椭圆典型题型归纳
题型一. 定义及其应用
例1.已知一个动圆与圆22:(4)100C x y ++=相切，且过点(4,0)A ，求这个动圆圆心M 的轨迹方程；
例2. 方程2x =+所表示的曲线是
练习：
1.6=对应的图形是（ ）
A.直线
B. 线段
C. 椭圆
D. 圆
2.10=对应的图形是（ ）
A.直线
B. 线段
C. 椭圆
D. 圆
3.10=成立的充要条件是（ ） A. 2212516x y += B.221259x y += C. 2211625x y += D. 22
1925
x y +=
4.1m =+表示椭圆，则m 的取值围是
5.过椭圆22941x y +=的一个焦点1F 的直线与椭圆相交于,A B 两点，则,A B 两点与椭圆的
另一个焦点2F 构成的2ABF ?的周长等于 ；
6.设圆22(1)25x y ++=的圆心为C ，(1,0)A 是圆一定点，Q 为圆周上任意一点，线段AQ 的垂直平分线与CQ 的连线交于点M ，则点M 的轨迹方程为 ；
题型二. 椭圆的方程
（一）由方程研究曲线 例1.方程22
11625
x y +=的曲线是到定点 和 的距离之和等于 的点的轨迹；
（二）分情况求椭圆的方程
例2.已知椭圆以坐标轴为对称轴，且长轴是短轴的3倍，并且过点(3,0)P ，求椭圆的方程；
（三）用待定系数法求方程
例3.已知椭圆的中心在原点，以坐标轴为对称轴，且经过两点1P 、2(P ，求椭圆的方程；
例4.求经过点(2,3)-且与椭圆22
9436x y +=有共同焦点的椭圆方程；
注：一般地，与椭圆22
221x y a b
+=共焦点的椭圆可设其方程为222221()x y k b a k b k +=>-++； （四）定义法求轨迹方程；
例5.在ABC ?中，,,A B C 所对的三边分别为,,a b c ，且(1,0),(1,0)B C -，求满足b a c >>且,,b a c 成等差数列时顶点A 的轨迹；
（五）相关点法求轨迹方程；
例6.已知x 轴上一定点(1,0)A ，Q 为椭圆2
214
x y +=上任一点，求AQ 的中点M 的轨迹方程；
（六）直接法求轨迹方程；
例7.设动直线l 垂直于x 轴，且与椭圆22
24x y +=交于,A B 两点，点P 是直线l 上满足1PA PB =的点，求点P 的轨迹方程；
（七）列方程组求方程
例8.中心在原点，一焦点为F 的椭圆被直线32y x =-截得的弦的中点的横坐标为12
，求此椭圆的方程；
题型三.焦点三角形问题 例1.已知椭圆2211625x y +=上一点P 的纵坐标为53
，椭圆的上下两个焦点分别为2F 、1F ，求1PF 、2PF 及12cos F
PF ∠；
题型四.椭圆的几何性质
例1.已知P 是椭圆22221x y a b +=上的点，的纵坐标为53
，1F 、2F 分别为椭圆的两个焦点，椭圆的半焦距为c ，则12PF PF 的最大值与最小值之差为
例2.椭圆22
221x y a b
+=(0)a b >>的四个顶点为,,,A B C D ，若四边形ABCD 的切圆恰好过焦点，则椭圆的离心率为 ； 例3.若椭圆22114x y k +=+的离心率为12
，则k = ； 例4.若P 为椭圆22
221(0)x y a b a b
+=>>上一点，1F 、2F 为其两个焦点，且01215PF F ∠=，02175PF F ∠=，则椭圆的离心率为
题型五.求围 例1.方程22
221(1)
x y m m +=-表示准线平行于x 轴的椭圆，数m 的取值围；
题型六.椭圆的第二定义的应用
例1. 方程2x y =++所表示的曲线是
例2.求经过点(1,2)M ，以y 轴为准线，离心率为12
的椭圆的左顶点的轨迹方程； 例3.椭圆221259x y +=上有一点P ，它到左准线的距离等于52
，那么P 到右焦点的距离为 例4．已知椭圆13
42
2=+y x ，能否在此椭圆位于y 轴左侧的部分上找到一点M ，使它到左准线的距离为它到两焦点12,F F 距离的等比中项，若能找到，求出该点的坐标，若不能找到，请说明理由。
例5．已知椭圆15
92
2=+y x 有一点)1,1(A ，1F 、2F 分别是椭圆的左、右焦点，点P 是椭圆上一点．求22
3PF PA +
的最小值及对应的点P 的坐标．
题型七.求离心率 例1. 椭圆22
221x y a b
+=(0)a b >>的左焦点为1(,0)F c -，(,0)A a -，(0,)B b 是两个顶点，如果
1F 到直线AB e = 例2.若P 为椭圆22
221(0)x y a b a b
+=>>上一点，1F 、2F 为其两个焦点，且12PF F α∠=，212PF F α∠=，则椭圆的离心率为
例 3. 1F 、2F 为椭圆的两个焦点，过2F 的直线交椭圆于,P Q 两点，1PF PQ ⊥，且1PF PQ =，则椭圆的离心率为 ；
题型八.椭圆参数方程的应用
例1. 椭圆22
143
x y +=上的点P 到直线270x y -+=的距离最大时，点P 的坐标
例2.方程22
sin cos 1x y αα-=(0απ<<)表示焦点在y 轴上的椭圆，求α的取值围；
题型九.直线与椭圆的关系
（1）直线与椭圆的位置关系
例1. 当m 为何值时，直线:l y x m =+与椭圆22916144x y +=相切、相交、相离？
例2.曲线222
22x y a +=（0a >）与连结(1,1)A -，(2,3)B 的线段没有公共点，求a 的取值围。
例3.过点)0 ,3(-P OAB ?分析：的斜率一定要存在，3-=my x 了运算。
解：设11(,),(A x y B )(3|)||(|3||||2
1||||21212121y y y y y OP y OP S AOB -=+=?+?=? 把3-=my x 代入椭圆方程得：0124)332(3222=-++-y my y m ，即
0336)43(22=--+my y m ，4336221+=+m m y y ，4
