b
. 10.几种特殊的二次函数的图像特征如下：
11.用待定系数法求二次函数的解析式
（1）一般式：c bx ax y ++=2.已知图像上三点或三对x 、y 的值，通常选择一般式. （2）顶点式：()k h x a y +-=2.已知图像的顶点或对称轴，通常选择顶点式.
（3）交点式：已知图像及x 轴的交点坐标1x 、2x ，通常选用交点式：()()21x x x x a y --=. 12.直线及抛物线的交点
（1）y 轴及抛物线c bx ax y ++=2得交点为(0, c ).
（2）及y 轴平行的直线h x =及抛物线c bx ax y ++=2有且只有一个交点(h ,c bh ah ++2). （3）抛物线及x 轴的交点
二次函数c bx ax y ++=2的图像及x 轴的两个交点的横坐标1x 、2x ，是对应一元二次方
程02=++c bx ax 的两个实数根.抛物线及x 轴的交点情况可以由对应的一元二次方程的根的判别式判定：
①有两个交点?0>??抛物线及x 轴相交；
②有一个交点（顶点在x 轴上）?0=??抛物线及x 轴相切； ③没有交点?0
同（3）一样可能有0个交点、1个交点、2个交点.当有2个交点时，两交点的纵坐
标相等，设纵坐标为k ，则横坐标是k c bx ax =++2的两个实数根.
（5）一次函数()0≠+=k n kx y 的图像l 及二次函数()02≠++=a c bx ax y 的图像G 的交点，由
方程组
c
bx ax y n kx y ++=+=2的解的数目来确定：①方程组有两组不同的解时?l 及G 有两个
交点; ②方程组只有一组解时?l 及G 只有一个交点；③方程组无解时?l 及G 没有交点.
（6）抛物线及x 轴两交点之间的距离：若抛物线c bx ax y ++=2及x 轴两交点为
()()0021，，，x B x A ，由于1x 、2x 是方程02=++c bx ax 的两个根，故
a
c
x x a b x x =
?-=+2121,
()
()
a a ac
b a
c a b x x x x x x x x AB ?=-=-??
?
??-=--=
-=
-=44422
212
212
2121
第二部分 典型习题
１.抛物线y ＝x 2＋2x －2的顶点坐标是 （ D ）
A.（2，－2）
B.（1，－2）
C.（1，－3）
D.（－1，－3） ２.已知二次函数c bx ax y ++=2的图象如图所示，则下列结论正确的是（ C ）
Ａ．ab ＞0，c ＞0 Ｂ．ab ＞0，c ＜0 Ｃ．ab ＜0，c ＞0 Ｄ．ab ＜0，c ＜0
第２,３题图 第4题图
３.二次函数c bx ax y ＋＋＝2的图象如图所示，则下列结论正确的是（ Ｄ ） A ．a ＞0，b ＜0，c ＞0 B ．a ＜0，b ＜0，c ＞0 C ．a ＜0，b ＞0，c ＜0 D ．a ＜0，b ＞0，c ＞0 ４.如图，已知
中，BC=8，BC 上的高
，D 为BC 上一点，
，交AB 于点E ，
交AC 于点F （EF 不过A 、B ），设E 到BC 的距离为，则的面积关于的函数的
图象大致为（ Ｄ ）
2482,484
EF x
EF x y x x -=?=-∴=-+ ５.抛物线322--=x x y 及x 轴分别交于A 、B 两点，则AB 的长为 4 ．
6.已知二次函数11)(2k 2－－＋＝x kx y 及x 轴交点的横坐标为1x 、2x （21x x ＜），则对于下列结论：①当x ＝－2时，y ＝1；②当2x x ＞时，y ＞0；③方程011)(22＝－＋-x k kx 有两个不相等的实
数根1x 、2x ；④11-＜x ，12＞－x ；⑤21x x －，其中所有正确的结论是 ①③④ （只
需填写序号）．
7.已知直线()02≠+-=b b x y 及x 轴交于点A ，及y 轴交于点B ；一抛物线的解析式为
()c x b x y ++-=102.
