第5章 梁的弯曲
简单起见，本节仅考虑直梁、且梁的轴线与x 轴重合。
1 梁弯曲的基本方程
5.1.1 杆的弯曲假定
以下我们分三部分来叙述杆的弯曲假定。 (1)平面假定
在y M 和z M 的共同作用下，杆件上的d x 微段的两截面将发生(绕形心的)相对转动。平面假定：杆横截面在变形后仍保持平面。
设微段的一侧截面不动，根据平面假定，另一侧截面将发生两种相对位移(见下图)：
图5.1
在y M 作用下绕 y 轴的转动：d (d )y u z θ= 在z M 作用下绕 z 轴的转动：d (d )z u y θ=- 由于上述两种位移都很小，所以总的轴向位移d u 为
d (d )(d )y z u z y θθ=-
(5.1.1)
其中d y θ和d z θ为d x 微段两截面分别绕y 轴和z 轴相对转过的角度，从而正应变为： x y z
u z y
x ερρ?=
=-
? (5.1.2)
其中
d d y y
x
ρθ=
——梁轴线在x-z 坐标面内弯曲的曲率半径； d d z z
x
ρθ=
——梁轴线在x-y 坐标面内弯曲的曲率半径。 注意，在轴线上0x ε=，这是由于我们只考虑弯曲变形、而没有考虑拉伸变形，从而假定中的截面只绕形心转动，而没有轴向平动。 (2)横向挤压应力为零假定
横向挤压应力为零假定: 假定y σ和z σ可以忽略。 这个假定使得我们可以利用单向拉(压)的胡克定律
x x y
z
E
E
E z y σερρ==
-
(5.1.3)
由此可以计算内力：
1
1
x x y
z
A
y
z
F dA ES ES σρρ==-?N (5.1.4)
1
1
y x y
yz
A
y
z
M zdA EI EI σρρ==-? (5.1.5)
1
1
z x yz
z
A
y
z
M ydA EI EI σρρ=-=-+? (5.1.6)
其中
22
d , d
d , d , d y z A
A
y z yz A
A
A
S z A S y A I z A I y A I yz A
=====?????
分别是横截面对 y z 、轴的静矩，对 y z 、轴的惯性矩和惯性积。对于确定的截面，这些量均为已知。
如果截面上的坐标轴取形心主轴(即原点在形心、坐标轴为惯性主轴)，则 0y z S S ==, 0yz I =
从而
N 0x F =
从式(5.1.5)、(5.1.6)直接解得
11,
y z
y y
z
z
M M EI EI ρρ== (5.1.7)
代入式(5.1.3)得
y z x y
z
M z M y
I I σ=
-
(5.1.8)
这样，当弯矩y M 和z M 给定后，轴向应力x σ的分布就给定了。
上述各式中的y EI 和z EI 分别称为杆在两个坐标平面内的抗弯刚度。 (3)直法线假定
现在我们来研究曲率半径y ρ和z ρ与形心位移之间的关系。
设轴线由各截面的形心连接而成，轴线上的横向位移在坐标系(以后我们均取形心主轴坐标系)上的分量分别为0()v x 和0()w x 。显然，轴线上的位移仅仅是一个变量x 的函数，
现在的问题是：如何将轴线外的点的位移用形心上的位移函数来表示？
直法线假定: 杆的轴线上任一法线，在变形后仍是变形后轴线的法线，而且法线不产生任何的伸缩。
先考虑x-y 平面内的弯曲变形。这里有两个位移函数(,)(,)u x y v x y 和。由于法线不伸缩，所以0y ε=，即
0(,)(,0)()v x y v x v x ==
此外，由于0()v x 的存在使法线产生了0
d d z v x
θ≈的转动，从而
d (,)d v u x y y
x
=-
图5.2
类似地，可以考虑x-z 平面内的弯曲变形：
00d (,)(), (,)d w
w x z w x u x z z x
==-
这样，杆上任意一点的位移可以写成
0000d d (,,)d d (,,)() (,,)() v w u x y z y
z x x v x y z v x w x y z w x ?
=--??
???=?
??
=??
(5.1.9)
从而
220022d d d d x v w u
y z x x x
ε?==--?
