第8讲作图题
1.作图（只用无刻度直尺作图，保留作图轨迹，不写作法）
(1)如图∠AOB,OA=OB，四边形AEBF是平行四边形，请画出∠AOB平分线
(2)如图小方格是边长为1的小正方形，点A、B、C是格点，请画出∠AOB平分线
2.尺规作图（保留作图轨迹，不写作法）
（1）请在左图中作出两条直线，使它们将圆面四等分
（2）如右图，M是正方形ABCD内一定点，请在右图中作出两条直线（要求其中一条直线
必须过点M），使它们将正方形ABCD的面积四等分。
3. 解决问题：已知：如左图△ABC中，AB=AC，BE=CF，请用无刻度直尺作BC边的中垂线AO，
拓展：如右图形状可近似看作正七边形，请用无刻度直尺准确画一条对称轴（保留轨迹）
4.如图平行四边形中挖去一个矩形，请用无刻度尺作出一条直线，将剩下图形面积平分（保留轨迹）
5.如下图，射线OA 放置在由小正方形组成的网格中请你分别在左中右图中画（工具只能用刻度尺）射线OB,使∠AOB 的正切值分别为1，21，3
1.
6.如图，在坐标系中，弧ABC 是过格点A ，B ，C 的圆弧，请完成下列问题：
（1）用无刻度的直尺，过点B 作与ABC 相切的直线l ，并写出弧ABC 所在圆的圆心P 坐标
（2）设切线l 与x 轴相交于点D ，求DB 的长
7.如图每个小方格都是边长为1的正方形，点A 、B 在格点上，请分别在左中右图中各画一个以 AB 为腰的等腰△ABC ，要求 ①点C 在不同的格点上 ②用无刻度直尺画图
8.如图边长为1正方形网格中，A 、B 、C 是格点，请仅用无刻度直尺，作出∠ABC 平分线并计算tan 2
ABC 值
9.下图都是4*4的正方形网格，每个小正方形边长均为1，每个网格中标注了5个格点，按下列要求画图：
1）在左图中以格点为顶点画一个等腰三角形，使其内部已标注格点只有3个
2）在右图中以格点为顶点画一个正方形，使其内部已标注格点只有3个，且边长为无理数
10.如图，在△OAB中，点B的坐标是(0,4),点A的坐标是（3,1）
1）画出△OAB向下平移4个单位长度，再向左平移2个单位长度后的△O1A1B1
2）画出△OAB绕点A旋转90°后的△OA2B2，并求点O旋转到A2所经过路径长（保留π）
11.在矩形纸片的四个角处都剪去一个大小相同的小正方形，得到如下左图所示图形，请用无刻度直尺，准确作出它的一条对称轴（保留作图轨迹）
12.如图，在正方形网格图中，每个小正方形的边长均为1，⊙O的半径为1，请你用圆规作图，画一个面积放大5倍的以O为圆心的圆
期中专题复习资料 专题一：最优化说明推理问题 1、如图，在△ABC 中，AB ＝AC ，DB ＝DC ，且DM ⊥AB ，DN ⊥AC 垂足分别为M 、N . DM 与DN 一定相等吗？为什么？ 2、如图，AB ＝AC ，DB ＝DC ，点P 是AD 上一点， 试说明PB ＝PC 的理由. 3、如图，△ABC 的高BD 、CE 相交于点O ，且 OB ＝ OC . 试说明AB ＝AC 的理由 专题二：等腰三角形中的分类问题 1、 在等腰△ABC 中，∠A ＝80°，那么∠B ＝？ 2、 等腰三角形ABC 的周长为8cm ，AB ＝ 3cm ，则BC ＝？cm ． 等腰三角形的问题到底如何分类？ 方法提炼 有关等腰三角形的分类问题通常情况下有两种方式： 1.从角的角度出发,可以按照等腰三角形的顶角来分类,例如上面的问题1中出现的分类; 2.从边的角度出发,可以按照等腰三角形的底边来分类,例如上面的问题2中出现的分类. 练习：1、(1)如果等腰三角形ABC 的周长为10，底边长为4 ，那么腰长为 ; (2)如果等腰三角形ABC 的周长为10，腰长为4 ，那么底边长为 ; (3)如果等腰三角形ABC 的周长为12，一边长为5 ，那么另外两边长为 ． 2、等腰△ABC 中，∠A ＝40°，求∠B 的度数? O A B C D E P A B N M D C B A
专题三：在解决梯形的问题中有哪些常用辅助线 1、如图，在等腰梯形ABCD 中， AD ∥BC ，请把梯形分割成几个你认为比较熟悉的特殊图形. 2、如图，在四边形ABCD 中，有AB ＝DC ，∠B ＝∠C ，AD ＜BC .试说明四边形ABCD 是等腰梯形. 3、梯形两条互相垂直的对角线长分别为6和8，求此梯形面积． 方法提炼： 如何运用三角形的知识解决梯形的问题，因此解决梯形的有关问题时常常通过作辅助线将问题转化为解决有关三角形的问题来研究，或利用图形中隐含的面积与线段间的数量关系来转化问题，这是解梯形问题的基本思路，常用的辅助线的作法是： 1．平移腰：过一顶点作一腰的平行线； 2．平移对角线：过一顶点作一条对角线的平行线； 3．作垂线：过底的顶点作另一底的垂线； 4．延长两腰：两腰延长相交得到三角形 拓展： 如图，在等腰梯形ABCD 中，AD ∥BC ，AB =CD ，点P 为BC 边上一动点，PE ⊥AB ，PF ⊥CD ，CG ⊥AB ，试说明 PE+PF= CG ． G F E P D C B A D C B A D C B A D C B A D C B A
