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2015届高考理科数学二轮复习：提能专训7 不等式与线性规划Word版含解析

提能专训(七) 不等式与线性规划计数原理与二

项式定理

A 组

一、选择题

1．(2014·淄博一中模拟)不等式x －1

2x ＋1≤0的解集为( )

A.? ?

??－∞，－12∪[1，＋∞) B.??????－12，1 C.? ??

??－12，1 D.? ????－∞，－12∪[1，＋∞) [答案] C

[解析] x －12x ＋1

≤0等价于

?????

(x －1)(2x ＋1)≤0，2x ＋1≠0，即－12＜x ≤1，所以不等式x －12x ＋1≤0的解集

为? ??

－12，1，故选C. 2．(2014·宜春二模)在R 上定义运算⊙：a ⊙b ＝ab ＋2a ＋b ，则满足x ⊙(x －2)＜0的实数x 的取值范围为( )

A ．(－2,1)

B ．(0,2)

C ．(－∞，－2)∪(1，＋∞)

D ．(－1,2) [答案] A

[解析] ∵x ⊙(x －2)＝x (x －2)＋2x ＋x －2＝x 2＋x －2＜0，即(x －1)(x ＋2)＜0，解得－2＜x ＜1，故选A.

3．(2014·山西联考)实数x ，y 满足????

x ≥2，x －2y ＋4≥0，

2x －y －4≤0，若z ＝kx ＋y

的最大值为13，则实数k ＝( )

A ．2 B.132 C.9

4 D ．

5 [答案] C

[解析] 设直线x －2y ＋4＝0与2x －y －4＝0、直线x －2y ＋4＝0与x ＝2的交点分别为A ，B ，则A (4,4)，B (2,3)，z ＝kx ＋y 可化为y ＝－kx ＋z .当k ＝0时，显然不符合题意．当－k >0，即k <0时，A ，B 两点都可能是最优点，但代入后检验都矛盾；当－k <0，即k >0时，显然点A (4,4)是最优解，代入后可得k ＝9

4．(2014·辽宁三校联考)变量x ，y 满足约束条件????

y ≥－1，x －y ≥2，

3x ＋y ≤14，

若使z ＝ax ＋y 取得最大值的最优解有无穷多个，则实数a 的取值集合是( )

A ．{－3,0}

B ．{3，－1}

C ．{0,1}

D ．{－3,0,1}

[答案] B

[解析] 作出不等式组所表示的平面区域，如图中阴影部分所示．

易知直线z ＝ax ＋y 与x －y ＝2或3x ＋y ＝14平行时取得最大值的最优解有无穷多个，即－a ＝1或－a ＝－3，

∴a ＝－1或a ＝3.故选B.

5．(2014·上海奉贤区二模)下列命题正确的是( ) A ．若x ≠k π，k ∈Z ，则sin 2

x ＋1

sin 2x ≥4

B ．若a ＜0，则a ＋4

a ≥－4

C ．若a ＞0，b ＞0，则lg a ＋lg b ≥2lg a ·lg b

D ．若a ＜0，b ＜0，则b a ＋a b ≥2 [答案] D

[解析] 当sin 2x ＝1时，1＋1＝2＜4，所以A 错；若a ＜0，则a ＋4

a ≤－4，B 错；因为lg a ，lg

b 可以小于零，C 错；由a ＜0，b ＜0，所以b a ，a

b 都大于零，D 正确．

6．(2014·威海一模)函数f (x )＝(x －2)(ax ＋b )为偶函数，且在(0，＋∞)单调递增，则f (2－x )＞0的解集为( )

A ．{x |x ＞2或x ＜－2}

B ．{x |－2＜x ＜2}

C ．{x |x ＜0或x ＞4}

D ．{x |0＜x ＜4}

[答案] C

[解析] ∵f (x )＝ax 2＋(b －2a )x －2b 为偶函数，∴b －2a ＝0，即b ＝2a ，∴f (x )＝ax 2－4a .∴f ′(x )＝2ax .又∵f (x )在(0，＋∞)单调递增，∴a ＞0.由f (2－x )＞0，得a (x －2)2－4a ＞0，∵a ＞0，∴|x －2|＞2，解得x ＞4或x ＜0.

7．(2014·武威凉州区二诊)设集合A n ＝{x |(x －1)(x －n 2－4＋ln n )＜0}，当n 取遍区间(1,3)内的一切实数，所有的集合A n 的并集是( )

A ．(1,13－ln 3)

B ．(1,6)

C ．(1，＋∞)

D ．(1,2)

[答案] A

[解析] ∵n ∈(1,3)，∴n 2＋4－ln n ＞1.

