基于灰色关联度和理想解法的多属性群决策
琚冰源，王秋萍
西安理工大学理学院陕西西安 710054
摘要对多属性群决策问题,构建了一种基于灰色关联度和理想解法(TOPSIS)的多属性群决策方法。该方法将欧氏距离和灰色关联度有机结合,构造了一种相对贴近度以实现对方案的评价。所构造的贴近度同时反映了方案与理想方案和负理想方案之间的位置关系和数据曲线的相似性差异。最后通过一个供应商选择的示例以及灵敏度分析进一步说明了方法的可行性。
关键词理想解法，欧氏距离，灰色关联度，相对贴近度，多属性群决策
Multiple Attribute Group Decision Making Method Based on Grey Incidence Degree and TOPSIS
JU Bing-yuan , WANG Qiu-ping
School of Science, Xi’an University of Technology, Xi’an 710054 (E-mail: wqp566@https://www.doczj.com/doc/5918373904.html,)
Abstract—A method based on grey incidence degree and TOPSIS (Technique for Order Preference by Similarity to Ideal Solution) is proposed for a multiple attribute group decision making problem. This method established a kind of relative similarity degree by combining the Euclidean distance with grey incidence degree. The similarity degree reflects the distance and the different shape among a selected scheme, the ideal solution and negative ideal solution. Finally, an example and sensitivity analysis are given to show the feasibility of this approach.
Key words—TOPSIS; Euclidean distance; grey incidence degree; relative similarity degree; multiple attribute group decision making
1. 引言
多属性群决策是群体决策和多属性决策相交叉的研究方向。它研究决策群体按照某种偏爱结构，对含有多个属性的问题进行选优、排序或评价的问题。当前的研究有以下一些方面：决策者权重的确定方法的研究[1,2]；偏好信息集结的研究[3]；一致性研究[4]；群决策排序的研究[5-7]；基于群决策问题自身特点的提出新的概念进行的方法的研究[8,9]；某种特定多属性群决策问题的决策研究[10,11]；一些经典MADM方法在群体多属性决策问题中的拓展研究[12,13]；新的多属性个体决策方法在群体多属性决策的拓展研究[14,15]和新的多属性群决策方法的研究16-18]。
多属性群决策四个基本要素：决策者集、方案集、属性集及各决策者的属性值集。属性值包括精确数、模糊数、区间数和模糊语言表示等多种表达形式。本文研究属性值为精确数的决策。逼近理想解的排序方法能充分利用有关信息,求解思路清晰，在多属性群决策领域得到了广泛应用,该方法的依据是数据序列之间的距离关系。然而，以距离作为尺度仅仅能反映数据曲线之间的位置关系，而不能体现数据序列的态势变化。灰色系统理论中的灰色关联度能很好地分析态势变化，是曲线形状相似性的衡量尺度。曲线形状越接近，相应序列之间的关联度就越大。因此,对于多属性群决策问题来说，如果方案与理想方案的灰色关联度越大，就可认为方案越接近理想方案。鉴于欧氏距离和灰色关联度分别从位置和形状相似性上反映了方案与理想方案的接近程度,并同时体现双基准的特性,
北京名校高端写手团队代写硕士、博士毕业论文、EI、SCI、CSSCI、核心期刊刊发表小论文。十年运作经验，技术力量雄厚。数学建模，实验仿真、数据分析（SPSS、MATLAB、EVIEWS、EXCEL、SPLUS&R、LINGO、MAPLEMA THEMATICA、MATHCAD）一站式服务。全程淘宝，安全无忧！电话：4000325985 手机：188******** Q:77995988 ；22358080 北京通慧学术服务公司。本文将二者相结合构建了一种基于灰色关联度和理想解法的多属性群决策方法,文献[19]曾将二者结合有效解决多属性决策问题。本文将该方法扩张到群决策问题中，为多属性群决策问题提供了一种新思路。
2. 选方案的理想解法（TOPSIS ）[17]
求解思路是：根据属性权重、每个属性下的决策者权重和决策矩阵，先定义单个备选方案的群体理想解和负理
