新疆兵团农二师华山中学2014-2015学年高一上学期期末数学试卷
一、单项选择题（每题5分，共60分）
1．（5分）满足log a1（a＞0且a≠1）=（）
A．4B．0C．2D．1
2．（5分）下列正确的是（）
A．=B．=3﹣π C．（）3=﹣2 D．
=2a﹣1
3．（5分）已知函数，则f（f（﹣2））的值是（）
A．2B．﹣2 C．4D．﹣4
4．（5分）化简﹣+﹣得（）
A．B．C．D．
5．（5分）函数f（x）=2x+3x的零点所在的一个区间是（）
A．（﹣2，﹣1）B．（﹣1，0）C．（0，1）D．（1，2）
6．（5分）已知角α的终边上一点的坐标为（），角α的最小正值为（）
A．B．C．D．
7．（5分）已知α是第四象限角，，则sinα=（）
A．B．C．D．
8．（5分）已知与的夹角为60°，且||=2，||=1，则与的夹角等于（）A．150°B．90°C．60°D．30°
9．（5分）将函数y=sin（x+）（x∈R）的图象上各点的横坐标扩大到原来的2倍（纵坐标不变），再把图象上所有的点向左平行移动个单位长度，则所得到的图象的解析式为（）
A．y=sin（2x+）B．y=sin（2x+）
C．y=sin（x+）D．y=sin（x+）
10．（5分）如图，在△ABC中，AB=BC=4，∠ABC=30°，AD是边BC′上的高，则?的值等于（）
A．0B．4C．8D．﹣4
11．（5分）如图，在△ABC中，，P是BN上的一点，若，则实数m 的值为（）
A．B．C．1D．3
12．（5分）已知O是△ABC所在平面内一点，且||2+||2=||2+||2=||2+||2，则O
是△ABC的（）
A．内心B．垂心C．外心D．重心
二、填空题（每题5分，共20分）
13．（5分）已知扇形的圆心角为60°，半径为3，求扇形的弧长（用弧度制表示）．
14．（5分）函数y=tan x的最小正周期为．
15．（5分）若两个非零向量与的夹角为θ，定义?=||?||?sinθ，已知向量、满足
||=，||=4，?=﹣6，则?=．
16．（5分）设函数f（x）=x3（x∈R），若时，f（msinθ）+f（1﹣m）＞0恒成立，则实数m的取值范围是．
三、解答题（第17题10分，其余大题为12分，共70分）
17．（10分）设集合A={x|x是小于8的正整数}，B={1，2，3}，C={3，4，5，6}；
（1）求A∩B，A∪B；
（2）求A∩（B∪C），A∪（B∩C）．
18．（12分）已知=（1，2），=（﹣3，2），当k为何值时
①k+与﹣3垂直
②k+与﹣3平行．
19．（12分）已知f（α）=
（Ⅰ）化简f（α）；
（Ⅱ）已知tanα=3，求f（α）的值．
20．（12分）已知函数f（x）=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，|φ|＜π，在同一周期内，当x=时，f（x）取得最大值2；当x=时，f（x）取得最小值﹣2．
（Ⅰ）求函数f（x）的解析式；
（Ⅱ）若x∈时，求函数f（x）的单调增区间和最值．
21．（12分）已知函数f（x）=x2﹣kx+1，若存在α∈（0，），使f（sinα）=f（cosα）
（1）当k=时，求tanα的值
（2）在（1）的成立的基础上，求的值．
22．（12分）已知函数：f（x）=lg
（1）求函数定义域
（2）求函数的值域
（3）若y=f（x+φ）是偶函数，求φ的集合．
23．已知向量=（cosα，sinα），=（cosβ，sinβ），=（﹣1，O）
（1）求向量+的长度的最大值；
（2）设α=，且⊥（+），求cosβ的值．
新疆兵团农二师华山中学2014-2015学年高一上学期期末数学试卷
参考答案与试题解析
一、单项选择题（每题5分，共60分）
1．（5分）满足log a1（a＞0且a≠1）=（）
A．4B．0C．2D．1
考点：对数的运算性质．
专题：函数的性质及应用．
分析：直接由对数的运算性质得答案．
解答：解：∵a0=1，
∴log a1（a＞0且a≠1）=0．
故选：B．
点评：本题考查了对数的运算性质，考查了指数式与对数式的互化，是基础题．
2．（5分）下列正确的是（）
