第37卷第4期 2010年7月
浙江大学学报(理学版J
Journal of Zhejiang University(Science Edition
https://www.doczj.com/doc/5f8399572.html,/sci
V01.37NO.4 Jul.2010
基于次态卡诺图的tJr、K激励函数最小化方法及时序逻辑电路自启动设计
任骏原
(渤海大学物理系,辽宁锦州121000
搐要:分析了JK触发嚣的激励函数和次态函数的关系并在卡诺图上建立二者的联系,提出了在触发器的次态卡诺图上直接求解最小化.,、K激励函数的方法,讨论了无效状态的赋值问题及自启动设计方法,对简化时序逻辑电路的设计过程具有实用意义.
关键词:JK触发器;激励函数;自启动;时序逻辑电路设计
中图分类号:TP 332.1文献标志码:A 文章编号:1008—9497(201004—425—03
REN Jun-yuan(Department of Physics,Bohai University,Jinzhou 121000,Liaoning Province,China Minimization method of J and K excitation function based Oil next-state karnau【gh maps and self-starting design of sequential logic circuits.Journal of Zhejiang University(Science Edition,2010,37(4:425--427
Abstract:The relation between excitation function and next—state function of JK flip-flop was analyzed based on Kar-naugh maps.The
method of solving 1and K excitation function based on next—state Karnaugh maps was proposed and the assignment for inactive state and the design of self-starting were discussed。which may have practical mean-ing to simplify the design process of sequential logic circuits.
Key Words:JK flip-flop;excitation function;self-stating;design of sequential logic circuits
0引言
在SSI时序逻辑电路设计中,遵循的设计准则是[1]:在保证所设计的时序逻辑电路具有正确功能的前提下,触发器的激励函数应最小化,从而简化电路结构.一般还要求,在有冗余的无效状态时所设计的电路能够自启动.
用JK触发器进行时序逻辑电路设计时,现行主要文献介绍的方法是[21]:先求触发器最小化的次态函数,再和触发器的特性方程对比求J、K激励函数.这种方法存在的问题是:次态函数最小化并不能保证激励函数也是最小化口3;次态函数和.,、K激励函数对应关系不明显,自启动设计无规律可循. 因此,需要寻求简捷、直观的-,、K激励函数最小化方法及时序逻辑电路自启动设计方法.
本文在深入分析JK触发器的激励函数和次态函数关系的基础上,提出基于触发器次态卡诺图的 .,、K激励函数的最小化方法[4],其特点是激励函数和次态函数对应关系直观明了,既便于求解最小化的激励函数,又便于查看冗余状态的转换关系、修改逻辑关系进行自启动设计.
1JK触发器的激励函数和次态函数的关系
设时序逻辑电路有m个输入变量X。、X。、…、 X一。,由,1个触发器构成,其现态变量为q、口、…、 Q01.
时序逻辑电路中,各触发器的次态是输入变量、现态变量的函数,第i个触发器的次态函数可表示为
收稿日期:2009-12—25.
作者简介:任骏原(1955--,男,副教授,主要从事电子技术教学与研究工作.
426浙江大学学报(理学版第37卷
Q∥一=f(Xo,Xl,..。,X一1,q,翻,…,Q01.(1
若无输入变量时,则 3无效状态的自启动设计
秽1=厂(磁,a,…,Q0-. (2 表示式(1、(2的卡诺图称为次态卡诺图.
第i个JK触发器的特性方程为[2-3]
Q尹1一JiQ?+KiQ7. (3 分析式(3,可发现JK触发器具有2选1的选择功能,由此得第i个触发器的激励函数J;、K,和次态函数Q矿1的关系为
Jf=Q广1l碟。o. (4 K。=Qrl I芷.1. (5 由式(4、(5可知:
(1第i个触发器的激励函数.,;、K,是输入变量、现态变量的函数,但不含有第i 个触发器的现态变量Q?或Q7.
(2在次态函数Q尹1的卡诺囹中,Q=0区域的次态表示激励函数.厂。、Q=1区域的次态取反后表示激励函数K;,可在次态函数卡诺图上直接求取最小化的J。、Ki激励函数.
2基于次态卡诺图的tJr、K激励函数的最小化方法
由式(4、(5,得出基于次态函数卡诺图的J、 K激励函数的最小化求解方法:
(1由式(4,在次态函数Q,1卡诺图的Q?=0区域,按相邻关系圈1格画包围圈化简,并在化简结果中代人Q=0的求解条件,即得第i个触发器的
激励函数,i的最小化结果;
(2由式(5,在次态函数甜1卡诺图的Q?=l 区域,按相邻关系圈0格(因Q=1的区域取反后表示激励函数K,画包围圈化简,并在化简结果中代入Q=1的求解条件,即得第i个触发器的激励函数Ki的最小化结果.
(3当有无效状态作为设计时序逻辑电路的无关项时,要充分利用各区域的无关项×格扩大包围圈进行化简.
饼残
O
l
设计时序逻辑电路当有冗余无效状态时,无效状态作为无关项处理,一般要求能够自启动E2-33. 式(4、(5表明,激励函数和次态函数有确定的关系,在触发器次态函数卡诺图上画包围圈求解激励函数时也确定了无关项的次态值:
由式(4,在次态函数Q,1卡诺图的Q?=0区域圈1格画包围圈求解激励函数,i时,圈人包围圈的×格无关项其次态被确定为1值,没被圈人包围圈的×格无关项其次态被确定为0值;
由式(5,在次态函数Qrl卡诺图的Q?=1区域圈0格画包围圈求解激励函数K。时,圈入包围圈的×格无关项其次态被确定为0值,没被圈入包围圈的×格无关项其次态被确定为1值.
因此根据各×格无关项被确定的次态值可直接检查自启动情况,若不能自启动,需修改求,、K 激励函数包围圈的圈法改变对某些无关项所赋的次态值,将无关项直接或间接引导到有效状态.
修改的原则:兼顾状态转换关系能自启动和激励函数最小化的要求,在能自启动的前提下应尽量减少被修改的无关项和修改位.
4设计举例
例l 用JK触发器设计一个如图1所示状态图要求的能自启动的同步时序逻辑电路.