1、如图，在平行四边形中，点E F ，是对角线BD 上两点，且BF DE =． （1）写出图中每一对你认为全等的三角形； （2）选择（1）中的任意一对全等三角形进行证明． 2、如图，E 、F 是平行四边形ABCD 对角线BD 上的两点，给出下列三个条件：①BE ＝DF ；②∠AEB ＝∠DFC ；③AF ∥EC 。请你从中选择一个适当的条件___________________，使四边形AECF 是平行四边形，并证明你的结论。 3、如图△ADF 和△BCE 中，∠A=∠B ，点D 、E 、F 、C 在同—直线上，有如下三个关系式：① AD=BC ；② DE=CF ；③BE ∥AF 。 1)请用其中两个关系式作为条件，另一个作为结论，写出一个你认为正确的命题．(用序号 写出命题书写形式，如：如果○ ╳、○╳，那么○╳) 2)选择(1)中你写出的命题，说明它正确的理由． 4、如图，在菱形ABCD 中，∠A=60°，AB=4，E 是边AB 上一动点，过点E 作EF ⊥AB 交AD 的延长线于点F ，交BD 于点M ．请判断△DMF 的形状，并说明理由． 5、．如图，在□ABCD 中，E 为BC 边上一点，且AB =AE ． B
（1）求证：△ABC ≌△EAD ． （2）若AE 平分∠DAB ，∠EAC 25o ，求∠AED 的度数． 6、如图，在等边ABC △中，点D 为AC 中点，以AD 为边作菱形ADEF ，且AF BC ∥，连结FC 交DE 于点G ． 求证：ADB AFC △≌△； 7、如图．在梯形纸片ABCD 中．AD ∥BC ，AD >CD ．将纸片沿过点D 的直线折叠，使点C 落在 AD 上的点C ‘处，折痕DE 交BC 于点E ．连结C ， E (1)求证：四边形CD C ， E 是菱形； (2)若BC =CD +AD ，试判断四边形ABED 的形状，并加以证明； 8、如图，将一张矩形纸片ABCD 折叠，使AB 落在AD 边上，然后打开，折痕为AE ，顶点B 的落点为F ．你认为四边形ABEF 是什么特殊四边形？请说出你的理由． C G E F A B D A D B A D A D B
图（1） 图（2） 2015中考数学--尺规作图（复习） 班别： 姓名： 学号： 一、理解“尺规作图”的含义 1.在几何中，我们把只限定用直尺（无刻度）和圆规来画图的方法，称为尺规作图．其中直尺只能用来作直线、线段、射线或延长线段；圆规用来作圆和圆弧．由此可知，尺规作图与一般的画图不同，一般画图可以动用一切画图工具，包括三角尺、量角器等，在操作过程中可以度量，但尺规作图在操作过程中是不允许度量成分的． 2.基本作图：（1）用尺规作一条线段等于已知线段；（2）用尺规作一个角等于已知角. 利用这两个基本作图，可以作两条线段或两个角的和或差. 二、基本作图 最基本,最常用的尺规作图,通常称基本作图。一些复杂的尺规作图都是由基本作图组成的。 五种基本作图： 1、作一条线段等于已知线段； 2、作一个角等于已知角； 3、作已知线段的垂直平分线； 4、作已知角的角平分线； 5、过一点作已知直线的垂线； 1.作一条线段等于已知线段。 已知：如图，线段a . 求作：线段AB ，使AB = a . 作法： （1） 作射线AP ； （2） 在射线AP 上截取AB=a . 则线段AB 就是所求作的图形。 2. 作一个角等于已知角。 求作一个角等于已知角∠MON （如图1）． 已知：如图，∠MON . 求作：∠COD ，使∠COD =∠MON . 作法：（1）作射线11M O ； （2）在图（1）上，以O 为圆心，任意长为半径作弧，交OM 于点A ，交ON 于点B ； （3）以1O 为圆心，OA 的长为半径作弧，交 11M O 于点C ； （ 4）以C 为圆心，以AB 的长为半径作弧，交前弧于点D ；（5）过点D 作射线D O 1． 则∠D CO 1就是所要求作的角．
初三数学作图题训练 （1）有一块三角形的土地，其中 一边紧靠大河，在其一角A 上 有一肥料仓库，现在要把此地 按2∶3分给两个人，并要求 每一块地都有一边紧靠大河， 且与肥料仓库连接。 （2）已知△ABC ， 求作△ABC 的内切圆。 · （3）A 是直线L 外的一点， 求作一个⊙A 使它与L 有两个不同的交点BC 并作一等腰三角形△BCD 使它内接于⊙A （4）如图，三条直线表示三条相互交叉的公路， 现在要建一个货物中转站，要求它到三条公 路的距离相等，请作出它的位置。 （5）做铁桶要在一三角形 铁皮上截一个面积最大的圆形 铁皮，请作出该圆。 （6）如图，两个班的学生分别在 M 、N 两处参加植树劳动， 现需在道路AB 、AC 的交 叉区域内设一个茶水供应 点P ，使P 到两条道路的 距离相等且PM=PN 。 （7）已知△ABC 是一块直角三角形 余料，工人师傅要把它加工成 正方形零件，使C 为正方形的 一个顶点，其余三个顶点分别 在AB 、AC 、BC 边上，把裁割 线作出。 （8）如图有一破残的轮片 现要制作一个与原轮 片同样大小的圆形零 件，请你根据所学的 有关知识确定这个圆 形零件的半径。 （9）已知⊙O 上一点P 和 ⊙O 外一点Q ，求作⊙A ，· 使它经过点Q 且与⊙O 外切于点P 。 （10）作已知线段的第四比例项。 · L A · · C N B A M c b a ·Q