A．=B．=3﹣π C．（）3=﹣2 D．
=2a﹣1
考点：根式与分数指数幂的互化及其化简运算．
专题：计算题；函数的性质及应用．
分析：根据根式的运算法则，进行化简即可．
解答：解：对于A，=，∴A错误；
对于B，=|3﹣π|=π﹣3，∴B错误；
对于C，=﹣2，∴C正确；
对于D，=|2a﹣1|=，∴D错误．
故选：C．
点评：本题考查了根式的运算与化简问题，是计算题目，属于基础题．
3．（5分）已知函数，则f（f（﹣2））的值是（）
A．2B．﹣2 C．4D．﹣4
考点：分段函数的解析式求法及其图象的作法．
专题：计算题．
分析：已知f（x）为分段函数，把x=﹣2代入解析式y=x2，得到f（﹣2），再把f（﹣2）看为一个整体，继续代入求解；
解答：解：∵已知函数，
∴f（﹣2）=（﹣2）2，
∴f（f（﹣2））=f（4）=4，
故选C．
点评：此题主要考查分段函数的解析式，解此类题的关键是看准定义域，然后不断的代入求解，是一道基础题．
4．（5分）化简﹣+﹣得（）
A．B．C．D．
考点：向量加减混合运算及其几何意义．
专题：计算题．
分析：本题考查的知识点是向量加减混合运算及其几何意义，根据向量加法及减法的三角形法则，我们易得﹣+﹣的值．
解答：解：﹣+﹣
=﹣﹣
=﹣
=
故选D
点评：向量加法的三角形法则，可理解为“首尾相接”，向量减法的三角形法则，可理解为“同起点，连终点，方向指被减．”或是“同终点，连起点，方向指向减．”
5．（5分）函数f（x）=2x+3x的零点所在的一个区间是（）
A．（﹣2，﹣1）B．（﹣1，0）C．（0，1）D．（1，2）
考点：函数的零点与方程根的关系；函数零点的判定定理．
专题：函数的性质及应用．
分析：根据函数零点的判定定理求得函数f（x）=2x+3x的零点所在的一个区间．
解答：解：由，以及及零点定理知，f（x）的零点在
区间（﹣1，0）上，
故选B．
点评：本题主要考查函数零点的概念与零点定理的应用，属于容易题．
6．（5分）已知角α的终边上一点的坐标为（），角α的最小正值为（）
A．B．C．D．
考点：终边相同的角．
专题：计算题．
分析：将点的坐标化简，据点的坐标的符号判断出点所在的象限，利用三角函数的定义求出角α的正弦，求出角α的最小正值
解答：解：=
∴角α的终边在第四象限
∵到原点的距离为1
∴
∴α的最小正值为
故选D
点评：已知一个角的终边上的一个点求角的三角函数值，应该利用三角函数的定义来解决．7．（5分）已知α是第四象限角，，则sinα=（）
A．B．C．D．
考点：诱导公式的作用；同角三角函数间的基本关系．
专题：三角函数的求值．
分析：先利用诱导公式，再利用平方关系，结合α是第四象限角，即可求得结论．
解答：解：∵，
∴
∴
∵sin2α+cos2α=1，α是第四象限角，
∴sinα=
故选D．
点评：本题考查诱导公式，同角三角函数的平方关系，考查学生的计算能力，属于基础题．
8．（5分）已知与的夹角为60°，且||=2，||=1，则与的夹角等于（）
A．150°B．90°C．60°D．30°
考点：数量积表示两个向量的夹角．
专题：常规题型．
分析：本题要求两个向量的夹角，要代入夹角的公式，使用公式时要用到两个向量的模长和数量积，所以要先求两个向量的数量积和模长，根据所给的向量的模长和夹角，求出要用的量，代入公式得到结果．
解答：解：∵与的夹角为60°，且||=2，||=1，
∴?（）=+2=4+2×2×1×cos60°=6
||===2，
∴cos＜，＞==，
∴与的夹角是30°，
故选D．
点评：本题考查求向量的夹角，考查数量积的应用，数量积的主要应用：①求模长；②求夹角；③判垂直，本题是应用中的求夹角，解题过程中注意夹角本身的范围．
9．（5分）将函数y=sin（x+）（x∈R）的图象上各点的横坐标扩大到原来的2倍（纵坐标不变），再把图象上所有的点向左平行移动个单位长度，则所得到的图象的解析式为（）
A．y=sin（2x+）B．y=sin（2x+）
C．y=sin（x+）D．y=sin（x+）
考点：函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．
专题：三角函数的图像与性质．
