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襄阳市2018届高三七月第二周周考数学(理科)试题 (含答案)

湖北省襄阳市襄阳四中

2018届高三七月第二周周考数学（理科）试题（7.20）

时间：120分钟分值150分

第I 卷（选择题共60分）

一、选择题（本大题12小题，每小题5分，共60分） 1．已知集合1|,,11M y y x x R x x ?

==+

∈≠??-??

，

集合{}2|230N x x x =--≤，则（） A ．M N =? B ．R M C N ? C ．R M C M ? D ．M N R ?=

2．复数z 为纯虚数，若()3i z a i ∴-=+（为虚数单位），则实数a 的值为（） A ．﹣3 B ．3 C ．﹣ D ．

3．下列函数中，既是偶函数，又在（0，∞+）上是单调减函数的是（） A ．

y =- B ．12

y x

C ．ln 1y x =+

D ．cos y x =

4．已知甲、乙两组数据如茎叶图所示，若它们的中位数相同，平均数也相同，则图中的m,n 的比值

＝（）

A ．1

B ．

13C ．29D ．38

5．给出下列命题，其中真命题的个数是( ) ①存在0x R ∈，使得007sin cos 2sin

x x π

+=成立; ②对于任意的三个平面向量a 、b 、c ，总有()()a b c a b c ??=??

成立;

③相关系数r (||1r ≤)，||r 值越大，变量之间的线性相关程度越高. A ．0B ．1 C ．2D ．3 6．由曲线x y =

，直线2-=x y 及y 轴所围成的封闭图形的面积为（）

A ．

316 B ．3

C ．4

D ．6 7．某四面体的三视图如图所示，则该四面体的所有棱中最长的是（）

A ．

B ．

C ．

D ．5

8．某程序框图如图所示，该程序运行后输出的k 的值是（）

A ．4

B ．5

C ．6

D ．7 9．将函数f （x ）＝3sin （4x ＋

）图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍，再向右平移

个

单位长度，得到函数y ＝g （x ）的图象．则y ＝g （x ）图象的一条对称轴是（） A ．x ＝

B ．x ＝

C ．x ＝

D ．x ＝

π 10．过双曲线22

221(0,0)x y a b a b

-=>>的右顶点A 作斜率为1-的直线，该直线与双曲线的

两条渐近线的交点分别为,B C ，若,,A B C 三点的横坐标成等比数列，则双曲线的离心率为（）

A ．3

B ．．

11．已知变量x ，y 满足约束条件??

??-≥-≤+≥+144222y x y x y x ，则目标函数z ＝3x －y 的取值范围是

A ．??????623-，

B ．??????1-23

-，C ．[]6,1- D ．??

???

36-，

．已知函数0()ln(1),0

x f x x x ≥=?--

A ．(0,1)

B ．1(0,)2

C ．1(,1)2

D ．(1,)+∞

第II 卷（非选择题）

二、填空题（本大题共4个小题，每题5分，满分20分） 13．设=

a 0

(sin cos )x x dx π

，若8822108)1(x a x a x a a ax +???+++=-，则

8210a a a a +???+++=．

14．在直径AB ＝2的圆上有长度为1的动弦CD ，则AC BD ?

的最大值是．

15．已知直三棱柱111ABC A B C -的6个顶点都在球O 的球面上,若

34AB AC ==，,AB AC ⊥,

112AA =,则球O 的表面积为________．

．45,=ABC a b B A ?==∠=∠ 中，则_________.

三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．共70分.

17．（本题12分）已知各项均为正数的数列{}n a 的前n 项和为n S ，满足：

2*11,2,n n n S ka ta n n -+=-∈N ≥（其中,k t 为常数）．

（1）若12k =

，1

t =，数列{}n a 是等差数列，求1a 的值；（2）若数列{}n a 是等比数列，求证：k t <．

18．（本题12分）某单位员工500人参加“学雷锋”志愿活动，按年龄分组：第组[)25,30，第2组[)30,35,第3组[)35,40,第4组[)40,45,第5组[)45,50，得到的频率分布直方图

如图所示.

（1）下表是年龄的频率分布表，求正整数,a b 的值；

（2）现在要从年龄较小的第1,2,3组中用分层抽样的方法抽取6人，年龄在第1,2,3组抽取的员工的人数分别是多少？

（3）在（2）的前提下，从这6人中随机抽取2人参加社区宣传交流活动，求至少有人年龄在第3组的概率.

