含参的复杂分段函数的最值求解方法探究

分段函数极值问题的研究极值分段函数是一类重要的函数，特别是在经济学、物理学、数学等领域中，其应用非常广泛。

它的极值研究对于理解这类函数的特性有着至关重要的作用，有助于更深入的剖析极值分段函数。

首先，我们需要了解极值分段函数的定义。

通常，极值分段函数是指由几个函数段组成的函数。

每一个函数段都有自己的参数，其结果或极值可以由参数来预测。

因此，极值分段函数具有复杂的分析特性，既包含着各个段的参数，也包含着整个函数的参数。

其次，当研究分段函数的极值时，我们需要关注它们的变化规律，也就是在每一段中的极值的行为。

如果我们能够确定一个实际的函数模型，那么就可以用它来求解各段的极值。

比如，我们可以用偏导数的方法来求分段函数的极大值或极小值，也可以使用非微分几何的方法来求取分段函数的局部极值。

这些方法都很有效，可以较为精确地求解分段函数的极值。

此外，结构化分析也是分段函数极值研究的有效方法。

根据函数模型，我们可以计算任意函数式的极值，这就是分段函数的优点所在。

除此之外，分段函数的极值研究还可以通过有限差分法来实现，这种方法可以综合考虑各段函数的影响，减少误差，并给出准确的求解结果。

最后，有关分段函数的极值研究还可以通过数值计算的方法来进行。

这种方法可以很好地模拟函数的变化趋势，从而挖掘出准确的极值。

但是，数值计算方法很复杂，容易出现计算误差，因此需要特别注意参数选取等问题，以获得最准确的极值计算结果。

综上所述，分段函数的极值研究对于理解这类函数的特性有着至关重要的作用。

其中，对参数的准确把控、多段函数的联合考虑、以及数值计算必须特别关注，以避免出现求解失误。

未来，人们有望在极值研究方面取得更大的进步，在各个领域更好地应用分段函数。

思路探寻分段函数是中学数学中的重要内容之一.含参分段函数问题经常出现在高考试题中.含参分段函数问题侧重于考查分段函数的值域、定义域、单调性等.含参分段函数问题中不仅含有参数，还含有分段函数，因而这类问题通常较为复杂，往往要灵活运用分类讨论思想、方程思想、数形结合思想来辅助解题.下面结合实例探讨一下不同含参分段函数问题的解法.一、含有一个参数的分段函数问题当分段函数含有一个参数时，问题就具有不确定性，参数通常会出现在函数解析式中或区间分界点处，那么参数就会对函数的性质、图象有所影响，此时需运用分类讨论思想，对参数的取值进行分类，讨论每种情形下函数的解析式以及图象的变化情况，进而求得问题的答案.例1.已知函数f (x )={-x 2+ax ,x ≤1,ax -1,x >1,若存在x 1,x 2∈R ，且x 1≠x 2，使得f (x 1)=f (x 2)成立，则实数a 的取值范围为.解：当a =0时，f (x )={-x 2,x ≤1,-1,x >1,f (x )的图象如图1所示，显然满足题意；当a ≠0时，设g (x )=-x 2+ax ，h (x )=ax -1，则g (x )是一个开口朝下的二次函数，其对称轴方程为x =a 2，h (x )是一次函数.当a2≥1，即a ≥2时，f (x )的大致图象如图2所示，显然不存在x 1,x 2∈R ，且x 1≠x 2，使得f (x 1)=f (x 2)成立，故不满足题意；图1图2当0<a 2<1，即0<a <2时，f (x )的大致图象如图3所示，显然存在x 1,x 2∈R ，且x 1≠x 2，使得f (x 1)=f (x 2)成立，故满足题意；当a 2<0，即a <0时，f (x )的大致图象如图4所示，显然存在x 1,x 2∈R ，且x 1≠x 2，使得f (x 1)=f (x 2)成立，故满足题意.综上可知，实数a的取值范围为(-∞,2).图3该分段函数解析式中含参数a ，且函数f (x )在R 上不是单调函数，所以影响本题的两个关键要素是二次函数的对称轴x =a2以及a 的正负，所以我们从这两个要素入手，对参数进行分类讨论，即分a =0、a ≥2、0<a <2、a <0几种情况讨论函数f (x )的图象，并利用数形结合思想讨论f (x 1)=f (x 2)是否成立.例2.已知x ∈R ，函数f (x )={x -4,x ≥λ,x 2-4x +3,x <λ,若函数f (x )恰有两个零点，则实数λ的取值范围为.5xy6o图5图6解：设g (x )=x -4，h (x )=x 2-4x +3，则g (x )的零点为x =4，h (x )的零点为x =1和x =3.当λ<1时，f (x )的大致图象如图5所示，此时f (x )在R 上有1个零点，故不满足题意；易验证当λ=1时，也不满足题意；李喜春47思路探寻当1<λ<3时，f(x)的大致图象如图6所示，此时f(x)在R上有2个零点，故满足题意；易验证当λ=3时，满足题意；当3<λ<4时，f(x)的大致图象如图7所示，此时f(x)在R上有3个零点，故不满足题意；易验证当λ=4时，也不满足题意；当λ>4时，f(x)的大致图象如图8所示，此时f(x)在R上有2个零点，故满足题意.综上可知，实数λ的取值范围为(1,3]⋃(4,+∞).7oo图78由题意可知，两个函数的零点是确定的，即x=1、3、4，三个零点将x轴分成四段，将四种情形下的λ的值分别代入函数式中进行检验，结合两个函数的图象，将数形结合起来，便可顺利解题.在解答含有一个参数的分段函数问题时，要注意关注参数所在的位置，明确参数对函数的影响，进而确定分类标准；然后运用分类讨论思想对每种情形逐一进行讨论；最后综合所得的结果即可.二、含有两个参数的分段函数问题在解答含有两个参数的分段函数问题时，首先不要只画出函数在定义域内的图象，而是要在同一坐标系中画出每一个区间段上的完整的函数图象；再结合图象，对参数进行分析，明确分类的标准，这样一个清晰的解题方案就形成了.例3.已知函数f(x)={(2a-1)x+3a-4,x≤t，x3-x,x>t，若无论t为何值，函数f(x)在R上总不单调，则实数a的取值范围为.解：设g(x)=(2a-1)x+3a-4，h(x)=x3-x，则h′(x)=3x2当x∈(-∞,+∞)时，h′(x)>0；当x时，h′(x)<0，所以函数h(x)在(-∞,和+∞)上单调递增，在上单调递减.当2a-1>0，即a>12时，在同一平面直角坐标系中画出函数g(x)和h(x)的大致图象，如图9所示.观察图象可知始终存在实数t，使得函数f(x)在R上是单调递增函数，故不满足题意；当2a-1=0，即a=12时，在同一平面直角坐标系中画出函数g(x)和h(x)的大致图象，如图10所示.观察图象可知，无论实数t为何值，函数f(x)在R上总不单调，故满足题意；当2a-1<0，即a<12时，在同一平面直角坐标系中画出函数g(x)和h(x)的大致图象，如图11所示.99观察图象可知，无论实数t为何值，函数在R上总不单调，故满足题意.综上可知，实数a的取值范围为(-∞,12].本题中的分段函数解析式中含有参数a，分界点中也含有参数t，两个参数对函数的图象都有影响，对此，需从函数的单调性入手，分别讨论不同情形下，即当2a-1>0、2a-1=0、2a-1<0时，同一个坐标系中两个函数g(x)和h(x)的图象的变化趋势以及单调性.三、含有三个参数的分段函数问题当遇到含有三个参数的分段函数问题时，需对题目条件和参数进行认真的分析，并将抽象的解析式用图象呈现出来，明确参数对函数图象、性质、大小的影响，以确定分类讨论的标准，最终在不断的尝试和分析中确定一个好的方案对问题加以解答.例4.已知函数f(x)={e x+m-1,x≥0，ax+b,x<0，其中m<-1，x1∈R，且对于任意x1≠0，均存在唯一实数x2，使得48思路探寻数列是数学高考的必考内容之一.近几年的高考数学全国卷试题中的数列问题侧重于考查等差和等比数列的通项公式、性质、前n项和公式的应用.求数列和的方法很多，其中错位相减法比较常用.等比数列前n项和的公式Sn=a1(1-q n)1-q(q≠1)就是用错位相减法求得的.如果一个数列的通项公式可以变形为一个等差数列与一个等比的通项公式的乘积，我们就可以用错位相减法求数列的和.错位相减法的运用步骤为：第一步，根据数列的通项公式列出数列的前n项和式，并将其记为①式；第二步，在①式的左右两边同乘以等比数列的公比q，得到②式；第三步，将②式右边的式子与①式右边的错开一位，使q的指数相同的项对齐；第四步，将两式相减，合并同类项，并提取公因式；第五步，构造出等比数列，利用等比数列的前n 项和公式进行求和，并化简.例1.若数列{}a n是以a1为首项，d为公差的等差数列，数列{}b n是以b1为首项，q(q≠1)为公比的等比数列，令c n=a n b n，求数列{}c n的前项和T n.解：T n=a1b1+a2b2+a3b3+⋯+a n−1b n−1+a n，①qTn=a1b1q+a2b2q+a3b3q+⋯+a n−1b n−1q+a n b n q=a1b2+a2b3+a3b4+⋯+a n−1b n+a n b n q，②由①-②得：(1-q)T n=a1b1+d(b2+b3+⋯+b n−1+b n) -a n b n q，当q≠1时，Tn=a1b1+d()b2+b3+⋯+b n−1+b n-a n b n q1-q=a1b1+déëêêùûúúb2()1-q n−11-q-a n b n q1-q周永松。

