褒 褒滲杅鼠宒
﹛﹛淏玾ㄩsin 汐 =＋汐腔勤晚/＋汐腔訇晚
﹛﹛豻玾ㄩcos 汐=＋汐腔邁晚/＋汐腔訇晚
﹛﹛淏 ㄩtan 汐=＋汐腔勤晚/＋汐腔邁晚
﹛﹛豻 ㄩcot 汐=＋汐腔邁晚/＋汐腔勤晚
媼捷褒鼠宒
﹛﹛sin2A=2sinA?cosA
﹛﹛cos2A=cos^2A-sin^2A=1-2sin^2A=2cos^2A-1
﹛﹛tan2A=ㄗ2tanAㄘ/ㄗ1-tan^2Aㄘ
捷褒鼠宒
﹛﹛sin3汐=4sin汐﹞sin(羽/3+汐)sin(羽/3-汐)
﹛﹛cos3汐=4cos汐﹞cos(羽/3+汐)cos(羽/3-汐)
﹛﹛tan3a = tan a ﹞ tan(羽/3+a)﹞ tan(羽/3-a)
﹛﹛ 捷褒鼠宒芢絳﹛
﹛﹛1ㄛsin3a
﹛﹛=sin(2a+a)
﹛﹛=sin2acosa+cos2asina
﹛﹛=2sina(1-sin^2a)+(1-2sin^2a)sina
﹛﹛=3sina-4sin^3a
﹛﹛2.cos3a
﹛﹛=cos(2a+a)
﹛﹛=cos2acosa-sin2asina
﹛﹛=(2cos^2a-1)cosa-2(1-cos^a)cosa
﹛﹛=4cos^3a-3cosa
﹛﹛3 sin3a=3sina-4sin^3a
﹛﹛=4sina(3/4-sin^2a)
﹛﹛=4sina[(﹟3/2)^2-sin^2a]
﹛﹛=4sina(sin^260～-sin^2a)
﹛﹛=4sina(sin60～+sina)(sin60～-sina)
﹛﹛=4sina*2sin[(60+a)/2]cos[(60～-a)/2]*2sin[(60～-a)/2]cos[(60～-a)/2] ﹛﹛=4sinasin(60～+a)sin(60～-a)
﹛﹛4 cos3a=4cos^3a-3cosa
﹛﹛=4cosa(cos^2a-3/4)
﹛﹛=4cosa[cos^2a-(﹟3/2)^2]
﹛﹛=4cosa(cos^2a-cos^230～)
﹛﹛=4cosa(cosa+cos30～)(cosa-cos30～)
﹛﹛=4cosa*2cos[(a+30～)/2]cos[(a-30～)/2]*{-2sin[(a+30～)/2]sin[(a-30～)/2]} ﹛﹛=-4cosasin(a+30～)sin(a-30～)
﹛﹛=-4cosasin[90～-(60～-a)]sin[-90～+(60～+a)]
﹛﹛=-4cosacos(60～-a)[-cos(60～+a)]
﹛﹛=4cosacos(60～-a)cos(60～+a)
﹛﹛奻扴謗宒眈掀褫腕
﹛﹛5 tan3a=tanatan(60～-a)tan(60～+a)
圉褒鼠宒
﹛﹛tan(A/2)=(1-cosA)/sinA=sinA/(1+cosA);
﹛﹛cot(A/2)=sinA/(1-cosA)=(1+cosA)/sinA.
﹛﹛sin^2(a/2)=(1-cos(a))/2
﹛﹛cos^2(a/2)=(1+cos(a))/2
﹛﹛tan(a/2)=(1-cos(a))/sin(a)=sin(a)/(1+cos(a))
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睿船趙儅
﹛﹛sin牟+sin耳 = 2 sin[(牟+耳)/2] cos[(牟-耳)/2]
﹛﹛
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sin牟-sin耳 = 2 cos[(牟+耳)/2] sin[(牟-耳)/2]
﹛﹛cos牟+cos耳 = 2 cos[(牟+耳)/2] cos[(牟-耳)/2]
﹛﹛cos牟-cos耳 = -2 sin[(牟+耳)/2] sin[(牟-耳)/2]
﹛﹛tanA+tanB=sin(A+B)/cosAcosB=tan(A+B)(1-tanAtanB)
﹛﹛tanA-tanB=sin(A-B)/cosAcosB=tan(A-B)(1+tanAtanB)
儅趙睿船
﹛﹛sin汐sin汕 = [cos(汐-汕)-cos(汐+汕)] /2
﹛﹛cos汐cos汕 = [cos(汐+汕)+cos(汐-汕)]/2
﹛﹛sin汐cos汕 = [sin(汐+汕)+sin(汐-汕)]/2
﹛﹛cos汐sin汕 = [sin(汐+汕)-sin(汐-汕)]/2
邧 滲杅
﹛﹛sinh(a) = [e^a-e^(-a)]/2
﹛﹛cosh(a) = [e^a+e^(-a)]/2
﹛﹛tanh(a) = sin h(a)/cos h(a)
﹛﹛鼠宒珨ㄩ
﹛﹛扢汐峈 砩褒ㄛ笝晚眈肮腔褒腔肮珨 褒滲杅腔硉眈脹ㄩ
﹛﹛sinㄗ2k羽ㄚ汐ㄘ= sin汐
﹛﹛cosㄗ2k羽ㄚ汐ㄘ= cos汐
﹛﹛tanㄗ2k羽ㄚ汐ㄘ= tan汐
﹛﹛cotㄗ2k羽ㄚ汐ㄘ= cot汐
﹛﹛鼠宒媼ㄩ
﹛﹛扢汐峈 砩褒ㄛ羽+汐腔 褒滲杅硉迵汐腔 褒滲杅硉眳潔腔壽炵ㄩ﹛﹛sinㄗ羽ㄚ汐ㄘ= -sin汐
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﹛﹛tanㄗ羽ㄚ汐ㄘ= tan汐
﹛﹛cotㄗ羽ㄚ汐ㄘ= cot汐
﹛﹛鼠宒 ㄩ
﹛﹛ 砩褒汐迵 -汐腔 褒滲杅硉眳潔腔壽炵ㄩ
﹛﹛sinㄗ-汐ㄘ= -sin汐
﹛﹛cosㄗ-汐ㄘ= cos汐
﹛﹛tanㄗ-汐ㄘ= -tan汐
﹛﹛cotㄗ-汐ㄘ= -cot汐
﹛﹛鼠宒侐ㄩ
﹛﹛瞳蚚鼠宒媼睿鼠宒 褫眕腕善羽-汐迵汐腔 褒滲杅硉眳潔腔壽炵ㄩ
﹛﹛sinㄗ羽-汐ㄘ= sin汐
﹛﹛cosㄗ羽-汐ㄘ= -cos汐
﹛﹛tanㄗ羽-汐ㄘ= -tan汐
﹛﹛cotㄗ羽-汐ㄘ= -cot汐
﹛﹛鼠宒拻ㄩ
﹛﹛瞳蚚鼠宒-睿鼠宒 褫眕腕善2羽-汐迵汐腔 褒滲杅硉眳潔腔壽炵ㄩ
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﹛﹛鼠宒鞠ㄩ
﹛﹛羽/2㊣汐摯3羽/2㊣汐迵汐腔 褒滲杅硉眳潔腔壽炵ㄩ
﹛﹛sinㄗ羽/2+汐ㄘ= cos汐
﹛﹛cosㄗ羽/2+汐ㄘ= -sin汐
﹛﹛tanㄗ羽/2+汐ㄘ= -cot汐
