高考模拟复习试卷试题模拟卷
【考情解读】
1.掌握正弦定理、余弦定理，并能解决一些简单的三角形度量问题；
【重点知识梳理】
1．正、余弦定理
在△ABC中，若角A，B，C所对的边分别是a，b，c，R为△ABC外接圆半径，则定理正弦定理余弦定理
内容
a
sin A＝
b
sin B＝
c
sin C＝2R
a2＝b2＋
c22bccos__A；
b2＝c2＋
a22cacos__B；
c2＝a2＋b2－
2abcos__C
常见
变形
(1)a＝2Rsin A，b＝2Rsin__B，c＝2Rsin_C；
(2)sin A＝
a
2R，sin B＝
b
2R，sin C＝
c
2R；
(3)a∶b∶c＝sin__A∶sin__B∶sin__C；
(4)asin B＝bsin A，bsin C＝csin B，asin C＝csin A
cos A＝
b2＋c2－a2
2bc；
cos B＝
c2＋a2－b2
2ac；
cos C＝
a2＋b2－c2
2ab
2.S△ABC＝
1
2absin C＝
1
2bcsin A＝
1
2acsin B＝
abc
4R＝
1
2(a＋b＋c)·r(r是三角形内切圆的半径)，并可由此计算R，r.
【高频考点突破】
考点一利用正、余弦定理解三角形
例1、(1)在△ABC中，∠ABC＝
π
4，AB＝2，BC＝3，则sin∠BAC＝()
A.
10
10 B.
10
5
C.
310
10 D.
5
5
(2)如图，在△ABC中，已知点D在BC边上，AD⊥AC，sin∠BAC＝
22
3，AB＝32，AD＝3，则
BD的长为________．
【答案】(1)C(2)3 【提分秘籍】
利用正、余弦定理解三角形的关键是合理地选择正弦或余弦定理进行边角互化，解题过程中注意隐含条件的挖掘以确定解的个数．
【变式探究】
在△ABC 中，已知内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且满足2asin ?
??
?B ＋π4＝c.
(1)求角A 的大小；
(2)若△ABC 为锐角三角形，求sin Bsin C 的取值范围．
考点二三角形形状的判断
例2、设△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若bcos C ＋ccos B ＝asin A ，则△ABC 的形状为()
A．锐角三角形B．直角三角形
C．钝角三角形 D．不确定
【答案】B
【提分秘籍】
依据已知条件中的边角关系判断三角形的形状时，主要有如下两种方法
(1)利用正、余弦定理把已知条件转化为边边关系，通过因式分解、配方等得出边的相应关系，从而判断三角形的形状；
(2)利用正、余弦定理把已知条件转化为内角的三角函数间的关系，通过三角函数恒等变形，得出内角的关系，从而判断出三角形的形状，此时要注意应用A＋B＋C＝π这个结论．注意：在上述两种方法的等式变形中，一般两边不要约去公因式，应移项提取公因式，以免漏解．
【变式探究】
在△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a，b，c，且b2＋c2＝a2＋bc.
(1)求角A的大小；
(2)若sin B·sin C＝sin2A，试判断△ABC的形状．
考点三三角形的面积问题
例3、在△ABC中，角A，B，C对应的边分别是a，b，c.已知cos 2A－3cos(B＋C)＝1.
(1)求角A的大小；
(2)若△ABC的面积S＝53，b＝5，求sin Bsin C的值．
【方法技巧】
三角形的面积求法最常用的是利用公式S ＝12absin C ＝12acsinB ＝1
2bcsin A 去求．计算时注意整体运算及正、余弦定理的应用．
【变式探究】
在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若acos2C 2＋ccos2A 2＝3
2b. (1)求证：a ，b ，c 成等差数列；
(2)若∠B ＝60°，b ＝4，求△ABC 的面积．
考点四解三角形
例4、在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且2cos2A －B
2cos B －sin(A －B)sin B ＋cos(A ＋C)＝－35.