函数的最值的求解方法
函数最值的求解方法是一种重要的数学运算方法，这种方法可以
帮助研究人员更好地理解变量之间的关系。

在函数的最值求解中，有
三种主要的方法可以使用：极值定理、极限分析和微积分方法。

1. 极值定理：极值定理可以被用来求解函数的最值。

在使用极
值定理之前，必须先明确函数的特征，包括函数的显式表达式，极点
的位置，以及函数的变化规律。

极值定理的主要思想是，将函数的极
点连接起来，然后根据导数的正负性确定函数的最值。

2. 极限分析：极限分析也可以用于求解函数的最值。

这种方法
利用函数的极限结果，通过观察函数随自变量变化时函数的波动范围
來确定函数在某个特定自变量处的最值。

3. 微积分法：微积分法也可以用来求解函数的最值。

微积分法利
用解导数方程的结论，确定函数的最值。

总的来说，上述三种方法都可以用于求解函数的最值，但每种方
法都有一定的缺点。

例如，极值定理要求函数具有较为复杂的表达式
才能有效；极限分析只适用于函数有限的自变量；而微积分方法也要
求函数具有较为复杂的表达式才能有效。

因此，在求解函数的最值时，应该根据函数的具体表达式，以及所采用的求解方法的优势和劣势，
从而选择最合适的方法。

值得强调的是，无论使用何种方法求解函数
的最值，都要牢记函数的特征和规律，以保证函数最值的准确性。

含参的复杂分段函数的最值求解方法探究复杂分段函数一般可以表示为多个函数片段的组合。

每个函数片段通常在一些区间内有不同的定义域和表达式。

求解含参的复杂分段函数的最值可以采用以下方法。

一、通过分段讨论法求解最值1.确定分段函数的定义域和各个函数片段的定义域范围。

2.将整个定义域按照各个函数片段的定义域范围进行划分。

这样，可以将复杂的分段函数划分为多个简单的分段函数。

3.在每个分段函数的定义域内，求解最值。

可以通过绘制函数图像、列出函数表格或者进行函数性质分析等方法来求解。

4.将每个分段函数的最值进行比较，得到整个复杂函数的最值。

二、通过参数化的方式求解最值1.针对含参的复杂分段函数，设置参数的取值范围。

2.将参数作为变量，构建一个含参的函数。

根据参数的取值范围，可以将含参的函数划分为多个函数片段。

3.按照分段讨论法的步骤，在每个函数片段的定义域内求解最值。

4.将每个函数片段的最值与参数的取值进行比较，得到整个含参的复杂分段函数的最值。

三、通过求导数的方式求解最值1.将含参的复杂分段函数进行数学表达。

2.对整个函数进行求导，并求出导函数。

3.对导函数进行求解，得到导函数的极值点。

4.将极值点带入原函数，得到对应的函数值。

通过对比不同区间的函数值，可以确定最大值或最小值的位置。

需要注意的是，对于含参的复杂分段函数，最值求解可能需要结合多种方法进行综合分析。

对于更复杂的分段函数，可能需要借助计算机软件进行辅助求解。

在实际应用中，可以根据具体的函数形式和求解要求，选择合适的方法来解决最值问题。

备战2022高考压轴题解法系列之含参高端函数的分析策略（1）参变分离 【知识与方法储备】1、参变分离：顾名思义，就是在不等式（方程）中含有两个字母时（一个视为变量，另一个视为参数），可利用不等式的等价变形让两个字母分居不等号（等号）的两侧，即不等号（等号）的每一侧都是只含有一个字母的表达式.然后可利用其中一个变量的范围求出另一变量的范围2、如何确定变量与参数：一般情况下，那个字母的范围已知，就将其视为变量，构造关于它的函数，另一个字母（一般为所求）视为参数.3、判断是否可以采用参变分离法，可遵循以下两点原则：（1）已知不等式（方程）中两个字母是否便于进行分离，如果仅通过几步简单变换即可达到分离目的，则参变分离法可行.但有些不等式（方程）中由于两个字母的关系过于“紧密”，会出现无法分离的情形，此时要考虑其他方法.例如：，等；（2）要看参变分离后，已知变量的函数解析式是否便于求出最值（或临界值），若解析式过于复杂而无法求出最值（或临界值），则也无法用参变分离法解决问题. 4、常见三种具体的参变分离思路：（1）直接法参变分离，其基本步骤：第一步、首先对待含参的不等式（方程）问题在能够判断出参数的系数正负的情况下，可以根据不等式（等式）的性质将参数分离出来，得到一个一端是参数，另一端是变量表达式的不等式（等式）；第二步、求出含变量一边的式子的最值；第三步、由此推出参数的取值范围即可得出.简称直接分参求最值（2）分段法参变分离，其基本步骤：第一步、首先对待含参的不等式（方程）问题利用参数的系数正负符号，可以根据不等式（等式）的性质将参数分离出来，得到一个一端是参数，另一端是变量表达式的两个不等式（方程）组；第二步、求出含变量一边的式子的最值；第三步、由此推出参数的取值范围即可得出.简称分段分参求交集3.同构法参变分离，其基本步骤：第一步、可以根据不等式（方程）的性质分离表达式，合理变形得到一个两端是同一函数结构的不等式(形如g(m(x))>g(n(x))等）（方程）；第二步、求出第一步构造函数g(x)的单调性，进而构造m(x)与n(x)的不等式（方程）；第三步、把m(x)与n(x ）的不等式（方程）再用参变分离参变分离处理.简称同构函数再分参 5、常见的参变分离不等式关系表：（假设为自变量，其范围设为，为函数；为参数，为其表达式） （1）若的值域为①，则只需要()()x f a g ,D x <∈∀，则只需要()21log a x x -<111axx e x-+>-x D ()f x a ()g a ()f x [],m M ()(),x D g a f x ∀∈≤()()min g a f x m ≤=()()ming a f x m <=②，则只需要 ，则只需要 ③，则只需要 ，则只需要 ④，则只需要 ，则只需要 （2）若的值域为① ，则只需要，则只需要（注意与（1）中对应情况进行对比） ② ，则只需要，则只需要（注意与（1）中对应情况进行对比） ③ ，则只需要（注意与（1）中对应情况进行对比） ，则只需要④ ，则只需要（注意与（1）中对应情况进行对比） ，则只需要x/k-+w含参的不等式（方程）求参数范围（或者值），优先考虑参变分离，简化结构，优先思路.【常见题型与解法探究】题型一、参变分离与函数可求最值结合【罗师导航】当参数结构单一，参数的系数因数的符号确定时，直接分离参数，另一侧的函数最值可求.【典例1-1】（不等式）已知函数()2ln f x kx x =-，若()0f x >在函数定义域内恒成立，求k 的取值范围．【解析】第一步，参变分离；2ln xk x>在函数定义域内恒成立， 第二步， 设2ln ()x g x x =则442ln (12ln )()0x x x x x g x x e x x '--===∴= ()(),x D g a f x ∀∈≥()()max =g a f x M ≥()(),x D g a f x ∀∈>()()max =g a f x M >()(),x D g a f x ∃∈≤()()max g a f x M ≤=()(),x D g a f x ∃∈<()()max g a f x M <=()(),x D g a f x ∃∈≥()()min g a f x m ≥=()(),x D g a f x ∃∈>()()min g a f x m >=()f x (),m M ()(),x D g a f x ∀∈≤()g a m ≤()(),x D g a f x ∀∈<()g a m ≤()(),x D g a f x ∀∈≥()g a M ≥()(),x D g a f x ∀∈>()g a M ≥()(),x D g a f x ∃∈≤()g a M <()(),x D g a f x ∃∈<()g a M <()(),x D g a f x ∃∈≥()g a m >()(),x D g a f x ∃∈>()g a m >所以易得max 1()2g x e=第三步，得出结论：12k e>故选D ． 【典例1-2】（方程）已知函数2()(1)()f x xlnx a x a R =+-∈．若()0f x =在(0,)+∞内有两个不相等的实数根，求实数a 的取值范围．【解答】()0f x =在(0,)+∞内有两个不相等的实数根，即为1lnxa x-=在0x >有两个不等实根，可令()lnxg x x=，则21()lnx g x x -'=，由x e >可得()0g x '<，()g x 递减；当0x e <<时，()0g x '>，()g x 递增，可得()g x 的最大值为g （e ）1e =，由()g x 的图象可得101a e<-<，即有111a e-<<．【能力达标训练】【1-1】已知函数21()2f x x alnx =-在(0,)+∞无零点，则实数a 的取值范围为( ) A ．(0,)eB ．[0，)eC ．[0，]eD ．(0，)(e e ⋃，)+∞【分析】函数21()2f x x alnx =-在(0,)+∞无零点，可转化为22x a lnx =无正实数根，研究函数2()2x g x lnx=的值域，a 只要在值域之外取值即可． 【解答】函数21()2f x x alnx =-在(0,)+∞无零点，显然1x =不是函数()f x 的零点．故问题可转化为22x a lnx =无正实数根，令2()2x g x lnx=，(0,1)x x >≠，221()422()4x lnx xlnx x g x ln x ln x --'==，令()0g x '=得x e =(0x ，1)(1⋃e 时，()0g x '<，故()g x 在)e 上递减；当(,)x e ∈+∞时，()0g x '>，()g x 递增．又0x →时，()0g x →；1(1)x x →<时，()g x →-∞；1(1)x x →>时，()g x →+∞．()g e e =；x →+∞，()g x →+∞．作出函数()g x 与y a=的图象：可知，当y a =介于x 轴（包括x 轴）与点(,)e e 之间时，原函数在(0,)+∞上无零点． 故0a e <即为所求．故选：B ． 亦可几何分参【1-2】已知函数()(1)x f x e a x =++，若函数()f x 有两个零点，求a 的取值范围． 【解答】()x f x e a '=+．（1）当0a ，()0f x '>，函数()f x 在(,)-∞+∞上单调递增；当0a <时，令()0f x '=得()x ln a =-，当(x ∈-∞，())ln a -时，()0f x '< 当(()x ln a ∈-，)+∞时，()0f x '>，故()f x 在(-∞，())ln a -上单调递减， 在(()ln a -，)+∞上单调递增，综上，当0a 时，()f x 在(,)-∞+∞上单调递增；当0a <时，()f x 在(-∞，())ln a -上单调递减，在(()ln a -，)+∞上单调递增．（2）由（1）可知，当0a 时，()f x 在(,)-∞+∞上单调递增，没有两个零点0． 当0a <时，()x ln a =-为()f x 的唯一极小值点，故()()(())(()1)()ln a min f x f ln a e a ln a aln a -=-=+-+=-若函数()f x 有两个零点，则()0min f x <，即()0aln a -<，得1a <-，当1a <-时，()0ln a ->，因为1(1)0f e-=>，(())0f ln a -<，所以()f x 在(-∞，())ln a -有一个零点，当x →+∞，()f x →+∞，故存在0(()x ln a ∈-，)+∞，使0()0f x >， 所以()f x 在(()ln a -，)+∞有一个零点，所以a 的取值范围值是(,1)-∞-． 亦可几何分参 【1-3】已知不等式012ln >+-ax x 对任意[]2,1∈x 恒成立，求实数a 的取值范围．方法一：（数形结合法） 012ln ＞+-ax x ⇒ax x 21ln >+,令1ln )(+=x x g ,ax x h 2)(=.)2()2()1()1(h g h g ＞且＞∴,得412ln +＜a 。

