帮你归纳总结(五）：导数中的求参数取值范围问题 一、常见基本题型：
（1）已知函数单调性，求参数的取值范围，如已知函数()f x 增区间，则在此区间上 导函数()0f x '≥，如已知函数()f x 减区间，则在此区间上导函数()0f x '≤。 （2）已知不等式恒成立，求参数的取值范围问题，可转化为求函数的最值问题。 例1.已知a ∈R ，函数2
()()e
x
f x x ax -=-+.（x ∈R ，e 为自然对数的底数）
（1）若函数()(1,1)f x -在内单调递减，求a 的取值范围；
（2）函数()f x 是否为R 上的单调函数，若是，求出a 的取值范围；若不是，请说明 理由. 解： （1）
2-()()e x f x x ax =-+
-2
-()(2)e ()(e )x
x
f x x a x ax '∴=-++-+-=2-(2)e x
x a x a ??-++??.
()()f x 要使在-1,1上单调递减， 则()0f x '≤ 对(1,1)x ∈- 都成立，
2
(2)0x a x a ∴-++≤ 对(1,1)x ∈-都成立. 令2
()(2)g x x a x a =-++，则(1)0,
(1)0.
g g -≤??
≤?
1(2)01(2)0
a a a a +++≤?∴?-++≤?, 3
2a ∴≤-.
（2）①若函数()f x 在R 上单调递减，则()0f x '≤ 对x ∈R 都成立
即2-(2)e 0x
x a x a ??-++≤?? 对x ∈R 都成立.
2e 0,(2)0x x a x a ->∴-++≤ 对x ∈R 都成立
令2
()(2)g x x a x a =-++，
图象开口向上 ∴不可能对x ∈R 都成立
②若函数()f x 在R 上单调递减，则()0f x '≥ 对x ∈R 都成立，
即2-(2)e 0x x a x a ??-++≥?? 对x ∈R 都成立，
e 0,x -> 2(2)0x a x a ∴-++≥ 对x ∈R 都成立.
22(2)440a a a ?=+-=+>
故函数()f x 不可能在R 上单调递增. 综上可知，函数()f x 不可能是R 上的单调函数
例2：已知函数()()ln 3f x a x ax a R =--∈,
若函数()y f x =的图像在点(2,(2))f 处的切
线的倾斜角为45，对于任意[1,2]t ∈，函数()3
2
/
[()]2
m
g x x x f x =++
在区间(,3)t 上总不是单调函数，求m 的取值范围； 解： /(2)1,22
a
f a =-
==-由
32/2
()2ln 23
()(2)2, ()3(4)2
2f x x x m g x x x x g x x m x ∴=-+-∴=++-=++- 令/
()0g x =得，2
(4)240m ?=++>
故/()0g x =两个根一正一负，即有且只有一个正根
函数()32/[()]2
m
g x x x f x =++
在区间(,3)t 上总不是单调函数 ∴/()0g x =在(,3)t 上有且只有实数根///(0)20,()0,(3)0g g t g =-<∴<>
∴237, (4)233
m m t t >-
+<-故2
43m t t +<-，
而23y t t =-∈在t [1,2]单调减， ∴9m <-，综合得37
93
m -<<-
例3.已知函数143
41ln )(-+-
=x
x x x f ． （Ⅰ）求函数)(x f 的单调区间；
（Ⅱ）设42)(2
-+-=bx x x g ，若对任意)2,0(1∈x ，[]2,12∈x ，不等式
)()(21x g x f ≥ 恒成立，求实数b 的取值范围． 解：（I ）14341ln )(-+-
=x
x x x f 的定义域是(0,)+∞
2
2243
443411)(x x x x x x f --=--=' 由0>x 及0)(>'x f 得31< 由（I ）可知，在(0,2)上，1x =是函数极小值点，这个极小值是唯一的极值点， 故也是最小值点，所以min 1 ()(1)2 f x f ==- ； []2()24,1,2g x x bx x =-+-∈ 当1b <时，max ()(1)25g x g b ==-； 当12b ≤≤时，2 max ()()4g x g b b ==-； 当2b >时，max ()(2)48g x g b ==-； 问题等价于11252b b 1482 b b >???-≥-?? 解得1b < 或1b ≤≤ 或 b ∈? 即b ≤ ，所以实数b 的取值范围是,2?-∞ ??。 例4．