2012年北京市高级中等学校招生考试
数 学 试 卷
学校 姓名 准考证号
一、选择题（本题共32分，每小题4分）
下面各题均有四个选项，其中只有一个是符合题意的． 1． 9-的相反数是
A ．19
-
B ．19
C ．9-
D ．9
2． 首届中国（北京）国际服务贸易交易会（京交会）于2012年6月1日闭幕，本届京交
会期间签订的项目成交总金额达60 110 000 000美元，将60 110 000 000用科学记数法表示应为 A ．96.01110?
B ．960.1110?
C ．106.01110?
D ．110.601110?
3． 正十边形的每个外角等于
A ．18?
B ．36?
C ．45?
D ．60?
4． 右图是某个几何体的三视图，该几何体是
A ．长方体
B ．正方体
C ．圆柱
D ．三棱柱
5． 班主任王老师将6份奖品分别放在6个完全相同的不透明礼盒中，准备将它们奖给小英
等6位获“爱集体标兵”称号的同学．这些奖品中3份是学习文具，2份是科普读物，1份是科技馆通票．小英同学从中随机取一份奖品，恰好取到科普读物的概率是 A ．
1
6
B ．13
C ．
12
D ．
23
6． 如图，直线AB ，CD 交于点O ，射线OM 平分AOC ∠，若76BOD ∠=?，则B
O M ∠等于 A ．38? B ．104?
C ．142?
D ．144?
7． 某课外小组的同学们在社会实践活动中调查了20户家庭某月的用电量，如下表所示：
A ．180，160
B ．160，180
C ．160，160
D ．180，180
8． 小翔在如图1所示的场地上匀速跑步，他从点A 出发，沿箭头所示方向经过点B 跑到
点C ，共用时30秒．他的教练选择了一个固定的位置观察小翔的跑步过程．设小翔跑步的时间为t （单位：秒），他与教练的距离为y （单位：米），表示y 与t 的函数关系的图象大致如图2所示，则这个固定位置可能是图1中的 A ．点M
B ．点N
C ．点P
D ．点Q
二、填空题（本题共16分，每小题4分） 9． 分解因式：269mn mn m ++= ．
10．若关于x 的方程220x x m --=有两个相等的实数根，则m 的值是 ． 11．如图，小明同学用自制的直角三角形纸板DEF 测量树的高度
AB ，他调整自己的位置，设法使斜边DF 保持水平，并且边DE 与点B 在同一直线上．已知纸板的两条直角边
40cm DE =，20cm EF =，测得边DF 离地面的高度1.5m AC =，8m CD =，则树高AB = m ．
12．在平面直角坐标系xOy 中，我们把横 、纵坐标都是
整数的点叫做整点．已知点()04A ，
，点B 是x 轴正半轴上的整点，记AOB △内部（不包括边界）的整点个数为m ．当3m =时，点B 的横坐标的所有可能值是 ；当点B 的横坐标为4n （n 为正整数）时，m = （用含n 的代数式表示．）
三、解答题（本题共30分，每小题5分）
13．计算：()1
1π32sin 458-??-?- ???
.
14．解不等式组：4342 1.x x x x ->??+<-?
，
15．已知023a b =≠，求代数式()225224a b
a b a b
-?--的值．
16．已知：如图，点E A C ，，在同一条直线上，AB CD ∥，
AB CE AC CD ==，．
求证：BC ED =.
17．如图，在平面直角坐标系xOy 中，函数()4
0y x
x
=
>的图象与一次函数y kx k =-的图象的交点为()2A m ，.
（1）求一次函数的解析式；
（2）设一次函数y kx k =-的图象与y 轴交于点B ，若P 是x 轴上一点，
且满足PAB △的面积是4，直接写出点P 的坐标．
18．列方程或方程组解应用题：
据林业专家分析，树叶在光合作用后产生的分泌物能够吸附空气中的一些悬浮颗粒物，具有滞尘净化空气的作用．已知一片银杏树叶一年的平均滞尘量比一片国槐树叶一年的平均滞尘量的2倍少4毫克，若一年滞尘1000毫克所需的银杏树叶的片数与一年滞尘550毫克所需的国槐树叶的片数相同，求一片国槐树叶一年的平均滞尘量．
四、解答题（本题共20分，每小题5分）
19．如图，在四边形ABCD 中，对角线AC BD ，交于点E ，
904530BAC CED DCE DE ∠=?∠=?∠=?，，，
BE =．求CD 的长和四边形ABCD 的面积．
20．已知：如图，AB 是O ⊙的直径，C 是O ⊙上一点，OD BC ⊥于点D ，
过点C 作O ⊙的切线，交OD 的延长线于点E ，连结BE ． （1）求证：BE 与O ⊙相切；
（2）连结AD 并延长交BE 于点F ，若9OB =，2
s i n 3
ABC ∠=，
求BF 的长．
21．近年来，北京市大力发展轨道交通，轨道运营里程大幅增加，2011年北京市又调整修
订了2010至2020年轨道交通线网的发展规划．以下是根据北京市轨道交通指挥中心发布的有关数据制作的统计图表的一部分．
请根据以上信息解答下列问题：
（1）补全条形统计图并在图中标明相应数据；
（2）按照2011年规划方案，预计2020年北京市轨道交通运营里程将达到多少千米？ （3）要按时完成截至2015年的轨道交通规划任务，从2011到2015这4年中，平均每
年需新增运营里程多少千米？
22．操作与探究：
（1）对数轴上的点P 进行如下操作：先把点P 表示的数乘以1
3
，再把所得数对应的点
向右平移1个单位，得到点P 的对应点P '.