﹛﹛cotㄗ羽/2+汐ㄘ= -tan汐
﹛﹛sinㄗ羽/2-汐ㄘ= cos汐
﹛﹛cosㄗ羽/2-汐ㄘ= sin汐
﹛﹛tanㄗ羽/2-汐ㄘ= cot汐
﹛﹛cotㄗ羽/2-汐ㄘ= tan汐
﹛﹛sinㄗ3羽/2+汐ㄘ= -cos汐
﹛﹛cosㄗ3羽/2+汐ㄘ= sin汐
﹛﹛tanㄗ3羽/2+汐ㄘ= -cot汐
﹛﹛cotㄗ3羽/2+汐ㄘ= -tan汐
﹛﹛sinㄗ3羽/2-汐ㄘ= -cos汐
﹛﹛cosㄗ3羽/2-汐ㄘ= -sin汐
﹛﹛tanㄗ3羽/2-汐ㄘ= cot汐
﹛﹛cotㄗ3羽/2-汐ㄘ= tan汐
﹛﹛(眕奻k﹋Z)
﹛﹛A﹞sin(肋t+牟)+ B﹞sin(肋t+耳) =
﹛﹛﹟{(A^2 +B^2 +2ABcos(牟-耳)} ? sin{ 肋t + arcsin[ (A?sin牟+B?sin耳) / ﹟{A^2 +B^2; +2ABcos(牟-耳)} }
﹛﹛﹟桶尨跦瘍,婦嬤{＃＃}笢腔囀
袀絳鼠宒
﹛﹛sin(-汐) = -sin汐
﹛﹛cos(-汐) = cos汐
﹛﹛tan (-汐)=-tan汐
﹛﹛sin(羽/2-汐) = cos汐
﹛﹛cos(羽/2-汐) = sin汐
﹛﹛sin(羽/2+汐) = cos汐
﹛﹛cos(羽/2+汐) = -sin汐
﹛﹛sin(羽-汐) = sin汐
﹛﹛cos(羽-汐) = -cos汐
﹛﹛sin(羽+汐) = -sin汐
﹛﹛cos(羽+汐) = -cos汐
﹛﹛tanA= sinA/cosA
﹛﹛tanㄗ羽/2ㄚ汐ㄘˊㄜcot汐
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﹛﹛tanㄗ羽ㄜ汐ㄘˊㄜtan汐
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﹛﹛袀絳鼠宒暮掖機 ㄩ 曹髒祥曹ㄛ睫瘍艘砓癹
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﹛ (sin汐)^2+(cos汐)^2=1
﹛﹛(2)1+(tan汐)^2=(sec汐)^2
﹛﹛(3)1+(cot汐)^2=(csc汐)^2
﹛﹛痐隴狟醱謗宒,硐剒蔚珨宒,酘衵肮壺(sin汐)^2,菴媼跺壺(cos汐)^2撈褫﹛﹛(4)勤衾 砩準眻褒 褒倛,軞衄
﹛﹛tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC
﹛﹛痐:
﹛﹛A+B=羽-C
﹛﹛tan(A+B)=tan(羽-C)
﹛﹛(tanA+tanB)/(1-tanAtanB)=(tan羽-tanC)/(1+tan羽tanC)
﹛﹛淕燴褫腕
﹛﹛tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC
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﹛﹛蚕tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC褫腕堤眕狟賦蹦
﹛﹛(5)cotAcotB+cotAcotC+cotBcotC=1
﹛﹛(6)cot(A/2)+cot(B/2)+cot(C/2)=cot(A/2)cot(B/2)cot(C/2) ﹛﹛(7)(cosAㄘ^2+(cosBㄘ^2+(cosCㄘ^2=1-2cosAcosBcosC
﹛﹛(8)ㄗsinAㄘ^2+ㄗsinBㄘ^2+ㄗsinCㄘ^2=2+2cosAcosBcosC
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﹛﹛csc(a) = 1/sin(a)
﹛﹛sec(a) = 1/cos(a)
﹛﹛圉褒腔淏玾﹜豻玾睿淏 鼠宒
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捷褒腔淏玾﹜豻玾睿淏 鼠宒
sin2汐ˊ2sin汐cos汐
cos2汐ˊcos2汐ㄜsin2汐ˊ2cos2汐ㄜ1ˊ1ㄜ2sin2汐
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高中三角函数公式大全 2009年07月12日 星期日 19:27 三角函数公式 两角和公式 sin(A+B) = sinAcosB+cosAsinB sin(A-B) = sinAcosB-cosAsinB cos(A+B) = cosAcosB-sinAsinB cos(A-B) = cosAcosB+sinAsinB tan(A+B) =tanAtanB -1tanB tanA + tan(A-B) =tanAtanB 1tanB tanA +- cot(A+B) =cotA cotB 1-cotAcotB + cot(A-B) =cotA cotB 1cotAcotB -+ 倍角公式 tan2A =A tan 12tanA 2- Sin2A=2SinA?CosA Cos2A = Cos 2A-Sin 2A=2Cos 2A-1=1-2sin 2A 三倍角公式 sin3A = 3sinA-4(sinA)3 cos3A = 4(cosA)3-3cosA tan3a = tana ·tan(3π+a)·tan(3 π-a) 半角公式 sin(2 A )=2cos 1A - cos(2 A )=2cos 1A + tan(2 A )=A A cos 1cos 1+- cot( 2A )=A A cos 1cos 1-+ tan(2 A )=A A sin cos 1-=A A cos 1sin + 和差化积 sina+sinb=2sin 2b a +cos 2 b a -