∴A n ＝{x |(x －1)(x －n 2－4＋ln n )＜0}＝{x |1＜x ＜n 2＋4－ln n }．令g (n )＝n 2＋4－ln n ，则g ′(n )＝2n －1

n ，当n ∈(1,3)时，g ′(n )＞0，∴g (n )为增函数，且g (n )∈(5,13－ln 3)．

∴A 1∪A 2∪…∪A n ＝(1,13－ln 3)．

8．(2014·北京西城区期末)在平面直角坐标系xOy 中，记不等式组????

x ＋y ≥0，x －y ≤0，y ≤2

所表示的平面区域为D .在映射T ：?????

u ＝x ＋y ，

v ＝x －y

的作

用下，区域D 内的点(x ，y )对应的象为点(u ，v )，则由点(u ，v )所形成的平面区域的面积为( )

A ．2

B ．4

C ．8

D ．16 [答案] C

[解析] 由映射T ：?????

u ＝x ＋y ，

v ＝x －y ，

得

???

x ＝u ＋v 2，

y ＝u －v 2，

代入不等式组????

x ＋y ≥0，x －y ≤0，

y ≤2，

得????

u ≥0，v ≤0，u －v ≤4，

画

出可行域如图所示，所以由点(u ，v )所形成的平面区域的面积为1

×4×4＝

9．(2014·合肥二检)在平面直角坐标系中，点P 是由不等式组????

x ≥0，y ≥0，x ＋y ≥1

所确定的平面区域内的动点，Q 是直线2x ＋y ＝0上任意

一点，O 为坐标原点，则|OP

→＋OQ →|的最小值为( ) A.55 B.23 C.2

2 D ．1 [答案] A

[解析] 在直线2x ＋y ＝0上取一点Q ′，使得Q ′O →＝OQ →，则|OP →＋OQ →|＝|OP →＋Q ′O →|＝|Q ′P →|≥|P ′P →|≥|BA →|，其中P ′，B 分别为点P ，A 在直线2x ＋y ＝0上的投影，如图所示．

因为|AB →|＝|0＋1|12＋22＝55，因此|OP →＋OQ →|min

＝55

，故选A. 10．设对任意实数x >0，y >0，若不等式x ＋xy ≤a (x ＋2y )恒成立，则实数a 的最小值为( )

A.6＋24

B.2＋24

C.6＋24

D.23 [答案] A

[解析] 原不等式可化为(a －1)x －xy ＋2ay ≥0，两边同除以y ，得(a －1)x

y －

y ＋2a ≥0，令t ＝

x y

，则(a －1)t 2－t ＋2a ≥0，由不等式恒成立知，a －1>0，Δ＝1－4(a －1)·2a ≤0，解得a ≥2＋6

4，∴a min ＝2＋6

4，故选A.

11．(2014·宁德质检)设P 是不等式组????

y ≥0，x －2y ≥－1，

x ＋y ≤3

表示的平

面区域内的任意一点，向量m ＝(1,1)，n ＝(2,1)，若OP →＝λm ＋μn (λ，μ∈R )，则μ的最大值为( )

A ．3 B.1

3 C ．0 D ．－1 [答案] A

[解析] 设P 的坐标为(x ，y )，因为OP

→＝λm ＋μn ，所以?

????

x ＝λ＋2μ，

y ＝λ＋μ，解得μ＝x －y .题中不等式组表示的可行域是如图所示的阴影部分，由图可知，当目标函数μ＝x －y 过点G (3,0)时，μ取得最大值为3－0＝3，故选

二、填空题

12．(2014·济南模拟)设变量x ，y 满足约束条件 ????

y ≤3x －2，x －2y ＋1≤0，2x ＋y ≤8，则y

x 的最大值是________．

[答案] 2

[解析] 二元一次不等式组表示的区域如图阴影部分所示，y x 表示阴影部分内一点与原点连线的斜率，最大斜率在点A ，

即?????

2x ＋y ＝8，y ＝3x －2

的交点(2,4)处，y x 取最大值2.

13．(2014·沈阳质量检测)定义运算：x y ＝?

????

x (xy ≥0)，

y (xy ＜0)，

例如：＝3，(－

＝4，则函数f (x )＝x 2

x －x 2)的最大值

为________．

[答案] 4

[解析] 依题意得，当x 2(2x －x 2)≥0，即0≤x ≤2时，f (x )＝x 2的最大值是22＝4；当x 2(2x －x 2)＜0，即x ＜0或x ＞2时，f (x )＝2x －x 2＝－(x －1)2＋1＜0.因此，函数f (x )的最大值是4.

14．(2014·皖南八校联考)已知实数x ，y 满足：????

0≤x ≤2，y ≤2，

x ≤2y ，

则z ＝2x ＋y －1

x －1的取值范围是________．

[答案] (－∞，1]∪[22＋4，＋∞)

[解析] 由不等式组画出可行域如图中阴影部分所示，目标函数z ＝2x ＋y －1x －1＝2＋y ＋1x －1的取值范围转化为点(x ，y )与(1，－1)所在直线

的斜率加上2的取值范围，由图形知，A 点坐标为(2，1)，则点(1，－1)与(2，1)所在直线的斜率为22＋2，点(0,0)与(1，－1)所在直线的斜率为－1，所以z 的取值范围为(－∞，1]∪[22＋4，＋∞)．

15．(2014·云南第一次检测)已知a ＞0，b ＞0，方程为x 2＋y 2－4x ＋2y ＝0的曲线关于直线ax －by －1＝0对称，则3a ＋2b

ab 的最小值为________．

[答案] 7＋4 3

[解析] 该曲线表示圆心为(2，－1)的圆，由题意得，直线ax －by －1＝0经过圆心，则2a ＋b －1＝0，即2a ＋b ＝1，所以3a ＋2b ab ＝3

b ＋2a ＝? ????3b ＋2a (2a ＋b )＝6a b ＋2b a ＋7≥26a b ·2b a ＋7＝7＋43(当且仅当a

＝2－3，b ＝23－3时等号成立)．

16．(2014·南通期末)给出以下三个关于x 的不等式：①x 2－4x ＋3＜0，②3x ＋1＞1，③2x 2＋m 2x ＋m ＜0.若③的解集非空，且满足③的x

至少满足①和②中的一个，则m 的取值范围是________．

[答案] [－1,0)

[解析] 由①解得x ∈(1,3)，由②解得x ∈(－1,2)，则①和②的并集为(－1,3)，根据题意可得③的解集是(－1,3)的子集，令f (x )＝2x 2＋

m 2

x ＋m ，则????