所设计的电路由3个触发器构成,有3位状态量QzQ。Qo,共有23=8个状态,图1中以外的000、 111状态为无效状态.
由图1做出各触发器的次态函数卡诺图及输出
函数卡诺图如图2所示.
@,2铲℃∞ /1l I加
④?蕊啪
图1所设计同步时序逻辑电路的状态图
Fig.1State diagram of synchronous sequentiallogic circuit
Q:“ Q_。Qf’ z 图2各个触发器的次态卡诺图、输出卡诺图及求.,、K和Z的化简
Fig.2Next—state Karnaugh maps of flip-flops。output Karnaugh maps and simplification of J,K and Z
第4期任骏原:基于次态卡诺图的.,,K激励函数最小化方法及时序逻辑电路自启动设计427
在图2所示的各次态函数卡诺图中划分出 a=0区域、a=1(阴影区域,在Q=0区域画求J;的包围圈、Q=1区域画求K,的包围圈,并在 ×的右侧标注无关项的赋值,在图2所示输出函数卡诺图的全部区域按最简原则画包围圈求Z,并在 ×的右侧标注无关项的赋值.
由图2,据次态函数卡诺图×格无关项所确定的次态值及输出函数卡诺图×格无关项所确定的输出值,画出无效状态000、111的状态图检查自启动情况如图3所示.
@/Z嘲
图3
无效状态的状态图
Fig.3
Diagrams of inactive
state
图3表明,无效状态000、111不能进人有效状态, 不能够自启动,需修改对无效状态所赋的次态值,断开无效循环链,将无效状态引导到有效状态上.
观察图3、图1可知,以一个无效状态为修改项、只修改一位时有图4所示的几种修改方案.
仑 lQg。Q
p
①修改Q2位①修改g位 @修改Qo位⑩修改Q位 O修改啦①修改Q0位
图4
自启动的几种修改方案
Fig.4
Amendments
to
self-stating
本例选择无效状态000为修改项、Q。位为修改位,将Q2位所赋的次态值由1修改为0,在Q矿1的卡诺图上重薪画求解J。的包围圈如图5所示.
町‘
图5
Q矿1次态卡诺图求J、K的逻辑修改
Fig.5
Next-state Karnaugh maps
of甜1
for solving
J,K
由图5的Q矿1、图2的Qrl、Q矿1各次态函数卡诺图中包围圈对无效状态所赋的次态值及图2中输出函数Z的卡诺图中包围圈对无效状态所赋的输出值,得修改后无效状态自启动的状态图如图6所示.
@,z胪拶艳c~翻
图6
逻辑修改后无效状态的状态图
Fig.6
Diagrams of inactive
state
after logic modification
由图5的Q矿1、图2的Qrl、Q矿1各次态函数卡诺图及输出函数Z的卡诺图中的化简情况,得各触发器-,、K激励函数及输出函数表达式:
J z=Q aQ I嘏:o=@a.
K2=Q饼l职:1=a. ,l=口q f饼:。一Q. Ki=a翻I饼:。=Q. Jo=Q翻I环。o=Q. K。=Q四f球:。一Q;.
Z—Q:Qg.
据各激励函数表达式及输出函数表达式可画逻辑图.
5
结
语
触发器的次态函数卡诺图既表示状态转换关系,又分区域表明次态函数与J、K 激励函数的关系,从而可实现在次态函数卡诺图上进行.,、K激励函数最小化与检查无效状态所赋次态值及逻辑修改进行自启动设计同步进行.
所述方法也适于异步时序逻辑电路设计. 参考文献(References:
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(责任编辑涂红
基于次态卡诺图的J、K激励函数最小化方法及时序逻辑电路自启动设计作者:任骏原 , REN Jun-yuan
作者单位:渤海大学,物理系,辽宁,锦州,121000
刊名:浙江大学学报(理学版
英文刊名:JOURNAL OF ZHEJIANG UNIVERSITY(SCIENCE EDITION年,卷(期:
2010,37(4
参考文献(4条
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1.4 用卡诺图化简逻辑函数 本次重点内容 1、卡诺图的画法与性质 2、用卡诺图化简函数 教学过程 应用卡诺图化简 一、卡诺图 逻辑函数可以用卡诺图表示。所谓卡诺图，就是逻辑函数的一种图形表示。对n 个变量的卡诺图来说，有2n 个小方格组成，每一小方格代表一个最小项。在卡诺图中，几何位置相邻（包括边缘、四角）的小方格在逻辑上也是相邻的。 二、最小项的定义及基本性质： 1、最小项的定义 在n 个变量的逻辑函数中，如乘积项中包含了全部变量，并且每个变量在该乘积项中或以原变量或以反变量的形式但只出现一次，则该乘积项就定义为该逻辑函数的最小项。通常用m 表示最小项，其下标为最小项的编号。编号的方法是：最小项的原变量取1，反变量取0，则最小项取值为一组二进制数，其对应的十进制数便为该最小项的编号。如最小项C B A 对应的变量取值为000，它对应十进制数为0。因此，最小项C B A 的编号为m 0，如最小项C B A 的编号为m 4，其余最小项的编号以此类推。 2、最小项的基本性质： （1）对于任意一个最小项，只有一组变量取值使它的值为1，而其余各种变量取值均使它的值为0。 （2）不同的最小项，使它的值为1的那组变量取值也不同。 （3）对于变量的任一组取值，全体最小项的和为1。 图1.4.1分别为二变量、三变量和四变量卡诺图。在卡诺图的行和列分别标出变量及其状态。变量状态的次序是00，01，11，10，而不是二进制递增的次序00，01，10，11。这样排列是为了使任意两个相邻最小项之间只有一个变量改变（即满足相邻性）。小方格也可用二进制数对应于十进制数编号，如图中的四变量卡诺图，也就是变量的最
