密级：
JINING UNIVERSITY
学士学位论文
THESIS OF BACHELOR
题目n阶行列式的计算方法与技巧
系别：数学系
专业年级：
学生姓名：学号：
指导教师：职称：
起讫日期：
目录
摘要 (1)
关键词 (1)
Abstract (1)
Keywords (1)
引言 (1)
1 利用行列式定义直接计算 (2)
1.1 利用定义计算的条件 (2)
1.2 对定义计算的举例应用 (2)
2 化三角形法 (2)
2.1 化三角形方法的运用条件 (2)
2.2 化三角形方法举例应用 (2)
3 按行（列）展开法（降阶法） (3)
3.1 降阶法法的运用条件 (3)
3.2 降阶法方法举例应用 (3)
4 归一法 (4)
4.1 归一法的运用条件 (4)
4.2 归一法举例应用 (4)
5 加边法（升阶法） (5)
5.1 加边法的运用条件 (5)
5.2 加边法举例应用 (5)
6 递推法 (6)
6.1 递推法的运用条件 (6)
6.2 递推法举例应用 (6)
7 利用范德蒙行列式 (6)
7.1 范德蒙行列式 (6)
7.2 范德蒙行列式方法举例应用 (7)
8 数学归纳法 (7)
8.1 数学归纳法的运用条件 (7)
8.2 数学归纳法举例应用 (7)
9 利用拉普拉斯定理 (8)
9.2 拉普拉斯定理 (8)
9.2 拉普拉斯定理方法举例应用 (8)
10 拆行（列）法 (9)
10.1 拆行（列）法的运用条件 (9)
10.2 拆行（列）法举例应用 (9)
11 析因法 (10)
11.1 析因法的运用条件 (10)
11.2 析因法举例应用及分析 (10)
12 利用矩阵行列式公式 (11)
12.1 引理一及其证明 (12)
12.2 利用矩阵行列式公式方法举例应用 (13)
13 论文总结 (13)
致谢 (14)
参考文献 (14)
n阶行列式的计算方法与技巧
数学与应用数学专业学生 lm
指导教师 ff
摘要：行列式是高等代数课程里基本而重要的内容之一，是高等代数中的重点、难点，特别是n 阶行列式的计算。学习过程中普遍存在很多困难，难于掌握，但它在数学中有着广泛的应用，懂得如何计算行列式显得尤为重要。本论文归纳研究n阶行列式的各种计算方法，并指明这些方法的使用条件。同时举例说明它们的应用。文中介绍的都是我们常见且行之有效的方法，当以后遇到具体问题时，要针对其特征，选取适当的方法求解。
关键词：行列式范德蒙行列式递推法升降阶法拉普拉斯定理矩阵析因法
The calculating methods and skills of n order determinant
Student majoring in mathematics and applied mathematics Li Shuming
Tutor Tang Qingchen
Abstract: Determinant is an basic and important subject in advanced algebra,it is the important and difficult part of algebra,especially n order determinant of computation. During the learning process,there are a lot of difficulties,which are difficult to master.But it is very useful in mathematic and it is very important to know how to calculate determinant. In this paper, we first study and conclude the calculating methods of determinant to several kinds and clearly point out the use of conditions of all the methods. At the same time, we give examples to explain the application of all the methods. They are all common and effective calculating methods.When experiencing a specific problem in the future,we should select the appropriate method to solve basing on its characters.
