211max 1
()32822
g y a a a a ---=+-=?=?=
，
所以
4
1
2213)21()(2min -=-?+=y g ；
当
1>a 时，],[1a a y -∈，
2823)(2max =?=-+=a a a y g ，
所以
4
1
2232)(12min -
=-?+=--y g . 综上
)(x f 在]1,1[-∈x 上的最小值为4
1-
. 6.
1217 提示：同时投掷两颗骰子点数和大于6的概率为12
73621=，从而先投掷人的获胜概率为 +?+?+127)125(127)125(127421712
144
251112
7=
-?=.
提示：解法一：如图，以
AB 所在直线为x 轴，线段AB 中点O 为原点，OC 所在直线为y 轴，建立空间
直角坐标系.设正三棱柱的棱长为2，则)1,3,0(),2,0,1(),
2,0,1(),0,0,1(11P A B B -，从而，
)1,3,1(),0,0,2(),1,3,1(),2,0,2(1111--=-=-=-=P B A B BP BA .
设分别与平面
P
BA 1、平面
P
A B 11垂直的向量是
),,(111z y x =、),,(222z y x =，则
????
?=++-=?=+-=?,03,
022111111z y x z x BA ????
?=-+-=?=-=?,
03,
022221211z y x B x A B n 由此可设
)
3,1,0(),1,0,1(==n m ，所以
c o s m n m n α?
=
?，即
2cos cos αα=?=
所以 4
10sin =
α
.
O
E
P
C 1B 1
A 1
A
解法二：如图，PB PA PC PC
==11, .
设
B A 1与1AB 交于点,O 则1
111,,OA OB OA OB A B AB ==⊥ .
11,,PA PB PO AB =⊥因为 所以 从而⊥1AB 平面B PA 1 .
过O 在平面B PA 1上作P A OE 1⊥,垂足为E .
连结
E
B 1,则
EO B 1∠为二面角
1
1B P A B --的平面角.设
2
1=AA ,则易求得
3,2,5111=====PO O B O A PA PB .
在直角O PA 1?中，
OE P A PO O A ?=?11,即 5
6,532=
∴?=?OE OE .
又 5
5
4562,222111=+
=+=∴=OE O B E B O
B .
4
10
5
542sin sin 111=
==
∠=E B O B EO B α. 8. 336675 提示：首先易知2010=++
z y x 的正整数解的个数为 100420092
2009
?=C .
把
2010=++z y x 满足z y x ≤≤的正整数解分为三类：
（1）z y x ,,均相等的正整数解的个数显然为1；
（2）z y x ,,中有且仅有2个相等的正整数解的个数，易知为1003； (3)设z y x ,,两两均不相等的正整数解为k . 易知
100420096100331?=+?+k ，
所以
110033*********-?-?=k
200410052006123200910052006-?=-?+-?=，
即
3356713343351003=-?=k .
从而满足z y x
≤≤的正整数解的个数为
33667533567110031=++.
9. 解法一：
,23)(2
c bx ax x f ++='由 ??????
?++='++='='c
b a f
c b a f c f 23)1(,43)2
1(,)0( 得 )2
1
(4)1(2)0(23f f f a '-'+'=.
所以
)2
1
(4)1(2)0(23f f f a '-'+'=
)2
1
(4)1(2)0(2f f f '+'+'≤
8≤，
所以38≤
a . 又易知当m x x x x f ++-=23438)(（m 为常数）满足题设条件，所以a 最大值为3
8. 解法二：c bx ax x f ++='23)(2. 设1)()(+'=x f x g ，则当10≤≤x 时，2)(0≤≤x g .
设 12-=x z
，则11,2
1
≤≤-+=
z z x . 14
322343)21()(2++++++=+=c b a
z b a z a z g z h .
容易知道当
11≤≤-z 时，
2
)(0,2)(0≤-≤≤≤z h z h . 从而当
1
1≤≤-z 时，
22
)
()(0≤-+≤
z h z h ， 即
214
34302≤++++≤
c b a z a ， 从而 0143≥+++c b a ,2432≤z a ，由 102≤≤z 知3
8≤a .
又易知当m x x x x f ++-=23438)(（m 为常数）满足题设条件，所以a 最大值为3
8
.
10. 解法一：设线段
AB 的中点为),(00y x M ，则 2
,222
1
0210y y y x x x +==+=
，
0122
1221212123
66
6y y y y y y y x x y y k AB =
+=--=--=
.
线段
AB 的垂直平分线的方程是
)2(3
0--
=-x y y y . （1） 易知0,5==y x 是（1）的一个解，所以线段AB 的垂直平分线与x 轴的交点C 为定点，且点C 坐标为)0,5(.