b 第十章 数字逻辑基础 补充：逻辑函数的卡诺图化简法 1．图形图象法：用卡诺图化简逻辑函数，求最简与或表达式的方法。卡诺图是按一定规则画出来的方框图。 优点：有比较明确的步骤可以遵循，结果是否最简，判断起来比较容易。 缺点：当变量超过六个以上，就没有什么实用价值了。公式化简法优点：变量个数不受限制 缺点：结果是否最简有时不易判断。2．最小项（1）定义：是一个包括所有变量的乘积项，每个变量均以原变量或反变量的 形式出现一次。 注意：每项都有包括所有变量，每个乘积它中每个变量出现且仅出项1次。如：Y=F （A ，B ） （2个变量共有4个最小项 ） B A B A B A AB Y=F （A ，B ，C ） （3个变量共有8个最小项 C B A C B A C B A BC A ） C B A C B A C AB ABC 结论：n 变量共有2n 个最小项。三变量最小项真值表 （2）最小项的性质 ①任一最小项，只有一组对应变量取值使其值为1：②任意两个最小项的乘种为零；③全体最小项之和为1。 （3）最小项的编号：把与最小项对应的变量取值当成二进制数，与之相应的
h i n g s n 十进制数，就是该最小项的编号，用m i 表示。 3．最小项表达式——标准与或式 任何逻辑函数都可以表示为最小项之和的形式——标准与或式。而且这种形式是惟一的，即一个逻辑函数只有一种最小项表达式。 例1．写出下列函数的标准与或式：Y=F(A,B,C)=AB+BC+CA 解：Y=AB(+C)+BC(+A)+CA(+B) C A B =ABC C B A ABC BC A ABC C AB +++++ =ABC C B A BC A C AB +++ =3 567m m m m +++例2.写出下列函数的标准与或式：C B AD AB Y ++=解：))()( C B D A B A Y +++=（ ) )((C B D B A ++= D C B C A B A B A +++= D C B A D C B A C B A C B A BC A ++++= D C B A D C B A D C B A D C B A D C B A D BC A BCD A ++++++=_ 8014567m m m m m m m ++++++= ＝） 8,7,6,5,4,1,0(m ∑列真值表写最小项表达式。
卡诺图化简 一卡诺图的构成 卡诺图是一种平面方格图，每个小方格代表一个最小项，故又称为最小项方格图。 1．结构特点 卡诺图中最小项的排列方案不是唯一的，图2．5(a)、(b)、(c)、(d)分别为2变量、3变量、4变量、5变量卡诺图的一种排列方案。图中，变量的坐标值0表示相应变量的反变量，1表示相应变量的原变量。各小方格依变量顺序取坐标值，所得二进制数对应的十进制数即相应最小项的下标i。 在五变量卡诺图中，为了方便省略了符号“m”，直接标出m的下标i 。 图2. 5 2～5变量卡诺图 从图2.5所示的各卡诺图可以看出，卡诺图上变量的排列规律使最小项的相邻关系能在图
形上清晰地反映出来。具体地说，在n个变量的卡诺图中，能从图形上直观、方便地找到每个最小项的n个相邻最小项。以四变量卡诺图为例，图中每个最小项应有4个相邻最小项，如m5的4个相邻最小项分别是m1，m4，m7，m13，这4个最小项对应的小方格与m5对应的小方格分别相连，也就是说在几何位置上是相邻的，这种相邻称为几何相邻。而m2则不完全相同，它的4个相邻最小项除了与之几何相邻的m3和m6之外，另外两个是处在“相对”位置的m0(同一列的两端)和m10(同一行的两端)。这种相邻似乎不太直观，但只要把这个图的上、下边缘连接，卷成圆筒状，便可看出m0和m2在几何位置上是相邻的。同样，把图的左、右边缘连接，便可使m2和m10相邻。通常把这种相邻称为相对相邻。除此之外，还有“相重”位置的最小项相邻，如五变量卡诺图中的m3，除了几何相邻的m1，m2，m 7和相对相邻的m11外，还与m19相邻。对于这种情形，可以把卡诺图左边的矩形重叠到右边矩形之上来看，凡上下重叠的最小项相邻，这种相邻称为重叠相邻。 归纳起来，卡诺图在构造上具有以下两个特点： ☆n个变量的卡诺图由2n个小方格组成，每个小方格代表一个最小项； ☆卡诺图上处在相邻、相对、相重位置的小方格所代表的最小项为相邻最小项。 二卡诺图的性质 卡诺图的构造特点使卡诺图具有一个重要性质：可以从图形上直观地找出相邻最小项合并。合并的理论依据是并项定理AB+AB=A。例如， 根据定理AB+AB=A和相邻最小项的定义，两个相邻最小项可以合并为一个与项并消去一个变量。例如，4变量最小项ABCD和ABCD相邻，可以合并为ABD；ABCD和ABCD 相邻，可以合并为ABD；而与项ABD和ABD又为相邻与项，故按同样道理可进一步将两个相邻与项合并为BD。 用卡诺图化简逻辑函数的基本原理就是把上述逻辑依据和图形特征结合起来，通过把卡
数字电路中的卡诺图 ――――――――――朱必成 5030209121 F0302004 卡诺图是一幅或多幅方格子图形。二至四变量卡诺图各占一幅图，五变量两幅，六变量四幅构成。它贯穿了数字电路的各个层面，是十分重要且有用的基础知识。经过课上学习与课外资料的查询，对其有了一定了解与认识。 1 化简的依据 卡诺图具有循环邻接的特性，若图中两个相邻的方格均为1，则用两个相邻最小项的和表示可以消去一个变量，如4变量卡诺图中的方格5和方格7，它们的逻辑加是 消取了变量C，即消去了相邻方格中不相同的那个因子。若卡诺图中4个相邻的方格为1，则这4个相邻的最小项的和将消去两个变量，如4变量卡诺图中方格2、3、7、6，它们的逻辑加是 消去了变量B和D,即消去相邻4个方格中不相同的那两个因子，这样反复应用A ＋＝1的关系，就可使逻辑表达式得到简化。这就是利用卡诺图法化简逻辑函数的基本原理。 2 用卡诺图化简逻辑函数的步骤 1.将逻辑函数写成最小项表达式。 2.按最小项表达式填卡诺图，凡式中包含了的最小项，其对应方格填1，其余方格填0。 3.合并最小项，即将相邻的1方格圈成一组（包围圈，每一组含2n个方格），对应每个包围圈写成一个乘积项。 4.将所有包围圈所对应的乘积项相加。 有时也可以由真值表直接填卡诺图，1、2两步可以合成一步。 3画包围圈时应遵循的原则