想解；再用TOPSIS （Technique for Order Preference by Similarity to Ideal Solution ）法求出对每个决策者而言该方案与其群体理想解的相对贴近度；然后定义整个备选方案集的群体理想解和负理想解；最后用TOPSIS 法求出决策群体对各备选方案的最终评价结果，并由此对各方案排序。具体步骤如下：
问题描述：设备选方案集为12{,,,}L X
X X X = ，
评价属性值为12{,,,}M F F F F = ，决策群体为12{,,,}N D D D D = 。假设各决策者对各评价属性的权重意见一致，属性(1,2,,)m F m M = 的权重为m ω，满
足
1
0,1
M
m m m ωω=>=∑。在属性
m F 下，决策个体
(1,2,,)n D n N = 的权重为n
m λ，满足1
0,1
N
n n
m m n λλ=>=
∑。决策个体n D 的多属性决策矩阵为
()
n
n lm L M
V v ?=，其中(1,2,,)n
lm v l L = 为n D 对l X 的m
F 的评价值，为简便起见, 且不失一般性,设
(1,2,,)n V n N = 已经规范化，各属性均为效益型，即属性值越大越优。本文要讨论的问题就是求出决策群体对备选方案的排序结果。
步骤1 组成l X 的多属性群决策矩阵
1111
2222
1
2
1
2
l l lM
l l lM l N N N l l lM v v v v v
v B v v v ??
????
?
?=??
??????
步骤2 将l B 对决策者和属性分别加权，得l X 的加
权多属性群决策矩阵
111111
111
222
222222
111
222
111
222
l l M M lM l l M M lM l N N N N N N l l M M lM v v v v v v C v v v ωλωλωλωλωλωλωλωλωλ??
?
???
?
?=???
?????
步骤3 基于l C 求l X 的群体理想解+l
X 和群体负理
想解-l
X
12(,,)M l l l l X a a a += ，{1,2,,}
max m n n l m m
lm n N a v ωλ∈= 12(,,)M l l l l X b b b -= ， {1,2,,}
min m n n
l m m lm n N b v ωλ∈=
步骤 4 对决策者n D ，计算l X 与+l X 的相对贴近度
nl f ，实质是n D 对l X 在群体意义下的综合评价值,并由此
构成贴近度矩阵N L nl f F ?=][,即
112111222212N N L
L NL f f f f f f F f f f ??????
?
?=????????
，/()nl nl nl nl f f f f --+
=+，
nl
f +=
，
nl
f -
=
步骤5 基于F ，求整个备选方案集的群体理想解X +
与群体负理想解X -
：
12(,,,)N X a a a += ， {1,2,,}
max n nl l L a f ∈=
12(,,,)N X b b b -= ， nl L l n f b }
,,2,1{min ∈=
步骤6 计算对决策群体而言l X 与+X 的相对贴近度
l g ，其实质是决策群体对l X 的最终评价值
)/(+--+=l l l l g g g g ，式中，
l
g +=
∑=--=
N
n n nl
l b f
g 1
2)(
步骤7 按l g 从大到小排序，l g 越大，则l X 越优。
3. 备选方案的灰色关联贴近度解法
灰色关联度作为测度方案优劣尺度的基本思想是：对方案数据序列几何关系和曲线几何形状的相似程度进行比较分析，以曲线间相似程度的大小作为关联程度的衡量尺度。曲线越接近，相应序列之间的关联度越大，反之则越小。对于多属性群决策问题来说，如果某一方案与系统设置的虚拟理想方案的关联度越大，就可以认为该方案越接近理想方案。相反，如果某一方案与系统设置的虚拟负理想方案的关联度越大,就可以认为该方案越远离理想方案。因此，可利用方案与理想方案和负理想方案的灰色关联度构造相对贴近度实现方案的优选[19]，
北京名校高端写手团队代写硕士、博士毕业论文、EI 、SCI 、CSSCI 、核心期刊刊发表小论文。十年运作经验，技术力
量雄厚。数学建模，实验仿真、数据分析（SPSS 、MATLAB 、EVIEWS 、EXCEL 、SPLUS&R 、LINGO 、MAPLEMATHEMATICA 、MATHCAD ）一站式服务。全程淘宝，安全无忧！电话：4000325985 手机：188******** Q:77995988 ；22358080 北京通慧学术服务公司。计算步骤为：
步骤1 以上文确定的加权标准化矩阵l C 为基础，计算
对n D 而言l X 与+l X 的相对灰色关联贴近度nl r ，实质是n D 对l X 在群体意义下的综合评价值,并由此构成关联度矩阵N L nl r R ?=][,即
?