19．（本题12分）如图，在梯形ABCD 中,AB ∥CD ,a CB DC AD ===, 60=∠ABC ,平面⊥ACFE 平面ABCD ,四边形ACFE 是矩形,a AE =,点M 在线段EF 上．

（Ⅰ）求证:⊥BC 平面ACFE ；

（Ⅱ）当EM 为何值时,AM ∥平面BDF ?证明你的结论；（Ⅲ）求二面角D EF B --的平面角的余弦值． 20．（本题12分）已知椭圆

的离心率为

，且a 2

=2b ．

（1）求椭圆的方程；

（2）直线l ：x ﹣y+m=0与椭圆交于A ，B 两点，是否存在实数m ，使线段AB 的中点在圆x 2+y 2

=5上，若存在，求出m 的值；若不存在，说明理由．

21．（本题12分）函数),()(R a a ax e x f x

∈+-=其图像与x 轴交于)0,(),0,(21x B x A 两点，且21x x <.

（1）求a 的取值范围；

（2）证明：0)('21

（3）设点C 在函数)(x f 图像上，且△ABC 为等腰直角三角形，记,1

12t x x =--求)1(1--t a ）（的值.

请考生在第22、23、24三题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题记分．答题时用2B 铅笔在答题卡上把所选的题号涂黑．

22．（本题10分）选修4—1: 几何证明选讲

如图，P 是圆O 外一点，PA 是圆O 的切线，A 为切点，割线PBC 与圆O 交于B ，C ，PA PC 2=，

D 为PC 中点，AD 的延长线交圆O 于点

E ，证明：

D C

（Ⅰ）EC BE =；（Ⅱ）2

2PB DE AD =?．

23．（本小题满分10分）【选修4一4：坐标系与参数方程】

已知在直角坐标系x0y

中，曲线1C

：sin cos x y θθθθ

?=+??=-??（θ为参数），在以平面直角坐

标系的原点）为极点，x 轴的正半轴为极轴，取相同单位长度的极坐标系中，曲线2C ：

sin()16

ρθ+=．

（1）求曲线1C 的普通方程和曲线2C 的直角坐标方程；

（2）曲线1C 上恰好存在三个不同的点到曲线2C 的距离相等，分别求这三个点的极坐标． 24．（本题10分）选修4—5: 不等式选讲已知,,a b c R ∈，且2221a b c ++=．

（Ⅰ）求证：a b +

（Ⅱ）若不等式()2

11x x a b c -++≥++对一切实数,,a b c 恒成立，求x 的取值范围．

参考答案

1．D 【解析】

试

题

分

析

：

1111[3,)(,1]11

y x x M x x =+

=-++∴=+∞-∞--- ；{}2|230[1,3]

N x x x =--≤=-，

因

此

{1,3}

M N =- ，

(3,)(,1)R C N M =+∞-∞-? ，(1,3)R C M M =-?，M N R ?=，故选D.

考点：集合包含关系

【名师点睛】本题重点考查集合间关系，容易出错的地方是审错题意，由求函数值域，易忽视小于零的情况，导致错求集合M.属于基本题，难点系数较小.一要注意培养良好的答题习惯，避免出现粗心错误，二是明确集合题要关注区间端点开与闭，强化对集合关系正确的理解. 2．D 【解析】

试题分析：设复数,0z bi b =≠,()3i z a i ∴-=+，化为()3i bi a i -=+，即3b bi a i +=+，

b a ∴==

，故选D. 3．A 【解析】

试题分析：B ，C 是非奇非偶函数，D 不是恒单调递减，故选A ．考点：函数单调性与奇偶性． 4．D 【解析】

试题分析：由茎叶图可知乙的中位数是

332

32=+，甲、乙两组数据中位数相同所以3=m ，所以甲的平均数为333

3339=++，甲、乙两组数据平均数也相同，所以

33420383432=++++n 解得8=n ，所以m n ＝3

考点：由茎叶图求中位数及平均数．

5．B 【解析】

试题分析：

因为sin cos 4x x x π?

?+=

+≤ ??

72sin 2sin 244ππ>=，故①为假命题，对于②向量的数量积不满足结合律，故为假命题，③由相关性判断方法可知，为真命

题，综上可知，真命题的个数为，故选Ｂ．考点：命题真假判断． 6．A 【解析】

试题分析：由

y y x ?=??=-??解得4,2x y ==，故面积为

)

200

21622323|x

x dx x x ??-+=-+= ???