1.包围圈内的方格数必定是2n 个，n 等于0、1、2、3、… 2.相邻方格包括上下底相邻，左右边相邻和四角相邻。 3.同一方格可以被不同的包围圈重复包围，但新增包围圈中一定要有新的1方格，否则 该包围圈为多余。 4.包围圈内的1方格数要尽可能多，即包围圈应尽可能大。 4举例 ： 5．卡诺图的应用技巧： （1）。卡诺图中圈零： 如 BD BC AD AC F +++=
卡诺图化简 一.画法 卡诺图中变量组合采用格雷码排列，具有很强的相邻性。 011 0m AB m AB 1m 03m AB AB 2(a) 013 2 B (b) B A 01 01 A 0m ABC m ABC 1m 3m ABC ABC 265m ABC 74ABC m m m ABC ABC 0(a) (b) 1324 57 6 10011100BC A 01 BC A 1001110001 m 0ABCD ABCD m 1ABCD m 3m ABCD 2m 567m m ABCD ABCD m ABCD 4ABCD ABCD m m 13ABCD ABCD 1412m 15m ABCD ABCD ABCD m ABCD 8m 1011m 9m ABCD 01327654131415129 8 11 10 AB CD 0000 010******* 10(a) (b) AB CD 0000010111 1110 10
二．步骤 1．逻辑函数化为最小项表达式； 写出最小项之和的形式、标准与或式 2．根据变量的个数画出相应的卡诺图。 3．画卡诺圈并检查； 填卡诺图（Y中包含的最小项填1），画包围圈（2n个相邻方格组，n=1，2，… 4．将各卡诺圈合并为与项； 各包围圈合并为一个与项（消去形式不同的变量，保留形式相同的变量 5．将所有与项相加写出最简与或表达式 合并后的各与项相加即为化简的逻辑函数 三．注意： 1．卡诺圈的面积要尽可能大，这样消去的变量就多，可保证与项中变量最少。 2．卡诺圈的个数要尽可能少，每个卡诺圈合并后代表一个与项，这样可保证与项最少。 3．每个卡诺圈内方格数为2n（n=0，1，2…），根据“去异留同”的原理将这2n个相邻的最小项结合，可以消去n个共有并且互补的变量而合并为一项。 4. 卡诺图中所有取值为1的方格均要被圈过，不能漏下。
逻辑函数卡诺图表示方法 从前面可知，代数化简法有其优点，但是代数化简法也不易判断所化简的逻辑函数式是否已经达到最简式。 一、最小项的定义 1.最小项 如果一个具有n 个变量的逻辑函数的“与项”包含全部n 个变量，每个变量以原变量或反变量的形式出现，且仅出现一次，则这种“与项”被称为最小项。 对两个变量A 、B 来说，可以构成4个最小项：AB B A B A AB 、、、；对3个变量A 、B 、C 来说，可构成8个最小项：C AB C B A C B A BC A C B A C B A C B A 、、、、、、和 ABC ；同理，对n 个变量来说，可以构成2n 个最小项。 2.最小项的编号 最小项通常用符号m i 表示，i 是最小项的编号，是一个十进制数。确定i 的方法是：首先将最小项中的变量按顺序A 、B 、C 、D … 排列好，然后将最小项中的原变量用1表示，反变量用0表示，这时最小项表示的二进制数对应的十进制数就是该最小项的编号。例如，对三变量的最小项来说，ABC 的编号是7符号用m 7表示，C B A 的编号是5符号用m 5表示。下表为3变量最小项对应表。 3变量全部最小项的真值表 3.最小项表达式 如果一个逻辑函数表达式是由最小项构成的与或式，则这种表达式称为逻辑函数的最小项表达式，也叫标准与或式。例如：ABCD D ABC D BC A F ++=是一个四变量的最小项表达式。对一个最小项表达式可以采用简写的方式，例如
()()∑=++=++=7,5,2,,752m m m m ABC C B A C B A C B A F 要写出一个逻辑函数的最小项表达式，可以有多种方法，但最简单的方法是先给出逻辑函数的真值表，将真值表中能使逻辑函数取值为 1的各个最小项相或就可以了。 例：已知三变量逻辑函数：F ＝AB ＋BC ＋AC ，写出F 的最小项表达式。 解：首先画出F 的真值表，将表中能使F 为1的最小项相或可得下式 ABC C AB C B A BC A F +++=()∑=7,6,5,3m 4.最小项的性质： ①任意一个最小项，只有一组变量取值使其值为1，而其余各项的取值均使它的值为0。 ②不同的最小项，使它的值为1 的那组变量取值也不同。 ③对于变量的任一且取值，任意两个不同的最小项的乘积必为0。 ④全部最小项的和必为1。二、表示最小项的卡诺图 逻辑函数的图形化简法是将逻辑函数用卡诺图来表示，利用卡诺图来化简逻辑函数。 1.相邻最小项 定义：如果两个最小项中只有一个变量为互反变量，其余变量均相同，则这样的两个最小项为逻辑相邻，并把它们称为相邻最小项，简称相邻项。 2.最小项的卡诺图表示 卡诺图的构成：将逻辑函数真值表中的最小项重新排列成矩阵形式，并且使矩阵的横方向和纵方向的逻辑变量的取值按照格雷码的顺序排列，这样构成的图形就是卡诺图。下图为各不同变量的卡诺图。 图6.33二变量卡诺图 00011110m AB m AB 1m 03m AB AB 4A (a) B 1 3 2 AB (b) 0m ABC m ABC 1m 3m ABC ABC 265m ABC 74ABC m m m ABC ABC 0(a) (b) 1324 5 7 6 10 01 11 00 BC A 01 B C A