－1＜－m 2

4＜3，

Δ＞0，

f (－1)≥0，f (3)≥0，

解得m ∈[－1,0)．

17．(2014·北京顺义一模)设x ，y 满足约束条件

?????

4x －3y ＋4≥0，

4x －y －4≤0，x ≥0，y ≥0，

若目标函数z ＝ax ＋by (a ＞0，b ＞0)的最大

值为8，则ab 的最大值为________．

[答案] 2

[解析] 画出可行域，如图所示，目标函数变形为y ＝－a b x ＋z b ，由已知得－a

b ＜0，且纵截距最大时，z 取到最大值，故当直线l 过点B (2,4)时，目标函数取到最大值，即2a ＋4b ＝8，因a ＞0，b ＞0，由基本不等式，得2a ＋4b ＝8≥42ab ，即ab ≤2(当且仅当2a ＝4b ＝4，即a ＝2，b ＝1时等号成立)，故ab 的最大值为

18．(2014·南通二调)若不等式(mx －1)[3m 2－(x ＋1)m －1]≥0对任意m ∈(0，＋∞)恒成立，则实数x 的值为________．

[答案] 1

[解析] 当x ≤0时，mx －1≤0恒成立，此时3m 2－(x ＋1)m －1≤0对任意m ∈(0，＋∞)恒成立，这不可能，所以x ≤0舍去．当x >0时，当m ∈? ????0，1x 时，3m 2

－(x ＋1)m －1≤0，当m ∈??????1x ，＋∞时，3m 2－(x

＋1)m －1≥0，所以当m ＝1

x 时，3? ??

??1x 2－x ＋1x －1＝0，解得x ＝1(负值

舍去)．

19．(2014·厦门5月适应性考试)设不等式组????

x ≥0，y ≤2，

ax －y ＋2≤0

表示区域为D ，且圆x 2

＋y 2

＝4在D 内的弧长为π

2，则实数a 的值等于________．

[答案] 1－ 2

[解析] 依题意知，可行域为如图所示的阴影部分，

AB ︵

＝π2，因为圆的半径为2，所以∠AOB ＝π

4，所以点B 的坐标为

(2，2)，又直线y ＝ax ＋2过点B ，所以2＝2a ＋2，解得a ＝1

－ 2.

B 组

一、选择题

1．(2014·合肥质检二)(x 2－x ＋1)10展开式中x 3项的系数为( ) A ．－210 B ．210 C ．30 D ．－30 [答案] A

[解析] (x 2－x ＋1)10＝[x 2－(x －1)]10＝C 010(x 2)10－C 110(x 2)9(x －1)＋…－C 910(x 2)(x －1)9＋C 1010(x －1)10，所以含x 3项的系数为：－C 910C 8

9＋C 1010(－C 710)＝－210，故选A.

2．(2014·太原一模)有5本不同的教科书，其中语文书2本，数学书2本，物理书1本．若将其并排摆放在书架的同一层上，则同一科目书都不相邻的放法种数是( )

A ．24

B ．48

C ．72

D ．96 [答案] B

[解析] 按照物理书的位置．可以分成5类，即物理书依次排放在左起第一、二、三、四、五位．①当物理书放在第一、二、四、五

位的时候，都有C 12·C 12·C 12＝8种放法；②当物理书放在第三位的时候，有C 12·

C 12·C 12·C 12＝16种放法，∴一共有8×4＋16＝48种符合要求的放法．

3．(2014·云南检测)若?

??x －2x n 的二项展开式中的第5项是常数，

则自然数n 的值为( )

A ．6

B ．10

C ．12

D ．15 [答案] C [解析]

4．(2014·浙江名校联考)从正方体ABCD－A1B1C1D1的6个表面中选取3个面，其中有2个面不相邻的选法共有()

A．8种B．12种C．16种D．20种

[答案] B

[解析]事实上，从正方体的6个面中任取3个面，有两种情况：一种是有2个面不相邻，另一种是3个面都相邻，而3个面都相邻就是过同一顶点的3个面，有8个顶点，故有8种取法，而从6个面中任取3个面共有C36种选法，因此，有2个面不相邻的选法共有C36－8＝12种，故选B.

5．(2014·南昌一模)若x4(x＋3)8＝a0＋a1(x＋2)＋a2(x＋2)2＋…＋a12(x＋2)12，则log2(a1＋a3＋a5＋…＋a11)＝()

A．27B．28C．7 D．8

[答案] C

[解析]取x＝－1，得

(－1)4(－1＋3)8＝a0＋a1＋a2＋…＋a11＋a12，①

取x＝－3，得

(－3)4(－3＋3)8＝a0－a1＋a2－…－a11＋a12，②

①与②两式左、右两边分别相减，得

28＝2(a1＋a3＋a5＋…＋a11)，

所以a1＋a3＋a5＋…＋a11＝27，

所以log2(a1＋a3＋a5＋a7＋a9＋a11)＝log227＝7.

