第五章线性微分方程组
[教学目标]
1.理解线性微分方程组解的存在唯一性定理，掌握一阶齐（非齐）线性微分方程组解
的性质与结构，
2.理解n 阶线性微分方程与一阶线性微分方程组的关系。
3.掌握非齐次线性微分方程组的常数变易法，
4.理解常系数齐线性微分方程组基解矩阵的概念，掌握求基解矩阵的方法。
5.掌握常系数线性微分方程组的Laplce变换法。
[教学中难点]求解常系数非齐次线性微分方程组
[教学方法] 讲授，实践。
[教学时间] 16学时
[教学内容] n 阶线性微分方程与一阶线性微分方程组的关系，一阶线性微分方程组解的存在唯一性定理；齐（非齐）线性微分方程组解的性质与结构，求解非齐次线性微分方程组的常数变易法；常系数齐线性微分方程组的基解矩阵及求基解矩阵的方法；求常系数线性微分方程组的Laplce变换法。
[考核目标]
1.线性微分方程组解的性质与结构。
2.能够求解常系数线性微分方程组。
§5.1 存在唯一性定理
5.1.1记号和定义
考察形如
1
11112211221122222
1122()()()()()()()()()()()()n n n n n
n n nn n n x a t x a t x a t x f t x a t x a t x a t x f t x a t x a t x a t x f t '=++++??'=++++??
??'=++++? （5.1）
的一阶线性微分方程组，其中已知函数()(,1,2,,)ij a t i j n = 和()(1,2,,)i f t i n = 在区
间a t b ≤≤上上是连续的。方程组（5.1）关于12,,,n x x x 及1
2,,,n x x x ''' 是线性的. 引进下面的记号：
1112121
22
212()()
()()()
()()()()()n n n n nn a t a t a t a t a t a t A t a t a t a t ??????=??
?
?
??
（5.2） 这里()A t 是n n ?矩阵，它的元素是2n 个函数()(,1,2,,)ij a t i j n = .
12()()()()n f t f t f t f t ?????
?=?????? 12n x x x x ??????=?????? 12n
x x x x '????'??'=????
'?? （5.3） 这里()f t ，x ，x '是1n ?矩阵或n 维列向量。
注意，矩阵相加、矩阵相乘、矩阵与纯量相乘等等性质对于以函数作为元素的矩阵同样成立。这样一来，方程组（5.1）可以写成下面的形式
()()x A t x f t '=+ （5.4）
引进下面的概念。
一个矩阵或者一个向量在区间a t b ≤≤上称为连续的，如果它的每一个元素都是区间a t b ≤≤上的连续函数。
一个n n ?矩阵()B t 或者一个n 维列向量()u t ：
1112121
22
212()()
()()()
()()()()()n n n n nn b t b t b t b t b t b t B t b t b t b t ??????=??
?
??? 12()()()()n u t u t u t u t ??
????=????
??
在区间a t b ≤≤上称为可微的，如果它的每一个元素都在区间a t b ≤≤上可微。它们的导数分别由下式给出：
11
12121
22
2
12()()()()()
()()()()()n n n n nn b t b t b t b t b t b t B t b t b t b t '''????'''??'=??
?
?'''?? 1
2()()()()n u t u t u t u t '????'??'=????'??
不难证明，如果n n ?矩阵()A t ，()B t 及n 维向量()u t ，()v t 是可微的，那么下列等式成立：
（Ⅰ）()()()()()A t B t A t B t '''+=+
()()()()()u t v t u t v t '''+=+
（Ⅱ）()()()()()()()A t B t A t B t A t B t '''?=+ （Ⅲ）()()()()()()()A t u t A t u t A t u t '''=+
类似地，矩阵()B t 或者向量()u t 在区间a t b ≤≤上称为可积的，如果它的每一个元素都在区间a t b ≤≤上可积。它们的积分分别由下式给出：
111211122211
2()()()()()()()()()()b b
b
n a a a b
b b b
n a a a a b
b b n nn a a a b t dt
b t dt b t dt b t dt b t dt b t dt B t dt b t dt b t dt b t dt ??
??????=?
?
??????????
?
???????
12()()()()b a b b a a b n a u t dt u t dt u t dt u t dt ??????
??=??
????????
???? 现在我们给出（5.4）的解的定义：
定义１设()A t 是区间a t b ≤≤上的连续n n ?矩阵，()f t 是同一区间a t b ≤≤上的连续n 维向量。方程组
()()x A t x f t '=+ （5.4）
在某区间t αβ≤≤（这里[][],,a b αβ?）的解就是向量()u t ，它的导数()u t '在区间
t αβ≤≤上连续且满足
()()()()u t A t u t f t '=+，t αβ≤≤
现在考虑带有初始条件0()x t η=的方程组（５.４），这里0t 是区间a t b ≤≤上的已知数，η是n 维欧几里得空间的已知向量，在这样条件下求解方程组称为初值问题。 定义2 初值问题
()()x A t x f t '=+,0()x t η= （5.5）
的解就是方程组（5.4）在包含0t 的区间t αβ≤≤上的解()u t ，使得0()u t η=。 例2 验证向量
()t t e u t e --??=??-??
是初值问题
0110x x ??'=????,1(0)1x ??=??-??
在区间t -∞<<+∞上的解。 解 显然
001(0)1e u e --????
==????--??
??
因为t e -和t e --处处有连续导数，我们得到
0101()()1010t t t t e e u t u t e e ----????-????'===????????-?
??????? 因此()u t 是给定初值问题的解。
正如在第而章所看到的，当1n =时，我们可以得到初值问题（5.5）的解的明显表达式，当2n ≥时，情况就复杂多了。
在第四章中，我们讨论了带有初始条件的n 阶线性微分方程的初值问题。现在进一步指出，可以通过下面的方法，将n 阶线性微分方程的初值问题化为形如（5.5）的线性微分方程组的初值问题。
考虑n 阶线性微分方程的初值问题
()(1)11(1)
01020()()()()(),(),,()n n n n n n
x a t x
a t x a t x f t x t x t x t ηηη---'?++++=??'===?? （5.6）
其中12(),(),,()n a t a t a t ，()f t 是区间a t b ≤≤上的已知连续函数，[]0,t a b ∈，
12,,,n ηηη 是已知常数。我们指出，它可以化为下列线性微分方程组的初值问题
12112
0010000010000
001()()()()()()n n n n x x a t a t a t a t f t x t ηηη
η--?????
??????????
?'????
=+??
?????????????----??????
???
?????==????
??????
(5.7) 其中
12
n x x x x ??????=?????? 12n
x x x x '??
??'??'=????
'??
事实上，令
(1)123,,,,n n x x x x x x x x -'''====
这时
1
2x x x ''== 2
3x x x '''==
(1)1n n
n x x x --'== ()1121()()()()n n
n n n x x a t x a t x a t x f t -'==----+ 而且
(1)010*******()(),()(),,()()n n n x t x t x t x t x t x t ηηη-'======
现在假设()t ψ是在包含0t 的区间a t b ≤≤上（5.6）的任一解。由此，得知
()(),(),,()n t t t ψψψ' 在a t b ≤≤上存在、连续、满足方程（5.6）且(1)01020(),(),,()n n t t t ψηψηψη-'=== 。令
12()()()()n t t t t ??????????=??????
其中1()()t t ?ψ=,2()()t t ?ψ'=, ,(1)()()n n t t ?ψ-=(a t b ≤≤)，那么，显然有
0()t ?η=。此外，
1223(1)1(1)()12311()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()n n n n n n n n n n t t t t t t t t t t t a t t a t t f t t t t t a t t a t t f ??ψ??ψ???ψ?ψψψ?????---''????
????????'''???
???'??????===??????'???
?????????'--+??????
=---+
1211210
100()00010()00001()0()()()()()()()n n n n t t t t a t a t a t a t t f t ????--????????????????????????
????????
=+????????
????????
????????----????????
这就表示这个特定的向量()t ?是（5.7）的解。反之，假设向量()u t 是在包含0t 的区间a t b ≤≤上（5.7）的解。令
12()()()()n u t u t u t u t ??