分析：首先根据将原函数的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍，得到函数y=sin
（x+），再根据左加右减的平移原则即可得到函数解析式．
解答：解：将函数y=sin（x+）图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），即周期变为原来的两倍，
可得函数解析式为：y=sin（x+），
再将所得的函数图象向左平移个单位，可得其解析式为：y=sin=sin（x+），
故选：C．
点评：本题考查函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换，着重考查三角函数的平移原则（左加右减上加下减），考查计算能力，属于中档题．
10．（5分）如图，在△ABC中，AB=BC=4，∠ABC=30°，AD是边BC′上的高，则?的值等于（）
A．0B．4C．8D．﹣4
考点：平面向量数量积的运算．
专题：数形结合．
分析：通过解直角三角形求出边AD，利用向量的运算法则、向量垂直的充要条件、向量的数量积公式求出．
解答：解：因为AB=BC=4，∠ABC=30°，AD是边BC上的高，
所以AD=4sin30°=2．
所以?=?（+）=?+?==2×4×=4，
故选B
点评：本题考查向量的运算法则、向量垂直的充要条件、向量的数量积公式．
11．（5分）如图，在△ABC中，，P是BN上的一点，若，则实数m 的值为（）
A．B．C．1D．3
考点：平面向量的基本定理及其意义．
专题：计算题；证明题；平面向量及应用．
分析：根据题意，设=λ，将向量表示成向量、的一个线性组合，再结合题中向量的等式，建立关于m、λ的方程组，解之即可得到实数m的值．
解答：解：∵，
∴
设=λ，（λ＞0）得=+
∴m=且=，解之得λ=8，m=
故选：A
点评：本题给出三角形的一边的三等分点，求某向量关于已知向量的线性关系式，着重考查了向量的线性运算、平面向量的基本定理及其意义等知识，属于中档题．
12．（5分）已知O是△ABC所在平面内一点，且||2+||2=||2+||2=||2+||2，则O
是△ABC的（）
A．内心B．垂心C．外心D．重心
考点：平面向量数量积的运算．
专题：平面向量及应用．
分析：根据向量的减法分别用，，表示，，利用数量积运算和题意代入式子进行化简，证出OA⊥BC，同理可得OB⊥AC，OC⊥AB，即证出O是△ABC的垂心．
解答：解：设=，=，=，则=﹣，=，=．
由||2+||2=||2+||2=||2+||2，
∴||2+|﹣|2=||2+||2，化简可得?=?，即（﹣）?=0，
∴?=0∴⊥，即OA⊥BC．
同理可得OB⊥AC，OC⊥AB．
∴O是△ABC的垂心．
故选B．
点评：本题考查了向量在几何中应用，主要利用向量的线性运算以及数量积进行化简证明，证明垂直主要根据题意构造向量利用数量积为零进行证明．
二、填空题（每题5分，共20分）
13．（5分）已知扇形的圆心角为60°，半径为3，求扇形的弧长（用弧度制表示）π．
考点：弧长公式．
专题：三角函数的求值．
分析：已知扇形的圆心角为60°，半径为3，代入弧长公式计算．
解答：解：依题意，n=60，r=3，
∴扇形的弧长===π．
故答案为：π．
点评：本题考查了弧长公式的运用．关键是熟悉公式：扇形的弧长=．
14．（5分）函数y=tan x的最小正周期为2．
考点：三角函数的周期性及其求法．
专题：三角函数的图像与性质．
分析：根据正切函数的周期性进行求解即可．
解答：解：y=tan x的周期为T=，
故答案为：2
点评：本题主要考查三角函数的周期的计算，比较基础．
15．（5分）若两个非零向量与的夹角为θ，定义?=||?||?sinθ，已知向量、满足
||=，||=4，?=﹣6，则?=2．
考点：平面向量数量积的运算．
专题：新定义；平面向量及应用．
分析：运用向量的数量积的定义，可得cosθ，由同角的平方关系可得sinθ，再由新定义计算即可得到．
解答：解：由于||=，||=4，?=﹣6，
则×4×cosθ=﹣6，
即有cosθ=﹣，
即sinθ==，