(5.1.10)
将此式与式(5.1.2)比较
220022d d 1
1 , d d y z w v x x ρρ=-= (5.1.11)
如果用微分几何来准确计算曲率半径
()
032
20
1
1y
w "
w 'ρ-=
+
当01w ' 时，化为(5.1.11)式。
这样，引入直法线假定后，我们可以把整个杆内的位移问题(从而应变问题、应力问题)归结为求轴线上的函数0()v x 和0()w x 。这里两个函数只与横向位移有关，称为杆的挠度，杆的挠度是由弯曲变形引起的。为方便见，以后将挠度函数的下角标 “0”省略。
至此，杆件弯曲的三条假定已介绍完，但尚有三个问题需要说明：
● 假定(1)实际上已包含在假定(3)之中，因为曲线上任一点的法线全体构成一平面(法平面)，所以变形前轴线的法平面(即横截面)在变形后仍是法平面，自动满足假定(1)。反过来却不一定成立，因为按假定(3)，横截面变形后仍是轴线的法平面，但按假定(1)尽管仍是平面，但不一定是法平面。一组完备的杆的弯曲假定，只须保留(2)和(3)两个假定，称为欧拉—伯努利梁(Euler-Bernoulli )。
● 在上述假定下，Q Qz 0, 0y x F F M ===。其原因是，由于这三个内力是由横截面上的切应力xy τ和xz τ直接引起的，所以只要考虑这两个应力分量即可。将式(5.1.9)代入应变表达式：
00d d 0d d xy v v u v
y x x x
γ??=
+=-+=?? 00d d 0d d xz w w u w z x x x
γ??=
+=-+=?? 再由广义胡克定律可得0xy xz ττ==，从而横向剪力和扭矩为零。
● 以上假定是否符合实际情况？根据更精确的弹性力学计算证明，在均匀直杆且只有纯弯矩(横向剪力为零)作用下，由上述假定得到的解与弹性力学的准确解完全一致，当然这里要求外加力矩按式(5.1.8)分布的集度作用到杆件上去。如果外力分布与式(5.1.8)不一致，则可以引用圣维南原理：除加力截面附近外，其余杆中的应力分布(从而是位移)和准确解基本一致。
事实上，上述假定可以应用到更广泛的范围：对细长杆来说，如果除y M 和z M 外，还有剪力Q x F 和Q y F ，则上述诸式仍适用，这是由于剪切应变能远小于弯曲应变能，从而其对挠度的贡献也远小于弯曲的贡献。当然这里也有一个矛盾：按上述假定，所有切应变为零，从而根据胡克定律，所有切应力亦为零，这与剪力存在矛盾。后面我们将另找途径解决。
5.1.2 梁弯曲的基本方程
我们用一般的弹性力学变分原理加上前面导出的假定，可以导出梁弯曲的基本方程和边界条件。
由基本假定可得
00000
d d (,,),
(,,)() ,
(,,)()
d d y z v w
u x y z y z v x y z v x w x y z w x x x
σσ===--== (5.1.12)
由于假定中同时含有应力假定和位移假定（直法线假定），所以选用以应力和位移作为
变量的二类变量广义变分原理，现选用二类变量广义余能原理(2.1)
1
2
2(,){(
(()))[()]}d ()()d [()]d 0
T T T T T B B V
B B
δδδδδΩ
?Γ=-?+?+Ω?+---=???????u E u E f u u u E n E n p u σσσσ
σσ (5.1.13)
由
(())0T T V
?-?=?E u σ
可得 ,0x x xy yz zx E σετττ==== （5.1.14）
用上标“s ” 记梁的侧面，“e ”记梁的端面。假定20in ,0on s
x p B =Ω=f ，
2
00
000000002200000
220[()]d [()]d d d d ()d d d d d d d d d ()d (+)d d d d d d d d d [()+()]d ()d d d d s
T T
B l
l T x l l y z y z l y y l z z y z B v w x y z A x s x x x
M M v w x q v q w x x x x x M M M M q v q w x v w x x x x δδσδδδδδδδδδδδΩ
?Ω--?=--+?=-+=-+++-?????????????E u E n p u p u σσ
1
1
00000000()()d d d d d [()d d d d +()+()]d e e T
B x B xy xz x B v w v w
y
z y z x x x x
v v w w n B
δδσδτδτ-=--++--??
??u u E n σ ()()
2
2
000
0000000
00
00
d d [()]d ()d d d d [()()()()]d d d d d ()d d d d d d d d ()()d d
e e y T
l
z
B x x x y z B y l z
z x z y x y y z
x y x z M M B v w x x
v w
n p y
z p v p w B x x
M M v w x x
v w M n M M n M x x
M M n F v n F w x x
δδδσδδδδδδδδδ---=---+-+---=----++-??