6．(2014·青岛二模)在实验室进行的一项物理实验中，要先后实施6个程序，其中程序A只能出现在第一或最后一步，程序B和C 在实施时必须相邻，则实验顺序的编排方法共有()

A．34种B．48种C．96种D．144种

[答案] C

[解析]把B和C看作一个元素与除A外的3个元素全排列，有4！种，而A有2种，交换B与C也有2种，所以共有排法4！×2×2＝96.

7．(2014·绵阳第二次诊断)某学校组织演讲比赛，准备从甲、乙等8名学生中选派4名学生参加，要求甲、乙两名同学至少有一人参加，且若甲、乙同时参加时，他们的演讲顺序不能相邻，那么不同的演讲顺序的种类为()

A．1 860 B．1 320 C．1 140 D．1 020

[答案] C

[解析]若有甲无乙，C36×4！＝480；若有乙无甲，C36×4！＝480；若甲乙都有，C26×2！×A23＝180.所以共有480＋480＋180＝1 140.故选C.

8．(2014·辽宁五校协作体摸底)在送医下乡活动中，某医院安排甲、乙、丙、丁、戊五名医生到三所乡医院工作，每所医院至少安排一名医生，且甲、乙两名医生不安排在同一医院工作，丙、丁两名医生也不安排在同一医院工作，则不同的分配方法总数为() A．36 B．72 C．84 D．108

[答案] C

[解析]甲、乙、丙、丁、戊五名医生到三所乡医院工作，每所

医院至少安排一名医生，①当有两所医院分2人另一所医院分1人时，

总数有C 25·C 2

3A 22·A 33种，其中有甲乙二人或丙丁二人在同一组有A 33＋4A 3

种；②有两所医院分1人另一所医院分3人．有C 12·C 12·A 3

3种．故满足条件的分法共有C 25·C 2

3A 22

·A 33－A 33－4A 33＋C 12·C 12·A 3

3＝90－6－24＋24＝84

种．

9．(2014·吉林普通中学摸底)已知关于x 的二项式? ?

????x ＋a 3x n

展开

式的二项式系数之和为32，常数项为80，则a 的值为( )

A ．1

B ．±1

C ．2

D ．±2 [答案] C

[解析] 由题意二项式系数和为2n ＝32，即n ＝5，二项式展开式

的通项为T r ＋1＝C r 5(x )5－r ? ??

???

a 3x r ＝a r C r

5x 15－5r

6 ，令15－5r 6＝0，即r ＝3，

所以T 4＝a 3C 3

5＝80，即a ＝2.

10．(2014·山西大学附中考试)从甲、乙等5名志愿者中选出4名，分别从事A ，B ，C ，D 四项不同的工作，每人承担一项．若甲、乙二人均不能从事A 工作，则不同的工作分配方案共有( )

A ．60种

B ．72种

C ．84种

D ．96种 [答案] B

[解析] 根据题意，分两种情况讨论：

①甲、乙中只有1人被选中，需要从甲、乙中选出1人，担任后

三项工作中的1种，由其他三人担任剩余的三项工作，有C 12·

C 13·A 33＝36种选派方案．

②甲、乙两人都被选中，则在后三项工作中选出2项，由甲、乙

担任，从其他三人中选出2人，担任剩余的两项工作，有C23·A22·C23·A22＝36种选派方案．

综上可知，共有36＋36＝72种不同的选派方案，故选B.

11．(2014·长沙二模)若两条异面直线所成的角为60°，则称这对异面直线为“黄金异面直线对”，在连接正方体各顶点的所有直线中，“黄金异面直线对”共有()

A．12对B．18对C．24对D．30对

[答案] C

[解析]每条面对角线有4条与之异面的面对角线所成的角为60°，每个面有2条面对角线，共6个面，共有48对“黄金异面直线对”，因为每对无顺序，所以每对都重复一次，故共有24对．12．1－90C110＋902C210－903C310＋…＋(－1)k90k C k10＋…＋9010C1010除以88的余数是()

A．－1 B．1 C．－87 D．87

[答案] B

[解析]原式＝(1－90)10＝(88＋1)10＝8810＋C110889＋…＋C91088＋1，因为前10项均能被88整除，所以余数为1，故选B.

二、填空题

13．(2014·济南一模)航天员拟在太空授课，准备进行标号为0,1,2,3,4,5的六项实验，向全世界人民普及太空知识，其中0号实验不能放在第一项，最后一项的标号小于它前面相邻一项的标号，则实验顺序的编排方法种数为________．(用数字作答)

[答案]300

[解析]因为0号实验不能放在第一项，所以第一步是从1,2,3,4,5的五项实验任选一个放在第一项，有A15；第二步：从剩下的五项实

验中任取三个放在第二、三、四项，有A35种不同的方法；第三步：最后剩下两项实验，标号较大的放在第五项，较小的放在第六项，只有这一种方法；根据分步乘法计数原理，实验顺序的编排方法种数为A15·A35·1＝300.

