三角形全等之动点问题（习题）
例题示范
例1：已知：如图，正方形ABCD 的边长为4，动点P 从点A 出发以每秒2个单位的速度沿AB -BC -CD 方向运动，到达点D 时停止运动．连接AP ，DP ．设点P 运动的时间为t 秒，求当t 为何值时，△ADP 的面积为6．
【思路分析】
1．研究背景图形，标注
四边形ABCD 是边长为4的正方形，四条边都相等，四个角均为90°．2．分析运动过程，分段
①分析运动过程：动点P 的起点、终点、状态转折点，以及对应的时间范围．
②根据状态转折点分为三段：02t ≤≤，24t <≤，46t <≤，需
要对每一段分别进行分析．
3．表达线段长，建等式
①当02t ≤≤时，即点P 在线段AB 上，
此时AP =2t ，AD =4，
12
ADP S AD AP =??△，即16422
t =??，32
t =，符合题意．
②当24t <≤时，即点P 在线段BC 上，
此时1144822
ADP S AD AB =??=??=△，不符合题意，舍去．
③当46t <≤时，即点P 在线段CD 上，
此时DP =12-2t ，AD =4，
12
ADP S AD DP =??△，即164(122)2
t =??-，92
t =，符合题意．综上，当t 的值为32或92
时，△ADP 的面积为6．
巩固练习
1.已知：如图，在等边三角形ABC中，AB=6，D为BC边上一
点，且BD=4．动点P从点C出发以每秒1个单位的速度沿CA向点A运动，连接AD，BP．设点P运动时间为t秒，求当t为何值时，△BPA≌△ADC．
2.如图，正方形ABCD的边长为8，动点P从点A出发以每秒
1个单位的速度沿AB向点B运动（点P不与点A，B重合），动点Q从点B出发以每秒2个单位的速度沿BC向点C运动，
点P，Q同时出发，当点Q停止运动，点P也随之停止．连接AQ，交BD于点E，连接PE．设点P运动时间为x秒，求当x为何值时，△PBE≌△QBE．
3.已知：如图，在等边三角形ABC中，AB=10cm，点D为边
AB上一点，AD=6cm．点P在线段BC上以每秒2cm的速度由点B向点C运动，同时点Q在线段CA上由点C向点A运动．设点P运动时间为t秒，若某一时刻△BPD与△CQP全等，求此时t的值及点Q的运动速度．
4.已知：如图，在△ABC中，AB=AC=12，BC=9，点D为AB
的中点．
（1）如果点P在线段BC上以每秒3个单位的速度由B点向C点运动，同时，点Q在线段CA上由C点向A点运动．
①若点Q的运动速度与点P的运动速度相等，则经过1秒后，
△BPD与△CQP是否全等？请说明理由；
②若点Q的运动速度与点P的运动速度不相等，则当点Q的
运动速度为多少时，能够使△BPD与△CQP全等？
（2）若点Q以（1）②中的运动速度从点C出发，点P以原来的运动速度从点B同时出发，都逆时针沿△ABC三边运动，则经过多长时间，点P与点Q第一次在△ABC的哪条边上相遇？
5.已知：如图，在矩形ABCD中，AB=4，AD=6．延长BC到E，
使CE=2，连接DE，动点F从点B出发，以每秒2个单位的速度沿BC-CD-DA向终点A运动．设点F的运动时间为t秒．（1）请用含t的式子表达△ABF的面积S．
（2）是否存在某个t值，使得△ABF和△DCE全等？若存在，求出所有符合条件的t值；若不存在，请说明理由．
思考小结
1.动点问题的处理方法：
①______________________；
②______________________，________；
③______________________，________．
2.分析运动过程包括4个方面（四要素）：
①起点、________、__________；
②_________________________；
③根据_____________分段；
④所求目标．
3.当研究目标多变或问题情形复杂时，我们往往将问题拆解成
几个较为简单的问题来进行考虑，动点问题也是如此．
具体分析动点问题时，往往会先研究背景图形，再分析运动过程、分段，为最后表达线段长，建等式做好准备．因为动点运动方向的改变不仅会改变线段长的表达，还可能改变和动点相关的图形的形状，所以要先分段，然后逐段分析，表达线段长，建等式．
【参考答案】
1.
当t 为4秒时，△BPA ≌△ADC 2.
当x 为83秒时，△PBE ≌△QBE 3.①当t 为52秒时，△BPD ≌△CPQ ，此时Q 的速度为85
cm/s ．②当t 为3秒时，△BPD ≌△CQP ，此时Q 的速度为2cm/s ．
4.（1）①全等
②Q 的速度为4cm/s 时，能够使△BPD 与△CQP 全等
（2）经过24秒，点P 与点Q 第一次在BC 边上相遇．5．（1）
0343512
58432
t s t
t s t s t <=<=<<=-+≤≤，，，（2）t 为1秒或7秒时，△ABF 与△DCE 全等