sina-sinb=2cos 2b a +sin 2 b a - cosa+cosb = 2cos 2b a +cos 2 b a - cosa-cosb = -2sin 2b a +sin 2 b a - tana+tanb=b a b a cos cos )sin(+ 积化和差 sinasinb = -2 1[cos(a+b)-cos(a-b)] cosacosb = 2 1[cos(a+b)+cos(a-b)] sinacosb = 2 1[sin(a+b)+sin(a-b)] cosasinb = 2 1[sin(a+b)-sin(a-b)] 诱导公式 sin(-a) = -sina cos(-a) = cosa sin(2 π-a) = cosa cos(2 π-a) = sina sin(2 π+a) = cosa cos(2 π+a) = -sina sin(π-a) = sina cos(π-a) = -cosa sin(π+a) = -sina cos(π+a) = -cosa tgA=tanA =a a cos sin 万能公式 sina=2 )2 (tan 12tan 2a a + cosa=2 2 )2(tan 1)2(tan 1a a +-
三角函数知识点公式定理记忆口诀 2008-9-2 14:12:26 三角函数是函数，象限符号坐标注。函数图象单位圆，周期奇偶增减现。 同角关系很重要，化简证明都需要。正六边形顶点处，从上到下弦切割； 中心记上数字1，连结顶点三角形；向下三角平方和，倒数关系是对角， 顶点任意一函数，等于后面两根除。诱导公式就是好，负化正后大化小， 变成税角好查表，化简证明少不了。二的一半整数倍，奇数化余偶不变， 将其后者视锐角，符号原来函数判。两角和的余弦值，化为单角好求值， 余弦积减正弦积，换角变形众公式。和差化积须同名，互余角度变名称。 计算证明角先行，注意结构函数名，保持基本量不变，繁难向着简易变。 逆反原则作指导，升幂降次和差积。条件等式的证明，方程思想指路明。 万能公式不一般，化为有理式居先。公式顺用和逆用，变形运用加巧用； 1加余弦想余弦，1减余弦想正弦，幂升一次角减半，升幂降次它为范； 三角函数反函数，实质就是求角度，先求三角函数值，再判角取值范围； 利用直角三角形，形象直观好换名，简单三角的方程，化为最简求解集。 【文字：大小】 口口之和仍口口 赛赛之和赛口留 口口之差负赛赛 赛赛之差口赛收
高中数学三角函数公式定理口诀 三角函数是函数，象限符号坐标注。函数图象单位圆，周期奇偶增减现。 同角关系很重要，化简证明都需要。正六边形顶点处，从上到下弦切割；中心记上数字1，连结顶点三角形；向下三角平方和，倒数关系是对角，顶点任意一函数，等于后面两根除。诱导公式就是好，负化正后大化小，变成税角好查表，化简证明少不了。二的一半整数倍，奇数化余偶不变，将其后者视锐角，符号原来函数判。两角和的余弦值，化为单角好求值，余弦积减正弦积，换角变形众公式。和差化积须同名，互余角度变名称。计算证明角先行，注意结构函数名，保持基本量不变，繁难向着简易变。逆反原则作指导，升幂降次和差积。条件等式的证明，方程思想指路明。万能公式不一般，化为有理式居先。公式顺用和逆用，变形运用加巧用；1加余弦想余弦，1减余弦想正弦，幂升一次角减半，升幂降次它为范； 三角函数反函数，实质就是求角度，先求三角函数值，再判角取值范围；利用直角三角形，形象直观好换名，简单三角的方程，化为最简求解集
第一章：三角函数 §、任意角 1、 正角、负角、零角、象限角的概念. 2、 与角α终边相同的角的集合： {}Z k k ∈+=,2παββ. §、弧度制 1、 把长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1弧度的角. 2、 r l = α. 3、弧长公式：R R n l απ== 180 . 4、扇形面积公式：lR R n S 2 1 3602== π. §、任意角的三角函数 y =α αcos ,sin 1、 设α是一个任意角，它的终边与单位圆交于点()y x P ,，那么： 2、 设点(),A x y 为角α终边上任意一点，那么： （设r = sin y r α= ，cos x r α=，tan y x α=，cot x y α= 3、 αsin ，αcos ，αtan 在四个象限的符号和三角函数线的画法. 正弦线：MP; 余弦线：OM; 正切线：AT 5、 特殊角 . 1、 平方关系：1cos sin 22=+αα. 2、 商数关系：α α αcos sin tan = . 3、 倒数关系：tan cot 1αα= §、三角函数的诱导公式 （概括为“奇变偶不变，符号看象限”Z k ∈） 1、 诱导公式一：、 诱导公式二： ()()().tan 2tan ,cos 2cos ,sin 2sin απααπααπα=+=+=+k k k ()()(). tan tan ,cos cos , sin sin ααπααπααπ=+-=+-=+（其中：Z k ∈）
3、诱导公式三： 4、诱导公式四： ()()(). tan tan ,cos cos ,sin sin αααααα-=-=--=- ()()(). tan tan ,cos cos ,sin sin ααπααπααπ-=--=-=- 5、诱导公式五： 6、诱导公式六： .sin 2cos ,cos 2sin ααπααπ=??? ??-=??? ??- .sin 2cos ,cos 2sin ααπααπ-=?? ? ??+=??? ??+ §、正弦、余弦函数的图象和性质 1、记住正弦、余弦函数图象： 2、能够对照图象讲出正弦、余弦函数的相关性质：定义域、值域、最大最小值、对称轴、对称中 心、奇偶性、单调性、周期性. 3、会用五点法作图. sin y x =在[0,2]x π∈上的五个关键点为： 30010-1202 2 π π ππ（，）（，，）（，，）（，，）（，，）. §、正切函数的图象与性质 1、记住正切函数的图象： 2、记住余切函数的图象： 3、能够对照图象讲出正切函数的相关性质：定义域、值域、对称中心、奇偶性、单调性、周期性. 周期函数定义：对于函数()x f ，如果存在一个非零常数T ，使得当x 取定义域内的每一个值时，都有()()，那么函数()x f 就叫做周期函数，非零常数T 叫做这个函数的周期.
