面积为3174平方米，则这块地的长为米 7．若，则A的算术平方根是 8.若 ≈7.094, ≈ 0. 7094, y＝, 则x≈________, y≈__________. 9、已知与的小数部分分别为a，b，则a + b=_________。 10、如果，那么y的最小值是． 三、解答题 1、计算： （1） （2）|-3|+|2-| （3） （4） 2. 解方程： (1) (2) x3+9＝0.
浙教版小学二年级数学文化知识点【 五则】 (*) 的“四色问题”也是与拓扑学发展有关的问题，又称四色猜想。 1852年，毕业于伦敦大学的弗南西斯.格思里来到一家科研单位搞地图着色工作时发现：每幅地图都可以用四种颜色着色，使得有共同边界的国家都被着上不同的颜色。 1872年，英国当时最的数学家凯利正式向伦敦数学学会提出了这个问题，于是四色猜想成了世界数学界关注的问题。1976年，美国数学家阿佩尔与哈肯在美国伊利诺斯大学的两台不同的电子计算机上，用了1200个小时，作了100亿判断，终于完成了四色定理的证明。不过不少数学家并不满足于计算机取得的成就，他们认为应该有一种简捷明快的书面证明方法。 (*) 拓扑学在拓扑学的发展历史中，还有一个而且重要的关于多面体的定理也和欧拉有关。这个定理内容是：如果一个凸多面体的顶点数是*、棱数是e、面数是f，那么它们总有这样的关系：f+*-e=2。根据多面体的欧拉定理，可以得出这样一个有趣的事实：只存在五种正多面体。它们是正四面体、正六面体、正八面体、正十二面体、正二十面体。 (*) 哥尼斯堡七桥问题哥尼斯堡是东普鲁士的首都，普莱格尔河横贯其中。十八世纪在这条河上建有七座桥，将河中间的两个岛和河岸联结起来。一天有人提出：能不能每座桥都只走一遍，最后又回到原来的位置。这个看起来很简单又很有趣的问题吸引了大家，很多人在尝试各种各样的走法，但谁也没有做到。 1736年，有人带着这个问题找到了当时的大数学家欧拉，欧拉经过一番思考，很快就用一种独特的方法给出了解答。这是拓扑学的“先声”。
(*) 拓扑学(tuòpūxué)(topology)是近代发展起来的一个数学分支，用来研究各种‘空间’在连续性的变化下不变的性质。在20世纪，拓扑学发展成为数学中一个非常重要的领域Topology原意为地貌，起源于希腊语Τοπολογ。形式上讲，拓扑学主要研究“拓扑空间”在“连续变换”下保持不变的性质。简单的说，拓扑学是研究连 续性和连通性的一个数学分支。 拓扑学起初叫形势分析学，是德国数学家莱布尼茨1679年提出的名词。十九世纪中期，德国数学家黎曼在复变函数的研究中强调研究函数和积分就必须研究形势分析学。从此开始了现代拓扑学的系统研究。 莫比乌斯曲面“连通性”最简单的拓扑性质。上面所举的空间的例子都是连通的。而“可定向性”是一个不那么平凡的性质。我们通常讲的平面、曲面通常有两个面，就像一张纸有两个面一样。这样的空间是可定向的。而德国数学家莫比乌斯(1790～1868)在1858年发现了莫比乌斯曲面。这种曲面不能用不同的颜色来涂满。莫比乌斯曲面是一种“不可定向的”空间。可定向性是一种拓扑性质。这意味着，不可能把一个不可定向的空间连续的变换成一个可定向的空间。 有关拓扑学的一些内容早在十八世纪就出现了。那时候发现一些孤立的问题，后来在拓扑学的形成中占着重要的地位。譬如哥尼斯堡七桥问题、多面体的欧拉定理、四色问题等都是拓扑学发展史的重要问题。 (*) “不合逻辑”是各种数学悖论的来源。你能想一个命题，使得它和它的否定形式同时成立吗？令人难以置信的是，这样的命题真的存在。“这句话是七字句”就是这样一种奇怪的命题。它的否定形式是 “这句话不是七字句”，同样是成立的。 你肯定会大叫“赖皮”，命题的真假与这个命题本身的形式有关，这样的命题算数学命题吗？没错，这些涉及到自己的命题都叫做“自我指涉命题”，它们