????
?
??????=NL L
L
N N r r r r r r r r r R 2122212
12111
)/(+-++=nl nl nl nl r r r r
+nl
r 是对n D 而言l X 与+l X 的灰色关联度，-
nl r 是对n D 而言l X 与-l X 的灰色关联度[12]。计算关联度的步骤如下：
分别以+l X 和-l X 为特征序列，l C 的行向量为行为序列求灰色关联度矩阵+
nl r 和-
nl r 。
设系统行为序列))(,),2(),1((m x x x X n n n n =
N n M m ,,2,1,0 ;21 ==，，，，其中，
, 0()
, 1,2,,m l
n n n
m m lm a n x m v n N
ωλ?=?=?=?? 1,2,,; 1,2,,m M l L ==
(1) 求各序列的初值像，令
((1),(2),,()), 0,1,2,,(1)
n
n
n
n n n X X x x x M n N x ''''=== (2) 求差序列，记
()()()n n m x m x m ''?=-n ((1),(2),,()), 1,2,,n n n M n N ?=???=
(3) 求两极最大差和最小差，记
n max max (), min min ()n n
m
n
m
D m d m =?=?
(4） 求关联系数
(), 05
()nl n d ξD
r m ξ.m ξD
+
+=
=?+1,2,; 1,2,,m M n N == ，
(5) 计算关联度
1
1
(), 1,2,,; 1,2,,M
nl nl m r r m n N l L M
++==
==∑
同理，
11
(), 1,2,,; 1,2,,M
nl
nl
m r r
m n N l L M
--==
==∑ 。
步骤2 基于R 求整个备选方案的群体理想解R +
与群体负理想解R -
12(,,,)N R c c c += {1,2,,}
max n nl l L c r ∈=
12(,,,)N R d d d -= {1,2,,}
min n nl l L d r ∈=
步骤 3 计算各方案到群体理想解与群体负理想解的灰色关联度+l r 和-
l r
分别以+
R 和-
R 为特征序列，R 的行向量为行为序列求灰色关联度+
l r 和-
l r ,同上（略）。
步骤4计算备选方案的灰色关联相对贴近度
)/(-+++=l l l l r r r r 。
步骤5 按l r 从大到小排序，l r 越大，则l X 越优。
4. 基于灰色关联度和理想解法的决策模型
虽然距离尺度在反映方案数据曲线之间形状相似性方面存在一定的缺陷，但却能较好地体现曲线在位置上的关系。而灰色关联度又恰恰可以反映曲线几何形状的相似性。因此可以将二者结合起来构造一种反映方案逼近理想解的新尺度作为判断方案优劣的标准。本文将欧氏距离和灰色关联度相结合构造出一种新的相对贴近度,具体步骤如下：
步骤1：利用向量归一化方法对决策矩阵作标准化处理。
步骤2：计算加权标准化判断矩阵l C 。
步骤3：确定群体理想解+X 与群体负理想解-X 。 步骤 4 计算方案到群体理想解与群体负理想解的距
离+l g 和-l g 。
步骤5：计算方案到群体理想解和群体负理想解之间的灰色关联度+l r 和-
l r 。
步骤6：分别对步骤4和步骤5确定的距离和灰色关联度进行无量纲化处理，计算公式为
l
i l M M M 4
1max ≤≤=
，其中，l M 分别代表-+-+l l l l r r g g 、、、。 步骤7： 将步骤6中的无量纲化距离和关联度（我们依然沿用之前的记号）合并。由于-
l g 和+
l r 数值越大，方案越远离理想方案，于是合并公式为
),,2,1(,)1()
,,2,1(,)1(L l r g H L l r g H l l
l l l l =-+==-+=-
+-+-+ββββ，其中,β反映了决策
者对位置和形状的偏好程度,决策者可根据自己的偏好确
定它的数值。