14．(2014·浙江“六市六校”联盟考试)从0,1,2,3,4,5这6个数字中任意取4个数字组成一个没有重复数字且能被3整除的四位数，这样的四位数有________个．

[答案]96

[解析]依题意，只需组成的四位数各位数字的和能被3整除．将这六个数字按照被3除的余数分类，共分为3类：{0,3}，{1,4}，{2,5}，若四位数含0，则另外3个数字为3,4,5(或1,3,5或2,3,4或1,2,3)，且0不在第一位，此时有C13·A33·4＝72种；若四位数不含0，则4个数字为1,2,4,5，此时有A44＝24种，由分类加法计数原理，这样的四位数有72＋24＝96个．

15．(2014·安庆二模)如果(1＋x＋x2)(x－a)5(a为实常数)的展开式中所有项的系数和为0，则展开式中含x4项的系数为________．[答案]－5

[解析]∵(1＋x＋x2)(x－a)5的展开式所有项的系数和为(1＋1＋12)(1－a)5＝0，

∴a＝1.∴(1＋x＋x2)(x－a)5＝(1＋x＋x2)(x－1)5＝(x3－1)(x－1)4＝x3(x－1)4－(x－1)4，

其展开式中含x4项的系数为C34(－1)3－C04(－1)0＝－5.

16．(2014·上海奉贤二模)在(x＋1)n的二项展开式中，按x的降幂排列，只有第5项的系数最大，则各项的二项式系数之和为________．(用数值表示)

[答案] 256

[解析] 由(x ＋1)n 的二项展开式中，项的系数与二项式系数相等，因为只有第5项的系数最大，即第五项的二项式系数最大，所以展开式中共有9项，即n ＝8.各项的二项式系数之和为28＝256.

17．(2014·保定调研)已知集合M ＝{1,2,3,4,5,6}，集合A ，B ，C 为M 的非空子集，若?x ∈A ，y ∈B ，z ∈C ，x

[答案] 111

[解析] 由题意可先分类，再分步：

第一类，将6个元素全部取出来，可分两步进行：第一步，取出

元素，有C 66种取法，

第二步，分成三组，共10种分法，所以共有10C 6

6个子集串；

第二类，从6个元素中取出5个元素，共C 5

6种取法，然后将这5

个元素分成三组共6种分法，所以共有6C 56个子集串；同理含4个元

素的子集串数为3C 46；含3个元素的子集串数为C 3

6.集合M 的子集串共10C 66＋6C 56＋3C 46＋C 36＝111个．

18．给定区域D ：????

x ＋4y ≥4，x ＋y ≤4，

x ≥0，

令点集T ＝{(x 0，y 0)∈D |x 0，y 0

∈Z ，(x 0，y 0)是z ＝x ＋y 在D 上取得最大值或最小值的点}，则T 中的点共确定________条不同的直线．

[答案] 6

[解析] 如图，阴影部分即为可行域，易得使z ＝x ＋y 取得最小值的点仅有(0,1)，使z ＝x ＋y 取得最大值的点有无数个，但属于集合T 的只有(0,4)，(1,3)，(2,2)，(3,1)，(4,0)．用这些点可以组成不同直

线的条数为C26－C25＋1＝6.

19．(2014·合肥一中、安师大附中等六校素质测试)某动点在平面直角坐标系第一象限的整点上运动(含x，y正半轴上的整点)，其运动规律为(m，n)→(m＋1，n＋1)或(m，n)→(m＋1，n－1)．若该动点从原点出发，经过6步运动到(6,2)点，则有________种不同的运动轨迹．[答案]9

[解析]解法一：如图所示，该动点从原点出发，第一次运动到点K(1,1)，第二次从K点运动到点I(2,2)或者J(2,0)，以此类推，最后到达A(6,2)，则不同的运动轨迹有：O→K→I→G→D→B→A；或O→K→J→H→E→B→A；…….一共有9种不同的运动轨迹．解法二：每一步向右上或右下，所以只关心在竖直方向上的运动情况，即确定6步运动中哪两步往下即可，其中第一步不能向下，所以不同的运动轨迹种数为C26－C16＝9.

基本不等式与线性规划

不等式(二) 一.基本不等式(ab b a 2 ≥+一正:两个数或式子必须都为正数. 二定;必须有和定或积定三相等:等号成立为最值存在的充分,那里使用基本不等式,那两个数相等) 积定,和有最小( 1.设41 4,4-+-=>x x y x 2.设 4 1 ,4-+ =>x x y x 3.1,1>>b a ,则a b b a log log +的最小为．4.下列函数中，最小值为22的是（） A ．x x y 2+= B ．)0(sin 2 sin π<<+=x x x y C ．x x e e y -+=2 D ．2 log 2log 2 x x y += 5.下列各函数中，最小值为2的是 ( ) A ．y=x ＋x 1 B ．y= sinx ＋x sin 1 ,x ∈(0,2π) C ．y= 2 32 2++x x D ．y= x x 1 +

6.若lg x ＋lg y ＝2，则x 1＋y 1 的最小值为( ) A ．201 B ．51 C ．2 1 D ．2 7.(10.重庆)已知0>t ,则函数t t t y 142+-= 的最小值为． 8.若1>=+y x y x 则y x 2 1+的最小． (09.天津)设0,0>>b a ,若3是a 3与b 3的等比中项,则b a 1 1+的最小值为( ) A ．8 B ．4 C ．1 D ．4 1 已知312,0,0=+>>y x y x ,则y x 11+的最小．若实数a 、b 满足的最小值是则b a b a 22,2+=+ （） A ．8 B ．4 C ．22 D ．4 22 和定,积有最大(和定的判断依据:相反符号) 1.设 , 20<