Keywords: Determinant; Vandermonde Determinant; recursion; up and down order; Matrix; Laplace theorem;Factorial
行列式在高等代数课程中的重要性以及在考研中的重要地位使我们有必要对行列式进行较深入的认识，本文对行列式的解题方法进行总结归纳。
我们可以这样来理解行列式，它是在实数（复数）的基础上定义的一个独立结构。作为行列式本身而言，我们可以发现它的两个基本特征，当行列式是一个三角形行列式（上三角或下三角形行列式，对角形行列式也是三角形行列式的特殊形式）时，计算将变得十分简单，于是将一个行列式化为三角形行列式便是行列式计算的一个基本思想。这也是化三角形法的思想精髓。行列式的另一特征便是它的递归性，即一个行列式可以用比它低阶的一系列行列式表示，于是对行列式降阶从而揭示其内部规律也是我们的一个基本想法，即递推法。这两种方法也经常一起使用。而其它方法如：加边法、降阶法、数学归纳法、拆行（列）法、析因法等可以看成是它们衍生出的具体方法。作为特殊的行列式当然也有其它方法，如用范德蒙公式计算某些行列式。
n 阶行列式的计算方法很多，除非零元素较少时可利用定义计算（①按照某一列或某一行展开②完全展开式）外，更多的是利用行列式的性质计算，特别要注意观察所求题目的特点，灵活选用方法，值得注意的是，同一个行列式，有时会有不同的求解方法。下面介绍几种常用的方法，并举例说明。
1 利用行列式定义直接计算
１.1 利用定义计算的条件
利用定义是最原始的方法，直接套用公式计算，但使用起来比较麻烦，不常用。当行列式中零比较多时可利用定义进行计算。 １.2 对定义计算的举例应用 例一 计算行列式[1] [3]
001002001000000n D n n =
-
解： 行列式中不为零的项用一般形式表示为
112211!n n n nn a a a a n ---= 该项列标排列的逆序数t （n －1 n －2…1n ）等于
(1)(2)
2
n n --，故 (1)(2)
2
(1)
!.n n n D n --=-
2 化三角形法
2.1 化三角形方法的运用条件
化三角形法是将原行列式化为上（下）三角形行列式或对角形行列式计算的一种方法。这是计算行列式的基本方法重要方法之一。因为利用行列式的定义容易求得上（下）三角形行列式或对角形行列式的性质将行列式化为三角形行列式计算。
原则上，每个行列式都可利用行列式的性质化为三角形行列式。但对于阶数高的行列式，在一般情况下，计算往往较繁。因此，在许多情况下，总是先利用行列式的性质
将其作为某种保值变形，再将其化为三角形行列式。[2] [4]
2.2 化三角形方法举例应用 例2 计算n 阶行列式[1]
12312341
345121221
n n n n D n n n -=--
[分析]显然若直接化为三角形行列式，计算很繁，所以我们要充分利用行列式的性质。注意到从第1列开始；每一列与它一列中有n-1个数是差1的，根据行列式的性质，先从第n-1列开始乘以－1加到第n 列，第n-2列乘以－1加到第n-1列，一直到第一列乘以－1加到第2列。然后把第1行乘以－1加到各行去，再将其化为三角形行列式，计算就简单多了。
1
1(2,,)(2,,)111111111112
111110003
1111200011111000
10000001000
0200
11(1)2
00020
00
00
1
00
1(1)(2
i i
n i n r r i n r r n n n D n n
n n n n n
n n n
n
n n n
n n n n n n n n n n ===+
--=-----++----+=?-----+=??-
解：()(1)(2)
12(1)
12
)(1)(1)12
n n n n n n n n -----?-+=??-
3 按行（列）展开法（降阶法）
3.1 降阶方法的运用条件
设n ij D a =为n 阶行列式，根据行列式的按行（列）展开定理有
()11221,2,,n i i i i in in D a A a A a A i n =+++= 或()11221,2,,n j j j j nj nj D a A a A a A j n =+++= 其中ij A 为n D 中的元素ij a 的代数余子式
按行（列）展开法可以将一个n 阶行列式化为n 个n-1阶行列式计算。若继续使用按行（列）展开法，可以将n 阶行列式降阶直至化为许多个2阶行列式计算，这是计算行列式的又一基本方法。但一般情况下，按行（列）展开并不能减少计算量，仅当行列式中某一行（列）含有较多零元素时，它才能发挥真正的作用。因此，应用按行（列）展开法时，应利用行列式的性质将某一行（列）化为有较多的零元素，再按该行（列）展开。[1] [5]
3.2 降阶方法举例应用
例3 计算n 阶行列式00010000000000001000n a a a D a a
=
解： 将行列式按第1行展开
1
000000000
000(1)0000000001000
n n a a a a D a a a a +=+- 12(1)(1)n n n n a a +-=+-- 2n n a a -=-
4 归一法
4.1 归一法的运用条件
根据行列式不同特点，解法也有多种，当行列式的特点是每一行有一个元素a ，其余元素是b 时，可利用行列式性质变换，用归一法解题。 4.2 归一法举例应用 例4 计算n 阶行列式[1]
a b b b b a b b
D b b a b b b b a =
解：这个行列式的特点是每行（列）元素的和均相等，根据行列式的性质，把第2，3，…，n 列都加到第1列上，行列式不变，得
(1)(1)(1)(1)a n b b b b a n b a b b
D a n b b a b a n b b b a
+-+-=+-+-
1
1
[(1)]1
1b b b a b b a n b b
a
b b b a =+-
1
00[(1)]0
00
b
b
b a b a n b a b a b
-=+---
1[(1)]()n a n b a b -=+--.