函数的极值与最值求解的方法和步骤在数学中，函数的极值与最值是研究函数性质的重要内容之一。

通过求解函数的极值与最值，我们可以找到函数的最高点和最低点，从而更好地理解函数的特性。

本文将介绍一些常见的方法和步骤，帮助读者更好地理解和应用这一概念。

一、函数的极值与最值的定义在开始讨论求解方法之前，我们首先需要明确函数的极值与最值的概念。

对于定义在某个区间上的函数f(x)，如果存在一个点c，使得在c的邻域内，对于任意的x都有f(x)≤f(c) 或f(x)≥f(c)，那么我们称c为函数f(x)的极值点。

如果函数在整个定义域上的极值点中有一个最大值或最小值，那么我们称之为函数的最值。

二、求解函数极值与最值的方法1. 导数法导数法是求解函数极值与最值的常用方法之一。

通过求解函数的导数，我们可以找到函数的极值点。

具体步骤如下：（1）求出函数f(x)的导函数f'(x)；（2）解方程f'(x)=0，求得函数的驻点；（3）通过二阶导数判别法，判断驻点是极大值点还是极小值点；（4）将驻点代入原函数f(x)，求得函数的极值。

2. 区间法区间法是一种直观且易于理解的方法。

通过将函数在给定区间内的所有值进行比较，我们可以找到函数的最大值和最小值。

具体步骤如下：（1）确定函数f(x)的定义域；（2）将定义域分成若干个子区间；（3）在每个子区间内求出函数的值，并进行比较；（4）找出子区间中的最大值和最小值，即为函数的最值。

3. Lagrange乘数法Lagrange乘数法是一种用于求解约束条件下的极值问题的方法。

当我们需要求解函数在一定条件下的最值时，Lagrange乘数法可以帮助我们进行求解。

具体步骤如下：（1）建立拉格朗日函数L(x,y,...,λ)=f(x,y,...)-λg(x,y,...)，其中f(x,y,...)为目标函数，g(x,y,...)为约束条件；（2）对拉格朗日函数求偏导数，得到一组方程；（3）求解方程组，得到函数的驻点；（4）通过二阶导数判别法，判断驻点是极大值点还是极小值点；（5）将驻点代入原函数f(x,y,...)，求得函数的极值。

考点4 分段函数以及应用一、 知识储备汇总与命题规律展望1.知识储备汇总:（1）分段函数概念：若函数在其定义域的不同子集上，因对应关系不同而分别用几个不同的式子来表示，这种函数称为分段函数.（2）分段函数定义域与值域：分段函数的定义域等于各段函数的定义域的并集，其值域等于各段函数的值域的并集，分段函数虽由几个部分组成，但它表示的是一个函数.（3）分段函数的图像：分段函数有几段它的图像就由几条曲线组成,作图的关键就是根据每段函数的定义区间和表达式在同一坐标系中作出其图像，作图时要注意每段曲线端点的虚实，而且横坐标相同之处不可有两个以上的点。