高等数学微积分公式大全 一、基本导数公式 ⑴()0c '= ⑵1 x x μ μμ-= ⑶()sin cos x x '= ⑷()cos sin x x '=- ⑸()2 tan sec x x '= ⑹()2 cot csc x x '=- ⑺()sec sec tan x x x '=? ⑻()csc csc cot x x x '=-? ⑼()x x e e '= ⑽()ln x x a a a '= ⑾()1 ln x x '= ⑿( )1 log ln x a x a '= ⒀( )arcsin x '= ⒁( )arccos x '= ⒂()21arctan 1x x '= + ⒃()2 1arccot 1x x '=-+⒄()1x '= ⒅ '=二、导数的四则运算法则 ()u v u v '''±=± ()uv u v uv '''=+ 2u u v uv v v '''-??= ??? 三、高阶导数的运算法则 （1）()()() () () ()()n n n u x v x u x v x ±=±???? （2）()() ()()n n cu x cu x =???? （3）()()() ()n n n u ax b a u ax b +=+???? （4）()()() ()()()()0 n n n k k k n k u x v x c u x v x -=?=???? ∑ 四、基本初等函数的n 阶导数公式 （1）() () !n n x n = （2）() () n ax b n ax b e a e ++=? (3)() () ln n x x n a a a = (4)()() sin sin 2n n ax b a ax b n π??+=++??? ??? ?? (5) ()()cos cos 2n n ax b a ax b n π??+=++??? ???? ? (6)() () () 1 1! 1n n n n a n ax b ax b +??? =- ?+?? + (7) ()() () ()() 1 1! ln 1n n n n a n ax b ax b -?-+=-???? + 五、微分公式与微分运算法则 ⑴()0d c = ⑵()1 d x x dx μ μμ-= ⑶()sin cos d x xdx = ⑷()cos sin d x xdx =- ⑸()2 tan sec d x xdx = ⑹()2 cot csc d x xdx =- ⑺()sec sec tan d x x xdx =? ⑻()csc csc cot d x x xdx =-? ⑼()x x d e e dx = ⑽()ln x x d a a adx = ⑾()1 ln d x dx x =
特殊角的三角函数值的巧记 特殊角的三角函数值在计算，求值，解直角三角形和今后的学习中，常常会用到，所以一定要熟记．要在理解的基础上，采用巧妙的方法加强记忆．这里关键的问题还是要明白和掌握这些三角函数值是怎样求出的，既便遗忘了，自己也能推算出来，切莫死记硬背． 那么怎样才能更好地记熟它们呢？下面介绍几种方法，供同学们借鉴。 1、“三角板”记法 根据含有特殊角的直角三角形的知识，利用你手里的一套三角板，就可以帮助你记住30°、45°、60°角的三角函数值．我们不妨称这种方法为“三角板”记法． 首先，如图所标明的那样，先把手中一套三角板的构造特点弄明白，记清它们的边角是什么关系． 对左边第一块三角板，要抓住在直角三角形中，30°角的对边是斜边的一半的特点，再应用勾股定理．可以知道在这个直角三角形中30°角的对边、邻边、 斜边的比是掌握了这个比例关系，就可以依定义求出30°、60°角的任意 一个锐角三角函数值，如：001sin 30,cos302== 求60°角的三角函数值，还应抓住60°角是30°角的余角这一特点． 在右边那块三角板中，应注意在直角三角形中，若有一锐角为45°，则此三 角形是等腰直角三角形，且两直角边与斜边的比是1∶1 住：00sin 45cos 452 == ，00tan 45cot 451==。这种方法形象、直观、简单、易记，同时巩固了三角函数的定义． 二、列表法：
说明：正弦值随角度变化，即0? →30?→45? →60? →90?变化；值从 0→2 1 →22→23→1变化，其余类似记忆． 三、口诀记忆法 口诀是：“一、二、三，三、二、一，三、九、二十七，弦是二，切是三，分子根号不能删．”前三句中的1，2，3；3，2，1；3，9，27，分别是30°，45°，60°角的正弦、余弦、正切值中分子根号内的值．弦是二、切是三是指正弦、余弦的分母为2，正切的分母为3．最后一句，讲的是各函数值中分子都加上根号， 不能丢掉．如tan60°= =tan45°1=．这种方法有趣、简单、易记． 四、规律记忆法：观察表中的数值特征，可总结为下列记忆规律： ①有界性：（锐角三角函数值都是正值）即当0°＜α＜90°时， 则0＜sin α＜1； 0＜cos α＜1 ； tan α＞0 ； cot α＞0。 ②增减性：（锐角的正弦、正切值随角度的增大而增大；余弦、余切值随角度的增大而减小），即当0＜A ＜B ＜90°时，则sinA ＜sinB ；tanA ＜tanB ；cosA ＞cosB ；cotA ＞cotB ；特别地：若0°＜α＜45°，则sinA ＜cosA ；tanA ＜cotA ；若45°＜A ＜90°，则sinA ＞cosA ；tanA ＞cotA ． 例1.tan30°的值等于（ ）
高中三角函数公式大全[图] 1 三角函数的定义1.1 三角形中的定义 图1 在直角三角形中定义三角函数的示意图在直角三角形ABC，如下定义六个三角函数： ?正弦函数 ?余弦函数 ?正切函数 ?余切函数 ?正割函数 ?余割函数 1.2 直角坐标系中的定义
图2 在直角坐标系中定义三角函数示意图在直角坐标系中，如下定义六个三角函数： ?正弦函数 ?余弦函数 r ?正切函数 ?余切函数 ?正割函数 ?余割函数 2 转化关系2.1 倒数关系 2.2 平方关系 2 和角公式 3.1 倍角公式