??E n p u σ
式中
d ,d y y z z q p s q p s ==??
d ,d ,d ,d z x y x y y z z M yp A M zp A F p A F p A =-===????????
代入(5.1.13) 即得
222
2
d d :0,
0d d y z
y z M M q q x x Ω-+=+= （5.1.14）
0000
10000d d d d :
,,,d d d d e v v w w B v v w w x x x x
==== (5.1.15) 2d d :,,
,d d y e z
z x z y x y x y x z M M B M n M M n M n F n F x
x
===-= (5.1.16)
此外，由(5.1.16) 最后两式可定义 Q Q d d :,d d y z
y z M M F F x
x
Ω=-
=
(5.1.17)
加上由(5.1.14) 的本构关系（写成内力形式）
220
2
2
d d :, d d y y z z w v M EI M EI x x
Ω=-= (5.1.18)
可以得到所有方程和边界条件。为方便计，我们在下文中将挠度函数的下标“0”省略。
由于可以把梁(杆件)的弯曲变形分解成x-y 平面和x-z 平面内的弯曲，分别求解后，再把相应的结果叠加;所以下面只考虑x-y 平面内的弯曲，而x-z 平面内的弯曲可以仿照计算。
由式(5.1.14)-(5.1.18)可得
Q Q 22d ()0d d ()0d d d y
y z y z z F q x x M F x x v
M EI x ?
+=???
+=?
??=?
?
(5.1.19)
于是
2Q 2d d () d d y z v F x EI x x ??
=- ???
(5.1.20)
2222d d () d d z y v EI q x x x ??
= ???
(5.1.21)
此外，梁端面上的转角z θ为
d () d z v
x x
θ=
(5.1.22)
这样，问题转化为求解微分方程(5.1.21)的问题。
5.1.3 边界条件
由于方程(5.1.21)是四阶方程，所以需要有四个补充条件(即定解条件)，以决定方程通解中的四个积分常数。在梁的弯曲问题中，需要每端给定两个(边界)条件。这样，方程加上边界条件称为梁的定解问题。
梁的每一端的边界条件可以分为两类：力边界条件Q )y z F M (,和位移边界条件(,)z v θ。由于Q y F 和v 是对偶的*
，z z M θ和是对偶的，所以我们不能要求同一组对偶量都满足事先给定的边界条件。这样，每一端可能发生的边界条件只有下面四种可能：
22Q 22Q d d d (1) (())();
d d d (2) ;d (3) ();d (4) y z z z z y z z v v
F EI M EI x x x
v M v F x
v θθ=-==给定和给定和给定和给定和。
但随意取两组作为两端的边界条件可能使得梁含有刚体位移，从而成为几何可变的。譬如两端都取(1)作为边界条件，则该梁可以在平面中沿y 方向平动或绕一端转动(图 (a))。再如两端各取(1)、(2)作为边界条件(一端自由、一端简支)，则梁可以绕简支端自由转动(图 (b))。在这种情况下，我们称梁的定解问题是不适定的。为了避免出现刚体位移，要求梁的四个边界条件中至少有两个与挠度() v 或转角z θ()有关，其中至少有一个是挠度的边界条件。
(a) (b)
图5.3
5.1.4 应变能
梁弯曲所对应的应变能为
2
22
22002
2
201d d d d d 22d 1d d 2d l l S S
l
y E v U E S x y S
x v EI x x ε??== ?????=
???
??????? (5.1.23)
如果考虑剪切变形, 那么对应的剪切变形能密度为(考虑到剪切应变在截面上分布是不均匀,
还有其他的修正方法)
222
22
min
()(,),(,)(,)d 22y
Qy z z z F x S x y u S x y yb x y y G
GI b τ=
=
=
?
(5.1.24)
这里(,)b x y 是梁的宽度，从而(,)z S x y 是横截面y <部分的静矩。剪切变形能为
2222
22222
0()(,)d d d 2()(,)d d 2()d 2Qy z V
l
S
z Qy z l S z l Qy F x S x y U u V x S
GI b F x S x y S x GI b kF x x GA
==??=??????
=???