（4）分段函数的求值：先确定要求值的自变量属于哪一段区间，然后按该段的表达式去求值，直到求出值为止.（5）分段函数的奇偶性：先看定义域是否关于原点对称，不对称就不是奇（偶）函数，再由x >0,x -<0 ,分别代入各段函数式计算)(x f 与)(x f -的值，若有)(x f =)(x f --,当x =0有定义时0)0(=f ，则)(x f 是奇函数；若有f(x)=)(x f -，则)(x f 是偶函数.（6）分段函数的单调性：分别判断出各段函数在其定义区间的单调性结合图象处理分段函数的问题.（7）分段函数的周期性：对分段函数的周期性问题，利用周期函数定义、性质或图像进行判定或解决.（8）分段函数求值：先确定要求值的自变量属于哪一段区间，然后按该段的表达式去求值，直到求出值为止.（9）分段函数的最值：先求出每段函数的最值，再求这几个最值的最值，或利用图像求最值.（10）求分段函数某条件下自变量的范围：先假设所求的解在分段函数定义域的各段上，然后相应求出在各段定义域上的范围，再求它们并集即可.（11）分段函数的不等式问题：利用分类整合思想，化为若干个不等式组问题，解出各个不等式组的解集，其并集就是所求不等式的解集.（12）分段函数的解析式：利用待定系数法，求出各段对应函数的解析式，写成分段函数形式，每个解析式后边标上对应的范围.2.命题规律展望：分段函数是高考考查的重点和热点，主要考查分段函数求值、分段函数值域与最值、分段函数的图像与性质、分段函数方程、分段函数不等式等，考查分类整合、转化与化归、函数与方程、数形结合等数学思想与方法，考题多为选择填空题，难度为容易或中档题.将本考点近五年内的命题规律从题型、考题类型、难度、分值等方面作以总结，对今后考题规律作以展望.二、题型与相关高考题解读 1.分段函数求值1.1考题展示与解读例1.（2017山东文9）设()()121,1x f x x x <<=-≥⎪⎩,若()()1f a f a =+,则1f a ⎛⎫= ⎪⎝⎭（ ） A. 2 B. 4 C. 6 D. 8【命题意图探究】本题考查了分段函数求值及分类整合思想是中档试题. 【答案】C【解析】由1x ≥时()()21f x x =-是增函数可知,若1a ≥,则()()1f a f a ≠+,所以01a <<,由()(+1)f a f a =2(11)a =+-,解得14a =,则1(4)2(41)6f f a ⎛⎫==-= ⎪⎝⎭,故选C. 【解题能力要求】分析问题能力、分类整合思想【方法技巧归纳】求分段函数的函数值,首先要确定自变量的范围,然后选定相应关系式代入求解；当给出函数值或函数值的取值范围求自变量的值或自变量的取值范围时,应根据每一段解析式分别求解,但要注意检验所求自变量的值或取值范围是否符合相应段的自变量的值或取值范围． 1.2【典型考题变式】1.【变式1：改编条件】已知函数)(x f =⎩⎨⎧≥+-<<+2,8220,2x x x x x ，若)2()(+=a f a f ，则)1(a f =（ ）A.165 B. 2 C.6 D.217【答案】B【解析】由2x ≥时()28f x x =-+是减函数可知,若2a ≥,则()()2f a f a ≠+,所以02a <<,由()(+2)f a f a =得22(2)8a a a +=-++,解得1a =,则21(1)112f f a ⎛⎫==+= ⎪⎝⎭,故选B.2. 【变式2：改编结论】设()()121,1x f x x x <<=-≥⎪⎩,若()12f a =,则a = （ ）B.41 B. 45 C. 41或45D. 2【答案】C【解析】由题意知，⎪⎩⎪⎨⎧=<<2110a a 或⎪⎩⎪⎨⎧=-≥21)1(21a a ，解得14a =或45=a ，故选C【变式3：改编问法】已知f （x ）是R 上的奇函数，且f （x ）=，则f （﹣）=（ ）A ．B ．C ．1D ．﹣1【答案】C ．【解析】∵f （x ）是R 上的奇函数，且f （x ）=，则f （﹣）=﹣f （）=﹣f （）=﹣log 2=1，故选C ．【变式4：函数迭代】已知a ∈R ，函数()24,2,3, 2.x x f x x a x ⎧->⎪=⎨-+≤⎪⎩若3f f ⎡⎤=⎣⎦，则a = ． 【答案】2【分析】由题意结合函数的解析式得到关于a 的方程，解方程可得a 的值．【解析】()()642233f ff f a ⎡⎤=-==-+=⎣⎦，故2a =，故答案为：2． 2.分段函数的最值与值域2.1考题展示与解读例2【2016年高考北京理数】设函数33,()2,x x x a f x x x a⎧-≤=⎨->⎩.①若0a =，则()f x 的最大值为______________； ②若()f x 无最大值，则实数a 的取值范围是________.【命题意图探究】本题主要考查分段函数的最值及分类整合思想、数形结合思想. 【答案】2，(,1)-∞-.【解析】如图作出函数3()3g x x x =-与直线2y x =-的图象，它们的交点是(1,2)A -，(0,0)O ，(1,2)B -，由2'()33g x x =-，知1x =-是函数()g x 的极大值点，①当0a =时，33,0()2,0x x x f x x x ⎧-≤=⎨->⎩，因此()f x 的最大值是(1)2f -=；②由图象知当1a ≥-时，()f x 有最大值是(1)2f -=；只有当1a <-时，由332a a a -<-，因此()f x 无最大值，∴所求a 的范围是(,1)-∞-，故填：2，(,1)-∞-．【解题能力要求】分类整合思想、数形结合思想、运算求解能力.【方法技巧归纳】先根据各段函数的图象与性质求出各段函数在相应区段上的值域，这些值域的并集就是函数的值域. 2.2【典型考题变式】 【变式1：改编条件】设函数的最小值是1，则实数a 的取值范围是（ ）A ．（﹣∞，4]B ．[4，+∞）C ．（﹣∞，5]D ．[5，+∞） 【答案】B【解析】由题知，当x ＜1时，f （x ）=x 2﹣4x+a=（x ﹣2）2+a ﹣4，且为减函数，可得f （x ）＞f （1）=a ﹣3，由x≥1时，f （x ）递增，可得f （x ）的最小值为f （1）=1，由题意可得a ﹣3≥1，即a≥4，故选B ．【变式2：改编结论】设函数33,()2,x x x a f x x x a⎧-≤=⎨->⎩，讨论)(x f 的值域.【答案】当1-<a 时，函数)(x f 的值域为)2,(a --∞； 当21≤≤-a 时，所以函数)(x f 的值域为]2,(-∞； 当2>a 时，所以函数)(x f 的值域为]3,(3a a --∞.【解析】如图作出函数3()3h x x x =-与直线2y x =-的图象，它们的交点是(1,2)A -，(0,0)O ，(1,2)B -，由2'()33h x x =-，知1x =-是函数()h x 的极大值点，1=x 是函数()h x 的极小值点，当1-<a 时，函数x x y 33-=在],(a -∞上的值域为]3,(3a a --∞，函数x y 2-=在),(∞a 上的值域为)2,(a --∞，因为)2(33a a a --- =0)1)(1(<-+a a a ，所以a a a 233-<-，所以函数)(x f 的值域为)2,(a --∞；当21≤≤-a 时，函数x x y 33-=在],(a -∞上的值域为]2,(-∞，函数x y 2-=在),(∞a 上的值域为)2,(a --∞，因为22≤-a ，所以函数)(x f 的值域为]2,(-∞；当2>a 时，函数x x y 33-=在],(a -∞上的值域为]3,(3a a --∞，函数x y 2-=在),(∞a 上的值域为)2,(a --∞，因为a a a 323-<-，所以函数)(x f 的值域为]3,(3a a --∞；综上所述，当1-<a 时，函数)(x f 的值域为)2,(a --∞； 当21≤≤-a 时，所以函数)(x f 的值域为]2,(-∞； 当2>a 时，所以函数)(x f 的值域为]3,(3a a --∞.【变式3：改编问法】已知函数f （x ）=，函数g （x ）=asin （x ）﹣2a+2（a ＞0），若存在x 1，x 2∈[0，1]，使得f （x 1）=g （x 2）成立，则实数a 的取值范围是（ ） A ．[﹣，1] B ．[，] C ．[，] D ．[，2] 【答案】B【解析】当x ∈[0，]时，y=﹣x ，值域是[0，]；x ∈（，1]时，y=，y′=＞0恒成立，故为增函数，值域为（，1]．则x ∈[0，1]时，f （x ）的值域为[0，1]，当x ∈[0，1]时，g （x ）=asin （x ）﹣2a+2（a ＞0），为增函数，值域是[2﹣2a ，2﹣]，∵存在x 1、x 2∈[0，1]使得f （x 1）=g （x 2）成立，∴[0，1]∩[2﹣2a ，2﹣]≠∅，若[0，1]∩[2﹣2a ，2﹣]=∅，则2﹣2a ＞1或2﹣＜0，即a ＜，或a ＞．∴a 的取值范围是[，]，故选B ．3.分段函数的解析式3.1考题展示与解读例3．（2021年高考天津卷9）设a ∈R ，函数()()()22cos 22,,215,x a x a f x x a x a x aπ-π<⎧⎪=⎨-+++≥⎪⎩，若函数()f x 在区间()0,+∞内恰有6个零点，则a 的取值范围是 （ ）A ．95112,,424⎛⎤⎛⎤ ⎥⎥⎝⎦⎝⎦ B ．7511,2,424⎛⎤⎛⎤ ⎥⎥⎝⎦⎝⎦ C ．9112,,344⎛⎤⎡⎫ ⎪⎥⎢⎝⎦⎣⎭ D ．711,2,344⎛⎫⎡⎫⎪⎪⎢⎝⎭⎣⎭【解题能力要求】本题主要考查分段函数、函数零点、数形结合思想、转化与化归思想，是难题. 【答案】A【分析】由()222150x a x a -+++=最多有2个根，可得()cos 220x a π-π=至少有4个根，分别讨论当x a <和x a ≥时两个函数零点个数情况，再结合考虑即可得出． 