?．

考点：定积分．

7．B 【解析】

试题分析：本题只要画出原几何体，理清位置及数量关系，由勾股定理可得答案．解：由三视图可知原几何体为三棱锥，

其中底面△ABC 为俯视图中的直角三角形，∠BAC 为直角，其中AC=3，AB=4，BC=5，PB ⊥底面ABC ，且PB=4，由以上条件可知，∠PBC 为直角，最长的棱为PC ，在直角三角形PBC 中，由勾股定理得，，

故选：B

考点：由三视图求面积、体积． 8．A 【解析】

试题分析：根据流程图所示的顺序，程序的运行过程中各变量值变化如下表：是否继续循环 S K 循环前/0 0

第一圈是 1 1 第二圈是 3 2 第三圈是 11 3 第四圈是 2059 4 第五圈否

∴最终输出结果k=4，故答案为A ．考点：程序框图． 9．C 【解析】

试题分析：横坐标伸长到原来的两倍，得到3sin(2)6

y x π

，再向右移动

得到

3sin(2)6y x π=-，注意到sin(2)136ππ?-=，故对称轴为3

x π

=．

考点：三角函数图象变换．

10．C

【解析】由题意，(,0)A a ．双曲线的渐近线方程为b

y x a

=±

．由()y x a b y x a =--???=??，解得2

B a x a b =+；由()y x a b

y x a =--??

?=-??

，解得2C a x a b =-．由题意2

A C x x x =，即222()a a a a b a b

=?+-，整理得3b a =．

所以c =

，故e =．故选C ．

【命题意图】本题主要考查双曲线的性质以及直线方程、等比数列等基础知识，考查基本的

运算能力等． 11．A 【解析】

试题分析：线性约束条件对应的可行域为直线22,24,41x y x y x y +=+=-=-围成的区域，顶点为()()10,1,2,0,,32?? ???，目标函数z ＝3x －y 在点1,32?? ???

处取得最小值3

，在点()2,0处取得最大值6

z ∴-

≤≤ 考点：线性规划问题 12．C 【解析】

试题分析：()()0,()F x f x kx f x kx =-==，画出函数图象如下图所示．

令

2241y y x =

-=，这是双曲线的一支，其渐近线方程为1

y x =±．由图象可知，渐近线12y x =与()f x 图象只有一个交点．令''01

ln(1),,|11x y x y y x

==--==-，故函数

ln(1)y x =--在()0,0处的切线方程为y x =．从而()f x kx =的k 的取值范围是1

(,1)2．

考点：1．函数导数；2．零点问题．

【思路点晴】零点问题一种解法是变为两个函数图象的交点，如本题中的()()F x f x kx =-的零点问题，转化为()f x kx =左右两边函数图象有两个交点．我们只需要画出函数图象，

就可以解决这个问题．在函数的第一段中，2241y y x =-=，由此可知该图象为双曲线的一支，其渐近线方程为1

y x =±．另一段求取其过()0,0的切线方程，k 的范围就在这两条直接的斜率之间． 13．【解析】

试题分析：根据题意可知，00

(sin cos )(cos sin )|a x x dx x x π

π=

-=--?

2=，所以

8210a a a a +???+++88(1)(12)1a =-=-=．

考点：定积分，二项展开式． 14．

【解析】

试题分析：以AB 的中点为原点，AB 所在的直线为x 轴建立平面直角坐标系x y O ，如图所示：

连结C O 和D O ，则D C 3

∠O =

，设C α∠BO =（02απ≤<），则()1,0A -，()1,0B ，

()

C cos ,sin αα，

D cos ,sin 33ππαα?????

?++ ? ? ??????

?，所以()C cos 1,sin ααA =+ ，

D cos 1,sin 33ππαα?????

?B =+-+ ? ? ?

?????

? ，所以

()1C D cos 1cos 1sin sin cos cos 3332πππαααααα???????

?A ?B =++-++=+-- ? ? ???????????

111cos sin 2262πααα?

?=--=-+-

?，

因

为

02απ

≤<，所以

13666

α≤+

，所以当

362π

α+

=，

即

πα=

时，

(

)

()max 11C D 1122A ?B =-?--= ，所以答案应填：12．

考点：1、任意角的三角函数；2、平面向量的坐标运算；3、两角和与差的余弦公式；4、辅助角公式；5、三角函数的图象与性质． 15．169π 【解析】

试题分析：由下图可知，球心在O 的位置，球的半径为2

252514416962444R ??

=+=+=

???

，故表面积为24169R ππ=．

考点：球的内接几何体．

【思路点晴】设几何体底面外接圆半径为x ，常见的图形有正三角形，直角三角形，矩形，它们的外心可用其几何性质求；而其它不规则图形的外心，可利用正弦定理来求．若长方体长宽高分别为,,a b c 则其体对角线长为；长方体的外接球球心是其体对角线中点．直棱柱；

有一条棱垂直于一个面的棱锥，设高为h 其外接球半径R 公式秒杀公式2

222h R x ??

=+ ???

．

16．

或

π 【解析】

试题分析：据正弦定理可求出角B 的正弦值，进而得到其角度值．

45b a B ==∠=?

