《概率论与统计原理》复习资料
一、填空题
1、设A，B，C为三个事件，则下列事件“B发生而A与C至少有一个发生”，“A，B，C中至少有两个发生”，“A，B，C中至少有一个发生”，“A，B，C中不多于一个发生”，“A，B，C中恰好有一个发生”，“A，B，C中恰好有两个发生”分别可表示为、、、、、。
参考答案：
B（A+C，AB+AC+BC，A+B+C，C
B+B
A+C
A，AB C+AC B+A BC，A+C
AB
B
A+C
BC
考核知识点：事件的关系及运算
2、从0，1，2，…，9这10个数中可重复取两个数组成一个数码，则“两个数之和为3”、“两个数之和为17”、“两个数相同”的概率分别为、、。
参考答案：，，
考核知识点：古典型概率
【
3、同时抛掷3枚均匀的硬币，则3枚正面都向上的概率为，恰好有2枚正面向上的概率为。
参考答案：1/8，3/8
考核知识点：古典型概率
4、箱中有60个黑球和40个白球，从中任意连接不放回取出k个球，则第k次取出黑球的概率为。
参考答案：
考核知识点：古典型概率
5、假设某商店获利15万元以下的概率为，获利10万元以下的概率为，获利5万元以下的概率为，则该商店获利5~10万元的概率为，获利10~15万元的概率为。
·
参考答案：，
考核知识点：概率的性质
6、设袋中有6个球，其中4白2黑。用不放回两种方法取球，则取
到的两个球都是白球的概率为；取到的两个球颜色相同的概率为；取到的两个球中至少有一个是白球的概率为。
参考答案：，7/15，14/15
考核知识点：古典型概率和概率的性质
7、设事件A，B互不相容，已知P（A）= ，P（B）= ，则P（A+B）= ；P（A+B）= ；P（A B）= ；P（B
A）= 。
参考答案：，，，
考核知识点：概率的性质
，
8、甲、乙、丙三人各射一次靶子，他们各自中靶与否相互独立，且已知他们各自中靶的概率分别为，，，则恰有一人中靶的概率为；至少有一人中靶的概率为。
参考答案：（1）；（2）
考核知识点：事件的独立性
9、每次试验的成功率为p（0< p <1），则在5次重复试验中至少成功一次的概率为。
参考答案：5)
-
-
1p
1(
考核知识点：事件的独立性
10、设随机变量X~N（1，4），则P{0 ≤X＜}= ；P{X＜1}= ；P{X=x0}= 。
、
参考答案：，，0
考核知识点：正态分布，参见P61；概率密度的性质
11、设随机变量X～B（n，p），已知E X=，D X=，则n = ，p = 。
参考答案：3，
考核知识点：随机变量的数学期望和方差
12、设随机变量X服从参数为（100，）的二项分布，则E X= ，
D X= 。
参考答案：20，16
考核知识点：随机变量的数学期望和方差
（
13、设随机变量X服从正态分布N（，），则E X2= ，D（2X-3）
= 。 参考答案：，1
考核知识点：随机变量的数学期望和方差及其性质
14、设由来自正态总体)9,(2μN 的容量为9的简单随机样本，得样本均值X =5，则未知参数μ的最大似然估计值为 ，μ的置信度为的置信区间为 。 参考答案：5，（，）
考核知识点：正态总体参数的极大似然估计以及区间估计
15、设由来自正态总体)10,(2μN 的容量为25的简单随机样本，得样本均值X =15，则未知参数μ的最大似然估计值为 ，μ的置信度为的置信区间长度为 。 ·
参考答案：15，
考核知识点：正态总体参数的极大似然估计以及区间估计
16、从自动车床加工的一批零件中随机抽取了16件，测得零件长度的平均值为2.125cm ，标准差为0.017cm 。假设零件的长度服从正态分布，则零件长度均值的点估计值为 ；零件长度标准差的点估计值为 ；零件长度标准差的置信区间为 。 参考答案：，，（，）
考核知识点：正态总体标准差的点估计以及区间估计
17、设总体X 服从正态分布),(2σμN ，从X 中随机抽取一个容量为36的样本，设X 为样本均值，S 2为样本方差。当总体方差σ2已知时，检验假设H 0：μ=μ0的统计量为 ，当总体方差σ2未知时，检验假设H 0：μ=μ0的统计量为 。 参考答案：
36/0σμ-X ，36
/0
S X μ- 考核知识点：正态总体均值的假设检验
!