5 加边法（升阶法）
5.1 加边法的运用条件 加边法（又称升阶法）是在原行列式中增加一行一列，且保持原行列式不变的方法。加边法最在的特点就是要找出每行或每列相同的因子，那么升阶之后，就可利用行列式的性质把绝大部分元素化为零，然后再化为三角形行列式，这样就达到了简化计算的效果。
加边法的一般做法是：
1111111111121221222121111100
000n n
n n
n
n n n n nn
n nn n n nn
a a a a a a
b a a a a D a a b a a a a a a b a a ===
特殊情况取121n a a a ==== 或121n b b b ==== 5.2 加边法举例应用
例5 计算n 阶行列式 [1] 121
2121
2n n n n n x a a a a x a a D a a a a a x a ++=+
1100
n
n n
a a D D =
解：121
1
002,,11
0100n i a a a x i n x
x
-=+--
第行减第1行
121
1000000
n
j n j a a a a x
x x x
=+=∑
11n j
n
j a x x =??=+ ???
∑
6 递推法
6.1 递推法的运用条件 应用行列式的性质，把一个n 阶行列式表示为具有相同结构的较低阶行列式（比如，n-1阶或n-1阶与n-2阶等）的线性关系式，这种关系式称为递推关系式。根据递推关系式及某个低阶初始行列式（比如二阶或一阶行列式）的值，便可递推求得所给n 阶行列式的值，这种计算行列式的方法称为递推法。用此方法一定要看行列式是否具有较低阶的相同结构如果没有的话，即很难找出递推关系式，从而不能使用此方法。[4] [5] 6.2 递推法举例应用 例6
[]1
1221100001000001n n n n x x D x a a a a a x ----=-+ 证明 12121,(2)n n n n n x a x a x a x a n ---=+++++≥
证明：将行列式按第1列展开得
1232110000100
0001n n n n x x D x x a a a a a x
-----=-+ 11000100
(1)001
n n
x a x +--+--
1n n a xD -=+
由此得递推公式：1n n n D a xD -=+，利用此递推公式可得 112()n n n n n n D a xD a x a xD ---=+=++212n n n a a x x D --=++
111n n n n a a x a x x --==++++
7 利用范德蒙行列式
7.1 范德蒙行列式 范德蒙行列式：[1]
1
232
2
2
212311
11112
3
1111()n
n i j j i n
n n n n n
x x x x x x x x x x x x x x ≤<≤----=
-∏
记住公式直接套用，或经过简单变形再套用公式。 7.2 范德蒙行列式方法举例应用 例7 计算行列式
12222
1122121212
1122111111
n n n n n n n n n n n
x x x D x x x x x x x x x x x x ------+++=++++++
解：把第1行的－1倍加到第2行，把新的第2行的－1倍加到第3行，以此类推直到把新的
第n －1行的－1倍加到第n 行，便得范德蒙行列式
12222
121
111
12111()n
n i j n i j n n n n
x x x D x x x x x x x x ≥>≥---==-∏
8 数学归纳法
8.1 数学归纳法的运用条件
一般是利用不完全归纳法寻找出行列式的猜想值，再用数学归纳法给出猜想的证明。因此，数学归纳法一般是用来证明行列式等式。因为给定一个行列式，要猜想其值是比较难的，所以是先给定其值，然后再去证明。 8.2 数学归纳法举例应用 例8
[]12cos 100012cos 100012cos 00sin(1)(sin 0)sin 0002cos 100012cos n n D θθθθθθθθ+==≠ 证明
证：当1,2n =时，有：
122sin(11)2cos sin 2cos 1sin(21)4cos 112cos sin D D θθθ
θθθθθ+==
+==-=
结论显然成立。
现假定结论对小于等于1n -时成立。 即有：
21sin(21)sin(11),
sin sin n n n n D D θθ
θθ
---+-+==
将n D 按第1列展开，得：
(1)
(1)
12
2cos 1002cos 0001
2cos 0012cos 000
02cos 1002cos 10
1
2cos 0
1
2cos 2cos sin(11)sin(21)2cos sin sin 2cos sin sin(1)sin 2cos sin sin cos co n n n n n D D D n n n n n n θθθθθθ
θ
θ
θθθ
θθθ
θθθθ
θθθθ----=-=?--+-+=?
-
?--=
?-?+=
s sin sin sin cos cos sin sin sin(1)sin n n n n θθθ
θθθθθ
θθ??+?=
+=
故当对n 时，等式也成立。 得证。
9 利用拉普拉斯定理
9.1 拉普拉斯定理
拉普拉斯定理的四种特殊情形：[2][6]
1）
0nn nn mm mn mm A A B C B =?
2）
nn nm nn mm mm
A C A
B B =?
3）
0(1)
nn mn
nn mm mm
mn
A A
B B
C =-? 4）
(1)0
nm nn mn nn mm mm
C A A B B =-?