高考数学线性规划专题练习

高考数学线性规划专题练习 1. “截距”型考题在线性约束条件下，求形如(,)z ax by a b R =+∈的线性目标函数的最值问题，通常转化为求直线在y 轴上的截距的取值. 结合图形易知，目标函数的最值一般在可行域的顶点处取得.掌握此规律可以有效避免因画图太草而造成的视觉误差. 1.【20xx 年高考·广东卷理5】已知变量满足约束条件，则的最大值为( ) 2. (20xx 年高考·辽宁卷理8)设变量满足，则的最大值为 A ．20 B ．35 C ．45 D ．55 3.(20xx 年高考·全国大纲卷理13) 若满足约束条件，则的最小值为。 4.【20xx 年高考·陕西卷理14】设函数，是由轴和曲线及该曲线在点处的切线所围成的封闭区域，则在上的最大值为． 5.【20xx 年高考·江西卷理8】某农户计划种植黄瓜和韭菜，种植面积不超过50计，投入资金不超过54万元，假设种植黄瓜和韭菜的产量、成本和售价如下表 ,x y 241y x y x y ≤?? +≥??-≤? 3z x y =+()A 12()B 11()C 3()D -1,x y -100+20015x y x y y ≤?? ≤≤??≤≤? 2+3x y ,x y 1030330 x y x y x y -+≥??? +-≤??+-≥??3z x y =-ln ,0 ()21,0x x f x x x >?=?--≤?D x ()y f x =(1,0)2z x y =-D

和韭菜的种植面积（单位：亩）分别为（） A ．50，0 B ．30，20 C ．20，30 D ．0，50 6. (20xx 年高考·四川卷理9 ) 某公司生产甲、乙两种桶装产品. 已知生产甲产品1桶需耗原料1千克、原料2千克；生产乙产品1桶需耗原料2千克，原料1千克. 每桶甲产品的利润是300元，每桶乙产品的利润是400元. 公司在生产这两种产品的计划中，要求每天消耗、原料都不超过12千克. 通过合理安排生产计划，从每天生产的甲、乙两种产品中，公司共可获得的最大利润是（） A 、1800元 B 、2400元 C 、2800元 D 、 3100元 7. (20xx 年高考·安徽卷理11) 若满足约束条件：；则的取值范围为. 8．(20xx 年高考·山东卷理5)的约束条件24 41x y x y +≤??-≥-?，则目标函数z=3x －y 的取值范围是 A ． [32-，6] B ．[3 2 -，－1] C ．[－1，6] D ．[－6， 3 2 ] 9．(20xx 年高考·新课标卷理14) 设满足约束条件：；则的取值范围为 . 2 . “距离”型考题 10.【2010年高考·福建卷理8】设不等式组x 1x-2y+30y x ≥?? ≥??≥?所表示的平面区域是 1Ω,平面区域是2Ω与1Ω关于直线3490x y --=对称,对于1Ω中的任意一点A 与2Ω中的任意一点B, ||AB 的最小值等于( ) A. 285 B.4 C. 12 5 D.2 11.( 20xx 年高考·北京卷理2) 设不等式组，表示平面区域为D ，在区域D 内随机取一个点，则此点到坐标原点的距离大于2的概率是 A B A B A B ,x y 02323x x y x y ≥?? +≥??+≤? x y -_____,x y ,013x y x y x y ≥?? -≥-??+≤? 2z x y =-???≤≤≤≤20, 20y x

2020高考理科数学冲刺—压轴大题高分练一

1．(本小题满分12分)(2019陕西咸阳一模)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2 ＝1(a >1)的上顶点为B , 右顶点为A ,直线AB 与圆M ：(x －2)2＋(y －1)2 ＝1相切． (1)求椭圆C 的方程． (2)过点N (0,－1 2 )且斜率为k 的直线l 与椭圆C 交于P ,Q 两点,求证：BP ⊥BQ . 1．(1)解：由题意知,A (a ,0),B (0,1),则直线AB 的方程为x ＋ay －a ＝0. 由直线AB 与圆M ：(x －2)2＋(y －1)2＝1相切,得圆心M 到直线AB 的距离d ＝2 1＋a 2 ＝1,求得a ＝3, 故椭圆C 的方程为x 23 ＋y 2 ＝1. (2)证明：直线l 的方程为y ＝kx －1 2 ,P (x 1,y 1),Q (x 2,y 2), 联立? ??y ＝kx －1 2 ， x 23 ＋y 2＝1，消去y 整理得(4＋12k 2)x 2－12kx －9＝0. ∴x 1＋x 2＝12k 4＋12k 2,x 1x 2 ＝－9 4＋12k 2 . 又BP →＝(x 1,y 1－1),BQ → ＝(x 2,y 2－1), ∴BP →·BQ → ＝x 1x 2＋(y 1－1)(y 2－1)＝x 1x 2＋(kx 1－32)·(kx 2－32)＝(1＋k 2)x 1x 2－32k (x 1＋x 2)＋94 ＝－9（1＋k 2）4＋12k 2－18k 24＋12k 2 ＋94＝0,∴BP ⊥BQ . 2．(本小题满分12分)(2019内蒙古一模)已知函数f (x )＝2ax ＋bx －1－2ln x (a ∈R )． (1)当b ＝0时,确定函数f (x )的单调区间． (2)当x >y >e －1时,求证：e x ln(y ＋1)>e y ln(x ＋1)． 2．(1)解：当b ＝0时,f ′(x )＝2a －2x ＝2（ax －1） x (x ＞0)．当a ≤0时,f ′(x )＜0在(0,＋∞)上恒成立． ∴函数f (x )在(0,＋∞)上单调递减．