(1)求cos A 的值；
(2)若a ＝42，b ＝5，求向量BA →在BC →
方向上的投影．
【提分秘籍】
正弦定理、余弦定理及其在现实生活中的应用是高考的热点，主要利用正弦定理、余弦定理解决一些简单的三角形的度量问题以及几何计算的实际问题，常与三角变换、三角函数的性质交汇命题、多以解答题形式出现．
【真题感悟】
【高考广东，文5】设C ?AB 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ．若2a =，23c =，
3
cos A =
b c <，则b =（ ） A 3B ．2C ．22．3
【答案】B
【高考福建，文14】若ABC ?中，3AC =，045A =，0
75C =，则BC =_______．
【答案】2
【高考重庆，文13】设ABC ?的内角A ，B ，C 的对边分别为,,a b c ,且
1
2,cos ,4
a C
3sin 2sin A B ,则c=________. 【答案】4
【高考安徽，文12】在ABC ?中，6=AB ， 75=∠A ， 45=∠B ，则=AC .
【答案】2
【高考北京，文11】在C ?AB 中，3a =，6b =，23
π
∠A =
，则∠B =． 【答案】
4
π
【高考山东，文17】ABC ?中，角A B C ，，所对的边分别为,,a b c .已知
36cos ,sin (),2339
B A B ac =
+== 求sin A 和c 的值. 【答案】
22
,1.3
【高考天津，文16】（本小题满分13分）△ABC 中,内角A,B,C 所对的边分别为a,b,c,已知△ABC 的面积为315,12,cos ,4
b c A -==-
（I ）求a 和sinC 的值; （II ）求πcos 26A ??
+
??
?
的值. 【答案】（I ）a=8,15sin 8C =
;（II ）157316
-.
【高考新课标1，文17】（本小题满分12分）已知,,a b c 分别是ABC ?内角,,A B C 的对边，
2sin 2sin sin B A C =.
（I ）若a b =，求cos ;B （II ）若90B =，且2,a =求ABC ?的面积.
【答案】（I ）
1
4
（II ）1
【高考天津，文16】（本小题满分13分）△ABC 中,内角A,B,C 所对的边分别为a,b,c,已知△ABC 的面积为315,12,cos ,4
b c A -==-
（I ）求a 和sinC 的值; （II ）求πcos 26A ??
+
??
?
的值. 【答案】（I ）a=8,15sin C =
;（II ）1573-.
【押题专练】
1．在△ABC 中，A ，B ，C 为内角，且sin Acos A ＝sin Bcos B ，则△ABC 是( ) A ．等腰三角形 B ．直角三角形 C ．等腰直角三角形
D ．等腰或直角三角形
【答案】D
2．在斜三角形ABC 中，sin A ＝－2cos B·cos C ，且tan B·tan C ＝1－2，则角A 的值为( ) A.π4B.π3 C.π2D.3π4
【答案】A
3．在锐角△ABC 中，角A ，B 所对的边长分别为a ，b.若2asin B ＝3b ，则角A 等于( ) A.π12B.π6 C.π4D.π3
【答案】D
4．在△ABC 中，A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c 且acos C ，bcos B ，ccos A 成等差数列，则B 的值为( )
A.π6
B.π3
C.2π3
D.5π6
【答案】B
5．在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，ac ＝3，且a ＝3bsin A ，则△ABC 的面积等于( )
A.12
B.32 C ．1 D.3
4
【答案】A
6．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边长分别为a ，b ，c ，sin A ，sin B ，sin C 成等比数列，且c ＝2a ，则cos B 的值为( )
A.14
B.34
C.24
D.23
【答案】B
7．△ABC 中，a ，b ，c 分别是角A ，B ，C 的对边，若a2－c2＝2b ，且sin B ＝6cos A·sin C ，则b 的值为________．
【答案】3
8．在锐角△ABC 中，a ，b ，c 是角A ，B ，C 的对边，且3a ＝2csin A.