，根据正弦定理可得：

3b sinA A sinA sinB a π∴=∴∠=＝或

. 考点：正弦定理．

17．（1）11a =+；（2）证明见解析．【解析】

试题分析：（1）已知条件是2111124n n n S a a -+=-，这种问题一般都是再写一次即

1111124

n n n S a a +++=-，两式相减变形后可得12n n a a +-=，注意这里有2n ≥，但由于数列

{}n a 是等差数列，因此也有212a a -=，代入已知2

1221

1124

a a a +=-可求得1a ；

（2）与（1）相同方法得22

11(2)n n n n n a ka ka ta ta n +++-=-≥，由数列{}n a 是等比数列，可设1n n a qa +=，代

入化简得2(1)1(2)n t q a kq k n ∴-=-+≥，下面对此式分析，首先0q >，1q ≠，{}n a 不是常数列，这样此式对2n ≥恒成立，必有0t =，恒等式变为10kq k -+=，不能得出什么有用结论，回到已知条件，已知变为11n n S ka -∴+=-，此式中，10,0n n a S ->>，那么只能有0k <，命题得证．

试题解析：（1）由题意知，21111

(*)24n n n S a a -+=-，

1111124

n n n S a a ++∴+=-，

两式相减，得：22

1111(2)2244

n n n n n a a a a a n +++-=-≥，整理，得：11()(2)0(2)n n n n a a a a n +++--=≥， 0n a > ，12(2)n n a a n +∴-=≥，

数列{}n a 是等差数列，212a a ∴-=，

由(*)得：2

12211124a a a +=-，11a ∴=±

10a > ，11a =+

（2）由211n n n S ka ta -+=-得2

111n n n S ka ta +++=-，

两式相减，得：22

11(2)n n n n n a ka ka ta ta n +++-=-≥，

设等比数列{}n a 的公比为q ，∴222

n n n n n a kqa ka tq a ta +-=-，

2(1)1(2)n t q a kq k n ∴-=-+≥，由已知，可知0q >，

∴1q ≠，{}n a 不是常数列，0t ∴=；

11n n S ka -∴+=-，而0n a >且10n S ->，0k ∴<， k t ∴<．

考点：等差数列与等比数列的定义．

18．（1）200a =，50b =（2）人，人，4人. （3）14

【解析】试题分析：（1）由频数等于总数乘以频率，而频率等于纵坐标乘以组距，因此

0.085500200a =??=，0.02550050b =??=（2）由分层抽样知，按比例抽取：第，

2组的人数为

5061300?

= ，第3组的人数为200

300?=（3）从这6人中随机抽取2人共

有15种方法，其中年龄没人在第3组的有1种方法，所以至少有人年龄在第3组有14种方

法，从而所求概率为14

试题解析：解：（1）由题设可知，0.085500200a =??=，0.02550050b =??=. （2）因为第1,2,3组共有5050200300++=人，利用分层抽样在300名员工中抽取6名

员工，每组抽取人数分别为：第组的人数为

5061300?

=，第2组的人数为50

61300?=，

第3组的人数为

200

64300?

所以第1,2,3组分别抽取人，人，4人.

（3）设第组的位员工为A ，第2组的位员工为B ，第3组的4位员工为1234,,,C C C C ，

则从六位员工为员工中的两位员工有：

()()()()()()()()()12341234,,,,,,,,,,,,,,,,,A B A C A C A C A C B C B C B C B C ()()()()()()121314232434,,,,,,,,,,,C C C C C C C C C C C C 共15种可能.

其中2人年龄都不在第3组的有：

(),A B ，共种可能.

所以至少有人年龄在第3组的概率为

11411515-

考点：分层抽样，古典概型概率

【方法点睛】古典概型中基本事件数的探求方法（1）列举法.

（2）树状图法：适合于较为复杂的问题中的基本事件的探求.对于基本事件有“有序”与“无序”区别的题目，常采用树状图法.

（3）列表法：适用于多元素基本事件的求解问题，通过列表把复杂的题目简单化、抽象的题目具体化.

（4）排列组合法：适用于限制条件较多且元素数目较多的题目. 19．（Ⅰ）证明见解析；

（Ⅱ）EM =

；

．【解析】

试题分析：（Ⅰ）根据已知条件，易得在等腰梯形ABCD 中，AC BC ⊥；又平面ACFE ⊥平面ABCD ，交线为AC ，⊥∴BC 平面ACFE ；（Ⅱ）设AC BD N ?=，连接FM ，当M 为EF 中点时，//AM FN ，从而//AM BDF 平面；（Ⅲ）以C 为坐标原点，