（11）如图一是从长为40cm ，宽为30cm 的 矩形钢板的左上角截取一块长为20cm ，宽为 10cm 的矩形后剩下的一块下脚料，工人师傅 要将它作适当的切割重新拼接后焊成一个 面积与原下脚料的面积相等的正方形（接缝 尽可能短），请根据上述要求设计出将这块 下脚料适当分割三块或三块以上的拼接方 案，在图中分别画出切割时所用的虚线以及 拼接后所得到的正方形保留拼接的痕迹。 （10）己知△ABC ， 求作：BC 边上的中线 （12）现有一片正方形土地，要在其上修两条笔直的道路，使道路把这片土地分成形状相同且面 积相等的四块，若道路的宽可忽略不计，请你在下面的正方形中设计二种不同在方案。 （）已知∠ACB = 900，求作：射线CE 、CF 将∠ACB 三等分。 （）在一次军事演习中，红方 侦察员发现蓝方指挥部设 在A 区内，离公路、铁路 交叉处B 点100米，到公 路、铁路的距离相等，如 果你是红方的指挥员，请 你确定蓝方指挥部的位置。 （）如图，已知△ABC 和 直线MN ，作一个△' ' ' C B A 关于直线MN 对称。 （）如图，已知∠ABC 和直线L ，求作⊙O ，使⊙O 与BA 、BC 都相切，且圆心O 在L 上。 （）如图，已知点C 是∠AOB 的边OA 上的一点， 求作⊙O ，使它经过O 、C 两点，且圆心在 ∠AOB 的平分线上。 （）求作等腰直角三角形， 使它的斜边等于已知线段a 。 A B C C B A B A 50米 L C B A C B O A a
初三数学综合复习 一、甲口袋中装有两个相同的小球，它们分别写有1和2；乙口袋中装有三个相同的小球，它们分别写有3、4和5；丙口袋中装有两个相同的小球，它们分别写有6和7．从这3个口袋中各随机地取出1个小球． （1）取出的3个小球上恰好有两个偶数的概率是多少？ （2）取出的3个小球上全是奇数的概率是多少？ 二、如图，在一次数学课外活动中，小明同学在点P 处测得教学楼A 位于北偏东60°方向，办公楼B 位于南偏东45°方向．小明沿正东方向前进60米到达C 处，此时测得教学楼A 恰好位于正北方向，办公楼B 正好位于正南方向．求教学楼A 与办公楼B 之间的距离 （结果精确到0.1米，供选用的数据：2≈1.414，3≈1.732）． 三、图中的曲线是函数5 m y x -= (m 为常数)图象的一支.） (1)求常数m 的取值范围； (2)若该函数的图象与正比例函数2y x =图象在第一象限的交点为A （2，n ）, 求点A 的坐标及反比例函数的解析式 四、如图，已知点E 在直角△ABC 的斜边AB 上，以AE 为直径的⊙O 与直角边BC 相切于点D ，∠B = 30°． 60° 45° P A C B x
求证：（1）AD 平分∠BAC ，（2）若BD = 33 ，求B E 的长． 五、解方程：2 4 x+2 + =11x x 1--- 六、某商店第一次用600元购进2B 铅笔若干支，第二次又用600元购进该款铅笔，但这次 每支的进价是第一次进价的5 4倍，购进数量比第一次少了30支． （1）求第一次每支铅笔的进价是多少元？ （2）若要求这两次购进的铅笔按同一价格全部销售完毕后获利不低于420元，问每支售价至少是多少元？ 七、某市自来水公司为限制单位用水，每月只给某单位计划内用水3000吨，计划内用水每吨收费0.5元,超计划部分每吨按0.8元收费.
期末复习专项训练 1、如图，火车匀速通过隧道（隧道长大于货车长）时，火车进入隧道的时间与火车在隧道内的长度之间的关系用图象描述大致是 ( ) 2、 抛物线3)1(2 +-=x y 的对称轴是 ( ) (A) 直线x ＝1 (B) 直线x ＝3 (C) 直线x ＝－1 (D) 直线x ＝－3 3、已知二次函数)11(12≤≤-+-=x bx x y ，当b 从-1逐渐变化到1的过程中，它所对应的抛物线位置也随之变动．关于抛物线的移动方向的描述中，准确的是（ ） 动 C ．先往右上方移动，再往右下方移动 D ．先往右下方移动，再往右上方移动 4、已知函数12)3(2++-=x x k y 的图象与x 轴有交点，则k 的取值范围是（ ） 34.34.4 .4 .≠≤≠<≤
A B C D 8、已知a=－1，点（a －1，y1），（a ，y2），（a+5，y3）都在函数x y 2=的图象上，则 ( ) A ．y1 圆及尺规作图专题训练 一、填空题：（每题 3 分，共 36 分） １、已知⊙O的半径为 5cm，OA＝4cm，则点A在＿＿＿＿。 ２、如果圆中一条弦长与半径相等，那么此弦所对圆心角为＿＿＿度。 ３、已知∠AOB＝30°，⊙M的半径为 2cm，当OM＝＿＿＿＿时，OM与OA相切。 ４、如图，AB是⊙O的直径，∠A＝50°，则∠B＝＿＿＿＿。 ５、已知，⊙O1与⊙O2外切，且O1O2＝10cm，若⊙O1的半径为 3cm，则⊙O2的半径为 ＿＿＿cm。 ６、如图，半径为30cm的转轮转120°角时，传送带上的物体A平移的距离为＿＿＿ ＿cm。（保留π） ７、在△ABC中，∠BAC＝80°，I 是△ABC外接圆的圆心，则∠BIC＝＿＿＿＿。 ８、如图，A、B、C是⊙O上三个点，当BC平分∠ABO时，能得出结论：＿＿＿＿＿＿ ＿＿＿＿＿。（任写一个） 第8题第9题第12题 ９、△ABC的周长为 10cm，面积为 4cm2，则△ABC内切圆半径为＿＿＿＿＿cm。 10、如图PA切⊙O于A点，PC经过圆心O，且PA＝8，PB＝4。则⊙O的半径为＿＿＿＿＿。 11、半径是6，圆心角为120°的扇形是某圆锥的侧面展开图，这个圆锥的底面半径 为＿＿＿＿。 12、如图在Rt△ABC中，∠C＝90°，CA＝CB＝2，分别以A、B、 C为圆心，以AC 为半径画弧，三条弧与边AB所围成的阴影部分的面积是＿＿＿ ＿＿。 