18、设总体X 服从正态分布),(2σμN ，从X 中随机抽取一个容量为n 的样本，设S 2为样本方差，则检验假设H 0：202σσ=的统计量为 。 参考答案：2
2
2
)1(σ
χS n -=
考核知识点：正态总体方差的假设检验
19、假设检验时若增大样本容量，则犯两类错误的概率都将 。 参考答案：减少
考核知识点：假设检验的两类错误
20、设随机变量X 在区间[1，3] 上服从均匀分布，则X 的概率密度
函数为 ；事件 {＜X ＜}的概率为
$
参考答案：?????≤≤其他,
03
1,21
x ，
考核知识点：连续型随机变量的密度函数和概率
21、设随机变量X ～B （3，），则E X = ，D X = 。 参考答案：，
考核知识点：二项分布的数字特征
22、总体X 服从正态分布N （μ，σ2），从X 中随机抽取一个容量为n 的样本，X 为样本均值，S 2为样本方差。当总体方差σ2已知时，假设H 0：μ=μ0的检验统计量为 ，当总体方差σ2未知时，假设H 0：μ=μ0的检验统计量为 。 参考答案：
n
X /0
σμ-，
n
S X /0μ-
考核知识点：假设检验
！
23、对于随机试验：观察一台电脑的使用寿命，则其样本空间可表示为 ；事件“使用寿命超过600小时”可表示为 。 参考答案：（0，+∞）；（600，+∞） 考核知识点：随机试验的样本空间
24、设随机变量X 的概率密度为?????
≤≤=其他
,020
,cos )(πx x A x f ，则常数
A = ，P （6
π = 。 参考答案： 1，，?? ? ? ? ? ???≥<≤<=212sin 00)(ππx x x A x x F ,0 , , 考核知识点：连续型随机变量的分布函数 ? 25、对于随机试验：记录一段时间内某城市110报警次数，则其样本空间可表示为 ；事件“报警次数小于5次”可表示为 。 参考答案：{0，1，2，…}；{0，1，2，3，4} 考核知识点：随机试验的样本空间 26、同时抛掷3枚均匀的硬币，则恰好有2枚正面都向上的概率 为 ，至少有1枚正面向上的概率为 。 参考答案：3/8，7/8 考核知识点：古典概率 27、从0，1，2，…，9这10个数中可重复取两个数组成一个数码，令X 为两个数之和，则P{X ≤3}＝ 。 参考答案： ) 考核知识点：古典概率 28、每次试验的成功率为p （0< p <1），则在3次重复试验中至少失败一次的概率为 。 参考答案：3 1p - 考核知识点：古典概率 29、在假设检验中，一般情况下会犯 错误。 参考答案：第一类错误和第二类错误 考核知识点：假设检验 - 30、袋中有50个球，其中有20个是红球，其余为白球，不放回抽样从中任取3次，一次取一个球，则第5次取到红球的概率为 。 参考答案： 考核知识点：古典概率 31、设随机变量X 在区间[2，7] 上服从均匀分布，则随机变量X 的概率密度函数为 ；随机变量X 的分布函数为 ；P{＜X ＜}= 。 参考答案：?? ?≤≤=其他, 07 2,2.0)(x x f ，?????? ?≥<≤-<=7 , 172,5 22,0)(x x x x x F ， 考核知识点：连续型随机变量的性质 32、设随机变量X 服从参数为（100，）的二项分布，则E X = ， D X = 。 参考答案：40，24 … 考核知识点：二项分布的数字特征 33、设由来自正态总体)10,(2μN 的容量为25的简单随机样本，得样本均值X =5，则未知参数μ的最大似然估计值为 ，μ的置信度为的置信区间长度为 。 参考答案：5， 考核知识点：正态分布的估计值和置信区间 34、在假设检验中，第一类错误是指 。 参考答案：原假设本来正确，却被错误地拒绝了 考核知识点：假设检验 、 35、袋中有100个球，其中有30个是红球，其余为白球，不放回抽样从中任取4次，一次取一个球，则第二次取到红球的概率为 。 