【解析】()222150x a x a -+++=最多有2个根，()cos 220x a ∴π-π=至少有4个根，由22,2x a k k ππ-π=+π∈Z 可得1,24k x a k =++∈Z ，由1024k a a <++<可得11222a k --<<-． （1）x a <时，当15242a -≤--<-时，()f x 有4个零点，即7944a <≤；当16252a -≤--<-，()f x 有5个零点，即91144a <≤；当17262a -≤--<-，()f x 有6个零点，即111344a <≤．（2）当x a ≥时，()()22215f x x a x a =-+++，()()()22Δ414582a a a =+-+=-，当2a <时，∆<0，()f x 无零点；当2a =时，0∆=，()f x 有1个零点； 当2a >时，令()()22215250f a a a a a a =-+++=-+≥，则522a <≤，此时()f x 有2个零点；∴若52a >时，()f x 有1个零点．综上，要使()f x 在区间()0,+∞内恰有6个零点，则应满足7944522a a ⎧<≤⎪⎪⎨⎪<≤⎪⎩或91144522a a a ⎧<≤⎪⎪⎨⎪=>⎪⎩或或1113442a a ⎧<≤⎪⎨⎪<⎩，则可解得a 的取值范围是95112,,424⎛⎤⎛⎤ ⎥⎥⎝⎦⎝⎦．【点睛】关键点睛：解决本题的关键是分x a <和x a ≥两种情况分别讨论两个函数的零点个数情况． 【方法技巧归纳】较复杂的函数零点个数问题，常转化为对应方程解得个数问题，再通过移项、局部分离等方法转化为两边都是熟悉函数的方程解得个数问题，再转化为这两个函数的交点个数问题，画出对应函数的函数的图象，利用数形结合思想求解. 3.2【典型考题变式】【变式1：改变条件】已知函数()()22,2,2,2,x x f x x x ⎧-≤⎪=⎨->⎪⎩ 函数()()2g x b f x =-- ，其中b R ∈，若函数()()y f x g x =- 恰有4个零点，则b 的取值范围是( ) （A ）7,4⎛⎫+∞⎪⎝⎭ （B ）7,4⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭ （C ）70,4⎛⎫ ⎪⎝⎭ （D ）7,24⎛⎫⎪⎝⎭【答案】D【解析】由()()22,2,2,2,x x f x x x -≤⎧⎪=⎨->⎪⎩得222,0(2),0x x f x x x --≥⎧⎪-=⎨<⎪⎩， 所以222,0()(2)42,0222(2),2x x x y f x f x x x x x x x ⎧-+<⎪=+-=---≤≤⎨⎪--+->⎩， 即222,0()(2)2,0258,2x x x y f x f x x x x x ⎧-+<⎪=+-=≤≤⎨⎪-+>⎩()()()(2)y f x g x f x f x b =-=+--,所以()()y f x g x =-恰有4个零点等价于方程()(2)0f x f x b +--=有4个不同的解，即函数y b =与函数()(2)y f x f x =+-的图象的4个公共点，由图象可知724b <<.【变式2：改编条件】已知函数f（x）=，函数g（x）=f（1﹣x）﹣kx+k恰有三个不同的零点，则k的取值范围是（）A．（﹣2]∪{}B．（﹣2+，0]∪{}C．（﹣2]∪{}D．（﹣2+，0]∪{}【答案】D【解答】函数f（x）=，可得f（1﹣x）=，函数g（x）=f（1﹣x）﹣kx+k恰有三个不同的零点，即为f（1﹣x）=kx﹣k+有三个不同的实根，作出y=f（1﹣x）和y=kx﹣k+的图象，当直线y=kx﹣k+与曲线y=（x≤1）相切于原点时，即k=时，两图象恰有三个交点；当直线y=kx﹣k+与曲线y=（x﹣2）2（1＜x＜2）相切，设切点为（m，n），可得切线的斜率为k=2（m﹣2），且km﹣k+=（m﹣2）2，解得m=1+，k=﹣2，即﹣2＜k≤0时，两图象恰有三个交点；综上可得，k的范围是（﹣2，0]∪{}，故选D．【变式3：改编结论】已知函数()()22,2,2,2,x x f x x x ⎧-≤⎪=⎨->⎪⎩ 函数()()2g x b f x =-- ，其中b R ∈，若方程()()=0f x g x - 恰有2个不同的解，则b 的取值范围是( ) （A ）()72,{}4+∞⋃ （B ）()2,+∞ （C ）70,4⎛⎫ ⎪⎝⎭ （D ）7,24⎛⎫ ⎪⎝⎭【答案】A【解析】由()()22,2,2,2,x x f x x x -≤⎧⎪=⎨->⎪⎩得222,0(2),0x x f x x x --≥⎧⎪-=⎨<⎪⎩， 所以222,0()(2)42,0222(2),2x x x y f x f x x x x x x x ⎧-+<⎪=+-=---≤≤⎨⎪--+->⎩， 即222,0()(2)2,0258,2x x x y f x f x x x x x ⎧-+<⎪=+-=≤≤⎨⎪-+>⎩()(2)0f x f x b +--=有2个不同的解，即函数y b =与函数()(2)y f x f x =+-的图象的4个公共点，由图象可知2b >或47=b ，故选.A.【变式4：改编问法】已知)(x f 是定义在R 上的奇函数，当0≥x 时，)(x f =x x 42-，则方程2)(-=x x f 解的个数为 . 【答案】3【解析】当0<x 时，0>-x ，所以x x x f 4)()(2+-=-，因为)(x f 是定义在R 上的奇函数，所以)()(x f x f -=-=x x 42+，所以x x x f 4)(2--=，所以⎪⎩⎪⎨⎧≥-<--=0,404)(22x x x x x x x f ，，所以2)()(+-=x x f x g =⎪⎩⎪⎨⎧≥+-<+--0,250,2522x x x x x x ，由)(x g y =的图象知，)(x g y =有3个零点，所以方程2)(-=x x f 解的个数为3.4.分段函数图像4.1考题展示与解读例4．（2021高考上海卷14）已知参数方程[]334,1,12x t t t y ⎧=-⎪∈-⎨=⎪⎩，下列选项的图中，符合该方程的是 （ ）【答案】B【解析】当0,0,0,t x y ===∴过原点，排除A ；当1t =时1,0x y =-=，排除C 和D ；当31230,340,0,,22x t t t t t =-===-=时，1230,,22y y y ==-=，故选B ． 4.2【典型考题变式】【变式1：改编条件】已知函数f （x ）=，g （x ）=f （x ）+x +a ．若g （x ）存在2个零点，则a的取值范围是（ ） A ．[﹣1，0）B ．[0，+∞）C ．[﹣1，+∞）D ．[1，+∞）【命题意图探究】本题主要考查利用分段函数图像解含参数函数零点问题，是难题. 【答案】C【解析】由g （x ）=0得f （x ）=﹣x ﹣a ，作出函数f （x ）和y =﹣x ﹣a 的图象如图，当直线y =﹣x ﹣a 的截距﹣a ≤1，即a ≥﹣1时，两个函数的图象都有2个交点，即函数g （x ）存在2个零点，故实数a 的取值范围是[﹣1，+∞），故选C ．【解题能力要求】数形结合思想、转化思想、分类整合思想、运算求解能力【方法技巧归纳】一般不等式恒成立求参数1.可以选择参变分离的方法，转化为求函数最值的问题；2.也可以画出两边的函数图象，根据临界值求参数取值范围；3.也可转化为()0F x >的问题，转化讨论求函数的最值求参数的取值范围.【变式2：改编条件】已知函数()22,0,{ ,0x x f x x x ≤=>，若函数()()()1g x f x k x =--恰有两个零点，则实数k 的取值范围是A. ()(),14,-∞-⋃+∞B. ][(),14,-∞-⋃+∞ C. [)()1,04,-⋃+∞ D. [)[)1,04,-⋃+∞【答案】C【解析】()()()1g x f x k x =--恰有两个零点，等价于()y f x =与()1y k x =-有两个交点，同一坐标系，画出()y f x =与()1y k x =-的图象，直线过()0,1时， 1k =-，直线与()20y xx =≥，相切时4k =，由图知， [)()1,04,k ∈-⋃+∞时，两图象有两交点，即k 的取值范围是[)()1,04,-⋃+∞，故选C.【变式3：改编结论】已知函数||2,1,()2, 1.x x f x x x x +<⎧⎪=⎨+≥⎪⎩，则函数||)(x x f y -=零点个数为 （ ） （A ）0 （B ）1 （C ）2 （D ）3 【答案】A【解析】函数||)(x x f y -=零点个数，即为方程||)(x x f =解得个数，即为函数)(x f y =与函数||x y =交点个数，画出函数()f x 的图象与函数||x y =，由图像知，函数)(x f y =与函数||x y =交点个数0， 所以函数||)(x x f y -=零点个数为0，故选A.【变式4：改编问法】已知函数，则函数f (x )的图象是（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】D 【解析】函数，当x ＜0时，函数是二次函数，开口向下，对称轴为x=﹣1，排除选项B ，C ；当x≥0时，是指数函数向下平移1单位，排除选项A ，故选D ．5.分段函数性质5.1考题展示与解读例5【2016高考天津理数】已知函数f （x ）=2(4,0,log (1)13,03)a x a x a x x x ⎧+<⎨++≥-+⎩（a >0,且a ≠1）在R 上单调递减，且关于x 的方程|()|2f x x =-恰好有两个不相等的实数解，则a 的取值范围是（ ）（A ）（0，23] （B ）[23，34] （C ）[13，23]{34}（D ）[13，23）{34}【命题意图探究】本题主要考查分段函数的性质及函数方程解的个数问题，考查数形结合思想、运算求解能力，是中档题. 