二、选择题：（每题 4 分，共 24 分） １、在⊙O中，若＝2，则弦AB和CD的关系是（） A、AB＝2CD B、AB＜2CD C、AB＞2CD D、无法确定 ２、如图，等边三角形ABC内接于圆，D为上一点，则图中等于60°的角有（） 1如图，在△ABC中，∠C=90°，∠B=30°，以A为圆心，任意长为半径画弧分别交AB、AC于点M和N，再分别以M、N为圆心，大于MN的长为半径画弧，两弧交于点P，连结AP并延长交BC于点D，则下列说法中正确的个数是（） ①AD是∠BAC的平分线；②∠ADC=60°；③点D在AB的中垂线上；④S△DAC：S△ABC=1：3． A．1B．2C．3D．4 角平分线的性质；线段垂直平分线的性质；作图—基本作图． 考 点： ①根据作图的过程可以判定AD是∠BAC的角平分线； 分 析： ②利用角平分线的定义可以推知∠CAD=30°，则由直角三角形的性质 来求∠ADC的度数； ③利用等角对等边可以证得△ADB的等腰三角形，由等腰三角形的“三 故③正确； ④∵如图，在直角△ACD中，∠2=30°， ∴CD=AD， ∴BC=CD+BD=AD+AD=AD，S△DAC=AC?CD=AC?AD． ∴S△ABC=AC?BC=AC?AD=AC?AD， ∴S△DAC：S△ABC=AC?AD： AC?AD=1：3． 故④正确． 综上所述，正确的结论是：①②③④，共有4个． 故选D． 点 评： 本题考查了角平分线的性质、线段垂直平分线的性质以及作图﹣基本作图．解题时，需要熟悉等腰三角形的判定与性质． （2013?乐山）如图9，已知线段AB. (1)用尺规作图的方法作出线段AB 的垂直平分线l （保留作图痕迹，不要求写出作法）； (2)在(1)中所作的直线l上任意取两点M、N（线段AB的上方）.连结AM、AN、BM、BN.求证：∠MAN=∠MBN. 2如图，已知线段a及∠O，只用直尺和圆规， 求做△ABC，使BC=a，∠B=∠O，∠C=2∠B（在指定作图区域作图，保留作图痕迹，不写作法） 考点：作图—复杂作图． 分析：先作一个角等于已知角，即∠MBN=∠O，在边BN上截取BC=a，以射线CB为一边，C为顶点，作∠PCB=2∠O，CP交BM于点A，△ABC即为所求． 一元二次方程 一、选择题 (共8题，每题有四个选项，其中只有一项符合题意。每题3分,共24分)： 1. 下列方程中不一定是一元二次方程的是( ) A.()()3832≠=-a x a B.02=++c bx ax C.(x+3)(x-2)=x+5 D.0257 332=-+x x 2下列方程中,常数项为零的是( ) A. 12=+x x B.121222=--x x C.()()13122-=-x x D.() 2122+=+x x 3.一元二次方程01322=+-x x 化为()b a x =+2 的形式,正确的是( ) A. 16232=??? ??-x B.1614322=??? ??-x C. 161432 =??? ? ?-x D.以上都不对 4.关于x 的一元二次方程()01122=-++-a x x a 的一个根是0，则a 值为（ ） A 、1 B 、1 C 、1或1 D 、2 1 5.已知三角形两边长分别为2和9,第三边的长为二次方程048142=+-x x 的一根, 则这个三角形的周 长为( ) A.11 B.17 C.17或19 D.19 6.已知一个直角三角形的两条直角边的长恰好是方程07822 =+-x x 的两个根，则这个直角三角形的斜边长是（ ） A 、3 B 、3 C 、6 D 、9 7.使分式1 652+--x x x 的值等于零的x 是( ) A.6 B.-1或6 C.-1 D.-6 8.若关于y 的一元二次方程43342+=--y y ky 有实根,则k 的取值范围是( ) A.k>47- B.k ≥47- 且k ≠0 C.k ≥47- D.k>4 7且k ≠0 9.已知方程22xx ，则下列说中，正确的是（ ） （A ）方程两根和是1 （B ）方程两根积是2 （C ）方程两根和是1 （D ）方程两根积比两根和大2 10.某超市一月份的营业额为200万元,已知第一季度的总营业额共1000万元, 如果平均每月增长率为x,则由题意列方程应为( ) A.1000=x )+200(12 B.1000=2x ×200+200 （第8题图） 选择题（每小题x 分，共y 分） （2011长春）8．如图，直线 l 1ABC 1 2 （2011浙江绍兴，8，4分）如图，在ABC ?中，分别以点A 和点B 为圆心，大于 1 2 AB 的长为半径画弧，两弧相交于点,M N ，作直线MN ，交BC 于点D ，连接AD .若ADC ?的周长为10，7AB =，则ABC ?的周长为（ ） D M N C A B 【答案】C 二、填空题（每小题x 分，共y 分） 〔2011南京市〕11．如图，以O 为圆心，任意长为半径画弧，与射线OM 交于点A ，再以 A 为圆心，AO 长为半径画弧，两弧交于点 B ，画射线OB ，则cos ∠AOB 的值等于 _______1 2 ____． （2011重庆市潼南县）19.（6分）画△ABC,使其两边为已知线段a 、b ，夹角为β. （要求：用尺规作图，写出已知、求作；保留作图痕迹；不在已知的线、角上作图；不 写作法）. (第11题) B A M O B A C D 图2 图3 已知： 求作： 19. 