2018年高考数学总复习基本不等式及其应用

第二节基本不等式及其应用考纲解读 1. 了解基本不等式错误！未找到引用源。的证明过程. 2. 会用基本不等式解决简单的最大（小）值问题. 3. 利用基本不等式证明不等式. 命题趋势探究基本不等式是不等式中的重要内容，也是历年高考重点考查的知识点之一，其应用范围涉及高中数学的很多章节，且常考常新，但考查内容却无外乎大小判断、求最值和求最值范围等问题. 预测2019年本专题在高考中主要考查基本不等式求最值、大小判断，求取值范围问题. 本专题知识的考查综合性较强，解答题一般为较难题目，每年分值为58分. 知识点精讲 1. 几个重要的不等式（1）错误！未找到引用源。（2）基本不等式：如果错误！未找到引用源。，则错误！未找到引用源。(当且仅当“错误！未找到引用源。”时取“”). 特例：错误！未找到引用源。同号. （3）其他变形： ①错误！未找到引用源。(沟通两和错误！未找到引用源。与两平方和错误！未找到引用源。的不等关系式) ②错误！未找到引用源。(沟通两积错误！未找到引用源。与两平方和错误！未找到引用源。的不等关系式) ③错误！未找到引用源。(沟通两积错误！未找到引用源。与两和错误！未找到引用源。的不等关系式) ④重要不等式串：错误！未找到引用源。即调和平均值几何平均值算数平均值平方平均值(注意等号成立的条件). 2. 均值定理已知错误！未找到引用源。. （1）如果错误！未找到引用源。(定值)，则错误！未找到引用源。(当且仅当“错误！未找到引用源。”时取“=”).即“和为定值，积有最大值”. （2）如果错误！未找到引用源。(定值)，则错误！未找到引用源。(当且仅当“错误！未找到引用源。”时取“=”).即积为定值，和有最小值”. 题型归纳及思路提示题型91 基本不等式及其应用思路提示熟记基本不等式成立的条件，合理选择基本不等式的形式解题，要注意对不等式等号是否成立进行验证. 例7.5“错误！未找到引用源。”是“错误！未找到引用源。”的（） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件

基本不等式与线性规划

不等式(二) 一.基本不等式(ab b a 2≥+一正:两个数或式子必须都为正数. 二定;必须有和定或积定三相等:等号成立为最值存在的充分,那里使用基本不等式,那两个数相等) 积定,和有最小(积定的判断依据:互为倒数关系) 1.设4 1 4,4-+-=>x x y x 的最小值为． 2.设4 1 ,4-+ =>x x y x 的最小值为． 3.1,1>>b a ,则a b b a log log +的最小为． 4.下列函数中，最小值为22的是（） A ．x x y 2+ = B ．)0(sin 2 sin π<<+ =x x x y C ．x x e e y -+=2 D ．2log 2log 2x x y += 5.下列各函数中，最小值为2的是 ( ) A ．y=x ＋ x 1 B ．y= sinx ＋x sin 1,x ∈(0,2 π) C ．y= 2 322++x x D ．y=x x 1 + 6.若lg x ＋lg y ＝2，则 x 1 ＋y 1的最小值为( ) A ． 20 1 B ． 5 1 C ． 2 1 D ．2 7.(10.重庆)已知0>t ,则函数t t t y 1 42+-=的最小值为． 8.若1>=+y x y x 则 y x 2 1+的最小． (09.天津)设0,0>>b a ,若3是a 3与b 3的等比中项,则b a 1 1+的最小值为( ) A ．8 B ．4 C ．1 D ．4 1 总结:常见倒数关系 x x a a -与 a b b a log log 与

2013—2017高考全国卷线性规划真题(含答案)