33221+-=m y y 481444
314312)43(108||22222221++=+++=-x m m m m y y 3
)13(133443133443394222222+++?=++?=++=m m m m m m 23
234133
133422=≤+++=m m m
∴3223=?≤S ，此时1331322+=+m m 3
6±=m
令直线的倾角为α，则tan
2α==± 即OAB ?面积的最大值为3，此时直线倾斜角的正切值为26±
。 例4.求直线cos sin 2x y θθ+=和椭圆2236x y +=有公共点时，θ的取值围(0)θπ≤≤。
（二）弦长问题
例1.已知椭圆22
212x y +=，A 是x 轴正方向上的一定点，若过点A ，斜率为1的直线被椭圆截得的弦长为3
134，求点A 的坐标。 分析：若直线y kx b =+与圆锥曲线(,)0f x y =相交于两点11(,)P x y 、22(,)Q x y ， 则弦PQ 的长度的计算公式为||11||1||212212y y k x x k PQ -+
=-+=， 而21221214)(||x x x x x x -+=-，因此只要把直线y kx b =+的方程代入圆锥曲线
(,)0f x y =方程，消去y （或x ）
，结合一元二次方程根与系数的关系即可求出弦长。 解：设0(,0)A x （00x >），则直线l 的方程为0y x x =-，设直线l 与椭圆相交于11(,)P x y 、
22(,)Q x y ，由022212
y x x x y =-??+=?，可得2200342120x x x x -+-=， 34021x x x =+，31222
21-=?x x x ，则 202
02021221212363234889164)(||x x x x x x x x x -=--=-+=- ∴||13144212x x x -?+=，即202363
223144x -??= ∴204x =，又00x >，∴02x =，∴(2,0)A ；
例2.椭圆221ax by +=与直线1x y +=相交于,A B 两点，C 是AB 的中点，
椭圆典型题型归纳 题型一. 定义及其应用 例1.已知一个动圆与圆22:(4)100C x y ++=相内切，且过点(4,0)A ，求这个动圆圆心M 的轨迹方程； 练习： 1.6=对应的图形是（ ） A.直线 B. 线段 C. 椭圆 D. 圆 2.10=对应的图形是（ ） A.直线 B. 线段 C. 椭圆 D. 圆 4.1m =+表示椭圆，则m 的取值范围是 5.过椭圆22941x y +=的一个焦点1F 的直线与椭圆相交于,A B 两点，则,A B 两点与椭圆的 另一个焦点2F 构成的2ABF ?的周长等于 ； 6.设圆22 (1)25x y ++=的圆心为C ，(1,0)A 是圆内一定点，Q 为圆周上任意一点，线段AQ 的垂直平分线与CQ 的连线交于点M ，则点M 的轨迹方程为 ； 题型二. 椭圆的方程 （一）由方程研究曲线 例1.方程22 11625 x y +=的曲线是到定点 和 的距离之和等于 的点的轨迹； （二）分情况求椭圆的方程 例2.已知椭圆以坐标轴为对称轴，且长轴是短轴的3倍，并且过点(3,0)P ，求椭圆的方程； （三）用待定系数法求方程 例3.已知椭圆的中心在原点，以坐标轴为对称轴，且经过两点1P 、2(P ，求椭圆的方程； 例4.求经过点(2,3)-且与椭圆22 9436x y +=有共同焦点的椭圆方程； 注：一般地，与椭圆22221x y a b +=共焦点的椭圆可设其方程为22 2221()x y k b a k b k +=>-++； （四）定义法求轨迹方程； 例5.在ABC ?中，,,A B C 所对的三边分别为,,a b c ，且(1,0),(1,0)B C -，求满足b a c >>
椭圆的常见题型及其解法(一) 椭圆是圆锥曲线的内容之一，也是高考的热点和重点，椭圆学习的好坏还直接影响后面的双曲线与抛物线的学习，笔者在这里就椭圆常见题型作简要的探讨，希望对学习椭圆的同学有所帮助. 一、椭圆的焦半径 椭圆上的任意一点到焦点F的长称为此曲线上该点的焦半径，根据椭圆的定义，很容易推导出椭圆的焦半径公式。在涉及到焦半径或焦点弦的一些问题时，用焦半径公式解题可以简化运算过程。 1.公式的推导 设P （，）是椭圆上的任意一点， 分别是椭圆的左、右焦点，椭圆 ，求证，。证法1： 。 因为，所以 ∴ 又因为，所以 ∴， 证法2：设P 到左、右准线的距离分别为，由椭圆的第二定义知1 1 PF e d ，又，所 以， 而 。
∴，。 2.公式的应用 例1 椭圆上三个不同的点A （）、B （）、C （）到焦点F （4， 0）的距离成等差数列，则 12 x x + . 解：在已知椭圆中，右准线方程为 25 4x = ，设A 、B 、C 到右准线的距离为 ， 则、、。 ∵ ， ， ，而|AF|、|BF|、|CF|成等差数列。 ∴，即，。 例2.12,F F 是椭圆22 14x y +=的两个焦点，P 是椭圆上的动点，求 的最大值和最 小值。 解：设 ，则10202,2.PF x PF x =+ =-2 12034.4 PF PF x ?=- P 在椭圆上，022x ∴-≤≤，12PF PF ?的最大值为4，最小值为1. 变式练习1：. 求过椭圆的左焦点，倾斜角为的弦AB 的长度。 解：由已知 可得 ，所以直线AB 的方程 为 ，代入椭圆方程 得 设 ，则 ，从而 变式练习2. 设Q 是椭圆22 221(0)x y a b a b +=>>上任意一点，求证：以2QF （或1QF ）为