已知：线段a 、b 、角β -------------1分 求作：△ABC 使边BC=a ，AC= b ，∠C=β ------------2分 画图（保留作图痕迹图略） --------------6分 （2011佛山）22、如图，一张纸上有线段AB ； （1）请用尺规作图，作出线段AB 的垂直平分线（保留作图痕迹，不写作法和证明）； （2）若不用尺规作图，你还有其它作法吗请说明作法（不作图）； （2011?宿迁市）28．（本题满分12分）如图，在Rt △ABC 中，∠B ＝90°，AB ＝1，BC ＝ 2 1 ，以点C 为圆心，CB 为半径的弧交CA 于点D ；以点A 为圆心，AD 为半径的弧交AB 于点E ． （1）求AE 的长度； （2）分别以点A 、E 为圆心，AB 长为半径画弧，两弧交于点F （F 与C 在AB 两侧），连接AF 、EF ，设EF 交弧DE 所在的圆于点G ，连接AG ，试猜想∠EAG 的大小，并说明理由． 19题图a b β A B 京华中学初三辅导班资料9 初中几何综合复习 学校__________ 姓名__________ 一、典型例题 例1（2005重庆）如图，在△ABC 中，点E 在BC 上，点D 在AE 上，已知∠ABD ＝∠ACD ，∠BDE ＝∠CDE ．求证：BD ＝CD ． 例2（2005南充）如图2－4－1，⊿ABC 中，AB ＝AC ，以AC 为直径的⊙O 与AB 相交 于点E ，点F 是BE 的中点．（1）求证：DF 是⊙O 的切线．（2）若AE ＝14，BC ＝12， 求BF 的长． 例3.用剪刀将形状如图1所示的矩形纸片ABCD 沿着直线CM 剪成两部分，其中M 为AD 的中点.用这两部分纸片可以拼成一些新图形，例如图2中的Rt △BCE 就是拼成的一个图 形． （1）用这两部分纸片除了可以拼成图2中的Rt △BCE 外，还可以拼成一些四边形.请你 试一试，把拼好的四边形分别画在图3、图4的虚框内． （2）若利用这两部分纸片拼成的Rt △BCE 是等腰直角三角形，设原矩形纸片中的边AB 和BC 的长分别为a 厘米、b 厘米，且a 、b 恰好是关于x 的方程 01)1(2=++--m x m x 的两个实数根，试求出原矩形纸片的面积． A B C D E E B A C B A M C D M 图3 图4 图1 图2 二、强化训练 练习一：填空题 1.一个三角形的两条边长分别为9和2，第三边长为奇数，则第三边长为________. 2.已知∠a ＝60°，∠AOB ＝3∠a ，OC 是∠AOB 的平分线，则∠AOC ＝ ______． 3.直角三角形两直角边的长分别为5cm 和12cm ，则斜边上的中线长为__________ 4.等腰Rt △ABC ， 斜边AB 与斜边上的高的和是12厘米， 则斜边AB ＝_____厘米． 5.已知：如图△ABC 中AB ＝AC ， 且EB ＝BD ＝DC ＝CF ， ∠A ＝40°， 则∠EDF 的度数 为________． 6.点O 是平行四边形ABCD 对角线的交点，若平行四边行ABCD 的面 积为8cm ，则△AOB 的面积为________. 7.如果圆的半径R 增加10% ， 则圆的面积增加__________ ． 8.梯形上底长为2，中位线长为5，则梯形的下底长为__________ . 9. △ABC 三边长分别为3、4、5，与其相似的△A ′B ′C ′的最大边长是10，则△A ′B ′C ′的面积 是__________. 10.在Rt △ABC 中，AD 是斜边BC 上的高，如果BC ＝a ，∠B ＝30°，那么AD 等于______ . 练习二：选择题 1.一个角的余角和它的补角互为补角，则这个角等于 [ ] A .30° B .45° C .60° D .75° 2.将一张矩形纸对折再对折（如图），然后沿着图中的虚线剪下，得到①、②两部分，将① 展开后得到的平面图形是 [ ] A ．矩形 B ．三角形 C ．梯形 D ．菱形 3.下列图形中，不是中心对称图形的是 [ ] A . B . C . D ． 4.既是轴对称，又是中心对称的图形是 [ ] A .等腰三角形 B .等腰梯形 C .平行四边形 D .线段 5.依次连结等腰梯形的各边中点所得的四边形是 [ ] A .矩形 B .正方形 C .菱形 D .梯形 6.如果两个圆的半径分别为4cm 和5cm ，圆心距为1cm ，那么这两个圆的位置关系是 [ ] A .相交 B .内切 C .外切 D .外离 7.已知扇形的圆心角为120°，半径为3cm ，那么扇形的面积为 [ ] 8.A .B . C 一次函数应用题 1、（辽宁）某单位急需用车,但又不准备买车,他们准备和一个体车主或一国营出租车公司其中的一家订月租车合同.设汽车每月行驶x千米,应付给个体车主月租费是y1元,应付给出租车公司的月租费是y2元,y1和y2分别与x之间的函数关系图象（两条射线）如图4,观察图象回答下列问题：（1）每月行驶的路程在什么范围内时,租国营公司的车合算？ （2）每月行驶的路程等于多少时,两家车的费用相同？ （3）如果这个单位估计每月行驶的路程为2300千米,那么这个单位租那家的车合算？ 2、（陕西咸阳）现在有甲、乙两个氮肥厂向A、B两地运送化肥.已知甲厂可调出50吨化肥,乙厂可调出40吨化肥,A地需30吨化肥,B地需60吨化肥,两厂到A、B两地的路程和运费如表2（表中运费栏“元/吨·千米”表示每吨化肥运送1千米所需人民币）. 根据题意,请设计出合理的运送方案,使所需的总运费最低,并求出最低的总运费 . 3、某厂生产四驱动玩具车，成本为每辆16元。