设函数2 2 ()ln ,()f x x m x h x x x a =-=-+, (1)当a ＝0时，f (x )≥h (x )在(1，＋∞)上恒成立，求实数m 的取值范围； (2)当m ＝2时，若函数k (x )＝f (x )－h (x )在[1,3]上恰有两个不同零点，求实数a 的 取值范围． 解：(1)由a ＝0，f (x )≥h (x )， 可得－m ln x ≥－x ，x ∈(1，＋∞)，即m ≤ x ln x . 记φ(x )＝x ln x ，则f (x )≥h (x )在(1，＋∞)上恒成立等价于m ≤φ(x )min . 求得φ′(x )＝ln x －1 ln 2 x 当x ∈(1，e)，φ′(x )＜0； 当x ∈(e ，＋∞)时，φ′(x )＞0. 故φ(x )在x ＝e 处取得极小值，也是最小值， 即φ(x )min ＝φ(e)＝e ，故m ≤e. (2)函数k (x )＝f (x )－h (x )在[1,3]上恰有两个不同的零点等价于方程x －2ln x ＝a ， 在[1,3]上恰有两个相异实根． 令g (x )＝x －2ln ，则g ′(x )＜1－2 x . 当x ∈[1,2)时，g ′(x )＜0； 当x ∈(2,3]时，g ′(x )＞0. ∴g (x )在(1,2)上是单调递减函数，在(2,3]上是单调递增函数． 故g (x )min ＝g (2)＝2－2ln2. 又g (1)＝1，g (3)＝3－2ln3， ∵g (1)＞g (3)，∴只需g (2)＜a ≤g (3)． 故a 的取值范围是(2－ln2,3－2ln3]. 二、针对性练习 1.已知函数2 ()ln .f x x a x =+若函数()()2g x f x x =+在[1，4]上是减函数，求实数a 的 取值范围。 解：由x x a x x g 2ln )(2+ +=，得22 2)(x x a x x g -+='． 又函数x x a x x g 2 ln )(2++=为[1，4]上的单调减函数。 则0)(≤'x g 在[1，4]上恒成立，． 所以不等式02 22≤-+x x a x 在[1，4]上恒成立． 即222 x x a -≤ 在[1，4]上恒成立。 设222 )(x x x -= ?，显然)(x ?在[1，4]上为减函数， 所以)(x ?的最小值为.263 )4(-=? a ∴的取值范围是.2 63 -≤a 2.已知函数()1x f x e x =-- （1）若存在4[1,ln ]3 x ∈-，使10x a e x -++<成立，求a 的取值范围； （2）当0x ≥时，2 ()f x tx ≥恒成立，求t 的取值范围. 解:（1） 1,x a e x <--即().a f x < 令 '()10,0. x f x e x =-== 0x >时，' ()0,0f x x ><时，'()0.f x < ()f x ∴在(,0)-∞上减，在(0,)+∞上增. 又 041,ln 3x ? ?∈-?? ??时，()f x ∴的最大值在区间端点处取到. 11444(1)11,ln ,1ln 333f e f e -??-=-+==-- ???， 414 4114(1)ln 1ln ln 0, 33333f f e e ??--=-++=-+> ??? ∴ 4(1)ln ,()3f f f x ??->∴ ???在41,ln 3??-????上最大值为1 , e 故a 的取值范围是 1 a e < ， （3）由已知得0x ≥时，210x e x tx ---≥恒成立， 设 2()1.x g x e x tx =---'()12. x g x e tx ∴=-- 由（2）知1,x e x ≥+当且仅当0x =时等号成立， 故' ()2(12)g x x tx t x ≥-=-，从而当120,t -≥ 即1 2t ≤ 时，' ()0(0),()g x x g x ≥≥∴为增函数，又(0)0,g = 于是当0x ≥时，()0,g x ≥即2 ()f x tx ≥，1 2t ∴≤ 时符合题意. 由1(0)x e x x >+≠可得1(0), x e x x ->-≠从而当 1 2t >时， '()12(1)(1)(2), x x x x x g x e t e e e e t --<-+-=-- 故当(0,ln 2)x t ∈时，'()0,()g x g x <∴为减函数，又(0)0,g = 于是当(0,ln 2)x t ∈时，()0,g x <即2(),f x tx ≤ 故1 ,2t > 不符合题意.综上可得t 的取值范围为1,2??-∞ ? ? ? 3.已知函数ln(1x f (x)x += ） ，设3h(x)xf (x)x ax =--在（0，2）上有极值，求a 的取值范围. 解：由3 h(x)x f (x)x ax =?--可得，
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