数字电路知识点汇总（东南大学） 第1章数字逻辑概论 一、进位计数制 1.十进制与二进制数的转换 2.二进制数与十进制数的转换 3.二进制数与16进制数的转换 二、基本逻辑门电路 第2章逻辑代数 、 表示逻辑函数的方法，归纳起来有：真值表，函数表达式，卡诺图，逻辑图及波形图等几种。 一、逻辑代数的基本公式和常用公式 1）常量与变量的关系Ａ+0＝Ａ与Ａ= ?1Ａ Ａ+1＝1与0 ?A 0= A+＝1与A A?＝0 A 2）与普通代数相运算规律 a.交换律：Ａ+Ｂ＝Ｂ+Ａ ' A? = ? B A B b.结合律：（Ａ+Ｂ）+Ｃ＝Ａ+（Ｂ+Ｃ） ? B ? ? C = A? ( ) ) (C B A c.分配律：) (C A? ?＝+ B A? ?B A C
+ A+ ? +） ) B = A (C C )() B A 3）逻辑函数的特殊规律 a.同一律：Ａ+Ａ+Ａ ~ b.摩根定律：B B A = ? A+ +，B A = B A? b.关于否定的性质Ａ＝A 二、逻辑函数的基本规则 代入规则 在任何一个逻辑等式中，如果将等式两边同时出现某一变量Ａ的地方，都用一个函数Ｌ表示，则等式仍然成立，这个规则称为代入规则例如：C + ⊕ ? ? B A A⊕ C B 可令Ｌ＝C B⊕ $ 则上式变成L ?＝C A? + L A ⊕ ⊕ A⊕ = L A B 三、逻辑函数的：——公式化简法 公式化简法就是利用逻辑函数的基本公式和常用公式化简逻辑函数，通常，我们将逻辑函数化简为最简的与—或表达式 1）合并项法： 利用Ａ+1 B A= = ?,将二项合并为一项，合并时可消去一 ? A = +A A或A B 个变量 例如：Ｌ＝B + B A= ( C +) = A C A C B B C A
用卡诺图化简逻辑函数 本次重点内容 1、卡诺图的画法与性质 2、用卡诺图化简函数 教学过程 应用卡诺图化简 一、卡诺图 逻辑函数可以用卡诺图表示。所谓卡诺图，就是逻辑函数的一种图形表示。对n 个变量的卡诺图来说，有2n 个小方格组成，每一小方格代表一个最小项。在卡诺图中，几何位置相邻（包括边缘、四角）的小方格在逻辑上也是相邻的。 二、最小项的定义及基本性质： 1、最小项的定义 在n 个变量的逻辑函数中，如乘积项中包含了全部变量，并且每个变量在该乘积项中或以原变量或以反变量的形式但只出现一次，则该乘积项就定义为该逻辑函数的最小项。通常用m 表示最小项，其下标为最小项的编号。编号的方法是：最小项的原变量取1，反变量取0，则最小项取值为一组二进制数，其对应的十进制数便为该最小项的编号。如最小项 C B A 对应的变量取值为000，它对应十进制数为0。因此，最小项C B A 的编号为m 0，如 最小项C B A 的编号为m 4，其余最小项的编号以此类推。 2、最小项的基本性质： （1）对于任意一个最小项，只有一组变量取值使它的值为1，而其余各种变量取值均使它的值为0。 （2）不同的最小项，使它的值为1的那组变量取值也不同。 （3）对于变量的任一组取值，全体最小项的和为1。 m 0,m １,m ２,……来编号。
1 01 00 01 11 10 01 A BC AB CD B A 00011110 00 01 11 10 m m m m m m m m m m m m 012 3 00112233m m m m m m m m m m m m m m m m 45678910 1112131415图卡 诺图 二、应用卡诺图表示逻辑函数 应用卡诺图化简逻辑函数时，先将逻辑式中的最小项(或逻辑状态表中取值为1的最小项)分别用1填入相应的小方格内，其它的则填0或空着不填。如果逻辑式不是由最小项构成，一般应先化为最小项或将其列出逻辑状态表后填写。 三、应用卡诺图化简逻辑函数 1、一个正确卡诺圈的要求： （1）画在一个卡诺圈内的1方格数必须是2m 个（m 为大于等于0的整数）。 （2）画在一个卡诺圈内的2m 个1方格必须排列成方阵或矩阵。 （3）一个卡诺圈内的1方格必须是对称相邻的。 2、利用卡诺图化简逻辑函数的步骤： （1）先找没有相邻项的独立1方格，单独画圈。 （2）其次，找只能按一条路径合并的两个相邻方格，画圈。 （3）再次，找只能按一条路径合并的四个相邻方格，画圈。 （4）再次，找只能按一条路径合并的八个相邻方格，画圈。 （5）依此类推，若还有1方格未被圈，找合适的圈画出。 如：化简C B A BC A C B A C B A Y +++=1 则有：Y1=C C B +A 化简)15,14,13,12,5,4,3,0(2m Y ∑= 3、具有无关项的逻辑函数的化简
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数字电路知识点汇总（东南大学） 第1章数字逻辑概论 一、进位计数制 1.十进制与二进制数的转换 2.二进制数与十进制数的转换 3.二进制数与16进制数的转换 二、基本逻辑门电路 第2章逻辑代数 表示逻辑函数的方法，归纳起来有：真值表，函数表达式，卡诺图，逻辑图及波形图等几种。 一、逻辑代数的基本公式和常用公式 1）常量与变量的关系Ａ+0＝Ａ与Ａ= ?1Ａ Ａ+1＝1与0 ?A 0= A?＝0 A A+＝1与A 2）与普通代数相运算规律 a.交换律：Ａ+Ｂ＝Ｂ+Ａ A? ? = A B B b.结合律：（Ａ+Ｂ）+Ｃ＝Ａ+（Ｂ+Ｃ） ? A? B ? ? = (C ) C ( ) A B c.分配律：) ?＝+ A? B (C A? ?B A C + A+ = +） B ? ) (C )() C A B A 3）逻辑函数的特殊规律 a.同一律：Ａ+Ａ+Ａ