椭圆常见题型总结 1、椭圆中的焦点三角形：通常结合定义、正弦定理、余弦定理、勾股定理来解决； 椭圆 22 2 21(0)x y a b a b +=>>上一点00(,)P x y 和焦点1(,0)c F -，2(,0)c F 为顶点的12PF F ?中，12F PF α=∠，则当P 为短轴端点时α最大，且 ① 122PF PF a +=； ②22 2 12122cos 4c PF PF PF PF α=+-； ③12 121 sin 2PF F S PF PF α?= =2tan 2 b α?（b 短轴长） 2、直线与椭圆的位置关系：直线y kx b =+与椭圆22 221(0)x y a b a b +=>>交于 1122(,),(,)A x y B x y 两点，则12AB x =-=3、椭圆的中点弦：设1122(,),(,)A x y B x y 是椭圆22 221(0)x y a b a b +=>>上不同两点， 00(,)M x y 是线段AB 的中点，可运用点差法可得直线AB 斜率，且20 20 AB b x k a y =-； 4、椭圆的离心率 范围：01e <<，e 越大，椭圆就越扁。 求椭圆离心率时注意运用：c a e = ，222c b a += 5、椭圆的焦半径 若00(,)P x y 是离心率为e 的椭圆22 221(0)x y a b a b +=>>上任一点，焦点 为1(,0)c F -，2(,0)c F ，则焦半径10PF a ex =+，10PF a ex =-； 6、椭圆标准方程的求法 ⑴定义法：根据椭圆定义，确定2 a ，2 b 值，结合焦点位置直接写出椭圆方程； ⑵待定系数法：根据焦点位置设出相应标准方程，根据题中条件解出2 a ，2 b ，从而求出标准方程； ⑶在不知道焦点的情况下可设椭圆方程为221Ax By +=；
椭圆题型总结 一、 椭圆的定义和方程问题 (一) 定义: 1. 命题甲:动点P 到两点B A ,的距离之和);,0(2常数>=+a a PB PA 命题乙: P 的轨迹是以A 、B 为焦 点的椭圆，则命题甲是命题乙的 ( B ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分又不必要条件 2. 已知1F 、2F 是两个定点，且421=F F ,若动点P 满足421=+PF PF 则动点P 的轨迹是（ D ） A.椭圆 B.圆 C.直线 D.线段 3. 已知1F 、2F 是椭圆的两个焦点, P 是椭圆上的一个动点,如果延长P F 1到Q ,使得2PF PQ =,那么动 点Q 的轨迹是( B ) A.椭圆 B.圆 C.直线 D.点 4. 椭圆 19 252 2=+y x 上一点M 到焦点1F 的距离为2，N 为1MF 的中点，O 是椭圆的中心，则ON 的值是 4 。 5. 选做：F 1是椭圆15 92 2=+y x 的左焦点，P 在椭圆上运动，定点A （1，1），求||||1PF PA +的最小值。 解：26||2||2||||||221-=-≥-+=+AF a PF a PA PF PA (二) 标准方程求参数范围 1. 试讨论k 的取值范围，使方程1352 2=-+-k y k x 表示圆，椭圆，双曲线。 （略） 2. 轴上的椭圆”的表示焦点在”是“方程“y ny mx n m 102 2=+>>( C ) A.充分而不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分又不必要条件 3. 若方程1cos sin 2 2 =+ααy x 表示焦点在y 轴上的椭圆，α所在的象限是（ A ） A.第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 4. 方程2 31y x -=所表示的曲线是 椭圆的右半部分 . 5. 已知方程22 2 =+ky x 表示焦点在X 轴上的椭圆,则实数k 的范围是 k>1 (三) 待定系数法求椭圆的标准方程 1. 根据下列条件求椭圆的标准方程： （1）两个焦点的坐标分别为（0，5）和（0，－5），椭圆上一点P 到两焦点的距离之和为26； （2）长轴是短轴的2倍，且过点（2，－6）； （3）已知椭圆的中心在原点，以坐标轴为对称轴，且经过两点)2,3(),1,6(21--P P ,求椭圆方程. 2. 简单几何性质 1． 求下列椭圆的标准方程（1） 32,8= =e c ； （2）过（3，0）点，离心率为 36 = e 。 （3）椭圆的对称轴为坐标轴上，短轴的一个端点与两个焦点组成一个正三角形，焦点到椭圆的最近距离是3。 （4）椭圆短轴的一个端点到一个焦点的距离为5，焦点到椭圆中心的距离为3，则椭圆的标准方程为 （5）已知P 点在以坐标轴为对称轴的椭圆上，点P 到两焦点的距离分别为 354和3 52，过P 作长轴的
椭圆常见题型与典型方法归 纳 -标准化文件发布号：（9556-EUATWK-MWUB-WUNN-INNUL-DDQTY-KII
椭圆常见题型与典型方法归纳 考点一 椭圆的定义 椭圆的第一定义：我们把平面内与两个定点12,F F 的距离的和等于常数 1.22(2)a a F F >的点的轨迹叫做椭圆.这两 定点12,F F 叫做椭圆的焦点，两定点间的距离叫做椭圆的焦距. 椭圆的第二定义：我们把平面内与一个定点的距离和它到一条定直线的距离的比是常数e= a c (0
椭圆题型归纳 一、知识总结 1.椭圆的定义：把平面内与两个定点21,F F 的距离之和等于常数（大于21F F ）的点的轨迹叫做椭圆.这两个定点叫做焦点，两焦点的距离叫做焦距(设为2c ) . 2.椭圆的标准方程： 12222=+b y a x （a ＞b ＞0） 122 22=+b x a y （a ＞b ＞0） 焦点在坐标轴上的椭圆标准方程有两种情形， 可设方程为221(0,0)mx ny m n +=>>不必考虑焦点位置，求出方程。 3.范围. 椭圆位于直线x ＝±a 和y ＝±b 围成的矩形里．|x|≤a ，|y|≤b ． 4.椭圆的对称性 椭圆是关于y 轴、x 轴、原点都是对称的．坐标轴是椭圆的对称轴． 原点是椭圆的对称中心．椭圆的对称中心叫做椭圆的中心． 5.顶点 椭圆有四个顶点：A 1(－a , 0)、A 2(a , 0)、B 1(0, －b )、B 2(0, b )． 线段A 1A 2、B 1B 2分别叫做椭圆的长轴和短轴.。 长轴的长等于2a . 短轴的长等于2b .