步骤8：计算方案的相对贴近度
*
,(1,2,,)l l l l H T l L H H +
+-
==+
新贴近度基于欧氏距离和灰色关联度,同时反映了方案与理想方案和负理想方案之间的位置关系和数据曲线的相似性差异,物理含义更加明确。
步骤9：按照贴近度的大小对方案进行排序。贴近度越大方案越优，贴近度越小方案越劣。
5. 示例分析
北京名校高端写手团队代写硕士、博士毕业论文、EI 、SCI 、CSSCI 、核心期刊刊发表小论文。十年运作经验，技术力量雄厚。数学建模，实验仿真、数据分析（SPSS 、MATLAB 、EVIEWS 、EXCEL 、SPLUS&R 、LINGO 、MAPLEMATHEMATICA 、MATHCAD ）一站式服务。全程淘宝，安全无忧！电话：4000325985 手机：188******** Q:77995988 ；22358080 北京通慧学术服务公司。供应链管理中的供应商选择一般是由经济与技术方面的专家和行政领导组成的委员会，在权衡各种因素后全面考察潜在的供应商，从中作出最优选择，属于典型的多属性群决策问题[21]。设某大型工程物资供应商评选委员会有N(=5)个成员，根据M(=4)个属性(质量、价格、提前期、柔性)，对L(=4)个物资供应商进行评价和选优[17]。属性权重及每个属性下的决策者权重如表1所示，决策矩阵n v (n=1,2,…,5)采用文献[8]的数据。应用上述方法求供应商评选委员会对供应商的排序结果的过程如下：
评价委员会的5个成员就上述4个属性对4个供应商的评价结果规范化后如下（行表示供应商，列表示属性）：
10.30.20.50.70.60.40.10.20.20.80.80.30.70.60.20.1v ??
??
??
?
?=??
??
????
20.50.20.70.30.30.70.80.20.60.20.40.30.50.80.60.2v ??
??
??
?
?=??
??
????
30.20.60.30.50.10.90.50.30.70.60.20.40.60.30.10.8v ??
??
??
?
?=??
??
????
40.30.60.80.20.70.40.60.30.40.50.60.20.50.80.20.6v ??
??
??
?
?=??
??
????
40.10.70.40.30.50.80.20.60.40.60.70.30.20.10.60.9v ??
??
??
?
?=??
??
????
[22]
步骤1 求供应商(1,2,3,4)l X l =的多属性群决策
矩阵l B ,将l B 对决策者和属性加权,计算供应商l X 的加权多属性群决策矩阵l C ,其中
10.3
0.20.50.70.50.20.70.30.2
0.60.30.50.30.60.80.20.10.70.40.3B ??
??
??
??
??=??
??
??
????
10.02520.01200.02000.02520.02700.01200.02800.01680.0108
0.03600.01200.01800.01620.03600.03200.00720.0054
0.04200.01600.0108C ??
?
?
??
?
?
??=?
?
??
??
????
步骤 2 基于l
C 求供应商
l X 的群体理想解l X +和
l X -，计算对(1,2,,5)n D n = 而言供应商(1,2,3,4)l X l =
与其群体理想解l X +
的贴近度nl f ，从而得到贴近度矩阵F
(0.0270,0.0420,0.0320,0.2520)l X +=
(0.0054,0.0120,0.0120,0.0072)l X -=
构成贴近度矩
0.46320.47610.49520.60220.49990.50850.48300.47100.52070.51100.66530.33450.54820.47400.59770.6181
0.56600.44050.56670.3547F ??