现有两种销售方式：第一种是直接由厂家门市部销售，每辆车售价为20元，需每月支出固定费用1520元（包括门市部房租、水电、销售人员工资等）；第二种是批发给文化用品及玩具模型商店分销售，批发价为每辆18元。已知这两种销售方式均需缴纳税款为销售金额的5％。（1）求出该厂这两种销售方式的月利润y与售出辆数x的函数关系式；（2）就每月销售车辆数，讨论哪种销售方式所获利润多；（3）若该厂今年七月计划销售这种玩具车1500辆，应选择哪种销售方式，才能获利较大？ 4、从A地向B地打长途电话，按时收费，3分内收费2.4元，每加1分加收1元，求电话费y(元)与时 间ｔ的函数关系式，并写出相应的自变量ｘ的取值范围。 一元二次方程应用题 1.一个一元二次方程，其两根之和是5，两根之积是-14，求出这两个根。 2、一个两位数，十位数字与个位数字之和是5，把这个数的个位数字与十位数字对调后，所得的新两位数与原两位数的乘积为736，求原来的两位数。 面积问题 1、用22长的铁丝，折成一个面积是30㎝2的矩形，求这个举行的长和宽。又问：能否折成面积是32㎝2的矩形呢？为什么？ 2、用一块长80cm，宽60cm的厚钢片，在四个角截去四个相同的小正方形，然后把四边折起来，做成一个无盖的底面积为1500cm2盒子。求小正方形的边长。 3、在宽为20cm，长为32cm的矩形地面上，修筑同样宽的两条互相垂直的道路，余下的部分作耕地，要使耕地面积为540cm2，道路的宽应为多少？ 初中数学尺规作图专题训练 一、选择题 1.已知的三边长分别为4、4、6,在所在平面内画一条直线,将△ABC △ABC △ABC 分割成两个三角形,使其中的一个是等腰三角形,则这样的直线最多可画( )条． A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 2.如图,在中,,,,以点C 为圆心,CB 长为半径作弧, △ABC BC =4交AB 于点D ；再分别以点B 和点D 为圆心,大于的长为半径作弧,两弧相交于 12BD 点E ,作射线CE 交AB 于点F ,则AF 的长为( ) A. 5 B. 6 C. 7 D. 8 3.已知,作图．∠AOB 步骤1：在OB 上任取一点M ,以点M 为圆心,MO 长为半径画半圆,分别交OA 、OB 于点P 、Q ； 步骤2：过点M 作PQ 的垂线交于点C ；^P Q 步骤3：画射线OC ． 则下列判断：；；；平分,其中正确①P C =C Q ②MC ∥OA ③OP =PQ ④OC ∠AOB 的个数为( ) A. 1 B. 2 C. 3 D. 44.如图,中,,为的外角,观察图中尺规作图的痕迹,则下列 △ABC AB >AC ∠CAD △ABC 结论错误的是( ) A. ∠DAE =∠B B. ∠EAC =∠C C. AE ∥BC D. ∠DAE =∠EAC 5.尺规作图：经过已知直线外一点作这条直线的垂线,下列作图中正确的是( ) A. B. C. D. 6.如图,已知线段AB ,分别以A 、B 为圆心,大于为半径作弧,连接弧的交点得到直 12AB 线l ,在直线l 上取一点C ,使得,延长AC 至M ,求的度数为( )∠BCM A. B. C. D. 7.如图,在中,分别以点A 和点C 为圆心,大于长为半径画弧,两弧相交于点 △ABC 12AC M ,N ,作直线MN 分别交BC ,AC 于点D ,若,的周长为13cm ,则E .AE =3cm △ABD △的周长为( ) ABC A. 16cm B. 19cm C. 22cm D. 25cm 初三数学专题复习 新概念型问题 一、选择题 1.古希腊著名的毕达哥拉斯派1、3、6、10、…这样的数称为“三角形数”，而把1、4、9、16…这样的数称为“正方形数”.从图中可以发现，任何一个大于1的“正方形数”都可以看作两个相邻的“三角形数”之和，下列等式中，符合这一规律的是（ ） A.13=3+10 B.25=9+16 C.36=15+21 D.49=18+31 【答案】C 2．小翔在如图1所示的场地上匀速跑步，他从点A 出发，沿箭头所示的方向经过B 跑到 点C ，共用时30秒．他的教练选择了一个固定的位置观察小翔的跑步过程．设小翊跑步的时间为t （单位：秒），他与教练距离为y （单位：米），表示y 与t 的函数关系的图象大致如图2，刚这个固定位置可能是图1的（ ） A ．点M B ．点N C ．点P D ．Q 答案：D 。 3.如图所示为一个污水净化塔内部，污水从上方入口进入后流经形如等腰直角三角形的净化 材枓表面，流向如图中箭头所示，每一次水流流经三角形两腰的机会相同，经过四层净化后流入底部的5个出口中的一个．下列判断：①5个出口的出水量相同；②2号出口的出水量与4号出口的出水量相同；③1，2，3号出水口的出水量之比约为1：4：6；④若净化材枓损耗的速度与流经其表面水的数量成正比，则更换最慢的一个三角形材枓使用的时间约为更换最快的一个三角形材枓使用时间的6倍．其中正确的判断有（ ）个． A ．1个B ．２个C ．３个D ．４个 答案：B 4．已知222 22112 11,c x b x a y c x b x a y ++=++=且满足 )1,0(2 1 2121≠===k k c c b b a a .则称抛物线21,y y 互为“友好抛物线”，则下列关于“友好抛物线”的说法不正确的是（ ） O 30 t / 秒 y / 米 Q N M P C B A 旋转作图练习 1.