??? (5.1.25)
其中A 是截面积，22
2(,)
d z S
A
S x y k S I
b =??为无量纲化的截面形状系数。对于矩形截面梁，无量纲参数k 为
22
2(,)d z S
A
S x y k S I
b =??222
5214416d 445h h h z b y bh -??=-= ???? 对其它截面形状，同理可求得相应的k ，例如圆形截面9
10
=k ，薄壁圆管截面梁k =2。
5.2 一个恒等式(虚功原理)
对于任意的)(x M 和()v x 恒成立
0222
200
d d d d d ()|d d d d d l l
l M M v v
v x v M M x x x x x --=??
(5.2.1)
如果代入可能内力(,)s
s
M Q 与虚位移v δ，由于可能内力满足平衡方程
22d d d ,d d d s
s s Q s
Q
F M M F q x x x
=-=-=
那么恒等式为
02
200
d d d ()|d d d l
l
s
s
l s Q
v v q v x F v M M x x x δδδδ++=?? (5.2.2) 这就是梁的虚功原理。左边为外力在虚位移上所做的功, 右端为可能内力在虚应变 (弯矩*虚位移动所对应的虚曲率) 上所做的功. 也就是说,外力在虚位移上做的功，等于外力对应内力在虚位移对应虚应变上做的功。
5.3 梁弯曲的最小势能原理
5.1 几何可能挠度v
指满足连续条件(v 和'v 连续)，同时满足位移边界条件 d ,
d v
v v x
θ==(固支端) (5.3.1)
v v =(简支端) (5.3.2)
2.最小势能原理
图5.4
考虑一端固支(0=x )，一端简支(l x =)梁，梁右端作用的力矩为l M ，承受的轴向拉力为N ，横向分布载荷为)(x q 。那么位移和力的边界条件为
00d (0),(0)d v
v v x
θ==
()0,
()0l l v l v M l M ====
总的势能为
3
21∏+∏+∏=∏ (5.3.3)
2
21201
d d 2d l
v EI x
x ??∏= ???
?
(5.3.4)
2
201d d 2d l
v N x
x ??∏= ???
?
(5.3.5)
30
d ()d d l
l
v l qv x M x
∏=--?
(5.3.6)
其中拉力作用下的应变能计算为
220002
01d d 1d 11d 2d 1d d 2d l
l
l l
v N N x N x
x v N x x ??????∏=?==+- ? ? ???????
??
≈ ???
???? 根据最小势能原理
2222000
2222220002
2
'00222222220
d d d d d d d d ()
d d d d d d d d d ()d d d ()d d d d d d d d [()()]|()|d d d d d d d [()]d d d d l l l
l l
l
l
l l
l l
v v v v v
EI x N x q v x M l x x x x x v v v EI v x N v x q v x M l x x x x v v v EI
v EI v N v x x x x v v EI N q v x x x x δδδδδδδδδδδδδ∏=+--=---+-+=--???????2'2d [()]()0
d l v
EI l M v l x δ+-=
从而得到用位移表示的平衡方程
222222d d d ()0d d d v v
EI N q x x x
--= (5.3.7) 和力的边界条件
22d ()0d l v
EI l M x
-= (5.3.8)
5.4 梁弯曲的最小余能原理
1. 静力可能内力(,)Q M F 指满足平衡方程
d d Q M
F x
=-
，d d Q F q x =- (5.4.1) 同时满足内力边界条件
,Q Q M M F F ==(自由端) (5.4.2)
M M =(简支端) (5.4.3)
2. 下面我们梁的来讨论最小余能原理。为简单起见，假设轴力0=N ，那么总的余能为
2
'0001d ()(0)(0)2l
l Q Q M x v F l v F v M EI
Γ=-++? (5.4.4)
这里0x =为固定端（挠度和转角同时给定），x l =为简支端（挠度给定），这样，可能内力M 需满足平衡方程
22
d d M
q x = 和力的边界条件
0)(=l M
根据最小余能定理
'000
d ()(0)(0)0l
l Q Q M
M x v F l v F v M EI
δδδδδΓ=-++=?
(5.4.5) 在梁的恒等式（5.2.1）中取M 为M δ，v 为挠度函数，
0222200
d d d d ()|d d d d l l
l Q M v v
v x F v M M x x x x δδδδ++=?? 由于M 需要满足(5.4.1)和(5.4.3), 也就是22
d 0,()0d M
M l x δδ==，从而上式变成
220
d d ()()(0)(0)(0)(0)d l
Q Q v
M x v l F l v F v M x δδδδ'=--?