3.3 万能公式 4 积化和差、和差化积 4.1 积化和差公式 证明过程 首先，sin(α+β)=sinαcosβ+sinβcosα（已证。证明过程见《和角公式与差角公式的证明》）因为sin(α+β)=sinαcosβ+sinβcosα（正弦和角公式） 则 sin(α-β) =sin[α+(-β)] =sinαcos(-β)+sin(-β)cosα =sinαcosβ-sinβcosα 于是 sin(α-β)=sinαcosβ-sinβcosα（正弦差角公式） 将正弦的和角、差角公式相加，得到 sin(α+β)+sin(α-β)=2sinαcosβ 则 sinαcosβ=sin(α+β)/2+sin(α-β)/2（“积化和差公式”之一） 同样地，运用诱导公式cosα=sin(π/2-α)，有 cos(α+β)= sin[π/2-(α+β)] =sin(π/2-α-β) =sin[(π/2-α)+(-β)] =sin(π/2-α)cos(-β)+sin(-β)cos(π/2-α) =cosαcosβ-sinαsinβ 于是
★高中三角函数部分总结 1.任意角的三角函数定义： 设α为任意一个角，点),(y x P 是该角终边上的任意一点（异于原点），),(y x P 到原点的距离为22y x r += ，则： )(tan ),(cos ),(sin y x x y x r x y r y ?=== 正负看正负看正负看ααα 2.特殊角三角函数值： sin30°=1/2 sin45°=√2/2 sin60°=√3/2 cos30°=√3/2 cos45°=√2/2 cos60°=1/2 tan30°=√3/3 tan45°=1 tan60°=√3 cot30°=√3 cot45°=1 cot60°=√3/3 sin15°=（√6-√2）/4 sin75°=（√6+√2）/4 cos15°=（√6+√2）/4 cos75°=（√6-√2）/4（这四个可根据sin （45°±30°）=sin45°cos30°±cos45°sin30°得出） sin18°=(√5-1)/4 (这个值 3.同角三角函数公式： αααααααααα αtan 1 cot ,sin 1csc ,cos 1sec 1cos sin ,cos sin tan 22= ===+= 4.三角函数诱导公式： （1）)(;tan )2tan(,cos )2cos( ,sin )2sin(Z k k k k ∈=+=+=+απααπααπα （2）;tan )tan(,cos )cos( ,sin )sin(απααπααπα=+-=+-=+ （3）;tan )tan(,cos )cos(,sin )sin(αααααα-=-=--=- （函数名称不变，符号看象限）
2 3 初中三角函数基础检测题 （一）精心选一选（共３６分） 1、在直角三角形中，各边都扩大 2 倍，则锐角 A 的正弦值与余弦值都 （ ） A 、缩小 2 倍 B 、扩大 2 倍 C 、不变 D 、不能确定 4 2、在 R t △A BC 中，∠C =900，BC =4，s i n A= 5 ，则 A C =（ ） A 、3 B 、4 C 、5 D 、6 1 3、若∠A 是锐角，且 s i n A= 3 ，则（ ） A 、00<∠A<300 B 、300<∠A<450 C 、450<∠A<600 D 、600<∠A<900 1 3sin A - tan A 4、若 cosA= 3 ，则 4 s in A + 2 t an A =（ ） 4 A 、 7 1 B 、 3 1 C 、 2 D 、0 5、在△A BC 中，∠A ：∠B ：∠C =1：1：2，则 a ：b ：c =（ ） 2 A 、1：1：2 B 、1：1： C 、1：1： D 、1：1： 2 6、在 R t △A BC 中，∠C =900，则下列式子成立的是（ ） A 、s i n A=s i n B B 、s i n A=c o s B C 、t a n A=t a n B D 、c o s A=t a n B 7．已知 R t △A BC 中，∠C =90°，A C =2，BC =3，则下列各式中，正确的是（ ） 2 A. s i n B = 3 2 B. cosB= 3 2 C. tanB= 3 3 D. tanB= 2
3 30? 45? D C B 8. 点（-s i n 60°，c o s 60°）关于 y 轴对称的点的坐标是（ ） 3 1 3 1 3 1 1 A ．（ 2 ， 2 ） B ．（- 2 ， 2 ） C ．（- 2 ，- 2 ） D ．（- 2 ，- 3 2 ） 9. 每周一学校都要举行庄严的升国旗仪式，让我们感受到了国旗的神圣． 某 同学站在离旗杆 12 米远的地方，当国旗升起到旗杆顶时，他测得视线的仰角为 30°， 若这位同学的目高 1.6 米，则旗杆的高度约为（ ） A ．6.9 米 B ．8.5 米 C ．10.3 米 D ．12.0 米 10. 王英同学从A 地沿北偏西60o 方向走100m 到B 地，再从B 地向正南方向走200m 到 C 地，此时王英同学离 A 地 （ ） A （A ） 50 m （B ）100 m （C ）150m （D ）100 m 11、如图 1，在高楼前 D 点测得楼顶的仰角为30? ， 向高楼前进 图 1 60 米到C 点，又测得仰角为45? ，则该高楼的高度大约为（ ） A .82 米 B .163 米 C .52 米 D .70 米 12、一艘轮船由海平面上 A 地出发向南偏西 40o 的方向行驶 40 海里到达 B 地，再由 B 地向北偏西 10o 的方向行驶 40 海里到达 C 地，则 A 、C 两地相距（ ）． （A ）30 海里 （B ）40 海里 （C ）50 海里 （D ）60 海里 （二）细心填一填（共３３分） 1. 在 R t △A BC 中，∠C =90°，A B =5，A C =3，则 s i n B = ． 3
三角函数诱导公式及记忆方法 一、同角三角函数的基本关系式 （一）基本关系 1、倒数关系 tanα ·cotα=1 s inα ·cscα=1 cosα ·secα=1 2、商的关系 sinα/cosα=tanαsecα/cscα=tanα cosα/sinα=cotαcscα/secα=cotα 3、平方关系 sin2α+cos2α=11+tan2α=sec2α1+cot2α=csc2α （二）同角三角函数关系六角形记忆法 构造以"上弦、中切、下割；左正、右余、中间1"的正六边形为模型。 1、倒数关系 对角线上两个函数互为倒数； 2、商数关系 六边形任意一顶点上的函数值等于与它相邻的两个顶点上函数值的乘积。 （主要是两条虚线两端的三角函数值的乘积，下面4个也存在这种关系。）。由此，可得商数关系式。 3、平方关系 在带有阴影线的三角形中，上面两个顶点上的三角函数值的平方和等于下面顶点上的三角函数值的平方。 二、诱导公式的本质 所谓三角函数诱导公式，就是将角n·(π/2)±α的三角函数转化为角α的三角函数。（一）常用的诱导公式 1、公式一：设α为任意角，终边相同的角的同一三角函数的值相等： sin（2kπ+α）=sinα，k∈z cos（2kπ+α）=cosα，k∈z tan（2kπ+α）=tanα，k∈z cot（2kπ+α）=cotα，k∈z sec（2kπ+α）=secα，k∈z csc（2kπ+α）=cscα，k∈z 2、公式二：α为任意角，π+α的三角函数值与α的三角函数值之间的关系： sin（π+α）=－sinα cos（π+α）=－cosα tan（π+α）= tanα cot（π+α）= cotα sec (π+α) =—secα csc (π+α) =—cscα 3、公式三：任意角α与-α的三角函数值之间的关系：