|B 1F 1|＝|B 1F 2|＝|B 2F 1|＝|B 2F 2|＝a ． 在Rt △OB 2F 2中，|OF 2|2＝|B 2F 2|2－|OB 2|2，即c 2＝a 2－b 2． 6.离心率 7.椭圆22 221x y a b += (a ＞b ＞0)的左右焦点分别为F 1，F 2，点P 为椭圆上任意一点 12F PF γ∠=，则椭圆的焦点角形的面积为122tan 2 F PF S b γ ?=. 8.椭圆22 221x y a b +=（a ＞b ＞0）的焦半径公式10||MF a ex =+,20 ||MF a ex =-(1(,0)F c - ,2(,0)F c 00(,)M x y ). 9.AB 是椭圆22 221x y a b +=的不平行于对称轴的弦，M ),(00y x 为AB 的中点，则 2 2 OM AB b k k a ?=-，即0 2 02y a x b K AB -=。 )10(<<= e a c e
椭圆题型归纳大全
椭圆典型题型归纳 题型一. 定义及其应用 例1.已知一个动圆与圆2 2:(4)100 C x y ++=相内切，且 过点(4,0)A ，求这个动圆圆心M 的轨迹方程； 例2. 方程 2 x =++所表示的曲线是 练习： 1.方程 6 =对应的图形是 （ ） A.直线 B. 线段 C. 椭圆 D. 圆 2. 10=对应的图形是（ ） A.直线 B. 线段 C. 椭圆 D. 圆 3.方程 10 =成立的充要条件是 （ ） A. 2 2 12516x y += B.2 2 1 259 x y += C. 22 11625 x y += D. 22 1925 x y +=
4. 1 m =+表示椭圆，则 m 的取值范围是 5.过椭圆2 2941 x y +=的一个焦点1 F 的直线与椭圆相 交于,A B 两点，则,A B 两点与椭圆的另一个焦点2 F 构成的2 ABF ?的周长等于 ； 6.设圆2 2(1) 25 x y ++=的圆心为C ，(1,0)A 是圆内一定点， Q 为圆周上任意一点，线段AQ 的垂直平分线与CQ 的连线交于点 M ，则点M 的轨迹方程 为 ； 题型二. 椭圆的方程 （一）由方程研究曲线 例 1.方程 22 11625 x y +=的曲线是到定点 和 的距离之和等于 的点的轨迹； （二）分情况求椭圆的方程 例 2.已知椭圆以坐标轴为对称轴，且长轴是短轴的3倍，并且过点(3,0)P ，求椭圆的方程； （三）用待定系数法求方程 例 3.已知椭圆的中心在原点，以坐标轴为对称轴，且经过两点 1 P 、2 (P ，求椭圆的方程；
椭圆与双曲线常见题型总结(附答案)
椭圆与双曲线常见题型归纳 题型一：弦的垂直平分线问题 弦的垂直平分线问题和对称问题是一种解题思维，首先弄清楚哪个是弦，哪个是对称轴，用到的知识是：垂直（两直线的斜率之积为-1）和平分（中点坐标公式）。 例题1、过点T(-1,0)作直线l 与曲线N ：2 y x =交于A 、B 两点， 在x 轴上是否存在一点E(0 x ,0)，使得ABE ?是等边三角形，若存在，求出0 x ；若不存在，请说明理由。 分析：过点T(-1,0)的直线和曲线N ：2 y x =相交A 、B 两点， 则直线的斜率存在且不等于0，可以设直线的方程，联立方程组，消元，分析类一元二次方程，看判别式，运用韦达定理，得弦的中点坐标，再由垂直和中点，写出垂直平分线的方程，得出E 3 倍。运用弦长公式求弦长。 解：依题意知，直线的斜率存在，且不等于0。设直线:(1)l y k x =+， k ≠，1 1 (,)A x y ，2 2 (,)B x y 。 由2 (1) y k x y x =+?? =? 消y 整理，得2 2 22(21)0 k x k x k +-+= ① 由直线和抛物线交于两点，得2 242(21)4410 k k k ?=--=-+>即2 104 k << ② 由韦达定理，得： 2122 21 ,k x x k -+=-121 x x =。则线段AB 的中点为
22 211(,)22k k k --。 线段的垂直平分线方程为：2 2 1112()22k y x k k k --=-- 令y=0,得0 211 22x k = -，则2 1 1 (,0)22E k -ABE ?Q 为正三角形，∴2 1 1(,0)22 E k -到 直线AB 的距离d 为 32 AB 。 2 2 1212()()AB x x y y =-+-Q 22141k k -= +g 212k d k +=222 23141122k k k k k -+∴+=g 解得39 13 k =± 满足②式此时0 53 x = 。 思维规律：直线过定点设直线的斜率k ，利用韦达定理法，将弦的中点用k 表示出来，再利用垂直关系将弦的垂直平分线方程写出来，求出了横截距的坐标；再利用正三角形的性质：高是边长的 3倍，将k 确定，进而求出0 x 的坐标。 例题2、已知椭圆 12 22 =+y x 的左焦点为F ，O 为坐标原点。 （Ⅰ）求过点O 、F ，并且与2x =-相切的圆的方程； （Ⅱ）设过点F 且不与坐标轴垂直的直线交椭圆于A 、B 两点，线段AB 的垂直平分线与x 轴交于点G ，求点G 横坐标的取值范围。
高中数学椭圆的经典知识总结 椭圆知识点总结 1. 椭圆的定义：1,2 （1）椭圆：焦点在x 轴上时12222=+b y a x （222a b c =+）?{ cos sin x a y b ??==（参数方程，其中?为参数），焦点在y 轴上时22 22b x a y +＝1（0a b >>）。方程22Ax By C +=表示椭圆的充要条件是什么？ （ABC ≠0，且A ，B ，C 同号，A ≠B ）。 2. 椭圆的几何性质： （1）椭圆（以122 22=+b y a x （0a b >>）为例）：①范围：,a x a b y b -≤≤-≤≤；②焦点：两个 焦点(,0)c ±；③对称性：两条对称轴0,0x y ==，一个对称中心（0,0），四个顶点(,0),(0,)a b ±±，其中长轴长为2a ，短轴长为2b ；④准线：两条准线2a x c =±； ⑤离心率：c e a =，椭圆?01e <<， e 越小，椭圆越圆；e 越大，椭圆越扁。⑥通径2 2b a 2.点与椭圆的位置关系：（1）点00(,)P x y 在椭圆外?2200 221x y a b +>； （2）点00(,)P x y 在椭圆上?220 220b y a x +＝1； （3）点00(,)P x y 在椭圆内?2200 221x y a b +< 3．直线与圆锥曲线的位置关系： （1）相交：0?>?直线与椭圆相交；（2）相切：0?=?直线与椭圆相切； （3）相离： 0?
