上海市崇明区2020届高三一模数学试卷
2019.12
一. 填空题（本大题共12题，1-6每题4分，7-12每题5分，共54分）
1. 已知集合{0,1,2,3}A =，{|02}B x x =<≤，则A B =I
2. 不等式|2|1x -<的解集是
3. 半径为1的球的表面积是
4. 已知等差数列{}n a 的首项为1，公差为2，则该数列的前n 项和n S =
5. 函数()f x =的反函数是
6. 计算：11
32lim 32n n
n n n +-→∞-=+ 7. 二项式62()x x
+的展开式中常数项的值等于 8. 若双曲线的一个顶点坐标为(3,0)，焦距为10，则它的标准方程是
9. 已知a 、b +∈R ，若直线230x y ++=与直线(1)2a x by -+=互相垂直，则ab 的最大 值等于
10. 已知函数()f x 是定义在R 上的周期为2的奇函数，当01x <≤时，3()1f x x ax =-+， 则实数a 的值等于
11. 某组委会要从五名志愿者中选派四人分别从事翻译、导游、礼仪、司机四项不同工作， 若其中甲不能从事翻译工作，乙不能从事导游工作，其余三人均能从事这四项工作，则不同 的选派方案共有 种
12. 正方形ABCD 的边长为4，O 是正方形ABCD 的中心，过中心O 的直线l 与边AB 交于
点M ，与边CD 交于点N ，P 为平面上一点，满足2(1)OP OB OC λλ=+-uu u r uu u r uuu r ，则PM PN ?uuu r uuu r
的最小值为
二. 选择题（本大题共4题，每题5分，共20分）
13. 若0a b <<，则下列不等式恒成立的是（ ） A. 11a b
> B. a b -> C. 33a b < D. 22a b > 14. 已知z ∈C ，“0z z +=”是“z 为纯虚数”的（ ）
A. 充分非必要条件
B. 必要非充分条件
C. 充要条件
D. 既非充分又非必要条件
15. AB 、CD 是底
面圆O 的两条互相垂直的直径，E 是母线PB 的中点，已知过
CD 与E 的平面与圆锥侧面的交线是以E 为顶点的抛物线的一
部分，则该抛物线的焦点到圆锥顶点P 的距离等于（ ）
A. 12
B. 1
C. 4
D. 2
16. 若不等式(||)sin()06x a b x ππ--+
≤对[1,1]x ∈-恒成立，则a b +的值等于（ ） A.
23 B. 56
C. 1
D. 2 三. 解答题（本大题共5题，共14+14+14+16+18=76分）
17. 在直三棱柱111ABC A B C -中，90ABC ∠=?，1AB BC ==，12BB =.
（1）求异面直线11B C 与1A C 所成角的大小；
（2）求点1B 与平面1A BC 的距离.
18. 已知函数21()2cos 2
f x x x =--. （1）求函数()f x 的最大值，并写出取得最大值时的自变量x 的集合；
（2）设△ABC 的内角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，且c =()0f C =， 若sin 2sin B A =，求a 、b 的值.
19. 某辆汽车以x 公里/小时速度在高速公路上匀速行驶（考虑到高速公路行车安全要求
60120x ≤≤）时，每小时的油耗（所需要的汽油量）为14500(100)5x x
-+升. （1）欲使每小时的油耗不超过9升，求x 的取值范围；
（2）求该汽车行驶100公里的油耗y 关于汽车行驶速度x 的函数，并求y 的最小值.
20. 已知椭圆2
2:14
x y Γ+=，其左右顶点分别为A 、B ，上下顶点分别为C 、D ，圆O 是以线段AB 为直径的圆.
（1）求圆O 的方程；
（2）若点E 、F 是椭圆上关于y 轴对称的两个不同的点，直线CE 、DF 分别交x 轴于点M 、
N ，求证：OM ON ?uuu r uuu r 为定值；
（3）若点P 是椭圆Γ上不同于点A 的点，直线AP 与圆O 的另一个交点为Q ，是否存在点
P ，使得13
AP PQ =uu u r uu u r ？若存在，求出点P 的坐标，若不存在，说明理由.
21. 已知无穷数列{}n a 、{}n b 、{}n c 满足：对任意的*n ∈N ，都有1||||n n n a b c +=-，1||||n n n b c a +=-，1||||n n n c a c +=-，记max{||,||,||}n n n n d a b c =（max{,,}x y z 表示3个实数x 、y 、z 中的最大值）.
（1）若11a =，12b =，14c =，求4a 、4b 、4c 的值；
（2）若11a =，12b =，求满足23d d =的1c 的所有值；
（3）设1a 、1b 、1c 是非零实数，且1||a 、1||b 、1||c 互不相等，证明：存在正整数k ，使得数列{}n a 、{}n b 、{}n c 中有且只有一个数列自第k 项起各项均为0.
参考答案
一. 填空题
1. {1,2}
2.(1,3)
3. 4π
4. 2n
5. 12
()1(0)f x x x -=-≥ 6. 3 7. 160 8. 22
1916x y -= 9.
18
10. 2 11. 78 12. 7- 二. 选择题
13. C 14. B 15. D 16. B
三. 解答题
17.（1）；（2）h =18.（1）()sin(2)16f x x π=-
-，最小正周期π，单调增区间[,]63k k ππ
ππ-+，k ∈Z ； （2）1a =，2b =. 19.（1）[60,100]；（2）2118090000()909y x =-
+，当90x =时，该汽车行驶100公里 的油耗取得最小值是809
升. 20.（1）224x y +=；（2）4OM ON ?=-uuu r uuu r ，证明略；（3）不存在.
21.（1）40a =，41b =-，41c =；（2）2-，1-，1，2；（3）证明略.