????=??????
并定义函数1()()w t u t =，由（5.7）的第一个方程，我们得到12()()()w t u t u t ''==，由第二个方程得到2
3()()()w t u t u t '''==, ，由第1n -个方程得到(1)1()()()n n
n w t u t u t --'==，由第n 个方程得到 ()1111(1)
(2)
12()()()()()2()2()()()()()()()()()()()()
n n n n n n n n n w t u t a t u t a t u t a t u t a t u t f t a t w
t a t w
t a t w t f t ----'==-----+=----+
由此即得
()(1)(2)12()()()()()()()()n n n n w t a t w t a t w t a t w t f t --++++=
同时，我们也得到
(1)010100()(),,()()n n n w t u t w t u t ηη-====
这就是说，()w t 是（5.6）的一个解。
总之，由上面的讨论，我们已经证明了初值问题（5.6）与（5.7）在下面的意义下是等价的：给定其中一个初值问题的解，我们可以构造另一个初值问题的解。
值得指出的是：每一个n 阶线性微分方程可化为n 个一阶线性微分方程构成的方程组，反之却不成立。例如方程组
0110x x ??
'=????
，12x x x ??=????
不能化为一个二阶微分方程。 5.1.2 存在唯一性定理 本节我们研究初值问题
()()x A t x f t '=+，0()x t η= （5.5） 的解的存在唯一性定理。类似与第三章，我们通过五个小命题，采用逐步逼近法来证明定理。因为现在讨论的是方程组（写成向量的形式），所以有些地方稍微复杂些，而且要引进向量、矩阵的“范数”及向量函数序列的收敛性等概念；然而由于方程是线性的，所以有些地方又显得简单些，而且结论也加强了。总之，我们要比较第三章中的证明和现在的证明的异同，从对比中加深对问题的理解。
对于n n ?矩阵ij n n
A a ???=??和n 维向量12n x x x x ??
??
??=??????
，我们定义它的范数为 ,1
n
ij
i j A a
==
∑
1
n
i i x x ==∑
设,A B 是n n ?矩阵，x ，y 是n 维向量，这时容易验证下面两个性质： １）AB A B ≤?
Ax A x ≤? ２）A B A B +≤+
x y x y +≤+
向量序列{}k x ，12k k
k nk x x x x ??????=??????
，称为收敛的，如果对每一个(1,2,,)i i n = 数列{}
ik x 都是收敛的。
向量函数序列{}()k x t ，12()()()()k k k nk x t x t x t x t ?????
?=??????
称为在区间a t b ≤≤上收敛的（一致收敛的），如果对于每一个(1,2,,)i i n = 函数序列{}()ik x t 在区间a t b ≤≤上是收敛的
（一致收敛的），易知，区间a t b ≤≤上的连续向量函数序列{}()k x t 的一致收敛极限向量函数仍是连续的。
向量函数级数
1
()k k x t ∞
=∑称为在区间a t b ≤≤上是收敛的（一致收敛的），如果其部
分和作成的向量函数序列在区间a t b ≤≤上是收敛的（一致收敛的）。
判别通常的函数级数的一致收敛性的维氏判别法对于向量函数级数也是成立的，这就是说，如果
()k k x t M ≤，a t b ≤≤
而级数
1
k
k M
∞
=∑是收敛的，则
1
()k k x t ∞
=∑在区间a t b ≤≤上是一致收敛的。
积分号下取极限的定理对于向量函数也成立，这就是说，如果连续向量函数序列
{}()k x t 在区间a t b ≤≤上是一致收敛的，则
lim ()lim ()b
b
k k a
a k k x t dt x t dt →∞→∞
=??
注意，以上谈到的是向量序列的有关定义和结果，对于一般矩阵序列，可以得到类似的定义和结果。
例如，n n ?矩阵序列{}k A ，其中()k k ij n n A a ???=??称为收敛的，如果对于一切,1,2,,i j n = ，数列{}()
k ij a 都是收敛的。
无穷矩阵级数
121
k
k k A
A A A ∞
==++++∑
称为收敛的，如果它的部分和所成序列是收敛的。
如果对于每一个整数k ，
k k A M ≤
而数值级数
1
k
k M
∞
=∑是收敛的，则
1
k
k A
∞
=∑也是收敛的。
同样，可以给出无穷矩阵函数级数
1
()k k A t ∞
=∑的一致收敛性的定义和有关结果。
定理１（存在唯一性定理）如果()A t 是n n ?矩阵。()f t 是n 维列向量，它们都在区间
a t
b ≤≤上连续，则对于区间a t b ≤≤上的任何数0t 及任一常数向量
12n ηηηη??????=??????
方程组
()()x A t x f t '=+ （5.4）
存在唯一解()t ?，定义于整个区间a t b ≤≤上，且满足初始条件
0()t ?η=。
类似于第三章，我们分成五个小命题来证明.
命题１ 设()t ?是方程组（５.４）的定义与区间a t b ≤≤上且满足初始条件0()t ?η=的解，则()t ?是积分方程
[]0
()()()()t
t x t A s x s f s ds η=++?，a t b ≤≤
（5.8）
的定义于a t b ≤≤上的连续解，反之亦然。
证明完全类似于第三章，兹不累赘。
现在取0()t ?η=，构造皮卡逐步逼近向量函数序列如下：
[]001()()()()(),1,2,t k k t t t A s s f s ds a t b k ?η?η?-=???=++≤≤??=???
向量函数()k t ?称为（5.4）的第k 次近似解。应用数学归纳法立刻推得命题２： 命题２ 对于所有的正整数k ，向量函数()k t ?在区间a t b ≤≤上有定义且连续。 命题３ 向量函数序列{}()k t ?在区间a t b ≤≤上是一致收敛的。 命题４ ()t ?是积分方程（5.8）的定义在区间a t b ≤≤上的连续解。
命题５ 设()t ψ是积分方程（5.8）的定义于a t b ≤≤上的一个连续解，则()()t t ?ψ≡（a t b ≤≤）。
综合命题１—５，即得到存在唯一性定理的证明。
值得指出的是，关于线性微分方程组的解()t ?的定义区间是系数矩阵()A t 和非
齐次项()f t 在其上连续的整个区间a t b ≤≤。在构造逐步逼近函数序列{}()k t ?时，()k t ?的定义区间已经是整个a t b ≤≤，不像第三章对于一般方程那样，解只存在于0
t 的某个邻域，然后经过延拓才能使解定义在较大的区间。
注意到5.1.1中关于n 阶线性方程的初值问题（5.6）与线性微分方程组的初值问题（5.7）的等价性的论述，立即由本节的存在唯一性定理可以推得关于n 阶线性微分方程的解的存在唯一性定理。
推论（即第四章的定理１）如果1(),,()n a t a t ，()f t 都是区间a t b ≤≤上的连续函数，则对于区间a t b ≤≤上的任何数0t 及任何的12,,,n ηηη ，方程
()(1)11()()()()n n n n x a t x a t x a t x f t --'++++=
存在唯一解()w t ，定义于整个区间a t b ≤≤上且满足初始条件：
(1)01020(),(),,()n n w t w t w t ηηη-'=== 。
§5.２ 线性微分方程组的一般理论
现在讨论线性微分方程组
()()x A t x f t '=+ （5.14）
的一般理论，主要是研究它的解的结构问题。
如果()0f t ≡，则（5.14）称为非齐线性的。 如果()0f t ≡，则方程的形式为
()x A t x '= （5.15）
称（5.15）为齐线性方程组，通常（5.15）称为对应于（5.14）的齐线性方程组。 ５.２.１齐线性微分方程组
本段主要研究齐线性方程组（５.１５）的所有解的集合的代数结构问题。我们假设矩阵()A t 在区间a t b ≤≤上是连续的。
设()u t 和()v t 是（5.15）的任意两个解，α和β是两个任意常数。根据向量函数的微分法则，即知()()u t v t αβ+也是（5.15）的解，由此得到齐线性方程组的叠加原理。
定理２（叠加原理）如果()u t 和()v t 是（5.15）的解，则它们的线性组合
()()u t v t αβ+也是（5.15）的解，这里α，β是任意常数。
定理２说明，（5.15）的所有解的集合构成一个线性空间。自然要问：此空间的维数是多少呢？为此，我们引进向量函数12(),(),,()m x t x t x t 线性相关与线性无关的概念。
设12(),(),,()m x t x t x t 是定义在区间a t b ≤≤上的向量函数，如果存在不全为零的常数12,,,m c c c ，使得恒等式
1122()()()0m m c x t c x t c x t +++≡ ，a t b ≤≤
成立；称向量函数12(),(),,()m x t x t x t 在区间a t b ≤≤上线性相关,否则，称
12(),(),,()m x t x t x t 为线性无关的。
设有n 个定义在区间a t b ≤≤上的向量函数
11121211()()()()(),,()()()n n n n nn x t x t x t x t x t x t x t x t ????????????==????????????