椭圆各类题型分类汇总 WEIHUA system office room 【WEIHUA 16H-WEIHUA WEIHUA8Q8-
椭圆经典例题分类汇总 1. 椭圆第一定义的应用 例1 椭圆的一个顶点为()02， A ，其长轴长是短轴长的2倍，求椭圆的标准方程． 例2 已知椭圆 19822=++y k x 的离心率2 1 =e ，求k 的值． 例3 已知方程 1352 2-=-+-k y k x 表示椭圆，求k 的取值范围． 例4 已知1cos sin 22=-ααy x )0(πα≤≤表示焦点在y 轴上的椭圆，求α的取值范围． 例5 已知动圆P 过定点()03， -A ，且在定圆()64322 =+-y x B ：的内部与其相内切，求动圆圆心P 的轨迹方程． 2.焦半径及焦三角的应用 例1 已知椭圆13 42 2=+ y x ，1F 、2F 为两焦点，问能否在椭圆上找一点M ，使M 到左准线l 的距离MN 是1MF 与2MF 的等比中项？若存在，则求出点M 的坐标；若不存在，请说明理由． 例2 已知椭圆方程()0122 22>>=+b a b y a x ，长轴 端点为 1A ，2A ，焦点为1F ，2F ，P 是椭圆上一点， θ=∠21PA A ，α=∠21PF F ．求：21PF F ?的面积（用a 、b 、α表示）． 3.第二定义应用 例1 椭圆112 162 2=+ y x 的右焦点为F ，过点() 31，A ，点M 在椭圆上，当MF AM 2+为最小值时，求点M 的坐标．
例2 已知椭圆1422 22=+b y b x 上一点P 到右焦点2F 的距离为b )1(>b ，求P 到左准线的距 离． 例3 已知椭圆15 92 2=+ y x 内有一点)1,1(A ，1F 、2F 分别是椭圆的左、右焦点，点P 是椭圆上一点． (1) 求1PF PA +的最大值、最小值及对应的点P 坐标； (2) 求22 3 PF PA + 的最小值及对应的点P 的坐标． 4.参数方程应用 例1 求椭圆13 22 =+y x 上的点到直线06=+-y x 的距离的最小值． 例2 (1)写出椭圆1492 2=+ y x 的参数方程；(2)求椭圆内接矩形的最大面积． 例3 椭圆122 22=+b y a x )0(>>b a 与x 轴正向交于点A ，若这个椭圆上总存在点P ，使 AP OP ⊥(O 为坐标原点)，求其离心率e 的取值范围． 5.相交情况下--弦长公式的应用 例1 已知椭圆1422=+y x 及直线m x y +=． （1）当m 为何值时，直线与椭圆有公共点？ （2）若直线被椭圆截得的弦长为 5 10 2，求直线的方程． 例2 已知长轴为12，短轴长为6，焦点在x 轴上的椭圆，过它对的左焦点1F 作倾斜解为 3 π 的直线交椭圆于A ，B 两点，求弦AB 的长． 6.相交情况下—点差法的应用
知识点回顾： 题型一、定义及其应用： 知识点： 例1、已知一个动圆与圆22:(4)100C x y ++=相内切，且过点(4,0)A ，求这个动圆圆心M 的轨迹方程； 例2、方程2x =++所表示的曲线是 练习： 16=对应的图形是（ ） A 、直线 B 、线段 C 、椭圆 D 、圆 210=对应的图形是（ ） A 、直线 B 、线段 C 、椭圆 D 、圆 310=成立的充要条件是（ ） A 、 2212516x y += B 、221259x y += C 、2211625x y += D 、22 1925 x y += 41m =+表示椭圆，则m 的取值范围是
5、过椭圆22941x y +=的一个焦点1F 的直线与椭圆相交于,A B 两点，则,A B 两点与椭圆的另一个焦点2F 构成的2ABF ?的周长等于 ； 6、设圆22(1)25x y ++=的圆心为C ，(1,0)A 是圆内一定点，Q 为圆周上任意一点，线段AQ 的垂直平分线与CQ 的连线交于点M ，则点M 的轨迹方程为 ； 题型二、椭圆的方程。 知识点： （一）由方程研究曲线 例1、方程 22 11625 x y +=的曲线是到定点 和 的距离之和等于 的点的轨迹； （二）分情况求椭圆的方程 例2、已知椭圆以坐标轴为对称轴，且长轴是短轴的3倍，并且过点(3,0)P ，求椭圆的方程； （三）用待定系数法求方程 例3、已知椭圆的中心在原点，以坐标轴为对称轴，且经过两点1P 、2(P ，求椭圆的方程； 例4、求经过点(2,3)-且与椭圆2 2 9436x y +=有共同焦点的椭圆方程； 22x y 22 x y
椭圆常见题型与典型方法归纳 考点一 椭圆的定义 椭圆的第一定义：我们把平面内与两个定点12,F F 的距离的和等于常数 1.22(2)a a F F >的点的轨迹叫做椭圆.这两 定点12,F F 叫做椭圆的焦点，两定点间的距离叫做椭圆的焦距. 椭圆的第二定义：我们把平面内与一个定点的距离和它到一条定直线的距离的比是常数e= a c (0