(5.4.6)
从(5.4.5) 、(5.4.6) 可以得到
2'
0020
d ()d (())()((0))(0)((0))(0)d l
l Q Q v M M x v l v F l v v F v v M x EI δδδδ'-=-----? 根据变分引理，可以得到用弯矩表示的本构方程
22d d v
M EI x
= (5.4.7)
和位移边界条件 '00(0),
(0),
()l
v v v v v l v '===
(5.4.8)
式(5.4.7) 也可以视为几何方程。
5.5 两个广义位移的梁
对于x y -平面内弯曲来说，前面的假定导致只有一个独立的广义位移0()v x ；如果将
直法线假定改为直线的假定，这样每个弯曲平面共有2个变量，则(5.1.12) 变成
000
(,,)()(),
(,,)() ,
(,,)()y z y z u x y z y x z x v x y z v x w x y z w x σσψψ===--== (5.5.1)
由
(())0T T V
?-?=?E u σ
可得 00d d d d (),(),(),0d d d d y z x xy y zx z yz v w
E y
z
G G x
x x x
ψψστψτψτ=--=-=-= (5.5.2) 计算
2
00
000[()]d [()]d d [(
)()+
]d d d ()()d {()[]()()[](s T T
B l
xy xy x xz
y z l T xz
l xy y xz y x y z xy z xz z B
x y z v x y z x
w A x s x
y y x y z x y z
z z y z δδττστδψδψδτδδτδψτδψσ
δψδψτδψτδψτΩ
?Ω--????=++--+?????+????=---+?????-++???????????????E u E n p u p u σσ 000000000
000)
+]d d d d d d d [()()++]d d d d d (+)d d d [(
)()d d d d +()+()]d d d xy y xz z l xy T xz l y Qy Qz z Qy y Qz z l
y z l
y z
Qy y Qz z
Qy Qz y z v w A x s x x M F F M F F v w x x x x x
q v q w x
M M F F x x
F F q v q w x
x x
δψτδψττδδδδψδψδδδδδψδψδδ+??++??=+--+=+--++?????p u
1
1
0000()()d [(()())+()+()]d e
e B y y z z x
B xy xz x B
y z v v w w n B
δψψψψδσδτδτ-=------????u u E n σ
()()2
2
0000
[()]d [()()
()()]d ()()e e T
B x x x y z B xy x y xz x z z x z y y x y z
Qy x y Qz x z B n p y z n p v n p w B M n M M n M F n F v F n F w δσδψψτδτδδψδψδδ-=---+-+-=---+-+-??
??E n p u σ 式中
d ,d y y z z q p s q p s ==??
d ,d ,d ,d z x y x y y z z M yp A M zp A F p A F p A =-===????????
代入(5.1.13) 可得
d d d d :
0,,0,0d d d d y Qy Qz z
Qy Qz y z M F F M F F q q x x x x
Ω+=-+=+= (5.5.3)
10000:,,,e y y z z B v v w w ψψψψ==== (5.5.4)
2:,,,e z x z y x y Qy x y Qz x z B M n M M n M F n F F n F ==== (5.5.5)
将（5.5.2）写成内力形式
00
d d ,d d d d (),()
d d y z
y y
z z Qy y Qz z M EI M EI x x v w F GA F GA x x
ψψψψ=-==-=- （5.5.6） 这样，(5.5.3)-(5.5.6) 给出了修正梁（考虑剪切效应的梁）的全部方程和边界条件。 同样可以导出相应的变分原理，这一点请读者自行完成。