（1）若该抛物线过点B ，且它的顶点P 在直线b x y +-=2上，试确定这条抛物线的解析式； （2）过点B 作直线BC ⊥AB 交x 轴交于点C ，若抛物线的对称轴恰好过C 点，试确定直线
b x y +-=2的解析式.
解：（1）102-=x y 或642--=x x y
将0)b （，代入，得c b =.顶点坐标为21016100
(,)24
b b b +++-，由题意得21016100
224
b b b b +++-?+=-，解得1210,6b b =-=-.
第9题
（2）22--=x y
8.有一个运算装置，当输入值为x 时，其输出值为y ，且y 是x 的二次函数，已知输入值为
2-,0,1时, 相应的输出值分别为5,3-,4-．
（1）求此二次函数的解析式；
（2）在所给的坐标系中画出这个二次函数的图象,并根据图象写出当输出值y 为正数时输入值x 的取值范围.
解：（1）设所求二次函数的解析式为c bx ax y ++=2,
则???
????-=++-=+?+?=+-+-43005)2()2(22c b a c b a c b a ,即?????-=+=--=1
423b a b a c ,解得?????-=-==321
c b a
故所求的解析式为:322--=x x y . （2)函数图象如图所示.
由图象可得，当输出值y 为正数时， 输入值x 的取值范围是1-x ．
9.某生物兴趣小组在四天的实验研究中发现：骆驼的体温会随外部环境温度的变化而变化，而且在这四天中每昼夜的体温变化情况相同．他们将一头骆驼前两昼夜的体温变化情况绘制成下图．请根据图象
回答：
⑴第一天中，在什么时间范围内这头骆驼的体温是上升的?它的体温从最低上升到最高需要多少时间?
⑵第三天12时这头骆驼的体温是多少? ⑶兴趣小组又在研究中发现，图中10时到 22时的曲线是抛物线，求该抛物线的解 析式．
解：⑴第一天中，从4时到16时这头骆驼的
体温是上升的
它的体温从最低上升到最高需要12小时 ⑵第三天12时这头骆驼的体温是39℃ ⑶()221024216
12
≤≤++-
=x x x y 交于A 、 10.已知抛物线4)33
4(2+++=x a ax y 及x 轴 B 两点，及y 轴交于点C ．是否存在实数a ，使得 △ABC 为直角三角形．若存在，请求出a 的值；若不
存在，请说明理由．
解：依题意，得点C 的坐标为（0，4）．
设点A 、B 的坐标分别为（1x ，0），（2x ，0），
由04)33
4
(2=+++x a ax ，解得 31-=x ，a
x 34
2-=． ∴ 点A 、B 的坐标分别为（-3，0），（a
34
-，0）． ∴ |334
|+-
=a
AB ，522=+=OC AO AC ， =+=22OC BO BC 22
4|34|+-
a
． ∴ 98
91693432916|334|2222+-=+??-=+-
=a
a a a a AB ， 252=AC ，16916
22+=
a
BC ． 〈ⅰ〉当222BC AC AB +=时，∠ACB ＝90°． 由222BC AC AB +=， 得
)16916
(25989162
2++=+-a a a ． 解得 4
1
-=a ．
∴ 当41-=a 时，点B 的坐标为（3
16
，0），96252=AB ，252=AC ，94002=BC ．
于是222BC AC AB +=．
∴ 当4
1
-=a 时，△ABC 为直角三角形． 〈ⅱ〉当222BC AB AC +=时，∠ABC ＝90°． 由222BC AB AC +=，得)16916
()98916(2522+++-=a
a a ． 解得 9
4=a ．
当9
4=a 时，39
43434-=?=-
a ，点B （-3，0）及点A 重合，不合题意．
〈ⅲ〉当222AB AC BC +=时，∠BAC ＝90°． 由222AB AC BC +=，得
)98
916(25169162
2+-+=+a a
a ． 解得 9
4=a ．不合题意．
综合〈ⅰ〉、〈ⅱ〉、〈ⅲ〉，当4
1
-=a 时，△ABC 为直角三角形． 11.已知抛物线y ＝－x 2＋mx －m ＋2.