则有?=||?||?sinθ==2．
故答案为：2．
点评：本题考查向量的数量积的定义，主要考查新定义?的理解和运用，属于基础题．
16．（5分）设函数f（x）=x3（x∈R），若时，f（msinθ）+f（1﹣m）＞0恒成立，则实数m的取值范围是（﹣∞，0）．
考点：函数恒成立问题．
专题：综合题；转化思想；函数的性质及应用．
分析：由给出的幂函数为奇函数，且为实数集上的增函数，把不等式f（msinθ）+f（1﹣m）＞0移项变形，借助于函数的奇偶性和单调性转化为msinθ﹣m＞﹣1恒成立，分离参数m后，
由角θ的范围求得的最小值，则m的取值范围可求．
解答：解：∵f（x）=x3（x∈R）为递增函数且为奇函数，
f（msinθ）+f（1﹣m）＞0恒成立等价于f（msinθ）＞﹣f（1﹣m）=f（m﹣1）恒成立，
即msinθ＞m﹣1恒成立，也就是msinθ﹣m＞﹣1，m（sinθ﹣1）＞﹣1恒成立，
∵，∴﹣1≤sinθ﹣1＜0，0＜1﹣sinθ≤1．
∴m＜，
∵0＜1﹣sinθ≤1，∴的最小值为1，∴m＜0．
∴使f（msinθ）+f（1﹣m）＞0恒成立的实数m的取值范围是（﹣∞，0）．
故答案为：（﹣∞，0）．
点评：本题考查了函数恒成立问题，借助于已知函数的奇偶性和单调性转化，考查了分离变量法，训练了三角函数最值的求法，是中档题．
三、解答题（第17题10分，其余大题为12分，共70分）
17．（10分）设集合A={x|x是小于8的正整数}，B={1，2，3}，C={3，4，5，6}；
（1）求A∩B，A∪B；
（2）求A∩（B∪C），A∪（B∩C）．
考点：交、并、补集的混合运算．
专题：计算题．
分析：（1）列举出集合A中的元素，求出A与B的交集与并集即可；
（2）求出B与C的并集与交集，找出A与并集的交集，A与交集的并集即可．
解答：解：（1）∵集合A={x|x是小于8的正整数}={1，2，3，4，5，6，7}，B={1，2，3}，∴A∩B={1，2，3}，A∪B={1，2，3，4，5，6，7}；
（2）∵集合A={x|x是小于8的正整数}={1，2，3，4，5，6，7}，B={1，2，3}，C={3，4，5，6}，
∴B∪C={1，2，3，4，5，6}，B∩C={3}，
则A∩（B∪C）={1，2，3，4，5，6}，A∪（B∩C）={1，2，3，4，5，6，7}．
点评：此题考查了交、并、补集的混合运算，熟练掌握各自的定义是解本题的关键．18．（12分）已知=（1，2），=（﹣3，2），当k为何值时
①k+与﹣3垂直
②k+与﹣3平行．
考点：平面向量数量积的运算．
专题：计算题；平面向量及应用．
分析：由已知可先表示，，然后分别根据向量垂直及平行的坐标表示即可求解k
解答：解：∵=（1，2），=（﹣3，2）
∴=（k﹣3，2k+2），=（10，﹣4）
①∵k+与﹣3垂直
∴10（k﹣3）﹣4（2k+2）=0
∴k=19
②k+与﹣3平行
∴﹣4（k﹣3）﹣10（2k+2）=0
∴﹣k=
∴k=﹣
点评：本题主要考查了向量的平行及垂直的坐标表示的简单应用，属于基础试题19．（12分）已知f（α）=
（Ⅰ）化简f（α）；
（Ⅱ）已知tanα=3，求f（α）的值．
考点：运用诱导公式化简求值；同角三角函数基本关系的运用．
专题：计算题；三角函数的求值．
分析：（Ⅰ）运用诱导公式即可将f（α）化简求值．
（Ⅱ）由同角三角函数基本关系的运用可得f（α）==，代入已知即可求值．
解答：解：（Ⅰ）f（α）==，
（Ⅱ）∵tanα=3，
∴f（α）====．
点评：本题主要考查了运用诱导公式化简求值，同角三角函数基本关系的运用，属于基础题．
20．（12分）已知函数f（x）=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，|φ|＜π，在同一周期内，当x=时，f（x）取得最大值2；当x=时，f（x）取得最小值﹣2．
（Ⅰ）求函数f（x）的解析式；
（Ⅱ）若x∈时，求函数f（x）的单调增区间和最值．
考点：由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式；正弦函数的图象．
专题：三角函数的图像与性质．