内蒙古科技大学教案课程名称：化工设备机械基础 授课章节 3 直梁的弯曲 目的要求掌握梁的剪力弯矩方程和剪力弯矩图 重点难点剪力弯矩方程 一、梁的概念及其分类 介绍桥式吊车、卧式容器、受风载荷的塔设备、管道托架的弯曲 1、梁的概念及其特点 把以弯曲为主要变形的杆称为梁。 工程中的梁横截面一般都是对称的。（矩形、圆环形、工字形、丁字形）受力特点：力偶或垂直于轴线的外力作用在一个通过轴线平面内。 变形特点：杆件的轴线（力偶或横向力）由直线变为曲线。 2、梁的分类 简支梁： 外伸梁（卧式容器） 悬臂梁（承受风载荷的塔）二、梁的内力分析 梁在外力作用下，内部将产生 内力。为求出梁横截面1-1上的内 力，采用截面法，在这段上作用的 外力有支座约束反力Q1。截面上还 应有一个力偶M，以满足平衡方程 ∑M=0，该力偶与外力对截面1-1 形心O的力矩相平衡。举例 引入新课 （约5分钟） 介绍梁的概念及其特点和分类 （10分钟） 对受到外力作用的梁进行内力分析 第7次第1页
1、截面法求内力—剪力Q和弯矩M 剪力—截面一侧所有竖向分力的代数和; 弯矩—截面一侧所有外力对截面形心力矩的代数和。 内力Q称为横截面上的剪力。内力偶M称为横截面上的弯矩。因此，梁弯 曲时的内力包括剪力Q与弯矩M。运用静力平衡方程求图中1-1和2-2截面上 的剪力和弯矩。（截面法，合力为零，合力偶为零）（剪力方向：左上右下为 正；弯矩方向：左顺右逆为正） 2、梁内力的简便求法——“外力简化法” 剪力与弯矩概 述 （10分钟） 梁的剪力计算 方法 （10分钟） 1 Q 1 M A R x 1 P 1 a o 1 1 P R Q A - = ) ( 1 1 1 a x P x R M A - - = B R 1 Q x l- o x a- 2 B R P Q- = 2 1 ) ( ) ( 2 2 1 x a P x l R M B - - - =
弯曲变形 1. 已知梁的弯曲刚度EI 为常数，今欲使梁的挠曲线在x =l /3处出现一拐点，则比值M e1/M e2为： (A) M e1/M e2=2； (B) M e1/M e2=3； (C) M e1/M e2=1/2； (D) M e1/M e2=1/3。 答：(C) 2. 外伸梁受载荷如 致形状有下列(A)(B)、(C)，(D)四种： 答：(B) 3. 简支梁受载荷并取坐标系如图示，则弯矩M 、剪力F S 与分布载荷q 之间的关系以及挠曲线近似微分方程为： (A)EI x M x w q x F F x M ) (d d ,d d , d d 2 2S S ===； (B)EI x M x w q x F F x M ) (d d ,d d , d d 2 2 S S =-=-=； (C)EI x M x w q x F F x M )(d d ,d d , d d 2 2S S -==-=； (D)EI x M x w q x F F x M )(d d ,d d , d d 2 2S S -=-==。 答：(B) 4. 弯曲刚度为EI 的悬臂梁受载荷如图 示，自由端的挠度EI l M EI Fl w B 232 e 3+=（↓） 则截面C 处挠度为：
(A)2 e 3 322323??? ??+??? ??l EI M l EI F （↓）； (B)2 3 3223/323?? ? ??+??? ??l EI Fl l EI F （↓）； (C)2 e 3 322)3/(323? ? ? ??++??? ??l EI Fl M l EI F （↓）；(D)2 e 3 322)3/(323? ? ? ??-+??? ??l EI Fl M l EI F （↓）。 答：(C) 5. 画出(a)、(b)、(c)三种梁的挠曲线大致形状。 答： 6. 7. (a)、(b)刚度关系为下列中的哪一种： (A) (a)＞(b)； (B) (a)＜(b)； (C) (a)=(b)； (D) 不一定。 答：(C) 8. 试写出图示等截面梁的位移边界条件，并定性地画出梁的挠曲线大致形状。 答：x =0, w 1=0, 1 w '=0；x =2a ，w 2 w 2；x =2a ，32 w w '='。 9. 试画出图示静定组合梁在集中力F 作用下挠曲线的大致形状。 (a) (b) (c) w ===θw w