椭圆高考典型题型归纳 题型一. 定义及其应用 例1.已知一个动圆与圆22:(4)100C x y ++=相内切，且过点(4,0)A ，求这个动圆圆心M 的轨迹方程； 例2. 方程2x =++所表示的曲线是 练习： 1.6=对应的图形是（ ） A.直线 B. 线段 C. 椭圆 D. 圆 2.10=对应的图形是（ ） A.直线 B. 线段 C. 椭圆 D. 圆 3.10成立的充要条件是（ ） A. 2212516x y += B.221259x y += C. 2211625x y += D. 22 1925 x y += 4.1m =+表示椭圆，则m 的取值范围是 5.过椭圆22941x y +=的一个焦点1F 的直线与椭圆相交于,A B 两点，则,A B 两点与椭圆的另一个焦点2F 构成的2ABF ?的周长等于 ； 6.设圆2 2 (1)25x y ++=的圆心为C ，(1,0)A 是圆内一定点，Q 为圆周上任意一点，线段AQ 的垂直平分线与 CQ 的连线交于点M ，则点M 的轨迹方程为 ； 题型二. 椭圆的方程 （一）由方程研究曲线 例1.方程 22 11625 x y +=的曲线是到定点 和 的距离之和等于 的点的轨迹； （二）分情况求椭圆的方程 例2.已知椭圆以坐标轴为对称轴，且长轴是短轴的3倍，并且过点(3,0)P ，求椭圆的方程； （三）用待定系数法求方程 例3.已知椭圆的中心在原点，以坐标轴为对称轴，且经过两点1P 、2(P ，求椭圆的方程； 例4.求经过点(2,3)-且与椭圆2 2 9436x y +=有共同焦点的椭圆方程；
注：一般地，与椭圆22221x y a b +=共焦点的椭圆可设其方程为22 22 21()x y k b a k b k +=>-++； （四）定义法求轨迹方程； 例5.在ABC ?中，,,A B C 所对的三边分别为,,a b c ，且(1,0),(1,0)B C -，求满足b a c >>且,,b a c 成等差数列时顶点A 的轨迹； （五）相关点法求轨迹方程； 例6.已知x 轴上一定点(1,0)A ，Q 为椭圆2 214 x y +=上任一点，求AQ 的中点M 的轨迹方程； （六）直接法求轨迹方程； 例7.设动直线l 垂直于x 轴，且与椭圆2224x y +=交于,A B 两点，点P 是直线l 上满足1PA PB = 的点，求点P 的轨迹方程； （七）列方程组求方程 例8.中心在原点，一焦点为F 的椭圆被直线32y x =-截得的弦的中点的横坐标为1 2 ，求此椭圆的方程； 题型三.焦点三角形问题 例1. 已知椭圆 22 11625 x y +=上一点P 的纵坐标为53，椭圆的上下两个焦点分别为2F 、1F ，求1PF 、2PF 及12cos F PF ∠； 例2. 题型四.椭圆的几何性质 例 1.已知P 是椭圆22 221x y a b +=上的点，的纵坐标为53，1F 、2F 分别为椭圆的两个焦点，椭圆的半焦距为c ， 则12PF PF 的最大值与最小值之差为 例 2.椭圆22 221x y a b +=(0)a b >>的四个顶点为,,,A B C D ，若四边形ABCD 的内切圆恰好过焦点，则椭圆的 离心率为 ；
椭圆与双曲线常见题型归纳 题型一：弦的垂直平分线问题 弦的垂直平分线问题和对称问题是一种解题思维，首先弄清楚哪个是弦，哪个是对称轴，用到的知识是：垂直（两直线的斜率之积为-1）和平分（中点坐标公式）。 例题1、过点T(-1,0)作直线l 与曲线N ：2y x =交于A 、B 两点，在x 轴上是否存在一点E(0x ,0)，使得ABE ?是等边三角形，若存在，求出0x ；若不存在，请说明理由。 分析：过点T(-1,0)的直线和曲线N ：2y x =相交A 、B 两点，则直线的斜率存在且不等于0，可以设直线的方程，联立方程组，消元，分析类一元二次方程，看判别式，运用韦达定理，得弦的中点坐标，再由垂直和中点，写出垂 直平分线的方程，得出E 点坐标，最后由正三角形的性质：中线长是边长的2 倍。运用弦长公式求弦长。 解：依题意知，直线的斜率存在，且不等于0。设直线:(1)l y k x =+，0k ≠，11(,)A x y ，22(,)B x y 。 由2(1)y k x y x =+??=?消y 整理，得2222(21)0k x k x k +-+= ① 由直线和抛物线交于两点，得2242(21)4410k k k ?=--=-+>即2104 k << ② 由韦达定理，得：212221,k x x k -+=-121x x =。则线段AB 的中点为22211(,)22k k k --。 线段的垂直平分线方程为：2 2 1112()22k y x k k k --=-- 令y=0,得021122x k =-，则211(,0)22E k -ABE ?Q 为正三角形，∴211(,0)22 E k -到直线AB 的距离d 。 AB =Q 2k =g d == 解得k =满足②式此时053 x =。 思维规律：直线过定点设直线的斜率k ，利用韦达定理法，将弦的中点用k 表示出来，再利用垂直关系将弦的垂直 k 确定，进而求出0x 的坐标。 例题2、已知椭圆12 22 =+y x 的左焦点为F ，O 为坐标原点。 （Ⅰ）求过点O 、F ，并且与2x =-相切的圆的方程； （Ⅱ）设过点F 且不与坐标轴垂直的直线交椭圆于A 、B 两点，线段AB 的垂直平分线与x 轴交于点G ，求点G 横坐
椭圆题型归纳 一、知识总结 1.椭圆的定义：把平面内与两个定点21,F F 的距离之和等于常数（大于21F F ）的点的轨迹叫做椭圆.这两个定点叫做焦点，两焦点的距离叫做焦距(设为2c ) . 2.椭圆的标准方程： 12222=+b y a x （a ＞b ＞0） 122 22=+b x a y （a ＞b ＞0） 焦点在坐标轴上的椭圆标准方程有两种情形， 可设方程为221(0,0)mx ny m n +=>>不必考虑焦点位置，求出方程。 3.范围. 椭圆位于直线x ＝±a 和y ＝±b 围成的矩形里．|x|≤a ，|y|≤b ． 4.椭圆的对称性 椭圆是关于y 轴、x 轴、原点都是对称的．坐标轴是椭圆的对称轴． 原点是椭圆的对称中心．椭圆的对称中心叫做椭圆的中心． 5.顶点 椭圆有四个顶点：A 1(－a , 0)、A 2(a , 0)、B 1(0, －b )、B 2(0, b )． 线段A 1A 2、B 1B 2分别叫做椭圆的长轴和短轴.。 长轴的长等于2a . 短轴的长等于2b .