【答案】C【解析】由()f x 在R 上递减可知43020131a a a -⎧-≥⎪⎪<<⎨⎪≥⎪⎩，解得1334a ≤≤，由方程|()|2f x x =-恰好有两个不相等的实数解，可知132,12a a ≤-≤，1233a ≤≤，又∵34a =时，抛物线2(43)3y x a x a =+-+与直线2y x =-相切，也符合题意，∴实数a 的去范围是123[,]{}334，故选C.【解题能力要求】数形结合思想、分类整合思想、运算求解能力. 【方法技巧归纳】已知函数有零点求参数取值范围常用的方法和思路(1)直接法：直接根据题设条件构建关于参数的不等式，再通过解不等式确定参数范围； (2)分离参数法：先将参数分离，转化成求函数值域问题加以解决；(3)数形结合法：先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中，画出函数的图象，然后数形结合求解． 5.2【典型考题变式】【变式1：改编条件】已知函数f （x ）=在定义域（﹣∞，+∞）上是单调增函数，则实数a 的取值范围是（ ） A ．（﹣∞，] B ．[，+∞）C ．[，]D ．（，）【答案】C【解析】由于函数f （x ）=在定义域（﹣∞，+∞）上是单调增函数，2a≥e ﹣a ，解得a≥．排除A ，D ，当a=2时，x=1可得e x ﹣2x 2=e ﹣2；2a+lnx=4＞e ﹣2，显然不成立，排除B ，故选C ．【变式2：改编结论】已知()2243,0,23,0,x x x f x x x x ⎧-+≤=⎨--+>⎩不等式()()2f x a f a x +>-在上恒成立，则实数的取值范围是（ ） A. B.C.D.【答案】A【解析】二次函数243x x -+的对称轴是2x =，所以该函数在(],0-∞上单调递减； 2433x x ∴-+≥，同样可知函数223x x --+， 2233x x ∴--+<，在()0,+∞上单调递减， ()f x ∴在R 上单调递减，；，所以由()()2f x a f a x +>-得到2x a a x +<-，即2x a < , 2x a ∴<在[],1a a +上恒成立，()21;2a a a ∴+<∴<-，所以实数a 的取值范围是(),2-∞-，故选A.【变式3：改编问法】已知函数则下列结论错误的是（ ）A ．f （x ）不是周期函数B ．f （x ）在上是增函数C ．f （x ）的值域为[﹣1，+∞）D ．f （x ）的图象上存在不同的两点关于原点对称 【答案】D 【解析】函数的图象如图所示，则f （x ）不为周期函数，A 正确；f （x ）在[﹣，+∞）递增，B 正确；f （x ）的最小值为﹣1，无最大值，则C 正确；由于x ＜0时，f （x ）=sinx ，与原点对称的函数为y=sinx （x ＞0），而sinx=x 在x ＞0无交点，则D 不正确，故选D ．6.分段函数的综合应用6.1考题展示与解读例2【2018全国卷Ⅰ】设函数2,0()1,0-⎧=⎨>⎩≤x x f x x ，则满足(1)(2)+<f x f x 的x 的取值范围是（ ）A ．(,1]-∞-B ．(0,)+∞C ．(1,0)-D ．(,0)-∞【命题意图探究】本题主要考查分段函数不等式及分类整合思想，是中档题. 【答案】D【解析】当0x ≤时，函数()2xf x -=是减函数，则()(0)1f x f =≥，作出()f x 的大致图象如图所示，结合图象可知，要使(1)(2)+<f x f x ，则需102021x x x x +<⎧⎪<⎨⎪<+⎩或1020x x +⎧⎨<⎩≥，所以0x <，故选D ．【解题能力要求】分类整合思想、运算求解能力.【方法技巧归纳】分段函数的不等式问题：利用分类整合思想，化为若干个不等式组问题，解出各个不等式组的解集，其并集就是所求不等式的解集.6.2【典型考题变式】【变式1：改编条件】已知函数f （x ）=，则不等式f （x+2）＜f （x 2+2x ）的解集是（ ）A ．（﹣2，1）B ．（0，1）C ．（﹣∞，﹣2）∪（1，+∞）D ．（1，+∞）【答案】C【解析】函数f （x ）=，可得x≥0，f （x ）递增；x ＜0时，f （x ）递增；且x=0时函数连续，则f （x ）在R 上递增，不等式f （x+2）＜f （x 2+2x ），可化为x+2＜x 2+2x ，即x 2+x ﹣2＞0，解得x ＞1或x ＜﹣2，则原不等式的解集为（﹣∞，﹣2）∪（1，+∞），故选C ．【变式2：改编结论】．已知函数(),0{2,lnx x e f x lnx x e<≤=->，若正实数,,a b c 互不相等，且()()()f a f b f c ==，则abc 的取值范围为（ ）A. ()2,e eB. ()21,e C. 1,e e ⎛⎫ ⎪⎝⎭ D. 21,e e⎛⎫ ⎪⎝⎭【答案】A【解析】作出)(x f 的图像，不妨设c b a <<，由图知，201a b e c e <<<<<<,由题知，|ln ||ln |b a =，即b a ln ln =-，所以0)ln(ln ln ==+ab b a ，所以ab =1,则c abc =),(2e e ∈,故选A.【变式3：改编问法】已知函数f （x ）=，函数y=f （x ）﹣a 有四个不同的零点，从小到大依次为x 1，x 2，x 3，x 4，则x 1x 2+x 3x 4的取值范围为（ ） A ．[4，5） B ．（4，5] C ．[4，+∞） D ．（﹣∞，4]【答案】A【解析】当x ＞0时，f （x ）=x+﹣3≥2﹣3=1，可得f （x ）在x ＞2递增，在0＜x ＜2处递减，由f（x ）=e，x≤0，当x ＜﹣1时，f （x ）递减；﹣1＜x ＜0时，f （x ）递增，可得x=﹣1处取得极小值1，作出f （x ）的图象，以及直线y=a ，可得e=e=x 3+﹣3=x 4+﹣3，即有x 1+1+x 2+1=0，可得x 1=﹣2﹣x 2，﹣1＜x 2≤0，x 3﹣x 4=﹣=，可得x 3x 4=4，x 1x 2+x 3x 4=4﹣2x 2﹣x 22=﹣（x 2+1）2+5，在﹣1＜x 2≤0递减，可得所求范围为[4，5），故选A ．三、课本试题探源必修1 P39页习题1.3 A 第6题：已知函数)(x f 是定义域在R 上的奇函数，当0≥x 时，)(x f =)1(x x +.画出函数)(x f 的图象，并求出函数的解析式.【解析】当0<x 时，0>-x ，所以)1()(x x x f --=-， 因为函数)(x f 是定义域在R 上的奇函数， 所以)1()()(x x x f x f --=-=-， 所以)1()(x x x f -=， 所以函数的解析式⎩⎨⎧≥+<-=0),1(0),1()(x x x x x x x f ，函数图象如下图所示：四．典例高考试题演练一、单选题1．（2021·四川成都零模（文））已知函数2log (2),1()e ,1xx x f x x -<⎧=⎨≥⎩则(2)(ln 4)f f -+=（ ） A ．2 B ．4C ．6D ．8【答案】C 【分析】分别求出()2f -和()ln 4f 的值再求它们的和，从而可得正确的选项. 【详解】()22log 42f -==，()ln4ln 44f e ==，故(2)(ln 4)6f f -+=，故选：C. 【点睛】易错点睛：本题考查分段函数的函数值的计算，注意根据自变量的大小选择合适的解析式来计算，本题属于基础题.2．（2021·四川射洪模拟（理））定义函数()[[]]f x x x =，其中[]x 表示不超过x 的最大整数，例如：[1.3]1=，[ 1.5]2-=-，[2]2=.当*[))0,(x n n N ∈∈时，()f x 的值域为n A .记集合n A 中元素的个数为n a ，则2020211i i a =-∑的值为（ ） A ．40402021B ．20192021C ．20192020D ．20191010【答案】D【分析】先根据条件分析出当[)0,x n ∈时，集合n A 中的元素个数为222n n n a -+=，进而可得111211n a n n ⎛⎫=- ⎪--⎝⎭，再结合裂项相消法进行求和可得结果. 【详解】因为[][)[)[)[)0,0,11,1,22,2,3......1,1,x x x x n x n n ⎧∈⎪∈⎪⎪=∈⎨⎪⎪-∈-⎪⎩，所以[][)[)[)()[)0,0,1,1,22,2,3......1,1,x x x x x x x n x x n n ⎧∈⎪∈⎪⎪=∈⎨⎪⎪-∈-⎪⎩，所以[]x x 在各个区间中的元素个数分别为：1,1,2,3,4,......,1n -，所以当[)*0,,x n n N ∈∈时，()f x 的值域为n A ，集合n A 中元素个数为：()()2121123 (1122)n n n n n a n --+=+++++-=+=，所以()1112211n n a n n ⎛⎫=-≥ ⎪--⎝⎭， 所以2020211111112019212...22112232019202020201010i ia =⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-++-=-= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭∑，故选：D. 3．（2021·山东高三其他模拟）已知函数1,(1)()(2)3,(1)x a x f x a x a x -⎧<=⎨-+≥⎩，满足对任意12x x ≠，都有1212()()0f x f x x x -<-成立，则a 的取值范围是（ ）A ．()0,1a ∈B ．3,14a ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭C ．30,4a ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦D ．3,24a ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭【答案】C 【分析】 将条件()()12120f x f x x x -<-等价于函数函数()f x 为定义域上的单调减函数，由分段函数的单调性要求，结合指数函数、一次函数的单调性得到关于a 的不等式组，求解即得. 