b.摩根定律：B B A+ = A ? A +，B B A? = b.关于否定的性质Ａ＝A 二、逻辑函数的基本规则 代入规则 在任何一个逻辑等式中，如果将等式两边同时出现某一变量Ａ的地方，都用一个函数Ｌ表示，则等式仍然成立，这个规则称为代入规则例如：C ? + A⊕ ⊕ ? B A C B 可令Ｌ＝C B⊕ 则上式变成L ?＝C + A A? L ⊕ ⊕ = L A⊕ B A 三、逻辑函数的：——公式化简法 公式化简法就是利用逻辑函数的基本公式和常用公式化简逻辑函数，通常，我们将逻辑函数化简为最简的与—或表达式1）合并项法： 利用Ａ+1 A= ? B ?,将二项合并为一项，合并时可消去 = +A = A或A B A 一个变量 例如：Ｌ＝B + B A= ( C +) = A C A C B B C A 2）吸收法 利用公式A A?可以是? +，消去多余的积项，根据代入规则B A B A= 任何一个复杂的逻辑式 例如化简函数Ｌ＝E AB+ + D A B 解：先用摩根定理展开：AB＝B A+再用吸收法 Ｌ＝E + AB+ A D B
第十章 数字逻辑基础 补充：逻辑函数的卡诺图化简法 1．图形图象法：用卡诺图化简逻辑函数，求最简与或表达式的方法。卡诺图是按一定 规则画出来的方框图。 优点：有比较明确的步骤可以遵循，结果是否最简，判断起来比较容易。 缺点：当变量超过六个以上，就没有什么实用价值了。 公式化简法优点：变量个数不受限制 缺点：结果是否最简有时不易判断。 2．最小项 （1）定义：是一个包括所有变量的乘积项，每个变量均以原变量或反变量的 形式出现一次。 注意：每项都有包括所有变量，每个乘积它中每个变量出现且仅出项1次。 如：Y=F （A ，B ） （2个变量共有4个最小项B A B A B A AB ） Y=F （A ，B ，C ） （3个变量共有8个最小项C B A C B A C B A BC A C B A C B A C AB ABC ） 结论： n 变量共有2n 个最小项。 三变量最小项真值表 （2）最小项的性质 ①任一最小项，只有一组对应变量取值使其值为1： ②任意两个最小项的乘种为零； ③全体最小项之和为1。 （3）最小项的编号：把与最小项对应的变量取值当成二进制数，与之相应的十进制数，就是该最小项的编号，用m i 表示。 3．最小项表达式——标准与或式 任何逻辑函数都可以表示为最小项之和的形式——标准与或式。而且这种形式是惟一的，即一个逻辑函数只有一种最小项表达式。 例1．写出下列函数的标准与或式：Y=F(A,B,C)=AB+BC+CA 解：Y=AB(C +C)+BC(A +A)+CA(B +B) =ABC C B A ABC BC A ABC C AB +++++ =ABC C B A BC A C AB +++ =3567m m m m +++ 例2.写出下列函数的标准与或式：C B AD AB Y ++=
卡诺图化简法 卡诺图化简法又称为图形化简法。该方法简单、直观、容易掌握，因而在逻辑设计中得到广泛应用。 一卡诺图的构成 卡诺图是一种平面方格图，每个小方格代表一个最小项，故又称为最小项方格图。 1．结构特点 卡诺图中最小项的排列方案不是唯一的，图2．5(a)、(b)、(c)、(d)分别为2变量、3变量、4变量、5变量卡诺图的一种排列方案。图中，变量的坐标值应0表示相变量的反变量，1表示相应变量的原变量。各小方格依变量顺序取坐标值，所得二进制数对应的十进制数即相应最小项的下标i。 在五变量卡诺图中，为了方便省略了符号“m”，直接标出m的下标i。
图2. 5 2～5变量卡诺图 从图2.5所示的各卡诺图可以看出，卡诺图上变量的排列规律使最小项的相邻关系能在图形上清晰地反映出来。具体地说，在n个变量的卡诺图中，能从图形上直观、方便地找到每个最小项的n个相邻最小项。以四变量卡诺图为例，图中每个最小项应有4个相邻最小项，如m5的4个相邻最小项分别是m1，m4，m7，m13，这4个最小项对应的小方格与m5对应的小方格分别相连，也就是说在几何位置上是相邻的，这种相邻称为几何相邻。而m2则不完全相同，它的4个相邻最小项除了与之几何相邻的m3和m6之外，另外两个是处在“相对”位置的m0(同一列的两端)和m10(同一行的两端)。这种相邻似乎不太直观，但只要把这个图的上、下边缘连接，卷成圆筒状，便可看出m0和m2在几何位置上是相邻的。同样，把图的左、右边缘连接，便可使m2和m10相邻。通常把这种相邻称为相对相邻。除此之外，还有“相重”位置的最小项相邻，如五变量卡诺图中的m3，除了几何相邻的m1，m2，m7和相对相邻的m11外，还与m19相邻。对于这种情形，可以把卡诺图左边的矩形重叠到右边矩形之上来看，凡上下重叠的最小项相邻，这种相邻称为重叠相邻。 归纳起来，卡诺图在构造上具有以下两个特点： ☆ n个变量的卡诺图由2n个小方格组成，每个小方格代表一个最小项； ☆ 卡诺图上处在相邻、相对、相重位置的小方格所代表的最小项为相邻最小项。 二卡诺图的性质 卡诺图的构造特点使卡诺图具有一个重要性质：可以从图形上直观地找出相邻最小项合并。合并的理论依据是并项定理AB+AB=A。例如，
卡诺图化简方法 学生姓名：陈曦指导教师：杜启高 将输出与输入之间的逻辑关系写成与、或、非等运算的组合式，就是逻辑函数式。 一、逻辑函数的卡诺图表示法 将n变量的全部最小项各用一个小方块表示，并使具有逻辑相邻性的最小项在几何位置上也相邻 地排列起来，所得到的图形称为n变量最小项的卡诺图。 为了保证图中几何位置相邻地最小项在逻辑上也具有相邻性，这些数码不能按自然二进制数从小到大地顺序排列，而必须按图中的方式排列，以确保相邻的两个最小项仅有一个变量是不同的。 从卡诺图上可以看到，处在任何一行或一列两端的最小项也仅有一个变量不同，所以它们也具有逻辑相邻性。因此，从几何位置上应当将卡诺图看成是上下、左右闭合的图形。 任何一个逻辑函数都能表示为若干最小项之和的形式，自然也可以用卡诺图来表示任意一个逻辑函数。具体做法是：首先将逻辑函数化为最小项之和的形式，然后在卡诺图上标出与之相对应的最小 项，在其余位置上标入0，就得到了表示该逻辑函数的卡诺图。也就是说，任何一个逻辑函数都等于 卡诺图中填入1的那些最小项之和。 二、用卡诺图化解逻辑函数 化简时依据的基本原理就是具有相邻性的最小项可以合并，并消去不同的因子。由于在卡诺图上 几何位置相邻与逻辑上的相邻性是一致的，因而从卡诺图上能直观的找出那些具有相邻性的最小项并 将其合并化简。 合并最小项的原则：若两个最小项相邻，则可以合并为一项并消去一对因子。若四个最小项相邻 并排列成一个矩形组，则可合并为一项并消去两队因子。若八个最小项相邻并且排列成一个矩形组， 则可以合并成一项并消去三对因子。合并后的结果中只剩下公共因子。