|B 1F 1|＝|B 1F 2|＝|B 2F 1|＝|B 2F 2|＝a ． 在Rt △OB 2F 2中，|OF 2|2＝|B 2F 2|2－|OB 2|2，即c 2＝a 2－b 2． 6.离心率)10(<<= e a c e 7.椭圆22 221x y a b += (a ＞b ＞0)的左右焦点分别为F 1，F 2，点P 为椭圆上任意一点 12F PF γ∠=，则椭圆的焦点角形的面积为122tan 2 F PF S b γ ?=. 8.椭圆22 221x y a b +=（a ＞b ＞0）的焦半径公式 10||MF a ex =+,20||MF a ex =-(1(,0)F c - ,2(,0)F c 00(,)M x y ). 9.AB 是椭圆22 221x y a b +=的不平行于对称轴的弦，M ),(00y x 为AB 的中点，则 2 2 OM AB b k k a ?=-，即0 2 02y a x b K AB -=。
圆锥曲线大题题型归纳 基本方法： 1． 待定系数法：求所设直线方程中的系数，求标准方程中的待定系数a 、b 、c 、e 、p 等等； 2． 齐次方程法：解决求离心率、渐近线、夹角等与比值有关的问题； 3． 韦达定理法：直线与曲线方程联立，交点坐标设而不求，用韦达定理写出转化完成。要注意：如果方程的根很容易求出，就不必用韦达定理，而直接计算出两个根； 4． 点差法：弦中点问题，端点坐标设而不求。也叫五条等式法：点满足方程两个、中点坐标公式两个、斜率公式一个共五个等式； 5． 距离转化法：将斜线上的长度问题、比例问题、向量问题转化水平或竖直方向上的距离问题、比例问题、坐标问题； 基本思想： 1．“常规求值”问题需要找等式，“求范围”问题需要找不等式； 2．“是否存在”问题当作存在去求，若不存在则计算时自然会无解； 3．证明“过定点”或“定值”，总要设一个或几个参变量，将对象表示出来，再说明与此变量无关； 4．证明不等式，或者求最值时，若不能用几何观察法，则必须用函数思想将对象表示为变量的函数，再解决； 5．有些题思路易成，但难以实施。这就要优化方法，才能使计算具有可行性，关键是积累“转化”的经验； 6．大多数问题只要真实、准确地将题目每个条件和要求表达出来，即可自然而然产生思路。 题型一：求直线、圆锥曲线方程、离心率、弦长、渐近线等常规问题 例1、 已知F 1，F 2为椭圆2100x +2 64 y =1的两个焦点，P 在椭圆上，且∠F 1PF 2=60°，则△F 1PF 2的面积为多少 点评：常规求值问题的方法：待定系数法，先设后求，关键在于找等式。 变式1、已知12,F F 分别是双曲线223575x y -=的左右焦点，P 是双曲线右支上的一点，且 12F PF ∠=120?，求12F PF ?的面积。
椭圆 知识清单 1.椭圆的两种定义: ①平面内与两定点Ｆ1，F 2的距离的和等于定长() 2122F F a a >的动点P 的轨迹，即点集M={P| |ＰF 1|+|P Ｆ2|＝2a ，2ａ＞｜F 1F 2|｝;(212F F a =时为线段21F F ,212F F a <无轨迹）。其中两定点F 1，F 2叫焦点，定点间的距离叫焦距。 ②平面内一动点到一个定点和一定直线的距离的比是小于1的正常数的点的轨迹，即点集Ｍ={P| e d PF =，０<ｅ＜1的常数}。 （1=e 为抛物线;1>e 为双曲线) (利用第二定义,可以实现椭圆上的动点到焦点的距离与到相应准线的距离相互转化，定点为焦点,定直线为准线). 2 标准方程：(1）焦点在x 轴上,中心在原点:122 22=+b y a x （a>ｂ＞0)； 焦点Ｆ1（－c,0), Ｆ２（c ，0)。其中22b a c -= （一个Rt 三角形) (２）焦点在y 轴上,中心在原点:122 22=+b x a y (a ＞b ＞０）; 焦点F 1（0，－c ）,F 2(０,c)。其中22b a c -= 注意：①在两种标准方程中,总有a ＞b ＞０,22b a c -= 并且椭圆的焦点总在长轴上； ②两种标准方程可用一般形式表示：Ax 2+By 2＝１ (A ＞0，Ｂ＞０,A ≠B)，当A ＜B 时,椭圆的焦点在x 轴上,A>B 时焦点在y 轴上。 3 参数方程:焦点在x 轴,?? ?==θ θ sin cos b y a x (θ为参数) ４ 一般方程：)0,0(12 2 >>=+B A By Ax 5．性质：对于焦点在ｘ轴上，中心在原点:12 2 22=+b y a x （ａ＞b>0）有以下性质： 坐标系下的性质： ① 范围:|x|≤a ，|y|≤b ； ② 对称性:对称轴方程为x ＝0,ｙ=０，对称中心为O （0,0); ③ 顶点:A 1（-a ，0）,A 2（ａ,0），Ｂ１(0,-b ），B 2(0,b ）,长轴|Ａ1A 2｜＝2a,短轴｜B １B 2|= ２b; （a 半长轴长，b 半短轴长); ④椭圆的准线方程：对于12222=+b y a x ，左准线c a x l 2 1:-=；右准线c a x l 22:=