【详解】由题意，函数()f x 对任意的12x x ≠都有()()12120f x f x x x -<-成立，即函数1,(1)()(2)3,(1)x a x f x a x a x -⎧<=⎨-+≥⎩为R 上的减函数，可得0120,123a a a a<<⎧⎪-<⎨⎪≥-+⎩解得304a <≤，故选:C.4．（2021·江苏南京模拟（理））我们知道，任何一个正实数N 都可以表示成10110,()n N a a n Z =⨯≤<∈.定义：(),00,0N n W N N n ≥⎧⎨<⎩的整数部分的位数＝的非有效数字的个数，如()()()2211.2103,(1.2310)2,3102, 3.001101W W W W --⨯=⨯=⨯=⨯=，则下列说法错误的是（ ）A ．当1,1M N >>时，()()()W M N W M W N ⋅=+B ．当0n <时，()W N n =-C ．当0,()1n W N n >=+D ．若1002,lg 20.301N ≈＝，则()31W N = 【答案】A【分析】A ．理解()W N 的含义，举例分析即可；B ．根据0n <分析所表示数的特点，由此可得()W N 的结果；C ．根据0n >分析所表示数的特点，由此可得()W N 的结果；D ．先将N 化为10110,()n N a a n Z =⨯≤<∈的形式，然后计算出()W N 的值.【详解】当[)0,100N ∈时，N 的整数部分位数为2，当[)100,1000N ∈，N 的整数部分位数为3，一般地，)()110,100,1,2,3,4,......n n N n +⎡∈=⎣时，N 的整数部分位数为1n +； 当[)0.1,1N ∈时，N 的非有效数字0的个数为1，当[)0.01,0.1N ∈时，N 的非有效数字0的个数为2，一般地，)()110,101,2,3,4,5,......n n N n +⎡∈=-----⎣时，N 的非有效数字0的个数为n -，A ．取210,10M N ==，所以()()()()33,2,104W M W N W M N W ==⋅==，()()325W M W N +=+=，所以()()()W M N W M W N ⋅≠+，故错误；B ．当0n <时，)11010,10n n n N a +⎡=⨯∈⎣，N 的非有效数字0的个数为n -，所以()W N n =-，故正确；C ．当0n >时，)11010,10n n n N a +⎡=⨯∈⎣，N 整数部分位数为1n +，所以()1W N n =+，故正确； D ．因为1002N ＝，所以lg =100lg230.1N ≈，所以30.110N ≈，所以)303110,10N ⎡∈⎣，所以()30131W N =+=，故正确，故选：A.【点睛】关键点点睛：解答本题的关键在于理解()W N 的含义以及计算的方法， 通过对10n N a =⨯的分析，首先判断n 与0的关系，然后决定采用哪一种计算方法（类似分段函数）.5．（2021·安徽皖江名校联考）已知函数()()21log ,112,1a x x f x x a x ⎧+≤-⎪=⎨++>-⎪⎩，方程()10f x -=有两解，则a 的取值范围是（ ） A ．1(,1)2B ．1(0,)2C ．(0,1)D ．()1,+∞【答案】B【分析】根据已知条件对a 进行分类讨论：01a <<、1a >，然后分别考虑每段函数的单调性以及取值范围，确定出方程()10f x -=有两解时a 所满足的不等式，由此求解出a 的取值范围. 【详解】因为()()21log ,112,1a x x f x x a x ⎧+≤-⎪=⎨++>-⎪⎩，所以0a >且1a ≠， 当01a <<时，()f x 在(,1]x ∈-∞-时单调递增，所以()()max 11f x f =-=； 又()f x 在()1,x ∈-+∞时单调递增，且()()12f x f a >-=， 因为方程()10f x -=有两解，所以21a <，所以102a <<； 当1a >时，()f x 在(,1]x ∈-∞-时单调递减，()()min 11f x f =-=； 又()f x 在()1,x ∈-+∞时单调递增，()()12f x f a >-=， 因为方程()10f x -=要有两解，所以21a <，此时不成立. 综上可得10,2a ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，故选：B.【点睛】方法点睛：根据方程解的个数求解参数范围的常见方法：方法（1）：将方程解的个数问题转化为函数的图象的交点个数问题，通过图象直观解答问题；方法（2）：若方程中有指、对数式且底数为未知数，则需要对底数进行分类讨论，然后分析()f x 的单调性并求解出其值域，由此列出关于参数的不等式，求解出参数范围.6．（2021·山东济南模拟）若函数()()()2,232ln 1,2ax x f x a x x -≤⎧=⎨-->⎩在R 上单调递增，则实数a 的取值范围是（ ） A ．(]0,1 B ．(]0,2C ．30,2⎛⎫ ⎪⎝⎭D ．31,2⎡⎫⎪⎢⎣⎭【答案】A 【分析】由分段函数单调递增的特性结合单调增函数的图象特征列出不等式组求解即得. 【详解】因函数()()()2,232ln 1,2ax x f x a x x -≤⎧=⎨-->⎩在R 上单调递增，则有2y ax =-在(,2]-∞上递增，()()32ln 1y a x =--在(2,)+∞上也递增， 根据增函数图象特征知，点(2,22)a -不能在点(2,0)上方，于是得0320220a a a >⎧⎪->⎨⎪-≤⎩ ，解得01a <≤，所以实数a 的取值范围是(]0,1. 故选：A7．（2021·山西名校联考）已知函数()cos ()ln f x x g x x ==，用max{,}a b 表示a ，b 中的最大值，则函数{}()max (),()(0)h x f x g x x =>的零点个数为（ ） A ．0 B ．1C ．2D ．3【答案】C 【分析】分1x >，1x =，01x <<三种情况讨论可得结果. 【详解】 分三种情况讨论：① 当1x >时，()ln 0g x x =>，所以()()0h x g x ≥>，故()h x 无零点；② 当1x =时，(1)cos110f =-<，(1)0g =，所以(1)0h =，故1x =是()h x 的零点；③ 当01x <<时，()ln 0g x x =<，所以()f x 的零点就是()h x 的零点.显然，()cos f x x =(0,1)上单调递减，且(0)10=>f ，(1)cos110f =-<， 故()f x 在(0,1)内有唯一零点，即()g x 在(0,1)内有唯一零点. 综上可知，函数()h x 在0x >时有2个零点. 故选：C. 【点睛】关键点点睛：本题的关键点是：分1x >，1x =，01x <<三种情况讨论.8．（2021·北京市十一学校高三其他模拟）已知函数()22,0313,0x x f x x x ⎧≤⎪=⎨--+>⎪⎩，若存在唯一的整数x ，使得()10f x x a->-成立，则满足条件的整数a 的个数为（ ） A ．2 B ．3C ．4D ．无数【答案】C 【分析】作出f （x ）的函数图象，利用直线的斜率，根据不等式只有1整数解得出a 的范围． 【详解】作出f （x ）的函数图象如图所示：()1f x x a--表示点(,())x f x 和点(,1)a 所在直线的斜率，即曲线上只有一个点(,())x f x 且x 是整数和点(,1)a 所在直线的斜率大于零.如图所示，动点(,1)a 在直线1y =上运动.因为(0)0,(1)3,(2)0f f f ===,当[1,0]a ∈-时，只有点(1,3)这个点满足()10f x x a ->-，当[1,2]a ∈时，只有点(0,0)这个点满足()10f x x a->-. 所以a ∈][1,01,2⎡⎤-⋃⎣⎦.所以满足条件的整数a 有4个.故选：C.【点睛】关键点睛：本题主要考查函数的图像，考查直线的斜率，关键在于考查学生对这些知识的掌握水平和数形结合分析推理能力. 二、多选题9．（2021·重庆高三三模）()f x 是定义在R 上周期为4的函数，且()(](]1,112,1,3x f x x x ⎧∈-⎪=⎨--∈⎪⎩，则下列说法中正确的是（ ） A ．f ()x 的值域为[]0,2B ．当(]3,5x ∈时，()f x =C ．()f x 图象的对称轴为直线4,x k k Z =∈D ．方程3f x x 恰有5个实数解【答案】ABD 【分析】画出()f x 的部分图象结合图形分析每一个选项即可. 【详解】根据周期性，画出()f x 的部分图象如下图所示，由图可知，选项A ，D 正确，C 不正确；根据周期为4，当(3,5]x ∈时，()(4)f x f x =-==B 正确.故选：ABD.10．（2021·辽宁铁岭二模）设函数()21,0,cos ,0.x x f x x x ⎧+≥=⎨<⎩则（ ）A ．()f x 是偶函数B ．()f x 值域为[)1,-+∞C ．存在00x <，使得()()00f x f =D ．()f x 与()f x -具有相同的单调区间【答案】BC【分析】根据函数奇偶性的定义判断A ，由分段函数求值域确定B ，由余弦函数性质确定C ，由二次函数及余弦函数的单调性确定D.【详解】因为()21,0,cos ,0.x x f x x x ⎧+≤-=⎨>⎩.所以()()f x f x -≠，()f x 不是偶函数，故选项A 错误. 当0x ≥时，211x +≥，当0x <时，cos [1,1]x ∈-，所以()f x 值域为[)1,-+∞，故B 正确； 因为()01f =，()21f π-=，选项C 正确.因为()f x 具有单调性的区间与()f x -具有单调性的区间不同，是数轴上关于原点对称的，选项D 错误(由()f x -表达式也可以看出).故选：BC 。