参考答案： 考核知识点：古典概率 36、设随机变量X 在区间[2，6] 上服从均匀分布，则随机变量X 的概率密度函数为 ；随机变量X 的分布函数为 ；P{＜X ＜}= 。 参考答案： ?? ?≤≤=其他, 062, 25.0)(x x f ，?????? ?≥<≤-<=6 , 162,42 2,0)(x x x x x F ， 考核知识点：连续型随机变量的概率 37、设随机变量X 服从参数为（10，）的二项分布，则E X = ， D X = 。 参考答案： 6， ; 考核知识点：二项分布的数字特征 38、设由来自正态总体)9,(2μN 的容量为25的简单随机样本，得样本均值X =5，则未知参数μ的最大似然估计值为 ，μ的置信度为的置信区间为 。 参考答案： 5，（，） 考核知识点：正态分布的估计值和置信区间 二、单项选择题 1、下列数字中不可能是随机事件概率的是（ ）。 A ．- 1/3 B ．0 Ｃ． Ｄ．1 参考答案：A ~ 考核知识点：概率的公理化定义 2、某产品共有10件，其中3件为次品，其余为正品。用不放回方法从中任取两次，一次一件，则第二次取到的是正品的概率为（ ）。 A ． 107 B ．103 C ．92 D ．15 1 参考答案：B 考核知识点：古典型概率 3、设某厂的甲、乙、丙三个车间生产同一种产品，记A 1为“产品是由甲车间生产的”， A 2为“产品是由乙车间生产的”， A 3为“产品是由丙车间生产的”， B 为“产品是次品”。今从即将出厂的该种产品中任取一件，则取到的是甲车间生产的次品的概率为（ ）。 A ．P (C A 1) B ．P ( C 2A ) C ．P (B A 2) D ．P (A 1B ) 参考答案：D 】 考核知识点：概率的表示与条件概率 4、设某厂的甲、乙、丙三个车间生产同一种产品，记A 1为“产品是由甲车间生产的”， A 2为“产品是由乙车间生产的”， A 3为“产品是由丙车间生产的”， B 为“产品是次品”。今从次品中任取一件，则它是由甲车间生产的的概率为（ ）。 A ．P (C A 1) B ．P ( C 2A ) C ．P (B A 2) D ．P (B A 1) 参考答案：D 考核知识点：概率的表示与条件概率 5、任何连续型随机变量的概率密度f (x ) 一定满足（ ）。 A ．1)(0≤≤x f B ．在定义域内单调不减 C ．在定义域内右连续 D ．?∞ +∞-=1)(dx x f 【 参考答案：D 考核知识点：概率密度的性质 6、设随机变量X ~N （2，1002），且P{0 A ． B ．0.35 C ． D ． 参考答案：B 考核知识点：正态分布 7、设X 是随机变量，x 0为任意实数，E X 是X 的数学期望，则（ ）。 A ．220)E E()E(X X x X -=- B ．220)E E()E(X X x X -≥- ? C ．220)E E()E(X X x X -≤- D ．0)E(20=-x X 参考答案：B 考核知识点：方差的性质 8、设假设总体X 服从参数为p （0 参考答案：C 考核知识点：统计量的定义 9、设总体X 的均值μ与方差2σ都存在，且均为未知参数，而 n X X X ,,,21 为该总体的一个样本，∑==n i i X n X 1 1，则总体均值μ的矩估 计量为（ ）． { A ．∑==n i i X n X 1 1 B ．∑=-n i i X X n 1 2)(1 C ．∑=-n i i X n 1 2)(1μ D ．∑=-n i i X X n 1 )(1 参考答案：A 考核知识点：参数的矩估计 10、设总体X 的均值μ与方差2σ都存在，且均为未知参数，而 n X X X ,,,21 为该总体的一个样本，∑==n i i X n X 1 1，则总体方差2σ的矩估 计量为（ ）。 