(1)求角C 的度数；
(2)若c ＝7，且△ABC 的面积为33
2，求a ＋b 的值．
9．已知函数f(x)＝2sin xcos x ＋23cos2x －3，x ∈R. (1)求函数f(x)的最小正周期；
(2)在锐角△ABC 中，若f(A)＝1，AB →·AC →
＝2，求△ABC 的面积．
10．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，已知cos C ＋(cos A －3sin A)cos B ＝0. (1)求角B 的大小；
(2)若a ＋c ＝1，求b 的取值范围．
11．已知a，b，c分别为△ABC三个内角A，B，C的对边，2bcos C＝2a－c，
(1)求B；
(2)若△ABC的面积为3，求b的取值范围．
12．在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，已知向量m＝(cos A，cos B)，n＝(a,2c－b)，且m∥n.
(1)求角A的大小；
(2)若a＝4，求△ABC面积的最大值．
高考模拟复习试卷试题模拟卷
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【高频考点解读】 1.理解等差数列的概念；
2.掌握等差数列的通项公式与前n 项和公式；
3.能在具体的问题情境中识别数列的等差关系，并能用有关知识解决相应的问题；
4.了解等差数列与一次函数、二次函数的关系． 【热点题型】
题型一 等差数列基本量的运算
例1、(1)在数列{an}中，若a1＝－2，且对任意的n ∈N*有2an ＋1＝1＋2an ，则数列{an}前10项的和为( )
A ．2
B ．10C.52D.5
4
(2)(·课标全国Ⅰ)设等差数列{an}的前n 项和为Sn ，Sm －1＝－2，Sm ＝0，Sm ＋1＝3，则m 等于( ) A ．3 B ．4 C ．5 D ．6 答案 (1)C (2)C
【提分秘籍】
(1)等差数列的通项公式及前n 项和公式，共涉及五个量a1，an ，d ，n ，Sn ，知其中三个就能求另外两个，体现了用方程的思想来解决问题．
(2)数列的通项公式和前n 项和公式在解题中起到变量代换作用，而a1和d 是等差数列的两个基本量，用它们表示已知和未知是常用方法．
【举一反三】
(1)若等差数列{an}的前5项和S5＝25，且a2＝3，则a7等于( ) A ．12B ．13C ．14D ．15
(2)记等差数列{an}的前n 项和为Sn ，若a1＝1
2，S4＝20，则S6等于( ) A ．16B ．24C ．36D ．48
(3)已知等差数列{an}的前n 项和为Sn ，且满足S33－S2
2＝1，则数列{an}的公差是( ) A.1
2B ．1C ．2D ．3 答案 (1)B (2)D (3)C 解析 (1)由题意得S5＝5
a1＋a5
2
＝5a3＝25，故a3＝5，公差d ＝a3－a2＝2，a7＝a2＋5d ＝3＋5×2＝13.
(2)∵S4＝2＋6d ＝20，∴d ＝3，故S6＝3＋15d ＝48. (3)∵Sn ＝n a1＋an 2，∴Sn n ＝a1＋an 2，又S33－S2
2＝1， 得
a1＋a32－a1＋a2
2＝1，即a3－a2＝2，
∴数列{an}的公差为2.
题型二 等差数列的性质及应用
例2、(1)设等差数列{an}的前n 项和为Sn ，若S3＝9，S6＝36，则a7＋a8＋a9等于( ) A ．63B ．45C ．36D ．27
(2)若一个等差数列前3项的和为34，最后3项的和为146，且所有项的和为390，则这个数列的项数为( )
A ．13
B ．12
C ．11
D ．10
(3)已知Sn 是等差数列{an}的前n 项和，若a1＝－，S －S
＝6，则S ＝________. 答案 (1)B (2)A (3)
解析 (1)由{an}是等差数列，得S3，S6－S3，S9－S6为等差数列． 即2(S6－S3)＝S3＋(S9－S6)， 得到S9－S6＝2S6－3S3＝45，故选B.