如图，在平面直角坐标系中，线段AB 位置如图所示： （1） 画出将线段AB 绕点A 按逆时针方向旋转90°后， 得到线段AB′， （2） 写出点B′的坐标为__________． 2.如图，已知四边形ABCD 和点O ，画出四边形EFGH ， 使这两个四边形关于点O 成中心对称． 3.如图，△ABC 三个顶点的坐标分别为 A （1，4），B （5，6），C （7，1）， （1）作出以O 为旋转中心，将△ABC 沿顺时针方 向旋转90°得到的△A 1B 1C 1， （2）写出各顶点的坐标. 4.如图所示，方格纸中的每个小方格都是边长为1个单位长度的正方形，在建立平面直角坐标系后，△ABC 的顶点均在格点上. ①△ABC 绕点C 顺时针旋转90°后得 到△A 1B 1C 1，在给出的平面直角坐标系 中画出△A 1B 1C 1。 ②以原点O 为对称中心，再画出与△ABC 关于原点O 对称的△A 2B 2C 2 5.在平面直角坐标系中，已知△ABC 三个顶点的坐标分别为A （-1，2），B （-3，4）， C （-2， 6.）在给出的平面直角坐标系中， （1）画出△ABC 绕点A 顺时针旋转90°后得到的△A 1B 1C 1； （ （2）画出△ABC 关于原点O 对称的△A 2B 2C 2. 6.（1）做出将△AOB 绕原点O 顺时针 旋转90°后得到的△A 1OB 1； （2）点A 1的坐标为 （3）计算四边形AOA 1B 1的面积 7.如图，△DEF 是由△ABC 绕着某点旋转得到的， 则这点的坐标是__________. O A B C D E F x y 2 3 第6题 1、作图：（不写作法，但要保留作图痕迹） 如图所示，要在街道旁修建一个牛奶站， 向居民区A、B提供牛奶，牛奶站应建在 什么地方，才能使A、B到它的距离之和最短． 2、如图（1），A、B两单位分别位于一条封闭街道的两旁（直线L 1、L 2 是街道两边沿），现准备合作修建一座过街人行天桥． （1）天桥应建在何处才能使由A经过天桥走到B的路程最短？在图（2）中作出此时桥PQ的位置，简要叙述作法并保留作图痕迹．（注：桥的宽度忽略不计，桥必须与街道垂直）． （2）根据图（1）中提供的数据计算由A经过天桥走到B的最短路线的长．（单位：米） 3、有一块三角形的土地，现要平均分给四个农户种植．请给出两种分法．（在下列所给的图形上画图，不要求写作法，保留作图痕迹且要有简要分法的说明） 4、画图题．如图：求作一点P，使PC=PD， 并且P到∠AOB两边的距离相等． （不写作法，保留作图痕迹．） 5、如图，已知点M 、N 和∠AOB ，求作一点P ， 使P 到点M 、N 的距离相等，且到∠AOB 的 两边的距离相等．（要求用尺规画图，保留作图痕迹） 6、如图，AC 、BD 为正方形ABCD 对角线，相交于点O,点D 为BC 边的中点，正方形边长为2cm,在BD 上找点P ，使DP+CP 之和最小，且最小值为________。 7、如图，点P 在∠AOB 内部，问如何在射线OA 、 OB 上分别找点C 、D ，使PC+CD+DP 之和最小？请简 要说明。 8、如图，P 是∠AOB 内任一点，分别在OA 、OB 上，求作两点P 1，P 2，使△PP 1P 2的周长最小（简要说明作法）． 9、如图，在边长为1个单位长度的小正方形组成的两格中，点A 、B 、C 都是格点． （1）将△ABC 向左平移6个单位长度得到得到△A 1B 1C 1； （2）将△ABC 绕点O 按逆时针方向旋转180° 得到△ A 2 B 2 C 2，请画出△A 2B 2C 2． B C D B A 初三数学专题训练（9） 一、选择题 1、下列计算中，正确的是…………………………………………………………………（ ） A 、4 2 2 a a a =+ B 、() 53 2 a a = C 、632a a a =? D 、a a a =÷23 （a ≠0） 2、有12只型号相同的杯子，其中一等品8只，二等品3只，三等品1只，从中任意抽取一只杯子，恰好是二等品的概率是……………………………………………………（ ） A 、 121 B 、41 C 、43 D 、6 1 3、在四边形ABCD 中，向量AB 、BC 、CD 的和向量是……………………………（ ） A 、AC B 、DA C 、B D D 、AD 4、已知⊙O 的半径为1，P 是⊙O 外一点，PD 是⊙O 的一条切线，切点为D ， ∠OPD =30°，则PD 的长为………………………………………………………………（ ） A 、3 B 、 332 C 、33 D 、2 1 5、下列说法正确的是……………………………………………………………………（ ） A 、对角线相等的四边形是平行四边形； B 、对角线互相垂直的四边形是平行四边形； C 、对角线互相平分的四边形是平行四边形； D 、一组对边平行，另一组对边相等的四边形是平行四边形. 6、如图，在等边△ABC 中，9=AC ，点O 在AC 上，且3=AO ， 点P 是AB 上一动点，连接OP ，以O 为圆心，OP 长为半径画弧 交BC 于点D ，连接PD ，如果PD PO =，那么AP 的长是…（ ） （A ）5 （B ）6 （C ）7 （D ）8 二、填空题 7、梯形ABCD 中，AD ∥BC ，E 、F 分别为AB 、CD 的中点，如果4=AD ，6=BC ，那么=EF . 8、在Rt △ABC 中，?=∠90C ，6=AC ，8=BC ， 点G 为Rt △ABC 的重心，那么=CG . 