2013—2017高考全国卷线性规划真题 1.【2017全国1，文7】设x ，y 满足约束条件33,1, 0,x y x y y +≤??-≥??≥?则z =x +y 的最大值为 A ．0 B ．1 C ．2 D ．3 2.【2017全国2，文7】设,x y 满足约束条件2+330 233030x y x y y -≤??-+≥??+≥? ,则2z x y =+的最小值是 A.15- B.9- C.1 D 9 3.【2017全国3，文5】设x ，y 满足约束条件3260 0x y x y +-≤??≥??≥? ，则z x y =-的取值范围是 A ．[–3,0] B ．[–3,2] C ．[0,2] D ．[0,3] 4．(2016全国1，文16)某高科技企业生产产品A 和产品B 需要甲、乙两种新型材料．生产一件产品A 需要甲材料1.5 kg ，乙材料1 kg ，用5个工时；生产一件产品B 需要甲材料0.5 kg ，乙材料0.3 kg ，用3个工时．生产一件产品A 的利润为2 100元，生产一件产品B 的利润为900元．该企业现有甲材料150 kg ，乙材料90 kg ，则在不超过600个工时的条件下，生产产品A 、产品B 的利润之和的最大值为________元． 5．(2016全国2，文14)若x ，y 满足约束条件?????x －y ＋1≥0，x ＋y －3≥0，x －3≤0，则z ＝x －2y 的最小值为________． 6．(2016全国3，文13)设x ，y 满足约束条件?????2x －y ＋1≥0，x －2y －1≤0，x ≤1，则z ＝2x ＋3y －5的最小值为_____． 7.（2015全国1，文15）若x ,y 满足约束条件20 210220x y x y x y +-≤??-+≤??-+≥? ,则z =3x +y 的最大值为． 8.（2015全国2，文14）设x ，y 满足约束条件50 210210x y x y x y +-≤??--≥??-+≤?，则2 z x y =+的最大值为__________. 9.（2014全国1，文11）设x ，y 满足约束条件, 1,x y a x y +≥??-≤-?且z x a y =+的最小值为7，则a = A ．-5 B.3 C.-5或3 D.5或-3

2017年高考理科数学试题及答案

2017年普通高等学校招生全国统一考试（xx卷）数学（理科）第Ⅰ卷（共50分）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．（1）【2017年xx，理1，5分】设函数的定义域为，函数的定义域为，则（）（A）（B）（C）（D）【答案】D 【解析】由得，由得，，故选D．（2）【2017年xx，理2，5分】已知，是虚数单位，若，，则（）（A）1或（B）或（C）（D）【答案】A 【解析】由得，所以，故选A．（3）【2017年xx，理3，5分】已知命题：，；命题：若，则，下列命题为真命题的是（）（A）（B）（C）（D）【答案】B 【解析】由时有意义，知是真命题，由可知是假命题，即，均是真命题，故选B．（4）【2017年xx，理4，5分】已知、满足约束条件，则的最大值是（）（A）0（B）2（C）5（D）6 【答案】C 【解析】由画出可行域及直线如图所示，平移发现，

当其经过直线与的交点时，最大为，故选C．（5）【2017年xx，理5，5分】为了研究某班学生的脚长（单位：厘米）和身高（单位：厘米）的关系，从该班随机抽取10名学生，根据测量数据的散点图可以看出与之间有线性相关关系，设其回归直线方程为，已知，，，该班某学生的脚长为24，据此估计其身高为（）（A）160（B）163（C）166（D）170 【答案】C 【解析】，故选C．（6）【2017年xx，理6，5分】执行两次如图所示的程序框图，若第一次输入的值为7，第二次输入的值为9，则第一次、第二次输出的值分别为（）（A）0，0（B）1，1（C）0，1（D）1，0 【答案】D 【解析】第一次；第二次，故选D．（7）【2017年xx，理7，5分】若，且，则下列不等式成立的是（）（A）（B）（C）（D）【答案】B 【解析】，故选B．（8）【2017年xx，理8，5分】从分别标有1，2，…，9的9xx卡片中不放回地随机抽取2次，每次抽取1xx，则抽到在2xx卡片上的数奇偶性不同的概率是（）（A）（B）（C）（D）

高考数学二轮复习专题突破训练一第2讲不等式与线性规划理含2014年高考真题

第2讲不等式与线性规划考情解读 1.在高考中主要考查利用不等式的性质进行两数的大小比较、一元二次不等式的解法、基本不等式及线性规划问题．基本不等式主要考查求最值问题，线性规划主要考查直接求最优解和已知最优解求参数的值或取值范围问题.2.多与集合、函数等知识交汇命题，以选择、填空题的形式呈现，属中档题． 1．四类不等式的解法 (1)一元二次不等式的解法先化为一般形式ax 2 ＋bx ＋c >0(a ≠0)，再求相应一元二次方程ax 2 ＋bx ＋c ＝0(a ≠0)的根，最后根据相应二次函数图象与x 轴的位置关系，确定一元二次不等式的解集． (2)简单分式不等式的解法 ①变形?f x g x >0(<0)?f (x )g (x )>0(<0)； ②变形? f x g x ≥0(≤0)?f (x )g (x )≥0(≤0)且g (x )≠0. (3)简单指数不等式的解法 ①当a >1时，a f (x ) >a g (x ) ?f (x )>g (x )； ②当0a g (x ) ?f (x )1时，log a f (x )>log a g (x )?f (x )>g (x )且f (x )>0，g (x )>0； ②当0 log a g (x )?f (x )0，g (x )>0. 2．五个重要不等式 (1)|a |≥0，a 2 ≥0(a ∈R )． (2)a 2 ＋b 2 ≥2ab (a 、b ∈R )． (3) a ＋b 2 ≥ab (a >0，b >0)． (4)ab ≤(a ＋b 2)2 (a ，b ∈R )． (5) a 2＋ b 22 ≥ a ＋b 2 ≥ab ≥ 2ab a ＋b (a >0，b >0)． 3．二元一次不等式(组)和简单的线性规划 (1)线性规划问题的有关概念：线性约束条件、线性目标函数、可行域、最优解等．