初中含参二次函数的最值问题二次函数在数学中是一种比较常见的函数形式，也是我们初中阶段需要掌握的重要知识点之一。

其中，最值问题是二次函数题目中比较典型和常见的一类问题。

在这篇文章中，我将通过一些例题和解题思路的介绍，来帮助大家更好地理解含参二次函数的最值问题。

1. 带参数二次函数的最值问题下面是一个含参数的二次函数的例子：$y=ax^2+bx+c(a>0)$ 。

我们来考虑这个函数的最值问题。

（1）当$a>0$时，这个二次函数的值域为$[q,\infty)$。

其中$q$为$a,b,c$的函数，满足$a>0$时，有如下的公式：$$q=f(\frac{-b}{2a})=\frac{4ac-b^2}{4a}$$那么，这个二次函数的最小值就是$q$，也就是当$x=\frac{-b}{2a}$时，函数取得最小值。

（2）当$a<0$时，这个二次函数的值域为$(-\infty,q]$。

其最大值也是$q$，即当$x=\frac{-b}{2a}$时，函数取得最大值。

可以通过公式来求解含参二次函数的最值问题。

具体来说，找到函数的最小值或最大值所在的$x$坐标，然后代入函数中求出对应的函数值即可。

下面让我们通过一个例题来进一步了解含参二次函数的最值问题。

2. 例题分析【例题】已知函数$y=ax^2+bx+c(a>0)$，并满足：$|x-2|+|x-4|+|x-6|=k(k>0)$求函数$y$的最小值和最大值并确定此时$x$的值。

【解题思路】该题要求我们求解带有约束条件的含参二次函数的最值问题。

实际上，约束条件中的绝对值形式会让我们比较难受，不过我们可以将其转化为分段描述，从而更好地理解这个问题。

具体来说，考虑以下的情况：（1）当$x\leq 2$时，有$|x-2|=2-x$。

（2）当$2<x\leq4$时，有$|x-2|=x-2$、$|x-4|=4-x$。

（3）当$4<x\leq 6$时，有$|x-4|=x-4$、$|x-6|=6-x$。

分段函数最值问题及解题技巧1. 问题描述分段函数是由若干个不同部分组成的函数，每个部分在定义域内具有不同的表达式或函数关系。

分段函数的最值问题是指在给定定义域上，如何找到分段函数的最大值或最小值。

在解决这类问题时，需要注意以下几个方面：2. 解题技巧2.1 分段函数分类通常，分段函数可以分为线性分段函数和非线性分段函数两类。

- 线性分段函数：线性分段函数：线性分段函数是由线性函数组成的函数，如：$f(x) = ax + b$。

求线性分段函数的最值可以通过计算斜率来确定。

- 非线性分段函数：非线性分段函数：非线性分段函数是由非线性函数组成的函数，如：$f(x) =\begin{cases} g(x), & \text{if } x < a \\ h(x), & \text{if } x \geq a\end{cases}$。

求非线性分段函数的最值需要分别计算不同区间上的最值，然后比较得出最终结果。

2.2 寻找定义域在解决分段函数的最值问题时，首先需要明确函数的定义域。

定义域是指函数的自变量的取值范围。

通过分析函数的定义，结合问题的条件，可以确定函数的定义域。

确定了定义域之后，才能在该范围内寻找最值。

2.3 区间的开闭性在找分段函数的最值时，需要理解区间的开闭性。

开区间不包含端点，闭区间包含端点。

在计算函数在特定区间上的最值时，要注意对区间的开闭情况进行考虑。

比如，对于一个闭区间，需要将区间内所有的极值进行比较，而对于一个开区间，则需要排除区间端点的极值。

2.4 极值点的确定极值点是指函数在定义域内的局部最值点，即函数的斜率为零或者不存在。

在求解分段函数的最值问题时，需要找到函数在各个区间内的极值点。

可以通过计算导数或者利用函数的图像进行分析来确定极值点。

2.5 特殊情况的处理在解决分段函数的最值问题时，需要注意处理特殊情况。

比如，在分段函数中存在分段点，即两个部分函数的交点，此时需要特别处理这些交点，以确定函数的最值。

探讨求有关含参函数最值问题 陕西省西乡二中 王仕林(一)求含参函数的最值问题：例1、求函数2()23f x x ax =-+在[]0，4上的最值。

练习：求函数2()21f x x ax =--在[]0，2上的最大值。

例2、求函数2()23f x x x =-+在[]a ，a+2上的最小值。

练习：求函数2()22f x x x =-+在[]t ，t+1上的最小值。

例3、①求函数()()sinx 0f x a b a =+>的最大值和最小值。

②求函数()sin(2)2sin cos()f x x x ϕϕϕ=+-+的最大值。

例4、在ABC ∆中，222a c b +=+,(1)求角B 的大小；（2）os c o s A C +的最大值。

(二)已知含参函数的最值，求参数的值或范围问题： 例1、已知函数2()24f x x x =-+在区间[]()0,0m m >上的最大值为4，最小值为3，求实数m 的取值范围。

例2、设函数()(0,1)x f x a a a =>≠在[]1,2-上的最大值为4，最小值为m ，且函数在[)0,+∞上是增函数，求实数a 的值。

例3、已知函数22()96106f x x ax a a =-+--在13⎡⎤⎢⎥⎣⎦-，b 上恒大于或等于0，其中实数[)3+a ∈∞，，求实数b 的范围。

例4、若,x y 满足约束条件+1122x y x y x y ≥⎧⎪-≥-⎨⎪-≤⎩，若目标函数(0,0)z ax by a b =+>>的最大值为7，求34a b +的最小值。

练习：①已知12++=x b ax y 的值域是[-1，4]，求a ，b ．②已知23()344f x x x =-+是否存在常数a ，b ()0a b <<，使其定义域为[],a b ，值域也是[],a b ?若存在，求出a ，b ，若不存在，说明理由。