椭圆典型题型归纳 题型一． 定义及其应用 例1.已知一个动圆与圆2 2 :(4)100C x y ++=相内切,且过点(4,0)A ,求这个动圆圆心M 的轨迹方程； 例２. 方程2x =+所表示的曲线是 练习: 1.6=对应的图形是( ） A.直线 B. 线段 C. 椭圆 D. 圆 210=对应的图形是( ） A.直线 B. 线段 C. 椭圆 D. 圆 10=成立的充要条件是( ) A. 2212516x y += Ｂ.221259x y += C. 22 11625x y += D. 22 1925 x y += 4.1m =+表示椭圆，则m 的取值范围是 5．过椭圆2 2 941x y +=的一个焦点1F 的直线与椭圆相交于,A B 两点，则,A B 两点与椭圆的另一个焦点2F 构成的2ABF ?的周长等于 ； 6.设圆2 2 (1)25x y ++=的圆心为C ，(1,0)A 是圆内一定点，Q 为圆周上任意一点，线段 AQ 的垂直平分线与CQ 的连线交于点M ,则点M 的轨迹方程为 ； 题型二. 椭圆的方程 （一）由方程研究曲线 例 1.方程 22 11625 x y +=的曲线是到定点 和 的距离之和等于 的点的轨迹; （二)分情况求椭圆的方程
例2．已知椭圆以坐标轴为对称轴,且长轴是短轴的3倍,并且过点(3,0)P ,求椭圆的方程; (三）用待定系数法求方程 例3.已知椭圆的中心在原点，以坐标轴为对称轴,且经过两点1P 、2(P ，求椭圆的方程; 例４.求经过点(2,3)-且与椭圆2 2 9436x y +=有共同焦点的椭圆方程； 注:一般地,与椭圆22221x y a b +=共焦点的椭圆可设其方程为22 22 21()x y k b a k b k +=>-++； （四）定义法求轨迹方程; 例５.在ABC ?中,,,A B C 所对的三边分别为,,a b c ,且(1,0),(1,0)B C -,求满足b a c >>且 ,,b a c 成等差数列时顶点A 的轨迹; (五）相关点法求轨迹方程； 例6.已知x 轴上一定点(1,0)A ,Q 为椭圆2 214 x y +=上任一点，求AQ 的中点M 的轨迹方程; （六）直接法求轨迹方程; 例7.设动直线l 垂直于x 轴,且与椭圆2 2 24x y +=交于,A B 两点,点P 是直线l 上满足 1PA PB =的点,求点P 的轨迹方程； (七）列方程组求方程 例8.中心在原点，一焦点为F 的椭圆被直线32y x =-截得的弦的中点的横坐标为 1 2 ，求此椭圆的方程; 题型三．焦点三角形问题 例1.已知椭圆 2211625x y +=上一点P 的纵坐标为53 ，椭圆的上下两个焦点分别为2F 、1F ，
椭圆典型题型归纳 题型一 ?定义及其应用 例1.已知一个动圆与圆 C:(x 4)2 寸100相内切，且过点A(4,0)，求这个动圆圆心 M 的轨迹方程； _____________________________________ 例2.方程3^(x 1) 2 (y 1)2 x J2y 2所表示的曲线是 _____________ 3.方程.x 2 (y 3)2 x 2 (y 3)2 10成立的充要条件是( ) 2 2 2 2 2 2 A x y x y x y , A. 1 B. 1 C. 1 D. 25 16 25 9 16 25 4.如果方程 x 2 (y m) 2 x 2 (y m)2 m 1表示椭圆，则 m 的取值范围是 ____________ 2 2 5. 过椭圆9x 4y 1的一个焦点F 1的直线与椭圆相交于 A, B 两点，则A, B 两点与椭圆的 另一个焦点F 2构成的 ABF 2的周长等于 ______________ ； 6. 设圆(x 1) 2 y 2 25的圆心为C ，A(1,0)是圆内一定点，Q 为圆周上任意一点，线段 AQ 的垂直平分线与CQ 的连线交于点 M ，则点M 的轨迹方程为 ______________ ； 题型二.椭圆 的方程 (一) 由方程研究曲线 点的轨迹； (二) 分情况求椭圆的方程 例2.已知椭圆以坐标轴为对称轴， 且长轴是短轴的3倍，并且过点P(3,0)，求椭圆的方程; 1 .方程(x 3)2 y 2 . (x 3)2 y 2 6对应的图形是( ) A.直线 B. 线段 C. 椭圆 D. 圆 2.方程,(x 3)2 y 2 (x 3)2 y 2 10对应的图形是( ) A.直线 B. 线段 C. 椭圆 D. 圆 2 y 25 x 2 例1.方程— 16 2 y 25 1的曲线是到定点 _________ 和 _________ 的距离之和等于 练