（1）若抛物线及x 轴的两个交点A 、B 分别在原点的两侧，并且AB ＝5，试求m 的值； （2）设C 为抛物线及y 轴的交点，若抛物线上存在关于原点对称的两点M 、N ，并且 △MNC 的面积等于27，试求m 的值.
解: (1)Ａ（x 1，0）,B(x 2，0) . 则x 1 ，x 2是方程 x 2－mx ＋m －2＝0的两根.
∵x 1 ＋ x 2 ＝m , x 1·x 2 =m －2 ＜0 即m ＜2 ;
又AB ＝∣x 1 — x 2∣＝121245x x x x -=
2
（+） ,
∴m 2－4m ＋3=0 .
解得：m=1或m=3(舍去) , ∴m 的值为1 . （2）M(a ，b)，则N(－a ，－b) .
∵M 、N 是抛物线上的两点,
N
M
C
x
y O
∴222,2.a ma m b a ma m b ?-+-+=??---+=-??①②
①＋②得：－2a 2－2m ＋4＝0 . ∴a 2＝－m ＋2 . ∴当m ＜2时，才存在满足条件中的两点M 、N. ∴2a m =- .
这时M 、N 到y 2m - 又点C 坐标为（0，2－m ）,而S △M N C = 27 , ∴2×1
2
×（2－m 2m - ∴解得m=－7 .
12.已知：抛物线t ax ax y ＋＋＝42及x 轴的一个交点为A （－1，0）． （1）求抛物线及x 轴的另一个交点B 的坐标； （2）D 是抛物线及y 轴的交点，C 是抛物线上的一点，且以AB 为一底的
梯形ABCD 的面积为9，求此抛物线的解析式；
（3）E 是第二象限内到x 轴、y 轴的距离的比为5∶2的点，如果点E 在（2）中的抛物线上，且它及点A 在此抛物线对称轴的同侧，问：在抛物线的对称轴上是否存在点P ，使△APE 的周长最小?若存在，求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由． 解法一：
（1）依题意，抛物线的对称轴为x ＝－2．
∵ 抛物线及x 轴的一个交点为A （－1，0），
∴ 由抛物线的对称性，可得抛物线及x 轴的另一个交点B 的坐标为（－3，0）．
（2）∵ 抛物线t ax ax y ＋＋＝42及x 轴的一个交点为A （－1， 0）， ∴ 0)1(4)1(2＝＋－＋－t a a ．∴ t ＝3a ．∴ a ax ax y 342＋＋＝．
∴ D （0，3a ）．∴ 梯形ABCD 中，AB ∥CD ，且点C 在抛物线a ax ax y 342＋＋＝ 上， ∵ C （－4，3a ）．∴ AB ＝2，CD ＝4．
∵ 梯形ABCD 的面积为9，∴ 9)(21
＝OD CD AB ?+．∴ 93)42(2
1＝＋a ． ∴ a ±1．
∴ 所求抛物线的解析式为342＋＋＝x x y 或342---ax x y ＝．
（3）设点E 坐标为（0x ，0y ）.依题意，00＜x ，00＜y ， 且
2
5
00
＝x y ．∴ 0025x y ＝－．
①设点E 在抛物线342＋＋＝x x y 上，
∴340200＋＋＝x x y ．
解方程组?????34,25020000＋＋＝＝－x x y x y 得???-；＝，＝15600y x ???
???
?'-'．＝，＝452
100y x ∵ 点E 及点A 在对称轴x ＝－2的同侧，∴ 点E 坐标为（21
-，4
5）．