A ．∑=n i i X n 1 21 B ．∑=-n i i X X n 1 2)(1 C ．∑=-n i i X n 1 2)(1μ D ．∑=-n i i X X n 1 )(1 参考答案：B 考核知识点：参数的矩估计 11、从估计量的有效性是指（ ）。 } A ．估计量的抽样方差比较小 B ．估计量的抽样方差比较大 C ．估计量的置信区间比较宽 D ．估计量的置信区间比较窄 考核知识点：评价估计量的标准 12、在一次假设检验中，当显著性水平为时原假设被拒绝。当显著性水平为时，则（ ）。 A ．可能会被拒绝 B ．就不会被拒绝 C ．也一定会被拒绝 D ．需要重新检验 参考答案：C 考核知识点：假设检验的显著性水平 # 13、假设检验时若增大样本容量，则犯两类错误的概率（ ）。 A ．一个增大，一个减少 B ．都增大 C ．都不变 D ．都减少 参考答案：D 考核知识点：假设检验的两类错误 14、假设检验中，一般情况下，（ ）错误。 A ．只犯第一类 B ．只犯第二类 C ．既可能犯第一类也可能犯第二类 D ．既不犯第一类也不犯第二类 参考答案：C … 考核知识点：假设检验的两类错误 15、要求次品率低于10%才能出厂，在检验时原假设应该是（ ）。 A. 1.0:0≥p H B.1.0:0=p H C. 1.0:0≤p H D.1.0:0 考核知识点：单边假设检验 16、设随机变量X~N （2，102），且P{0 】 17、某产品共有10件，其中4件为二等品，其余为一等品。用不放 回方法从中任取两次，一次一件，则第二次取到的是二等品的概率为（ ）。 A ．53 B ．52 C ．31 D ．15 2 参考答案：B 考核知识点：古典概率 18、设随机变量X ~N （2，16），则P{X ＜2}为（ ）。 A ．0 B ．0. 25 C ．0. 5 D ． 参考答案：C 考核知识点：正态分布的性质 ! 19、在一次假设检验中，当显著性水平为时原假设被拒绝。当显著性 水平为时，则（ ）。 A ．需要重新检验 B ．就不会被拒绝 C ．可能会被拒绝 D ．也一定会被拒绝 参考答案：D 考核知识点：假设检验 20、下列数字中能是随机事件概率的是（ ）。 A ．-1 B ．-0.4 C ． D ． 参考答案：C — 考核知识点：随机事件概率 21、总体X 服从正态分布),(2σμN ，其中参数μ已知，2σ未知。 n X X X ,,,21 为来自X 的随机样本，X 和2S 分别为样本均值与样本 方差，则下面的（ ）是统计量。 A ．∑=-n i i X n 1 2)(1μ B ． n X σμ - C ． 2 2 )1(σS n - D ．2 1∑=??? ? ?-n i i X σμ 参考答案：A 考核知识点：正态分布的统计量 三、计算题 1、写出下列随机试验的样本空间及下列事件的样本点。 （1）E 1：掷一颗均匀对称的骰子，观察出现的点数；A ={掷出偶数点}。 》 （2）E 2：记录一段时间内某城市110报警次数；B ={报警次数小于5 次}。 （3）E 3：在一批灯泡中任意抽取一只，观察其使用寿命（单位：小 时）；C ={使用寿命超过500小时}。 （4）E 4：向半径为10的平面区域D ={（x ，y ）：x 2 +y 2≤100}内随机投掷一点（假设点必落在D 内），观察落点的坐标；C={落点在半径为5的同心圆内}。 参考答案： （1）Ω1 = {1，2，…，6}；A = {2，4，6} （2）Ω2 ={0，1，2，…}；B ={0，1，2，3，4} （3）Ω3 =（0，∞ ）；C =（500，∞） （4）Ω4 = {100:),(22≤+y x y x }，D ={25:),(22≤+y x y x } 考核知识点：用集合表示随机试验的样本空间和随机事件 , 2、已知P （A ）=P （B ）=P （C ）=1/4，P （AC ）=P （AB ）=1/16，P （BC ）= 0，求事件“A ，B ，C 至少有一个发生”和事件“A ，B ，C 都发生”的概率。 