【提分秘籍】
在等差数列{an}中，数列Sm，S2m－Sm，S3m－S2m也成等差数列；{Sn
n}也是等差数列．等差数列的
性质是解题的重要工具．
【举一反三】
(1)设数列{an}是等差数列，若a3＋a4＋a5＝12，则a1＋a2＋…＋a7等于()
A．14B．21C．28D．35
(2)已知等差数列{an}的前n项和为Sn，且S10＝10，S20＝30，则S30＝________.
答案(1)C(2)60
解析(1)∵a3＋a4＋a5＝3a4＝12，∴a4＝4，
∴a1＋a2＋…＋a7＝7a4＝28.
(2)∵S10，S20－S10，S30－S20成等差数列，
∴2(S20－S10)＝S10＋S30－S20，
∴40＝10＋S30－30，∴S30＝60.
题型三等差数列的判定与证明
例3、已知数列{an}中，a1＝3
5，an＝2－
1
an－1(n≥2，n∈N*)，数列{bn}满足bn＝
1
an－1(n∈N*)．
(1)求证：数列{bn}是等差数列；
(2)求数列{an}中的最大项和最小项，并说明理由．
(1)证明因为an＝2－1
an－1(n≥2，n∈N*)，
bn ＝1
an －1
(n ∈N*)，
所以bn ＋1－bn ＝1an ＋1－1－1
an －1
＝
12－1an －1
－1an －1＝an an －1－1
an －1
＝1. 又b1＝1a1－1
＝－5
2.
所以数列{bn}是以－5
2为首项，1为公差的等差数列． (2)解 由(1)知bn ＝n －7
2， 则an ＝1＋1bn ＝1＋2
2n －7.
设f(x)＝1＋2
2x －7
，
则f(x)在区间(－∞，72)和(7
2，＋∞)上为减函数．
所以当n ＝3时，an 取得最小值－1，当n ＝4时，an 取得最大值3. 【提分秘籍】
等差数列的四个判定方法：
(1)定义法：证明对任意正整数n 都有an ＋1－an 等于同一个常数．
(2)等差中项法：证明对任意正整数n 都有2an ＋1＝an ＋an ＋2后，可递推得出an ＋2－an ＋1＝an ＋1－an ＝an －an －1＝an －1－an －2＝…＝a2－a1，根据定义得出数列{an}为等差数列．
(3)通项公式法：得出an ＝pn ＋q 后，得an ＋1－an ＝p 对任意正整数n 恒成立，根据定义判定数列{an}为等差数列．
(4)前n 项和公式法：得出Sn ＝An2＋Bn 后，根据Sn ，an 的关系，得出an ，再使用定义法证明数列{an}为等差数列．
【举一反三】
(1)若{an}是公差为1的等差数列，则{a2n －1＋2a2n}是( ) A ．公差为3的等差数列B ．公差为4的等差数列 C ．公差为6的等差数列D ．公差为9的等差数列
(2)在数列{an}中，若a1＝1，a2＝12，2an ＋1＝1an ＋1
an ＋2(n ∈N*)，则该数列的通项为( )
A ．an ＝1n
B ．an ＝2
n ＋1
C ．an ＝2n ＋2
D ．an ＝3
n
答案 (1)C (2)A
【高考风向标】
【高考新课标1，文7】已知{}n a 是公差为1的等差数列，n S 为{}n a 的前n 项和，若844S S =，则
10a =（）
（A ）
172（B ）19
2
（C ）10（D ）12 【答案】B
【解析】∵公差1d =，844S S =，∴11118874(443)22a a +??=+??，解得1a =1
2
，∴101119
9922
a a d =+=
+=，故选B. 【高考陕西，文13】中位数为1010的一组数构成等差数列，其末项为，则该数列的首项为________ 【答案】5
【解析】若这组数有21n +个，则11010n a +=，212015n a +=，又12112n n a a a +++=，所以15a =； 若这组数有2n 个，则1101022020n n a a ++=?=，22015n a =，又121n n n a a a a ++=+，所以15a =； 故答案为5
【高考福建，文16】若,a b 是函数()()2
0,0f x x px q p q =-+>>的两个不同的零点，且,,2
a b -这三个数可适当排序后成等差数列，也可适当排序后成等比数列，则p q +的值等于________．
【答案】9
【高考浙江，文10】已知{}n a 是等差数列，公差d 不为零．若2a ，3a ，7a 成等比数列，且
1221a a +=，则1a =，d =．
【答案】
2,13
- 【解析】由题可得，2
111(2)()(6)a d a d a d +=++，故有1320a d +=，又因为1221a a +=，即
131a d +=，所以121,3
d a =-=
. 1．（·安徽卷）数列{an}是等差数列，若a1＋1，a3＋3，a5＋5构成公比为q 的等比数列，则q ＝________.