,,CA CB CF 分别为,,x y z 轴建立空间直角坐标系，求出平面BEF 和平面DEF 的法向量，

从而求得cos θ=．试题解析：

（Ⅰ）在梯形ABCD 中，CD AB // ，?=∠===60,ABC a CB DC AD 四边形ABCD 是等腰梯形，

且??=∠=∠=∠120,30DCB DAC DCA ?=∠-∠=∠∴90DCA DCB ACB

BC AC ⊥∴ 又平面⊥ACFE 平面ABCD ，交线为AC ，⊥∴BC 平面ACFE

（Ⅱ）当a EM 3

时，//AM 平面BDF ，在梯形ABCD 中，设N BD AC =?，连接FN ，则2:1:=NA CN

a EM 3

，而a AC EF 3== 2:1:=∴MF EM ， AN MF //∴，∴四边形ANFM 是平行四边形，NF AM //∴又?NF 平面BDF ，?AM 平面BDF //AM ∴平面BDF 分

（Ⅲ）由(Ⅰ)知,以点C 为原点，CF CB CA ,, 所在直线为坐标轴,建立空间直角坐标系,则

)0,0,0(C ,)0,,0(a B ，)0,0,3(a A ，),0,0(a F ，),0,3(a a E

),,0(a a FB -=→

)0,0,3(a EF -=

),2

,23(a a

a -

= 平面BEF 的法向量)1,1,0(=，平面EFD 的法向量为n =（0，-2，1），所以10

|||,cos -

=?>=

n m n m 又∵二面角B-EF-D 的平面角为锐角，即D EF B --的的余弦值为

10．

考点：空间向量与立体几何．

20．（1）；（2）实数m 不存在，理由见解析

【解析】试题分析：（1）运用椭圆的离心率公式和a ，b ，c 的关系，解方程可得a ，b ，进而得到椭圆方程；

（2）设A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），线段AB 的中点为M （x 0，y 0）．联立直线方程和椭圆方程，运用韦达定理和中点坐标公式，求得M 的坐标，代入圆的方程，解方程可得m ，进而判断不

存在．

解：（1）由题意得e=，a 2=2b ，a 2﹣b 2=c 2

，

解得a=

，b=c=1

故椭圆的方程为；

（2）设A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），线段AB 的中点为M （x 0，y 0）．联立直线y=x+m 与椭圆的方程得，

即3x 2+2mx+m 2

﹣2=0，

△=（2m ）2﹣4×3×（m 2﹣2）＞0，即m 2

＜3， x 1+x 2=﹣

，

所以x 0=，y 0=x 0+m=，

即M （﹣，

）．又因为M 点在圆x 2+y 2

=5上，

可得（﹣）2

+（）2

=5，解得m=±3与m 2

＜3矛盾．故实数m 不存在．

考点：椭圆的简单性质．

21．（1）2a e >；（2）证明见解析；（3）2. 【解析】

试题分析：（1）()'x

f x e a =-,当0a ≤时，函数单调递增，不符合题意；当0a >时，要

函数图像与x 轴有两个交点，则需要极小值小于零且区间端点函数值大于零，由此可求得

2a e >；

（2）先将,A B 两点的坐标代入函数中，求出a 的值，然后求出f 的表达

式，利用导数证明这个表达式是单调递减的，由此可证明0f <；（3）根据已知条

件有12

x x e

+=，利用等腰三角形求出C 的坐标，代入函数解析式，化简

后求得

1(1)2a t --=（）. 试题解析：

（1）∵f （x ）=e x

﹣ax+a ，∴()f x '=e x

﹣a ，

若a≤0，则()f x '＞0，则函数f （x ）是单调增函数，这与题设矛盾．

∴a ＞0，令()f x '=0，则x=lna ，当()f x '＜0时， x ＜lna ，f （x ）单调减，

当()f x '＞0时，x ＞lna ，f （x ）是单调增函数，于是当x=lna 时，f （x ）取得极小值， ∵函数f （x ）=e x

﹣ax+a （a∈R）的图象与x 轴交于两点A （x 1，0），B （x 2，0）（x 1＜x 2），

∴f （lna ）=a （2﹣lna ）＜0，即a ＞e 2

，此时，存在1＜lna ，f （1）=e ＞0，存在3lna ＞lna ，

f （3lna ）=a 3﹣3alna+a ＞a 3﹣3a 2

+a ＞0，又由f （x ）在（﹣∞，lna ）及（lna ，+∞）上的

单调性及曲线在R 上不间断，可知a ＞e 2

为所求取值范围．

（2）∵12

120

x x e ax a e ax a ?-+=??-+=??，∴两式相减得2121x x e e a x x -=-．记212x x s -=（0s >）

，则()121221

122

21222x x x x x x s s x x e e e

f e

s e e x x s ++-+-??

??'=-

=--

?-??

，设g （s ）=2s ﹣（e s

﹣e ﹣s

），则g'（s ）=2﹣（e s

+e ﹣s

）＜0，∴g （s ）是单调减函数，

则有g （s ）＜g （0）=0，而

122

02x x e

s +>，∴1202x x f +??