卡诺图化简法步骤：（一）将函数式化为最小项之和的形式； （二）画出表示该逻辑函数的卡诺图； （三）找出可以合并的最小项； （四）画出包围圈并选取化简后的乘积项。 在画包围圈时要注意：（一）包围圈越大越好； （二）包围圈的个数越少越好； （三）同一个“1”方块可以被圈多次； （四）画包围圈时，可先圈大，再圈小； （五）每个圈要有新的成分，如果某一圈中所有的“1”方块均被别的包围圈包围，就可以舍掉这个包围圈； （六）不要遗漏任何方块。 通常我们都是通过合并卡诺图中的1来求得化简结果得。但有时也可以通过合并卡诺图中的0先求出'Y的化简结果，然后再将'Y求反而得到Y。
逻辑函数的卡诺图化简法 逻辑函数的卡诺图化简法 由前面的学习得知，利用代数法可以使逻辑函数变成较简单的形式。但要求熟练掌握逻辑代数的基本定律，而且需要一些技巧，特别是经化简后得到的逻辑表达式是否是最简式较难确定。运用卡诺图法可以较简便的方法得到最简表达式。但首先需要了解最小项的概念。 一、最小项的定义及其性质 1.最小项的基本概念 由A、B、C三个逻辑变量构成的许多乘积项中有八个 被称为A、B、C的最小项的乘积项，它们的特点是 1. 每项都只有三个因子 2. 每个变量都是它的一个因子 3. 每一变量或以原变量(Ａ、Ｂ、Ｃ)的形式出现，或以反（非）变量(Ａ、Ｂ、Ｃ)的形式出现，各出现一次 一般情况下，对ｎ个变量来说，最小项共有2n个，如n＝3 时，最小项有23＝8个
2.最小项的性质 为了分析最小项的性质，以下列出３个变量的所有最 小项的真值表。 由此可见，最小项具有下列性质： （1）对于任意一个最小项，只有一组变量取值使得它的值为1，而在变量取其他各组值时，这个最小项的值都是0。 （2）不同的最小项，使它的值为1的那一组变量取值也不同。 （3）对于变量的任一组取值，任意两个最小项的乘积为0。 （4）对于变量的任一组取值，全体最小项之和为1。 3.最小项的编号 最小项通常用mi表示，下标i即最小项编号，用十进制数表示。以ABC为例，因为它和011相对应，所以就称ABC 是和变量取值011相对应的最小项，而011相当于十进制中的3，所以把ABC记为m3 按此原则，3个变量的最小项
二、逻辑函数的最小项表达式 利用逻辑代数的基本公式，可以把任一个逻辑函数化成一种典型的表达式，这种典型的表达式是一组最小项之和，称为最小项表达式 。下面举例说明把逻辑表达式展开为最小项表达式的方法。例如，要将化成最小项表达式,这时可利用的基本运算关系, 将逻辑函数中的每一项都化成包含所有变量A、B、C的项，然后再用最小项下标编号来代表最小项，即 又如，要将化成最小项表达式，可经下列几步： （1）多次利用摩根定律去掉非号，直至最后得到一个只在单个变量上有非号的表达式； （2）利用分配律除去括号，直至得到一个与或表达式； （3）在以上第5个等式中，有一项AB不是最小项（缺少变量C），可用乘此项，正如第6个等式所示。 由此可见，任一个逻辑函数都可化成为唯一的最小项表达式。
一、典型例题及其讲解 【例1】将()2011.11110101转换成十进制数 解： ()2011.11110101＝212120212021202121212132101234567---?+?+?+?+?+?+?+?+?+?+? ()10375.245= 【例2】将()842.245转换为十进制数 解：()828485848242.245210128--?+?+?+?+?=()1053125.165= 【例3】将()1642.245转换为十进制数 解：()16216416516416242.2452101216--?+?+?+?+?=()102578125.581= 【例4】求()()82?1101111 .1110111=；()()162?1101111.1110111= 解：001，110，111．110，111，100 1 6 7 6 7 4 故：()()82674.1671101111 .1110111= 0111，0111． 1101，1110 7 7 D E 故：()()162.771101111 .1110111DE = 【例5】求()()282.374？ = ()()216?2.374= 解： 011, 111, 100.010 故()()2801.111111002.374= 3 7 4 . 2 0011, 0111, 0100 . 0010 故()()216001.11011101002.374= 3 7 4 . 2 【例6】求()()210?51= 解： 2 51 余 数 2 25 1 b 0低位 2 12 1 b 1 2 6 0 b 2 2 3 0 b 3 2 1 1 b 4 0 1 b 5高位 ∴()()()220123451011001151==b b b b b b 【例7】求()()210?785.0=，要求精确到小数点后第5位。 解：57.12785.0=? 11=-b 14.1257.0=? 12 =-b 28.0214.0=? 03=-b 56.0228.0=? 04=-b 12.1256.0=? 15=-b ∴ ()()21011001.0785.0= 【例8】用代数法求CD B A C B C A AB F +++=的最简与或式。