?
?
??
?
?=??
??
????
基于F ,求整个备选供应商的群体理想解X +
与群体负理想
解X -
(0.6653,0.5660,0.5482,0.6022,0.5977)X +=
(0.4632,0.3345,0.4170,0.4740,0.3547)X -=
步骤 3 计算方案到理想解X +与负理想解X -
的距
离
l g +和l g -，记
1234(,,,)g g g g g +++++=， 1234(,,,)g g g g g -----
=
(0.2476,0.2508,0.2646,0.2723)g +=
(0.2523,0.2251,0.3422,0.2944)g -=
步骤 4 计算方案到理想解X +和负理想解X -
之间
的灰色关联度l r +和l r -
，记法同上，
(0.6058,0.6884,0.7021,0.6394)r += (0.6179,0.9118,0.6752,0.5764)r -=
步骤5 分别对步骤3和4确定的距离和灰色关联度 无量纲化处理。计算公式为14
max l
l
i M M M ≤≤=
其中，l M 分别代表l l l l g g r r +-+-、、、。
步骤6 将步骤5中的无量纲化距离和关联度合并。
合并公式为：
(1),(1,2,3,4)(1),(1,2,3,4)l l l l
l
l H g r l H g r l ββββ+-+-+-
=+-==+-=
取0.5β=
步骤7 计算方案的相对贴近度
*( 0.5021,0.4603, 0.5388, 0.5204)T = 其中，
*
,(1,2,3,4)l l l l
H T l H H +
+-
==+，*****1234(,,,)T T T T T =
步骤8 按照贴近度的大小对方案进行排序。贴近度越大方案越优;贴近度越小方案越劣。故供应商从优到劣的顺序为3412X X X X
从表2（见下一页）的对比可以看出本文的排序结果与TOPSIS 贴近度排序一致,与灰色关联相对贴近度的排序基本一致,这充分说明本文新理想解法取得了较好的测评效果。排序结果有所不同是因为本文方法同时考虑了方案与理想方案和负理想方案数据曲线在形状或态势上的差异性。
北京名校高端写手团队代写硕士、博士毕业论文、EI 、SCI 、CSSCI 、核心期刊刊发表小论文。十年运作经验，技术力量雄厚。数学建模，实验仿真、数据分析（SPSS 、MATLAB 、EVIEWS 、EXCEL 、SPLUS&R 、LINGO 、MAPLEMATHEMATICA 、MATHCAD ）一站式服务。全程淘宝，安全无忧！电话：4000325985 手机：188******** Q:77995988 ；22358080 北京通慧学术服务公司。一般来说,决策者在方案数据曲线之间位置和形状相似性上的偏好有所不同时,对方案做出的测评就有所不同,如图1所示是偏好度β从0变化到1的排序结果。由图1可以看出,当决策者偏好发生变化后,排序结果也有所不同。当0=β时是只考虑灰色关联相对贴近度的情况，当1=β是只考虑欧氏距离下的相对贴近度情况。这里2.0=β是一个排序的大约分界点。从以上的分析可以看出,采用群体个性分类的定性方法,对决策的准确性是有意义的,它提供给决策问题的发起者选择合适的联接系数β,从而判断最佳排序结果的依据。
图1 β的灵敏度分析图表2 参数和排序结果对比表
6. 结束语
传统理想解法利用方案与理想解和负理想解之间的欧氏距离构造相对贴近度函数，以实现对方案优劣的评价。其相对贴近度反映了方案在位置上逼近理想方案的程度，但却不能体现方案在形状相似性上逼近理想方案的程度。而灰色关联度应用于态势变化分析，能很好的反映数据序列曲线在形状上的相似性。为此,本文将二者结合起来，构建了一种新的多属性群决策方法。该方法分析问题更全面客观，具有一定的推广应用价值。
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