'< ???

．又f'（x ）=e x

﹣a

是单调增函数，且122

x x +>

0f '<．

（3）依题意有0i x

i e ax a -+=，则()10i x

i a x e -=>?x i ＞1（i=1，2）．

于是

x x e

+=，在等腰三角形ABC 中，显然C=90°，∴

()12

012,2

x x x x x +=

∈，即y 0=f （x 0）＜0，由直角三角形斜边的中线性质，可知

2102x x y -=-，∴21002

x x

y -+=，即()12

212

12022

x x x x a

e x x a +--

+++=， ∴

()21

1202

x x a

x x a --+++

=，

即()()()()21121111022

x x a

x x ----

-+-+=???? ∵

x 1﹣1≠0，则22111

10212

x x x a x --??--++= ?-?

?t =， ∴()()22111022a at t t -

++-=，即2

a t =+-，∴（a ﹣1）（t ﹣1）=2．考点：函数导数与不等式.

【方法点晴】这是一个综合性很强的题目，解决含参数问题及不等式问题注意两个转化：利

用导数解决含有参数的单调性问题可将问题转化为不等式恒成立问题，要注意分类讨论和数形结合思想的应用．将不等式的证明、方程根的个数的判定转化为函数的单调性问题处理．简单的分类讨论分类标准主要根据需要来制定. 22．（Ⅰ）证明见解析；（Ⅱ）证明见解析．【解析】

试题分析：（Ⅰ）连接,AB AC ，则PA PD =，故PAD PDA ∠=∠，根据弦切角等于同弦

所对的圆周角，可退出 BE EC =，所以BE EC =；（Ⅱ）由切割线定理得：PC PB PA ?=2，

由相交弦定理得：DC BD DE AD ?=?，代入已知条件，化简得2

2AD DE PB ?=．试题解析：

（Ⅰ）证明：连接AB ，AC ,由题设知PD PA =，故PDA PAD ∠=∠

因为：DCA DAC PDA ∠+∠=∠，PAB BAD PAD ∠+∠=∠，由弦切角等于同弦所对的圆周角：PAB DCA ∠=∠，

所以：BAD DAC ∠=∠，从而弧BE =弧EC ，因此：EC BE =

D C

（Ⅱ）由切割线定理得：PC PB PA ?=2，因为DC PD PA ==，所以：PB DC 2=，PB BD =

由相交弦定理得：DC BD DE AD ?=? 所以：2

2PB DE AD =? 考点：几何证明选讲．

23．（1）224x

y +=，20x +-=；（2）11π26?? ??

?，，5π26?? ???，，π23??

???，．

【解析】

试题分析：本题主要考查参数方程与普通方程的转化、极坐标方程与直角坐标方程的转化、点到直线的距离、两直线间的距离等基础知识，考查学生的分析问题解决问题的能力、转化

能力、计算能力．第一问，先将曲线1C 的方程平方，利用平方关系，消去参数θ，得到曲线1C 的普通方程，将曲线2C 的方程利用两角和的正弦公式展开，再利用sin y ρθ=，

cos x ρθ=代换，得到曲线2C 的直角坐标方程；第二问，结合第一问知，曲线1C 为圆，曲

线2C 为直线，画出图形，通过图形分析得这三个点分别在平行于直线2C 的两条直线1l ，2

上，通过直线的位置得到直线1l 和直线2l 的方程，再与圆的方程联立，得到三个点E 、F 、G 的坐标．

试题解析：（1

）由题意，得2222223cos sin cos 3sin cos cos x y θθθθθθθθ?=++??=+-??，

，

∴曲线1C 的普通方程为224x y +=．

∵曲线2C

：π1sin sin cos 162ρθθρθ?

?+=

+= ???， ∴曲线2C

的直角坐标方程为20x +-=．

（2）∵曲线1C 为圆1C ，圆心1(0,0)C ，半径为2r =，曲线2C 为直线， ∴圆心C 1到直线2C 的距离1d =，

∵圆1C 上恰好存在三个不同的点到直线2C 的距离相等， ∴这三个点分别在平行于直线2C 的两条直线1l ，2l 上，如图所示，

设1l 与圆1C 相交于点E ，F ，设2l 与圆1C 相切于点G ，

∴直线1l ，2l 分别与直线2C 的距离为211r d -=-=， ∴1l

：0x +=， 2l

：40x -=．

由22

40x y x ?+=??+=??，，

得1x y ?=??=-?

或1x y ?=??=??，

即1)E -

，(1)F ；

由22

440x y x ?+=??+-=??，，

得1x y =???=?

?，

即(1G ，

∴E ，F ，G 这三个点的极坐标分别为11π26?? ??

?，，5π26?? ???，，π23??