由（1）知直线
AB 的方程为)2(3
0-=
-x y y y ，即 2)(3
00
+-=
y y y x . （2） （2）代入
x y 62=得12)(2002+-=y y y y ，即
012222
002=-+-y y y y . （3）
依题意，
21,y y 是方程（3）的两个实根，且21y y ≠，所以
22200044(212)4480y y y ?=--=-+>,
32320<<-y .
2
21221)()(y y x x AB -+-=
2212
0))()3
(
1(y y y -+=
]4))[(91(2122120
y y y y y -++=
))122(44)(9
1(2
02020--+=y y y
)12)(9(3
22
020y y -+=
. 定点)0,5(C 到线段AB 的距离
2
2029)0()25(y y CM h
+=-+-==.
2
020209)12)(9(3
121y y y h AB S ABC
+?-+=?=
?
)9)(224)(9(2
1312
02020y y y +-+=
3
202020
)3
92249(2131y y y ++-++≤
73
14
=
.
当且仅当
2
2
2
24
9y
y-
=
+，
即0
y=
,A B
或A B
-时等号成立.
所以，ABC
?面积的最大值为7
3
14
.
11.令2
5
2
)
(3-
+
=x
x
x
f，则0
5
6
)
(2>
+
=
'x
x
f，所以)
(x
f是严格递增的.又
4
3
)
2
1
(
,0
2
)0(>
=
<
-
=f
f，故)
(x
f有唯一实数根
1
(0,)
2
r∈.
所以
3
2520
r r
+-=，
3
1
5
2
r
r
-
=4710
r r r r
=++++.
故数列)
,2,1
(2
3
=
-
=n
n
a
n
是满足题设要求的数列.
若存在两个不同的正整数数列
<
<
<
<
n
a
a
a
2
1
和
<
<
<
<
n
b
b
b
2
1
满足
5
2
3
2
1
3
2
1=
+
+
+
=
+
+
+
b
b
b
a
a
a r
r
r
r
r
r，
去掉上面等式两边相同的项，有
+
+
+
=
+
+
+3
2
1
3
2
1
t
t
t
s
s
s r
r
r
r
r
r，
这里
<
<
<
<
<
<
3
2
1
3
2
1
,t
t
t
s
s
s，所有的
i
s与
j
t都是不同的.
不妨设1
1
t
s<，则
+
+
=
+
+
<2
1
2
1
1
t
t
s
s
s r
r
r
r
r，
1
1
2
1
1
1
1
1
1
12
1
2
1
1=
-
-
<
-
-
=
+
+
≤
+
+
<-
-
r
r
r
r
r s
t
s
t
，
矛盾.故满足题设的数列是唯一的.
加试
1. （40分）如图，锐角三角形ABC的外心为O，K是边BC上一点（不
是边BC的中点），D是线段AK延长线上一点，直线BD与AC交于点N，直
线CD与AB交于点M．求证：若OK⊥MN，则A，B，D，C四点共圆．
2. （40分）设k 是给定的正整数，12
r
k =+
．记(1)
()()f r f r r r ==????，()()l f r =(1)(()),2l f f r l -≥．证明：存在正整数m ，使得
()()m f r 为一个整数．这里，x ????表示不小于实数x 的最小整数，例如：112??
=????
，11=????． 3. （50分）给定整数2n
>，设正实数12,,
,n a a a 满足1,1,2,
,k a k n ≤=，记
12,1,2,,k
k a a a A k n k
++
+=
=．
求证：
1
1
1
2
n n
k k k k n a A ==--<
∑∑． 4. （50分）一种密码锁的密码设置是在正n 边形
12
n A A A 的每个顶点处赋值0和1两个数中的一个，同时在每个顶点处
涂染红、蓝两种颜色之一，使得任意相邻的两个顶点的数字或颜色中至少有一个相同．问：该种密码锁共有多少种不同的密码设置？
解 答
1. 用反证法．若A ，B ，D ，C 不四点共圆，设三角形ABC 的外接圆与AD 交于点E ，连接BE 并延长交直线AN 于点Q ，连接CE 并延长交直线AM 于点P ，连接PQ ． 因为2
PK
=P 的幂（关于⊙O ）+K 的幂（关于⊙O ）
()()2222PO r KO r =-+-，
同理
()()2
2
2
2
2
QK QO r
KO
r
=-+-，
所以
2
2
2
2
PO PK QO QK
-=-，
故OK ⊥PQ ． 由题设，OK ⊥MN ，所以PQ ∥MN ，于是
AQ AP
QN PM
=． ①
由梅内劳斯（Menelaus ）定理，得
1NB DE AQ
BD EA QN
??=， ② 1MC DE AP
CD EA PM
??=． ③
M
由①，②，③可得
NB MC BD CD =， 所以ND MD
BD DC
=
，故△DMN ∽ △DCB ，于是DMN DCB ∠=∠，所以BC ∥MN ，故OK ⊥BC ，即K 为BC 的中点，矛盾！从而
,,,A B D C 四点共圆.