参考答案： 8 5 ，0 考核知识点：概率的性质 3、某产品共有10件，其中3件为次品，其余为正品。用不放回方法从中任取两次，一次一件。求（1）第一次取到的是次品的概率；（2）两次取到的都是次品的概率；（3）若已知第一次取到的是次品，第二次再取次品的概率。 参考答案：（1）103)(= A P ；（2）15 1 92103)(=?=AB P ； （3）92)()()(==A P AB P A B P 考核知识点：条件概率 4、设1，2，3三台车床加工同一种零件，加工出来的零件混放在一起。已知三台车床加工的零件分别占全部的35%，40%和25%，三台车床的次品率依次为4%，3%和2%。现在从全部零件中任取一件，（1）求它是次品的概率；（2）若已知取出的零件是次品，求它是由第2台车床加工的概率。 参考答案：（1）；（2）12/31 考核知识点：全概率公式、贝叶斯公式 【 5、已知事件A ，B ，C 相互独立，且P （A ）=1/2，P （B ）=1/3，P （C ）=1/4，求事件“A ，B ，C 至少有一个发生”和事件“A ，B ，C 都发生”的概率。 参考答案：43， 24 1 考核知识点：概率的性质以及事件的独立性 6、袋中有100个大小相同的球，其中30个球上标有数字0，60个球上标有数字1，10个球上标有数字2。现在从中任取1球，用X 表示取出球上的数字，即X = 0表示取出的球上标有数字0，X =1表示取出的球上标有数字1，X = 2表示取出的球上标有数字2。（1）写出X 的概率分布列；（2）求X 的分布函数；（3）求P{0≤X ≤}，P{0＜X ≤}；P{1＜X ＜}。 参考答案： （1） （2）???? ???≥<≤<≤<=2 ,121 ,9.010 ,3.00 ,0)(x x x x x F （ 3），，0 考核知识点：离散型随机变量的分布列、分布函数以及相应事件的概率 7、设离散型随机变量X 的概率分布如下： （1）求X 的分布函数F （x ）； （2）求P{0≤X ≤}， P{1≤X ＜}， P{1＜X ＜} 参考答案：（1）?????? ?≥<≤<≤<=2 1,21 0.7,1 0 ,1.00 ,0)(x x x x x F ；（2），，0 考核知识点：离散型随机变量的分布函数及其性质 8、设随机变量X 的分布函数为?? ? ? ? ? ??? ≥<≤<=212sin 00)(ππx x x A x x F ,0 , ,，求（1）常数A ；（2）P （6 π< X ）；（3）X 的概率密度f （x ）。 ^ 参考答案：（1）1 ，（2），（3）???? ?≤ ≤其他 ,020 ,cos πx x 考核知识点：连续型随机变量的分布函数的性质，利用分布函数求事件的概率，以及用分布函数求概率密度 9、设随机变量X 的概率密度为 x A x f -=e )(（-∞＜x ＜+∞），求（1）系数A ；（2）P{0＜X ＜1}；（3）X 的分布函数。 参考答案：（1），（2）)e 1(5.01 --；（3）?????≥-<=-0 ,e 5.010 ,e 5.0)(x x x x x F 考核知识点：连续型随机变量的概率密度的性质，利用概率密度求事件的概率，以及用概率密度求分布函数 10、设随机变量X 在区间[1，5] 上服从均匀分布，求（1）X 的概率密度函数；（2）X 的分布函数；（3）P{＜X ＜}。 参考答案：（1）?? ?≤≤=其他, 05 1,25.0)(x x f ；（2）?????? ?