???，．

考点：参数方程与普通方程的转化、极坐标方程与直角坐标方程的转化、点到直线的距离、两直线间的距离．【方法点睛】参数方程与普通方程的互化：把参数方程化为普通方程，需要根据其结构特征，选取适当的消参方法，常见的消参方法有：代入消参法；加减消参法；平方和（差）消参法；

乘法消参法；混合消参法等．把曲线C 的普通方程(,)0F x y =化为参数方程的关键：一是适当选取参数；二是确保互化前后方程的等价性．注意方程中的参数的变化范围． 24．（Ⅰ）证明见解析；（Ⅱ）3

3(,][,)22

-∞-?+∞．【解析】

试题分析：（Ⅰ）由于2

()2()a b c a b c ab bc ca a b c ++=+++++≤++

222222

()3222

a b b c c a ++++++=

，所以a b +；

（Ⅱ）由（Ⅰ）可知不等式|1||1|3x x -++≥，利用零点分段法去绝对值，可求得x 的取值范围是

(,][,)22

-∞-?+∞．

试题解析：

（Ⅰ）因为,,a b c R ∈，且2221a b c ++=，所以

222222

222222()2()()

222

2()3

a b b c c a a b c a b c ab bc ca a b c a b c a b c +++++=+++++≤+++++=+++++=

所以2()3||a b c a b c ++≤?++≤a b c ==时取得等号

方法2：由柯西不等式

2222222()(111)()3||a b c a b c a b c ++≤++++=?++≤

（Ⅱ）由（Ⅰ）可知若不等式|1||1|3x x -++≥，

=++-=|1||1|x x y ??

??≥<<--≤-1

2112

12x x x x x

从而解得

33 (,][,)

-∞-?+∞

考点：不等式选讲．

2018年高三数学模拟试题理科

黑池中学2018级高三数学期末模拟试题理科（四）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分. 1.已知集合{}2,101，， -=A ，{} 2≥=x x B ，则A B =I A ．{}2,1,1- B.{ }2,1 C.{}2,1- D. {}2 2.复数1z i =-,则z 对应的点所在的象限为 A ．第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 3 .下列函数中,是偶函数且在区间(0,+∞)上单调递减的函数是 A ．2x y = B ．y x = C ．y x = D ．2 1y x =-+ 4.函数 y=cos 2(x + π4 )－sin 2(x + π4 )的最小正周期为 A. 2π B. π C. π2 D. π 4 5. 以下说法错误的是（） A ．命题“若x 2 -3x+2=0,则x=1”的逆否命题为“若x≠1,则x 2 -3x+2≠0” B ．“x=2”是“x 2 -3x+2=0”的充分不必要条件 C ．若命题p:存在x 0∈R,使得2 0x -x 0+1<0,则﹁p:对任意x∈R,都有x 2 -x+1≥0 D ．若p 且q 为假命题,则p,q 均为假命题 6.在等差数列{}n a 中, 1516a a +=,则5S = A ．80 B ．40 C ．31 D ．-31 7.如图为某几何体的三视图，则该几何体的体积为 A ．π16+ B ．π416+ C ．π8+ D ．π48+ 8.二项式6 21()x x +的展开式中，常数项为 A ．64 B ．30 C ． 15 D ．1 9.函数3 ()ln f x x x =-的零点所在的区间是 A ．(1,2) B ．(2,)e C ． (,3)e D ．(3,)+∞ 10.执行右边的程序框图，若0.9p =，则输出的n 为 A. 6 B. 5 C. 4 D. 3 开始 10n S ==， S p

高考理科数学试题及答案2180

高考理科数学试题及答案（考试时间：120分钟试卷满分：150分）一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1. 31i i +=+（） A ．12i + B ．12i - C ．2i + D ．2i - 2. 设集合{}1,2,4A =，{} 2 40x x x m B =-+=．若{}1A B =，则B =（） A ．{}1,3- B ．{}1,0 C ．{}1,3 D ．{}1,5 3. 我国古代数学名著《算法统宗》中有如下问题：“远望巍巍塔七层，红光点点倍加增，共灯三百八十一，请问尖头几盏灯？”意思是：一座7层塔共挂了381盏灯，且相邻两层中的下一层灯数是上一层灯数的2倍，则塔的顶层共有灯（） A ．1盏 B ．3盏 C ．5盏 D ．9盏 4. 如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某几何体的三视图，该几何体由一平面将一圆柱截去一部分所得，则该几何体的体积为（） A ．90π B ．63π C ．42π D ．36π 5. 设x ，y 满足约束条件2330233030x y x y y +-≤?? -+≥??+≥? ，则2z x y =+的最小值是（） A ．15- B ．9- C ．1 D ．9 6. 安排3名志愿者完成4项工作，每人至少完成1项，每项工作由1人完成，则不同的安排方式共有（） A ．12种 B ．18种 C ．24种 D ．36种 7. 甲、乙、丙、丁四位同学一起去向老师询问成语竞赛的成绩．老师说：你们四人中有2位优秀， 2位良好，我现在给甲看乙、丙的成绩，给乙看丙的成绩，给丁看甲的成绩．看后甲对大家说：我还是不知道我的成绩．根据以上信息，则（）