第8章 弯曲变形 本章要点 【概念】平面弯曲，剪力、弯矩符号规定，纯弯曲，中性轴，曲率，挠度，转角。 剪力、弯矩与荷载集度的关系；弯曲正应力的适用条件；提高梁的弯曲强度的措施；运用叠加法求弯曲变形的前提条件；截面上正应力分布规律、切应力分布规律。 【公式】 1. 弯曲正应力 变形几何关系：y ερ = 物理关系：E y σρ = 静力关系：0N A F dA σ==?，0y A M z dA σ==?，2z z A A EI E M y dA y dA σρ ρ == =?? 中性层曲率： 1 M EI ρ = 弯曲正应力应力：，M y I σ= ，max max z M W σ= 弯曲变形的正应力强度条件：[]max max z M W σσ=≤ 2. 弯曲切应力 矩形截面梁弯曲切应力：b I S F y z z S ??=* )(τ，A F bh F S S 2323max ==τ 工字形梁弯曲切应力：d I S F y z z S ??=* )(τ，A F dh F S S ==max τ 圆形截面梁弯曲切应力：b I S F y z z S ??=* )(τ，A F S 34max =τ 弯曲切应力强度条件：[]ττ≤max
3. 梁的弯曲变形 梁的挠曲线近似微分方程：()''EIw M x =- 梁的转角方程：1()dw M x dx C dx EI θ= =-+? 梁的挠度方程：12()Z M x w dx dx C x C EI ??=-++ ??? ?? 练习题 一. 单选题 1、 建立平面弯曲正应力公式z I My /=σ,需要考虑的关系有（ ）。查看答案 A 、平衡关系,物理关系，变形几何关系 B 、变形几何关系，物理关系，静力关系； C 、变形几何关系，平衡关系，静力关系 D 、平衡关系, 物理关系，静力关系； 2、 利用积分法求梁的变形，不需要用到下面那类条件（ ）来确定积分常 数。 查看答案 A 、平衡条件 B 、边界条件 C 、连续性条件 D 、光滑性条件 3、 在图1悬臂梁的AC 段上，各个截面上的（ ）。 A ．剪力相同，弯矩不同 B ．剪力不同，弯矩相同 C ．剪力和弯矩均相同 D ．剪力和弯矩均不同 图1 图2 4、 图2悬臂梁受力，其中（ ）。 A ．A B 段是纯弯曲，B C 段是剪切弯曲
《材料力学》第5章-梁弯曲时的位移-习 题解
第五章 梁弯曲时的位移 习题解 [习题5-1] 试用积分法验算附录IV 中第1至第8项各梁的挠曲线方程及最大挠度、梁端转角的表达式。 解：序号1 （1）写弯矩方程 e M x M -=)( （2）写挠曲线近似微分方程，并积分 )("x M EIw -= e M EIw =" 1'C x M EIw e += 2122 1 C x C x M EIw e ++= 把边界条件：当0=x 时，0'=w ，0=w 代入以上方程得：01=C ， 02=C 。故：转角方程为： x M EI EIw e ==θ'，EI x M e =θ 挠曲线方程：2 2 1x M EIw e =， EI x M w e 22= （3）求梁端的转角和挠度
EI l M l e B = =)(θθ EI l M l w w e B 2)(2 == 解：序号2 （1）写弯矩方程 Fx Fl x l F x M +-=--=)()( （2）写挠曲线近似微分方程，并积分 )("x M EIw -= Fx Fl EIw -=" 12 '21C Fx Flx EIw +- = 213261 21C x C Fx Flx EIw ++-= 把边界条件：当0=x 时，0'=w ，0=w 代入以上方程得：01=C ， 02=C 。故：转角方程为：2 '2 1Fx Flx EI EIw - ==θ，)2(22x lx EI F -= θ 挠曲线方程：32 6 121Fx Flx EIw -=， )3(62x l EI Fx w -= （3）求梁端的转角和挠度
第九章 梁的平面弯曲 与杆的拉压、轴的扭转一样，弯曲是又一种形式的基本变形。承受弯曲作用的杆，称之为梁。本章研究梁的应力和变形。 工程中最常见的梁，可以分为三类，即简支梁、外伸梁和悬臂梁。 由一端为固定铰，另一端为滚动铰链支承的梁，称为简支梁；若固定铰、滚动铰支承位置不在梁的端点，则称为外伸梁(可以是一端外伸，也可以是二端外伸)；一端为固定端，另一端自由的梁，则称为悬臂梁。分别如图9.1(a )、(b)、(c)所示。 在平面力系的作用下，上述简支梁、外伸梁或悬臂梁的约束力均为三个，故约束力可以由静力平衡方程完全确定，均为静定梁。 工程中常见的梁，其横截面一般至少有一个对称轴，如图10.2(a )所示。此对称轴与梁的轴线共同确定了梁的一个纵向对称平面，如图10.2(b)。如果梁上的载荷全部作用于此纵向对称面内，则称平面弯曲梁。平面弯曲梁变形后，梁的轴线将在此 (a ) 简支梁 (b) 外伸梁 (c) 悬臂梁 图9.1 梁的分类