三角函数：正弦、余弦、正切 (一)复习指导 1．能画出y =sin x ，y =cos x ，y =tan x 的图象，了解三角函数的周期性． 2．理解正弦函数、余弦函数在区间[0，2π ]的性质(如单调性、最大和最小值、图象与x 轴交点等) 3．理解正切函数在区间)2 π ,2π(- 的单调性． (二)基础知识 1、正弦函数和余弦函数的图象：正弦函数sin y x =和余弦函数cos y x =图象的作图方法：五点法：先取横坐标分别为0， 3,, ,22 2 π π ππ的五点，再用光滑的曲线把这五点连接起来，就得到正弦曲线和余弦曲线在一个周期内的图象。 2、正弦函数sin ()y x x R =∈、余弦函数cos ()y x x R =∈的性质： （1）定义域：都是R 。 （2）值域：都是[]1,1-，对s i n y x =， 当()22x k k Z π π=+∈时，y 取最大值1； 当() 322 x k k Z ππ=+∈时，y 取最小值－1；对cos y x =，当()2x k k Z π=∈时，y 取最大值1，当()2x k k Z ππ=+∈时，y 取 最小值－1。 （3）周期性：①sin y x =、cos y x =的最小正周期都是2 π；②()sin()f x A x ω?=+和 ()cos()f x A x ω?=+的最小正周期都是2|| T πω= 。 （4）奇偶性与对称性：正弦函数sin ()y x x R =∈是奇函数，对称中心是()(),0k k Z π∈，对称轴是直线 ()2x k k Z π π=+ ∈；余弦函数cos ()y x x R =∈是偶函数，对称中心是(),02k k Z π π?? + ∈ ?? ?，对称轴是直线 ()x k k Z π=∈（正(余)弦型函数的对称轴为过最高点或最低点且垂直于x 轴的直线，对称中心为图象与x 轴 的交点）。 （5）单调性： ()sin 2,222y x k k k Z ππππ??=-+∈????在上单调递增，在()32,222k k k Z ππππ? ?++∈??? ?单调递减； cos y x =在[]()2,2k k k Z πππ+∈上单调递减，在[]()2,22k k k Z ππππ++∈上单调递增。特别提醒，别忘了k Z ∈！ 3、正切函数tan y x =的图象和性质： （1）定义域：{|,}2 x x k k Z π π≠+∈。遇到有关正切函数问题时，你注意到正切函数的定义域了吗？ （2）值域是R ，在上面定义域上无最大值也无最小值； （3）周期性：是周期函数且周期是π，它与直线y a =的两个相邻交点之间的距离是一个周期π。绝对值或平方对三角函数周期性的影响：一般说来，某一周期函数解析式加绝对值或平方，其周期性是：弦减半、切不变．既为周期函数又是偶函数的函数自变量加绝对值，其周期性不变，其它不定。 如x y x y sin ,sin 2==的周期都是π, 但sin y x = cos x +的周期为 2 π，而1|2sin(3)|,|2sin(3)2|626y x y x ππ =-+=-+，|tan |y x =的周期不变； （4）奇偶性与对称性：是奇函数，对称中心是,02k π?? ??? ()k Z ∈，特别提醒：正(余)切型函数的对称中心 有两类：一类是图象与x 轴的交点，另一类是渐近线与x 轴的交点，但无对称轴，这是与正弦、余弦函数的不同之处。 （5）单调性：正切函数在开区间(),22k k k Z ππππ?? -++∈ ??? 内都是增函数。但要注意在整个定义域上不 具有单调性。如下图：
高一三角函数知识 §1.1任意角和弧度制 ?? ? ??零角负角：顺时针防线旋转正角：逆时针方向旋转 任意角..1 2.象限角：在直角坐标系中，使角的顶点与原点重合，角的始边与x 轴的非负半轴重合，角的终边在第几象限，就说这个角是第几象限的角。如果角的终边在坐标轴上，就认为这个角不属于任何象限。 3.. ①与α（0°≤α＜360°）终边相同的角的集合：{} Z k k ∈+?=,360|αββ ②终边在x 轴上的角的集合： {} Z k k ∈?=,180| ββ ③终边在y 轴上的角的集合：{} Z k k ∈+?=,90180| ββ ④终边在坐标轴上的角的集合：{} Z k k ∈?=,90| ββ ⑤终边在y =x 轴上的角的集合：{ } Z k k ∈+?=,45180| ββ ⑥终边在x y -=轴上的角的集合：{} Z k k ∈-?=,45180| ββ ⑦若角α与角β的终边关于x 轴对称，则角α与角β的关系：Z k k ∈-=，βα 360 ⑧若角α与角β的终边关于y 轴对称，则α与角β的关系：Z k k ∈-+=，βα 180360 ⑨若角α与角β的终边在一条直线上，则α与角β的关系：Z k k ∈+=，βα 180 ⑩角α与角β的终边互相垂直，则α与角β的关系：Z k k ∈++=， 90180βα 4. 弧度制：把等于半径长的圆弧所对的圆心角叫做一弧度。360度=2π弧度。若圆心角所对 的弧长为l ，则其弧度数的绝对值|r l = α,其中r 是圆的半径。 5. 弧度与角度互换公式： 1rad ＝（π 180）°≈57.30° 1°＝180 π 注意：正角的弧度数为正数，负角的弧度数为负数，零角的弧度数为零. 6.. 第一象限的角：? ?? ? ??