9、某人沿坡度3:1=i 的山路的路面向上前进10100米后，他所在的位置比原来的位置升高____________米. 10、在Rt △ABC 中，?=∠90C ，点D 在AC 上，BD 平分ABC ∠，将△BCD 沿着直线BD 翻折，点C 落在1C 处，如果5=AB ，4=AC ，那么1sin ADC ∠的值是 . 11、关于x 的一元二次方程042 =+-mx x 有两个相等的实数根，则m = . 12、请你写出一个二元一次方程，使它的一个解为? ??==21 y x ，此方程是 . 13、用换元法解分式方程21 2222 2 =+++ +x x x x 时，若设y x x =+22 ，则原方程可化为 . 14、二次函数12 -=x y 的图像向左平移3个单位，所得的二次函数解析式为 . 15、如图，AB ∥CD ，BE 平分∠ABC ，∠C =54°，则∠BEC = 度. P → → → → → → → 天津市和平区普通中学2018届初三数学中考复习 数与式 专题练习题 1．下列实数中，是有理数的为( ) A. 2 B ．3 4 C ．π D ．0 2．餐桌边的一蔬一饭，舌尖上的一饮一酌，实属来之不易，舌尖上的浪费让人触目惊心，据统计，中国每年浪费的食物总量折合粮食约500亿千克，这个数据用科学记数法表示为( ) A ．5×109千克 B ．50×109千克 C ．5×1010千克 D ．0.5×1011千克 3．若|a －1|＝a －1，则a 的取值范围是( ) A ．a ≥1 B ．a ≤1 C ．a ＜1 D ．a ＞1 4．下列计算正确的是( ) A ．4x 3·2x 2＝8x 6 B ．a 4＋a 3＝a 7 C ．(－x 2)5＝－x 10 D ．(a －b)2＝a 2－b 2 5．如果a ＋a 2－4a ＋4＝2，那么a 的取值范围是( ) A ．a ≤0 B ．a ≤2 C ．a ≥－2 D ．a ≥2 6．在代数式2x ，13(x ＋y)，x π－3，5a －x ，x （x －y ）x ，x ＋3（x ＋1）（x －2） 中，分式有____个． 7．如图，数轴上点A ，B 所表示的两个数的和的绝对值是____． 8．分解因式：8－2x 2＝____ ． 9．若a ＜6＜b ，且a ，b 是两个连续的整数，则a b ＝____． 10．若分式x 2－2x －3x ＋1 的值为0，则x 的值为____． 11．计算： 8＋|22－3|－( 13 )－1－(2015＋2)0； 12．已知x＋y＝－7，xy＝12，求y x y ＋x y x 的值． 13．先化简，再求值：a2－b2 a ÷(a－ 2ab－b2 a )，其中a＝2＋3，b＝2－3； 14．观察下列等式： 31＝3，32＝9，33＝27，34＝81，35＝243，36＝729，37＝2187，…. 解答下列问题： (1)32016的末位数字是多少？ (2)3＋32＋33＋33＋…＋32016的末位数字是多少？ 数学 1.作图题题目中要求你作出的用实线,过程中需要用到的线用虚线, 因为它们不是你的最终目的 2.平面几何中题目的就是实线,你自己画的全是虚线；空间几何中, 凡是看得见的就是实线,看不见的就是虚线 详细方法 一、理解“尺规作图”的含义 1.在几何中，我们把只限定用直尺（无刻度）和圆规来画图的方法，称为尺规作图．其中直尺只能用来作直 线、线段、射线或延长线段；圆规用来作圆和圆弧．由此可知，尺规作图与一般的画图不同，一般画图可以动用一切画图工具，包括三角尺、量角器等，在操作过程中可以度量，但尺规作图在操作过程中是不允许度量成分的． 2.基本作图：（1）用尺规作一条线段等于已知线段； （2）用尺规作一个角等于已知角.利用这两个基本作图，可以作两条线段或两个角的和或差. 二、熟练掌握尺规作图题的规范语言 1.用直尺作图的几何语言： ①过点×、点×作直线××；或作直线××；或作射线××； ②连结两点××；或连结××； ③延长××到点×；或延长（反向延长）××到点×，使××＝××；或延长××交××于点×； 2.用圆规作图的几何语言： ①在××上截取××＝××； ②以点×为圆心，××的长为半径作圆（或弧） ③以点×为圆心，××的长为半径作弧，交××于点×； ④分别以点×、点×为圆心，以××、××的长为半径作弧，两弧相交于点×、×. 三、了解尺规作图题的一般步骤 尺规作图题的步骤： 1.已知：当作图是文字语言叙述时，要学会根据文字语言用数学语言写出题目中的条件； 2.求作：能根据题目写出要求作出的图形及此图形应满足的条件； 3.作法：能根据作图的过程写出每一步的操作过程.当不要求写作法时，一般要保留作图痕迹.对于较复杂的作图，可先画出草图，使它同所要作的图大致相同，然后借助草图寻找作法.在目前，我们只要能够写出已知，求作，作法三步（另外还有第四步证明）就可以了，而且在许多中考作图题中，又往往只要求保留作图痕迹，不需要写出作法，可见在解作图题时，保留作图痕迹很重要. 四、基本作图 最基本,最常用的尺规作图,通常称基本作图。一些复杂的尺规作图都是由基本作图组成的。五种基本作图： 1、作一条线段等于已知线段； 2、作一个角等于已知角； 3、作已知线段的垂直平分线； 4、作已知角的角平分线； 5、过一点作已知直线的垂线；初中数学 圆及尺规作图专题训练【含详细答案】
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