2018年高考数学(理科)I卷

绝密★启用前 2018年普通高等学校招生全国统一考试理科数学注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．设1i 2i 1i z -= ++，则||z = A ．0 B ． 12 C ．1 D 2．已知集合{} 2 20A x x x =-->，则A =R e A ．{} 12x x -<< B ．{} 12x x -≤≤ C ．}{}{ |1|2x x x x <->U D ．}{}{ |1|2x x x x ≤-≥U 3．某地区经过一年的新农村建设，农村的经济收入增加了一倍，实现翻番，为更好地了解该地区农村的经济收入变化情况，统计了该地区新农村建设前后农村的经济收入构成比例，得到如下饼图：建设前经济收入构成比例建设后经济收入构成比例则下面结论中不正确的是 A ．新农村建设后，种植收入减少 B ．新农村建设后，其他收入增加了一倍以上 C ．新农村建设后，养殖收入增加了一倍

D ．新农村建设后，养殖收入与第三产业收入的总和超过了经济收入的一半 4．设n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，若3243S S S =+，12a =，则=5a A ．12- B ．10- C ．10 D ．12 5．设函数32()(1)f x x a x ax =+-+，若()f x 为奇函数，则曲线()y f x =在点(0,0)处的切线方程为 A ．2y x =- B ．y x =- C ．2y x = D ．y x = 6．在ABC △中，AD 为BC 边上的中线，E 为AD 的中点，则EB =u u u r A ．3144 AB AC -u u u r u u u r B ．1344 AB AC -u u u r u u u r C ．3144 AB AC +u u u r u u u r D ．1344 AB AC +u u u r u u u r 7．某圆柱的高为2，底面周长为16，其三视图如图．圆柱表面上的点M 在正视图上的对应点为A ，圆柱表面上的点N 在左视图上的对应点为B ，则在此圆柱侧面上，从M 到N 的路径中，最短路径的长度为 A ．172 B ．52 C ．3 D ．2 8．设抛物线C ：y 2 =4x 的焦点为F ，过点（–2，0）且斜率为2 3 的直线与C 交于M ，N 两点，则FM FN ?u u u u r u u u r = A ．5 B ．6 C ．7 D ．8 9．已知函数e 0()ln 0x x f x x x ?≤=? >?，，，， ()()g x f x x a =++．若g （x ）存在2个零点，则a 的取值范围是 A ．[–1，0） B ．[0，+∞） C ．[–1，+∞） D ．[1，+∞） 10．下图来自古希腊数学家希波克拉底所研究的几何图形．此图由三个半圆构成，三个半圆的直径分别为直角三角形ABC 的斜边BC ，直角边AB ，AC ．△ABC 的三边所围成的区域记为I ，黑色部分记为II ，其余部分记为III ．在整个图形中随机取一点，此点取自I ，II ，III 的概率分别记为p 1，p 2，p 3，则 A ．p 1=p 2 B ．p 1=p 3 C ．p 2=p 3 D ．p 1=p 2+p 3

2020-2021高考理科数学模拟试题

高三上期第二次周练数学（理科）第Ⅰ卷（选择题，共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1．设集合{}=0123A ，，，， {}=21B x x a a A =-∈，，则=( )A B ? A. {}12， B. {}13， C. {}01 ， D. {}13-， 2．已知i 是虚数单位，复数z 满足()12i z i +=，则z 的虚部是（） A. i - B. i C. 1- D. 1 3．在等比数列{}n a 中， 13521a a a ++=， 24642a a a ++=，则数列{}n a 的前9项的和9S =（） A. 255 B. 256 C. 511 D. 512 4．如图所示的阴影部分是由x 轴，直线1x =以及曲线1x y e =-围成，现向矩形区域OABC 内随机投掷一点，则该点落在阴影区域的概率是（） A. 1e B. 21 e e -- C. 11e - D. 11e - 5．在 52)(y x x ++ 的展开式中，含 2 5y x 的项的系数是（） A. 10 B. 20 C. 30 D. 60 6．已知一个简单几何体的三视图如右图所示，则该几何体的体积为 ( ) A. 36π+ B. 66π+ C. 312π+ D. 12 7．已知函数 ())2log(x a x f -= 在 )1,(-∞上单调递减，则a 的取值范围是( ) A. 11<<