由这n 个向量函数构成的行列式
[]1112121
22
21212()()()()()
()(),(),,()()()()
()n n n n n nn x t x t x t x t x t x t W x t x t x t W t x t x t x t ??????≡≡??
?
?
??
称为这些向量函数的伏朗斯基行列式。
定理３ 如果向量函数12(),(),,()n x t x t x t 在区间a t b ≤≤上线性相关，则它们的伏朗斯基行列式()0W t ≡，a t b ≤≤。
证明 由假设可知存在不全为零的常数12,,,n c c c 使得
1122()()()0n n c x t c x t c x t +++≡ ，a t b ≤≤ （5.16）
把（5.16）看成是以12,,,n c c c 为未知量的齐次线性代数方程组，这方程组的系数行列式就是12(),(),,()n x t x t x t 的伏朗斯基行列式()W t 。由齐次线性代数方程组的理论知道，要此方程组有非零解，则它的系数行列式应为零，即
()0W t ≡，a t b ≤≤
定理证毕。
定理４ 如果（5.15）的解12(),(),,()n x t x t x t 线性无关，那么，它们的伏朗斯基行列式()0W t ≠，a t b ≤≤。
证明 我们采用反证法。设有某一个0t ，0a t b ≤≤，使得0()0W t =。考虑下面的齐次线性代数方程组：
1102200()()()0n n c x t c x t c x t +++≡
（5.17）
它的系数行列式就是0()W t ，因为0()0W t =，所以（5.17）有非零解12,,,n c c c ，以这个非零解12,,,n c
c c 构成向量函数()x t ： 1122()()()()n n x t c
x t c x t c x t ≡+++ （5.18） 根据定理２，易知()x t 是（5.15）的解。注意到（5.17），知道这个解()x t 满足初始条件
0()0x t = （5.19）
但是，在a t b ≤≤上恒等于零的向量函数０也是（5.15）的满足初始条件（5.19）的解。由解的唯一性，知道()0x t ≡，即
1122()()()0n n c
x t c x t c x t +++≡ ，a t b ≤≤ 因为12,,,n c
c c 不全为零，这就与12(),(),,()n x t x t x t 线性无关的假设矛盾，定理得证。 由定理３，定理4可以知道，由（5.15）的n 个解12(),(),,()n x t x t x t 作成的伏朗斯基行列式()W t ，或者恒等于零，或者恒不等于零.
定理５ （5.15）一定存在n 个线性无关的解12(),(),,()n x t x t x t .
证明 任取[]0,t a b ∈，根据解的存在唯一性定理，（5.15）分别满足初始条件
10200100010(),(),,()000001n x t x t x t ??????
????????????
??????===????????????????????????
的解12(),(),,()n x t x t x t 一定存在。又因为这n 个解12(),(),,()n x t x t x t 的伏朗斯基行列式0()10W t =≠，故根据定理３，12(),(),,()n x t x t x t 是线性无关的，定理证毕。 定理６ 如果12(),(),,()n x t x t x t 是（5.15）的n 个线性无关的解，则（5.15）的任一解()x t 均可表为
1122()()()()n n x t c x t c x t c x t =+++
这里12,,,n c c c 是相应的确定常数。 证明 任取[]0,t a b ∈，令
01102200()()()()n n x t c x t c x t c x t =+++ （5.20）
把（5.20）看作是以12,,,n c c c 为未知量的线性代数方程组。这方程组的系数行列式就是0()W t 。因为12(),(),,()n x t x t x t 是线性无关的，根据定理４知道0()0W t ≠。由线性代数方程组的理论，方程组(5.20)有唯一解12,,,n c c c 。以这组确定了的
12,,,n c c c 构成向量函数1122()()()n n c x t c x t c x t +++ ，那么，根据叠加原理，它是
（5.15）的解。注意到（5.20），可知（5.15）的两个解()x t 及
1122()()()n n c x t c x t c x t +++ 具有相同的初始条件。由解的唯一性，得到
1122()()()()n n x t c x t c x t c x t ≡+++
定理证毕。
推论１ （5.15）的线性无关解的最大个数等于n .
（5.15）的n 个线性无关的解12(),(),,()n x t x t x t 称为（5.15）的一个基本解组。显然，（5.15）具有无穷多个不同的基本解组.
由定理5和定理6，我们知道（5.15）的解空间的维数是n .即（5.15）的所有解构成了一个n 维的线性空间.
注意到5.1.1节关于n 阶线性微分方程的初值问题（5.6）与线性微分方程组的初值问题（5.7）的等价性，本节的所有定理都可以平行地推论到n 阶线性微分方程上去。 从本节的定理2容易推得第四章的定理2。参看4.1.2中关于纯量函数组的线性相关概念，可以证明：一组1n -次可微的纯量函数12(),(),,()m x t x t x t 线性相关的充要条件是向量函数
1212(1)(1)(1)12()()()()()()()()()m m
n n n m x t x t x t x t x t x t x t x t x t ---??????
??????
'''????????????
??????
??????
（*） 线性相关。事实上，如果12(),(),,()m x t x t x t 线性相关，则存在不全为零的常数
12,,,m c c c 使得
1122()()()0m m c x t c x t c x t +++=
将上式对t 微分一次，二次，…，1n -次，得到
11
2211
22(1)(1)(1)1122()()()0()()()0()()()0
m m m m n n n m m c x t c x t c x t c x t c x t c x t c x t c x t c x t ---'''+++=''''''+++=+++=
即有
121212(1)(1)(1)12()()()()()()0()()()m m m
n n n m x t x t x t x t x t x t c c c x t x t x t ---??????
??????
'''??????+++=??????
??????
??????
（**） 这就是说，向量函数组（*）是线性相关的。反之，如果向量函数（*）线性相关，则存在不全为零的常数12,,,m c c c 使得（**）成立，当然有
1122()()()0m m c x t c x t c x t +++= ，这就表明12(),(),,()m x t x t x t 线性相关。
推论2 如果12(),(),,()n x t x t x t 是n 阶微分方程
()(1)1()()0n n n x a t x a t x -+++= （5.21）
的n 个线性无关解，其中1(),,()n a t a t 是区间a t b ≤≤上的连续函数，则（5.21）的任一解()x t 均可表为
1122()()()()n n x t c x t c x t c x t ≡+++
这里12,,,n c c c 是相应的确定常数。
如果12(),(),,()n x t x t x t 是（5.21）的n 个线性无关解，根据n 阶微分方程通解的
概念及[]1(),(),,()0n W x t x t x t ≠ ，函数
1122()()()()n n x t c x t c x t c x t ≡+++
就是（5.21）的通解，其中12,,,n c c c 是任意常数。
现在，将本节的定理写成矩阵的形式。
如果一个n n ?矩阵的每一列都是（5.15）的解，称这个矩阵为（5.15）的解矩阵。如果它的列在a t b ≤≤上是线性无关的解矩阵,称为在a t b ≤≤上（5.15）的基解矩阵。用()t Φ表示由（5.15）的n 个线性无关的解12(),(),,()n t t t ??? 作为列构成的基解矩阵。定理５和定例６即可以表述为如下的定理1*。
定理1* （5.15）一定存在一个基解矩阵()t Φ。如果()t ψ是（5.15）的任一解，那么
()()t t c ψ=Φ （5.22）
这里c 是确定的n 维常数列向量。
定理2*（5.15）的一个解矩阵()t Φ是基解矩阵的充要条件是det ()0t Φ≠（a t b ≤≤）。而且，如果对某一个[]0,t a b ∈，0det ()0t Φ≠，则det ()0t Φ≠，
a t
b ≤≤。（det ()t Φ表示矩阵()t Φ的行列式）。
要注意：行列式恒等于零的矩阵的列向量未必是线性相关的。 例１ 验证
()0
t
t t e te t e ??Φ=?