∈+< 常用的诱导公式有以下几组： 公式一： 设α为任意角，终边相同的角的同一三角函数的值相等： sin(2kπ+α)=sinα (k∈Z) cos(2kπ+α)=cosα (k∈Z) tan(2kπ+α)=tanα (k∈Z) cot(2kπ+α)=cotα (k∈Z) 公式二： 设α为任意角，π+α的三角函数值与α的三角函数值之间的关系：sin(π+α)=-sinα cos(π+α)=-cosα tan(π+α)=tanα cot(π+α)=cotα 公式三： 任意角α与 -α的三角函数值之间的关系： sin(-α)=-sinα cos(-α)=cosα tan(-α)=-tanα cot(-α)=-cotα 公式四： 利用公式二和公式三可以得到π-α与α的三角函数值之间的关系：sin(π-α)=sinα cos(π-α)=-cosα tan(π-α)=-tanα cot(π-α)=-cotα 公式五： 利用公式一和公式三可以得到2π-α与α的三角函数值之间的关系：sin(2π-α)=-sinα cos(2π-α)=cosα tan(2π-α)=-tanα cot(2π-α)=-cotα公式六： π/2±α及3π/2±α与α的三角函数值之间的关系： sin(π/2+α)=cosα cos(π/2+α)=-sinα tan(π/2+α)=-cotα cot(π/2+α)=-tanα sin(π/2-α)=cosα cos(π/2-α)=sinα tan(π/2-α)=cotα cot(π/2-α)=tanα sin(3π/2+α)=-cosα cos(3π/2+α)=sinα tan(3π/2+α)=-cotα cot(3π/2+α)=-tanα sin(3π/2-α)=-cosα cos(3π/2-α)=-sinα tan(3π/2-α)=cotα cot(3π/2-α)=tanα (以上k∈Z) 注意：在做题时，将a看成锐角来做会比较好做。 诱导公式记忆口诀 规律总结 上面这些诱导公式可以概括为： 对于π/2*k ±α(k∈Z)的三角函数值， ①当k是偶数时，得到α的同名函数值，即函数名不改变; ②当k是奇数时，得到α相应的余函数值，即sin→cos;cos→sin;tan→cot，cot→tan. (奇变偶不变) 然后在前面加上把α看成锐角时原函数值的符号。(符号看象限) 例如： sin(2π-α)=sin(4·π/2-α)，k=4为偶数，所以取sinα。 当α是锐角时，2π-α∈(270°，360°)，sin(2π-α)<0，符号为“-”。 所以sin(2π-α)=-sinα 上述的记忆口诀是： 奇变偶不变，符号看象限。 公式右边的符号为把α视为锐角时，角k·360°+α(k∈Z)，-α、180°±α，360°-α所在象限的原三角函数值的符号可记忆 水平诱导名不变;符号看象限。 各种三角函数在四个象限的符号如何判断，也可以记住口诀“一全正;二正弦(余割);三两切;四余弦(正割)”. 这十二字口诀的意思就是说： 第一象限内任何一个角的四种三角函数值都是“+”; 第二象限内只有正弦是“+”，其余全部是“-”; 第三象限内切函数是“+”，弦函数是“-”; 第四象限内只有余弦是“+”，其余全部是“-”. 三角函数 一、任意角、弧度制及任意角的三角函数 1．任意角 (1)角的概念的推广 ①按旋转方向不同分为正角、负角、零角． ?? ??? 正角:按逆时针方向旋转形成的角任意角负角:按顺时针方向旋转形成的角零角:不作任何旋转形成的角 ②按终边位置不同分为象限角和轴线角． 角α的顶点与原点重合，角的始边与x 轴的非负半轴重合，终边落在第几象限，则称α为第几象限角． 第一象限角的集合为{} 36036090,k k k αα?< 正切、余切函数图象和性质反三角函数[知识要点] 1．正切函数、余切函数的图象与性质 2．反三角函数的图象与性质 3．已知三角函数值求角 [目的要求] 1．类比正、余弦函数的研究，讨论正切函数与余切函数的图象和性质，关注其不同点. 2．从反函数概念入手，引入反三角函数定义，并定性讨论其图象和性质. 3．能熟练运用正、余弦函数性质解决问题. 4．能用反三角函数值表示不同范围内的角. [重点难点] 1．正切函数图象与性质2．已知三角函数值求角 [内容回顾] 一、正切函数与余切函数图象 由前面我们正、余弦函数图象和性质的过程知，在中学阶段，对一个函数的认识，多是“由图识性”.因此，可以先作出正、余切函数的图象. 作三角函数图象的一般方法，有描点法和平移三角函数线法. 与正、余弦函数的五点法作图相类似，我们可以选择正切函数在一个周期内的图象上三点及两条重要的辅导线——渐近线，来作正切函数在区间上的简图，不妨称之为“三点两线法”. 若想迅速作出余切函数y=cotx的图象，如何选择“三点”及“两线”呢？请大家看余切函数的图象，不难得到答案. 二、正、余切函数的性质 由图象可得: y=tanx y=cotx 定义域值域R R 单调性在上单增(k∈Z) 在上单减(k∈Z) 周期性T=π T=π 对称性10 对称中心，奇函数(k∈Z) 20 对称轴；无10 对称中心，奇函数(k∈Z) 20 对称轴；无 注: 1、由定义域知，y=tanx与y=cotx图象都存在无数多个间断点（不连续点）. 2、每个单调区间一定是连续的. 3、由单调性可解决比较大小问题，但要务必使两个自变量在同一单调区间内. 三、反三角函数的概念和图象 四种三角函数都是由x到y的多值对应，要使其有反函数，必须缩小自变量x的范围，使之成为由x到y的对应.从方便的角度而言，这个x的范围应该（1）离原点较近；（2）包含所有的锐角；（3）能取到所有的函数值；（4）最好是连续区间.从这个原则出发，我们给出如下定义: 1．y=sinx, x∈的反函数记作y=arcsinx, x∈[-1,1]，称为反正弦函数. y=cosx, x∈[0, π]的反函数记作y=arccosx, x∈[-1,1]，称为反余弦函数. y=tanx，x∈的反函数记作y=arctanx, x∈R，称为反正切函数. y=cotx，x∈(0, π)的反函数记作y=arccotx, x∈R，称为反余切函数. 2．反三角函数的图象 由互为反函数的两个函数图象间的关系，可作出其图象. 注:（1）y=arcsinx, x∈[-1,1]图象的两个端点是 （2）y=arccosx, x∈[-1,1]图象的两个端点是（1，0）和（-1，π）. （3）y=arctanx, x∈R图象的两条渐近线是和. （4）y=arccotx, x∈R图象的两条渐近线是y=0和y=π. 四、反三角函数的性质由图象，有 y=arcsinx y=arccosx y=arctanx y=arccotx 定义域[-1,1] [-1,1] R R 值域[0, π] (0, π) 单调性在[-1，1]上单增在[-1，1]上单减在R上单增在R上单减对称性10对称中心（0，0）奇函数 20对称轴；无10对称中心非奇非偶 20对称轴；无10对称中心 （0，0）奇函数 20对称轴；无10对称中心非奇非偶 20对称轴；无周期性无无无无 另外: 1．