分析：（Ⅰ）由题意可求得A的值，T=，可得T的值，ω的值，又由题意2sin （2×+φ）=2，可解得φ的值，即可求得解析式．
（Ⅱ）由2k≤2x+≤2k可解得f（x）的单调增区间，若x∈时，则可得函数f （x）的单调增区间，根据正弦函数的性质即可求得最值．
解答：解：（Ⅰ）∵由题意可得：A=2，T=，可得T=π，ω===2，
∵由题意可得：2sin（2×+φ）=2
∴由五点作图法可得：φ=
∴f（x）=2sin（2x+）
（Ⅱ）∵2k≤2x+≤2k可解得f（x）的单调增区间是k∈Z，
∵若x∈时，函数f（x）的单调增区间是．
∵x∈
∴2x+∈
∴当x=时，f（x）max=2，当x=时，f（x）min=﹣1．
点评：本题主要考查了由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式，正弦函数的图象和性质，属于基础题．
21．（12分）已知函数f（x）=x2﹣kx+1，若存在α∈（0，），使f（sinα）=f（cosα）
（1）当k=时，求tanα的值
（2）在（1）的成立的基础上，求的值．
考点：同角三角函数基本关系的运用．
专题：三角函数的求值．
分析：（1）当k=时，求tanα的值
（2）根据条件分别求出sinα，cosα，tanα的值代入即可．
解答：解：（1）把k=代入方程得：f（x）=x2﹣x+1，
∵f（sinα）=f（cosα），
∴sin2α﹣sinα+1=cos2α﹣cosα+1，
整理得：sinα+cosα=，
两边平方得：1+2sinαcosα=，即2sinαcosα=﹣＜0，
∴sinα＞0，cosα＜0，
解得：sinα=，cosα=﹣，
则tanα=﹣；
（2）原式==﹣．
点评：此题考查了同角三角函数间的基本关系，熟练掌握基本关系是解本题的关键．
22．（12分）已知函数：f（x）=lg
（1）求函数定义域
（2）求函数的值域
（3）若y=f（x+φ）是偶函数，求φ的集合．
考点：复合三角函数的单调性；对数函数的图像与性质；对数函数图象与性质的综合应用．
专题：计算题；函数的性质及应用；三角函数的图像与性质．
分析：（1）要使函数有意义，则需sin（2x+）﹣＞0，由正弦函数的图象和性质，即
可得到定义域；
（2）运用正弦函数的值域，结合对数函数的单调性，即可得到值域；
（3）运用余弦函数的奇偶性，即有2φ+=kπ+，k∈Z，解方程即可得到所求集合．
解答：解：（1）要使函数有意义，则需
sin（2x+）﹣＞0，即sin（2x+）＞，
即2kπ+＜2x+＜2kπ+，k∈Z，
解得kπ﹣＜x＜kπ+，k∈Z，
则定义域为（kπ﹣，kπ+），k∈Z；
（2）由0＜sin（2x+）﹣≤，
即有lg≤lg=﹣lg2，
则值域为（﹣∞，﹣lg2]；
（3）y=f（x+φ）是偶函数，
即f（x+φ）=lg为偶函数，
则2φ+=kπ+，k∈Z，
解得φ=+，k∈Z．
则所求集合为{φ|φ=+，k∈Z}．
点评：本题考查函数的定义域和值域以及奇偶性的运用，考查三角函数的图象和性质，考查对数函数的性质，考查运算能力，属于基础题．
23．已知向量=（cosα，sinα），=（cosβ，sinβ），=（﹣1，O）
（1）求向量+的长度的最大值；
（2）设α=，且⊥（+），求cosβ的值．
考点：平面向量数量积的运算．
专题：计算题；三角函数的求值；平面向量及应用．
分析：（1）运用向量的模的公式以及向量的数量积的坐标表示，再由余弦函数的值域即可得到最大值；
（2）运用向量垂直的条件，结合向量的数量积的坐标表示，以及同角的平方关系，即可求得cosβ的值．
解答：解：（1）由=（cosβ，sinβ），=（﹣1，O），
则||==1，||=1，
即有||==
=，
当cosβ=﹣1时，向量+的长度的最大值为2；
（2）设α=，且⊥（+），
则=0，
即有+=0，
即cosαcosβ+sinαsinβ﹣cosα=0，
（cosβ+sinβ）=，即为sinβ+cosβ=1，
又sin2β+cos2β=1，
可得cosβ=0或1
点评：本题考查向量的数量积的坐标表示和性质，主要考查向量的垂直的条件和模的求法，同时考查同角的平方关系，属于基础题．