???
是方程组
1101x x ??
'=????
，其中
12x x x ??=????
的基解矩阵。
解首先，我们证明()t Φ是解矩阵。令1()t ?表示()t Φ的第一列，这时
111111()()010100t t e e t t ??????????'===?????????
???????
这表示1()t ?是一个解。同样，如果以2()t ?表示()t Φ的第二列，我们有
221111(1)()()0101t t t
t te t e t t e e ??????+????
'===????????????
???? 这表示2()t ?也是一个解。因此，[]12()(),()t t t ??Φ=是解矩阵。
其次，根据定理2*，因为2det ()0t t e Φ=≠，所以()t Φ是基解矩阵。
推论1* 如果()t Φ是（5.15）在区间a t b ≤≤上的基解矩阵，C 是非奇异n n ?常数矩阵，那么，()t C Φ也是（5.15）在区间a t b ≤≤上的基解矩阵。
证明 首先，根据解矩阵的定义易知，方程（5.15）的任一解矩阵()X t 必满足关系
()()()X t A t X t '=，（a t b ≤≤）
反之亦然。现令
()()t t C ψ≡Φ，（a t b ≤≤）
微分上式，并注意到()t Φ为方程的基解矩阵，C 为常数矩阵，得到
()()()()()()t t C A t t C A t t ψψ''≡Φ≡Φ≡
即()t ψ是（5.15）的解矩阵。又由C 的非奇异性，我们有
det ()det ()det 0t t C ψ=Φ?≠（a t b ≤≤）
因此由定理2*知，()t ψ即()t C Φ是（5.15）的基解矩阵。
推论2* 如果()t Φ，()t ψ在区间a t b ≤≤上是()x A t x '=的两个基解矩阵，那么，存在一个非奇异n n ?常数矩阵C ，使得在区间a t b ≤≤上()()t t C ψ≡Φ。 证明 因为()t Φ为基解矩阵，故其逆矩阵1()t -Φ一定存在。现令
1()()()t t X t ψ-Φ≡ （a t b ≤≤）
或
()()()t t X t ψ≡Φ （a t b ≤≤）
易知()X t 是n n ?可微矩阵，且
det ()0X t ≠ （a t b ≤≤）
于是
()()()()()()()
()()()()()()()()()
A t t t t X t t X t A t t X t t X t A t t t X t ψψψ'''≡≡Φ+Φ''≡Φ+Φ≡+Φ （a t b ≤≤）
由此推知()()0t X t 'Φ≡，或()0X t '≡（a t b ≤≤），即()X t 为常数矩阵，记为C 。因此我们有
()()t t C ψ=Φ （a t b ≤≤）
其中1()()C a a ψ-=Φ为非奇异的n n ?常数矩阵推论2*得证。 5.2.2 非齐线性微分方程组 本段讨论非齐线性微分方程组
()()x A t x f t '=+ （5.14）
的解的结构问题，这里()A t 是区间a t b ≤≤上的已知n n ?连续矩阵，()f t 是区间
a t
b ≤≤上的已知n 维连续列向量，向量()f t 通常称为强迫项，因为如果（5.14）描
述一个力学系统，()f t 就代表外力。 容易验证（5.14）的两个简单性质：
性质1 如果()t ?是（5.14）的解，()t ψ是（5.14）对应的齐线性方程组（5.15）的解，则()()t t ?ψ+是（5.14）的解。
性质2 如果()t ?
和()t ?是（5.14）的两个解，则()()t t ??- 是（5.15）的解。 下面的定理7给出（5.14）的解的结构。
定理7 设()t Φ是（5.15）的基解矩阵，()t ?是（5.14）的某一解，则（5.14）的任一解()t ?都可表为
()()()t t c t ??=Φ+ （5.23）
这里c 是确定的常数列向量。
证明 由性质2我们知道()()t t ?
?- 是（5.15）的解，再由5.2.1的定理1*，得到
()()()t t t c ??-=Φ
这里c 是确定的常数列向量，由此即得
()()()t t c t ??=Φ+
定理证毕。
定理7告诉我们，为了寻求（5.15）的任一解，只要知道（5.14）的一个解和它对应的齐线性方程组（5.15）的基解矩阵。在知道（5.15）的基解矩阵()t Φ的情况下，寻求（5.14）的解()t ?的简单的方法 常数变易法。
由定理1*可知,如果c 是常数列向量，则()()t t c ?=Φ是（5.15）的解，它不可能是（5.14）的解。因此，将c 变易为t 的向量函数，而试图寻求（5.14）的形如
()()()t t c t ?=Φ （5.24）
的解。这里()c t 是待定的向量函数。
假设（5.14）存在形如（5.24）的解，这时，将（5.24）代入（5.14）得到
()()()()()()()()t c t t c t A t t c t f t ''Φ+Φ=Φ+
因为()t Φ是（5.15）的基解矩阵，所以()()()t A t t 'Φ=Φ，由此上式中含有
()()()A t t c t Φ的项消去了。因而()c t 必须满足关系式
()()()t c t f t 'Φ= （5.25）
因为在区间a t b ≤≤上()t Φ是非奇异的，所以1()t -Φ存在。用1()t -Φ左乘（5.25）两边，得到
1()()()t t c t s f s ds -=Φ?，[]0,,t t a b ∈
其中0()0c t =。这样，（5.24）变为
1()()()()t t t t s f s ds ?-=ΦΦ?，[]0,,t t a b ∈ （5.26）
因此，如果（5.14）有一个形如（5.24）的解()t ?，则()t ?由公式（5.26）决定。
反之，用公式（5.26）决定的向量函数()t ?必定是（5.14）的解。事实上，微分（5.26）得到
111
()()()()()()()
()()()()()
t
t t
t t t s f s ds t t f t A t t s f s ds f t ?---''=ΦΦ+ΦΦ=ΦΦ+??
再利用公式（5.26），即得
()()()()t A t t f t ??'=+
显然，还有0()0t ?=，这样一来，我们就得到了下面的定理8。 定理8 如果()t Φ是（5.15）的基解矩阵，则向量函数
1()()()()t
t t t s f s ds ?-=ΦΦ?
是（5.14）的解，且满足初始条件
0()0t ?=
由定理7和定理8容易看出（5.14）的满足初始条件
0()t ?η=
的解()t ?由下面公式给出
1
10()()()()()()t
t t t t t s f s ds ?η--=ΦΦ+ΦΦ? （5.27）
这里10()()()h t t t ?η-≡ΦΦ是（5.15）的满足初始条件
0()h t ?η=
的解。公式（5.26）或公式（5.27）称为非齐线性微分方程组（5.14）的常数变易公式。 第五章
例2 11010t e x x -????'=+????????12x x x ??=????1(0)1x -??=????
解 在例1中我们已经知道()0t
t t e te t e ??Φ=?
???
是对应的齐线性方程组的基解矩阵。取矩阵()t Φ的逆，我们得到：
1
210()01s s s s
s
e se s e t e e --????
-????Φ=
=????
这样，由定理8，满足初始条件
0(0)0ψ??=????
的解就是
20
021()01000
011(1)()220
00t
t s t t s t t s t t t t t t
t t s e te e e te e t e ds ds e e e e e e te e ψ------????
????
??==?
???????????????????
??????--????
==????????
????
??
因为(0)E Φ=，对应的齐线性方程组满足初始条件
1(0)1
h ?-??
=????
的解就是
1(1)()()1t h t t e t t e ?-??