点A B ，在数轴上，对线段AB 上的每个点进行上述操作后得到线段A B ''，其中点
A B ，的对应点分别为A B ''，．如图1，若点A 表示的数是3-，则点A '表示的数
是 ；若点B '表示的数是2，则点B 表示的数是 ；已知线段AB 上的点E 经过上述操作后得到的对应点E '与点E 重合，则点E 表示的数是 ；
北京市轨道交通已开通线路
（2）如图2，在平面直角坐标系xOy 中，对正方形ABCD 及其内部的每
个点进行如下操作：把每 个点的横、纵坐标都乘以同一种实数a ，将得到的点先向右平移m 个单位，再向上平移n 个单位（00m n >>，），得到正方形A B C D ''''及其内部的点，其中点A B ，的对应点分别为A B ''，。已知正方形ABCD 内部的一个点F
经过上述操作后得到的对应点F '与点F 重合，求点F 的坐标。
五、解答题（本题共22分，第23题7分，第24题7分，第25题8分） 23．已知二次函数23
(1)2(2)2
y t x t x =++++ 在0x =和2x =时的函数值相等。
（1） 求二次函数的解析式；
（2） 若一次函数6y kx =+的图象与二次函数的
图象都经过点(3)A m -，，求m 和k 的值；
（3） 设二次函数的图象与x 轴交于点B C ，（点B
在点C 的左侧），将二次函数的图象在点B C ，间的部分（含点B 和点C ）向左平移
(0)n n >个单位后得到的图象记为G ，同时将（2）中得到的直线6y kx =+向上
平移n 个单位。请结合图象回答：当平移后的直线与图象G 有公共点时，n 的取值范围。
24．在ABC
△中，BA BC BAC
，，M是AC的中点，P是线段BM上的动点，将线
=∠=α
段PA绕点P顺时针旋转2α得到线段PQ。
（1）若α=60?且点P与点M重合（如图1），线段CQ的延长线交射线BM于点D，请补全图形，并写出CDB
∠的度数；
（2）在图2中，点P不与点B M
，重合，线段CQ的延长线与射线BM交于点D，猜想CDB
∠的大小（用含α的代数式表示），并加以证明；
（3）对于适当大小的α，当点P在线段BM上运动到某一位置（不与点B，M重合）时，能使得线段CQ的延长线与射线BM交于点D，且P Q Q D
=，请直接写出α的范围。
25．在平面直角坐标系xOy 中，对于任意两点
111()P x y ，与222()P x y ，的“非常距离”
，给出如下定义：
若1212||||x x y y --≥，则点1P 与点2P 的“非常距离”为12||x x -； 若1212||||x x y y -<-，则点1P 与点2P 的“非常距离”为12||y y -.
例如：点1(12)P ，
，点2(35)P ，，因为|13||25|-<-，所以点1P 与点2P 的“非常距离”为|25|3-=，也就是图1中线段1PQ 与线段2P Q 长度的较大值（点Q 为垂直于y 轴的直线1
PQ 与垂直于x 轴的直线2P Q 的交点）。 （1）已知点1
(0)2
A -，，
B 为y 轴上的一个动点，
①若点A 与点B 的“非常距离”为2，写出一个满足条件的点B 的坐标； ②直接写出点A 与点B 的“非常距离”的最小值； （2）已知C 是直线3
34
y x =
+上的一个动点， ①如图2，点D 的坐标是（0，1），求点C 与点D 的“非常距离”的最小值及相
应的点C 的坐标；
②如图3，E 是以原点O 为圆心，1为半径的圆上的一个动点，求点C 与点E 的
“非常距离”
的最小值及相应的点E 和点C 的坐标。
2012年北京市高级中等学校招生考试
数学试卷参考答案
阅卷须知：
1. 为便于阅卷，本试卷答案中有关解答题的推导步骤写得较为详细，阅卷时，只要考生将主要过程正确写出即可。
2. 若考生的解法与给出的解法不同，正确者可参照评分参考相应给分。
3. 评分参考中所注分数，表示考生正确做到此步应得的累加分数。
一、选择题
二、填空题
三、解答题
13. 解：011
(3)2sin 45()8
π---
1287.