【答案】1
【解析】因为数列{an}是等差数列，所以a1＋1，a3＋3，a5＋5也成等差数列．又 a1＋1，a3＋3，a5＋5构为公比为q 的等比数列，所以a1＋1，a3＋3，a5＋5为常数列，故q ＝1.
2．（·北京卷）若等差数列{an}满足a7＋a8＋a9>0，a7＋a10<0，则当n ＝________时，{an}的前n 项和最大．
【答案】8
【解析】∵a7＋a8＋a9＝3a8>0，a7＋a10＝a8＋a9<0，∴a8>0，a9<0，∴n ＝8时，数列{an}的前n 项和最大．
3．（·福建卷）等差数列{an}的前n 项和为Sn ，若a1＝2，S3＝12，则a6等于( ) A ．8 B ．10 C ．12 D ．14 【答案】C
【解析】设等差数列{an}的公差为d ，由等差数列的前n 项和公式，得S3＝3×2＋3×2
2d ＝12，解得d ＝2，则a6＝a1＋(6－1)d ＝2＋5×2＝12.
4．（·湖北卷）已知等差数列{an}满足：a1＝2，且a1，a2，a5成等比数列． (1)求数列{an}的通项公式．
(2)记Sn 为数列{an}的前n 项和，是否存在正整数n ，使得Sn>60n ＋800？若存在，求n 的最小值；若不存在，说明理由．
【解析】(1)设数列{an}的公差为d ， 依题意得，2，2＋d ，2＋4d 成等比数列， 故有(2＋d)2＝2(2＋4d)，
化简得d2－4d ＝0，解得d ＝0或d ＝4. 当d ＝0时，an ＝2；
当d ＝4时，an ＝2＋(n －1)·4＝4n －2.
从而得数列{an}的通项公式为an ＝2或an ＝4n －2.
5．（·湖南卷）已知数列{an}满足a1＝1，|an ＋1－an|＝pn ，n ∈N*. (1)若{an}是递增数列，且a1，2a2，3a3成等差数列，求p 的值；
(2)若p ＝1
2，且{a2n －1}是递增数列，{a2n}是递减数列，求数列{an}的通项公式． 【解析】(1)因为{an}是递增数列，所以an ＋1－an ＝|an ＋1－an|＝pn.而a1＝1，因此
a2＝p ＋1，a3＝p2＋p ＋1.又a1，2a2，3a3成等差数列，所以4a2＝a1＋3a3，因而3p2－p ＝0，解得p ＝1
3
或p ＝0.
当p ＝0时，an ＋1＝an ，这与{an}是递增数列矛盾，故p ＝1
3.
(2)由于{a2n －1}是递增数列，因而a2n ＋1－a2n －1>0，于是(a2n ＋1－a2n)＋(a2n －a2n －1)>0.① 因为122n <122n －1
，所以|a2n ＋1－a2n|<|a2n －a2n －1|.②