注1：“2
PK
=P 的幂（关于⊙O ）+K 的幂（关于⊙O ）”的证明：延长PK 至点F ，使得
PK KF AK KE ?=?， ④
则P ，E ，F ，A 四点共圆，故
PFE PAE BCE ∠=∠=∠，
从而E ，C ，F ，K 四点共圆，于是
PK PF PE PC ?=?， ⑤
⑤-④，得
2PK PE PC AK KE =?-?=P 的幂（关于⊙O ）+K 的幂（关于⊙O ）．
注2：若点E 在线段AD 的延长线上，完全类似．
2. 记2()v n 表示正整数n 所含的2的幂次．则当2()1m v k =+时，()()m f r 为整数．
下面我们对2()v k v =用数学归纳法．
当0v
=时，k 为奇数，1k +为偶数，此时
()111()1222f r k k k k ?
?????=++=++ ? ????
?????
为整数． 假设命题对1(1)v v
-≥成立．
对于1v ≥，设k 的二进制表示具有形式
1212222v v v v v k αα++++=+?+?+
，
这里，0i α=或者1，1,2,
i v v =++．
于是
F
E Q
P
O
N
M
K D
C
B
A
()111()1222f r k k k k ?
?????=++=++
? ????
?????
2122k
k k =
+++
1121121
2(1)2()222
v v v v v v v ααα-++++=+++?++?+++
1
2k '=+， ①
这里
1121122(1)2()22v v v v v v v k ααα-++++'=++?++?+
++
.
显然k '中所含的2的幂次为1v -．故由归纳假设知，12
r k ''=+
经过f 的v 次迭代得到整数，由①知，(1)
()v f
r +是一个整数，这就完成了归纳证明． 3. 由01k a <
≤知，对11k n ≤≤-，有1
1
0,
0k
n
i i
i i k a k a
n k ==+<≤<
≤-∑∑．
注意到当,
0x y >时，有{}max ,x y x y -<，于是对11k n ≤≤-，有
1
1111k
n n k i i
i i k A A a a n k n ==+??-=-+ ???∑∑
11
111n k
i i
i k i a a n k n =+=??=-- ???∑∑
1
1111max ,
n
k i i i k i a a n k n =+=????<-?? ?????∑∑ 1
11max (),
n k k n k n ????≤--?? ?????
1k
n
=-
， 故
1
1
1
n
n
n
k k
n k
k k k a A
nA A ===-=-∑∑∑
()1
1
11
n n n
k n k
k k A
A A A --===
-≤-∑∑
1
11n k k n -=??<- ??
?∑12n -=．
4. 对于该种密码锁的一种密码设置，如果相邻两个顶点上所赋值的数字不同，在它们所在的边上标上a ，如果颜色不同，则标
上b ，如果数字和颜色都相同，则标上c ．于是对于给定的点
1A 上的设置（共有
4种），按照边上的字母可以依次确定点
23,,,n A A A 上的设置．为了使得最终回到1A 时的设置与初始时相同，标有a 和b 的边都是偶数条．所以这种密码锁的所有
不同的密码设置方法数等于在边上标记a ，b ，c ，使得标有a 和b 的边都是偶数条的方法数的4倍．
设标有a 的边有2i 条，0
2n i ??≤≤????，标有b 的边有2j 条，202n i j -??≤≤????
．选取2i 条边标记a 的有2i
n C 种方
法，在余下的边中取出2
j 条边标记b 的有22j n i C -种方法，其余的边标记c ．由乘法原理，此时共有2i n C 22j n i C -种标记方法．对
i ，j 求和，密码锁的所有不同的密码设置方法数为
2222220
04n n i i j n n i i j C C -??
??
????
????
-==?? ? ? ???
∑
∑． ①
这里我们约定0
1C =．
当n 为奇数时，20n i ->，此时
2222120
2n i j
n i n i
j C
-??????---==∑． ②
代入①式中，得
()()22222222212220
00044222n n i n n i j i n i i n i n n i n n i j i i C C C C -????????
????????
????????
----====?? ?== ?
???
∑
∑∑∑ 0
2
2(1)(21)(21)n
n
k n k
k n k
k n n n
n k k C C --===+-=++-∑∑ 31n =+．
当n 为偶数时，若2n i
<
，则②式仍然成立；若2
n
i =，则正n 边形的所有边都标记a ，此时只有一种标记方法．于是，当n 为偶数时，所有不同的密码设置的方法数为
2222220
04n n i i j n n i i j C C -??
??????????
-==?? ?= ?
?
??
∑
∑()1
22210412n i n i n i C ??
-????--=?? ??+ ? ???∑ ()2221
24233n i n i n n i C ??
????
--==+=+∑．
综上所述，这种密码锁的所有不同的密码设置方法数是：当n 为奇数时有3
1n
+种；当n 为偶数时有33n +种．