纵向对称面平面内弯曲成一条曲线，此曲线称为平面弯曲梁的挠曲线。 这种梁的弯曲平面(即由梁弯曲前的轴线与弯曲后的挠曲线所确定的平面)与载荷平面(即梁上载荷所在的平面)重合的弯曲，称为平面弯曲。 平面弯曲是最基本的弯曲问题，本章仅限于讨论平面弯曲。与前面研究拉压、扭转问题一样，先研究梁的内力，再由平衡条件、变形几何关系及力与变形间的物理关系研究梁横截面上的应力，进而研究梁的变形，最后讨论梁的强度与刚度。 §9.1 用截面法作梁的内力图 如第四章所述，用截面法求构件各截面内力的一般步骤是：先求出约束力，再用截面法将构件截开，取其一部分作为研究对象，画出该研究对象的受力图；截面上的内力按正向假设，由平衡方程求解。在第四章中不仅已经讨论了用截面法求构件内力的一般方法，还给出了构件横截面上内力的符号规定。下面将通过若干例题，进一步讨论如何利用截面法确定平面弯曲梁横截面上的内力。 例9.1 悬臂梁受力如图9.3(a )所示，求各截面内力并作内力图。 图9.2 平面弯曲梁 矩形截面 梯形截面 圆形截面 工字形截面 槽形截面 梁轴线 (a )
第七章直梁弯曲时的内力和应力 一、填空题： 1、梁产生弯曲变形时的受力特点，是梁在过轴线的平面内受到外力偶的作用或者受到和梁轴线相___________的外力的作用。 2、车床上的三爪盘将工件夹紧之后，工件夹紧部分对卡盘既不能有相对移动，也不能有相对转动，这种形式的支座可简化为___________支座。 3、矩形截面梁弯曲时，其横截面上的剪力作用线必然________于外力并通过截面________。 4、梁弯曲时，其横截面上的剪力作用线必然__________于横截面。 5、梁弯曲时，任一横截面上的弯矩可通过该截面一侧（左侧或右侧）的外力确定，它等于该一侧所有外力对________力矩的代数和。 6、梁上某横截面弯矩的正负，可根据该截面附近的变形情况来确定，若梁在该截面附近弯成上_____下_______，则弯矩为正，反之为负。 7、用截面法确定梁横截面上的剪力时，若截面右侧的外力合力向上，则剪力为______。 8、以梁横截面右侧的外力计算弯矩时，规定外力矩是顺时针转向时弯矩的符号为_______。 9、将一悬臂梁的自重简化为均布载荷，设其载荷集度为q，梁长为L，由此可知在距固定端L/2处的横截面上的剪力为_________，固定端处横截面上的弯矩为__________。 10、在梁的集中力偶左、右两侧无限接近的横截面上，剪力相等，而弯矩则发生_______，_________值等于梁上集中力偶的力偶矩。 11、剪力图和弯矩图是通过________和___________的函数图象表示的。 12、桥式起重机横梁由左、右两车轮支承，可简化为简支梁，梁长为L，起吊重量为P，吊重位置距梁左、右两端长度分别为a、b，且a>b,由此可知最大剪力值为_______. 13、将一简支梁的自重简化为均布载荷作用而得出的最大弯矩值,要比简化为集中罚作用而的最大弯矩值__________ 14、由剪力和载荷集度之间的微分关系可知,剪力图上的某点的_________等于对应于该点的载荷集度. 15、设载荷集度q（X）为截面位置X的连续函数，则q（X）是弯矩M（X）的_______阶导函数。 16、梁的弯矩图为二次抛物线时，若分布载荷方向向上，则弯矩图为向_________凸的抛物线。
第九章 梁的平面弯曲 9-1 试画出图中各梁的剪力图与弯矩图，并确定梁中的max Q F 和max M 。 (a) 解：(1) 求支座反力，根据平衡方程得， A B A B B A 002(2)0 2 51 44 y F F F q a a M F a q a a F q a F q a =?+=?=??-??+==?=-?∑∑求得: ， (2) 截面法求内力， 0≤x <2a ：F N =0， S A 14 F F qa ==- A 1 4 M F x qax ==- 2a ≤x ≤3a ：F N =0， S A B (2) 15 (2)344F F F q x a qa qa q x a qx qa =+--=-+--=-+ 2 A B 2 22 1 (2)(2)2 151(2)(2)442 19322 M F x F x a q x a qax qa x a q x a qx qax qa =+---=-+---=-+- (3) 画梁的剪力图与弯矩图， 根据剪力方程和弯矩方程画梁的剪力图与弯矩图如图所示。 F 14 2 F 2A B C SA SB SC SB A B C 10 2 1 1 4 4 M M qa M F qa F qa F F qa == ==-=-==左右根据剪力方程和弯矩方程计算、、各点的剪力和弯矩,F F N 2 S max max 12, 2 x a F qa M qa === 显然，在处有，