9.2 拉普拉斯定理方法举例应用
例9 计算n 阶行列式：[2] n a a a a
b D b b
λα
ββββ
α
βββββα
=
12
222
(2)(2)
(2,,1)
0000
00(1)(2)00000
000(3,)000000(1)0
0(2)0
0[(2)(i n
i n n i n a
a a a
b D n a a
a
a
b
n C C i n n a b n n ab n λλλ
ααβ
βββαααβλ
αβ
βββαβαβαβ
αβ
λ
αβαβ
αβ
λαλβ+?-?-=------+-+--=----?
+--=+--- 解：利用拉普拉斯定理
2
1)]()
n αβ-?-
10 拆行（列）法
10.1 拆行（列）法的运用条件
由行列式拆项性质知，将已知行列式拆成若干个行列式之积，计算其值，再得原行列式值，此法称为拆行（列）法。
由行列式的性质知道，若行列式的某行（列）的元素都是两个数之和，则该行列式可拆成两个行列式的和，这两个行列式的某行（列）分别以这两数之一为该行（列）的元素，而其他各行（列）的元素与原行列式的对应行（列）相同，利用行列式的这一性质，有时较容易求得行列式的值。[7] 10.2 拆行（列）法举例应用
例10 计算行列式 n D =
1121221
2
n n
n n
a a a a a a a a a λλλ+++
解：n D =
121221
2
n n
n n a a a a a a a a a λλ++ 1
22200
n n
n n
a a a a a λλλ+++
12200
n n
n
a a a a λλ=
11n D λ-+
1211n n a D λλλ-=+
……
1211n
i
n i i
a
λλλλ=??=+ ???
∑ 11 析因法
11.1 析因法的运用条件
如果行列式D 中有一些元素是变数x （或某个参变数）的多项式，那么可以将行列式D 当作一个多项式f(x)，然后对行列式施行某些变换，求出f(x)的互素的一次因式，使得f(x)与这些因式的乘积g(x)只相差一个常数因子C ，根据多项式相等的定义，比较f(x)与g(x)的某一项的系数，求出C 值，便可求得D=Cg(x) 。
那在什么情况下才能用呢？要看行列式中的两行（其中含变数x ），若x 等于某一数a 1时，使得两行相同，根据行列式的性质，可使得D=0。那么x a 1便是一个一次因式，再找其他的互异数使得D=0，即得到与D 阶数相同的互素一次因式，那么便可用此法。[2]
11.2 析因法举例应用及分析 例11[4]
12121123123n n
n n x a a a a x a a D a a a a a a a x
+=
[分析] 根据该行列式的特点，当.1,2,,i x a i n == 时，有10n D +=。但大家认真看一下，该行列式D n+1是一个n+1次多项式，而这时我们只找出了n 个一次因式
.1,2,,i x a i n -= ,那么能否用析因法呢？我们再仔细看一下，每行的元素的和数都是
一样的，为：1
n
i i a x =+∑，那么我们从第2列开始到第n+1列都加到第1列，现提出公因式
1
n
i i a x =+∑，这样行列式的次数就降了一次。从而再考虑析因法。
1211
221
211
2
323
12
3
2
31
11()11n
i n i n
n i n
i n
n
n i i n n i
n
i n
i i a x
a a a a a a a x
x a a x a a D a x a a a a x
a a a a a x
a x
a a x
==+===++=
=+++∑∑∑∑∑
解：
1
22'
1232
31111n n n n a a a x a a D a a a a a x
+=
令： 显然当：.1,2,,i x a i n == 时，'10n D +=。 又'1n D +为n 次多项式。
'112()()()n n D C x a x a x a +∴=--- 设
又'1n D +中x 的最高次项为n x ，系数为1，C=1
'112()()()n n D x a x a x a +∴=--- 因此得：
'111121
()()()()()
n
n i n i n
i n i D a x D a x x a x a x a ++===+=+---∑∑
该题显然用析因法是最简便，但大家不要一味地只找使它等于0的数，而该最多只能有n 个数使它等于0，而行列式又是n+1阶是一个n+1次多项式，从而我们想到的就是得用行列式的性质把行列式的次数降低一次，使得原n+1次多项式变为一个一次多项式和一个n 次多项式的乘积。进而便可求得其值。
凡事要懂得变通，一道题不可能用一种方法就可以马上解得。在析因法中，对于一个n 次多项式，当你最多只能找出r 个使其行列式为零时，就要把它化为一个n r 次多项式与一个r 次多项式的乘积。但一般找出的使其行列式为零的个数与行列式的次数差太多时，不用本法。
12 利用矩阵行列式公式
12.1 引理一及其证明
引理：设A 为n m ?型矩阵，B 为m n ?型矩阵，n E ，m E 分别表示n 阶，m 阶单位矩阵，则有det()det()n m E AB E BA ±=± [6]
先引入一个证明题：
[2]
设A ，B 分别是n m ?和m n ?矩阵，0λ≠，证明：n m n m E AB E BA λλλ--=- 证明：00n n n m m m E A E E AB A B
E B E E λλ-??????=
??? ?-??????