=+-= 14. 解：4342 1. x x x x ->??+<-?
， ①
②
解不等式①，得1x >.
解不等式②，得5x >. ∴不等式组的解集为5x >.
15. 解：2252(2)4a b
a b a b -?--
52(2)
(2)(2)52.202332.
5321
.
342
a b
a b a b a b a b a b a b
a b a a a a a a -
=?-+--=+=≠∴=-∴=
==+ ，原式
16. 证明：AB ∥CD ， .BAC ECD ∴∠=∠
在ABC ?和CED ?中，
..
AB CE BAC ECD AC CD ABC CED BC ED =??
∠=∠??=?
∴???∴=，，，
17. 解：（1） 点(2) A m ，
在函数4
(0)y x x
=>的图象上， 2 4.m ∴= 解得2m =.
∴点A 的坐标为(22)，
. 点(22)A ，
在一次函数y kx k =-的图象上， 2 2.k k -=
解得2k =.
∴一次函数的解析式为22y x =-. （2）点P 的坐标为(30)，或(30)(10)-，或，.
18. 解：设一片国槐树叶一年的平均滞尘量为x 毫克.
由题意，得
100055024x x
=
-. 解得22x =.
经检验，22x =是原方程的解，且符合题意.
答：一片国槐树叶一年的平均滞尘量是22毫克.
四、解答题
19. 解：过点D 作DF AC ⊥于点F .
在Rt DEF ?
中，9045DFE DEF DE ∠=∠==
，， 1DF EF ∴==.
在Rt CFD ?中，9030CFD DCF ∠=∠= ，， 22CD DF ∴==.
FC ∴= 在Rt ABE ?
中，9045BAE AEB CED BE ∠=∠=∠== ，，，
2.
3AB AE AC AE EF FC ∴==∴=++=
E
A
D
B
F
D C
A
B
E
11
22
11
(32
2292 ACD ABC
ABCD S S S AC DF AC AB ??∴=+=
?+?=?(3?+?=四边形 ∴四边形ABCD
的面积是
9220. （1）证明：连结OC .
EC 与⊙O 相切，C 为切点.
90.
...
ECO OB OC OCB OBC OD DC DB DC ∴∠==∴∠=∠⊥∴=
，
∴直线OE 是线段BC 的垂直平分线.
.
.
.
90.
EB EC ECB EBC ECO EBO EBO ∴=∴∠=∠∴∠=∠∴∠=
AB 是⊙O 的直径. BE ∴与⊙O 相切.
（2）解：过点D 作D M AB ⊥于点M ，则DM ∥FB . 在Rt ODB ?中，
2
909sin 3sin 6.
ODB OB ABC OD OB ABC ∠==∠=∴=?∠= ，，，
由勾股定理得BD = 在Rt DMB ?中，同理得
sin 5.
DM BD ABC BM =?∠===
O 是AB 的中点，
18.
13.
AB AM AB BM ∴=∴=-=
DM ∥FB ，
..AMD ABF MD AM
BF AB
MD AB BF AM ∴??∴=?∴== 21. 解：（1）补全统计图如右图，所补数据为228；
北京市2007至2011年轨道交通
运营总里程统计图
(千米F
E
C
B
M
A
O D
（2）预计2020年运营总里程将达到
33633.6%1000÷=（千米）；
（3）2010到2015年新增运营里程为100036.7%367?=（千米），其中2010到2011
年新增运营里程为37233636-=（千米），2011到2015年平均每年新增运营
里程为
36736
82.754
-=（千米）. 22. 解：（1）点'A 表示的数是 0 ；点B 表示的数是 3 ；点E 表示的数是3
2 ；
（2） 点(30)(30)A B -，，
，的对应点分别为'(12)'(22)A B -，，，, 313 2.a m a m -+=-?∴?+=?， 解得121.
2
a m ?
=????=??，
由题意可得2n =.
设点F 的坐标为()x y ，.
112212.
2
x x y y ?+=??∴??+=??， 解得14.x y =??=?，
∴点F 的坐标为（1，4）.