-??=Φ=????????
由公式（5.27），所求解就是
11()()(1)()()()22
0t t t t t t h t t e e te e e t e t t t e e ??ψ--????
??--+-????
=+=+=????????????
注意到5.1.1关于n 阶线性微分方程的初值问题（5.6）与线性微分方程组的初值问题（5.7）等价性的讨论，我们可以得到关于n 阶非齐线性微分方程的常数变易公式。 推论3 如果12(),(),,()n a t a t a t ，()f t 是区间a t b ≤≤上的连续函数，
12(),(),,()n x t x t x t 是区间a t b ≤≤上齐线性方程
()(1)1()()0n n n x a t x a t x -+++= （5.21）
的基本解组，那么，非齐线性方程
()(1)1()()()n n n x a t x a t x f t -+++= （5.28）
高阶线性微分方程常用解法简介 关键词：高阶线性微分方程 求解方法 在微分方程的理论中，线性微分方程是非常值得重视的一部分内容，这不仅 因为线性微分方程的一般理论已被研究的十分清楚，而且线性微分方程是研究非线性微分方程的基础，它在物理、力学和工程技术、自然科学中也有着广泛应用。下面对高阶线性微分方程解法做一些简单介绍. 讨论如下n 阶线性微分方程：1111()()()()n n n n n n d x d x dx a t a t a t x f t dt dt dt ---++++= （1），其中()i a t （i=1,2,3,,n ）及f(t)都是区间a t b ≤≤上的连续函数，如果 ()0f t ≡，则方程（1）变为 1111()()()0n n n n n n d x d x dx a t a t a t x dt dt dt ---++++= （2），称为n 阶齐次线性微分方程，而称一般方程（1）为n 阶非齐次线性微分方程，简称非齐次线性微分方程，并且把方程（2）叫做对应于方程（1）的齐次线性微分方程. 1.欧拉待定指数函数法 此方法又叫特征根法，用于求常系数齐次线性微分方程的基本解组。形如 111121[]0,(3),n n n n n n n d x d x dx L x a a a x dt dt dt ---≡++++=其中a a a 为常数，称为n 阶常系数齐次线性微分方程。 111111111111[]()()()n t n t t t t n n n n n n n t t n n n n n n n d e d e de L e a a a e dt dt dt a a a e F e F a a a n λλλλλλλλλλλλλλλλ---------≡++++=++++≡≡++++其中=0(4)是的次多项式. ()F λ为特征方程，它的根为特征根. 1.1特征根是单根的情形 设12,,,n λλλ是特征方程111()0n n n n F a a a λλλλ--≡++++=的n 个彼此不相等的根，则应相应地方程（3）有如下n 个解：12,,,.n t t t e e e λλλ（5）我们指出这n 个解在区间a t b ≤≤上线性无关，从而组成方程的基本解组. 如果(1,2,,)i i n λ=均为实数，则（5）是方程（3）的n 个线性无关的实值 解，而方程（3）的通解可表示为1212,n t t t n x c e c e c e λλλ=+++其中12,,,n c c c 为任意常数. 如果特征方程有复根，则因方程的系数是实常数，复根将称对共轭的出现.设1i λαβ=+是一特征根，则2i λαβ=-也是特征根，因而于这对共轭复根
三阶常微分方程的线性化 摘要 研究三阶常微分方程的线性化，可便于对三阶常微分方程进行求解，本文主要研究，通过可逆的变量变换，将所有可线性化的三阶常微分方程转化成三阶程常微分方程的规范形式，进而得到它的通解。由于变量变换是可逆的，所以两种形式可以互相转化，从而可以利用该方法将一般三阶常微分方程转化成三阶常微分方程的规范形式。 关键词：变量变换,可线性化,三阶常微分方程 1. 三阶常微分方程的规范化 由于一般三阶常微分方程(ODE)比较繁琐，难以求解，所以需要找到将一般三阶常微分方程转化成线性化的三阶常微分方程（三阶常微分方程的规范形式）的方法。 1.1.背景 一般线性齐次方程 ()(-1)1-1()...()()0, n n n n u a t u a t u a t u ￠++++= (1.1) 可以写成如下二项式系数的标准形式： ()(-1)(-2) 21-1!()()...()()0. (-2)!2! n n n n n n c t u nc t u u nc t y c t u n ￠++ +++= (1.2) E . 拉盖尔于1879年证明了方程(1.2)里最高阶数以下的两个阶次项可以同时被消去，相应的结果可以用如下定理来表述： 定理1.1 n 阶常微分方程(1.2)可以通过合适的等价变换 φ()(φ()0),σ()(σ0),t x x u x y ￠=?? (1.3) 化简为： ()(-3) 3-1!()...()()0.3!(-3)!n n n n n c t u u nc t u c t u n ￠+ +++= (1.4) 1.2.主要思想 我们把方程(1.4)称为线性齐次n 阶方程的Laguerre 规范形式。特别地，三阶方程的规范形式为 α()0, u t u ⅱ?+= (1.5) 方程(1.5)很显然是线性的，那接下来的问题是，哪些三阶ODE 可以线性化为(1.5)呢？下面我们给出可线性化的三阶方程的形式。 定理 1.2 形如 32103210()0,y A y A y B y B y B y B ⅱⅱⅱⅱ?++++++= (1.6) 的三阶方程可以通过等价变换 φ()(φ()0),(,),t x x u x y y ￠=? (1.7)
第4章 一阶线性微分方程组 一 内容提要 1． 基本概念 一阶微分方程组：形如 ??? ????? ???===) ,,,,( ),,,,(),,,,(2121222111 n n n n n y y y x f dx dy y y y x f dx dy y y y x f dx dy ΛΛΛΛΛ （3.1） 的方程组，（其中n y y y ,,,21Λ是关于x 的未知函数）叫做一阶微分方程组。 若存在一组函数)(,),(),(21x y x y x y n Λ使得在[a,b]上有恒等式 ),,2,1))((,),(),(,() (21n i x y x y x y x f dx x dy n i i ΛΛ==成立，则 )(,),(),(21x y x y x y n Λ称为一阶微分方程组(3.1)的一个解 含有n 任意常数n C C C ,,,21Λ的解 ?????? ?===) ,,,,( ),,,,(),,,,(21321222111n n n n C C C x y C C C x y C C C x y ΛΛΛΛΛ??? 称为(3.1)通解。如果通解满方程组 ???????=Φ=Φ=Φ0 ),,,,,,,,( 0),,,,,,,,(0),,,,,,,,(21212121221211n n n n n n n C C C y y y x C C C y y y x C C C y y y x ΛΛΛΛΛΛΛΛ 则称这个方程组为（3.1）的通积分。 满足初始条件,)(,,)(,)(0020021001n n y x y y x y y x y ===Λ的解，叫做初值问题的解。
南阳理工学院 本科生毕业设计（论文） 学院：数理学院 专业：数学与应用数学 学生：王灿灿 指导教师：童姗姗 完成日期: 2014 年 05 月
南阳理工学院本科生毕业设计（论文） 常系数高阶线性非齐次微分方程 的若干类型研究 Certain Types of higher order linear constant coefficient non-homogeneous differential equation 总计：毕业设计（论文）20页 表格： 0个 插图： 0幅
南阳理工学院本科毕业设计（论文） 常系数高阶线性非齐次微分方程 的若干类型研究 Certain Types of higher order linear constant coefficient non-homogeneous differential equation 学院：数理学院 专业：数学与应用数学 学生姓名：王灿灿 学号： 105100140078 指导教师（职称）：童姗姗(讲师) 评阅教师： 南阳理工学院 Nanyang Institute of Technology
常系数高阶线性非齐次微分方程 的若干类型研究 数学与应用数学专业王灿灿 [摘要]本文研究了常系数高阶线性非齐次微分方程的求解问题，其关键是先求出相应的齐次微分方程的通解，再求非齐次微分方程的特解。而求特解的常用的待定系数法和常数变易法准备知识过多、演算过繁，给学习使用带来不便。因此，本文对此类微分方程的若干类型采用了新方法：升阶法和微分算子法。这两种方法克服了传统解法的缺点，且适用范围广、运算量小、简单易行，提高了常系数高阶线性非齐次微分方程的解题速度和准确度。 [关键词]常系数高阶线性非齐次微分方程；升阶法；微分算子法 Certain Types of higher order linear constant coefficient non-homogeneous differential equation Mathematic and Applied Mathematics WANG Can-can Abstract:This paper studies the problem of solving the non-constant coefficients higher order linear homogeneous differential equation, the key is to find the general solution of the corresponding homogeneous differential equation, and then seek special solution of non-homogeneous differential equation. The Special Solution commonly used method of undetermined coefficients and constants Variation prepare too much knowledge of calculus is too complex, to learn how to use the