卡诺图 3.3.1 卡诺图化简的基本原理（略） 3.3.2 逻辑函数的标准式—最小项 1. 最小项的定义 先看一个有三变量的真值表: 三变量的真值表 A B C 三变量与因式最小项编号 0 0 0 ABC m0 0 0 1 ABC m1 0 1 0 ABC m2 0 1 1 ABC m3 1 0 0 ABC m4 1 0 1 ABC m5 1 1 0 ABC m6 1 1 1 ABC m7 对于n个变量，有2n个可能的取值，全部变量的“与”项，称为最小项。 观察表中，在一个最小项中，每个变量只能以原变量或反变量出现一次。 举例： 下列三变量乘积项中，哪些是最小项，哪些是一般项？ ABCA A（B+C） AB ABC ABC 一个变量有21=2个最小项, A, A 二个变量有22=4个最小项, AB，AB，AB，AB。 n个有2n个最小项。 2.最小项的性质（看表） （1）对于任意一个最小项，只有一组取值使得它的值为1，而在其他各组值时，这个最小项的值都是0 （纵向看）
（3）对于变量的任一组取值，任意两个最小项的乘积为0。 （4）对于变量的任一组取值，全体最小项之和为1。（横向看） (2)真值表法 A B C A B C BC AC F 0 0 0 1 0 0 1 0 0 1 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 1 1 0 1 0 1 1 0 0 0 0 1 1 1 0 1 0 0 0 0 1 1 0 0 0 1 1 写逻辑表达式 F=ABC+ABC+ABC+ABC+ABC （根据最小项性质：逻辑函数，对于任意一个最小项，只有一组变量的取值使其为1，而其他组取值为0。）。 1 1 1 0 1 0 1
1.4用卡诺图化简逻辑函数 本次重点内容 1、卡诺图的画法与性质 2、用卡诺图化简函数 教学过程 应用卡诺图化简 一、卡诺图 逻辑函数可以用卡诺图表示。所谓卡诺图，就是逻辑函数的一种图形表示。对n 个变量的卡诺图来说，有2n个小方格组成，每一小方格代表一个最小项。在卡诺图中，几何位置相邻（包括边缘、四角）的小方格在逻辑上也是相邻的。 二、最小项的定义及基本性质： 1、最小项的定义 在n个变量的逻辑函数中，如乘积项中包含了全部变量，并且每个变量在该乘积项中或以原变量或以反变量的形式但只出现一次，则该乘积项就定义为该逻辑函数的最小项。通常用m表示最小项，其下标为最小项的编号。编号的方法是：最小项的原变量取1,反变量取0，则最小项取值为一组二进制数，其对应的十进制数便为该最小项的编号。如最小项ABC对应的变量取值为000，它对应十进制数为0。因此，最小项ABC 的编号为m。，如最小项ABC的编号为m4，其余最小项的编号以此类推。 2、最小项的基本性质：
（1）对于任意一个最小项，只有一组变量取值使它的值为1，而其余各种变量取值均使它的值为0
(2) 不同的最小项，使它的值为1的那组变量取值也不同。 (3 )对于变量的任一组取值，全体最小项的和为 1。 图1.4.1分别为二变量、三变量和四变量卡诺图。在卡诺图的行和列分别标出变量 及其状态。变量状态的次序是00, 01, 11，10，而不是二进制递增的次序00, 01, 10， 11。这样排列是为了使任意两个相邻最小项之间只有一个变量改变(即满足相邻性) 。 小方格也可用二进制数对应于十进制数编号，如图中的四变量卡诺图，也就是变量的最 小项可用 m 。，m i ,m 2, ......... 来编号。 图1.4.1卡诺图 二、 应用卡诺图表示逻辑函数 应用卡诺图化简逻辑函数时，先将逻辑式中的最小项(或逻辑状态表中取值为1的 最小项)分别用1填入相应的小方格内，其它的则填 0或空着不填。如果逻辑式不是由 最小项构成，一般应先化为最小项或将其列出逻辑状态表后填写。 三、 应用卡诺图化简逻辑函数 1、一个正确卡诺圈的要求： (1) 画在一个卡诺圈内的1方格数必须是2m 个(m 为大于等于0的整数)。 m 0 m 1 m 2 m 3 m ° m 1 m 3 m 2 m m m m m 0 m 1 m 3 m 2 m 4 叫 m 7 叫 m 12 m 13 m 14 m 15 m 8 m 9 mu m 10 0 1 AB 0 0 1 00 01 11 10 00 01 11 10 00 01 11 10
第二章 逻辑函数及逻辑门 2-1 基本逻辑函数及运算规律 2-2 逻辑函数的真值表 2-3 逻辑函数的卡诺图 卡诺图是逻辑函数的另一种表格化表示形式，它不但具有真值表的优点，还可以明确函数的最小项、最大项或任意项，并可一次性获得函数的最简表示式，所以卡诺图在逻辑函数的分析和设计中，得到了广泛的应用。 2-3-l 卡诺图的构成 卡诺图是用直角坐标来划分一个逻辑平面，形成棋坪式方格，每个小方格就相当于输入变量的每一种组合。小格中所填的逻辑值，即为对应输出函数值。小格的编号就是输入变量按二进制权重的排序。和真值表不同的是，坐标的划分应使变量在相邻小格间是按循环码排列的，因而便于函数在相邻最小项或最大项之间的吸收合并，能一目了然达到化简的目的。 二变量 卡诺图 三变量 卡诺图 四变量卡诺图
例2-13 试画出函数Y＝f (A，B，C，D)的卡诺图。 Y＝∑m(0，1，2，8，11，13，14，15)+∑d(7，10) 解按题中最小项及任意项的序号，分别在四变量卡诺图的对应小格内，填1或-，其余空格则填0，如图2-3所示。 由函数表达式填卡诺图 例2-14试画出的卡诺图。 解：本题函数是四变量的积之和表达式，在填卡诺图之前，可先将它配项成最小项之和表达式： Y=∑m(2，5，8，10，12，14，15) 同理，若已给函数是最大项之积表达式，则可按最大项序号在卡诺图对应格内填0，其余空格则填1。若已给函数是和之积表达式，则可将函数配项成最大项之积形式，再按上述原则画卡诺图。如果已知函数是既有积之和项，又有和之积项的混合形式，视方便可将它化成单一的积之和，或者是和之积形式，再进一步化成标准形式后，便可画成卡诺图。 例2-15 试画出函数Y的卡诺图。 Y＝ПM(1，2，7)ΠD(3，6) 解作三变量的卡诺图，如图2-5所示 五变量 卡诺图 Y＝AD+ABC+BCD+ABCD