五、解答题
23. 解：（1）由题意得233(1)22(2)222
t t +?++?+=. 解得32
t =-.
∴二次函数的解析式为213
22
y x x =-++.
（2） 点(3)A m -，在二次函数213
22
y x x =-++的图象
上，
213
3)(3)622
m ∴=-?(-+-+=-.
∴点A 的坐标为(36)--，
. 点A 在一次函数6y kx =+的图象上，
∴4k =.
（3）由题意，可得点B C ，的坐标分别为(10)(30)-，，，. 平移后，点B C ，的对应点分别为
'(10)'(30) B n C n ---，，，. 将直线46y x =+平移后得到直线
46y x n =++.
如图1，当直线46y x n =++经过
点'(10) B n --，
时，图象G （点'B 除外） 在该直线右侧，可得2
3
n =
；
图1
如图2，当直线46y x n =++经过
点'(30) C n -，
时，图象G （点'C 除外） 在该直线左侧，可得6n =.
∴由图象可知，符合题意的n 的取值范围是2
63
n ≤≤. 24. 解：（1）补全图形，见图1； 30 CDB ∠= ；
（2）猜想：90CDB α∠=- .
证明：如图2，连结AD PC ，.
BA BC M = ，是AC 的中点， BM AC ∴⊥.
点D P ，在直线BM 上， PA PC DA DC ∴==，.
又 DP 为公共边， ADP CDP ∴???.
.DAP DCP ADP CDP ∴∠=∠∠=∠， 又PA PQ = ， PQ PC ∴=.
..
180180.
DCP PQC DAP PQC PQC DQP DAP DQP ∴∠=∠∴∠=∠∠+∠=∴∠+∠=
，
∴在四边形APQD 中，180ADQ APQ ∠+∠= .
21802.
1
90.
2
APQ ADQ CDB ADQ ααα∠=∴∠=-∴∠=∠=- ，
（3）α的范围是4560α<< .
25. 解：（1）①点B 的坐标是（0，2）或（0，-2）；（写出一个答案即可）
②点A 与点B 的“非常距离”的最小值是1
2
.
（2）①过点C 作x 轴的垂线，过点D 作y 的垂线，两条垂线交于点M ，连结CD . 如图1，当点C 在点D 的左上方且使CMD ?是等腰直角三角形时，点C 与点D
的“非常距离”最小. 理由如下： 记此时 C 所在位置的坐标为003
(3)4
x x +，.
当点C 的横坐标大于0x 时，线段CM 的长度变大， 由于点C 与点D 的“非常距离”是线
段CM 与线段MD 长度的较大值，所以点C 与点D
的“非常距离”变大；当点C 的横坐标
D
图1
B
C Q
A M (P )
M
A
Q
B
图2
P
图2
小于0x 时，线段MD 的长度变大，点C 与点D 的 “非常距离”变大. 所以当点C 的横坐标 等于0x 时，点C 与点D 的“非常距离”最小. 00003
314
3
31.4
CM x MD x CM MD x x =
+-=-=∴+-=- ，，，
解得087
x =-
. ∴点C 的坐标是815
()77 -，.
8
.7
CM MD ∴==
∴当点C 的坐标是815
()77
-，时，点C 与点D
的“非常距离”最小，最小值是
87
. ②如图2，对于⊙O 上的每一个给定的点E ，过点E 作y 轴的垂线，过点C 作x 轴
的垂线，两条垂线交于点N ，连结CE . 由①可知，当点C 运动到点E 的左上方且使CNE
?是等腰直角三角形时，点C 与点E 的“非常距离”最小. 当点E 在⊙上运动时，求这些最小“非常距离”中的最小值，只需使CE 的长度最小. 因此，将直线3
34
y x =
+沿图中所示由点C 到点E 的方向平移到第一次与⊙O 有公共点，即与⊙O 在第二象限内相切的位置时，切点即为所求点E .
作EP x ⊥轴于点P . 设直线3
34
y x =
+与x 轴，y 轴分别交于点H G ，. 可求得435HO GO GH ===，，. 可证OEP GHO ?? . .1
.
345
34
.
55OP EP OE
GO HO GH OP EP OP EP ∴
==∴==∴==， ∴点E 的坐标是34
()55 -，.
设点C 的坐标为3
(3)4 C C x x +，.
343
3455
343
3.455
C C C C CN x NE x x x =
+-=--∴+-=-- ，，
解得85
C x =-.
∴点C的坐标是
89 () 55 -，.
1 CN NE
∴==.
∴当点C的坐标是
89
()
55
-，，点E的坐标是
34
()
55
-，时，点C与点E的“非常
距离”最小，最小值是1.