高阶线性微分方程常用解法简介 摘要：本文主要介绍高阶线性微分方程求解方法，主要的内容有高阶线性微分方程求解的常 用方法如。 关键词：高阶线性微分方程 求解方法 在微分方程的理论中，线性微分方程是非常值得重视的一部分内容，这不仅 因为线性微分方程的一般理论已被研究的十分清楚，而且线性微分方程是研究非线性微分方程的基础，它在物理、力学和工程技术、自然科学中也有着广泛应用。下面对高阶线性微分方程解法做一些简单介绍. 讨论如下n 阶线性微分方程：1111()()()()n n n n n n d x d x dx a t a t a t x f t dt dt dt ---++++= （1），其中()i a t （i=1,2,3, ,n ）及f(t)都是区间a t b ≤≤上的连续函数，如果 ()0f t ≡，则方程（1）变为 1111()()()0n n n n n n d x d x dx a t a t a t x dt dt dt ---++++= （2），称为n 阶齐次线性微分方程，而称一般方程（1）为n 阶非齐次线性微分方程，简称非齐次线性微分方程，并且把方程（2）叫做对应于方程（1）的齐次线性微分方程. 1.欧拉待定指数函数法 此方法又叫特征根法，用于求常系数齐次线性微分方程的基本解组。形如 111121[]0,(3),n n n n n n n d x d x dx L x a a a x dt dt dt ---≡++++= 其中a a a 为常数，称为n 阶常系数齐次线性微分方程。 111111111111[]()()()n t n t t t t n n n n n n n t t n n n n n n n d e d e de L e a a a e dt dt dt a a a e F e F a a a n λλλλλλλλλλλλλλλλ---------≡++++=++++≡≡++++ 其中=0(4)是的次多项式. ()F λ为特征方程，它的根为特征根. 1.1特征根是单根的情形 设12,,,n λλλ 是特征方程111()0n n n n F a a a λλλλ--≡++++= 的n 个彼此不相等的根，则应相应地方程（3）有如下n 个解：12,,,.n t t t e e e λλλ （5）我们指出这n 个解在区间a t b ≤≤上线性无关，从而组成方程的基本解组. 如果(1,2,,)i i n λ= 均为实数，则（5）是方程（3）的n 个线性无关的实值解，而方程（3）的通解可表示为1212,n t t t n x c e c e c e λλλ=+++ 其中12,,,n c c c 为任意常数. 如果特征方程有复根，则因方程的系数是实常数，复根将称对共轭的出现.
变系数线性常微分方程的求解 张慧敏，数学计算机科学学院 摘要：众所周知，所有的常系数一阶、二阶微分方程都是可解的，而变系数 二阶线性微分方程却很难解，至今还没有一个普遍方法。幂级数解法是一个非常有效的方法，本文重点讨论二阶变系数线性常微分方程的解法，从幂级数解法、降阶法、特殊函数法等方面探究了二阶微分方程的解法，简单的介绍了几种高阶微分方程的解法，并讨论了悬链线方程等历史名题。 关键词：变系数线性常微分方程；特殊函数；悬链线方程；幂级数解法 Solving linear ordinary differential equations with variable coefficients Huimin Zhang , School of Mathematics and Computer Science Abstract：As we know, all of ordinary differential equations of first, second order differential equations with constant coefficients are solvable. However, the linear differential equations of second order with variable coefficients are very difficult to solve. So far there is not a universal method. The method of power-series solution is a very efficient method. This article focuses on solving linear ordinary differential equations of second order with variable coefficients, and exploring the solution of in terms of power-series solution, the method of reducing orders, the method of special functions. Also, this paper applies the above methods to solve several linear differential equations of higher order and especially discusses the famous catenary equation. Key words：Linear ordinary differential equations with variable coefficients; Special Functions; catenary equation; Power Series Solution.
常系数线性微分方程的解法 摘要：本文对常系数线性方程的各种解法进行分析和综合，举出了每个方法的例题，以便更好的掌握对常系数线性微分方程的求解. 关键词：特征根法；常数变易法；待定系数法 Method for solving the system of differential equation with Constant Coefficients Linear Abstract: Based on the linear equations with constant coefficients of analysis and synthesis method, the method of each sample name, in order to better grasp of the linear differential equation with constant coefficients of the solution. Key Words: Characteristic root ；Variation law ；The undetermined coefficient method 前言：常系数性微分方程因形式简单，应用广泛，解的性质及结构已研究的十分清楚，在常微分方程中占有十分突出的地位。它的求解是我们必须掌握的重要内容之一，只是由于各种教材涉及的解法较多，较杂，我们一般不易掌握，即使掌握了各种解法，在具体应用时应采用哪种方法比较适宜，我们往往感到困难。本文通过对一般教材中涉及的常系数线性微分方程的主要解法进行分析和比较，让我们能更好的解常系数线性微分方程。 1．预备知识 复值函数与复值解 如果对于区间a t b ≤≤中的每一实数t ，有复值()()()z t t i t ?ψ=+与它对应，其中()t ?和()t ψ是在区间a t b ≤≤上定义的实函数，1i =-是虚数单位，我们就说在区间a t b ≤≤上给定了一个复值函数()z t .如果实函数()t ?，()t ψ当t 趋于 0t 时有极限，我们就称复值函数()z t 当t 趋于0t 时有极限，并且定义
一阶常系数线性齐次微分方程组的求解 【模型准备】一只虫子在平面直角坐标系内爬行. 开始时位于点P 0(1, 0)处. 如果知道虫子在点P (x , y )处沿x 轴正向的速率为4x - 5y , 沿y 轴正向的速率为2x - 3y . 如何确定虫子爬行的轨迹的参数方程? 图31 虫子爬行的轨迹 【模型假设】设t 时刻虫子所处位置的坐标为(x (t ), y (t )). 【模型构成】由已知条件和上述假设可知 d 45,d d 23,d x x y t y x y t ?=-????=-??而且(x (0), y (0)) = (1, 0). 现要由此得出虫子爬行的轨迹的参数方程. 【模型求解】令A =4523-?? ?-?? , 则|λE -A | =4523λλ--+= (λ+1)(λ-2). 可见A 的特征值为λ1 = -1, λ2 = 2. (-E -A )x = 0的一个基础解系为: ξ1 = (1, 1)T ; (2E -A )x = 0的一个基础解系为: ξ2 = (5, 2)T . 令P = (ξ1, ξ2), 则P -1AP =1002-?? ??? . 记X =x y ?? ???, Y =u v ?? ??? , 并且作线性变换X = PY , 则Y = P -1X , d d t Y = P -1d d t X = P -1AX = P -1APY =1002-?? ??? Y , 即 d d d d u t v t ?? ???=1002-?? ???u v ?? ??? , 故u = c 1e -t , v = c 2e 2t , 即Y =122t t c e c e -?? ??? . 因而 12c c ?? ??? = Y |t =0 = P -1X |t =0 =2/35/31/31/3-?? ?-??10?? ???=2/31/3-?? ???. 于是 x y O 1 何去何从?