两边取行列式得：
00n
n n n n m m m m m
E A E E A E AB A
E AB E B
E B E B E E λλλλ-=
==--n E AB λ=-
又1
1
n n
n
m m m E E
A E A B
E B BA E E λλλλ????
-
?? ? ?= ? ?
?-+ ? ?????
?
?同样两边取行列式有： 1
01
n
n
n
n
m
m m
m
E E A E A E A
B
E B
E B
BA E E λλλλ
λ
-=
=-+
()1
1
n
n m n m m m E BA E E BA E BA λλλλλλ
λ
-=-
+=-=- 得证。
那么对于A B ,分别是n m ?和m n ?矩阵，0λ≠能否得到：
n m n m E AB E BA λλλ-+=+
答案是肯定的。 证：00n
n n m m m E A E E AB A B
E B E E λλ-+-??????=
??? ?-??????
有：
n
n m
E A
E AB B
E λλ-=+
又 1
1
n n
n
m m m E E
A E A B
E B BA E E λλλλ????-?? ? ?= ? ?
?+ ? ?????
?? 1
n
n m n m m m E A E BA E E BA B
E λλλλλ
--∴
=+=+
n m n m E AB E BA λλλ-∴+=+
即得：对A B ,分别为n m ?和m n ?矩阵，0λ≠时，有：
n m n m E AB E BA λλλ-±=±
则当1λ=时，有：n m E AB E BA ±=± 引理得证。
12.2 利用矩阵行列式公式举例应用 例12
12
3
1231233123n
n n n n a b
a a a a a
b a a D a a a b a a a a a a b ++=
++
解：令矩阵12
3
12312331
23n
n n n a b
a a a a a
b a a A a a a b a a a a a a b
++=
++
则可得：
()1
231
23121
2331
2
311
1n
n n n n n n
a a a a a a a a A bE bE a a a a a a a a a a a a ??
?
?=+=+ ?
?
??
,,,
11n n n bE B C ??=+
其中()()1112111T
n n n B C a a a ??==,,,, 那么根据上面所提到的引理可得：
111n n n n n D bE BC b b C B -??=+=+
又()11
12111
1n n n n i i C B a a a a ??=?? ? ?== ? ???
∑,,,
可得：11
n n n i i D b a b -==+∑() 本题主要是记住公式，然后套用。
13 论文总结
上面介绍了计算n 阶行列式的常见方法与技巧，其中一些是常见的些是最基本的方法，还有一些是特殊但很实用的方法。我认为只要理解和掌握以上12种方法，不管哪种
行列式计算，都可以迎刃而解。而且一个题目有时候要由多种解法并用，或一个题可由多种方法独自解出，计算行列式时，我们应当针对具体问题，把握行列式的特点，灵活选用方法。学习中多练习，多总结，才能更好地掌握行列式的计算。
致谢
时值毕业论文完成之际，我首先要感谢我的指导老师ff老师，在毕业论文准备期间，ff老师不断地以他自身对待科学的热忱，治学严谨的态度，以及对待学生的责任上深深感染着我，在这样的言传身教下，我深深了解了作为一名大学生应有的责任和做法。在论文写作过程中ff老师为我提供了大量的资料，并提出许多有益的意见，ff老师扎实的理论功底，丰富的科研经验极大程度上帮助了我毕业论文的顺利进行。ff老师的博学、敬业、严谨时时刻刻鞭策着我、鼓励着我、指引着我，对我今后的学习和工作受益匪浅，在此，我再一次对ff老师的培养和关怀表示诚挚的谢意！
感谢父母多年来对我的支持和鼓励！
在此，我还要感谢pp.zh和所有给予我帮助的各位朋友！
参考文献：
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[2] 李师正等. 《高等代数复习解题方法与技巧》[M]. 高等教育出版社,2005.
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[4] 刘学鹏等.《高等代数复习与研究》[M]. 南海出版公司,1995.
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[6] 许甫华、张贤科.《高等代数解题方法》[M]. 清华大学出版社,2001.
[7] 王丽霞.《山西大同大学学报：自然科学版》[J]. 2008第2期.