三角的反三角运算 arcsin(sinx)=x(x∈)arccos(cosx)=x (x∈[0, π]) arctan(tanx)=x(x∈)arccot(cotx)=x(x∈(0, π)) 2．反三角的三角运算 sin(arcsinx)=x (x∈[-1,1])cos(arccosx)=x (x∈[-1,1]) 第 1 页 共 1 页 三角函数知识点 ?? ??? 正角:按逆时针方向旋转形成的角1、任意角负角:按顺时针方向旋转形成的角零角:不作任何旋转形成的角 2、角α的顶点与原点重合，角的始边与x 轴的非负半轴重合，终边落在第几象限，则称α为第几象限角． 第一象限角的集合为{} 36036090,k k k αα?<，则sin y r α= ，cos x r α=，()tan 0y x x α=≠． 10、三角函数在各象限的符号：第一象限全为正， 第二象限正弦为正，第三象限正切为正，第四象限余弦为正． 11、三角函数线：sin α =MP ，cos α=OM ，tan α=AT ． 中等职业技术学校 数学基础模块上册《三角函数》试卷 班级 姓名 座号 评分 一、选择题.（每小题4分，共40分.） 1、已知α是锐角，则2α是( ) A. 第一象限角 B. 第二象限角 C. 小于180°的正角 D. 不大于直角的正角 2、下列各角中，与330°角终边相同的角是( ) A. 510° B. 150° C. －150° D. －390° 3、角326 π是第（ ）象限角 A. 一 B. 二 C. 三 D. 四 4、若α是△ABC 的一个内角，且53 cos -=α，则=αsin ( ) A. 54 B. 53 - C. 54- D. 53 5、已知=αsin 54 ，且α∈( 0 ，π)，则=αtan ( ) A. 34 B. 43 C. ±34 D. ±43 6、?600sin 等于( ) A.21 B. －21 C. 23 D. －23 7、若,0cos sin >?θθ 则角θ属于( ) A. 第一、二象限 B. 第一、三象限 C. 第二、三象限 D. 第三、四象限 8、在△ABC 中，已知21 sin =A ，则∠A =( ) A. 30° B. 60° C. 60°或120° D. 30°或150° 9、下列四个命题中正确的是( ) ①x sin y =在［－π,π］上是增函数 ②x sin y =在第一象限上是减函数 ③x cos y =在［－π，0］上是增函数④x cos y =在第一象限上是减函数 A. ①② B. ①③ C. ②④ D. ③④ 10、计算：=?-?+?-?0cos 270sin 180cos 90sin ( ) A. 1 B. －1 C. －2 D. 0 二．填空题.（每小题4分，共28分） 1、与－45°角终边相同的角的集合S= . 正切函数值表 角度正弦sin 余弦cos 正切tan 0 0 1 1 0.017452406 0.999847695 0.017455065 2 0.034899497 0.999390827 0.034921 3 0.052335956 0.998629535 0.052407779 4 0.069756474 0.9975640 5 0.069926812 5 0.087155743 0.996194698 0.087488664 6 0.104528463 0.994521895 0.105104235 7 0.121869343 0.992546152 0.122784561 8 0.139173101 0.990268069 0.140540835 9 0.156434465 0.987688341 0.15838444 10 0.173648178 0.984807753 0.176326981 11 0.190808995 0.981627183 0.194380309 12 0.207911691 0.978147601 0.212556562 13 0.224951054 0.974370065 0.230868191 14 0.241921896 0.970295726 0.249328003 15 0.258819045 0.965925826 0.267949192 16 0.275637356 0.961261696 0.286745386 17 0.292371705 0.956304756 0.305730681 18 0.309016994 0.951056516 0.324919696 19 0.325568154 0.945518576 0.344327613 20 0.342020143 0.939692621 0.363970234 21 0.35836795 0.933580426 0.383864035 22 0.374606593 0.927183855 0.404026226 23 0.390731128 0.920504853 0.424474816 24 0.406736643 0.913545458 0.445228685 25 0.422618262 0.906307787 0.466307658 26 0.438371147 0.898794046 0.487732589 27 0.4539905 0.891006524 0.509525449 28 0.469471563 0.882947593 0.531709432 29 0.48480962 0.874619707 0.554309051 30 0.5 0.866025404 0.577350269 31 0.515038075 0.857167301 0.600860619 32 0.529919264 0.848048096 0.624869352 33 0.544639035 0.838670568 0.649407593 34 0.559192903 0.829037573 0.674508517 35 0.573576436 0.819152044 0.700207538 36 0.587785252 0.809016994 0.726542528 37 0.601815023 0.79863551 0.75355405 38 0.615661475 0.788010754 0.781285627 39 0.629320391 0.777145961 0.809784033(完整word版)三角函数高中数学诱导公式大全
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