常系数线性微分方程的解法 摘 要：本文主要介绍了常系数线性微分方程的解法.着重讨论利用代数运算和微分运算来求常系数齐次线性微分方程和非齐次线性微分方程的通解. 关键词：复值函数与复值解；欧拉方程；比较系数法；拉普拉斯变换法 The Solution of Linear Differential Equation with Constant Coefficients Abstract ：The solutions of linear differential equation with constant coefficients are introduced in this article. And using the algebraic operation and differential operation to solv the general solution of homogeneous linear differential equation and nonhomogeneous linear differential equation are discussed emphatically. Key Words ：complex flnction and complex answer; euler equation;the method of coefficients comparison; the method of laplace transformation. 前言 为了让我们更多的认识和计算常系数线性微分方程，本文通过对复值函数和复值解以及常系数线性微分方程和欧拉函数的简单介绍，进而简单讨论了常系数线性微分方程的解法,以此来帮助我们解决常系数线性微分方程的解. 1. 预备知识 1.1复值函数与复值解 如果对于区间a t b ≤≤中的每一个实数t ,有复数()()()z t t i t ?ψ=+与它对应,其中 ()t ?和()t ψ是在区间a t b ≤≤上定义的实函数,i =是虚数单位,我们就说在区间 a t b ≤≤上给定了一个复值函数()z t .如果实函数()t ?,()t ψ当t 趋于0t 时有极限,我们 就称复值函数()z t 当t 趋于0t 时有极限,并且定义 lim ()lim ()lim ()t t t t t t z t t t ?ψ→→→=+. 如果0 0lim ()()t t z t z t →=,我们就称()z t 在0t 连续.显然,()z t 在0t 连续相当于()t ?,()t ψ在0 t 连续.当()z t 在区间a t b ≤≤上每点都连续时,就称()z t 在区间a t b ≤≤上连续.如果极
第七章常微分方程7.8 高阶齐次线性微分方程 数学与统计学院 赵小艳
1 2 高阶线性微分方程的概念 1 主要内容 3 4 高阶齐次线性微分方程解的性质函数的线性相关与线性无关 高阶齐次线性微分方程通解的结构
1 2 高阶线性微分方程的概念 1 主要内容 3 4 高阶齐次线性微分方程解的性质函数的线性相关与线性无关 高阶齐次线性微分方程通解的结构
解 受力分析 1 高阶线性微分方程的概念 例1 （弹簧的机械振动） 如图，弹簧下挂一物体.设在垂直方向有一随时间变化的外力 作用在物体上，物体将受外力驱使而上下振动，求物体的振动规律. pt H t f sin )(1= 以物体的平衡位置为坐标原点，x 轴的方向垂直 向下. x x o )(1t f ;sin )()1(1pt H t f =外力;)2(kx f -=弹性力v f μ-=0)3(介质阻力,ma F =由x kx t f x m d d μ--=)(2可得.t x d d μ-= 设振动开始时刻为0，t 时刻物体离开平衡位 置的位移为x (t ).
,ma F =由x kx t f x m d d μ--=)(2 可得t t 2d d 物体自由振动的微分方程 .0,000====t t t x x d d 还应满足初始条件：
一般地，称 )()()(2122t F x t P t x t P t x =++d d d d 为二阶线性微分方程， ,0)(时当≡t F 称为二阶齐次线性微分方程, ,0)(时当≠t F 称为二阶非齐次线性微分方程. )()()()()()()()(1)1(1)(t F t x t P t x t P t x t P t x n n n n =++++-- n 阶线性(微分)方程 ,0)(时当≡t F n 阶齐次线性微分方程, t t 2d d .0,000====t t t x x d d 还应满足初始条件：物体自由振动的微分方程
第四章 线性常微分方程的级数解法 4.1 常点邻域之级数解法 ① 常点邻域的级数解概念 ---- （二阶线性常微分方程的一般形式） 0)()(=+'+''w z q w z p w (4.1) ----（常点概念） 对于式(4.1)中,若)(z p 与 )(z q 在某点及其邻域内解析,则称此点为常点； 反之,若)(z p 与)(z q 至少一个在该点不解析,则称此点为奇点。 ----（常点邻域内解的存在定理） 若)(z p 与 ) (z q 在 R z z <-0内单值解析,则方程(4.1)在 R z z <-0内存在单值唯一的解析解。 ----（常点0z 邻域内之级数解的一般形式） 若 )(z p 与)(z q 在R z z <-0内单值解析,则对于式 (4.1),可设级数解∑∞ =-=0 0)(n n n z z a w ,再将 ) (z p 与 )(z q 在R z z <-0内展为泰勒级数,代入式(4.1)以 确定级数解之待定系数。 ② 勒让德方程之级数解 ----（勒让德方程形式）
0)1(2)1(2=++'-''-y l l y x y x (4.2) ----（在常点0=x 邻域内的级数解） 分析： 由1 2)(2-= x x x p 及2 1) 1()(x l l x q -+=，可知0=x 为常点；故可设：∑∞ ==0 n n n x a y ， 相应：∑∞ =-='1 1 n n n x na y ，∑∞ =--=''2 2)1(n n n x a n n y ， 代入方程(4.2)，得： )1(2)1()1)(2(0 2=++--- ++∑∑∑∑∞ =∞ =∞ =∞ =+n n n n n n n n n n n n x a l l x na x a n n x a n n ，即： n n a l l n n a n n )()1)(2(222--+=+++，或 n n a n n l n l n a ) 1)(2() 1)((2++++-=+；显然有： 02!2)1)((a l l a +-= ，13!3) 2)(1(a l l a +-=， 04! 4)12)(2)(1)((a l l l l a ++-+-=， 15! 5)4)(3)(2)(1(a l l l l a +-+-=，即 02)! 2() 12)(22()1)((a k l k l k l l a k +---+-= ， 012)! 12() 2)(12()2)(1(a k l k l k l l a k ++--+-= + ；相应级 数解为两个线性无关解的迭加： ∑∑∑∑∞ =++∞ =∞ =++∞ =+=+ = 1 21210 220 1 2120 22k k k k k k k k k k k k x A a x A a x a x a y (4.3)
第八章 8.4讲 第四节 二阶常系数线性微分方程 一、二阶常系数线形微分方程的概念 形如 )(x f qy y p y =+'+'' (1) 的方程称为二阶常系数线性微分方程.其中p 、q 均为实数,)(x f 为已知的连续函数. 如果0)(≡x f ,则方程式 (1)变成 0=+'+''qy y p y (2) 我们把方程(2)叫做二阶常系数齐次线性方程,把方程式(1)叫做二阶常系数非齐次线性方程. 本节我们将讨论其解法. 二、二阶常系数齐次线性微分方程 1．解的叠加性 定理1 如果函数1y 与2y 是式(2)的两个解, 则2211y C y C y +=也是式(2)的解,其中21,C C 是任意常数. 证明 因为1y 与2y 是方程(2)的解,所以有 0111 =+'+''qy y p y 0222 =+'+''qy y p y 将2211y C y C y +=代入方程(2)的左边,得 )()()(22112211221 1y C y C q y C y C p y C y C ++'+'+''+'' =0)()(2222111 1=+'+''++'+''qy y p y C qy y p y C 所以2211y C y C y +=是方程(2)的解. 定理1说明齐次线性方程的解具有叠加性. 叠加起来的解从形式看含有21,C C 两个任意常数,但它不一定是方程式(2)