≥<≤-<=5 , 151,411,0)(x x x x x F ；（3） 考核知识点：均匀分布的概率密度、分布函数 】 11、设某地区年总降水量X ~N （600，1502），求（1）明年的降水量在400~700之间的概率；（2）明年的降水量至少为300的概率；（3）明年的降水量小于何值的概率为 参考答案：（1）；（2）；（3）408 考核知识点：正态分布 12、设随机变量X ~ N （μ，σ2 ），求Y =aX +b （a ，b 为常数， a ≠0）的概率密度。 参考答案：2 2 )(2)]([21)(σμπ σa b a y Y e a y f +-- = 考核知识点：连续型随机变量函数的分布 13、设随机变量X 的分布列为 求（ 1）X 的数学期望E X 和方差D X ；（2）Y = X 2的分布列。 参考答案：（1）E X = 0 ；D X = （2） 差 14、设随机变量X 在区间[1，3] 上服从均匀分布，求X 的数学期望E X 和方差D X 。 参考答案：E X =2， D X =1/3 考核知识点：随机变量的数学期望和方差 15、设随机变量X 服从参数为λ的泊松分布（λ>0），求X 的数学期望E X 和方差D X 。 , 参考答案：E X =λ，D X=λ。 考核知识点：随机变量的数学期望和方差 16、设随机变量X 服从参数为λ的指数分布（λ>0），求X 的数学期望E X 和方差D X 。 参考答案：E X =λ 1，D X= 2 1 λ。 考核知识点：随机变量的数学期望和方差 17、设随机变量X 服从参数为（μ，σ2）的正态分布，求X 的数学期望E X 和方差D X 。参考答案：E X ＝μ，D X ＝σ2 。 考核知识点：随机变量的数学期望和方差 18、设随机变量X 服从参数为λ的指数分布（λ>0未知）。（X 1，X 2，…，X n ）是来自X 的简单随机样本，求λ的极大似然估计量和矩估计量。 参考答案：θ的极大似然估计量和矩估计量都为 X 1 考核知识点：总体参数的极大似然估计法和矩估计法 19、设总体X 的概率密度为 ?? ???≤>=-0,00,1)(x x e x f x θ θ 其中θ>0未知。（X 1，X 2，…，X n ）是来自X 的简单随机样本，求θ的极大似然估计量。 参考答案：θ的极大似然估计量为X 考核知识点：总体参数的极大似然估计法 20、设总体X 服从参数为p 的0-1分布，求参数p 的极大似然估计量。 参考答案：p 的极大似然估计为i n i X n X p ∑===1 1? 考核知识点：总体参数的极大似然估计法 21、设随机变量X 服从参数为（μ，σ2）的正态分布，其中μ，σ2为未知参数。（X 1，X 2，…，X n ）是来自X 的简单随机样本，求μ和σ2的极大似然估计量。 考核知识点：总体参数的极大似然估计法 22、设随机变量X 服从参数为（μ，σ2）的正态分布，其中μ，σ2为未知参数。（X 1，X 2，…，X n ）是来自X 的简单随机样本，求μ和σ的极大似然估计量。 考核知识点：总体参数的极大似然估计法 23、某厂生产的一种型号的电阻元件其平均电阻一直保持在欧姆。改变生产工艺后，测得所生产的100个元件的平均电阻为欧姆，标准差为欧姆，在显著性水平下，问新工艺对该电阻元件的生产有无显著影响 参考答案：新工艺对该电阻元件的生产有显著影响 考核知识点：总体均值的假设检验 24、某厂生产了一批产品，按规定如果次品率超过了就不能出厂。现从该批产品中随机抽取50件进行检查，发现其中4件是次品，问在显著性水平下，该批产品能否出厂 参考答案：在显著性水平下认为该产品能出厂 考核知识点：单边假设检验 试求（1）y 关于x 的线性回归方程；（2）当x 0=时，估计y 的值。 参考答案：（1）x y 3083.18492.2?+=； （2） 考核知识点：一元线性回归
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