的通解. 2.线性相关、线性无关的概念 设,,,,21n y y y 为定义在区间I 内的n 个函数,若存在不全为零的常数 ,,,,21n k k k 使得当在该区间内有02211≡+++n n y k y k y k , 则称这n 个函数在区间I 内线性相关,否则称线性无关. 例如 x x 2 2 sin ,cos ,1在实数范围内是线性相关的,因为 0sin cos 12 2≡--x x 又如2,,1x x 在任何区间(a,b)内是线性无关的,因为在该区间内要使 02321≡++x k x k k 必须0321===k k k . 对两个函数的情形,若 =21y y 常数, 则1y ,2y 线性相关,若≠2 1y y 常数, 则1y ,2y 线性无关. 3.二阶常系数齐次微分方程的解法 定理 2 如果1y 与2y 是方程式(2)的两个线性无关的特解,则 212211,(C C y C y C y +=为任意常数)是方程式(2)的通解. 例如, 0=+''y y 是二阶齐次线性方程,x y x y cos ,sin 21==是它的两个解,且 ≠=x y y tan 2 1 常数,即1y ,2y 线性无关, 所以 x C x C y C y C y cos sin 212211+=+= ( 21,C C 是任意常数)是方程0=+''y y 的通解. 由于指数函数rx e y =(r 为常数)和它的各阶导数都只差一个常数因子,
五邑大学学报 JOURNAL OF WUYI UNIVERSITY 1999年 第13卷 第1期 Vol.13 No.1 1999 线性常系数微分方程的求解公式 陈新明 杨逢建 摘要 利用微分算子法给出了n阶线性常系数非齐次方程的求解公式。 关键词 微分方程线性；非齐次 中图分类号 O175.1 Formulas for solving the Linear Differential Equations with constants coefficients CHENXin-mingYANGFeng-jian (1.Dept.ofMath&Phys.,WuyiUniv,Jiangmen529020,China 2.Dept.ofMath.&Phys.,ZhongkaiAgric.&Technol.Inst.,Guangzhou510225,China) Abstract In this paper, using differential operater, we present five formulas for solving the n-th-order inhomogeneous linear differential equation with constant coefficients so～lution. Keywords differential equation;linear;inhomogeneouss 对n阶常系数线性非齐次方程 (1)记,并记A(D)=D n+P1D n-1++P n-1D+P n,则方程（1）可记成 A(D)y=f(x) (1')求方程（1）的通解的关键是求出其特解y*,为得出求特解y*的公式，先给出如下引理。 引理1
开题报告 数学与应用数学 高阶线性常微分方程的解法和应用 一、综述本课题国内外研究动态, 说明选题的依据和意义 常微分方程是微分方程中的其中一种, 它是在17世纪伴随着微积分而发展起来的一门具有重要应用价值的学科, 是研究连续量变化规律的重要工具, 也是众多实际问题与数学之间联系的重要桥梁. 17世纪就有人提出了弹性问题, 这类问题导致悬链线方程、振动弦的方程等等. 从19世纪下半叶开始, 随着微积分学的公理化与严密化, 微分方程逐渐从微积分中独立并分离开来, 形成了逐渐自己系统而严密的理论体系, 发展成为常微分和偏微分方程两大现代数学分支. 事实上, 求()y f x '=的原函数问题便是一个最简单的常微分方程. 提及常微分方程, 常常会让人不由得想起牛顿. 在历史上, 牛顿正是通过求解常微分方程证实了地球绕太阳运动的轨道是椭圆, 他还解决了二体问题: 在太阳引力作用下, 一个单一的行星的运动. 他把两个物体都理想化质点, 得到3个未知函数的3个二阶方程组, 经简单计算证明, 可化为平面问题, 即两个未知函数的两个二阶微分方程组. 用现在叫做 “首次积分” 的办法, 完全解决了它的求解问题. 天文学家通过常微分方程的计算, 预见了海王星的存在. 随着工业化的进展, 常微分方程在航海、航空工业生产以及自然科学的研究中发挥了重要的作用. 在当今高新技术迅猛发展的时代, 常微分方程更加广泛地渗透到了诸如电信、化工、航天、生物、医药、经济、信息、军事、控制、管理乃至社会科学等各个领域, 显示着它的蓬勃生机和活力. 计算机和计算技术的发展, 使微分方程的求解冲破了经典方法的局限, 迈向数值计算和图像模拟, 这为微分方程的应用提供了更为广阔的天地和有效的手段, 也使得建立数学模型显得格外重要. 在当代, 甚至许多社会科学的问题亦导致微分方程, 如人口发展模型、交通流模型……因而微分方程的研究是与人类社会密切相关的. 我这次的论文方向主要涉及的是微分方程中的高阶线性常微分方程的求解方法和它在实际中的应用问题. 因为常微分与经典的动力学是孪生兄弟, 一直是物理学家赖以对动态世界进行定量描述, 破解造物主在宇宙万物中设置的密码的一种主要手段, 它同时也是应用科
关于高阶线性微分方程的一般解法 林文业 湛江公路工程大队 邮编:52400 电话0668-8322239 (本文曾于2000年在《湛江师范学报.增刊》发表) 摘要: 对于一般的高阶线性微分方程,本文建立起其解法基本理论,并在此基础上求出了它的通解,从而肯定了一般高阶线性微分方程在它的定义域上可解,并具有解的一般形式. 关键词: 高阶线性微分方程; 解法定理; 一般解法 一. 简单规定 本文所考虑的数都是实数, 所考虑的函数都是实函数,m 、n 、k 为自然数.在不改变多重积分函数性质的情况下,作出如下简记: n n dx x f dx dx dx x f ))(())))((((?=????? n 重 n 重 以下“…”号均表示n 重 2 ) ())(( ) )()))()()((()(()(n n n n n n n n n dx x p dx dx dx x p x p x p ????=?? n x x n n t x t x x x dx x f dt dt dt t f n ))()(())))((((01 1 1100??? ?=??-- 2 )())(( ))()))()()(( ()(( )(n n x x n n n n x x n x x n x x n dx x f dx dx dx x f x f x f ? ? ? ? =?? 二.预备定理及推论 预备定理1: 若函数)(x f 与)(x g 在区间[]b a ,上连续,且对任意[]b a x ,∈,都有 )()(x g x f ≤,则 11001100))))(((())))((((1 1 1 1 --??≤???? ??? ? --n t x t x x x n t x t x x x dt dt dt t g dt dt dt t f n n b x x a ≤≤≤0 预备定理2: 若函数)(x f 在区间[]b a ,上可积,则函数)(x f 在[]b a ,上也可积,且 11001100))))(((())))((((1 1 1 1 --??≤???? ??? ? --n t x t x x x n t x t x x x dt dt dt t f dt dt dt t f n n b x x a ≤≤≤0 预备定理3: 若函数)(x f 与)(x g 在区间[]b a ,上连续,且m x f ≤)(,0>m ,则 1 10011000))))(((())))()((((1 1 1 1 --??≤???? ??? ?--n t x t x x x n t x t x x x dt dt dt t g m dt dt dt t g t f n n b x x a ≤≤≤0
二阶常系数非齐次微分方程典型例题 例1：y′′?5y′+6y=e?x 解：通过特征根方程可知，y′′?5y′+6y=0的通解为： y=C1e2x+C2e3x 观察通解特征，设特解y?=k e?x y?′=?k e?x ,y?′′=k e?x 代入原方程得：12ke?x=e?x, k=1 12 答案：y=C1e2x+C2e3x+1 12 e?x 例2：y′′?5y′+6y=2e3x 解：通过特征根方程可知，y′′?5y′+6y=0的通解为： y=C1e2x+C2e3x 观察通解特征，设特解y?=k xe3x y?′=k(1+3x)e3x ,y?′′=k(6+9x)e3x 代入原方程得：k e3x=2e3x ,k=2 答案：y=C1e2x+C2e3x+2xe?x 例3：y′′?5y′+6y=2x+4cos3x?e x 解：通过特征根方程可知，y′′?5y′+6y=0的通解为： y=C1e2x+C2e3x 观察通解特征，设特解y?=ax+b+ccos(3x)+dsin(3x)+ke x y?′=a?3csin3x+3dcos3x+ke x ,y?′′=?9ccos3x?9dsin3x+ke x 代入原方程得：a=1 3,b=5 18 ,c=?2 39 ,d=?10 39 ,k=?1 2 . 答案：y=C1e2x+C2e3x+1 3x+5 18 ?2 39 cos(3x)?10 39 sin(3x)?1 2 e x 例4：y′′?2y′+y=2e3x 解：通过特征根方程可知，y′′?2y′+y=0的通解为： y=C1e x+C2xe x 观察通解特征，设特解y?=k e3x y?′=3k e3x ,y?′′=9k e3x 代入原方程得：k=1 2 答案：y=C1e x+C2xe x+1 2 e x 例5：y′′?2y′+y=2e x 解：通过特征根方程可知，y′′?2y′+y=0的通解为： y=C1e x+C2xe x 观察通解特征，设特解y?=k x2e x